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摘要：大學數學基礎課程三位一體教學范式以建構主義的意義協商、拋錨教學、算法圖式和隨機進入等四個核心理論為基礎。教學范式中，真實的問題情境，激發學生學習的興趣；精心的教學設計，符合學習心理的規律；豐富的教學形式，提供有效的技術支持；多維的教學目標，提高學生的綜合素質。經過十年教學改革研究和實踐檢驗，該教學范式取得明顯成效。
關鍵詞：意義協商；拋錨教學；算法圖式；隨機進入；多媒體；微課程
瑞士的皮亞杰最早提出建構主義，而且施萬克、弗羅登塔爾明確表示：建構主義理論與數學教育理論是相通的，建構主義對數學教學改革有著重要的影響。我們教學團隊針對傳統教學中存在的“重教輕學”以及重外部刺激輕內部心理過程和主觀能動性的缺點，以建構主義中的意義協商、拋錨教學、算法圖式和隨機進入等四個核心理論為基礎，進行了教學改革實踐、省級教改課題研究和理論探索，創造了以學生為主體并具有意義建構的學習環境，建立了大學數學基礎課程三位一體教學范式，該教學成果的基本結構如圖1所示：①第一位：也是主體結構，改革傳統教材，開發了《微積分》《線性代數》和《高等數學習題課教程》教材［1，2，3］，以此為基礎進行課堂教學改革；②第二位：基于計算機技術的多媒體課件；③第三位：基于網絡技術的微課程精品資源，在愛課程（中國大學MOOC）上線［4］。
一、主要特點和優勢
建構性學習需要精選學習素材，建構主義理應取代工具主義、理性主義而成為主導課程資源建設的理念。我們進行教材改革，將其作為主要載體，并以計算機技術和網絡技術為“雙翼”，三位一體，成為教學范式的動力系統和技術支持。
（一）簡易通俗實用
在基礎知識和基本理論的呈現過程中，注意采用啟發式方法，盡量把數學知識的傳授處理成一個“發現”的過程。譬如，對于重要概念和理論的引入，盡可能從實際問題入手，闡述其產生的背景及其典型應用。對于重要定理的導出或證明，盡量采用“誘導發現”或“歸納、類比發現”的過程。對于重要的數學思想方法，則盡量抓住經典的數學問題，引導學生經歷從發現問題、提出問題到最終應用數學思想方法研究、解決問題的全過程。教材中圖表豐富，在數學知識的闡述過程中，注重從直觀的幾何意義或實際背景引入和解釋概念和定理，深入淺出，在保持概念理論敘述嚴謹性的基礎上，力求形象直觀、通俗易懂。數學哲學觀和系統論滲入到教學范式中。不管是橫向上，還是縱向上看各章內的各知識點之間，既有聯系，又有區別，構成一個有機的整體。一方面，許多理論、方法和性質會一脈相承地“移植”或“遺傳”，但另一方面，有時存在著重要的“變異”，使得學習更有效率、更有效果。
（二）融入現代技術
數學軟件不僅可以構造實物，還可以構造虛擬的模型，幫助我們提高對有關問題的感性認識，加深對概念及方法的理解，可以幫助學生尋找特定信息、完成認知操作、尋找某種設想等。與教材配套的微課程資源中就有相關的數學軟件程序，并且在多媒體課件中有演示，它們不僅可以用于課堂，增強教學效果；也可以用于自學，拓展教學空間。筆者重視每個知識點的教學設計，在多媒體課件和微課程資源中，許多數學知識的呈現方式與教材中的呈現方式不同，都是先由數學軟件畫精確圖，或用簡單的例子做引入，大膽猜想，再細心驗證，同時幫助學生理解，這更貼近數學知識發生、發展的歷史進程，簡潔、清晰又高效地建構起認知結構。
（三）以方法論為指導
多媒體輔助教學的實驗研究表明許多概念依靠多媒體的直觀演示來引入，使學生興趣盎然。但在高等數學教學過程中如果過分依賴直觀形象，缺乏必要的抽象思維訓練的話，學生在后續學習時會倍感吃力，因此要注重把握好多媒體輔助教學的“分寸”，在高等數學教學中既借助多媒體演示概念的形成過程，又做方法論剖析，將外部操作內化為思維建構。例如在引入定積分概念時，用多媒體動態演示曲邊梯形面積和物理問題，強調“以常代變、近似求和、精確求值”等基本知識技能，強調“以常量認識變量、從量變認識質變”等基本思想方法，是唯物辯證法的對立統一規律在高等數學中的應用。這樣以方法論指導制作多媒體課件，可以起到畫龍點睛的效果。利用多媒體課件將高等數學概念中的運動變化趨勢形象地顯現出來，方法論層面的指導也使得學生準確地把握概念的本質及核心，有利于產生正遷移。
二、實施原則和關鍵
中國數學教育一直以來重視雙基（基本知識和基本技能），筆者提出的教學范式與時俱進地認識雙基，認為高等數學教學應繼承發揚這種傳統。與此同時，隨著時代的發展，特別是數學的廣泛應用、計算機技術和現代信息技術的發展，高等數學課程建設和教學中應重新審視基礎知識、基本技能和能力的內涵。例如，為了適應信息時展的需要，高等數學應引入算法，把最基本的數據處理等作為新的數學基礎知識和基本技能；應淡化形式，注重實質，刪減繁瑣的計算、人為的技巧難題和過度的細枝末節，發展學生的數學應用意識，這些做法彰顯了數學能力的本質，對于培養學生的數學能力具有很好的作用。另外，該教學范式還重視基本數學思想方法的形成過程，使得基本數學思想方法與基本數學知識和基本數學技能一起構建起三維的數學基礎構件，再將基本數學活動經驗變成這三維構件的粘合劑。事實上，高等數學教學中隨處可見數學活動，學生在其中獲得的基本數學活動經驗，與數學基本知識、基本技能、基本思想方法融合在一起，形成穩固的高等數學認知結構系統。
（一）基于“意義協商”，主動建構
建構主義學習理論認為學習是獲取知識的過程，學生在一定的情境下，借助教師以及學習伙伴的協作和會話，利用必要的學習資料，通過意義建構的方式而獲得知識。其中“意義建構”是全部學習過程的終極目標，所要建構的意義是指事物的性質、規律以及事物之間的內在本質聯系。在學習過程中幫助學生建構意義，就是要幫助學生深刻理解當前學習內容所反映的事物性質、規律以及事物之間的聯系。筆者所遵循的核心理念是：學習者與周圍環境的信息交流，對知識的理解（即對知識意義的建構）起著關鍵性的作用。學生在教師的組織和向導下進行討論和交流，建構起學習共同體，在共同體中，批判地考察各種理論、觀點和假說，進行協商和辯論，從而有效地完成對知識的意義建構。教學范式中的多媒體課件和微課程資源并不是教材的簡單重復，常以反例、錯例及一題多解的形式呈現，這是加深理解數學知識的極好素材，可以將它們作為補充資源，放在微課程的教學反思、反饋評價模塊中。例如，學生總能發現，有些題目的錯誤解法雖然“失敗”了，但堅持下去，進行反思，吸取其中的合理因素，最終卻能解決問題，甚至引出重要的數學知識和方法。這不僅是一種好的學習方法，而且從數學歷史來看，這也與數學知識螺旋式上升、不斷發展的進程相一致。又如，將批改作業時發現某學生的錯誤、不規范的書寫格式等，用手機拍攝下來，以圖片和微視頻的方式上傳到網絡平臺上，組織即時討論，不僅該學生印象深刻，而且其他學生也受益，教師也能及時發現教學中的薄弱環節。
（二）基于“拋錨教學”，創設情境
建構主義教學理論特別強調設計生態性的學習環境，筆者所設計的新型學習環境的核心特征是：學生通過小組協作活動來解決帖近于現實生活情境的問題。在此過程中，教學雙方潛心搜索有效信息，交流數據資料，精心設計多媒體等形式的知識媒體，共同建構和分享知識。教師承擔著組織者、教練或顧問的角色，他們也常常通過小組形式協作進行教學工作。這種新型學習環境主要以現代信息技術為平臺建構而成，為學習者提供學習管理、互動交流和信息加工處理工具；為學習者提供了自由探索和自主學習的空間，在此空間中學生可以利用各種工具和資源（如紙質資料、多媒體音像資料以及Internet上的數據信息等）來達到自己的學習目標。這些媒體和資料不止是用于輔助教師的講授，更關注支持學生的協作式學習和主動探索。下面以微分中值定理為例，說明其具體環節。該課例的關鍵就是創設情境，使學習能在和現實情況基本一致或相類似的情境中發生。簡短的引入后，用PPT呈現廬山云霧圖片：綿延山脈中，云海在上升和下降，如詩如畫。引導學生用數學的眼光欣賞自然美景，用連續曲線段勾勒出山脈的輪廓，用水平線的水平移動模擬云海的運動。在上述情境下，設計與當前學習主題密切相關的有感染力的真實性事件或問題作為學習的中心內容。這些事件或問題就是“錨”，這一環節被形象地比喻為“拋錨”。整體上看圖2，這些點為最大值或最小值點。再看這些點的局部，例如不妨考慮最大值點，用動畫重復直線的平行移動，發現：水平線在向上移動的過程中，它與曲線的交點和目標點的連線的斜率在左邊為非負，右邊為非正，最終的趨勢是斜率為零。數學家費馬（Fermat）將該過程用精確的數學語言刻畫出來，得到Fermat引理及其證明。再回看整體圖，Rolle定理的條件保證最值點存在，由此得到啟發，用Fermat引理證明Rolle定理，板書證明過程。引導學生回憶原來所學的知識：用參數方程表示曲線在相關科學研究和應用中有重要意義，指出數學家柯西（Cauchy）在這方面繼續做工作，得出了Cauchy中值定理?？紤]到這是非數學專業類課程，教師只是引導學生猜想：它的證明方法也是通過構造輔助函數解決的，鼓勵同學們課后進行討論完成證明。教學接近尾聲時，保留在黑板上的板書和多媒體課件相互襯映，呈現出如下框架和內容（其中箭頭線用彩色粉筆突出顯示）：圖4微分中值定理之間的關系在教學結束時提出如下問題：問題6數學工作者一直在研究微分中值定理。正如回想中學時橢圓、雙曲線和拋物線可以統一定義為圓錐曲線一樣，我們是否也可以將各種形式的微分中值定理加以統一呢？由于有多媒體動畫所帶來的直觀感受，同學發現幾個中值定理的圖形中蘊涵著一種共性，即在直線AB移動過程中兩交點與目標點所構成的三角形面積值逐漸縮小為零，得到結論：可用《線性代數》中的行列式表示三角形面積。再簡單介紹幾位數學教師的成果，制作微課程資源作為課堂教學的延伸和拓展，并鼓勵同學們進一步探究。數學教育實驗研究表明，個體在環境中總是依據自己特有的經驗定向進行認知活動，有的人偏愛靜態的特征性認知思維方式，有的人偏愛動態的功能性認知思維方式，教師應會識別和尊重學生的思維，引導學生朝合適的方向建構知識。高等數學的產生不是偶然的，每一個知識點都有著真實的背景，是人類在長期生產實踐和科學活動中發展的成果。教師應從具體實例出發創設情境，展現數學知識的發生、發展過程，使學生能夠從中發現問題、提出問題，經歷數學的發現和創造過程，了解知識的來龍去脈。上述課例精心進行教學設計，引導學生對微分中值定理知識進行了“組織”，讓學生掌握了中值定理等重點知識，也更好地理解了極限的局部保號性等難點知識，提高了學生的概括能力和運用數學知識分析和解決問題的能力。
（三）基于“算法圖式”，同化順應
目前有些高等數學課程、教材和教法忽視了學生思維發展的特點，采用單一的表征方式呈現數學知識，難以激勵學生主動使用自己最佳的認知工具。同化與順應是學生與學習環境相互作用的兩個基本過程。同化是認知結構數量的擴充（圖式擴充），而順應是認知結構性質的改變（圖式改變）。通過同化與順應，在“平衡———不平衡———新平衡”的循環中，學生的認知結構逐步建構起來并得到豐富、提高和發展。筆者以算法為載體，針對不同認知思維方式，提供多樣化的圖式表征，如靜態的表格式和動態的流程圖式，讓學生選用適合自己思維方式的外在表征形式，使其建構的認知結構取向與外在問題表征形式產生共鳴，達到最佳學習境界。經過教學研究，筆者發現大學數學基礎課程內容極易程序化和算法化，因此對教材內容進行研究和加工，將計算機程序設計和算法思想引入教學設計中，得到流程圖，重新組織教學順序，將相關算法流程圖或板書或用PPT演示或上傳至網絡教學空間，有效地解決了困擾著教師的教學難題。我們為知識點設計知識譜系，構造緊密的知識網絡，在多媒體課件、微課程中，通過設計模塊、按鈕等功能生動地呈現出來。例如，六類多元函數積分關系如圖5所示，它們有機結合，構成一個系統，也宛如六位成員構成了一個家族，以定積分思想方法為其核心和“血脈”，可以通過它們的定義、計算公式及相互之間的關系定理的推導過程理解這一點。其中“五角星”部分的粗線所表示的是在高等數學學習和工程技術中有著重要理論和應用價值的幾種重要關系，即：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及曲線（面）積分的計算。
（四）基于“隨機進入”，設計碎片
由于事物的復雜性和問題的多面性，教師很難真正達到對所學知識的全面而深刻的意義建構，往往從不同的角度可以產生不同的理解。針對此弊端，在教學中筆者引導學習者隨意通過不同途徑和不同方式進入同一內容，從而達到對同一事物或問題的全方位的認識與理解，這就是“隨機進入教學”。這種多次進入，絕不是像傳統教學中那樣，只是一般的知識、技能的簡單重復和鞏固，這里的每次進入都有不同的目的和不同的側重點，因此多次進入的結果是使學習者獲得對事物全貌的理解與認識上質的飛躍。如前所述，建構主義者提出在設計教學進程時教學活動不必非要按嚴格的直線型層級進行，學生可以非線性地從知識結構網絡的任何部分進入或開始。微課程為此提供了一種碎片化、移動化的學習新體驗，能更好地滿足學生對大學數學基礎課程知識點的個性化、按需選擇學習，既可查缺補漏又能強化鞏固知識，是傳統課堂教學的一種重要補充和拓展。例如泰勒公式這一知識點，它是從拉格朗日中值公式中發現規律而推廣得到的，如果將其進一步推廣得到泰勒級數，再認識其適用范圍的局限性從而引出傅立葉級數，知識點跨度大，其本質聯系很難在教材中充分體現出來。因此，筆者將這些知識點碎片化，制作多媒體課件和微課程資源，作為輔助資源讓學生自主強化學習。要處理好微課程與傳統課程的辯證關系。微課程是課堂教學的改編，微課程還要像微電影一樣，體現微的特性。教材是整個數學史的濃縮，并且受篇幅、嚴謹性等影響，教材中往往難以體現定義和定理等的背景、意義及其思想方法，無法回歸數學知識的發生、發展過程。而這可以通過微課程來實現，在微課程中，我們可以通過猜想、合情推理，闡明數學理論中的深刻思想方法，可以在不失嚴謹的前提下，用通俗直觀的語言處理教材內容。更為重要的是還可以將優質微課程資源共享，像看電影那樣，回放觀看，反復強化，達到傳統課堂教學難以達到的效果。例如用多媒體動畫演示極限過程、無窮小的比較、冪級數和傅立葉級數的逼近以及概率論與數理統計中的蒲豐投針實驗等，在此基礎上制作微視頻，能起到良好的教學效果。
三、教學啟示與展望
教學范式中，真實的問題情境，激發學生學習的興趣；精心的教學設計，符合學習心理的規律；豐富的教學形式，提供有效的技術支持；多維的教學目標，提高學生的綜合素質。教學范式有利于學生掌握陳述性知識、作為程序性知識的智慧技能和作為特殊程序性知識的認知策略，增強學生解決問題的意識和能力，促進他們掌握結構化、圖式的知識以及熟練的技能和靈活的解題策略。與此同時也注重在以下方面體現情感、態度與價值觀的培養與發展：引導學生體驗數學與生活的聯系，使學生對數學產生一種親和力，縮短與數學的心理距離，從而激發主動學習的愿望和動機，有了學生情感的積極參與和教師的及時鼓勵，教學自然生動有趣。在學習中，學生會感受到自己的思維過程與科學家的探索過程產生共鳴，對科學家的探索、創新精神和努力更加感興趣。另外，在教學中注重從數學美和藝術美的角度設計教學過程、設計黑板板書以及制作課件等，能更好地展現數學知識的“旋律”和“意境”。思想政治工作融入高等數學課程教學中，教學范式將重視培養學生運動與靜止、普遍聯系、螺旋式發展等唯物辯證觀，通過協商、平等來培養社會主義核心價值觀，通過最簡單的實例和反例，大膽猜想、小心求證，讓學生明白“不忘初心、方得始終”，也培養學生的自信和批判思維，這極有利于培養創新和實踐能力。新課程標準指出：“教師應當向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識、技能和思想方法，獲得廣泛的數學活動的經驗。”在大學數學教學中貫徹新課程理念是一個新的研究領域，值得我們進一步研究。
作者:曾廣洪 桂國祥 阮小軍 單位:江西師范大學數學與信息科學學院 南昌大學理學院