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討論單調性的步驟范文1
一、集合
（一） 知識定位及復習策略
集合這部分的主要內容是集合的概念、表示方法和集合之間的關系和運算?？v觀近幾年高考題，集合的考查以選擇題、填空題為主要題型。集合的概念和基本運算是本章的重點內容，也是高考的必考內容。
復習中首先要把握基礎知識，深刻理解本章的基礎知識點，重點掌握集合的概念和運算。
本章常用的數學思想方法主要有：數形結合的思想，如常借助于維恩圖、數軸解決問題；分類討論的思想，如一元二次方程根的討論、集合的包含關系等。復習時要重視對基本思想方法的滲透，逐步培養用數學思想方法來分析問題、解決問題的能力。
（二） 規律方法總結
1、集合中元素的互異性是集合概念的重點考查內容。一般給出兩個集合，并告知兩個集合之間的關系，求集合中某個參數的范圍或值的時候，要特別驗證是否符合元素之間互異性。
2、考查集合的運算和包含關系，解題中常用到分類討論思想，分類時注意不重不漏，尤其注意討論集合為空集的情況。
3、新定義的集合運算問題是以已知的集合或運算為背景，引出新的集合概念或運算，仔細審題，弄清新定義的意義才是關鍵。
二、函數
（一） 知識定位及復習策略
函數是高中數學的核心內容，函數的思想方法貫穿了高中數學的始終。近幾年高考試題函數熱點之一是考查函數的定義域、值域、單調性、奇偶性以及函數的圖象。函數、方程、不等式關系密切，要學會對具體問題抽象概括、分析探索、透徹理解，從而構造函數，借助方程、不等式的知識，最終解決問題。實現函數、方程、不等式的溝通與轉化，是高考的又一熱點。考查函數內容的同時，用函數的思想觀點研究問題，以及數形結合思想、分類討論思想的靈活熟練應用，也是高考的一個重點。
（二） 規律方法總結
1、求函數解析式時，針對條件的特點可選用換元法、待定系數法、湊項法、列方程組法等進行求解。其中換元法是常用的方法，但要特別注意正確確定中間變量的取值范圍，否則就不能正確確定函數的定義域。
2、判斷函數單調性主要的方法有定義法、導數法、圖象法。
（1）用定義法判斷單調性的步驟是：①任取x1,x2 M，設定x1
（2）用導數法判斷單調性的步驟是：①求f、(x)，令f、(x)=0，解此方程，求出它在定義域區間內的一切實根；②把函數的間斷點（包括f(x)無定義的點）的橫坐標和上面的各實根按由小到大的順序排列起來，然后用這些點把函數的定義域分成若干個小區間；③確定f、(x)在各小開區間內的符號，根據f、(x)的符號判定函數f(x)在每個相應小開區間內的增減性。
（3）利用圖像法求函數的單調區間要注意找準關鍵點，判斷好函數圖象的特征，如對稱性。
3、判定函數奇偶性要注意先判斷定義域是否關于原點對稱，再根據f(-x)與f(x)的關系繼續判定。偶函數f(x)=f(-x) 可以延伸為：f(-x)=f(x) =f(｜x｜) ，可以免去討論符號的麻煩。
4、二次函數求最值的方法一般是配方法或應用二次函數的單調性。二次函數在某閉區間上的最值有三種情況：軸定區間定；軸定區間動；軸動區間定。給定二次函數的定義域求其最值或值域是基本題型，一般要結合其單調性及對稱性畫出圖象解決。要注意所給定義域與對稱軸的關系。
5、利用函數的零點研究方程根的問題主要注意數形結合思想方法的應用。方程f(x)=0有實根函數f(x)的圖象與x軸有交點函數f(x)有零點。
三、基本初等函數
（一） 知識定位及復習策略
基本初等函數的內容是函數的基礎，也是研究其他較復雜函數的轉化目標，掌握基本初等函數的圖象和性質是學習函數知識的必要的一步。與指數函數、對數函數有關的試題，大多以考查基本初等函數的性質為依托，結合運算推理來解題。所以這部分內容更注重通過函數圖象讀取各種信息，從而研究函數的性質，熟練掌握函數圖象的各種變換方式，培養運用數形結合思想來解題的能力。
（二） 規律方法總結
討論單調性的步驟范文2
【關鍵詞】導數；單調性；凹凸性；拐點
導數是進一步學習數學和其他自然科學的基礎，是現代科學技術研究必不可少的工具。導數反映了函數隨自變量變化的快慢程度，即函數的變化率，它使人們能夠用數學工具描述事物變化的快慢及解決與之相關的問題。
一、利用導數求切線方程
導數的幾何意義是，曲線 在點 處的切線斜率，即
例1
求曲線 在點（1，2）處的切線斜率，并寫出該點處的切線方程與法線方程。
解：所求的切線斜率為 。由于 ，于是 。
所求的切線方程為 ，即
所求法線方程的斜率為
所求的法線方程為 ，即
二、利用導數分析函數的單調性
函數單調性的判定法：設函數 在區間 上連續，在 內可導。
（1）如果在 內 ＞0，那么函數 在 上單調增加；
（2）如果在 內 ＜0，那么函數 在 上單調減少
例2討論函數 的單調性
解：（1）函數的定義域為
（2）
（3）令 得 ，這兩點把定義域區間分為 ， ， ， 四部分。
由此可知，在區間 和 內函數 單調增加，在區間 和 內單調減少。
注：導數等于零的點和導數不存在的點可能是函數單調區間的分界點
求函數的單調性的一般步驟為：
（1）確定函數的定義域
（2）求出使函數 或 不存在的點，并以這些點為分界點，將函數定義域分為若干子區間。
（3）確定 在各個子區間的符號，進而確定 的單調區間。
三、利用導數的性質證明不等式
例3 證明：當 ＞0時， ＞
證明：設 ，則
當 ＞0時， ＞0，所以 為單調增加，又因為 ，故當 ＞0時， ＞ ，即 ＞0
因此＞
注：當不等式不能做差或作商是可以用導數的性質來解決。
四、利用導數求函數的極限
在求函數 極限時常會遇到兩個函數 ， 都是無窮小或都是無窮大的情況，即“ ”，“ ”型的極限，這類極限不能直接用四則運算法則求極限，那么可以用洛必達法則來求其極限。
洛必達法則：若函數 ， 滿足
（1） ，
（2）在點 的某個去心鄰域內 ， 存在，且 ≠0
（3） 存在或無窮大
則極限 存在（或為無窮大），且 =
注：當 換為 時，定理仍然成立
例4 求
解：這是 型未定式
= =
例5求
解：這是 型未定式
= = =0
五、利用導數求函數的極值
極值判定法：設函數 在點 處連續，且在點 的某個鄰域內可導（點 除外），若在該鄰域內
（1）當 ＜ 時，有 ＞0；當 ＞ 時，有 ＜0，則函數 在點 處有極大值 ， 為 的極大值點；
（2）當 ＜ 時，有 ＜0；當 ＞ 時，有 ＞0，則函數 在點 處有極小值 ， 為 的極小值點；
（3）若在點 的左右兩側近旁， 的符號相同，則函數 在點 處沒有極值。
例6求函數 的極值點與極值
解：（1）函數 的定義域為
（2） ，令 ，得 ，
， 將函數 的定義域 分為3個子區間，在每個子區間內討論 的符號。
（3）列表討論如下
（4）由表可見， 為函數的極大點， 為函數的極大值； 為函數的極小點， 為函數的極小值。
由此題可知求函數 極值點和極值的一般步驟：
（1）確定函數 的定義域
（2）求出導數 ，并求出函數 的全部駐點和不可導的點
（3）列表討論 在上述各點近旁的符號
（4）判定函數 的極值點，并求出函數的極值
六、利用導數求函數的最值
設 在 內的駐點為 ， ，…， ，則比較 ， ，…， ， 的大小，其中最大的便是 在 上的最大值，最小的便是 在 上的最小值。
例7求函數 在 上的最大值與最小值
解：
解方程 ，得到 ， ，由于
比較可得 在 取得它在 上的最大值 ，在 取得它在 上的最小值
七、利用導數研究函數的凹凸性與拐點
定理：設函數 在 上連續，在 內具有一階和二階導數，那么
（1）若在 內 ＞0，則 在 上的圖形是凹的；
（2）若在 內 ＜0，則 在 上的圖形是凸的.
例8求曲線 的拐點坐標及凹凸區間.
解：（1）函數 的定義域為
（2） ，
令 ，即 ，解得 ， .
從而 ， 把定義域區間分為3個區間： ， ，
（3）列表討論曲線的凹凸性和拐點
由上表可知，曲線在區間 ， 內是凹的，在區間 內是凸的。曲線的拐點坐標為 ，
求曲線 凹凸區間及拐點坐標的一般步驟為：
（1）確定函數 的定義域；
（2）求出函數 的二階導數 ，解出 =0的全部實根，并求出二階導數 不存在的點；
（3）判斷上述各點兩側 是否異號，如果 在點 的兩側異號，則點（ ， ）是曲線 的拐點；如果 在點 的兩側同號，則點（ ， ）不是曲線 的拐點。
八、導數在經濟分析中的應用
（一）邊際分析
邊際概念是經濟學中的一個重要概念，一般指經濟函數的變化率。經濟函數的導數，反映的是這個經濟現象的瞬時變化率，可以近似的描述該經濟函數的邊際。
1、邊際成本
設總成本函數為 ，其導數 稱作邊際成本，記作MC。它表明在生產或購銷中，產量或購銷量在Q水平上再增加一個單位引起的成本的改變量 。
2、邊際收入和邊際利潤
設某產品的總收入函數為 ,稱其導數 為邊際收入，記作MR.。
設某產品的總利潤函數為 ,稱其導數 為邊際利潤，記作ML.。
例9設某產品的總成本函數和收入函數分別為
，
其中，Q為該產品的銷售量。試求
（1）該產品的邊際成本、邊際收入和邊際利潤
（2）生產50個單位產品時平均單位成本和邊際成本本值
解：（1）邊際成本為
邊際收入為
利潤函數為
則邊際利潤為
(2) 時的平均單位成本為 ， 是的邊際成本為
這表示生產第50個或第51個單位產品時所追加的成本為17.5
（二）、彈性分析
若函數 在點 處可導，則 的值稱為函數 在點 處的彈性，記作 。
函數 在點 處的彈性 反映了當自變量 變化1%時，函數 變化的百分數為
若需求函數為 則需求彈性為
若供給函數為 則供給彈性為
例10某商品的需求函數為 ，求 時，需求對價格的彈性。
解：
當 時， ≈－1.7
其經濟含義是，當 時，價格每上升1%，需求量則減少1.7%
討論單調性的步驟范文3
【關鍵詞】數學;自主學習;課堂教學
一、思來源——提升動機
要讓學生自主探究，就不能讓他們處于被動地位，只按照老師的意圖去思考、接受知識.需要學生自己思考，自覺收集信息，做好預習工作，在老師講課前就對將學知識有所了解.這樣學生有較大的自，按照自己的思維方式去探究、發現、學習，養成自主解決問題的習慣.老師要充分研究教材，列些預習提綱輔助思考.提綱問題要富有啟發性，反映本節課的重難點，引導學生思考知識點的內在聯系、深層含義.
例如：函數的單調性.（自學閱讀）
問題：1.函數單調性定義中有哪些關鍵詞？嘗試用自己的語言描述.
2.嘗試說出對單調性的理解.嘗試說出單調區間與函數定義域的區別與聯系.
3.嘗試舉例說明一個單調遞增/減函數及其單調區間，能否對已學過的具體函數作單調性的判斷？
4.嘗試思考：學過不單調的函數嗎？能否舉例說明？
5.你能否看懂例題？若不理解，能否指出不理解的內容在哪，并作記號？若理解，你能否模仿例題獨立完成課本練習，并嘗試小結證明函數單調性的步驟？
6.你能否嘗試小結：判斷函數單調性的方法以及證明函數單調性的方法？
預習滲透分層次教學思想，學困生要求基本看懂預習內容，嘗試完成簡單練習，帶著疑問聽課；中等生要求初步理解和掌握預習內容，嘗試完成練習；優等生要求深刻理解和掌握預習內容，獨立完成習題.通過學生的自主預習，逐個完成對重難點的突破，提升學習動機.
二、思引入——激發興趣
老師用生動形象的語言，通過具體事例、直觀實物、多媒體演示手段等精心構建與生活相關的問題情境，逐步引導學生獲取新知識.
例如：等比數列的前n項和引入.
話說八戒隨師父取經后，回到高老莊，開了家公司，當了CEO，投資一項目缺經費，急忙趕到花果山問猴哥借錢.悟空想了想，弄了一份合同，說：“沒問題，咱倆誰跟誰啊，借你五百萬.第一個月還1元，第二個月還2元，下個月要還的是上個月的兩倍，還兩年就行，意思意思.你看成么？”如果你是八戒，你會簽字嗎？
通過有意思的故事吸引注意，啟發學生思考、計算，帶入新課內容.
在上課伊始，適合的導入為課堂注入新鮮氣氛，告別枯燥呆板，學生更想自主探究、闡明觀點，有利于收集、處理信息能力及思維能力的培養.
三、思過程——主動參與
在數學課堂教學過程中，要教會學生學習，創設條件給學生以實踐的機會，讓學生主動地參與進來，成為學習的主人.學生提問和回答時，教師從旁加以指導，穿插提議、示錯、安排，及時給出正確評價.
例如：空間幾何體的體積.
問題：底面積、高分別相等的柱體體積之間有怎樣的關系？那么如何求柱體的體積？它們的體積是多少？
數學實驗：取一摞書放在桌上，將它們堆放成長方體，再用手推一下改變一下形狀——平行六面體，這時高度，每頁紙的面積，你能獲得怎樣的結論？介紹祖暅原理.通過做倒沙實驗得到球的體積公式.
課堂中學生親自動手、思考，為理解探索結果而討論，印象深刻，感受樂趣，體會成功的喜悅.師生溝通合作，形成和諧氣氛.老師精心設計啟發性問題，具體明確、難度適中，通過畫圖、規范書寫等直觀印象使學生對知識的理解盡快從感性認識上升到理性思維.
四、思應用——培養能力
學習知識點后關鍵還在于如何應用，在分析解決問題的過程中讓學生學會反思和自我總結，激發學生潛能.課堂提供了一個很好的舞臺,讓每名學生都有展示自己才華的機會，要啟發學生各抒己見，再因勢利導點評.
先讓學生獨立進行思考，鼓勵學生說出自己的解題思路，讓其他同學給予評價，分析對錯，給出不同解法.本題有綜合法、分析法、比較法、三角換元法、數形結合法、向量法、復數法等多種解法，共同探討，一題多解，拓展思維.
在共同探究過程中，教師要注意對深度的把握，討論不要太過偏離方向.點評要以表揚為主，消除學生的恐懼感，增強他們的自信.解題過程融入數學知識和思想方法，長期思索，必將收益顯著.
五、思結果——樂于探究
作業布置也對數學教學質量產生一定影響，教師應根據學生的個性差異布置作業，體現自主探究的思想，促進學生的自學能力與實踐能力的提高.
例如：向量的應用：
作業布置：
1.在教師提供的練習中自選作業，有最低數量限制.
2.每人搜集一道向量應用的題目或向量創新題.
討論單調性的步驟范文4
關鍵詞：問題驅動教學；教學改革
中圖分類號：H191
[科研課題]本文系黑龍江省教育科學規劃課題“適應高等應用型人才培養《高等數學》課程的改革與創新”課題編號：GZC1211036
目前高職數學教學所面臨的問題
一、要想知道如何解決問題，首先我們要知道問題在什么地方
1、 基于應用型人才培養模式帶來了嚴重的沖擊
2.因材施教——學生給我們帶來的思考
3、源于教學內容基本沒變但學時卻相對減少
二、問題驅動式的內涵
所謂學問，就是從問題出發探索真理，任何科學研究都是由問題驅動的，問題驅動式教學就是把問題作為教學的出發點，通過設計的問題引發學生的認識沖突，激發學生求知欲，并通過問題的引導，讓學生探索新知識。其內涵就是通過質疑、探究與情景的和諧統一，把培養學生的問題意識，提高學生提出問題、分析問題、解決問題的能力貫穿于教學的全過程。
三、問題驅動式教學法在高職高等數學教學中的應用
本文以函數的單調性和極值教學為例，說明問題驅動教學法的幾個教學環節：
教學環節一、設置問題，激發興趣，引出本節課的理論教學；
引出上節課所留的應用題，此題有背景資料，即讓學生通過自學了解導數在經濟學中的應用，同時此題也是一個引例，引出本節課所要學習的函數的單調性和極值的概念。
應用題：某段電話線的架設其總成本滿足函數 （ 為架設線路長度，單位為 ，成本單位為萬元），試分析當線路長度分別為 和 時的邊際成本，說明含義，再求出成本最低時的線路長度。
師：在總結學生做題的同時，引出函數圖像和函數導數的圖像。
[設計意圖]：此題為二次函數，學生可以通過初中的知識來求解此題。借此題來尋求判斷函數單調性的更一般的方法，用導數來判斷函數的單調性。引出本堂課的教學內容，請同學觀察此函數圖像和函數的導數的圖像，借此得出函數的單調性和導數符號之間的關系。
教學環節二、理論知識教學
一、單調性的判別法
1、定理（略）
例：
師生共同討論做題。
師：請學生借助Matlab軟件，畫出此函數圖像。
[設計意圖]：以圖輔數，通過學生自己繪制的函數圖形加深對定理內容的理解，對定理產生認同感，增強對定理實用性的理解。
1、 問題：請同學觀察圖像，找出單調性改變點處有什么特點。
[設計意圖]：以圖輔數，通過教師的引導，學生的總結，給出極值的定義。
二、函數極值及其求法
1、極值定義（略）
2、極值點的注意事項：
以判斷題的形式將極值點概念的注意事項涵蓋其中，做此題后，請學生總結極值點的注意事項。
3、極值點的判定
問題：結合黑板上的圖像同學們請同學們總結，極值點都出現的位置有什么數學特征。學生會找到極值點的必要條件。
問題：導數為0的點一定是極值點嗎？我的圖像（ ）里還有導數為0的點，你能通過圖像特征看出它在哪里嗎？
注意：個別導數為0的點，不影響函數的單調性。
[設計意圖]：學生往往認為導數等于0的點就是極值點，以圖輔數，使學生對知識有更深層次的理解，即個別導數為0的點不影響函數的單調性。引出極值點的充分條件。
問題：那么現在我們可以得出求函數單調區間和極值的步驟，請同學來總結一下。
[設計意圖]：讓學生梳理所學知識點，將所學知識系統化，得出結論。
4、求函數單調區間和極值的步驟
5、例題及練習題師生共同完成。 使學生掌握求函數單調區間和極值的方法，同時學習書寫格式。 鞏固練習，糾正錯誤，團隊做題，以強帶弱。
教學環節三：運用新知，解決問題
在本環節中，讓學生再做一個具體案例題目，進一步提高學生分析問題和解決問題的思路和能力，讓學生在分析、解決問題的過程中，一方面加深對理論知識的理解和運用，另一方面提高自己的實務能力。
教學環節四：核心知識點總結與作業
讓學生談談在解決具體問題的過程中是如何分析問題的？在解決問題的過程中遇到了哪些問題？最后怎么解決的？讓學生對所學知識進行整理、鞏固、消化、吸收。教師也要進行小結，幫助學生梳理知識點，鞏固所學。最后，一定要留有課后作業。
四、問題驅動式教學中應注意的問題
1、問題的設計要有應用性和趣味性，要提出好的問題。
例如在“導數概念”這一節課的教學中，我設計的問題為：
設某商品的總收益 是銷售量 的函數 ，求當銷售量為50個單位時的總收益變化率，并解釋其經濟意義.
微積分處理的就是增量分析問題。分析增量x，y，這是微積分的靈魂?？蓪τ趧偨佑|微積分的學生，對增量x的感受是“一頭霧水”。有了上面的問題，增量就可以理解了。作為經銷商，他首先要考慮的問題是，在銷售量為 時，在 的基礎上調整銷量x時，市場的反應（收益的增減量y）如何？研究的是x與相應的y的關系y=f（ +x）-f（ ）。
此題中 ，所以 。其經濟意義為：在銷售量為50個單位的基礎上，如果再多銷售一個單位，總收益將增加64個單位。有了上面的問題，增量就可以理解了。從考察變量之間的關系，到認識增量之間的關系，完成這一飛躍，才真正理解微積分。
2、問題驅動的形式多種多樣，也不必每一節課的教學都要問題驅動，不能因為是問題驅動式教學“硬來”，太拘泥于形式主義，弄巧成拙，作繭自縛。所提出的問題也要恰當，應根據學生的特點及認知水平設計問題，問題始終保持在欲知未知、半生不熟的中等強度上，這樣才能激發學生去思考、去解決問題。
例如：在函數的凹凸性及拐點的教學中，我就是讓學生觀察邏輯斯蒂曲線，
曲線如圖所示，其反映了一般產品的成長過程、耐用消費品的變化規律等。函數是單調增加的，讓學生通過觀察得出，在 的兩側增加的規律有所不同。在 的左側函數是隨著的變化其增加幅度大，而在 的右側函數隨著x 的變化其增加幅度小。從而給出函數凹凸的概念。
討論單調性的步驟范文5
一、要想實現高效課堂，教師首先有效地做好課前的準備
1.讓統計數據說話，知己知彼，避免無的放矢。
測試過后，教師應做好數據的分析工作，把每個學生的試卷都拿來逐一分析，在閱卷時詳細記錄下每個同學的典型錯誤，對學生的錯誤進行整理，在講評卷也能起到有的放矢的作用。
2.小組討論――重參與、?；?、共同進步。
根據教室的布局，我們通常把學生分成4人一小組（前后位，不固定名單，隨著班級的座位表變化）。我們認為每個學生都有自己的過人之處，無論成績好壞，都會給小組提供養分。我們的目的就在于加強同學之間的交流，增強學生的自信心，加強學生的表達能力。這樣下來，一套試題有一大部分的題目都在同學們的討論中消化了。當然還有一些題目是小組內的懸疑。這些問題根據不同組的學習能力差異會有所不同，但又個別題目是比較統一的（老師在評卷時就能分析出這種情況）。所以，教師應該在學生討論的過程中流動地參與到每一個小組，發現問題，指導學生解決問題（接下來在課內進行詳細講評的題目可以先不解答）。通過討論，學生在互相交流中加深對知識的理解，也增強了題目在課堂上的參與性，提高了學習效率。
二、學生是課堂的主角，把講臺讓給學生
1.讓學生“上臺講課”
以學生說題為主，暴露過程，避免以教代學。所謂“說題”，就是在試卷講評課上，要求某一學生面向全體同學，依據所學知識，經獨立思考后，對試卷中相關題目的命題意圖、審題情況、涉及知識、試題類型、答題規范等進行闡述的過程。
具體操作：
步驟一：課前確定“說題”學生，并要求他們作好充分準備。
步驟二：課堂上先由學生說意圖、說審題、說知識、說答案、說題型、說反思等。同時，其他同學可進行補充、修改、完善。然后教師根據學生的“說題”進行點評、點撥。
2.教師評講――把握好兩大原則
2.1分門別類，集中評講
評講試卷時，不必按題號順序進行，可以采用分類化歸集中評講的方法。
一是涉及相同知識點的題，集中評講。一份試卷中總會有些考題是用來考查相同的或相近知識的（特別是單元測試卷），對于這些試題宜集中起來進行評講，這樣做可以強化學生的化歸意識，使他們對這些知識點的理解更深刻，同時節省時間，提高了課堂效率。如《因式分解》章節測試時，可以按它的提公因式法、公式法、因式分解法及分組分解進行分類評析。
二是形異質同的題，集中評講。形異質同的題是指教學情景相異但數學過程本質相同或處理方法相似的試題。這類過程本質相同或處理方法相似的試題宜集中進行評講。如判斷一元二次方程根的情況和判斷二次函數的圖像與x軸交點的情況，看似兩個不同的題型，其實質都是根據“b2-4ac”的值進行的判斷。
三是形似質異的題，集中評講。形似質異的試題是指數學情景貌似相同，但數學過程本質卻不相同的試題。對于這類試題也宜集中評講。要指導學生透過表面現象看內在本質，注意比較異同，防止思維定勢產生的負遷移。如：
已知P是AB邊上的一點，過P點作直線截ABC所得小三角形與ABC相似的直線有幾條？ （ ）
A 1 條 B 2條 C 3條 D 4條
此題形似運用三角形相似的定理“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的三角形與原三角形相似”，但又超出了這個定理。
2、抓典型，講透徹，舉一反三
在學生試題中反映出來的一致問題，教師將對它進行詳細的解答。在點評過程中，教師應對知識進行歸納、方法進行總結。教師通過個別題目的講解，使學生理解知識更透徹，掌握解題方法。
這個小題主要考查分段函數的單調性的基本概念。所以，教師在講解的過程中先引導學生復習一下單調性的基本概念。然后，我們再與學生復習判斷函數單調性的常用方法――定義、圖像、導數等。最后，我們使用以上方法解決問題。
方法一、要使f（X） 在 上單調遞增，則函數的每一個部分都是遞增的，得到① ，② ，即 。還有一個容易忽略的條件，第一段的最大值小于第二段的最小值才能保證函數滿足單調性的定義，得到 ，故答案選C。
方法二、利用圖像
由分段的單調性可知 。
通過畫圖，對一次函數進行上下移動，讓學生得到一個直觀的體會，也驗證了方法一。
方法三、特殊值法
在ABCD所給出的答案中選取特殊值代入原函數進行檢驗。例如，a=1，a=2，a=3，a=4 等。這種方法比較適合這種類型的題目――通過答案可以比較明確地找到特殊值。最后，進行變式訓練，著重在審題、知識串聯、方法上進行鞏固。
三、及時反饋，注重評后鞏固
討論單調性的步驟范文6
摘要：本文主要從五個方面通過舉例來闡述定義域的作用，強調定義域在解有關函數問題重要性，培養學生嚴謹敏銳的思維能力。
關鍵詞：函數 定義域 對應法則
函數是中學數學教學的主線，是中學數學的核心內容，也是整個高中數學的基礎。函數的定義域是構成函數的三大要素之一，是確定函數圖象與解析式的關鍵，在函數中有著很重要的作用?？此坪瘮档亩x域（或變量的允許值范圍）非常簡單，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。現就函數定義域的作用小結如下：
一、確定函數關系式
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得：
故函數關系式為：.
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量 的范圍：
即：函數關系式為： （ ）
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。
二、確定函數最值
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：
例2：求函數在[-2，5]上的最值.
解：
當 時，
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，沒有注意到定義域的限制。
其實以上結論只是對二次函數在R上適用，而在指定的定義域區間 上，它的最值應分如下情況：
⑴ 當時， 在 上單調遞增函數
；
⑵ 當時，在上單調遞減函數
；
⑶ 當 時， 在上最值情況是：
，
.即最大值是 中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
函數在[-2，5]上的最小值是- 4，最大值是12.
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便很容易做出。
三、確定函數值域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例3：求函數的值域.
錯解：令
故所求的函數值域是.
剖析：經換元后，應有，而函數在[0，+∞）上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1.
故所求的函數值域是[1， +∞）.
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。
四、確定函數單調性
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：
例4：指出函數 的單調區間.
解：先求定義域：
函數定義域為.
令，知在 上時，u為減函數，
在上時， u為增函數。
又 .
函數在上是減函數，在
上是增函數。
即函數 的單調遞增區間，單調遞減區間是。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解。
五、確定函數奇偶性
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數 的奇偶性.
解：
定義域區間[-1，3]關于坐標原點不對稱
函數是非奇非偶函數.
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：
函數 是奇函數.
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。
綜上所述，在確定函數關系式、最值（值域）、單調性、奇偶性等問題中，定義域起著至關重要的作用，若能思辨函數定義域有無改變（指對定義域為R來說），對解題結果有無影響，不忽略定義域在函數中的作用。就會避免解函數問題的一些錯誤。
參考文獻：
[1]王岳庭主編.數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集.北京：海洋出版社.1998
