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培養數學思維能力范文1
數學思維是對數學對象（空間形式、數量關系、結構關系等）的本質屬性和內部規律的間接反映，并按照一般思維規律認識數學內容的理性活動。
數學思維能力主要包括四個方面的內容：
（1）會觀察、實驗、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；
（2）會用歸納、演繹和類比進行推理；
（3）會合乎邏輯地、準確地闡述自己的思想和觀點；
（4）能運用數學概念、思想和方法，辨明數學關系，形成良好的思維品質。
新課標指出：數學課程，其基本出發點是促進學生全面、持續、和諧地發展。它不僅要考慮數學自身的特點，更應遵循學生學習數學的心理規律。數學在提高人的推理能力、抽象能力、想象力和創造力等方面有著獨特的作用。新課標確立了知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀三位一體的課程目標，將素質教育的理念體現在課程標準之中。通過引導學生主動參與、親身實踐、獨立思考、合作探究，從而實現向學習方式的轉變，發展學生搜集和處理信息的能力、獲取新知識的能力、分析解決問題的能力，以及交流與合作的能力。
新課標關注的是數學課程目標，它包括：數學素養、數學知識與技能、數學思考、解決問題、情感與態度，注重學生經驗、學科知識和社會發展三方面內容的整合，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步和發展。
二、學生數學思維受阻的原因
根據個人經驗，參考有關資料，我認為學生思維受阻的主要原因有以下幾點：
（1）數學思想方法缺乏。由于學習方法的缺乏而嚴重制約學生的有效思維的狀況普遍存在。
（2）學習目標確定不當。影響了學習效果，使得數學思維發展的速度無法加快。
（3）思維惰性造成思維模糊。思維指向模糊主要表現在對關鍵信息感知把握不準，思維指向性模糊，出思維的惰性。觀察只停滯在感知表象中，即使撞上關鍵信息，也不能加工形成有價值的反饋信息，致使思路受阻，從而懶于動腦，久而久之，養成了思維的惰性。
（4）思維慣性造成思維機械。思維的慣性常伴隨著思維的惰性而存在，學生在解數學題時，常尚未看清題意，見術語，便羅列公式，生搬硬套；見數據，便代人演算，拼湊解答等。
三、如何學生的數學思維能力
（1）找準數學思維能力培養的突破口。心理學家認為，培養學生的數學思維品質是培養和發展數學能力的突破口。思維品質包括思維的深刻性、敏捷性、靈活性、批判性和創造性，它們反映了思維的不同方面的特征，因此在教學過程中應該有不同的培養手段。
思維的深刻性既是數學的性質決定了數學教學既要以學生為基礎，又要培養學生的思維深刻性。數學思維的深刻性品質的差異集中體現了學生數學能力的差異，教學中培養學生數學思維的深刻性，實際上就是培養學生的數學能力。數學教學中應當教育學生學會透過現象看本質，學會全面地思考問題，養成追根究底的習慣。
數學思維的敏捷性主要反映了正確前提下的速度問題。因此，數學教學中，一方面可以考慮訓練學生的運算速度，另一方面要盡量使學生掌握數學概念、原理的本質，提高所掌握的數學知識的抽象程度。因為所掌握的知識越本質、抽象程度越高，其適應的范圍就越廣泛，檢索的速度也就越快。另外，運算速度不僅僅是對數學知識理解程度的差異，而且還有運算習慣以及思維概括能力的差異。因此，數學教學中，應當時刻向學生提出速度方面的要求，使學生掌握速算的要領。
為了培養學生的思維靈活性，應當增強數學教學的變化性，為學生提供思維的廣泛聯想空間，使學生在面臨問題時能夠從多種角度進行考慮，并迅速地建立起自己的思路，真正做到“舉一反三”。教學實踐表明，變式教學對于培養學生思維的靈活性有很大作用。如在概念教學中，使學生用等值語言敘述概念；數學公式教學中，要求學生掌握公式的各種變形等，都有利于培養思維的靈活性。
創造性思維品質的培養，首先應當使學生融會貫通地學習知識，養成獨立思考的習慣。在獨立思考的基礎上，還要啟發學生積極思考，使學生多思善問。能夠提出高質量的問題是創新的開始。數學教學中應當鼓勵學生提出不同看法，并引導學生積極思考和自我鑒別。新的課程標準和教材為我們培養學生的創造性思維開辟了廣闊的空間。
批判性思維品質的培養，可以把重點放在引導學生檢查和調節自己的思維活動過程上。要引導學生剖析自己發現和解決問題的過程；學習中運用了哪些基本的思考方法、技能和技巧，它們的合理性如何，效果如何，有沒有更好的方法；學習中走過哪些彎路，犯過哪些錯誤，原因何在。
（2）教會學生思維的方法。現代教育觀點認為，數學教學是數學活動的教學，即思維活動的教學。如何在數學教學中培養學生的思維能力，養成良好思維品質是教學改革的一個重要課題?？鬃诱f：“學而不思則罔，思而不學則殆”。在數學學習中要使學生思維活躍，就要教會學生分析問題的基本方法，這樣有利于培養學生的正確思維方式。要學生善于思維，必須重視基礎知識和基本技能的學習，沒有扎實的雙基，思維能力是得不到提高的。
數學概念、定理是推理論證和運算的基礎。在教學過程中要提高學生觀察分析、由表及里、由此及彼的認識能力；在例題課中要把解（證）題思路的發現過程作為重要的教學環節，僅要學生知道該怎樣做，還要讓學生知道為什么要這樣做，是什么促使你這樣做，這樣想的；在數學練習中，要認真審題，細致觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會運用綜合法和分析法，并在解（證）題過程中盡量要學會用數學語言、數學符號進行表達。
此外，還應加強分析、綜合、類比等方法的訓練，提高學生的邏輯思維能力；加強逆向應用公式和逆向思考的訓練，提高逆向思維能力；通過解題錯、漏的剖析，提高辨識思維能力；通過一題多解（證）的訓練，提高發散思維能力等。
（3）善于調動學生內在的思維能力。一要培養興趣，讓學生進發思維。教師要精心設計，使每節課形象、生動，并有意創造動人情境，設置誘人懸念，激發學生思維的火花和求知的欲望，還要經常指導學生運用已學的數學知識和方法解釋自己所熟悉的實際問題。
培養數學思維能力范文2
關鍵詞：分析能力；邏輯推理；能力培養；關系；途徑；方法
中圖分類號：G630 文獻標識碼：A 文章編號：1003-2851（2012）02-0040-01
數學具有抽象性、精確性以及應用的廣泛性三個特點。在生活實踐中，到處都用到數學。因而通過對數學問題的解答，不僅可以使學生理解數學知識在生活實踐中應用的情況，而且通過對問題的分析、解答，集中地培養了學生的觀察力、分析能力等。我們應結合自身的教學經驗、結合教材，創造性地挖掘資源，并進行加工整理，充分地運用各種教學資源、手段、有計劃、有重點、有針對性地培養學生的思維能力。
一、思維能力培養過程中要處理好的幾種關系
1.死板的概念性教授與活躍的興趣教學。小學、初中是學生邏輯思維能力形成、培養的關鍵階段，另外根據學生的年齡特征，教師在教學要潛移默化地去化“有形”為“無形”，化“被動”為“主動”，化“記憶”為“活動”，化“師生”為“朋友”地參與到學生能力培養的過程中去，從而使他們能更主動、積極地去學習。
2.教學過程中的學生“錯誤”解答與“正確”解答。許多教師在教學中都有過這樣的經歷，學生回答的問題往往令你大為惱怒，明明講得很清楚的內容，居然還是出了錯誤。這時我們如果能順著學生的錯誤去進行邏輯反問，也許既能解決學生的問題，又能讓更多的學生了解到思維能力的巨大力量。
3.正確處理“過程”與“結果”的關系。數學教學中，許多教師往往只注重將數學結論傳授給學生，而忽視數學結論、公式，產生的推導過程。也正因為如此，重視思維過程，從能力培養來講就顯得尤為重要。教師對每節課教學內容的設計除了要安排好復習導入、新授講解、鞏固練習等大層次外，還要理清每個大層次中的小層次。例如：教學矩形的判定，通過示范，把平行四邊形通過轉化成矩形，由觀察轉化過程，并且通過分析，最后概括、推理出矩形的判定定理。這樣的教學設計充分利用了學生已有的知識，找到未知轉化為已知的有效途徑，符合學生的心理特點和知識認知水平。通過對“過程”的詳細講解，和學生的參與推導，培養了學生的邏輯思維能力。
二、思維能力培養的途徑
1.鼓勵學生質疑問難，在教學過程中，有意識地設計一些情景，引導學生啟發性思維，培養邏輯思維能力。
學生不會質疑問難是許多教師的普遍反映。判斷題的設計則有助于改變學生存在的這一問題，并有助于學生比較能力的培養。例如：（1）a2與2a一定相等。（2）相等的角是對頂角。通過這些題型的設置，既訓練了學生的初步判斷、推理能力，又煅煉了學生的深入觀察、認真比較、多方聯想、分析結合能力的培養。
2.激發興趣，快樂學習是另一種思維能力培養的重要途徑。
快樂地學習、自覺地學習、帶著興趣地學習是能力培養的一個重要前提，巧設練習，增加實用性與趣味性。為達到這一目的，可以從趣味、新穎、探索、好奇心、成功、物化等方面去激發學生興趣。
三、思維能力培養的方法
1.動手，培養探索思維。在數學教學活動中，教師引導學生掌握知識的過程是指人類的知識成果轉化為個體認識的過程，如果教師能為他們創設一個實踐操作的環境，讓學生動手擺一擺，弄一弄，促使多種感官參加活動，從而加大接受知識的信息量，使之在探索中對未知世界有所發現，找到規律，并能運用規律去解決新問題，讓他們盡可能地感受獲取成功的愉悅，產生不斷探求的動力。
2.求活，培養求異思維.學生思維的廣闊性表現在解題時達到“熟中生巧，巧中生竅”。要提高學生的解題能力,培養學生的求異思維，必須讓學生靈活掌握解題的基本思路和方法，從多方面去分析研究，找出問題的實質，這可從兩方面下功夫。
3.質疑，培養想象思維。古希臘哲學家亞里斯多德說過：“人的思維是從質疑開始的”。質疑問難是探求知識，發現問題的開始，愛因斯坦也曾說過：“提出一個問題比解決一個問題更重要”。因此從學生的好奇好問，求知欲強等特點出發，積極培養學生勤于思考問題，敢于提出問題，善于解決問題的好習慣是培養學生創造性思維的前提，教學中鼓勵學生大膽質疑、大膽想象，尋找新的解題方法，往往會出現“柳暗花明”的現象。
總之，學生有較強的數學思考能力是學生靈活解決拓展提高題的基礎和保證。要提高學生的思考能力，學生必須要有一個正確對待思考的態度，要注重學生思考的過程，培養學生濃厚的思考興趣。讓學生在體驗中學習，不斷培養學生的創新思維能力，使學生有自己獨特的思考能力和靈活解決問題的能力。培養學生的邏輯能力，不能要求學生立刻就如何如何，但只要我們在教學中注重細節，從多方面去指導、幫助，只要堅持訓練，必然會有較多的學生逐步能夠進行有根有據的思考和獲得有條理地說明、分析問題的能力。
參考文獻
[1]郭思樂、喻偉著，數學思維教育論[M].上海教育出版社，1997.
[2]席振偉著，數學的思維方式[M].江蘇教育出版社，1995.
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眾所周知，數學教學是數學活動的教學.學生在教師的組織、引導、合作下，主動思考、動手實踐、合作交流、積極探索，在掌握知識、習得方法的同時，發展學生的數學思維能力.那么如何設計豐富多彩的數學活動，激發學生思考、主動探索、發展其數學思維能力哪？
下面談一下培養學生數學思維能力的策略.
一、 問題驅動策略
問題是思維的起點，也是問題的終結點.在數學教學中通過提出具有啟發性、探索性、開放性的問題，可以明確學生思維的方向，促進學生思維的發展.
例如，學習“圓周角”一節時，學生已經學習了圓心角的概念，這時教師可以在同一平面內，分別畫出角的頂點在圓外、圓上、圓內（包含圓心）的三種情況.
問題1：點A在O外，點B、B、B在O上，點C在O內，則∠A、∠B、∠B、∠B、∠C應該分成幾類？為什么？
問題2：探究同弧所對的圓周角與圓心角之間的數量關系.
操作：（1）畫出一個任意O及O上的任意兩點A、B（如圖2）；
（2）畫出所對的圓周角.
研討：所對的圓周角有多少個？它們可以分成幾類？
歸納：（1）通過操作，學生會發現所對的圓周角有無數個（如圖3）；（2）在所對的無數個圓周角中，可分為三類：圓心在圓周角的一邊上（如圖4①）、圓心在圓周角的內部（如圖4②）、圓心在圓周角的外部（如圖4③）.
操作：（3）在圖4中，設所對的圓周角為∠ACB，并畫出所對的圓心角∠AOB（如圖5）；
研討：（1）圖5中，哪一幅圖最簡單？∠ACB與∠AOB有怎樣的數量關系？（2）另兩幅圖中是否也有相同的規律？你打算怎樣研究？
經過思考，學生不難發現圖5①較簡單，∠ACB=∠AOB，通過研討、交流學生會認識到需將圖5②、③化歸為圖5①，從而構造出過C點的直徑（如圖6）.
最后得出“同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角是它所對的圓心角的一半”.這樣設計有助于學生思考、解決問題，有助于激發學生的求知欲，活躍課堂氣氛.由此可見，問題是驅動學生思維的“催化劑”.
二、 創造性思維策略
所謂創造性思維，是指思維活動的內容、途徑和方法的具有高度的獨創性.它的思維方式不是孤立的、單一的，而是刻意創新的思維，是一種獨創思維.它常常能打破常規的思維方式，放射性的聯想，產生一種新穎、獨特和前所未有的思維成果.
例如：求運算式+++…+的值（結果用n表示）.
教師可以引導學生:
（1）設計如圖7所示的正方形求+++…+的值；
（2） 設計如圖8所示的三角形求+++…+的值.
總之，培養學生的思維品質與學生思維能力的發展是不可分割的.只有發展了思維的廣闊性、敏捷性，才能揭示事物本質，思維的創造性、批判性才能更好的體現出來，學生的思維能力才能更好地的發展.
三、 抽象思維策略
概念、判斷、推理是抽象思維的三大形式，在教學中概念的理解和掌握是抽象思維的基礎，只有在概念掌握的基礎上進行正確判斷，進而進行推理，達到發展抽象思維的目的.
如：“ m2+1994m是一個平方數，求m的最大整數值”，需要使學生掌握正整數、完全平方數的概念的基礎上做出判斷.
要使m2+1994m是一個平方數，可設m2+1994m=x，而x＞m，故存在正整數k，使x=m+k，于是m2+1994m=（m+k）2=m2+2mk+k2，
只須求出k即可，推理過程為：
m=.
因為m＞0，所以1994-2k＞0 ， 即k＜997.
因為越大，k2越大，而1994-2k越小，
所以k取996，取得所求最大整數為m==496008.
四、 強化語言表達策略
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一、從具體的感性認識入手，積極促進學生的思維
在數學基礎知識教學中，應加強形成概念、法則、定律等過程的教學，這也是對學生進行初步的邏輯思維能力培養的重要手段。然而，這方面的教學比較抽象，加之學生年齡小，生活經驗缺乏，抽象思維能力較差，學習時比較吃力。學生學習抽象知識，是在多次感性認識的基礎上產生飛躍。感知認識是學生理解知識的基礎，直觀是數學抽象思維的途徑和信息來源。我在教學時，注意由直觀到抽象，逐步培養學生的抽象思維能力。
如在教學“角”這部分知識時，為了使學生獲得關于角的正確概念，我首先引導學生觀察實物和模型，如三面板、五角星和張開的剪刀、扇子形成的角等，從這些實物中抽象出角。接著再通過實物演示，將兩根細木條的一端釘在一起，旋轉其中的一根，直觀地說明由一條射線繞著它的端點旋轉可以得到大小不同的角。并讓學生用準備好的學具親自動手演示，用運動的觀點來闡明角的概念，并為引出平角、周角等概念做了準備。
二、設置情境，誘發學生積極思維
“問題”是數學的載體，而設計一個好問題則更是激發學生思維火花的催化劑。亞里士多德認為：“思維自疑問和驚奇開始。”在數學教學過程中，教師要善于設疑才能激起學生的積極的思維，再通過釋疑、解決問題等環節，使學生實現掌握知識、開發智力和形成良好思維習慣的目標。
三、引導猜想，培養學生的思維品質
猜想是一種創造性思維活動，它可導出新穎獨特的思維效果。在數學課堂教學中，教師要引導學生勤于猜想，敢于猜想，善于猜想，鼓勵學生思考，讓他們自由想象，從而達到培養學生的創造性思維能力。
1.通過猜想，培養思維的獨創性
現代教學是發生在教師和學生之間互相傳輸信息的過程，因而在教學方法上，教師必須最大限度地調動學生的學習積極性，鼓勵他們“標新立異”，激發他們猜想更好的方法。
2.通過猜想，培養思維的發散性
發散思維是創造思維的重要組成部分。它不受一定的解題模式的束縛，從問題個性中探求共性，尋求變異，沿著不同方向、不同角度去猜想、延伸、開拓。在數學教學中，一般可采用一題多解的訓練，培養和鍛煉思維的發散性?？傊?，引導學生從多種角度、不同方向思考問題，這不僅培養學生靈活運用知識的能力和解題技巧，而且可以發揮學生的獨特見解，增強思維發散性的輻射力。此外，一題多變、一空多填等訓練，同樣也能培養和鍛煉學生發散性思維品質。
3.通過猜想，培養思維的靈活性和敏捷性
“好動、好想、好奇”是學生共同具備的心理特征。教師應抓住學生這一心理特征，鼓勵學生大膽猜想，使學生自覺地溝通數學知識的縱橫聯系，挖掘隱含條件；巧妙地構造某個數學對象，迂回轉化；靈活地運用各種思維方法和方式，找出解題的各種途徑。
四、新舊聯系，提升學生的思維層次
數學知識具有嚴密的邏輯系統。就學生的學習過程來說，某些舊知識是新知識的基礎。新知識又是舊知識的引申和發展，學生的認識活動也總是以已有的舊知識和經驗為前提。在此類知識教學中要盡可能復習有關的舊知識，充分利用已有的知識來搭橋鋪路，引導學生運用知識遷移規律，在獲取新知識的過程中提升學生的思維層次。
例如，在教學《梯形的面積》一課時，我先復習平行四邊形面積公式推導的方法，然后根據梯形面積公式推導的方法與平行四邊形面積公式推導的方法相似，進而采用平行四邊形面積公式推導的方法來推導梯形面積的公式。先將圖形轉化成已經會計算面積的圖形，然后通過探索研究圖形與已學圖形之間的聯系，從而找出梯形面積的計算方法。這樣既能引導學生復習舊知識，又把新知識納入原來的知識系統，使前后知識得到有機銜接，融會貫通，豐富了學生的知識，提升學生的思維層次。
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【關鍵詞】實踐活動；興趣；思維情境
《數學課程標準》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有知識經驗基礎之上。教師應激發學生的學習積極性，向學生提供充分從事數學活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數學知識和技能、數學思想和方法，獲得廣泛的數學活動經驗。因此，數學教學過程中，教師要有意識地為學生創造條件，讓學生通過參加教學實踐活動，發現、理解和掌握知識，使思維能力和智力水平得到提高。
一、在實踐活動中提高學生學習興趣
興趣是學生學習的直接動力，它是求知欲的外在表現，它能促進學生積極思考、勇于探索。學生通過參加教學實踐活動可以極大地提高學習興趣，使他們在學習過程中獲得成功的體驗。
例如：在講授判定三角形全等的邊角邊公里時，我先讓每個學生利用直尺和量角器在白紙上作一個ABC，使∠B=20，AB=3cm，BC=5cm，并用剪刀剪下此三角形，然后與其他同學所作三角形進行對照，看看能否重合，這時學生們會發現是能夠重合的。接下來讓學生改變角度和長度大小再做三角形，剪三角形并對照，這樣學生自然會發現每次所作三角形都能夠完全重合，此時教師啟發學生總結出：如果兩個三角形有兩邊和夾角對應相等，那么這兩個三角形全等，即“邊角邊”公理。通過同學們的動手操作，既活躍了課堂氣氛，激發了學生的學習興趣，又使抽象的數學知識蘊于簡單實驗之中，使學生易于接受新知識，促進學生認知理解。
二、在實踐活動中加深對概念、性質的理解
數學概念、性質、定理等具有高度的抽象性和概括性，如果讓學生直接理解，肯定會存在很大困難，所以在數學教學中，教師應該為學生提供一些實物、模型、教具、教學軟件等豐富的學習材料，讓學生有充分的時間對具體事物進行操作，使他們獲得學習新知識所需要的具體經驗。通過自己的思維活動來形成對概念的理解，而不是通過機械的重復，記住教師講述的那些關于概念、性質的現成解釋，這樣學生所獲得的知識才是全面的、清晰的、牢固的。
三、創設實驗型思維情境，啟迪學生思維，培養思維能力
動手實驗能直接刺激大腦進行積極思維，它不但能幫助學生理解所學的概念，還能讓學生通過親身實踐真切感受到發現的快樂。因此，在數學教學中，教師應盡可能為學生提供概念、定理的實際背景，設計定理、公式的發現過程，讓學生的思維能夠經歷一個從模糊到清晰，從具體到抽象，從直覺到邏輯的過程，再由直觀、粗糙向嚴格、精確的追求過程中，使學生體驗數學發展的過程，領悟數學概念、定理的根本思想，掌握定理證明過程的來龍去脈，增強數學學習的自覺性，使學生在對概念形成過程的分析中，在對公式、定理的發現過程的總結論證中，提高主動參與的機會，以便學生在“做數學”過程中啟迪思維，突破教學難點。
四、通過數學實驗手段，為學生提供不斷探索創新的條件
數學新課程有新的理念，要讓所有的學生學到有價值的、富有挑戰性的數學知識，讓所有的學生學會用數學思維思考，并積極參與數學活動，數學知識最初都產生于實踐活動，初中階段的學生正處于智力成長的臨界期，動手操作能促進大腦發育和思維發展，也就是使學生變得越來越聰明，只要讓學生親自動手操作一下，先從中得到感性認識，進而不斷地比較、分析、概括，上升為理性認識，再利用自己的語言正確表達，學生就會有所體驗，有所收獲。
五、設計開放性試題，讓學生在實踐中提高創新思維能力
現代心理學認為：在教學時應設法為學生創設逼真的問題情景，喚起學生思考的欲望。在教學實踐中，我們如能讓學生置身于逼真的問題情景中，體驗數學學習與實際生活的聯系，學生也會品嘗到用所學知識解釋生活現象以及解決實際問題的樂趣，感受到借助數學的思想方法，會真正體會到學習數學的樂趣。因此在教學實踐中，我盡量做到在數學教學過程中加強實踐活動，使學生有更多的機會接觸生活和生產實踐中的數學問題，認識現實中的問題和數學問題間的聯系與區別。
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關鍵詞: 數學教學 數學思維 培養策略
數學在其漫長的發展過程中,不僅建立了嚴密的知識體系,而且形成了一套行之有效的思維方法。數學思維是數學的核心,它是以數學知識為素材,通過歸納抽象、演繹證明,以及模式構建等手段,對客觀世界的空間形式與數量關系進行判斷,進而形成理性思維。數學教學實質上就是學生在老師的指導下,通過學習已有的思維活動的成果來培養自己的數學思維能力。因此,如何培養學生的數學思維能力是數學教學的核心。本文在對一些主要的數學思維方法進行分析的基礎上,提出了培養學生的數學思維能力的幾個主要培養策略。
一、主要的數學思維方法
1.辯證思維。
辯證思維就是有效地運用事物之間對立性和統一性,通過聯系和轉化從而解決問題的思維方法。數學中有著大量的對立統一的概念、法則、方法,比如從特殊到一般,從局部到整體,從常量到變量,等等。因此,解決數學問題常運用到辯證的思維方法。
例如:證明1005>2009!。
直接證明該問題還是有一定難度的,但是注意到:
1005=,
則原問題就轉化為如下不等式的一個特例。
>n!。
而這個不等式易由算術平均數與幾何平均數的關系來證明。即:
==>=,
因此有:>n!。
進而當n=2009時,則得到原來不等式的證明。
本題運用了特殊問題一般化的辯證思維方法,將具體問題推廣為一般性的問題,由于一般性問題有時更能突出事物的本質,故而比特殊問題更容易解決。
2.聯想思維。
聯想是由一個事物聯想到另一個事物的心理過程,是問題轉化的橋梁。解數學題時,由此及彼的聯想,對于拓展我們的思維,開發我們的智力有著重要的作用。聯想思維的一般過程是:解題前根據題意充分注意命題的結構,條件與結論的特征,然后聯想有關定義、定理、公式,以及常用的解題方法和技巧,等等。
例如:已知0
如果只把思維限于不等式的性質及證明方法的小圈子里,缺乏豐富的聯想意識,那解決該題就有一定的困難。但是通過觀察可知目標式左邊三項的共同點是形如式子,于是,我們很容易聯想到公式|x+yi|=,x,y∈R。
因此有:
=|a+bi|,
=|(1-a)+bi|,
=|a+(1-b)i|。
再利用不等式
|z|+|z|+|z|+|z|≥|z+z+z+z|,
可得:
++
=|a+bi|+|(1-a)+bi|+|a+(1-b)i|
≥|a+bi+(1-a)+bi+a+(1-b)i|
=|2+2i|=2。
本題的解法很巧妙,實際上只要我們對所學的公式能熟練掌握、融會貫通,解題時展開豐富的聯想,就會有意想不到的效果。
3.類比思維。
類比思維就是根據兩個(或兩類)對象之間某些方面的相似或相同,從而推出它們在其他方面也可能相似或相同的一種邏輯思維方法。
例如:已知等差數列{a},前n項和S=m,前m項和S=n,求數列{a}的前n+m項的和S。
注意到等差數列的前n項和可以看成關于n的一個二次函數S=An+Bn,其中A,B為系數。則由題意得:
S=An+Bn=m,S=Am+Bm=n。
因此,解上述關于A,B的二元一次方程組可得:A=-,B=。
進而簡單計算可得S=-(m+n)。
4.化歸思維。
“化歸”是轉化和歸結的簡稱,其基本思想是:將待解決的問題A通過某種轉化手段歸結為另一個問題B,再通過對問題B的解決而得到原問題A的答案。
例如:求如下函數的最大值:
y=sinx+cosx+sinxcosx。
直接求解該問題還是有一定難度的,但是令sinx+cosx=t,那么有sinxcosx=0.5(t-1)。
進而可得y=0.5(t+1)-1。另外注意到-≤t≤,所以當t=時,y取最大值為0.5+。
另外還有很多種其它的數學思維方法,這需要我們在數學教學與學習的過程中,慢慢積累,細細口味,才能靈活運用。
二、數學思維的培養策略
從以上分析可以看出數學思維方法在數學解題中有著重要的地位。在進行解決數學問題時,盡管所用的數學思維方法不一定相同,但是有一個共同的規律,那就是在待解決的問題和已解決的問題之間架起一個聯系的橋梁。因此,數學教學的價值不僅局限于幫助學生獲得書中的知識,而且要有幫助于學生數學思維能力的培養和提高。下面我給出培養學生數學思維能力的一些教學策略。
1.注重發展學生的觀察力,培養創造性思維。
觀察力是人類智力結構的重要組成部分,良好的觀察力是培養數學思維的基礎。沒有觀察就沒有發現,更談不上有創造。所以,在數學教學中有目的、有計劃、持久地進行觀察力的培養,能有效地提高學生的數學創造能力。因此,敏銳的觀察力是創造性思維的“起步器”。
2.注重發展學生的想象力,培養聯想思維。
通過想象幫助理解問題的實質,揭示某些被掩蓋特征,使思想產生聯動性,從而溝通命題的結論與條件的邏輯關系。所以教師要珍惜學生的好奇心,采取一切可能的措施,努力把學生的想象激活起來,改善他們的思維空間,實現學生認識能力的飛躍和突破,促進學生想象能力的發展,從而達到培養學生的聯想思維能力的目的。
3.加強對學生發散思維能力的訓練,培養發散思維。
發散思維能力是指人們解決問題的思維朝著各種可能的方向擴散,使思考者不拘泥于一個途徑,一種方法,而是從各種可能的設想出發,求得各種符合條件的答案。加強發散思維能力的培養,是培養和發展學生數學思維的重要環節。
4.加強對學生逆向思維能力的訓練,培養辯證思維。
逆向思維是相對于正向思維而言,是從已有的習慣思路的反方向去思考和分析問題。逆向思維是擺脫思維定勢,突破舊有思想框架,產生新思想,發現新知識的重要思維方式。所以,加強對學生逆向思維能力的訓練,能激發學生辯證思維的能力。
5.加強對學生轉化思維能力的訓練,培養化歸思維。
轉化思維是在解決問題的過程中遇到障礙時,把問題由一種形式轉換成另一種形式,使問題變得更簡單、更清晰的一種思維方式。即對于某些一般、抽象或復雜的問題,似乎無從下手,但如果對它們進行必要的轉化,創造出簡單的解題方法,問題就迎刃而解了。這有利于培養學生數學解題的化歸思維能力。
6.注重習題教學是培養各種數學思維能力的重要途徑。
數學思維方法本質就是在各種知識之間架起一座橋梁。因此,為了培養學生的數學思維能力,在習題教學過程中,教師要做到一題多解,一題多疑,一題多變。教學實踐告訴我們,選講的習題不在量多,而在于質精。對于典型習題,要注意從知識的縱橫聯系上剖析和尋求解題途徑,促使學生的思維向多層次、多方位發散,進而能打破習慣程序,擺脫思維定勢的束縛,對所面臨的問題能初步地進行去粗取精、去偽求真的剖析。
7.完善教學評價標準是培養學生數學思維能力不可缺少的因素。
傳統數學評價偏向以課本知識為唯一的標準,偏重速度和熟練,忽視了對學生思維能力的評價。因此,學生評價要鼓勵學生敢于打破習慣思維程序而賦予研拓創新的意識。
三、結語
加強數學思想方法的教學是數學教育現代化的關鍵,因此,在數學教學過程中培養學生的數學思維能力尤為重要。本文通過常用數學思維方法進行分析,提出了數學思維能力的培養策略。總之,培養學生數學思維能力,就要使他們在生動活潑、饒有興趣的學習中發展發展提高數學思維能力。我認為這才是數學教學的出發點和歸宿點,也是當前數學教學改革的一個核心問題。
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