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用漢語“若,則”指稱的充分條件關系(sufficientcondition,即必然關系,用符號表示)跟刻劃真值函數關系的實質蘊涵關系(materialimplication,簡稱蘊涵,用符號→表示)之間是風馬牛關系。這個自然語句的邏輯語義是:若A為含有的式(formula),B為把A中的用→替換后得出的式,則AFB(讀作A風馬牛B),即,(AB)∧(AB)∧(BA)∧(BA)。換個通俗的說法,風馬牛關系就是徹底的偶然關系,或者說,是最偶然的最偶然關系。 AFB有一項邏輯性質:若A、B間的真值搭配為全搭配,則AFB必真。故而,只要證明A、B間的真值搭配為全搭配達就證明了本文的論題。要對A、B舉出同真、同假、A假B真的例子,是不難的。亦即,我們只需再添上A真B假的實例,就完成了AFB為真的證明。含有1個號的(CD)(即C!D———C可能D)在C真而D假時可真(如,“路濕可能下雨”在事實上路濕而不下雨時也為真);然而,與之相應的變換后的(C→D)卻和C∧D等值,在C真D假時為假。含有兩個號的(CD)∧(CD)(即COD———C偶然D)可真;然而,與之相應的變換后的(C→D)∧(C→D)卻與C∧D∧C∧D等值,恒假。 下面,我們再作一次證明:設A為(p(x)q(x))r(x),于是,相應的B為(p(x)→q(x))→r(x)。以“物體”為論域。令:p(x)表示“x的溫度為100℃”,q(x)表示“x熔化”。我們用下表列出實例: “若x的溫度為t℃時則x熔化,必然,x的熔點不高于t℃”(α)為物理定理。不論x取何物,t為幾攝氏度,α常真?？墒?“若x的溫度為t℃時則x熔化,必然,x的熔點高于t℃”(β)與常真的物理定理α相反對,常假。然而,一經把上述物理定理α及其反對命題β中指稱充分條件關系的“若、則”、“必然”變換成純真值的“蘊涵”后,常真的物理定理α就變成可假,而常假的反對命題β卻變成可真了。用這種真假飄忽不定的實質蘊涵來取代固若金湯的充分條件(或必然)關系,實在是邏輯史上的誤會。 必須指出:即使當A、B同真時,這也只不過是一種徹底偶然的風馬牛的巧合。因為,在這種時候,A、B兩者的邏輯語義(決定A、B所以為真的邏輯依據)仍然根本不同:A說的是“若p則q;必然,r”。A是常真的一般的物理定理;當指定溫度t為100℃、物體x為一塊冰棍時則為A的個別例。象具有A這樣的邏輯語義的語句,凡是學過物理學中熔點的定義的人都聽得懂,說得出。可是,實事求是而不故弄玄虛地說,與A相應的B(即(p→q)→r)的邏輯語義是:不是:“不是‘p真而q假’”真而r假。具有這種邏輯含義的語句,占人口99.999999%的人是聽不懂、不會說的。鑒于絕大多數的人從來不需要產生具有這種邏輯含義的思想,因而,不曾學會應該怎樣來形成和陳述這種話語。在這種情況下,B盡管和A同為真,然而,其邏輯語義要說相干,也不過是風馬牛相干。 我們所進行的是邏輯學的實事求是的科學討論,不是茶余飯后的隨便閑聊。經過論證,我們獲得的結論是:(1)在經驗科學的意義上,或者說,當把具有不同邏輯含義的?(充分條件)和→(蘊涵)分別應用于經驗科學時,AFB。我們稱這種情況為和→之間的經驗的風馬牛。(2)在邏輯科學的意義上,經過分析,獲得的結果是:傳統形式邏輯推理格式和正統數理邏輯形式定理之間的關系仍然是風馬牛。這個自然語句的邏輯語義是:若A為傳統形式邏輯命題形式的符號表達式,對A中指稱分充條件(或必然關系)的用?表示的“若,則”替換成實質蘊涵→后得出正統數理邏輯符號表達式B,則:“A有效”風馬牛“B有效”。 這個結論的證明是輕而易舉的。請看下表(其中的符號├、┤分別表示有效、不有效,分別讀作“柵”、“反柵”):這就證明了:(├A)F(├B) 在表中,我們在緊接各式的下邊同時寫出用自然語言表述的相應的式的邏輯語義。當有(├A)F(├B)時,對象序號1的A1、B1這樣的實例,雖然A1、B1都有效,可是只不過是一種偶然,甚而是一種風馬牛的巧合!這時候,A1、B1的邏輯語義仍然不同,亦即,A1、B1有效的依據完全不同:A1由于有兩個獨立性因而能從已知獲取新知,而B1沒有兩個獨立性因而不能從已知獲取新知,而是同語反復的重言式。稍作進一步的恒等變換就能看出,B1的前件C(C→D)和CD等值,前件中已經知道D了,還去推D干什么!后件D對于前件C(C→D)(即CD)來說怎么可能是新知? 這樣,我們已經證實了:第一,在經驗科學的范圍內,含有表述充分條件(即,必然)關系的聯結詞“若…則…”的命題A,如果將其中的“若…則…”用“蘊涵”替換得到B。此時,如果A與B相干也只是風馬牛相干。第二,在邏輯科學的意義上,含有以充分條件(即,必然)關系為邏輯語義的邏輯號?的傳統形式邏輯符號表達式A,一旦將其中的號替換成蘊涵號→后得出數理邏輯的符號表達式B,這種情況下,如果A與B的相對于各自的語義的邏輯有效性相干仍然不過是風馬牛相干!這鐵的事實證實了:用數理邏輯的蘊涵號→取代經驗科學或傳統形式邏輯中具有兩個獨立性的充分條件的,是絕對行不通的! 甚至,更具有說服力的是,用數理邏輯的蘊涵號→取代數理邏輯自身的元語言中所使用的“若…則…”,仍然是絕對行不通的!!在數理邏輯中有一系列原始規則和導出規則,這些規則通常都用“若…則…”來表述。我們都知道,作為形式系統的規則“若A則B”中的“若…則…”的邏輯含義是:可提供一個從A到B的形式證明。這就是說,可以寫出一個含有A且以B為結尾的式的有限系列,其中,除A外的每一個式,或者是公理,或者是以在前面出現的式為假設使用一次原始規則得出的結果。非常明顯,這樣的“若A則B”不是A、B的真值函數,亦即,“若A則B”成立與否不取決于A、B本身的真值,而是取決于能否寫出具有上述性質的被稱為“形式證明”的式的有限序列。事實上,這些在數理邏輯論著中出現的“若…則…”具有兩個獨立性:(1)第一獨立性———可獨立于A、B本身是否定理而確定不會A是定理而B不是定理;(2)第二獨立性———A是定理可獨立于B是否定理確定?？梢?數理邏輯元語言中所使用的“若…則…”就是表述充分條件的?,而不是蘊涵→。如果要說數理邏輯作為研究對象的蘊涵→跟元語言中作為研究工具的“若…則…”()之間有什么相干,那仍然不過是風馬牛相干!#p#分頁標題#e# 我們用事實來證明這個論斷。請看下表: 我們來看例2,“若A,則xA”作為一個非純真值的復合命題,只有一個意思,而且是真的(其含義和真值不取決于在A中出現的個體變元的取值、和A及xA本身的真值)。這就是說,在“若A,則xA”中沒有個體變元的自由出現,其本身也不是其前后件的真值函數?？梢?這種“若,則”不僅不是其前后件的真值函數,而且,能對其在前后件中的A中自由出現的個體變元x、y起約束作用(此二者具有內在聯系)。然而,倘若在A中有自由出現的個體變元x,那么,x在A→xA中有自由出現,故而,其意義和真值隨自由出現的個體變元x的取值而定,當A為可假時,xA若為閉命題,則為假,于是,A→xA可假。 再來看例3,由于既不可能寫出從C到D的形式證明,又不可能寫出從D到C的形式證明(此二者都可以獲得元證明,而且是一回事———同義),因而,既不成立“若C,則D”,又不成立“若D,則C”,這兩個“若,則”都不是真值函數,其不成立都不取決于C、D本身的真值;可是,作為真值函數,C→D、D→C(此二者不同義)中至少有一為真,因而,復合真值函數(C→D)∨(D→C)恒真。 可見,在數理邏輯元語言中作為研究工具使用的“若,則”跟被它所研究的“蘊涵”絕然不同,而跟為傳統形式邏輯所研究的表述充分條件(即必然關系)的“若,則”卻完全一致,其邏輯語義也為:可獨立于前后件的真值確定不會是前真而后假。 順便提及一下近些年來極為流行的一種現狀:把“必然”、“可能”稱為“模態詞”,從而把研究“必然”、“可能”的邏輯稱為“模態邏輯”(modallogic)。我們在這里要用事實證實的是。所謂的“模態邏輯”其實并不研究普通邏輯思考中的必然、可能。形形色色的“模態邏輯”中的模態詞其實和普通邏輯思考中的必然、可能之間的關系也是風馬牛關系。我們暫且不說我們所見到的各種模態系統總是跳脫不出引入量詞的巢臼和把模態詞總是放在一個命題之前而不置于兩個命題之間這兩點弊病,徑直用事實來驗證“模態邏輯”和傳統形式邏輯之間的風馬牛關系。以很有代表性的路易斯的S4系統為例,請看下表:表中的“成立”、“不成立”是指;是否邏輯有效。 在模態邏輯S4系統一欄中,出現的符號-(可念作“魚鉤”)為S4中的“嚴格蘊涵”號,其邏輯語義為“必然A→B”,而所謂的“必然”則是指“恒真”?？梢?這種作為“模態詞”的“必然”不僅是1元的,而且,還深深地植根于真值函數之中,是一種特殊的、恒真的真值函數的性質:可是,普通邏輯思維中的“必然”則有一獨(有時還具有二獨),既不是真值函數,也不是恒真真值函數的性質。因此,“模態邏輯”中的“模態詞”跟普通邏輯思考中的“必然”、“可能”如果要說相干,也仍然不過是風馬牛相干。正因為如此,我們在討論“必然”、“可能”并進而討論“偶然”、“風馬牛”時,就始終不曾使用“模態”這個被嚴重污染了的詞語。實際情況是:不僅實質蘊涵跟必然之間只是風馬牛關系,就是嚴格蘊涵、模態詞跟必然之間也只是風馬牛關系?？陀^存在是嚴峻的,然而這的確是事實! 盡管如此,近些年來,企圖用數理邏輯“改造”或“取代”傳統形式邏輯的主張和行為越演越烈!華裔美籍數理邏輯家王浩曾經深刻地指出:“形式系統(數學的———引者注)的令人感興趣的用途是對形式系統進行探討,得出關于形式系統的一般結論(因為它們是形式的),例如剛才陳述的Lowenheim-Skolem定理(若在狹謂詞演算形式系統F的框架中表述的任一個形式系統確有模型,則它就有可數模型),以及下面即將考察的Godel不完全性定理(第一不完全性定是:對任一個數論的形式系統S來說,在S中構造不可判定的數論問題的方法是給定的。第二不完全性定理:在包含初等數論的古典數學形式系統S內不能證明S的協調性)等。認為研究數理邏輯首要的是從事形式思維,這是一種通常的誤解”[1]這就是說,建立數理邏輯兩個演算形式系統,其目的并不在于推導出一系列系統中的形式定理來給人們在普通邏輯思維中當作思維形式使用,而是在于把整個形式系統作為研究對象,討論作為整體的形式系統具有什么性質。采用元邏輯得出的關于系統的元定理是就是用來揭舉整個形式系統的性質的。通常,形式系統需證出一定數量的系統內的形式定理,然而,這是為去得出關于系統的元定理做準備的。數理邏輯家胡世華、陸鐘萬也指出“構造形式數學系統的目的不是在于進行形式推理,而是在于把形式系統本身作為對象加以研究,例如在§53中將要陳述的哥德爾不完備性定理就是通過這種研究而獲得的。”[2]正統數理邏輯的根本使命在于構造數學的形式系統,以便把整個形式系統作為研究對象來討論元數學問題。而傳統形式邏輯的主要目的則是向人們提供作為從已知獲取新知的工具的推理格式,指導人們在認識世界和改造世界中去獲取新知的過程中有效地進行推理論證。與數理邏輯研究不同,構造符合人的普通邏輯思維的當代形式邏輯公理系統的目的則包括兩個方面:第一,去獲取符合人的普通邏輯思維的形式推理;第二,同時也要把形式公理系統本身作為對象進行研究。林邦瑾在《制約邏輯》(貴州人民出版社1985年出版)中已經這樣做了,我們在即將出版的《當代形式邏輯及其在人工智能中的應用理論研究》中展開Cm系統和Cn系統時也是這樣做的。 十分顯然,我們的結論是,企圖用數理邏輯“改造”或“取代”傳統形式邏輯是一種常識性錯誤。