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【摘要】在分析高等數學教學過程中存在的主要問題和案例式教學優點的基礎上，提出了案例式教學的設計原則和設計步驟．結合個人教學實踐分析，對高等數學實踐式教學改革繼續深入提出了一些觀點．
【關鍵詞】高等數學;案例;設計原則;教學改革
高等數學是為高等院校理工科專業本科生開設的一門數學基礎公共課，其目的在于培養專業人才所必備的數學素質．
一、當前高等數學教學中存在的問題
在高等數學教學過程中，大多學生認為高等數學內容抽象難懂、對高等數學的學習興趣低．很多學生沒有意識到學習高等數學的必要性，只是為了應付考試．在數學教學過程中，不但要使學生理解數學知識，更重要的是使學生掌握知識的內涵，獲得專業學習與工作中應用數學的能力．近年來的教學實踐中發現，與知識點對應的應用案例對高等數學的教學有較大幫助．通過應用式案例的實施，可以提高學生對知識的理解、豐富教學內容、活躍課堂氣氛，并能夠有效地提高學生應用知識的能力．
二、案例式教學的設計原則與設計步驟
近年來筆者在案例式教學過程中發現，案例式教學雖然具有提高學生興趣、加深知識理解和提高知識運用能力的優點，但也需要有針對性地設計好教學內容，否則容易產生增加學生困惑、降低知識學習興趣、影響教學進度等負面效果．
(一)案例式教學的設計原則
在應用案例設計方面，需要依據以下原則:1．具有針對性．案例的選擇要有助于抽象、難點知識的理解．案例要與知識點有較強的關聯，要能夠反映出知識點的本質內涵．2．簡易性．案例的選擇要使絕大部分學生能夠比較容易地理解案例的內容，理解案例中是如何應用數學知識解決問題的．不宜選擇理論性強，學生難以理解的案例．3．高效性．目前全國高校普遍存在壓縮高等數學課時情況，而教學內容又不能大幅度減少，教學任務重．案例教學需要額外的課堂時間，所以應用案例的講解不能占用較多的教學時間，否則將影響教學進度．4．趣味性．應用案例應是學生感興趣的內容，提高學習的興趣，激發學生的學習熱情．5．有效性．通過應用案例的講解，能夠加深學生對內容的理解，提高學生知識的應用能力．
(二)案例教學的設計步驟
在案例式教學的過程中，通常設計的步驟如下:1．通過與師生交流和問卷調查，找出教學存在的問題．首先通過與一線教師和學生進行面對面的交流，研究高等數學教學中，哪些內容是學生最理解的，學生達到了什么樣的理解程度和應用能力．在此基礎上，設計調查問卷，對工科不同專業的學生進行問卷調查，得出教學過程中的難點、需要理解透徹的重點和學生理解模糊的知識點，為“應用式案例”教學提供基礎．2．根據教學存在的問題，撰寫相應的應用式案例教學內容．結合專業實際，針對教學內容，搜索應用案例．不同專業的學生背景知識不同，對內容的興趣程度也不同，所以要針對所教學生的專業，有針對性地按照案例式教學的設計原則選擇案例．3．將應用式案例應用于高等數學課堂教學中，進一步完善應用式案例教學模式．編寫選定的應用案例教案和課件，并在教學過程中進行教學實踐．教學實踐中，從學生對知識的理解程度、興趣程度以及數學應用能力三個方面對教學的效果進行評價．總結“應用式案例”教學的經驗．對發現的問題及時地加以解決．
三、案例式教學的實踐
(一)泰勒公式在圖像模糊識別中的應用
通過調查發現，師生普遍認為在高等數學知識中泰勒公式是最復雜的內容，學生難以理解公式內涵．由于學生難以理解，很多教師講授泰勒公式時常常一帶而過，怕講得越多，學生聽得越糊涂．在教學過程中，筆者引入了圖像模糊識別的應用案例．將人臉圖像看成一個函數．一個人的臉既有與前一日或前一段時間大多相似的特征，又有小的差別．不可能采集到完全相同的圖像．對兩幅圖像進行泰勒公式展開應用，用前些項系數描述一個人的特征，達到既能夠區分不同人，又具有抵制個人小的變化的識別能力．通過這個例子，學生感受到了泰勒公式的魅力，理解到泰勒公式系數內涵與實用方法，達到了良好的效果．
(二)二重積分在“六步尺度空間”分析方面的應用
在二重積分的教學中，學生往往只注重掌握計算方法，不懂應用價值．筆者選擇了社會關系網和互聯網中普遍存在的有趣“六度分隔理論”應用案例．1967年，哈佛大學的心理學教授StanleyMilgram做過一次連鎖信實驗，實驗結果顯示，如果你要和一個隨機的陌生人通信，你大約只需要6個相互認識的中間人傳遞，就可以將信息送達你要通信的陌生人．后來人們發現，六度分隔理論現象在電影演員合作關系、相互發送Email關系、甚至電線桿的連接關系等關系網中普遍存在．筆者介紹了一種使用二重積分計算六度分隔理論的方法．將一個人的背景映射為二維平面空間中，若兩個的背景相似性距離為r，則兩人認識的概率為e－r．然后介紹了用二重積分計算證明六度分隔理論合理性的方法．學生對這個問題很感興趣，通過這個案例使他們懂得了二重積分不僅能解決連續多元函數問題，而且能解決非連續的實際問題．并了解到非連續性函數向連讀函數的轉換方法，較大程度上提高了學生應用知識的能力．
四、結束語
由于教學內容的理論化與抽象化使得高等數學的教學存在著課堂枯燥，學生學習興趣低、應用知識能力差等問題．本文在分析產生問題的基礎上，探討了案例式教學的設計原則和設計步驟．通過案例教學的實例，展現了案例式教學的應用效果．
作者:張連寬 魏福義 夏英俊 趙峰 單位:華南農業大學數學與信息學院
