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概率統計技巧范文1
對于很多學習數學的高中生來貨說，對于高中數學來說，概率題型是比較讓人頭疼的，它是高中數學中比較需要邏輯思維能力的，那么接下來給大家分享一些關于高考數學概率題解題技巧，希望對大家有所幫助。
高考數學概率題解題技巧高中數學的高考概率解答題是高考的六道大題之一，也是難點之一.由于其題型變化多端，故很多學生經常容易混雜，甚至束手無策.本文旨在通過題型分析，形成一套完整的體系構架，從而使學生胸有成竹，對概率題答題有個更全面的認識和掌握.
解高考概率問題，首先要分清問題涉及到的概率類型，如等可能型，互斥型，相互獨立型，還有幾何概型，每種類型都有相應的處理方法。
平時做題的時候廣泛使用表格法，使有關內容、解題方法和技巧一目了然;從浩瀚的題海中歸納、總結出的題型解法，對解題具有很大的指導作用;用系列分析對教材的重點、難點進行詮釋，對掌握這方面知識起到事半功倍的效果.
(1)在具體情境中，了解高中數學隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，進一步了解概率的意義以及頻率與概率的區別。(2)通過實例，了解兩個互斥事件的概率加法公式。(3)通過實例，理解古典概型及其概率計算公式，會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。(4)了解隨機數的意義，能運用模擬方法(包括計算器產生隨機數來進行模擬)估計概率，初步體會幾何概型的意義。(5)通過閱讀材料，了解人類認識隨機現象的過程。
高考數學統計題(1)隨機抽樣
①能從現實生活或其他中提出具有一定價值的統計問題。②結合具體的實際問題情境，理解隨機抽樣的必要性和重要性。③在參與解決統計問題的過程中，學會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本;通過對實例的分析，了解分層抽樣和系統抽樣方法。④能通過試驗、查閱資料、設計調查問卷等方法收集數據。
(2)用樣本估計總體
①通過實例體會分布的意義和作用，在表示樣本數據的過程中，學會列頻率分布表、畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖(參見例1)，體會他們各自的特點。②通過實例理解樣本數據標準差的意義和作用，學會計算數據標準差。③能根據實際問題的需求合理地選取樣本，從樣本數據中提取基本的數字特征(如平均數、標準差)，并作出合理的解釋。④在解決統計問題的過程中，進一步體會用樣本估計總體的思想，會用樣本的頻率分布估計總體分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征;初步體會樣本頻率分布和數字特征的隨機性。⑤會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想，解決一些簡單的實際問題;能通過對數據的分析為合理的決策提供一些依據，認識統計的作用，體會統計思維與確定性思維的差異。⑥形成對數據處理過程進行初步評價的意識。
(3)變量的相關性
①通過收集現實問題中兩個有關聯變量的數據作出散點圖，并利用散點圖直觀認識變量間的相關關系。②經歷用不同估算方法描述兩個變量線性相關的過程。知道最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程。
高考數學算法的含義、程序框圖題(1)①通過對高中數學解決具體問題過程與步驟的分析(如，二元一次方程組求解等問題)，體會高中數學概率題算法的思想，了解算法的含義。②通過模仿、操作、探索，經歷通過設計程序框圖表達解決問題的過程。在具體問題的解決過程中(如，三元一次方程組求解等問題)，理解程序框圖的三種基本邏輯結構：順序、條件分支、循環。
(2)基本算法語句經歷將具體問題的程序框圖轉化為程序語句的過程，理解幾種基本算法語句--輸入語句、輸出語句、賦值語句、條件語句、循環語句，進一步體會算法的基本思想。
概率統計技巧范文2
關鍵詞： 線性代數與概率論（統計） 教學改革 案例教學 應用能力
數學課是高等院校中理工、經管類各專業學習的基礎理論課，其開課目的在于培養各專業人才所必備的數學素質，也為學生后續專業課的學習打下堅實的基礎，其重要性是不言而喻的。近年來，獨立學院的專業設置多彩紛呈，對數學基礎課提出多元化、小型化、分散化的要求，同時要求精簡學時提高效率。線性代數與概率論（統計）自然也不例外。獨立院校學生的數學基礎相對薄弱，這就對數學教師在線性代數與概率論（統計）課程的教學提出了更高的要求。以東莞理工學院城市學院為例，機械設計制造及自動化、安全工程、物流管理、工商管理等專業都開設了線性代數與概率論這門課程，學時安排48。教什么？怎么教？如何讓學生在這48學時中把該學的知識掌握好，這是作為數學教師的我思考最多也是最難的問題。
一、現狀分析
線性代數與概率論（統計）是把兩門應用性非常強的課程合而為一。不管是線性代數還是概率論（統計）都過于強調細節而將理工、經管等學科中所需要的豐富的數學內容排除在外。現有線性代數與概率論（統計）教材偏重于“現成結論的應用”，而忽視了數學教育是引導學生實現數學再發現再創造的教育發展規律，“應用”這一塊還應該在教學中強化。此外，由于沒有數學實驗缺乏實踐的機會，使得理論和實踐嚴重脫節。一些學生經常問老師數學有什么用，學生看不到應用就認為沒有用，就沒有了學習興趣，這就影響到學生應用數學的能力和數學素質的提高。
在教學方法上，線性代數與概率論（統計）這種應用性很強的課程，過于注重概念、定理的推導和證明，過于注重計算和解題的技巧，一味使用傳統的填鴨式教學導致學生覺得這門課程過于抽象無法理解，該學的學不到。東莞理工學院城市學院的學生本來抽象能力就不是很強，這樣過于偏重證明和解題技巧的教學使他們非常難以接受。這完全不符合培養學生創新能力和應用能力的初衷。
原先的線性代數與概率論（統計）都是兩門單獨的課程，各方面都不覺得有壓力。但現在線性代數與概率論（統計）只有48課時，“夠用為度”不好把握。課時的嚴重壓縮對線性代數與概率論（統計）產生的教學壓力非常大。
二、教學思考
根據上述現狀和出現的問題，提出以下幾點建議和措施，希望對做好線性代數與概率論（統計）課程的教學提供一些幫助。
（一）調整教學內容
在教學內容的選擇上要以“淡化理論，夠用為度”為指導思想。傳統的線性代數或者概率統計的教學過多地強調數學的嚴密性和理論的嚴謹性，教師花大量時間用于定理的證明、方法的推導或者解題技巧的講解，只注重傳授知識，往往缺乏對知識的學以致用。因此，教學效果一直不好，學生普遍感到學起來很吃力。這樣的教學導致學生應用意識不強，只知道套公式套方法解書上的習題，這叫讀死書。線性代數與概率論（統計）是應用性很強的學科，它的生命力和發展動力在于它與其他學科的密切聯系，沒有了這種關系，線性代數與概率論（統計）就成了無源之水，無本之木，產生不出有意義的問題和方法[1]。如果在教學中，教師不讓學生了解線性代數與概率論（統計）在本專業的應用，不提高學生用線性代數與概率論（統計）的知識解決實際問題的能力，這顯然不符合獨立學院培養高水平應用型人才的目標。我們應該重新調整、更新教學內容，以適應應用型人才的培養。教學內容的選擇要淡化理論，突出基本，使學生學好該學的，為應用打下堅實的基礎;教學內容要注重理論與實際的結合，強化培養學生的應用能力。
線性代數與概率論（統計）第一部分是線性代數。線性代數定理多、符號多、計算方法多且麻煩，且前后內容交錯，行列式、矩陣、向量、線性方程組，一學期下來學生都搞不清楚這些內容的聯系，也不知道學了些什么、有什么用。其實在這四部分內容當中，行列式、矩陣、向量及向量組都是求解線性方程組的基礎。線性方程組才是線性代數這門課程的中心。因此，在線性代數這部分內容，首先確定以線性方程組為中心[2]，在求解線性方程組的方法中引入行列式和矩陣的概念，并以矩陣秩的概念給出線性方程組有解的充要條件。對任何一個線性方程組，在有解的情況下，我們都能利用初等變換求出它的全部解。那么在線性方程組有無窮多個解的情況下，解與解之間的關系又如何呢？能否利用有限個解表示這無窮多個解呢？而要解決這兩個問題，我們必須討論向量組的線性相關性的有關理論。由此可見，以線性方程組為主，可以將行列式、矩陣、向量組等概念聯系起來。這層關系必須給學生指明。其次可講一次線性方程組的應用專題，結合學生的專業性質，選取一些應用實例，讓學生充分認識到線性代數的應用點，同時培養學生應用線性代數解決實際問題的能力。
線性代數與概率論（統計）第二部分是概率論（統計）。概率論（統計）是研究隨機現象的規律性的一門數學課程。理論嚴謹，應用廣泛，是理工和經管類部分專業一門重要的基礎理論課。對于這樣一門應用性很強的學科，應注重學生數學素質的培養，使學生掌握概率論與數理統計在社會實踐中的重要性，這樣學生才會下定決心學好這門課程。在教學內容的選擇上除了基本概念和方法外，還可融入很多實際生活中的實例。因為概率論（統計）的產生來源于生活，從生活中很容易找到生活中的實際問題作為教學素材激發學生的學習興趣。
（二）改進教學方法
1.結合專業特點，引入案例教學。
學生普遍感覺線性代數與概率論（統計）教學枯燥乏味，緣由就是教學太過抽象，教學方法單一?？稍诮虒W中引入實際案例，充分調動學生的主觀能動性，主動學起來。在線性代數教學中，可引入線性方程組在各學科中的應用，如（工科專業）在物理電路中的應用、（經濟管理專業）在經濟平衡中的應用、在減肥食譜中的應用，等等。結合專業特點，講講一些實際生活中的例子可以拉近課程與學生之間的距離，讓學生了解原來數學離我們并不遠。這樣就激發了學生的學習興趣，一舉兩得。
2.變填鴨式教學為互動啟發式教學。
在教學過程中提出一些思考性和啟發性都很強的問題，引導學生們自己分析、研究和討論，讓學生自己發現問題，分析問題，然后解決問題[3]。在線性方程組的應用專題或假設檢驗中，我們完全可以讓學生思考，如何對問題進行數學建模，作出假設，求解問題。
（三）編制課程學習指導書
線性代數與概率論（統計）這門課程開課已久，但適合獨立學院學生的課程學習指導書倒是少之又少。因此，我們可編制線性代數與概率論（統計）的學習指導書，在書中不僅要列出知識要點，而且要編制配套的例題和習題，輔導學生學好這門課。
三、結語
“要給學生一桶水，老師先要有十桶水”。如果要做好線性代數與概率論（統計）課程的教學工作，教師就一定要多下苦功。教學相長，除了教師在教學方法和內容的改進外，教學還需要學生的主動配合。希望教師在實踐中能多總結出一些教學經驗，促進教學工作的進步。
參考文獻：
[1]陳曉紅.概率論與數理統計教學探索[J].南京航空航天大學學報：社會科學版，2005，7（2）：84-86.
概率統計技巧范文3
1.概率——沒有偏題怪題
概率方面，出題的方向和題目的類型也都完全在預料之內，沒有偏題怪題。只要考生有比較扎實的基礎，復習全面，是很容易拿到高分的。細致地分析起來，今年的題目有這樣幾個特點：
一是依舊強調對概念的理解。如數學一和數學三的填空題，都是考查概念。數一的第七題，考查對概念的進一步理解。只要掌握好概念，客觀題是很容易拿到分數的。
二是仍以計算為主。如在正確掌握概念的基礎上，還是以計算為主。無論是數一數三的解答題還是客觀題，每道題都需要計算。所以計算還是我們考試的主體。
三是考查學生的分析能力。如數學一的第8題，就考查我們的分析能力。直接根據概念做是做不出來的，需要分析出他們的關系，從而解出最后結果。還有數三的第8題，需要先分析出X+Y=2的所有可能情況，然后才能得出正確結果。
概率論與數理統計和高等代數不同，高等代數中計算技巧多一些，而概率論與數理統計概念和公式比較多，對計算技巧的要求低一些，但對考生分析問題的能力要求高一些，概率論與數理統計中的一些題目，尤其是文字敘述題要求考生有比較強的分析問題的能力。
要達到考試的要求只要公式理解的準確到位，并且多做些相關題目，考卷中碰到類似題目時就一定能夠輕易讀懂和正確解答。概率論與數理統計中的公式不僅要記住，而且要會用，要會用這些公式分析實際中的問題。我在這里推薦一個記憶公式的方法，就是結合實際的例子和模型記憶。比如二項分布，要結合他的實際背景，伯努利試驗中成功的次數的概率。這樣才是在理解基礎上的記憶，記憶的東西既不容易忘，又能夠正確運用到題目的解決中。只有掌握了最本質的概念，在此基礎上做一定量的題去鞏固所學知識。這樣才能對概念的理解更加到位，從而做題更加輕松快捷準確。
2. 線性代數——增加試題的靈活技巧性
縱觀這次的線性代數考題，在掌握基礎知識和具備一定的計算功底的基礎上，又增加了試題的靈活性和技巧性，需要學生對知識間的聯系熟練掌握，這點達到了，在線代拿高分不難。2013年考研數學中線性代數部分的兩道大題一道考在矩陣方程這一部分，另一道考在二次型這一塊，與以往出題方式有點不同。
第20題(數一、數三)表面上考矩陣方程，實質上是線性方程組求解的問題?？疾閷W生的思維能力，需要學生對各知識模塊熟練掌握且能靈活應用知識間的聯系，這類考法在線性代數里不是很常見，難度雖不大，但是需要學生有思路。因此如果能轉化到線性方程組求解，這個題就很容易做了。
第21題(數一、數三)，考查的是二次型，第一問是求二次型的矩陣，這個問題沒有難度，但是有較大的計算量，需要學生有一定的計算功底，且需要熟練掌握矩陣的乘法，第二問是考查二次型在正交變換下的標準型，這個問題涉及了向量內積、向量正交、實對稱矩陣的正交變換、求矩陣的特征值等幾個知識點，此題綜合性較強，也有一定的技巧性，需要學生能綜合靈活應用所學知識，由于只需要求二次型的標準型，而且是在正交變換下，所以只要求得二次型矩陣的特征值即可，這是此題解題的思路和關鍵，本題集中體現了線性代數命題的特點：涉及的基本概念比較多，不同的概念之間的聯系比較復雜?？忌枰邆浔容^全面的知識儲備才能比較順利地突破考題所設置的所有關卡。
數學一總體評析
考研數學剛剛結束，數學一卷子考點分布均勻，覆蓋了考研數學一各個考點，這跟往年特點吻合，從難度來講，除了個別題目有一些特點之外，總體的感覺還是難度持平，跟往年相比，尤其是跟去年相比持平。這是高數的情況。線代概率的話，線代大題有一道題出得比較新穎，形式上新穎，運算量比較大，概率數一這兩個是非常傳統的題目。
概率統計技巧范文4
網絡教學已經成為新時期教育教學改革的一個重要突破口，其作用已是深入人心，它克服了許多傳統教學中的缺陷和不足，尤其在培養學生創新能力、個性發展方面起到了顯著的效果。《概率統計》網絡教學平臺還有很多潛能等待我們發掘和利用，同時我們臺上傳播的知識進行消化和吸收。因此，如何在信息化、網絡化的教學環境下，更好地構建、運用及深度開發網絡教學平臺，激發網絡教學平臺的交互式能量，是每位高校數學教師密切關注的課題。
二、《概率統計》交互式網絡教學平臺的開發
以我校實施完全學分制為契機，基礎教學學院依托數字化校園的網絡環境，在原有精品課程平臺建設的基礎上，整合我?，F有大學數學課程教學資源，建立了大學數學課程網絡教學大平臺，為教學雙方提供了更好的信息化，網絡化教學環境，為更好地提升我校創新型人才培養水平和教學質量奠定了基礎。對于《概率統計》課程而言，雖然已經建成了《概率統計》精品課程，但由于課堂教學的課時相對較短，與學生的互動環節較少，因此，概率統計教學團隊在對教學資源進行優化整合的基礎上，對網絡教學平臺進行深度開發，改變傳統教學過程中“教”與“學”的關系，實現向交互式的雙向教學方式的轉變。為了更好地適應我?！陡怕式y計》課程的教學要求，我們將整個《概率統計》網絡教學平臺劃分為十個子數據庫:教師隊伍信息庫、教材及教案庫、教學軟件庫、教學課件庫、例題及數據庫、教學視頻庫、數學實驗庫、答疑系統、評價系統及師生互動論壇。
1．教學團隊師資力量強，教師結構合理，既有從事多年有教學經驗的老教師，也有學有所成的碩士與博士，他們教學效果好，工作效率高。在“教師隊伍”中，詳細介紹概率統計教學團隊教師的具體情況，讓學生能夠一目了然地弄清楚每一位教師的擅長點，以及教學風格，為更好地在課程教學中開展師生互動提供了有利條件。
2．教學團隊經過多年的教學改革，積累了豐富的教學經驗和教案，編寫了相關教材，輔導書和習題冊。在“教材及教案庫”中，存儲一些電子教材及一些實用的參考書籍，同時將對應課程的教學大綱、教學日歷、內容簡介，以及各章節的電子教案放入教案庫中，方便學生預習、自主學習。
3．在“教學軟件庫”中，放入概率統計課程的在線備課系統，可以讓教師根據教學需要和學生的實際情況，及時對課程教學中的內容進行修正和完善，使得課程教學更具有針對性和實用性。
4．在“教學課件庫”中，存放概率統計課程的PPT教案，為教師備好每一堂課提供方便。同時，在進行集體備課時，可以從教學課件庫中調出對應的課件，供所有教師參考和探討，集全體教師之智慧和精華，備出更具有針對性的教案。
5．在“例題及試題庫”中，存放概率統計課程的典型例題、同步測試題、綜合測試題以及歷年考研試題。讓學生在學習中及時發現自己存在的不足，及時對相關知識點進行補學和充實，同時也讓勵志考研的同學及時掌握考研的方向，了解清楚該門課程的考研大綱，為學生的考研打好堅實的基礎，吸引更多的學生加人我校的考研隊伍。
6．在“教學視頻庫”中，存放一些與各種概率統計課程相關的教學視頻，同時，對于教學團隊中講課水平特別突出的教師，將他們的部分教學過程錄制成視頻，存放入該視頻庫中。教師可以在休閑的時候隨時點擊這些視頻，學習這些教師的授課技巧。這樣，更有利于加強數學教師的教學素養和提高教學水平，尤其對于剛走上教學崗位的年輕教師，這種視頻更具有實用價值。
7．“數學實驗庫”是一個符合當代教研教改需求的非常具有實用價值的數據庫，針對目前比較流行且簡明易懂的MATLAB軟件，在該數據庫中存入概率統計課程中各章節的數學實驗，編寫部分程序，同時留有實驗題目，讓學生自主編寫。
8．如果學生在自學過程中遇到難題及不懂的知識點，就可以在“答疑系統”中直接詢問老師，沒有必要為了一個問題而跑到辦公室去詢問教師，這樣節省了很多的時間。
9．“評價系統”是一個教師教學評價系統，而教師教學評價是教學質量評價中的重要內容。通過該評價系統，我們可以及時收集教學過程中的相關信息，了解學生的心理動態，及時完善自己的教案，更正自己在教學過程中所存在的不足，提升自己的教學水平。
概率統計技巧范文5
概率統計理論性系統性強，對實踐的要求很高，單靠理論推導是不夠的。在概率統計課程第一節課的教學中，應該結合學生專業特點，通過典型具體的可操作的實例進行入門教學，學生在學習過程中不僅重視知識和技能，也要重視過程、方法、情感體驗、態度、價值觀、學習能力、創新精神和實踐能力等[8]。例如在給計算機專業的學生上概率統計課時，可應用蟻群算法、遺傳算法求解旅行商問題、登山隊中的0-1背包問題等，在求解程序中添加算法搜索迭代進化過程的圖形演示；又如提出問題：在欽州三娘灣，看見白海豚的可能性有多大？等等，啟發學生積極思考，努力探索，初步體會概率統計的應用。運用具體的典型實例，使學生能切實感受到概率統計知識應用的鮮活情景。在教學過程中，教師尋找合適的切入點，通過創設概率統計知識的應用情景，使學生切身感受到所學知識的實際應用，激發學生強烈的學習興趣，體現了“數學建?！?、“數學實驗”的教學思想，反映了“厚基礎，寬口徑，重應用”的教學理念。很多時候，學生對書本以外的與書本相關的知識很感興趣，非?？释私庠S多前沿性的知識內容。通過案例分析，組織討論，學生對算法的機理———概率選擇、全概率公式、貝葉斯公式及其運用必定會產生濃厚的興趣，產生進一步探究的強烈愿望。這樣不僅可以將理論和實際聯系起來，并且通過接觸實際問題，提高學生綜合分析問題和解決實際問題的能力，加深學生對教學內容綜合性、應用性、技巧性和創意性的理解，體現“實踐—認識(理論)—實踐”的螺旋式上升的過程。
2深刻理解概率統計課程的重要性
概率統計知識與日常生活緊密相關，學生可以通過實踐活動來體會概率統計知識的具體應用，感受概率統計知識與現實生活的密切聯系，體驗到概率統計知識在解決實際問題中的作用，獲得學習數據處理的方法，對調動學生學習興趣，培養學生動手能力，培養學生調查研究的習慣和實事求是的科學態度，提高學生合作交流能力和綜合實踐能力都有積極作用。然而由于課時不多，學生往往重視不夠，教師在教學中應想方設法使學生重視概率統計知識，注意培養學生的應用意識和能力。信息時代人們面臨著很多的機會和選擇，往往需要在不確定的情境中，在大量無組織的數據中，做出合理的決策和選擇。如：海洋水域預報，江河、海洋水位預測，天氣預報，債卷的收益評估，股市風險，壽命期望預期，數據的歸一化處理，相關性分析，方差分析等。概率統計在密碼學、信息安全、自動控制、工程設計、管理、天文、氣象、水文、地質、地震、農林、化工等領域有廣泛的應用。各種保險、商品有獎銷售、彩票中獎等機會問題，已成為人們日常生活談論的熱門話題。由此可見，算法知識、概率統計知識的運用已經涉及社會生活的方方面面，與社會需求相適應，以培養符合社會需要的人才為目標的高等教育，應當對教學內容進行適當的調整，適當增加應用性的內容，以使學生更多樹立應用的意識和習慣，提高學生運用所學的知識和方法分析處理發生在身邊的各種事情的能力。
3運用計算機技術輔助教學，改進教學方式
概率統計是十分活躍的、有特色的數學分支，為計算機應用提供方法和素材，有利于拓展計算機技術的應用范圍；同時，計算機技術的發展又促進概率統計的教學，計算機技術極大地延展了概率統計知識應用的深度和廣度，計算機能夠處理大量的信息，通過計算機網絡搜集數據、繪制統計圖表等。兩者結合，能充分發揮各自的長處，相得益彰，體現了現代越來越多的人所接受的觀點：高技術本質上是數學技術。讓學生親自參與各種活動和討論，教師由知識和技能的傳授者變為教學和學習活動的策劃者、組織者、引導者和合作者，學生由被動接受知識和技能的角色轉變為學習和實踐活動的設計者、主持者、參與者和體驗者。通過現代化教學手段，使教師的教學過程更加生動逼真，更加豐富多彩；增加教和學的信息量，使學生更主動地學習，促進教與學的良性互動，有利于學生的學習、理解和掌握。
4理論聯系實際，學以致用，大力開展社會實踐
學生掌握一定的知識后，給予學生學習相應的課程和社會實踐機會。在概率統計教學過程中適當增加實踐內容，培養學生應用所學的知識解決實際問題的意識和能力。對日常生活中遇到的隨機現象，提出問題，讓學生自己嘗試做抽樣試驗，收集數據，用所學到的概率統計方法處理數據，并作出推斷。通過親身體驗，使學生養成應用概率統計知識和計算機技術手段解決問題的意識和習慣，有助于教學目的的達成。
5結語
概率統計技巧范文6
關鍵詞：連續型隨機變量；期望；求法
中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）36-0078-02
如何快速有效地計算隨機變量的數學期望是學習概率統計課程和隨機過程理論必須掌握的一個知識點，但在一般的概率統計和隨機過程教材（如[1，2]）中，計算數學期望主要采用的是定義和性質等常規方法。基于此，文[3]針對離散型隨機變量期望計算，給出了對稱法、公式法、分解法、遞推法和母函數等求法及其技巧。在這些工作的基礎上，本文針對連續型隨機變量期望計算，通過實例介紹了Laplace-Stieltjes變換法、重期望公式法、利用相同概率性質的隨機變量分解法和計算高維Markov過程平均吸收時間的方法。
一、Laplace-Stieltjes變換法
例1 設一非負隨機變量X的分布函數為F（t）=■■■G■（t-u）d（1-e■），t>00， t≤0，其中n為確定正整數，λ■，j=1，2，…，n均為已知正數，a=λ1+…+λn，G■（t）為非負隨機變量的分布函數，且0
解：因F（t）的Laplace-Stieltjes變換為■（s）=■e■dF（t）=■■■■（s），故E（X）=-[■（s）]′|s=0=■1+■■。
二、重期望公式法
例2 設供貨商每月向某經銷商供應的貨物量X服從（10，30）（單位：1萬件）上的均勻分布，該經銷商每月實際需要的貨物量Y服從（10，20）（單位：1萬件）上的均勻分布。若該經銷商能從供貨商得到足夠的貨物，則每1萬件貨物可獲30萬元利潤，若得不到足夠貨物則需從其他途徑進貨，此時每1萬件可獲10萬元利潤。求該經銷商每月的平均利潤。
解：因每月利潤Z取決于貨物供應量X，故由重期望公式得：
E（Z）=0.05[■E（Z|X=x）dx+■E（Z|X=x）dx]。
當x∈（10，20）時，E（Z|X=x）=0.1[■30ydy+
■（10y+20x）dy]=50+40x-x2，
當x∈（20，30）時，E（Z|X=x）=3[■ydy=450，于是E（Z）≈433，（萬元）。
三、利用相同概率性質的隨機變量分解法
例3 在M/G/1排隊系統[4]中，顧客的到達是參數為λ的Poisson流，顧客的服務時間獨立同分布，具有分布函數G（t），t>0和有限均值α。到達和服務獨立。證明對服務臺忙期b的數學期望E（b），當λα小于1時，E（b）=α（1-λα）-1，當λα大于或等于1時，E（b）=∞。
證明：設η表示忙期b中首個顧客的服務時間γ內到達的顧客數，則E（η）=λα。稱服務時間γ內到達的η個顧客ξ1，…，ξη為“特殊顧客”，其后到達的顧客為“普通顧客”。因顧客類型和服務順序不影響忙期b的長度，為研究需要，重新定義服務順序為：服務完忙期首個顧客后，立即服務ξ1和除ξ2，…，ξη外的“普通顧客”，直到沒有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X1），接著開始服務ξ2和除ξ3，…，ξη外的“普通顧客”，直到沒有新到“普通顧客”時為止（這段時間記為X2），如此下去，直到最后開始服務ξη及其后所有新到的“普通顧客”（這段時間記為Xη），于是得到分解式b=γ+X1+…+Xη。由于b，X1，…，Xη都表示從一個顧客開始服務直到服務結束的一段時間，故它們具有相同的概率性質，分布相同，且X1，…，Xη獨立于γ和η。從而
E（b）=a+∑■■E（X1+…+Xj）P{η=j}=a+λaE（b）。證畢。
四、計算高維Markov過程平均吸收時間的方法
例4 對兩部件串聯系統，若部件1、2的壽命分別服從參數為λ1的負指數分布和分布函數為X2（t）的一般概率分布，修理時間的分布函數為Yi（t），i=1，2，部件修復如新。t=0時刻部件全新且同時開始工作。求系統的首次平均壽命。
解：定義狀態1：系統工作；狀態2：部件1在修理，系統故障；狀態3：部件2待修，系統故障。設部件2壽命的危險率函數為λ2（t），時刻t系統所處的狀態為S（t），ξ2（t）表示時刻t部件2的年齡，ηi（t）表示時刻t部件i已用去的修理時間（i=1，2）。令狀態2，3為吸收狀態，則{S（t），ξ2（t），ηi（t），t>0，i=1，2}為帶兩個吸收狀態的向量Markov過程。定義狀態概率P1（t，x）dx=Pr{S（t）=1，x≤ξ2（t）
[■+■+λ1+λ2（x）]P1（t，x）=0， （1）
邊界條件P1（t，0）=δ（t），初始條件P1（0，x）=δ（x），這里δ（t）為狄拉克函數。
對（1）關于t取Laplace變換易解得P1*（s，x）=
e■[1-X■（x）]。注意到系統首次壽命L的補分布■（t）=Pr（L>t）=■P1（t，x）dx（因為■（t）表示時刻t系統正在工作的概率），從而系統的首次平均壽命E（L）=■*（0）=λ■■-X■*（λ1）。
注1：當X2（t）=1-e-λ2t，t>0時，可得E（X）=（λ1+λ2）-1，與文[5]運用概率分析方法得到的結果（n=2的情形）完全一樣。
五、結語
通過實例可以看到，本文介紹的連續型隨機變量數學期望的求法可以解決一些具體問題中的期望計算，可為學習概率統計、隨機過程及工程概率應用提供重要的參考，因此，理解和掌握這些方法是大有裨益的。
參考文獻：
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