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經典邏輯推理問題范文1
關鍵詞：四值邏輯； 缺省邏輯； 計算機評卷
中圖分類號：TP391 文獻標識碼：A文章編號：2095-2163（2014）04-0047-04
Abstract：So far， the grading methods of filling in the blanks and other topics are almost by matching keywords of grading with answers of examinee， and the results of grading are not satisfactory. Due to the answers of examinee with diversity， there are inconsistent or uncertain problems. The default reasoning by R.Reiter can effectively solve the problems of reasoning in the case of inconsistency or uncertainty. On the basis of four-valued logic by N.D. Belnap， the classic default logical reasoning can be extended to four-valued. The default reasoning based on four-valued can be used to grade filling in the blanks and other topic， so as to make the results of grading more accurate and scientific.
Key words：Four-valued Logic； Default Logic； Computer Grading
0引言
隨著計算機技術的發展，大部分考試和評分都實現了智能化和數字化。一些傳統的考試題型，例如填空題，由于計算機自動評分難于實現所致，已在大部分考試中少獲采用。
近年來，國內外學者在填空等試題計算機評分方面進行了一系列的研究[1-3]。到目前為止，填空等試題計算機評分方法，基本上是利用評分關鍵字與考生答案的相互匹配來完成評分。但在實際應用中，這些評分方法的評分結果卻都未臻理想。并且，由于考生答案呈現的多樣性，這就決定了考生答案中也必然存在著不一致（inconsistent）或不確定（uncertain）的問題，由此即可推知填空等試題的計算機評分將是一個非單調推理活動[4]。
在非單調邏輯的作用下，可能會由于某個新結論的產生或者新條件的加入而先前的某個結論，從而使推理過程回返至上一步[5]。Reiter于1980年提出了缺省邏輯推理（default reasoning）[6]，即已有效地解決了在不一致或不確定的情況下，進行邏輯推理的問題。
經典邏輯演算是二值的，即對于任何命題都只有兩個可能的真值，真（t）和假（f）。但是二值邏輯對于不完備信息和不一致信息的情形卻已宣告為無效。為了克服二值邏輯的不足，1977年，Belnap在經典邏輯真值中，增加了兩個邏輯值和┬，由此則構成了四值邏輯[7]。1986年， Ginsberg 進一步推廣了N.D. Belnap的四值邏輯結構，并建立了雙格概念[8]，這種四值邏輯的雙格結構為知識表示提供了方便。
本文中，在四值邏輯的基礎上，將經典缺省邏輯推理外拓至四值邏輯的雙格結構上。并且應用四值缺省推理到填空等試題的評分方法中，則可使填空等試題的評分結果更趨準確與科學。
1缺省推理
在推理過程中，經常涉及到一些在多數時候是真，但不總是真的事實的推理。前提真，結論卻可能矛盾。應用缺省推理，則在可能的情況下，能夠消除矛盾，并從矛盾的結論中得到可接受的結論[5]。
填空類型分為完全相同和包含等類型。其中，完全相同類型表示考生的答案與標準答案完全相同才能得分。包含類型則表示考生的答案中包含標準答案，并且在應用缺省推理過程中，滿足理由才能得分。
一般情況下，填空等試題的答案不止一個，用key_number表示答案的個數。根據答案個數key_number，即可確定缺省推理評分結構數組keys。
4結束語
由于填空等試題，評分難度較大。對填空等試題的題目進行合理設計，是降低評分難度的一個重要方面，答案應該選擇相對確定和唯一。
在考生回答填空等試題過程中，可能在答案中出現了一些多余的字符，例如，空格、標點符號等，另外還會存在英文字符的大小寫與試題答案不一致等問題。因此，在評分之前，需要對考生的答案進行規范化處理。
應用缺省推理進行填空題的評分，相比利用評分關鍵字與考生的答案相匹配進行評分的方法，評分結果更為準確和科學。
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經典邏輯推理問題范文2
［關鍵詞］人工智能，常識推理，歸納邏輯，廣義內涵邏輯，認知邏輯，自然語言邏輯
現代邏輯創始于19世紀末葉和20世紀早期，其發展動力主要來自于數學中的公理化運動。當時的數學家們試圖即從少數公理根據明確給出的演繹規則推導出其他的數學定理，從而把整個數學構造成為一個嚴格的演繹大廈，然后用某種程序和方法一勞永逸地證明數學體系的可靠性。為此需要發明和鍛造嚴格、精確、適用的邏輯工具。這是現代邏輯誕生的主要動力。由此造成的后果就是20世紀邏輯研究的嚴重數學化，其表現在于：一是邏輯專注于在數學的形式化過程中提出的問題；二是邏輯采納了數學的方法論，從事邏輯研究就意味著象數學那樣用嚴格的形式證明去解決問題。由此發展出來的邏輯被恰當地稱為“數理邏輯”，它增強了邏輯研究的深度，使邏輯學的發展繼古希臘邏輯、歐洲中世紀邏輯之后進入第三個高峰期，并且對整個現代科學特別是數學、哲學、語言學和計算機科學產生了非常重要的影響。
本文所要探討的問題是：21世紀邏輯發展的主要動力將來自何處？大致說來將如何發展？我個人的看法是：計算機科學和人工智能將至少是21世紀早期邏輯學發展的主要動力源泉，并將由此決定21世紀邏輯學的另一幅面貌。由于人工智能要模擬人的智能，它的難點不在于人腦所進行的各種必然性推理（這一點在20世紀基本上已經做到了，如用計算機去進行高難度和高強度的數學證明，“深藍”通過高速、大量的計算去與世界冠軍下棋），而是最能體現人的智能特征的能動性、創造性思維，這種思維活動中包括學習、抉擇、嘗試、修正、推理諸因素，例如選擇性地搜集相關的經驗證據，在不充分信息的基礎上作出嘗試性的判斷或抉擇，不斷根據環境反饋調整、修正自己的行為，……由此達到實踐的成功。于是，邏輯學將不得不比較全面地研究人的思維活動，并著重研究人的思維中最能體現其能動性特征的各種不確定性推理，由此發展出的邏輯理論也將具有更強的可應用性。
實際上，在20世紀中后期，就已經開始了現代邏輯與人工智能（記為AI）之間的相互融合和滲透。例如，哲學邏輯所研究的許多課題在理論計算機和人工智能中具有重要的應用價值。AI從認知心理學、社會科學以及決策科學中獲得了許多資源，但邏輯（包括哲學邏輯）在AI中發揮了特別突出的作用。某些原因促使哲學邏輯家去發展關于非數學推理的理論；基于幾乎同樣的理由，AI研究者也在進行類似的探索，這兩方面的研究正在相互接近、相互借鑒，甚至在逐漸融合在一起。例如，AI特別關心下述課題：
·效率和資源有限的推理；
·感知；
·做計劃和計劃再認；
·關于他人的知識和信念的推理；
·各認知主體之間相互的知識；
·自然語言理解；
·知識表示；
·常識的精確處理；
·對不確定性的處理，容錯推理；
·關于時間和因果性的推理；
·解釋或說明；
·對歸納概括以及概念的學習。[①]
21世紀的邏輯學也應該關注這些問題，并對之進行研究。為了做到這一點，邏輯學家們有必要熟悉AI的要求及其相關進展，使其研究成果在AI中具有可應用性。
我認為，至少是21世紀早期，邏輯學將會重點關注下述幾個領域，并且有可能在這些領域出現具有重大意義的成果：（1）如何在邏輯中處理常識推理中的弗協調、非單調和容錯性因素？（2）如何使機器人具有人的創造性智能，如從經驗證據中建立用于指導以后行動的歸納判斷？（3）如何進行知識表示和知識推理，特別是基于已有的知識庫以及各認知主體相互之間的知識而進行的推理？（4）如何結合各種語境因素進行自然語言理解和推理，使智能機器人能夠用人的自然語言與人進行成功的交際？等等。
1．常識推理中的某些弗協調、非單調和容錯性因素
AI研究的一個目標就是用機器智能模擬人的智能，它選擇各種能反映人的智能特征的問題進行實踐，希望能做出各種具有智能特征的軟件系統。AI研究基于計算途徑，因此要建立具有可操作性的符號模型。一般而言，AI關于智能系統的符號模型可描述為：由一個知識載體（稱為知識庫KB）和一組加載在KB上的足以產生智能行為的過程（稱為問題求解器PS）構成。經過20世紀70年代包括專家系統的發展，AI研究者逐步取得共識，認識到知識在智能系統中力量，即一般的智能系統事實上是一種基于知識的系統，而知識包括專門性知識和常識性知識，前者亦可看做是某一領域內專家的常識。于是，常識問題就成為AI研究的一個核心問題，它包括兩個方面：常識表示和常識推理，即如何在人工智能中清晰地表示人類的常識，并運用這些常識去進行符合人類行為的推理。顯然，如此建立的常識知識庫可能包含矛盾，是不協調的，但這種矛盾或不協調應不至于影響到進行合理的推理行為；常識推理還是一種非單調推理，即人們基于不完全的信息推出某些結論，當人們得到更完全的信息后，可以改變甚至收回原來的結論；常識推理也是一種可能出錯的不精確的推理模式，是在容許有錯誤知識的情況下進行的推理，簡稱容錯推理。而經典邏輯拒斥任何矛盾，容許從矛盾推出一切命題；并且它是單調的，即承認如下的推理模式：如果p?r，則pùq?r；或者說，任一理論的定理屬于該理論之任一擴張的定理集。因此，在處理常識表示和常識推理時，經典邏輯應該受到限制和修正，并發展出某些非經典的邏輯，如次協調邏輯、非單調邏輯、容錯推理等。有人指出，常識推理的邏輯是次協調邏輯和非單調邏輯的某種結合物，而后者又可看做是對容錯推理的簡單且基本的情形的一種形式化。[②]
“次協調邏輯”（ParaconsistentLogic）是由普里斯特、達·科斯塔等人在對悖論的研究中發展出來的，其基本想法是：當在一個理論中發現難以克服的矛盾或悖論時，與其徒勞地想盡各種辦法去排除或防范它們，不如干脆讓它們留在理論體系內，但把它們“圈禁”起來，不讓它們任意擴散，以免使我們所創立或研究的理論成為“不足道”的。于是，在次協調邏輯中，能夠容納有意義、有價值的“真矛盾”，但這些矛盾并不能使系統推出一切，導致自毀。因此，這一新邏輯具有一種次于經典邏輯但又遠遠高于完全不協調系統的協調性。次協調邏輯家們認為，如果在一理論T中，一語句A及其否定?A都是定理，則T是不協調的；否則，稱T是協調的。如果T所使用的邏輯含有從互相否定的兩公式可推出一切公式的規則或推理，則不協調的T也是不足道的(trivial)。因此，通常以經典邏輯為基礎的理論，如果它是不協調的，那它一定也是不足道的。這一現象表明，經典邏輯雖可用于研究協調的理論，但不適用于研究不協調但又足道的理論。達·科斯塔在20世紀60年代構造了一系列次協調邏輯系統Cn（1≤n≤w），以用作不協調而又足道的理論的邏輯工具。對次協調邏輯系統Cn的特征性描述包括下述命題：(i)矛盾律?(Aù?A)不普遍有效；(ii)從兩個相互否定的公式A和?A推不出任意公式；即是說，矛盾不會在系統中任意擴散，矛盾不等于災難。(iii)應當容納與(i)和(ii)相容的大多數經典邏輯的推理模式和規則。這里，(i)和(ii)表明了對矛盾的一種相對寬容的態度，(iii)則表明次協調邏輯對于經典邏輯仍有一定的繼承性。
在任一次協調邏輯系統Cn(1≤n≤w)中，下述經典邏輯的定理或推理模式都不成立：
?(Aù?A)
Aù?AB
A(?AB)
(A??A)B
(A??A)?B
A??A
(?Aù(AúB))B
(AB)(?B?A)
若以C0為經典邏輯，則系列C0,C1,C2,…Cn,…Cw使得對任正整數i有Ci弱于Ci-1，Cw是這系列中最弱的演算。已經為Cn設計出了合適的語義學，并已經證明Cn相對于此種語義是可靠的和完全的，并且次協調命題邏輯系統Cn還是可判定的?，F在，已經有人把次協調邏輯擴展到模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、多值邏輯、集合論等領域的研究中，發展了這些領域內的次協調理論。顯然，次協調邏輯將會得到更進一步的發展。[③]
非單調邏輯是關于非單調推理的邏輯，它的研究開始于20世紀80年代。1980年，D·麥克多莫特和J·多伊爾初步嘗試著系統發展一種關于非單調推理的邏輯。他們在經典謂詞演算中引入一個算子M，表示某種“一致性”斷言，并將其看做是模態概念，通過一定程序把模態邏輯系統T、S4和S5翻譯成非單調邏輯。B·摩爾的論文《非單調邏輯的語義思考》（1983）據認為在非單調邏輯方面作出了令人注目的貢獻。他在“缺省推理”和“自動認知推理”之間做了區分，并把前者看作是在沒有任何相反信息和缺少證據的條件下進行推理的過程，這種推理的特征是試探性的：根據新信息，它們很可能會被撤消。自動認知推理則不是這種類型，它是與人們自身的信念或知識相關的推理，可用它模擬一個理想的具有信念的有理性的人的推理。對于在計算機和人工智能中獲得成功的應用而言，非單調邏輯尚需進一步發展。
2．歸納以及其他不確定性推理
人類智能的本質特征和最高表現是創造。在人類創造的過程中，具有必然性的演繹推理固然起重要作用，但更為重要的是具有某種不確定性的歸納、類比推理以及模糊推理等。因此，計算機要成功地模擬人的智能，真正體現出人的智能品質，就必須對各種具有不確定性的推理模式進行研究。
首先是對歸納推理和歸納邏輯的研究。這里所說的“歸納推理”是廣義的，指一切擴展性推理，它們的結論所斷定的超出了其前提所斷定的范圍，因而前提的真無法保證結論的真，整個推理因此缺乏必然性。具體說來，這種意義的“歸納”包括下述內容：簡單枚舉法；排除歸納法，指這樣一些操作：預先通過觀察或實驗列出被研究現象的可能的原因，然后有選擇地安排某些事例或實驗，根據某些標準排除不相干假設，最后得到比較可靠的結論；統計概括：從關于有窮數目樣本的構成的知識到關于未知總體分布構成的結論的推理；類比論證和假說演繹法，等等。盡管休謨提出著名的“歸納問題”，對歸納推理的合理性和歸納邏輯的可能性提出了深刻的質疑，但我認為，（1）歸納是在茫茫宇宙中生存的人類必須采取也只能采取的認知策略，對于人類來說具有實踐的必然性。（2）人類有理由從經驗的重復中建立某種確實性和規律性，其依據就是確信宇宙中存在某種類似于自然齊一律和客觀因果律之類的東西。這一確信是合理的，而用純邏輯的理由去懷疑一個關于世界的事實性斷言則是不合理的，除非這個斷言是邏輯矛盾。（3）人類有可能建立起局部合理的歸納邏輯和歸納方法論。并且，歸納邏輯的這種可能性正在計算機科學和人工智能的研究推動下慢慢地演變成現實。恩格斯早就指出，“社會一旦有技術上的需要，則這種需要比十所大學更能把科學推向前進?！盵④]有人通過指責現有的歸納邏輯不成熟，得出“歸納邏輯不可能”的結論，他們的推理本身與歸納推理一樣，不具有演繹的必然性。（4）人類實踐的成功在一定程度上證明了相應的經驗知識的真理性，也就在一定程度上證明了歸納邏輯和歸納方法論的力量。毋庸否認，歸納邏輯目前還很不成熟。有的學者指出，為了在機器的智能模擬中克服對歸納模擬的困難而有所突破，應該將歸納邏輯等有關的基礎理論研究與機器學習、不確定推理和神經網絡學習模型與歸納學習中已有的成果結合起來。只有這樣，才能在已有的歸納學習成果上，在機器歸納和機器發現上取得新的突破和進展。[⑤]這是一個極有價值且極富挑戰性的課題，無疑在21世紀將得到重視并取得進展。
再談模糊邏輯?，F實世界中充滿了模糊現象，這些現象反映到人的思維中形成了模糊概念和模糊命題，如“矮個子”、“美人”、“甲地在乙地附近”、“他很年輕”等。研究模糊概念、模糊命題和模糊推理的邏輯理論叫做“模糊邏輯”。對它的研究始于20世紀20年代，其代表性人物是L·A·查德和P·N·馬林諾斯。模糊邏輯為精確邏輯（二值邏輯）解決不了的問題提供了解決的可能，它目前在醫療診斷、故障檢測、氣象預報、自動控制以及人工智能研究中獲得重要應用。顯然，它在21世紀將繼續得到更大的發展。
3．廣義內涵邏輯
經典邏輯只是對命題聯結詞、個體詞、謂詞、量詞和等詞進行了研究，但在自然語言中，除了這些語言成分之外，顯然還存在許多其他的語言成分，如各種各樣的副詞，包括模態詞“必然”、“可能”和“不可能”、時態詞“過去”、“現在”和“未來”、道義詞“應該”、“允許”、“禁止”等等，以及各種認知動詞，如“思考”、“希望”、“相信”、“判斷”、“猜測”、“考慮”、“懷疑”，這些認知動詞在邏輯和哲學文獻中被叫做“命題態度詞”。對這些副詞以及命題態度詞的邏輯研究可以歸類為“廣義內涵邏輯”。
大多數副詞以及幾乎所有命題態度詞都是內涵性的，造成內涵語境，后者與外延語境構成對照。外延語境又叫透明語境，是經典邏輯的組合性原則、等值置換規則、同一性替換規則在其中適用的語境；內涵語境又稱晦暗語境，是上述規則在其中不適用的語境。相應于外延語境和內涵語境的區別，一切語言表達式（包括自然語言的名詞、動詞、形容詞直至語句）都可以區分為外延性的和內涵性的，前者是提供外延語境的表達式，后者是提供內涵性語境的表達式。例如，殺死、見到、擁抱、吻、砍、踢、打、與…下棋等都是外延性表達式，而知道、相信、認識、必然、可能、允許、禁止、過去、現在、未來等都是內涵性表達式。在內涵語境中會出現一些復雜的情況。首先，對于個體詞項來說，關鍵性的東西是我們不僅必須考慮它們在現實世界中的外延，而且要考慮它們在其他可能世界中的外延。例如，由于“必然”是內涵性表達式，它提供內涵語境，因而下述推理是非有效的：
晨星必然是晨星，
晨星就是暮星，
所以，晨星必然是暮星。
這是因為：這個推理只考慮到“晨星”和“暮星”在現實世界中的外延，并沒有考慮到它們在每一個可能世界中的外延，我們完全可以設想一個可能世界，在其中“晨星”的外延不同于“暮星”的外延。因此，我們就不能利用同一性替換規則，由該推理的前提得出它的結論：“晨星必然是暮星”。其次，在內涵語境中，語言表達式不再以通常是它們的外延的東西作為外延，而以通常是它們的內涵的東西作為外延。以“達爾文相信人是從猿猴進化而來的”這個語句為例。這里，達爾文所相信的是“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想，而不是它所指稱的真值，于是在這種情況下，“人是從猿猴進化而來的”所表達的思想（命題）就構成它的外延。再次，在內涵語境中，雖然適用于外延的函項性原則不再成立，但并不是非要拋棄不可，可以把它改述為新的形式：一復合表達式的外延是它出現于外延語境中的部分表達式的外延加上出現于內涵語境中的部分表達式的內涵的函項。這個新的組合性或函項性原則在內涵邏輯中成立。
一般而言，一個好的內涵邏輯至少應滿足兩個條件：（i）它必須能夠處理外延邏輯所能處理的問題；（ii）它還必須能夠處理外延邏輯所不能處理的難題。這就是說，它既不能與外延邏輯相矛盾，又要克服外延邏輯的局限。這樣的內涵邏輯目前正在發展中，并且已有初步輪廓。從術語上說，內涵邏輯除需要真、假、語句真值的同一和不同、集合或類、謂詞的同范圍或不同范圍等外延邏輯的術語之外，還需要同義、內涵的同一和差異、命題、屬性或概念這樣一些術語。廣而言之，可以把內涵邏輯看作是關于象“必然”、“可能”、“知道”、“相信”，“允許”、“禁止”等提供內涵語境的語句算子的一般邏輯。在這種廣義之下，模態邏輯、時態邏輯、道義邏輯、認知邏輯、問題邏輯等都是內涵邏輯。不過，還有一種狹義的內涵邏輯，它可以粗略定義如下：一個內涵邏輯是一個形式語言，其中包括（1）謂詞邏輯的算子、量詞和變元，這里的謂詞邏輯不必局限于一階謂詞邏輯，也可以是高階謂詞邏輯；（2）合式的λ—表達式，例如(λx)A，這里A是任一類型的表達式，x是任一類型的變元，(λx)A本身是一函項，它把變元x在其中取值的那種類型的對象映射到A所屬的那種類型上；（3）其他需要的模態的或內涵的算子，例如€，ù、ú。而一個內涵邏輯的解釋，則由下列要素組成：（1）一個可能世界的非空集W；（2）一個可能個體的非空集D；（3）一個賦值，它給系統內的表達式指派它們在每w∈W中的外延。對于任一的解釋Q和任一的世界w∈W，判定內涵邏輯系統中的任一表達式X相對于解釋Q在w∈W中的外延總是可能的。這樣的內涵邏輯系統有丘奇的LSD系統，R·蒙塔古的IL系統，以及E·N·扎爾塔的FIL系統等。[⑥]
在各種內涵邏輯中，認識論邏輯（epistemiclogic）具有重要意義。它有廣義和狹義之分。廣義的認識論邏輯研究與感知（perception）、知道、相信、斷定、理解、懷疑、問題和回答等相關的邏輯問題，包括問題邏輯、知道邏輯、相信邏輯、斷定邏輯等；狹義的認識論邏輯僅指知道和相信的邏輯，簡稱“認知邏輯”。馮·賴特在1951年提出了對“認知模態”的邏輯分析，這對建立認知邏輯具有極大的啟發作用。J·麥金西首先給出了一個關于“知道”的模態邏輯。A·帕普于1957年建立了一個基于6條規則的相信邏輯系統。J·亨迪卡于60年代出版的《知識和信念》一書是認知邏輯史上的重要著作，其中提出了一些認知邏輯的系統，并為其建立了基于“模型集”的語義學，后者是可能世界語義學的先導之一。當今的認知邏輯紛繁復雜，既不成熟也面臨許多難題。由于認知邏輯涉及認識論、心理學、語言學、計算機科學和人工智能等諸多領域，并且認知邏輯的應用技術，又稱關于知識的推理技術，正在成為計算機科學和人工智能的重要分支之一，因此認知邏輯在20世紀中后期成為國際邏輯學界的一個熱門研究方向。這一狀況在21世紀將得到繼續并進一步強化，在這方面有可能出現突破性的重要結果。
4．對自然語言的邏輯研究
對自然語言的邏輯研究有來自幾個不同領域的推動力。首先是計算機和人工智能的研究，人機對話和通訊、計算機的自然語言理解、知識表示和知識推理等課題，都需要對自然語言進行精細的邏輯分析，并且這種分析不能僅停留在句法層面，而且要深入到語義層面。其次是哲學特別是語言哲學，在20世紀哲學家們對語言表達式的意義問題傾注了異乎尋常的精力，發展了各種各樣的意義理論，如觀念論、指稱論、使用論、言語行為理論、真值條件論等等，以致有人說，關注意義成了20世紀哲學家的職業病。再次是語言學自身發展的需要，例如在研究自然語言的意義問題時，不能僅僅停留在脫離語境的抽象研究上面，而要結合使用語言的特定環境去研究，這導致了語義學、語用學、新修辭學等等發展。各個方面發展的成果可以總稱為“自然語言邏輯”，它力圖綜合后期維特根斯坦提倡的使用論，J·L·奧斯汀、J·L·塞爾等人發展的言語行為理論，以及P·格賴斯所創立的會話含義學說等成果，透過自然語言的指謂性和交際性去研究自然語言中的推理。
自然語言具有表達和交際兩種職能，其中交際職能是自然語言最重要的職能，是它的生命力之所在。而言語交際總是在一定的語言環境（簡稱語境）中進行的，語境有廣義和狹義之分。狹義的語境僅指一個語詞、一個句子出現的上下文。廣義的語境除了上下文之外，還包括該語詞或語句出現的整個社會歷史條件，如該語詞或語句出現的時間、地點、條件、講話的人（作者）、聽話的人（讀者）以及交際雙方所共同具有的背景知識，這里的背景知識包括交際雙方共同的信念和心理習慣，以及共同的知識和假定等等。這些語境因素對于自然語言的表達式（語詞、語句）的意義有著極其重要的影響，這具體表現在：（i）語境具有消除自然語言語詞的多義性、歧義性和模糊性的能力，具有嚴格規定語言表達式意義的能力。（ii）自然語言的句子常常包含指示代詞、人稱代詞、時間副詞等，要弄清楚這些句子的意義和內容，就要弄清楚這句話是誰說的、對誰說的、什么時候說的、什么地點說的、針對什么說的，等等，這只有在一定的語境中才能進行。依賴語境的其他類型的語句還有：包含著象“有些”和“每一個”這類量化表達式的句子的意義取決于依語境而定的論域，包含著象“大的”、“冷的”這類形容詞的句子的意義取決于依語境而定的相比較的對象類；模態語句和條件語句的意義取決于因語境而變化的語義決定因素，如此等等。（iii）語言表達式的意義在語境中會出現一些重要的變化，以至偏離它通常所具有的意義（抽象意義），而產生一種新的意義即語用涵義。有人認為，一個語言表達式在它的具體語境中的意義，才是它的完全的真正的意義，一旦脫離開語境，它就只具有抽象的意義。語言的抽象意義和它的具體意義的關系，正象解剖了的死人肢體與活人肢體的關系一樣。邏輯應該去研究、理解、把握自然語言的具體意義，當然不是去研究某一個（或一組）特定的語句在某個特定語境中唯一無二的意義，而是專門研究確定自然語言具體意義的普遍原則。超級秘書網
美國語言學家保羅·格賴斯把語言表達式在一定的交際語境中產生的一種不同于字面意義的特殊涵義，叫做“語用涵義”、“會話涵義”或“隱涵”（implicature），并于1975年提出了一組“交際合作原則”，包括一個總則和四組準則?？倓t的內容是：在你參與會話時，你要依據你所參與的談話交流的公認目的或方向，使你的會話貢獻符合這種需要。仿照康德把范疇區分為量、質、關系和方式四類，格賴斯提出了如下四組準則：
（1）數量準則：在交際過程中給出的信息量要適中。
a．給出所要求的信息量；
b．給出的信息量不要多于所要求的信息量。
（2）質量準則：力求講真話。
a．不說你認為假的東西，。
b．不說你缺少適當證據的東西。
（3）關聯準則：說話要與已定的交際目的相關聯。
（4）方式準則：說話要意思明確，表達清晰。
a．避免晦澀生僻的表達方式；
b．避免有歧義的表達方式；
c．說話要簡潔；
d．說話要有順序性。[⑧]
后來對這些原則提出了不和補充，例如有人還提出了交際過程中所要遵守的“禮貌原則”。只要把交際雙方遵守交際合作原則之類的語用規則作為基本前提，這些原則就可以用來確定和把握自然語言的具體意義（語用涵義）。實際上，一個語句p的語用涵義，就是聽話人在具體語境中根據語用規則由p得到的那個或那些語句。更具體地說，從說話人S說的話語p推出語用涵義q的一般過程是：
（i）S說了p；
（ii）沒有理由認為S不遵守準則，或至少S會遵守總的合作原則；
（iii）S說了p而又要遵守準則或總的合作原則，S必定想表達q；
（iv）S必然知道，談話雙方都清楚：如果S是合作的，必須假設q；
（v）S無法阻止聽話人H考慮q；
（vi）因此，S意圖讓H考慮q，并在說p時意味著q。
試舉二例：
（1）a站在熄火的汽車旁，b向a走來。a說：“我沒有汽油了?！眀說：“前面拐角處有一個修車鋪?！边@里a與b談話的目的是：a想得到汽油。根據關系準則，b說這句話是與a想得到汽油相關的，由此可知：b說這句話時隱涵著：“前面的修車鋪還在營業并且賣汽油?！?/p>
經典邏輯推理問題范文3
1邏輯、形而上學和模糊性達米特曾經提出過一個非常著名的論題：邏輯和形而上學具有非常密切的聯系。他的論證是以語言哲學為基礎的，并沒有考察邏輯和形而上學的歷史基礎，普特南認為邏輯和形而上學這兩個學科的發展歷史證明達米特的觀點是正確的〔1〕。歐文（G．E．L．Owen）曾經指出，無論對于亞里士多德還是對于柏拉圖而言，屬性概念都不是簡單性的概念，即使允許談論一個男人是一個白人，但如果繼續追問這個男人的白是不是在墻是白色的意義上來說的，回答則顯然是否定的。這就涉及到語詞的相對性。亞里士多德認為，除非將所有考察的事物作為一種固定標準，要不然什么是白色就沒有被刻畫。不過，一個無法回避的事實是：人們在回答這一問題時使用的語句也同樣具有相對性，人們對應當如何處理這些情形莫衷一是，那么，進一步值得關注的問題在于：邏輯是否也具有相對性呢？
現代邏輯的一個顯著特征就是精確性。不過，普特南認為現代邏輯設定的精確性是值得商榷的。
現代邏輯教師很可能告訴他的學生：邏輯學假定所有語詞都是精確的。在普特南看來，如果不能避免上述相對性問題，甚至連圖式～（Px＆～Px）也有問題。亞里士多德曾經認為：當p是一物質術語時，這種相對性不完全，某事物在同一時間不能既是一個完全的人又是一個不完全的人，也不能在某一方面是完全的人。根據他的形而上學來看，物質實體不是相對的。如此看來，形而上學與現代邏輯的發展聯系密切，即可以把形而上學稱為現代邏輯的同伴和條件。物質的圖像在某一時刻成了形而上學的圖景，整體決定了個體的世界，整體決定的個體是由整體決定的屬性來刻畫的。
從實在論的視角來看，達米特的實在論是形而上學式的實在論，其核心觀點是：第一，假定存在一個確定的整體性世界；第二，假定‘強二值’原則；第三，假定強實在論意義上的真理符合論。普特南認為，反形而上學實在論的哲學家們都認為真理概念是理想的辯護或合理的可接受性?？档码m然沒有提及判斷與它的對象符合，但他所指的對象是對主體而言的，這一點與古德曼一樣，古德曼使用的是‘適合’（fit），而不是形而上學實在論意義上的獨立于心靈世界的符合。布勞維爾認為：二值基礎上的真理的正確性并不具有完全的證據。因為對于p的很多值，我們無法知道p還是非p能夠被辯護，（p∨～p）不是一個重言式。布勞維爾在其直覺主義邏輯中放棄了排中律。因此，普特南認為基于非實在論真理觀的擇代邏輯不止一個。在他看來，就哲學本身的立場而言：如果經典邏輯的條件和哲學圖景是錯誤的，那么，就應該放棄它的一些重言式〔2〕。形而上學實在論者也許會指出，模糊性并不那么令人迷惑，因為雖然可以說模糊概念、談話的模糊方式存在，但模糊對象并不存在。普特南指出，不論實在論哲學家還是非實在論的哲學家事實上都堅持下列觀點，即當某些語句包含諸如禿頂之類的模糊謂詞時，在真語句與假語句之間劃分確定的界限就是錯誤的，因此，形而上學實在論者的觀點難以成立。
普特南還探究了蒯因關于模糊性的觀點。蒯因曾經指出：雖然日常語言是模糊的，但只要人類不斷地接近能夠避免這些缺點的科學語言，這樣的模糊性就是無關緊要的。日常語言的指稱是不嚴格的，任何有意義的本體闡述都不過是相對于一個恰當的語言限制的，限制并不是要引出一些隱藏的內容，而是要引出日常語言確定的內容。語言限制事實上補充了日常語言，從而為人們頭腦中的某些特定目標服務。蒯因認為，日常語言陳述不能為真或為假，它們只是相對于一個翻譯結構（或限制）才為真或為假。如果比較日常語言與理想語言的圖景，就要關注“正確”翻譯的問題。日常語言只是松散的事實，當我們以科學理解為目的時，就需要對它進行各種約束限制。這樣的約束同樣不是引出某種潛在的內容，而是一種自由創造。根據這一觀點，人們平常的談話無非是制造噪音罷了。蒯因的觀點促使我們深入思考下面這個問題：如果日常語言中沒有確定的真和假，那么一切事物就都是正確的，因為人類能夠在原則上合理重構日常語言，即：使用理想語言代替日常語言，這無疑是普特南最為擔心的事情。普特南指出：“這一個步驟的主旨在于說明在日常語言中言說一個語句真或假是相對于理想語言中的翻譯的。蒯因看到的問題是：如何正確認識翻譯自身的地位問題”〔3〕。普特南的分析是正確的，使用理想語言代替日常語言必然涉及語言的翻譯問題，根據蒯因的觀點，日常語言陳述只是相對于一個翻譯結構（或限制）才為真或為假，有人必然提出疑問：如果翻譯是合理的，那么合理這個概念自身僅僅是理想語言或日常語言的一個概念嗎？如果是后者，就會出現如下挑戰：使用了模糊概念的語句在什么意義上可以說為真呢？很明顯，回答這一問題也將使用一個模糊概念。這一問題與避免相對性概念的問題相類似，相對性概念隨著時間的變化而改變其意義，這也是亞里士多德和柏拉圖在一開始時所面臨的問題。
對于一個非形而上學實在論者來講，蒯因和普特南的觀點似乎沒有太多的困難，因為只有堅持形而上學實在論的哲學家們才會認真考慮理想語言具有的不可想象的精確性。不過，無論是形而上學實在論者還是非形而上學實在論者，一旦語言在哲學上、本體論上和形而上學上都是合乎規矩的，就都面臨一個新的挑戰：用一種完善的精確語言來解釋日常語言的合理性基礎是什么？關于這一問題的討論不絕于耳，包括普特南、達米特在內的很多哲學家和邏輯學家都認為，任何對象都不是完全獨立于心理或理論而存在的，不能通過硬事實獨自來描述世界，因此，對象和屬性從總體上看是模糊的。如果形而上學實在論者忽略由模糊事實與模糊屬性帶來的挑戰，他們就必然與其堅持的核心主旨發生沖突。
2累積悖論的探究綜上所述可見，普特南并不贊同形而上學實在論者的觀點，在他看來，只要使用自然語言的話，語言的模糊性就是不可避免的。如果不能把模糊語言轉化為理想語言，而模糊語言又是合法的和不可避免的，那么，哲學家和邏輯學家們就需要追問：哪一種涉及模糊語詞的圖式化推理的邏輯系統是最好的呢？他指出，即使不可能為日常語言指定完美精確的真理謂詞，這也并不意味著我們不能控制涉及這些謂詞的正確推理的邏輯句法。日常語言或者至少是包含不精確語詞的語言，將是人類一直擁有的語言，哲學不能永遠將其自身限制在假想語言的邏輯結構的理論之中。
普特南考察了一個有關模糊性的著名論題：累積悖論。累積悖論也叫堆悖論，是關于當單個考慮時不影響特性擁有的微小變化，但當這些變化加在一起時卻會影響到特性的擁有。一粒沙子不能成堆，再加一粒也不能成堆。我們可以持續加下去而不成堆，沒有哪一個特殊的沙粒由它而構成了堆。但許多的沙粒確實組成了堆。如果沒有單個沙粒的添加使非堆成為堆，那么堆何以出現的呢？這個問題也可以反過來說。從堆上取走一粒不會使堆消失，取走第二粒也不會使其消失，但它最后卻的確消失了。累積悖論有時被稱之為禿頂悖論。這些悖論的相同點在于：一連串的變化中每一個都沒有產生整體性影響，何以最后加在一起就產生了這種影響？嘗試解決這些悖論的人否認如下觀點，即如果第一次變化不能造成屬性擁有的不同，則后面的變化也不會造成區別；他們要么使用關于該特性擁有的真理度概念，要么使用模糊邏輯來處理屬性，此種邏輯認識到了謂項的可應用性程度〔4〕。累積悖論的理論基礎是概念的模糊性，難點在于判定一個分界點，即堆與非堆，禿頭與非禿頭之間很難劃出一個明確的界限。馬克斯·布萊克指出要把模糊性（
vagueness）與歧義性（ambiguity）、一般性（generality）區別開來。如果一個語詞具有兩個或多個不同的意義，那么這樣的語詞具有的不是模糊性，而是歧義性。另外，像椅子這樣的概念也是一個模糊的概念，使它模糊的不是它的一般性，而是存在的邊線場合，邊線場合具有模糊區域，即使我們正確使用了椅子這個概念，也不能確定這種區域。在什么是椅子和什么不是椅子之間劃出一條邊線可能是困難的。由此就產生了模糊性，這也為累積悖論的出現提供了條件〔5〕。由于累積悖論會產生不一貫性，弗雷格認為必須把它從真正科學和邏輯的論域清除出去。
普特南則提出了自己的看法。他首先考察了幾個試圖解決累積悖論的方案。第一個方案是超賦值法，它強調累積悖論的界限陳述沒有真值。這就解釋了為什么人們一般很難得到界限陳述的真值。在普特南看來，超賦值法假定了可容許結構的一個精確集合，語言是根據這一集合進行解釋的。但這種方法也會受到反駁，即這一方法將使得最少可接受性成為絕對極端的概念。第二個方案是：一方面可以將可容許的結構的集合僅作為規則思想的一個類型，另一方面可以將超賦值法作為賦予語言有效性的方法。不過，這也會受到反駁：比如，如果有人認為‘約翰是禿頭或約翰不是禿頭’是一個重言式，盡管當約翰處于禿頭的模糊域時沒有一個析取支是確定的真，那么，人們在元語言中如何處理‘約翰是禿頭’為真當且僅當約翰是禿頭呢？在普特南看來，如果人們使用經典邏輯，而這種邏輯由元語言中的超賦值語義學來辯護，那么，不僅‘約翰是禿頭或約翰不是禿頭’為真，而且‘約翰是禿頭’為真或‘約翰是禿頭’不為真也為真。但是，如果認為‘約翰是禿頭’事實上沒有確定的真值，那么，如何來表述這樣的語句呢？邏輯的目的并不是創造一種不能表達模糊語詞的語言。普特南指出：“在我看來，當人們面對存在有些語句不具有確定的真值這一事實時，邏輯中將每一語句作為具有確定的真值的觀點就是不正確的”〔6〕。
普特南提出的方案是：將模糊謂詞（如：禿頭）作為不能確定的謂詞，通過直覺主義邏輯的方法來處理。這種方案的實質在于維護數學歸納方案。事實上，他試圖通過直覺主義邏輯對模糊性邏輯進行形式化處理，不過，有很多人認為普特南的直覺主義方案和經典方法之間的差別不是很明顯〔7〕。這也是普特南方案引起爭議最多的地方。不過，普特南自己也承認自己的方案不是很完善，考慮不是很全面。不過，我認為，普特南提出的這種方案的真正意義在于：它表明了普特南關注非經典邏輯在解決傳統邏輯問題時的應用，這種解決問題的思路值得我們借鑒。
普特南探究的累積悖論對傳統邏輯理論提出了很大的挑戰，也引起了哲學家對于意義、真理和指稱這些哲學問題的思考〔8〕。就意義來說，模糊性使得“使用決定意義”的觀點難以成立了。
Williamson指出，在使用模糊語詞時，根據業已存在的介于意義和使用之間的關系是難以劃出模糊語詞的明確界限的。模糊性的認知觀點使得真值條件變化不定，這就要求哲學家重新思考意義和使用的關系。或許這種關系并不像有些哲學家所認為的那樣密切。有的哲學家認為，自然有時在確定意義的時候也發揮了重要的作用，例如自然種類詞。不過，這樣的觀點并不令人信服。通過自然解決累積悖論會使指稱問題也不確定了。這表明：模糊性引起的指稱問題不是源于人類認知的局限性，而是源于不確定的環境，即語詞的指稱物。模糊性是語義不確定，它使指稱變得難以理解，因為不存在一個單獨和確定的指稱物。另外，就真理而言，正如超賦值法探究的那樣，放棄二值原則既會對經典邏輯構成致命打擊，也勢必會對符合論以及去引號的真理論形成挑戰。這樣的結果對于二值原則的那些忠實捍衛者，尤其是形而上學實在論者來說是難以接受的。
3模糊性問題的內在哲學意蘊
經典邏輯推理問題范文4
關鍵詞：數學哲學 直覺主義 傳統邏輯 布勞威爾
一、 “存在必須是被構造”——直覺主義的產生
直覺(intuition)一詞意為未經充分邏輯推理的，直觀的，直接領捂事物本質的思考。與H.柏格森、B.克羅齊、E.胡塞爾等人的直覺主義不同，我們這里所研究的“直覺”并不是指主體對于客觀事物的一種直接把握能力，而是指思維的本能上的一種心智活動。在這里，直覺主義提倡的直覺，并非辯證唯物主義的“直觀的感覺”，其本意是“先驗的心智構造”，以此為出發點，形成了對數學對象“存在性”與“可構造性”等同的要求。[1]直覺主義哲學是一種反理性主義的唯心主義哲學思潮。數學研究中的構造主義是一種有關數學基礎的觀點，它主張自然數及其某些規律和方法，特別是數學歸納法，是可靠的出發點，其它一切數學對象和理論都應該從自然數構造出來。[2]“存在必須是被構造”，這是直覺主義派最著名的口號。也因此，直覺主義是一種構造邏輯。直覺派認為，數學中的概念和方法都是必須可以被構造的，非構造性的證明不是直覺主義者能接受的。在數學領域中，集合論悖論的問題不可能通過對已有的數學作某種局部的修改和限制加以解決，而必須依靠一些可信的標準對已有的數學進行全面的審視和改造。直覺主義認為邏輯依賴于數學,而非數學依賴邏輯。數學建立在直覺的基礎上。同時，直覺主義認為哲學、邏輯甚至計數等概念都比數學復雜得多,不能作為數學的基礎,數學的基礎需要更簡單、更直接的概念,它就是直覺,直覺是心智的一項基本功能。[3]一位直覺主義數學家阿倫特·海廷（Arend Heyting）在他的論文《數學的直覺主義基礎》中指出：“立即處理數學的構造也許是符合直覺主義者的積極態度了。這個構造的最重要基石是一（unity）的概念，它是整數序列所依賴的構造原則。整數必須作為單位（units）來看待，這些單位僅僅由于在這個序列中的位置而相互區別?！盵4]61
直覺主義者認為，數學的基礎在于數學直覺，在他們看來，建立在數學直覺之上的理論能使“概念和推理十分清楚地呈現在我們面前”，即“對于思想來說是如此的直接，而其結果又是如此的清楚，以致不再需要任何鑄的什么基礎了”(A·黑丁:《直覺主義導論》)。任何數學對象被視為思維構造的產物，所以一個對象的存在性等價于它的構造的可能性。這和經典的方法不同，因為經典方法說一個實體的存在性可以通過否定它的不存在性來證明。對于直覺主義者，這是不正確的；不存在性的否定不表示可能找到存在性的構造證明。正因為如此，直覺主義是數學結構主義的一種；但它不是唯一的一類。直覺主義的基本哲學立場是，數學是人類心智“固有”的一種創造活動，是主體的自身的活動，而不是對外在的描述.數學概念是一種自主的智力活動的結果，智力活動則是研究自明定律所支配的思想構造。[5]
二、顛覆傳統邏輯，形式主義的逆襲——直覺主義的特點
直覺主義不承認實無窮，拒絕實際無窮的抽象。也就是說，它不考慮像所有自然數的集合或任意有理數的序列無窮這樣的無窮實體作為給定對象。數學上的實無窮思想是指：把無限的整體本身作為一個現成的單位，是已經構造完成了的東西，換言之，即是把無限對象看成為可以自我完成的過程或無窮整體。數學上存在著潛無窮與實無窮之爭，就如同哲學上存在著唯物主義與唯心主義之爭。而且必將長時間的持續的爭論不休。數學上的潛無窮思想是指：把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著被不斷產生出來的東西來解釋。舉個形象點的例子就是，構成一條直線的點有無窮個，并且這條直線永遠延伸著，不會有終結的一天。它永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。按照全稱和條件量詞的標準直覺主義，一個證明就是這樣的潛無窮結構，這可能是合理的。（達米特《直覺主義邏輯的哲學基礎》）[4]142按照此觀點，所有的自然數可以構成一個集合，因為可以將所有的自然數看做是一個完成了的無窮整體。很顯然，直覺主義支持潛無窮的觀點，即把無窮集合看成無限延伸著的序列。
直覺主義反對排中律，這意味著直覺主義者可能和經典的數學家對一個數學命題的含義有不同理解。排中律和同一律、矛盾律并稱為形式邏輯的三大基本規律。傳統邏輯首先把排中律當作事物的規律，意為任一事物在同一時間里具有某屬性或不具有某屬性，而沒有其他可能。排中律同時也是思維的規律，即一個命題是真的或不是真的，此外沒有其他可能。例如，說A 或 B, 對于一個直覺主義者，是宣稱A或B可以證明。但是，對于排中律, A 或 非 A, 是不被允許的，因為不能假設人們總是能夠證明命題A或它的否命題。
直覺主義主要對抗的是形式主義。多個世紀以來，對數學規律的無懈可擊的精確性的信念的依據是數學哲學研究的主要對象。直覺主義表示，精確性存在于人類心智之中，形式主義者認為，存在于紙面上。[4]90
直覺主義具有非邏輯性和整體性。數學直覺是作為邏輯的對立面而介定的一種認識方法,因此非邏輯性是數學直覺的最主要特性?？梢哉f數學直覺的其他特性都是由它的非邏輯性所決定的,這是許多哲學家、科學家的共同見解。[6]直覺主義認為，數學是心靈的創造活動，心靈是豐富的，邏輯則是貧乏的。因此，堅決不能用貧乏的邏輯規則來全面準確地規劃豐富的心靈活動。直覺主義的另一位代表人物阿倫特?海廷（Arend Heyting）說：“邏輯屬于應用數學”。在對于直覺主義整體性上，一個日本數學家有如下精辟的解釋：當一個人已經長期而持續地從事了研究并已成為一個完全成熟的研究人員時,他就已經在自己的頭腦中形成了一種相對穩定的知識體系。經過他自己的努力,這種知識體系已被綜合成為一種特殊的,確定的形式。而且自己綜合的工作當然本身就是一種極有價值的經驗。[7]
彭加勒在《數學中的直覺和邏輯》一文中寫道：
哲學家告訴我們，純邏輯永遠也不能使我們得到任何東西；它不能創造任何新東西，任何科學也不能僅僅從它產生出來。在某種憊義上，這些哲學家是對的；要構成算術，像要構成幾何學或構成任何科學一樣，除了純邏輯之外，還需要其他東西。為了稱呼這種東西，我們只好使用直覺這個詞?？墒?，在這同一諭后，潛藏著多少不同的意思呢?比較一下這四個公理:(1)等于第三個最的兩個量相等；（2）若一定理對數1為真，假定它對N為真，如果我們證明它對N+1為真，則它對所有整數均為真；(3)設在一直線上，C點在A與B之間，D點在A與C之間，則D點將在A與B之間；(4)通過一個定點僅有一條直線與已知直線平行。所有這四個公理都歸之于直覺，不過第一個闡明了形式邏輯諸法則中的一個法則;第二個是真實的先驗綜合判斷，它是嚴格的數學歸納法的基礎;第三個求助于想象:第四個是偽定義。直覺不必建立在感覺明白之上;感覺不久便會變得無能為力。[8]
值得注意的是，直覺主義不是神秘主義。直覺的“不可解釋性”并不等于直覺的“神秘性”，盡管直覺是“不可解釋”的，但它卻有著確定的本質。我們認為，直覺是認識過程中的一種飛躍，因此它就不是一種經驗的認識，而是原來的思想路線的中斷，不可能按照通常的思維方式，用結論和推理的環節把它連接起來，所以直覺是“不可解釋的”。[9]
三、從Kant到Dummett，直覺主義派的主要人物及其思想
伊曼努爾·康德(Immanuel Kant, 1724-1804)，從某種意義上來說，直覺主義是由哲學家康德開始的。1755到1770年，康德在哥尼斯堡大學教物理和數學，他認為我們所有的感覺都來自于一個預先假定的外部世界。雖然這些感覺不能提供任何知識，但是被感知到的物體間相互作用就產生了知識。心智將這些感覺梳理清楚，得到對空間和時間的直覺?？档抡f，感性直覺有兩個純形式，它們是先天知識的原則，這兩個純形式就是空間和時間?？臻g是外直覺的純形式，而時間是內直覺的純形式，它們都不是從外鄰經驗得來的，而是必然的、先天的觀念?？臻g和時間不是客觀存在的，而是心智的創作。心智理解經驗，經驗喚醒心智。雖然康德的思想有著直覺主義的影子，但是依舊沒有直觀地提出直覺主義，就數學基礎的方法而言，直覺主義是現代的。[10]
亨利·彭加勒（常譯作龐加萊，Henry Poincare，1854-1912），當代語境中的數學直覺主義的先驅。后人評價為數學哲學與當代數學直覺主義之間的一座橋梁。邏輯主義對于數學基礎的理解是虛幻的。它使數學失去基礎。然而數學的基礎是存在的，它就是我們的直覺。它賦予數學以意義，從而給數學以對象。彭加勒指明了一座(本來就)架在人類精神和數學存在之間的橋梁，那便是我們的數學直覺。[11]彭加勒主張自然數是最基本的直覺，認為數學歸納法是一種包含直觀的思維方法，是不能簡單地歸結為邏輯的。他主張使用有限個詞能定義的概念，主張數學對象的可構造性。他還在另一種意義上理解和強調數學直覺，將其看做選擇和發明的工具。彭加勒認為，我們有多種直覺。然而，最重要的可以歸結為兩類：一是“純粹直覺”，即他通常所說的“純粹數的直覺”、“純粹邏輯形式的直覺”、“數學次序的直覺”等，這主要是解析家的直覺；二是“可覺察的直覺”，即想象，這主要是幾何學家“形”的直覺。對于這兩類直覺，他認為都是必要的，各自發揮著不同的作用。他認為，這兩類直覺“似乎發揮出我們心靈的兩種不同的本能”，它們像“兩盞探照燈，引導陌生人相互來往于兩個世界”。[12]
布勞威爾（L.E.J.Brouwer，1881-1966），直覺主義真正的創始人和奠基人是布勞威爾。布勞威爾在數學上的直覺主義立場來源于他的哲學。1907年他在博士論文《數學基礎》中提出直覺主義觀點,認為數學的基礎是先驗的初始直覺。數學是起源于和產生于頭腦的人類活動，不存在于頭腦之外，因此，是獨立于真實世界的。布勞威爾認為數學思維是智力構造的一個過程，它建造自己的天地，獨立于經驗，并且只受到必須建立于基本的數學直覺之上的限制。[10]布勞維爾發表的《數學基礎》表明直覺主義的立場是強調“直覺”，這并不是說否認數學的邏輯性和嚴謹性,而只是突出直覺、靈感和創造力在數學中的地位。直覺主義者認為數學不僅是最講究嚴格性的科學,也是最富有創造性的科學。布勞維爾認為數學的基礎是先驗的初始直覺,他和他的學生說他們所說的直覺正是人心對于它本身所構造的東西的清晰理解。[13]布勞維爾修改了康德的先驗時空學說，放棄了“外直覺的純形式”的先驗時空概念，以適應非歐幾何的發展;池把數學的基本直覺建立在“內直覺的純形式”的先驗時間概念的基礎之上。[14]布勞威爾還提出了“二·一原則”（tow-oneness）。他認為這是數學的基本直覺。即假設N成立，則N+1成立。這個過程可以無限重復，創造了一切有限序數，因為“二·一原則”的元素之一可以被認為是一個新的“二·一原則”。布勞威爾認為，在這個數學的基本直覺中，聯通和分離、連續和離散得到統一，并直接引出了線性連續統的直覺，即“介于”（between）的直覺。（布勞威爾《直覺主義和形式主義》）[4]93
阿倫特·海廷（Arend Heyting，1898-1980），他是布勞威爾的學生。繼承了布勞威爾有關數學直覺主義的思想。他認為，直覺主義是從一定的、多少有點任意的假設出發的。它的主題是構造性的數學思想。這使得它處于經典數學之外。形式主義和直覺主義的差別在于，直覺主義的進行獨立于形式化，形式化只能追隨在數學構造的后面。邏輯不是直覺主義的立足點，數學構造在頭腦中是很直接的，結論也應該是很清楚的，所以不需要任何基礎。海廷主張，在描述直覺主義數學時，應當在日常生活中去理解。比如，在注視那邊樹木時，我確信我看到樹木，而實際上光波達到我眼中，使我構造出樹木這一信念需要相當的訓練。這種觀點是自然的。兩個人說話，我向你灌輸意見，實際制造了空氣的震動。這是理論的構造。（阿倫特·海廷《論辯》）[4]77-88
邁克爾·達米特（又譯米歇爾·杜麥特Michael Dummett，1925-2011），當代數學直覺主義學派的代表人物。達米特認為，數學首先是先驗的，然后是分析的。達米特曾經從語言學角度和意義理論角度為直覺主義辯護。直覺主義關于數學陳述意義的解釋避免了以真概念為核心概念的意義理論的不足，它把說話者關于數學陳述的理解與說話者使用這個陳述的實際能力結合在一起，因此具有很大的優點。從直覺主義關于數學陳述的意義說明出發，達米特提出了以證實為核心概念的新的意義理論的構想。[15]202達米特指出：“對于直覺主義邏輯來說，排中律的雙重否定是有效的語義原則，就像二值邏輯認為排中律本身是有效的一樣：斷言任何陳述既不真也不假是不一致的?！盵4]132
四、直覺主義的意義以及合理性
直覺主義對古典邏輯中的排中律和雙重否定律等原理中的部分原則以及非構造性的結論持否定態度，也不承認數學中的實無限的對象和方法。數學的歷史也表明，數學知識與理論不僅無法脫離對外部世界的永恒的依存關系，而且數學的錯誤不是通過限制數學，如排斥非構造數學和傳統邏輯而得到克服的。數學真理的積累以及對謬誤的拋棄是通過數學知識的不斷增長和理論的不斷完善獲得的。一句話、數學的生命在于生生不息的創造過程中。慶幸的是，直覺主義由十其思想體系中某種先天的弱點而末成為數學的統治思想。但也應看到其構造思想的重要價值。[16]123-124可以說，直覺主義學派在本質上是主觀和荒謬的，以直覺上的可構造性為由來絕對的肯定直覺派數學是不能真正解決問題的。但是，直覺主義揭示了經典邏輯只具有相對的真理性，在具體的數學工作中具有重要意義。
首先，數學哲學中的直覺主義學派高度認可直覺和個人的創造性思維在科學實踐中的作用，推動了現代遞歸函數論的建立和發展，這無疑對數學的進步起到了很積極的作用。其次，直覺主義者倡導的構造性的能行性的研究方法,促進了人工智能和計算機科學的發展。這種積極探討可行性方法在計算機數學以及計算機科學中具有重大的現實意義。第三，直覺主義數學哲學的思想方法在素質教育理論研究與實踐上，具有寶貴的參考價值。在數學教育中，邏輯的作用很明顯，其特征為，從已知知識出發,依據邏輯規則進行推導和演算,一步一步地達到對研究對象的認識。而直覺主義可以跳躍式地認知，雖然能一步得到正確答案，卻無法說清楚其中的步驟。直覺主義雖排斥傳統邏輯，但與邏輯關系十分密切，對培養良好的數學邏輯觀念有著不可忽視的作用。另外，直覺主義有助于培養數學教育中大膽猜測的思維習慣。這種創新和探索精神有利于數學的進步和發展。
參考文獻：
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