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高考數學常用數值范文1
【關鍵詞】直線；圓錐曲線；常見題型；解題技巧
與圓錐曲線高中解析幾何的核心內容及研究對象，學生通過學習圓錐曲線，能夠逐漸培養起自己的數形結合思想及解決實際問題能力，這部分知識內容在歷年高考試題中都占據較大分值，圓錐曲線常常與直線結合共同出題考查學生知識、解題技巧，考察形式豐富多樣，但是大致上能分為幾種，下面我們就先來分析下直線與圓錐曲線知識點的考查特點.
一、直線與圓錐曲線知識點的考查特點
（一）基本性質問題
高中數學教材將圓錐曲線性質總結歸納為以下內容：圓錐曲線對稱性、范圍、離心率及頂點等等，考查圓錐曲線基本性質就各個知識點間聯系時常常表現出以下特點：圓錐曲線定義與焦半徑、離心率結合；參數值與離心率結合；參數值與漸近線結合；參數值與準線間結合.
（二）曲線方程與軌跡問題
解析幾何體系內部各個知識點之間錯綜復雜的關系，使得學生不能較清晰的理解并系統的掌握其知識體系，求多動點軌跡方程這類問題是解析幾何中數學的重點和難點，這類問題中有時不只含有一個的主動點或者從動點，動中有靜，因此求軌跡方程只要挖掘已知條件，將動點滿足的規律找出來，并將規律用動點的坐標表示或成等式即可.
圓錐曲線解答題中出現頻率最高的是方程與軌跡問題，而且常常放在大題第一問，一些設問一句曲線原本具有性質來求解曲線方程，或者是根據已知條件求曲線參數值；也有一些解答題依據平面動點運動規律與滿足條件求軌跡方程，這兩者都是求圓錐曲線方程，屬于一類.除了圓錐曲線方程及參數值類型題目之外，主要還有以下幾種題目類型：兩種曲線交匯、以焦點弦、切線為條件、以平面圖形周長或面積為條件等等.圓錐曲線軌跡問題中，軌跡生成方式基本上有三種：將圓錐曲線定義及性質作為出發點、將其他曲線作為運動載體及將向量關系作為條件.
（三）定值及定點問題
這部分問題主要是從圓錐曲線的一些性質得出的，涉及直線與圓錐曲線位置關系、兩直線位置關系、及點與圓錐曲線位置關系等等.新課程改革實施之后，高考越來越重視考查學生的綜合能力，圓錐曲線的定點、定值問題是考查其綜合能力的重要途徑，這些試題具有解法多樣、整體思路令人深思等特點，成為高考熱門話題，結合近幾年高考試題，這類問題大致能分成以下四種形式：曲線過定點或點在曲線上、角或斜率是定值、多個幾何量運算結果是定值、及直線過某定點或點在某定直線上.
（四）最值及值域問題
圓錐曲線中典型問題就是最值及值域問題，而且這部分問題常常與函數、不等式、向量及導數等知識進行交匯，在考查學生分析問題、解決問題能力方面具有重要作用.分析近幾年來高考，對這部分問題考查主要有這五種試題類型：距離或長度最值、面積最值、多個幾何量運算結果最值、斜率范圍及最值條件下的參數值.
二、直線與圓錐曲線常見解題思想方法
直線與圓錐曲線常見解題思想方法有兩種：幾何法與代數法，下面將具體分析下這兩種解題思想方法.
（一）幾何法
幾何法解決數學問題主要運用了數形結合思想，結合圓錐曲線定義、圖形、性質等題目中已知條件轉化成平面幾何圖形，并使用平面幾何有關基本知識例如兩點間線段最短、點到直線垂線段最短等來巧妙地解題.
（二）代數法
代數法主要是依據已知條件來構建目標函數，將其轉化成函數最值問題，再結合使用配方法、不等式法、函數單調性法及參數法等等來求最值.
三、直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析
（一）題型一：弦的垂直平分線問題
解題技巧及規律：題干中給出直線與曲線M過點S（-1，0）相交于A，B兩點，分析直線存在斜率并且不等于0，然后設直線方程，列出方程組，消元，對一元二次方程進行分析，分析判別式，并使用韋達定理，得出弦中點坐標，再結合垂直及中點，列出垂直平分線方程，求出N點坐標，最后結合正三角形性質：中線長是邊長的32倍，使用弦長公式求出弦長.
（二）題型二：動弦過定點問題
解題技巧及規律：第一問是使用待定系數法求軌跡方程；第二問中，已知點A1、A2的坐標，因此可以設直線PA1、PA2方程，直線PA1與橢圓交點是A1（-2，0）和M，結合韋達定理，能求出點M坐標，同理求出點N坐標.動點P在直線L：x=t（t>2）上，這樣就能知道點P橫坐標，根據直線PA1，PA2方程求出點P縱坐標，得出兩條直線斜率關系，通過計算出M，N點坐標，求出直線MN方程，代入交點坐標，如果解出是t>2，就可以了，否則不存在.
四、結 語
在歷年的高考數學試卷中，圓錐曲線題目不僅分值一直保持穩定，而且題型多樣，方法靈活，綜合性強，常被安排在試卷的最后作為把關題或壓軸題.圓錐曲線的最值問題是解析幾何重點出題之一.它涉及知識面廣，常用到函數、不等式、三角函數等重點知識，而且其考查方法靈活多樣.圓錐曲線最值問題不僅能考查學生對基礎知識的掌握程度，又能體現學生靈活運用數學思想和方法綜合解決問題的能力，所以是數學學習中的一項重點.
圓錐曲線作為高中數學解析幾何的重要知識點，其中蘊含著重要豐富的數學思想方法，解析幾何基本思想是使用幾何方法解決問題，也就是數形結合思想，所有的數學試題都不能離開形只談抽象數或者是研究圖.另外一種解決問題的數學思想方法是代數方法，主要是依據已知條件來構建目標函數，將其轉化成函數最值問題，再結合使用配方法、不等式法、函數單調性法及參數法等等來求最值.本文在歸納總結直線與圓錐曲線知識點的考查特點基礎上，結合使用相應數學思想方法，給出直線與圓錐曲線的常見題型及解題技巧實例分析，為學生解答此類題提供方法借鑒.
【參考文獻】
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一、直接求解法
直接從題設條件出發，運用有關概念、性質、定理、法則等知識，通過推理運算，得出結論的方法叫直接法.它是解填空題的最基本、最常用的方法.
例1（2016新課標Ⅰ）已知θ是第四象限角，且sinθ+π4=35，則tanθ-π4=.
解析由題意sinθ+π4=sinθ-π4+π2=cosθ-π4=35，
因為2kπ+3π2
所以2kπ+5π4
從而sinθ-π4=-45，因此，tanθ-π4=-43.
故填-43.
二、特值代入法
當填空題已知條件中含有某些不確定的量，但題目暗示答案可能是一個定值時，可以將變量取一些特殊數值、特殊位置或者一種特殊情況來求出這個定值，這樣，可簡化推理、論證的過程.
例2（2014湖南）若f（x）=ln（e3x+1）+ax是偶函擔則a=.
解析由題意知，函數f（x）的定義域為R，且為偶函數，
所以f-13-f13=0，
即ln（e-1+1）-a3-ln（e+1）-a3=0，
lne-1-23a=0，解得a=-32.
三、圖像法
對一些含有幾何背景的填空題，若能數中思形，以形助數，將問（如，解方程、解不等式、求最值、求取值范圍）與某些圖形結合起來，使代數問題以幾何的形式直觀地呈現出來，使抽象思維和形象思維有機結合，利用圖形進行直觀分析，再輔以必要的計算，則可以簡捷地解決問題，得出正確的結果.
例3（2014新課標Ⅱ）已知偶函數f（x）在[0，+∞）單調遞減，f（2）=0，若f（x-1）>0，則x的取值范圍是.
解析因為f（x）是偶函數，所以圖像關于y軸對稱，
又f（2）=0，且f（x）在[0，+∞）單調遞減，
則f（x）的大致圖像如圖所示，
由 f（x-1）>0，得-2
四、構造法
在解決某些數學問題時，可以通過對條件和結論充分細致的分析，抓住問題的特征，聯想熟知的數學模型，然后變換命題，恰當地構造輔助元素，它可以是一個圖形、一個函數、一個方程、一個等價命題等，以此架起一座連接條件和結論的橋梁，從而使問題得以解決，這種解題的數學方法，稱之為構造法.
例4不等式x2-3>ax-a對一切3≤x≤4恒成立，則實數a的取值范圍是.
解析由題意得，不等式a
設f（x）=x2-3x-1，則f′（x）=x2-2x+3（x-1）2=（x-1）2+2（x-1）2>0，
所以f（x）=x2-3x-1在[3，4]上是增函數，故 f（x）的最小值為f（3）=3，
所以a
五、等價轉換法
等價轉換是把待解決的問題轉化為在已有知識范圍內的問題的一種重要的思想方法.通過不斷轉化，把不熟悉、不規范、復雜的問題轉化為熟悉、規范甚至模式化、簡單的問題.
例5（2014重慶）函數f（x）=log2x?log2（2x）的最小值為.
解析f（x）=log2x?log2（2x）=12log2x?2log2（2x）=log2x?（1+log2x）.
設t=log2x，x∈R，則原函數可化為
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一、客觀題“穩”字優先
選擇題注重基礎，較以往選擇題的難度基本持平，試題全部考查基礎知識，題題源自教材，引導考生回歸課本。第3題以平面向量的數量積為載體，實常用邏輯用語中的充要條件判斷，有零向量的干擾，有一定的難度，第6題和復數問題不是以往的具體的復數運算，而是利用抽象復數的形式集中體現了對復數模的性質探究，加上設問角度問的是假命題的判斷，更增加了問題的難度；可以試著舉出反例排除篩選。第7題只要用普通三角形的“身影定理”，不用動手，就可以看出答案來，算是所有選擇題中最簡單的一個了。像這樣不用動手“一眼看穿”的題還有第1、2、5題。這些題既有考查基本概念、通性通法，也有對能力要求較高，在知識點的交匯處命題。
二、填空題表現平穩
其中第（11）、（12）、（13）等題均源自教材，是考查基礎知識和基本技能的常規題，一般考生都能從容應對。（15）題是一道選考題，“不等式選講”如約而至，考查了柯西不等式的應用，可以通過“對稱式的特點”，當a=b=■，m=n=■時（am+bn）（bm+an）獲得最值；“幾何證明選講”考查了同弧上的圓周角相等，相似三角形的判定；“坐標系與參數方程”要用給定參數表示圓心在x軸上過原點的圓的參數方程，考查曲線與方程的關系用三角函數的基礎應用。選考要求對提供的信息和情境進行了多角度、多層次的分析、論證，集多種能力考查于一體，著力考查考生的審慎思維習慣和一定的數學視野，考核考生繼續學習的潛能，需要考生在一定量的解題訓練后獲得解題靈感。命題者在控制運算量的同時，加大了對思維能力考核的力度。
三、解答題平易近人，“穩”中求活
六道解答題特點明顯，少陷阱留平實，少交匯顯自然，淡化壓軸，變最后一兩題把關為多題把關，收效頗好，交匯自然，受到家長和考生的歡迎。
第16題考查了三角函數的周期與求值問題，是考生平時訓練
的常規題目，可謂是一道“送分題”，一般考生能順利完成。
第17題給出等比數列，第一問考查等比數列前n項和的推導公式；題目簡單，無需復雜的運算，富有特色，降低門檻，重視課本基礎，彰顯高考命題源于課本又高于課本的理念。本題在我校第六次模擬考試由本人命題押中，大學區四校聯考中考過原題。高考成績統計：11班該題平均得分10.7分，9班平均得分9.63分。
第18題著眼實際，彰顯數學魅力。數學是一種工具，應用的廣泛性是數學的一大特點，聯系實際的應用性問題在今年的試卷中得到比較好的體現。題目的設置，來自于實際生活的情景，突出了生活氣息和數學在現實中的應用魅力。
第19題是比較新穎的立體幾何題，它以斜四棱柱為依托，有一定的混淆度。重點考查考生的空間想象能力和運算能力以及學生面對新問題處變不驚的心態。
第20題考查了用數形結合的思想方法求拋物線方程，第二問的設計雖是證明題目，但實際是讓考生在運用所學分析問題，以求代證。但運算相對較大，不失為一道解析幾何好題。平時的?？贾卸啻慰歼^韋達定理的應用。
第21題，函數壓軸題，以學生熟悉的指數函數y=ex的切入點，通過反函數與含參數的一次函數進行組合成新函數的圖像的切線問題，第二問是通過主參分離后通過導數研究函數的單調性探究函數的零點個數，特別是最后一問，利用曲線的割線斜率與函數值的平均值大小比較進行設問，把能力的考查推向，要求考生利用分析法，作差比較法，構造函數探索結論，是一道極具選拔性，區分度較好的試題。
2013年陜西省的高考數學理科試題顯示出試題的綜合與魅力，且在平和的氣氛中引導考生發揮自己的水平。有理由相信，陜西省的數學高考命題將會在把握難度，關注區分度，彰顯數學本質，聯系生活實際，重視能力考查等方面做出更進一步的探索。
高考成績已經揭曉，11班高考數學平均126分，最高分楊××獲滿分150分，140分以上3人，135分以上7人，120分以上38人；9班平均110分，135分以上1人，120分以上14人，最高分王××136分；看來今年的難度比2012年高考理科數學要難15分
左右。
回想我們高三一年的復課工作，從三輪復習，五階段性考試，到九次?？荚嚕宦纷邅?，嚴格按考試大綱要求教學，注重少教多練從3月20日到4月20日每日一題的高強度訓練，注重通性通法，淡化技巧，注重團隊合作，教研組集體備課優勢，對高考方向把握精準。尤其是學校的考練每周兩次以及培優、補差對提高學生的成績起到了不可磨滅的貢獻。
參考文獻：
[1]葉堯城.數學課程標準教師讀本.武漢：華中師范大學出版社，2003-05.
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例1 某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并以30海里/小時的航行速度沿正東方向勻速行駛.假設該小艇沿直線方向以v海里/小時的航行速度勻速行駛，經過t小時與輪船相遇.
（1）若希望相遇時小艇的航行距離最短，則小艇航行速度的大小應為多少？
（2）假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/小時，試設計航行方案（確定航行方向與航行速度的大?。沟眯⊥芤宰疃虝r間與輪船相遇，并說明理由.
解 （1）如圖1所示，要使相遇時小艇的航行距離最短，則小艇應以正北方向航行，并在C處與輪船相遇，此時
1.三角函數應用題解題的一般思維進程
①認真閱讀題目，正確理解題意.
②把文字語言合理轉化為數學符號語言和圖形語言，提取有效的數學元素，構建三角解題模型.
③明確模型中已知是什么，所求是什么，從已知到所求中，還需要哪些量，進而求解這些需求量.
④解得的代數結果是否滿足實際問題，有待檢驗.
2.解三角函數應用題常見的技巧與方法
①實際情境往往是空間問題，一般要從空間問題中提取相應的平面圖形問題.
②以解三角形為解題依托，解答相應邊與角的大小，在此基礎上解答相關的量，比如航行問題中的速度與時間等.要求考生熟知并靈活運用三角形的內角和為180°、三角函數的定義、常見三角恒等變換，掌握正弦定理、余弦定理在解三角形中的常見方法與基本技巧（比如，若等式兩邊關于邊a，b，c或角的正弦成齊次式時，可以直接在邊與相應角的正弦之間相互替換；若是關于邊a，b，c的二次等式，不妨想想是否能用余弦公式）.
③用三角函數解應用問題時，常要引入某邊或某角，并以引入量來探索所求問題的根本.
3.解答三角函數應用題的切入點以及如何避免不必要的失分
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由于選擇題，不要求嚴密完整的推理過程，用特殊化進行探索、猜想、驗證，可使解題過程簡單，思路敏捷，獲取答案快而準，是一種巧法，絕不是投機取巧。
一、 用特殊化解決選擇題的條件
由于特殊化是一般向特殊轉化，所以能用特殊化解答的選擇題必須具備下面條件之一：
①題設在某一范圍內變化并且在這一范圍內有特殊情形的問題；
②結論在某一范圍內變化并且在這一范圍內有特殊情形的問題。
二、 用特殊化解選擇題的類型
若我們把題設（結論）看作集合，則用“特殊化”思維解選擇題的關鍵是對題設（結論）集合中元素的特殊化，確定特殊元素。因此，對于不同的數學問題，因題設集合元素的不同而有不同的特殊化元素集合，根據不同特殊元素可以進行分類，大致分三大類型。
（一） 特殊值型
在解決不等式、數列、三角、向量等問題時，有時對題設集合中元素賦特殊值，從而使問題的解決更簡潔、快速。
1.特殊數
例1.（08全國卷二）若x∈（e-1，1），a=lnx，b=2lnx，c=ln3x則（ ）
（A）a
分析：在（e-1，1）上取一個特殊數值x=e，則a=lne=-，b=2lne=-1，c=ln3e=-，故選C。
2.特殊項
例2. （08長春實驗中學月考二）已知a1=1，an=n（an+1-an）n∈N*，則數列{an}的通項公式為（ ）
（A）2n-1 （B）（）n-1 （C）n2 （D）n
分析：取特殊項來檢驗，先求a2，當n=1時，a1=1?（a2-a1），即a2=2，根據選擇支使a2=2只有D，故選D。
（二） 特殊圖形型
在解決立體幾何或解析幾何問題時，有時對一般點賦特殊點，對線段賦特殊線段，對曲線賦特殊曲線等等，從而使問題更方便、更準確的解決。
1.特殊點
例5. （08南京模擬）P是長方體AC1上底面A1C1內任一點，設AP與三條棱AA1，AB，AD所成的角為α，β，γ，則cos2α+cos2β+cos2γ的值是（ ）
（A）1 （B）2 （C） （D）0
分析：點的位置特殊化，可設點P于A1重合，則AP與三條棱AA1，AB，AD所成的角分別為0°、90°、90°，而cos20°+cos290°+cos290°，故選A。
2.特殊線段
例6 （07浙江溫州模擬）已知斜三棱柱ABC-EFG，M，N分別在棱AE，CG上，使EM=CN，
則斜三棱柱ABC-EFG被截面MNF分成上下兩部分的體積之比（ ）
（A）1：1 （B）2：1
（C）3：1 （D）4：1
分析：利用特殊化方法把條件ME=NC特殊化成
ME=NC=0，即M與E重合，N與C重合，由N
VC-EFG=VABC-EFG
可得被截面分成G
兩部分的體積之比 2：1， 故選B。
三、用特殊化解選擇題的思路
“特殊化”解選擇題的關鍵是確定特殊元素，那怎樣確定出特殊元素？大致有如下幾條思路：
（一）根據題設來確定特殊元素。例如例1，從條件（e-1，1）上取一個特殊數值x=e來選出正確答案。
（二）根據結論來確定特殊元素。例如例2，結論是數列{an}的通項公式，故聯想到它的特殊情況a1，a2等，最后選出正確答案。
（三）根據選擇支與選擇支之間的關系來確定特殊元素。例如例2，觀察選擇支，若n=1，就無法排除A、C、D，若n=2，4個選擇支答案都不同，故可以快速選出正確答案。
以上三種思路來確定特殊元素，常常相互制約，綜合應用。
參考文獻：
[1]董孝忠.《特殊化方法在解選擇題中的應用》. 中學教與學 2004年01期.
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選擇題是屬于“小靈通”題，其解題“不講道理”，所以解答選擇題的基本策略是“不擇手段”、“小題不能大做”，小題需小做、繁題會簡做、難題要巧做，解答大部分選擇題的基本策略是“直接求解策略”，直接求解策略是由題干給出的條件出發，進行演繹推理，直接得出結論，再將該結論與四個選項做比較，從而決定出應該選擇的符合題目要求的選項的求解策略。這種策略多數用于一些定量性的問題，是解選擇題最常用的策略。其次，部分選擇題還可用“間接求解策略”，間接求解策略是充分利用選擇題給出的全部信息：包括題干給出的信息，四個選項提供的信息以及四個選項中只有一個是符合題目要求的信息，不進行或少進行直接運算，而進行選擇的策略。間接求解策略包括逆向化策略，特殊化策略，圖形化策略，極限化策略，整體化策略及其他策略，在解選擇題時要根據題干和選擇支兩個方面的特點靈活運用上述一種或幾種策略“巧解”，在“小題小做”、“小題巧做”上做文章，切忌盲目地采用直接求解策略。另外，由于選擇題供選答案多、信息量大、正誤混雜、迷惑性強，稍不留心就會掉下“陷阱”，應該從正反兩個方面肯定、否定、篩選、驗證，既謹慎選擇，又大膽跳躍。作為平時訓練，解完一道題后，還要引導學生考慮一下能不能用其他方法進行“巧算”，并注意及時總結，這樣才能有效地提高解選擇題的能力。
一、直接求解法
有些選擇題是由計算題、應用題、證明題、判斷題改編而成的。這類題型可直接從題設的條件出發，利用已知條件、相關公式、公理、定理、法則通過準確的運算、嚴謹的推理、合理的驗證得出正確的結論，然后與選擇支對照，從而作出相應的選擇。這種方法稱之為直接求解法。
反思：直接求解策略是解選擇題的最基本方法，運用直接求解策略時，要注意充分挖掘題設條件的特點，利用有關性質和已有的結論，加快得到所需結論，如本題通過分析條件得到f（x）是周期為4的函數，利用周期性是快速解答此題的關鍵。一般說來，當選擇支提供的信息對正確選擇無多大幫助時，可考慮運用直接求解法。
二、逆向化法
在解選擇題時，四個選項以及四個選項中只有一個是符合題目要求的都是解題重要的信息。逆向化策略是把四個選項作為首先考慮的信息，解題時，要“盯住選項”，著重通過對選項的分析，考查，驗證，推斷進行否定或肯定，或者根據選項之間的關系進行邏輯分析和篩選，找到所要選擇的，符合題目要求的選項。逆向化策略與直接求解策略的解題方向相反，是充分利用題目中的選項信息進行解題的一種策略，但是在解題時，逆向化策略常常與其他解題策略結合起來使用。
分析：觀察四個選項中有三個答案不含2，那么就取m=2代入驗證是否符合題意即可，取m=2，則有f（x）=4x2=4x+1=（2x-1）2，這個二次函數的函數值f（x）>0對x∈R且x≠恒成立，現只需考慮g（x）=2x當x=時函數值是否為正數即可。這顯然為正數。故m=2符合題意，排除不含m=2的選項A、C、D。故選B。
反思：本題雖然是考生比較熟悉的一次函數和二次函數問題，主要考查函數、方程、不等式等知識解決問題的能力，運用直接求解策略解答難度較大，但運用逆向化策略則顯得簡潔明快。
三、特殊化法
在求解數學問題時，如果要證明一個問題是正確的，就要證明該問題在所有可能的情況下都正確，但是要否定一個問題，則只要舉出一個反例就夠了，基于這一原理，在解選擇題時，可以通過取一些特殊數值，特殊點，特殊函數，特殊數列，特殊圖形，特殊位置，特殊向量等對選項進行驗證，從而可以否定和排除不符合題目要求的選項，再根據4個選項中只有一個選項符合題目要求這一信息，就可以間接地得到符合題目要求的選項，這是一種解選擇題的特殊化法。
分析：取an=kn（k≠0），容易計算滿足題設ap+q=ap+aq，又a2=-6，k=-3 ，即an=-3n，a10=-30，故選（C）。反思：本題的直接求解策略是比較難于下筆的，選取一個符合題目要求的特殊數列可以把抽象問題具體化。從而迅速破解。
運用特殊化策略是解高考數學選擇題的最佳策略，解題時，要注意：①所選取的特例一定要簡單，且符合題設條件；②特殊只能否定一般，不能肯定一般；③當選取某一特例出現兩個或兩個以上的選項都正確時，這是要根據題設要求選擇另外的特例代入檢驗，直到排除所有的錯誤選項達到正確選擇為止。
四、極限化法
有一些選擇題中，有一些任意選取或者變化的元素，我們對這些元素的變化趨勢進行研究，分析它們的極限情況或者極端位置，并進行估算，以此來判斷選擇的結果。這種通過動態變化，或對極端取值來解選擇題的策略是一種極限化法。
反思：用極限法是解選擇題的一種有效方法，也是在選擇題中避免“小題大做”的有效途徑。它根據題干及選擇支的特征，考慮極端情形，有助于縮小選擇面，計算簡便，迅速找到答案。
五、整體化法
