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函數最值的應用范文1
俗話說得好：“學好數理化，走遍天下全不怕”，我們在講解數學知識的過程中也要充分和實踐相結合。綜合分析多年來的單招高考試題，不難發現，試卷的重難點大多集中在函數這一章節。函數知識點靈活，和中職所學的很多知識都有關聯，均值定理是中職數學的重要組成部分，在單招高考中占有一定的比重，成為單招高考的高頻考點，總能以各種形式出現在單招高考的舞臺上，成為考驗學生綜合能力素養的體現。因而，我們教師如何將均值定理運用于函數最值這一個知識點講得通透準確顯得尤為關鍵，下面給出常規的例題講解和教學方法。
一、指導學生多種解題思路，避免出題陷阱
例1 求函數f（x）=+x（x
對于均值問題， 最常規的解題思路是直接套用公式，但是很多學生往往忽視使用公式的前提條件，忽視“一正，二定，三相等”這一前提，因此在解答這道題時很多初學者會犯一類錯誤，直接由均值定理得出答案是2，但很明顯，當x
例2 如果a>b，ab=1，求的取值區間。
這類題我們首先應該觀察所求表達式本身的分子與分母的關系， 通過使用配湊法以及取公因式得到新的函數，根據題目所給條件，確定a>b，a-b>0確保了“一正，二定，三相等”的使用原則，令x=a-b=a-，則f（x）==x+（x>0），很快利用公式可以算出取值區間。在解決此類題的過程中，最重要的是引導學生簡單地分析題目的條件，根據所給關系式運用配湊法等找出解決題目的核心，然后判斷題目所給的既定條件是否符合均值定理的使用原則，找出核心的關系式是解決此類問題的關鍵。其實之所以均值問題會成為單招高考中的殺手锏，是因為學生不能夠根據題目條件很迅速地確定答題關鍵，找出核心的關系式。因此，我們針對學生出現的這類問題，需要適時地調整我們的教學方法，盡量做到一題多解，并且指導學生掌握正確的學習方法，這對后期的學習會有更大地幫助。
二、明確學習目標，結合各地單招試題分析
很多學生對單招高考比較迷茫，對數學知識點更是沒有很好地把握。因此，我們教師要分析各地多年來的高考試卷，結合單招改革的形式，搜集有關的試題，結合例題講解，讓學生理解并學會應用均值定理解決函數最值問題。教學過程中，我們要考慮學生的接受能力，步步為營、穩扎穩打，在學生平時的學習過程中穿插一些高考題，讓他們對高考有個簡單的了解，并且在講解的過程中要注意學生的解題思路，很多學生乍一看答案都是對的，但是很多都是誤打誤撞的，并沒有準確地理解定理運用的前提，這是解題的大忌，要做到精細和準確兩手抓，確保學生明確均值定理后再開始運用。
笛С杉ê玫難生并不是老師教出來的，學習最重要的過程是反思和將知識內化，徹底理解并形成自己的思維模式才是最難能可貴的，因此我們要指導學生掌握科學的學習方法，尤其是在均值定理這一個知識點中。首先，學生得明確數學的學科性質，死記硬背是行不通的，對于均值定理雖然只有幾個簡單的概念，但是真正的消化并不容易，我們在上課的過程中就要幫助學生準確地理解均值定理的由來，三個條件缺一不可。其次，在我執教的過程中，我都會要求學生準備錯題集，均值定理在函數最值問題中的應用范圍很廣，很多題目初看覺得和定理無關，其實很多解題關鍵都是很隱秘的，學生必然會掉到陷阱里。那么如何將這些知識做一個很好的歸類呢？這就要發揮錯題集的作用了，將自己經常錯的和題目條件隱晦的題目整理起來，幫助自己后期系統復習，也彌補了這類知識的學習漏洞，考前將錯題重新做一下相較于做新題更有價值，學習本就是不斷溫故知新的過程。
綜合而言，均值定理的教學過程中要充分幫助學生正確地理解使用原則，并且運用不同的典型例題進行講解，幫助學生建立基本的知識架構，并且要做到一題多解，避免學生思維單一性。最關鍵的是要指導學生科學的學習方法，讓學生成為學習的主體，完成對知識的內化。
【參考文獻】
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關鍵詞：函數最值；基本方法
在中學數學中常遇到一類求函數最大值、最小值的問題，它是中學數學教與學中普遍感到困難的一類問題。函數最值涉及的知識面較廣，方法也靈活多變，訓練思維能力效果好，因此在數學中占有重要的地位，要學好函數最值就必須了解和掌握求函數最值的方法與技巧。函數最值的基本方法有很多，這章主要介紹代數法、導數法、構造法、數形結合法、引進復數求函數最值。
一、配方法
代數法是中學階段應用最廣泛的方法，它包括配方法、判別式法、換元法、不等式法等。首先，我們介紹配方法。
利用配方法將二次型轉化為標準型求函數最值的方法不僅易于掌握，而且思路清晰，操作簡單，它是求二次函數最值一種行之有效的方法。配方法及其思想在數學分析、高等代數、空間解析幾何等中都有著廣泛的應用。配方法的基本步驟如下：
函數y=ax2+bx+c，經配方得
y=ax+2+，
若a>0，當x=-時，ymin=；
若a
配方法是一種對數學式子進行定向變形（配成完全平方）的技巧，通過配方找到已知和未知的聯系，從而化繁為簡。掌握這一方法關鍵在于合理運用“裂項”與“添項”、“配”與“湊”的技巧。
二、判別式法
判別式法主要是應用方程的思想來解決函數的最值。它是我們解題時常用的方法，具體的過程如下：
將函數y=，
改寫成關于x的一元二次方程a（y）x2+b（y）x+c（y）=0，
則它有實數解x的充要條件是其判別式Δ=b2（y）-4a（y）c（y）≥0，
從而由等式（方程）轉化為關于y的不等式，從而求其最大或最小值。在解題中應注意a（y）≠0。
利用判別式法求函數的最值時應注意兩點：
（1）求函數的定義域；
（2）對于二次方程的二次項系數要分零和非零兩種情形。
三、換元法
利用題設條件，用換元的方法消去函數中的一部分變量，將問題化歸為一元函數的最值，以促成問題順利解決。求函數最值的換元法主要有三角換元法和代數換元法。中學數學中較常見的是下面兩種形式的換元。
（1）y=ax+b+，令t=，將y轉化為t的二次函數，再求最值。
（2）y=asinxcosx+c（sinx±cosx）+c，令t=sinx±cosx，將y轉化為t的二次函數，再求最值。
四、不等式法
中學數學中利用均值不等式求函數最值是一種基本的、常用的方法。靈活運用均值不等式，能有效地解決一些給定約束條件的函數最值。均值不等式的運用有三個嚴格的限制條件，即（1）各項均為正數；（2）積或和是定值；（3）等號能否取到，簡言之“一正二定三相等”，三個條件缺一不可。以下是有關均值不等式兩個定理。
定理1：當a，b∈R+時，則≥，當且僅當a=b時等號成立。
定理2：當a，b，c∈R+時，則≥，當且僅當a=b=c時等號成立。
五、導數法
導數法一般用來解決一類高次函數的最值。
用導數法求函數最值的步驟為：
第一步：找出fx在a，b內所有可能的極值點，即駐點和一階不可導點；
第二步：求出fx在上述點和兩個端點a與b處的函數值；
第三步：將函數值進行比較，最大者即為最大值，最小者即為最小值。
綜上可知，函數最值內涵豐富，解法靈活，沒有通用的方法和固定模式，在解題時要因題而異，而且上述方法并非彼此孤立，而是相互聯系、相互滲透的，有時一個問題需要多法并舉，互為補充，有時一個題目又會有多種解法，因此，解題的關鍵在分析和思考，因題而異地選擇恰當的解題方法，當一題有多種解法時，應注意選擇最優解法。以上就是本文整理出的有關于求函數最值的一些解法。當然求函數最值的方法不止這些，這里只是對求函數最值的方法作部分的歸納，具體的方法還有待去進一步的發現和總結。
六、結語
函數最值的方法是數學解題中既重要又實用的技巧。因此，深刻理解函數最值，熟練掌握求解函數最值的方法并在實踐中靈活運用，是我們學好數學的關鍵。
以上求解函數最值的方法與應用并不全面，事實上還存在很多有關函數最值的求解方法和在其他方面上的應用，因此需要不斷更新、研究，以便總結出更多求解函數最值的方法和更有效地應用這些方法解決函數最值，讓函數最值的方法的應用更加廣泛。
參考文獻：
1.張弛.函數的最值及其應用.黑河教育，2004（2）：34.
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關鍵詞：函數；最值；解法；應用
一、引言
最值問題是數學領域中的重要組成部分，更是函數研究中尤為重視的一塊分支。它貫穿于多個學科中，更是被頻繁的應用于一些日常生活中各種實際問題的解決，而其解法又具有多樣性和靈活性，函數最值問題本質是求取具體問題的最優解，對于不同的最值問題，采取的解決辦法都不盡相同，但其整個解題的思維方式都是通過一次或多次的轉化，使其轉化為相對簡單的問題去求解。因此，本文通過對函數最值常見解法的探究，闡述了函數最值問題解法研究的重要性，并結合生活中的實例，進一步加強對函數最值問題解法的靈活運用，并分析總結出求解最值問題時應注意的一些問題，對后人的學習和研究奠定基礎。
二、函數最值常見解法
（一）定義法：關鍵在于抓住定義中的“任意性”和“存在性”。
（二）配方法：主要針對二元函數的一般形式[1]，即
四、結束語
本文介紹了幾種常見的有關函數最值問題的解法，并結合實際給出了生活中不同方面的關于最值的實例，將生活中的問題轉化為數學思維來求解，同時探討了解題時需要注意的細節，總結出求解問題的關鍵在于找準變量關系選擇合適方法，因此靈活的運用函數最值的解法是至關重要的，通過它解決的不僅是學業上的課題，而且它將在解決實際問題中扮演著一個至關重要的角色。
參考文獻：
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一、通過配方求最值
這是一種應用甚廣的基本方法，也是處理多元函數最值問題比較有效的方法。用配方法求最值問題的基本思路是設法將問題通過變式配成若干個完全平方式之和的形式，然后根據一元二次函數的單調性進行求解。例1：2x2+4xy+5y2-4x+2y-5可取得的最小值為多少？解：原式=（x+2y）2+（x-2）2+（y+1）2-10由此可知，當x=2，y=-1時，有最小值-10。例2：求函數y=5sinx+cos2x的最值。解：y=5sinx+1-2sin2x=-2（sinx-54）2+338，可知，取sinx=1，即當x=2kπ（k∈Z）時，ymax=-2×116+338=4，取sinx=-1，即當x=π+2kπ（k∈Z）時，ymin=-2×8116+338=-6。評注：用配方法求最值問題的依據是把問題轉換成二次函數，結合二次函數的圖像來求。在最后一步把數據代入配方得到的式子中要注意自變量的取值范圍，也就是確定定義域的范圍（如例2中對稱軸是x=54而sinx的最大值為1）。這種方法適用于求二次函數的最值或可轉化為與二次函數有關的最值問題。
二、通過均值不等式求最值
均值定理構成的注意事項。首先，我們應當關注如下的預備知識。二元均值不等式：a+b2≥姨ab（a＞0，b＞0，當且僅當a=b時取等號）。三元均值不等式：a+b+c3≥abc3姨，（a＞0，b＞0，當且僅當a=b=c時取等號）。n元均值不等式：a1+a2+…+ann≥a1a2…ann姨（a1＞0，a2＞0，…，an＞0，當且僅當a1=a2=…=an時取不等號）。同時，在運用均值不等式求最值時應注意以下三點。1.函數解析式中各項均為正數。2.函數的解析式中含有變數的各項的和或積必須有一個定值。3.含變數的各項均相等時才能取得最值。例3：求函數y=ax2+x+1x+1（x＞-1且a＞0）的最小值.解：y=ax2+x+1x+1=ax+ax+1+（1-a）=a（1+x）+ax+1+1-2a≥2a（x+1）ax+1姨+1-2a=1，當且僅當a（x+1）=ax+1，即x=0時等號成立，所以y的最小值為1滿足其等號成立的條件，若不滿足則改用其他方法，如單調性。
三、通過數形結合法求最值
數形結合法在中學數學教學過程中的應用十分廣泛，它的主要思路是代數和幾何思想的完美結合。通常是在解決代數問題時，純代數方法有時很難達到目的，這時把幾何的思想滲透進來，往往問題能得到較好的解決。例4：若a、b是小于1的正數，證明：a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2證明：作邊長為1的正方形ABCD，分別在AB、CD上取AE=a，AG=b，過E、G作EF∥AD，GH∥AB，交DC于F，BC于H，EF與GH交于O，連結OA、OB、OC、OD、BD、AC.OA=a2+b2姨，OB=（1-a）2+b2姨，OC=（1-a）2+（1-b）2姨，OD=a2+（1-b2姨）.而OA+OC≥AC，OB+OD≥BD.即a2+b2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥姨2，（1-a）2+b2姨+a2+（1-b2姨）≥姨2.故a2+b2姨+（1-a）2+b2姨+a2+（1-b）2姨+（1-a）2+（1-b）2姨≥2姨2.評注：所有數形結合就是代數與幾何結合起來探尋解決問題的方法。其應用范圍在于用純粹的代數思想很難解決的代數問題時，可借助相關的幾何圖形，根據幾何性質能有助于我們把復雜問題簡單化。
四、利用函數單調性求最值
先判明函數給定區間上的單調性，而后依據單調性求函數的最值。1.對于一次函數、指數函數、對數函數等單調遞增或單調遞減的函數，若定義域的閉區間，如x∈[m，n]，則f（m）與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值。2.求二次函數f（x）=ax2+bx+c在[m，n]上的最值時，先判定對稱軸x=-b2a是否屬于[m，n]，若x=-b2a∈[m，n]，則f（m）、f（n）與f（-b2a）中較大者是最大值，較小者是最小值，若x=-b2a埸[m，n]則f（m）與f（n）中較大者為最大值，較小者為最小值；若二次函數f（x）=ax2+bx+c的定義域為R，當a＞0時，有最小值ymin=4ac-b24a.當a＜0時，有最大值ymax=4ac-b24a.例5：已知函數f（x）定義域為R，為對任意x1，x2∈R的都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-2，試判斷f（x）在區間[-3，3]上是否有最大值和最小值？如果有，試求出最大值和最小值；如果沒有，請說明理由。解：令x1=x2=0，則f（0）=f（0）+f（0），f（0）=0.令x1=x，x2=-x，則f（x）+f（-x）=f（0）=0，f（x）=-f（-x），f（x）為奇函數。設x1，x2∈R，且x1＜x2，則x2-x1＞0，f（x2）-f（x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2-x1）＜0，f（x2）＜f（x1），f（x）在R上為減函數。又f（1）=-2，f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=3f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6，又f（x）在[-3，3]上為減函數，故當x=-3時，f（x）max=f（-3）6，當x=3時，f（x）min=f（3）=-6.評注：利用函數的單調性是求最值問題的常用方法，解題是必須先確定函數的單調區間，各區間的增減性。如y=f（x）+kf（x）或利用基本不等式求最值不能奏效時，往往考慮用函數的單調性來解。單調性法主要是指定義法和導數法，其中以導數法用得最多，主要用于求三次多項式函數的最值和解決實際問題中的最優化問題。
五、利用判別式求最值
這是一種在求分式最值、分子分母含有二次項并且能把函數化成一元二次函數形式的方法。在平常教學中應用頗為廣泛，學生也易掌握。若函數y=f（x）可化成一個系數含有y關于x的二次方程，a（y）x2+b（y）x+c（y）=0.在a（y）≠0時，由于x、y為實數，必須有Δ=[b（y）]2-4a（y）c（y）≥0，由此求出y的所在范圍確定函數最值。例6：已知函數y=x2-xx2-x+1求其最值。分析：從整體函數看，其自變量為x是二次函數，通過yx2-yx+y=x2-x進而有（y-1）x2+（1-y）x+y=0。因x∈R，然后運用到“Δ”求y的取值從而達到解題目的。解：由y=x2-xx2-x+1得（y-1）x2+（1-y）x+y=0.y=1時x無解，必須使得Δ=（1-y）2-4y（y-1）≥0，-13≤y≤1.y≠1，y最小值等于-13.評注：判別式法主要適用于可化為關于x的二次方程的函數，當x的范圍是R時，僅考慮Δ即可，當x的范圍非R時，還需要結合圖形另解不等式，不能擴大y的取值范圍。
六、利用換元法求最值
所謂換元就是變量替換，是指把一個數學式子中的某一些以另一些與此相關的量去替代，從而使該數學式子變得較為簡單或易于解決的化歸過程，其實質是數集到數集的映射化歸。主要有三角換元和代數換元兩種，用換元時要特別注意中間變量的取值范圍。1.數學式換元。例7：求9（x2-x+1x2+x+1）2+5（x∈R）的最大值與最小值。解：令：x2-x+1x2+x+1=y，去分母得（y-1）x2+（y+1）x+（y-1）=0，而x∈R，因此該方程的判別式Δ≥0，即（y+1）2-4（y-1）2≥0.解得13≤y≤3.在z=9y2+5中，其函數是增函數，所以當y=13時，函數有最小值6，當y=3時，函數有最大值86。例8：求y=姨x+2+12x+8（x＞-2）的最大值。分析：此題為含根號的分式函數，不能直接運用均值不等式求最值，考慮分子常數化，變形后對分母用均值不等式。解：設姨x+2=t，則x=t2-2，故y=12•t+1（t+1）2-2（t+1）+3=12•1（t+1）+3t+1-2≤12•12姨3-2=姨3+18，當且僅當t+1=3t+1且t＞0，即t=姨3-1，x=2-2姨3時，等號成立，即所求的最大值為姨3+18.2.三角換元。三角函數中的求最值問題因其注重數學知識間的交叉、滲透，解法靈活多變，突出對思維的靈活性和嚴密性的考察，歷來都是高考中的常見題型。學生在解決這些問題的過程中常常由于個別環節上的疏漏而導致失誤丟分。下面通過對典型錯解例題的剖析，揭示題型規律，提高解題的準確性。例9：已知a2+b2≤2，c2+d2≤4，求ac+bd的最大值。分析：若這道題直接運用不等式進行解題可能會產生錯解，因為2ac≤a2+c2，2bd≤b2+d2，所以ac+bd≤a2+b2+c2+d22=3但其中取等號的條件a=c，b=d才能成立。于是得到a2+b2=c2+d2，與已知相矛盾。在這種情況下，我們應用三角函數替代得到a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，代入原式得到一道簡單的三角函數題。解：設a=姨2cosα，b=姨2sinα，c=2cosβ，d=2sinβ，則ac+bd=2姨2（cosαcosβ+sinαsinβ）=2姨2cos（α-β）≤2姨2，當且僅當cos（α-β）=1時，即（a=b=1，c=d=姨2或a=b=-1，c=d=-姨2成立時取等號），ac+bd的最大值為2姨2.評注：換元的方法形式多種多樣，有的甚至涉及到多步換元或多種換元相互運用，我們要注意的是不管怎樣變換，其變換的取值范圍都不能改變。這種方法有助于我們把復雜的式子簡單化，利于我們求解。
七、結語
函數最值的應用范文5
[關鍵詞] 導數 函數 單調性
導函數即導數,作為研究函數的重要工具,函數思想在其定義闡述與應用過程中貫穿始終。隨著課程改革的全面深化,導數知識進入新教材后為函數解題思路開辟了新的途徑,《導數在研究函數中的應用》也逐步成為數學知識考查的重點。隨著導數知識考查要求的增強,如何利用其有效地聯系函數知識點及相關數學思想來進一步提升學生的探究、穿行能力,成為當前高中數學教學的重點課題。
一、導數在研究函數中的應用類型
《導數在研究函數中的應用》一節的學習目標主要包括以下三點:一是從幾何角度直觀認識導數與函數單調性間的聯系,可利用導數分析其單調性并求取單調區間;二是掌握函數在某點X0取極值的充分、必要條件,并以此為工具求取函數極大值與極小值;三是能求取三次以下多項式函數的閉區間最值。本文即結合課程教學目標及相關試題對此問題進行分析。
二、利用導數研究函數問題的類型
1.利用導數解決函數圖像切線問題
在解析幾何問題中引入導數幾何意義,有助于拓寬解題思路。導數f′(x)的幾何意義在函數圖像上表示為曲線y=f(x)上某點P(x0,f(x0))處的切線斜率f′(x0)。究其具體應用而言,如已知曲線y=f(x)、點P(x0,y0),就可獲取y′=f′(x0)即切線斜率,進而得出切線方程y-y0=f′(x0)(x-x0)。
此外,在“已知一點、求與已知曲線相切的方程”之類例題的分析講解中,教師應注意幫助學生在解題思路上區分兩種情況,一是“曲線在點P處的切線”,即以P為切點的唯一切線;二是“曲線過點P處的切線”,此處點P不一定為切點且切線為2條。譬如,求與曲線y=x+9x+5相切且經過原點O的方程。該題我們可以初步判斷應存在兩切點,在求取導數方程后,可獲取切線斜率y0=3或y0=3/5,進而求出切點,聯系題中經過原點的條件,就可求得切線方程為y=-x,y=-x/25。
2.導數在函數單調性研究中的應用
單調性判斷是函數研究的重點內容,其步驟在引入導數概念后能得到一定程度的簡化,可分為如下步驟:確定函數y=f(x)的定義域;求取導函數y=f′(x);并求出方程f′(x)=0在定義區間內的一切實根;將函數y=f(x)的間斷點與各實根有序排列,并按函數定義域劃分為若干區間;最后按f′(x)在各開區間內的正負符號分別判斷函數f(x)的單調性特征。
此外,在該點的教學中,學生不能對解題思路生搬硬套,應了解其緣由。一是f′(x)在開區間(a,b)內大于或小于0是函數y=f(x)在區間內單調遞增或單調遞減的充分不必要條件。二是(a,b)內恒有f′(x)=0才可以判定函數y=f(x)在區間內為常函數,不能因個別導數為0就武斷地跑那段函數單調性。
3.利用導數取函數最值或極值
利用導數判斷函數單調性、求取函數單調區間以及最值、極值,往往與不等式、參數范圍等問題相綜合,單調性問題需要轉化為一元二次或高次不等式進行求解,且多數需要進行參數討論,因此,這一部分內容應注意培養學生分類整合、化歸轉化的解題思路及數學思想。
此外應注意的是,函數極值與最值的求取存在一定差異。以函數f(x)=(1/3)x3-4x+4為例,其極值求取首先應確定函數定義域;求取導函數為f′(x)=x2-4,并求得f′(x)=0的實數根為x=2或x=-2;最后對實數根x0進行檢驗,判斷實數根的左右兩側導數f′(x)的符號是否存在變化,由負轉正則f(x0)為極小值,反之為極大值,從上式可知f(2)=-(4/3)為極小值;f(-2)=-(28/3)為極大值。應注意的是,若f′(x0)左右兩側符號相同,則排除f(x0)為極值。函數最值就是在函數極值求取的基礎上更進一步,依據題目所給定的區間[a,b]得出函數在區間端點的值即f(a)、f(b),并根據函數單調性的判斷,將f(a)、f(b)與極值f(x0)相比較即可獲得函數在區間內的最值。該知識點應著重強調函數與不等式的綜合應用,尤其是參數不等式恒成立的證明往往需要借助于導數、函數單調性以及極值(最值)等知識點的應用。
4.用導數研究函數的零點
利用導函數性質分析函數零點是近年來高考命題的熱點題型,其實質上就是對函數極值、最值知識掌握應用情況的進一步考查。譬如,已知函數f(x)=aIn(1+x)+x2-10x,x=3為該函數一極值點,且直線y=b與函數圖像存在3個交點,試求b的取值范圍。很明顯,該題仍需要借助于導數判斷函數f(x)的極值、最值,通過數形結合的形式判斷出直線y=b與曲線y=f(x)的交點,進而得出b的取值范圍。
三、導數與函數單調性研究中的常見誤區
從上述利用導數研究函數問題的類型分析中可得出出一個結論,即函數單調性是導數在研究函數中的應用中心所在。因此,教師在講解過程中也應更加注重導數與函數單調性研究中的常見誤區分析。一是對導數與函數單調性間的聯系認識不明確。部分學生常在解題過程中誤將函數f′(x)>0(或
四、結語
綜上所述,導數在研究函數中的應用作為新課程教材的重點內容,同樣也是近年來高考試題的熱門考點,教師應注意把握這一命題,由淺入深,并將該知識點有效地與其他知識進行有效綜合,著重培養并發展學生的探究思維與邏輯推理能力。
參考文獻:
[1]蔡永強.透過現象看本質――利用導數研究函數單調性之我見[J].數理化學習,2009.5.
函數最值的應用范文6
關鍵詞：最值；圖像；應用
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711(2014)06-0151
函數是中學數學中最重要的概念之一，在初中階段，一次函數和二次函數是討論的重點。在近幾年中考的壓軸題都是出在最值問題中，而在二次函數的解題中考生往往對最值問題是最頭疼。本文就二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的最值問題，一次函數的最值問題，以及幾種常見的最值問題，以及最值的應用進行剖析。
一、一次函數中的最值問題
一次函數y=kx+b(k≠0)的圖像是直線，自變量x在全體實數范圍內，圖像沒有端點，它是沒有最大值或最小值的。但是，如果給定了自變量的取值范圍，那么y=kx+b的最大值或最小值就有可能存在，最值是圖像的端點的縱坐標，圖像包括端點就有最值，不包括端點就沒有最值。
(1)如果n≤x≤m，圖像包括兩個端點，那么y=kx+b的圖像既有最大值也有最小值(如圖1)：當k＞0時，y最大=km+b，y最小=kn+b；當k＜0時，y最大=kn+b，y最小=km+b端點是圖像的最值點，端點的縱坐標是最值。
(2)如果x≥n，圖像只有一個端點，那么y=kx+b的圖像只有最小值或最大值(如圖2)：當k＞0時，y最小=kn+b；當k＜0時，y最大=kn+b。
同理，如果x≤m，那么y=kx+b的圖像只有一個最大值或最小值(如圖3)當k＞0時，y最大=km+b；當k＜0時，y最小=km+b。。
(3)如果n＜x＜m，圖像不包括端點，那么y=kx+b的圖像既沒有最大值也沒有最小值。
常見到的實際問題可以用這種方法解決：
例1. 某公司在A、B兩地分別有一種機器17臺和15臺，現在運往甲地18臺、乙地14臺。從A、B兩地運往甲、乙兩地的費用如下表；
(1)如果從A地運往甲地x臺，求完成以上調運所需總費用y(元)關于x(臺)的函數解析式；
(2)若公司請你設計一種最佳調運方案，使總的費用最少，則該公司完成以上調運方案至少需要多少費用？為什么？
分析：因為費用和x之間是明顯的一次函數，而且由于送往各地的機器數量是整數，所以x取值范圍不會是全體實數，所以是上述的第一種情況。我們可以求自變量的取值范圍，找端點從而找到最值。
解：(1)總費用y=600x+500(17-x)+400(18-x)+800(x-3)=500x+13300
⑵由x≥017-x≥018-x≥0x-3≥03≤x≤17
k=500＞0，
y隨x增大而增大，當x取最小值時，y有最小值。
x=3時，y最小值=500×3+13300=14800(元)
所以該公司完成以上調運方案至少需14800元運費。
調運方案為：由A地運往甲地3臺，運往乙地14臺；由B地運往甲地15臺。
二、二次函數中的最值問題
二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖像是拋物線，二次項系數a的符號決定了圖像的開口方向，圖像的頂點坐標是(-■，■)，對稱軸是直線x=-■。
1. 二次函數在自變量x取任意實數時的最值：
(1)當a>0時，拋物線開口向上，函數在頂點處取得最小值，最小值是頂點的縱坐標■，圖像無最大值；
(2)當a
2. 當自變量x在某個范圍內取值時，函數的最值問題就要看圖像了，二次函數在自變量的取值范圍內，對應的圖象是拋物線上的一部分，那么最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值。
當m≤x≤n時，
(1)若頂點的橫坐標(或對稱軸)x=-■在自變量的取值范圍內， 即m≤-■≤n
當a>0，拋物線開口向上，頂點是圖像的最低點，頂點的縱坐標即是函數的最小值。圖像的兩個端點中(當x=m,x=n時)，哪個端點更高，哪個端點的縱坐標就是最大值。
當a
(2)若頂點的橫坐標(或對稱軸)x=-■不在自變量的取值范圍內，
即-■≤m≤n，或m≤n≤-■時，二次函數在自變量的取值范圍內，對應的圖象是拋物線上的一部分，y隨著x的增大而增大，或者y隨著x的增大而減小。那么，最高點的縱坐標即為函數的最大值，最低點的縱坐標即為函數的最小值。如圖：
例2. 當時-2≤x≤2，求函數y=x2-2x-3的最大值和最小值。
分析：作出函數在所給范圍的及其對稱軸的草圖，觀察圖象的最高點和最低點，由此得到函數的最大值、最小值及函數取到最值時相應自變量x的值。
解：作出函數的圖象。
當x=1時，y最小=4,當x=-2時，y最大=5。
在實際生活中，我們也會遇到一些與二次函數有關的問題：
例3. 某商場以每件30元的價格購進一種商品，試銷中發現這種商品每天的銷售量m(件)與每件的銷售價x(元)滿足一次函數m=162-3x，30≤x≤54。
(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件銷售價x之間的函數關系式；
(2)若商場要想每天獲得最大銷售利潤，每件商品的售價定為多少最合適？最大銷售利潤為多少？
解：(1) 由已知得每件商品的銷售利潤為(x-30)元，
那么m件的銷售利潤為y=m(x-30)，又m=162-3x。
y=(x-30)(162-3x)=-3x2+252x-4860，30≤x≤54。
(2)由(1)知對稱軸為x=42，位于x的范圍內，另拋物線開口向下
當x=42時，ymax=-3×422+252×42-4860=432
當每件商品的售價定為42元時每天有最大銷售利潤，最大銷售利潤為432元。
三、兩條線段的和最短
例4.如圖，MN是圓O的直徑，MN=2，點A在圓O上，弧AN的度數為60°，點B為弧AN的中點，P是直徑MN上的一個動點，求PA+PB的最小值。
分析：這是兩個定點一個動點的問題，和圓的知識相綜合。在圓上取A關于MN的對稱點C，連接AC交MN于P，因為在MN上任取其他點Q時，在ACP中，AQ+QC>AC，所以這時PA+PB最短。
四、動點產生的最值
例5. 如圖，在半徑是5的圓O中，弦AB=8，點C在AB所對的優弧上運動。連接AC，BC，求ABC的最大面積。
分析：求ABC的面積，先找到三角形的底和高。底是弦AB,很明顯是不變的，高是C點到AB的距離，隨著動點C的運動先增大后減小，所以當C離AB的距離最大時，三角形的高最大，三角形的面積就最大。
解：當C運動到優弧AB的中點C′時，ABC的面積最大。
連接C′O交AB于D，連接OB，
C′是弧AB的中點，C′D過圓心
C′DAB，AD=BD=4
在RTBOD中，OB=5，
AD=3
C′D=3+5=8
