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函數思想范文1
一、數形結合思想
數形結合多指以形助數,即以圖形或圖像之關系反映相應的代數關系,并解決有關代數問題。,函數的圖像直觀的顯示函數的性質，借助于圖像來研究、解決有關函數的問題是數形結合應用得一個重要方面。再解不等式、判斷方程是否有解、解的個數及二次方程根的分布問題時，我們往往構造函數，利用函數的圖像解題。這種方法使用的主動性和熟練性,集中表現出學生的數學意識和潛質,反映了數學的簡練性和趣味性。
例1已知關于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的兩根一個大于1，另一個小于1，求實數k的取值范圍。
分析：若直接利用求根公式解答此題，則要解復雜的無理不等式組，如果從函數觀點出發，令f(x)=2kx2-2x-3k-2，則由根的分布情況當k>0時函數的圖像只能如圖所示：
對應條件是k>0且f(1)
同理當k0。
解：令f(x)=2kx2-2x-3k-2，分析函數圖像知為使方程f(x)=0的兩根一個大于1，另一個小于1，只需
k>0且f(1)
解得k>0或k
評注：本題是一個利用函數圖像解決方程根的分布問題的典型例題，一般地，關于根的分布問題，均可引入函數，由函數圖像的特征構造解法，使問題得到巧妙解決。
二、轉化和化歸思想
在教學研究中，使一種對象在一定條件下轉化為另一種研究對象的數學思想稱為轉化思想。體現在數學解題中，就是將原問題進行變形，使之轉化為我們所熟悉的或已解決的或易于解決的問題，就這一點來說，解題過程就是不斷轉化的過程?；瘹w與轉化的一般原則是：①化歸目標簡單化原則；②和諧統一性原則（化歸應朝著使待解決問題在表現形式上趨于和諧，在量、形、關系方面趨于統一的方向進行，使問題的條件與結論表現得更均勻和恰當。）；③具體化原則；④標準形式化原則（將待解問題在形式上向該類問題的標準形式化歸。標準形式是指已經建立起來的數學模式。
三、分類討論思想
分類討論思想就是根據數學對象本質屬性的共同點和差異點，將數學對象內部問題區分為不同種類的思想方法，分類是以比較為基礎的，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化。在解決含參數的二次函數問題時會涉及到分類討論的思想，特別是研究含參數的二次函數的最值和單調性及應用等問題上，一般需要分類討論的思想方法。
例2：已知函數f(x)=ax2+(2a-1)x-3在區間[-1.5,2]上的最大值為1，求實數a的值。
解：a=0時，f(x)=-x-3,在[-1.5,2]上不能取得1，故a≠0.1-2a
f(x)=ax2+(2a-1)x-3(a≠0)的對稱軸方程為x0=―――,2a
(1)令f（-1,5）=1解得，a=-10/3
此時x0=-23/20∈[-1.5,2],
因為a>0,f(x0)最大，所以f（-1,5）=1不合適。
（2）令f(2)=1，解得a=3/4，此時x0=-1/3∈[-1.5,2]，
因為a=3/4>0，所以f(2)最大合適。
（3）令f(x0)=1，解得a=1/2（-3±2√2），驗證后知只有a=1/2(-3-2√2)才合適。
函數思想范文2
函數是一門應用非常廣泛的數學工具，因此它也是中學數學中的一個重要內容。其重要性不僅僅體現在自然科學、體現在工程技術上，也逐漸廣泛地體現在人文社會科學上：世界萬物之間的聯系與變化都有可能以各種不同的函數作為它們的數學模型?？v觀整個中學教學內容,函數的思想便如一根紅線把中學教學的各個分支緊緊地連在了一起,構成有機的知識網絡。它幾乎貫串于整個中學數學, 無論是不等式，還是數列，無論是三角函數，還是集合，都可以看到它的影子。一些看來與函數風馬牛不相及的問題,我們若用函數的思想去思考,往往可以簡化解題過程，突破思維死角，進而解決問題.下試舉幾例，供有意者饗之。
一、函數思想在集合相關問題中的應用
例1：①已知集合，N={y|y=3x2+1，x∈R}，則M∩N= 。
析：此題主要考察集合N中元素為y，即二次函數y=3x2+1的值域為 [1，+∞]，可知答案為{x|x＞1}。
②已知全集為I=R,A={x|x2-3x+2≤0}，B={x|x2-2ax+a≤0，a∈R}，且 ，求a取值范圍。
析：此題主要考察二次函數y=x2-2ax+a≤0解集的情況。
解：當＜0即0＜a＜1時，滿足條件。
當=0時，a=0或a=1。
若a=0，則x=0，不滿足題意。
若a=1，則x=1，滿足題意。
當＞0時，兩個解必須在[1，2]內，即有：
綜上所述，0＜a≤1
在集合相關問題中，一元二次不等式、一元二次方程的題目隨處可見，它們相互轉化，許多時候都需求出一元二次不等式解集的情況，難度雖不高，但往往會因考慮問題不全面而失分，應引起重視。
二、函數思想在證明不等式中的應用
例2：設a，b∈R，求證：
析：直接采用不等式變換去證明還是比較不容易的。然而觀察題目特點，可以把不等式兩邊看成函數的兩個值，因此可否構造函數，而后應用該函數的單調性求解呢？
令，由易知：f（x）在區間（-1，+∞）上是增函數，
因為0≤|a+b|≤|a|+|b|，所以f（|a+b|）≤f（|a|+|b|）
即
巧妙極了！直接繞開了繁瑣的變形與計算，整個解題過程顯得非常簡潔。不但使學生拓寬了眼界，提高了能力；而且帶來了一種心情上的驚奇與精神上的震撼，使他們深深的體會到數學的奇妙，提高了學習數學的興趣。
例3：[1993年全國高考理（29）] 已知關于x的實系數二次方程x2+ax+b=0有兩個實數根α、β。證明:如果|α|＜2，|β|＜2，那么2|a|＜4+b
析：作一次函數 α+β
=-a，αβ=b， ，取x1=2（α+
β）-（4+αβ）=-（2-α）（2-β）＜0，x2=2（α+β）+（4+αβ）=（2+α）（2+β）＞0，則有f（x1）=-1，f（x2）=1。由f（x）的單調性知-1=f（x1）＜f（0）＜f（x2）=1，即
又|b|=|α||β|＜4，4+b＞0，2|a|＜4+b。
函數的思想在歷年的高考題中，一直是必須考察的重點之一。而考慮到不等式與函數的特殊關系，我們必須對這種題型加以足夠的重視。本題通過構造一次函數，巧妙的將不等式問題化為函數問題來解決，整個問題得以輕松解決。
三、函數思想在數列相關問題中的體現與應用
例4：設等差數列{an}的前n項和為Sn,已知a3=12，S12>0，S13
（1）求公差d的取值范圍；
（2）指出S1，S2，…，S12中哪一個值最大，并說明理由。
【分析】題（1）根據題設條件列出關于公差d的不等式組求出d的取值范圍；題（2）求等差數列的前n項和的最大值，其求法比較多，總的思路有如下2種：一是通項研究法，即當d＜0時，求出使得an>0且an+1
解不等式組得：－
（2）解法一：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得an>0，an+10，S13
=13a7－a7>0，a7
解法二：
當－
解法三：由da2>a3>…>a12>a13。因此，若在1≤n≤12中存在自然數n，使得an>0，an+1
故S6最大。
【評注】 本題考查等差數列、不等式等知識，利用解不等式及二次函數的圖像與性質求Sn的最大值，這是函數思想在數列中的一大表現。
四、函數思想在三角函數相關問題中的應用。
例5：已知函數f（x）=-sin2x+sinx+a，當f（x）=0有實數解時，求a的取值范圍。
析：由f（x）=0得-sin2x+sinx+a=0，那么根據該等式如何求a的取值范圍呢？當然可以換元，設t=sinx，將問題轉化為一元二次方程-t2+t+a=0在[-1，1]上的根的分布問題。但是，總是覺得太麻煩了，經深思后，覺得可以先作如下變形：
分離a得：
如果把a看成是x的函數，問題轉化為求函數的值域。
因為sinx∈[-1，1]，所以
函數思想范文3
一、 方程思想
通過列方程（組）求解數學問題的一種解題策略，我們稱之為方程思想. 在本章中許多問題都可以通過列、解方程（組）解決，其中方程思想體現最多的是利用待定系數法求二次函數解析式.
例1 已知二次函數的圖象頂點是（1，-4），且經過點（3，0），求這個二次函數的解析式.
【分析】為了拓寬同學們的視野，我們分別采用一般式、頂點式及交點式三種方法求二次函數解析式.
【解法1】設二次函數的解析式為：y=ax2+bx+c，根據題意，a+b+c=-4，9a+3b+c=0，-■=1.
解得a=1，b=-2，c=-3.
所以二次函數解析式為：y=x2-2x-3.
【解法2】因為拋物線的頂點為（1，-4），所以設二次函數的解析式為：y=a（x-1）2-4，把（3，0）代入上式，得a（3-1）2-4=0，解得a=1，則二次函數解析式為：y=（x-1）2-4，即y=x2-2x-3.
【解法3】因為拋物線的頂點為（1，-4），且經過點（3，0），可知拋物線經過點（-1，0），所以設二次函數的解析式為：y=a（x-3）·（x+1），把（1，-4）代入解析式，解得a=1，則二次函數解析式為：y=（x-3）（x+1），即y=x2-2x-3.
【點評】方程思想體現了已知與未知的對立統一關系，解法1是設一般式求解，即利用頂點坐標公式和點的坐標滿足解析式來列方程組；解法2是利用頂點式求解；解法3利用拋物線與x軸的兩個交點，得到交點式解析式，然后把點（1，-4）代入所設的解析式，從而得解. 顯然解法2是本題的最佳解法.
二、 數形結合思想
“數無形時少直觀，形少數時難入微 ”，數形結合思想就是充分利用數量關系和圖形的結合，尋求解題思路，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，從而達到以形助數、以數解形的效果.
例2 已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖1所示，有下列5個結論：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c
A. 2個 B. 3個
C. 4個 D. 5個
【分析】觀察拋物線的位置走向、關鍵點的位置坐標以及解析式中各系數與圖象的對應關系，從而作出判斷.
解：觀察圖象可知，拋物線開口向下，得a0，因為拋物線與y軸的交點在y軸的上方，可得c>0，則abc
【點評】二次函數的圖象與二次函數中的字母系數有著密切關系，利用二次函數的圖象信息，將數與形有效地結合與轉化，根據圖象信息轉化為方程或不等式再求解，從而較好地實現以形助數、以數解形的效果，這也是近幾年中考的熱點.
三、 函數模型思想
函數模型思想意在把錯綜復雜的實際問題簡化、抽象為數量間關系，即用數學語言描述實際現象. 生活中的許多問題，如最大利潤、最小成本、方案最優化等，常常需要建立函數模型解決.
例3 某賓館客房部有60個房間供游客居住.當每個房間的收費定為每天200元時，房間可以住滿；當每個房間每天的定價每增加10元時，就會有一個房間空閑.對游客入住的房間，賓館需對每個房間每天支出20元的各種費用.設每個房間每天的定價增加x元，求：
（1） 房間每天的入住量y（間）關于x（元）的函數解析式；
（2） 該賓館每天的利潤W（元）關于x（元）的函數解析式；當每個房間的定價為每天多少元時，W取得最大值.
【分析】每天的入住量=總房間數-每天的定價增加量÷10，每天的房間收費=每間定價×每天入住量，每天的利潤=每天的房間收費-各種費用總和.
解：（1） y=60-■x；
（2） W=（200+x）60-■-20×60-■，即W=-■x2+42x+10 800=-■（x-210）2+15 210. 當x=210時，W有最大值15 210，此時，x+200=410，即當每個房間的定價為每天410元時，W有最大值是15 210元.
【點評】二次函數是能夠刻畫現實生活中某些情境的數學模型. 一般先根據題意把實際問題中的條件轉為數學條件，再確定函數解析式，利用函數解析式去解決實際問題. 求解過程中關鍵要求出自變量的取值范圍，再運用二次函數的性質求解.
四、 轉化思想
轉化思想是將未知問題或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比等途徑，轉化為我們已解決或易于解決的問題.簡單地說，就是把“新知識”轉化為“舊知識”，把“未知”轉化為“已知”，通過轉化，使復雜問題變得簡單.
例4 利用函數圖象判斷方程2x2-x-1=0有沒有實數解，若有，求出它的解（精確到十分位）.
【分析】求一元二次方程的近似解可以轉化為用函數圖象解方程，這里介紹兩種方法：一是看函數y=2x2-x-1與x軸交點的橫坐標；二是看二次函數與一次函數圖象交點的橫坐標，如看函數y=2x2與y=x+1的圖象的交點的橫坐標.
【解法1】設y=2x2-x-1，則方程2x2-x-1=0的解就是該函數圖象與x軸交點的橫坐標. 同學們不妨在平面直角坐標中畫出函數y=2x2-x-1的圖象，設其與x軸交點為A、B，則點A、B的橫坐標x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【解法2】在平面直角坐標系中，畫出函數y=2x2與y=x+1的圖象，得到兩函數圖象的兩個交點A、B，且A、B兩點的橫坐標x1、x2就是方程的解.由圖象可知x1≈-0.5，x2≈1.0.
【點評】轉化思想就是換一種方式去思考，使問題朝著有利于解決的方向去發展.本例把求一元二次方程的近似解轉化為利用函數圖象解方程，從而達到化抽象為具體、化復雜為簡單的效果. 轉化思想在本章中有很多的應用，如通過平移二次函數圖象把復雜的二次函數轉化為簡單的二次函數，如通過觀察二次函數的圖象巧妙地求解一元二次不等式問題以及一元二次方程的有無實數解問題，如把實際問題中的求最值問題轉化為二次函數的求最值問題等等.學好用好轉化思想，有如順水推舟，能大幅提升解題能力.
五、 分類思想
當問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別求解，這種方法稱之為分類討論思想. 分類必須遵循以下兩條原則：（1） 每一次分類要按照同一種標準進行；（2） 不重復，不遺漏.
例5 如圖2所示，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是菱形，點C的坐標為（4，0），∠AOC=60°，垂直于x軸的直線l從y軸出發，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度向右平移，設直線l與菱形OABC的兩邊分別交于點M、N（點M在點N的上方），若OMN的面積為S，直線l的運動時間為t秒（0≤t≤4），求S關于t的函數關系式.
【分析】當0≤t≤4時，隨著直線l的平移，點N在線段OC上，點M可能在線段OA上，也有可能在線段AB上，因此計算OMN的面積時要進行分類討論.
解：當0≤t≤2時，點M在線段OA上，ON=t，MN=■t，S=■ON·MN=■t2；
當2≤t≤4時，點M在線段AB上，ON=t，MN=2■，S=■ON·MN=■t.
例6 若函數y=（a-1）x2-2ax+a與x軸總有交點，求a的取值范圍.
【分析】由于題設中未說明函數的次數，也未說明圖象與x軸的交點個數，因此題設中的函數可能是二次函數也可能是一次函數.
函數思想范文4
一、方程思想
1.知三求二
等差（或等比）數列{an}的通項公式，前n項和公式集中了等差（或等比）數列的五個基本元素a1、d（或q）、n、an、Sn.“知三求二”是等差（或等比）數列最基本的題型，通過解方程的方法達到解決問題的目的.
例1等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a10=30，a20=50，（1）求數列{an}的通項公式；（2）若Sn=242，求n的值.
解（1）由a10=a1+9d=30，
a20=a1+19d=50，
解得a1=12，
因為n∈N*，所以n=11.
2.轉化為基本量
在等差（等比）數列中，如果求得a1和d（q），那么其它的量立即可得.
例2在等比數列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8項的和S8.
解a6―a4=a1q3（q2―1）=24.（1）
由a3a5=（a1q3）2=64，得a1q3=±8.
將a1q3=―8代入（1），
得q2=―2（舍去）；
將a1q3=8代入（1），得q=±2.
當q=2時，a1=1，S8=255；
當q=―2時，a1=―1，S8=85.
3.加減消元法利用Sn求an
利用Sn求an是求通項公式的一種重要方法，其實這種方法就是方程思想中加減消元法的運用.
例3（2011年佛山二模）已知數列{an}、{bn}中，對任何正整數n都有：
a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn=（n―1）?2n+1.
若數列{bn}是首項為1、公比為2的等比數列，求數列{an}的通項公式.
解將等式左邊看成Sn，令
Sn=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1+anbn.
依題意Sn=（n―1）?2n+1，（1）
又構造Sn―1=a1b1+a2b2+a3b3+…+an―1bn―1=（n―2）?2n―1+1，（2）
兩式相減可得
Sn―Sn―1=an?bn=n?2n―1（n≥2）.
又因為數列{bn}的通項公式為
bn=2n―1，
所以an=n （n≥2）.
當n=1，由題設式子可得a1=1，符合an=n.
從而對一切n∈N*，都有an=n.
所以數列{an}的通項公式是an=n.
4.等差、等比的綜合問題
這一類的綜合問題往往還是回歸到數列的基本量去建立方程組.
例4設{an}是公比大于1的等比數列，Sn為數列{an}的前n項和.已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4構成等差數列，求數列{an}的通項公式.
解根據求和定義和等差中項建立關于a1，a2，a3的方程組.
由已知得a1+a2+a3=7，
（a1+3）+（a3+4）2=3a2.
解得a2=2.設數列{an}的公比為q，
由a2=2，可得a1=2q，a3=2q.
又S3=7，可知2q+2+2q=7，
即2q2―5q+2=0，
解得q1=2，q2=12.
由題意得q>1，所以q=2.
可得a1=1，
從而數列{an}的通項為an=2n―1.
二、函數思想
數列是一類定義在正整數或它的有限子集上的特殊函數.可見，任何數列問題都蘊含著函數的本質及意義，具有函數的一些固有特征.如一次、二次函數的性質、函數的單調性、周期性等在數列中有廣泛的應用.如等差數列{an}的通項公式
an=a1+（n―1）d=dn+（a1―d），
前n項和的公式
Sn=na1+n（n―1）2d
=d2n2+（a1―d2）n，
當d≠0時，可以看作自變量n的一次和二次函數.因此我們在解決數列問題時，應充分利用函數有關知識，以它的概念、圖象、性質為紐帶，架起函數與數列間的橋梁，揭示了它們間的內在聯系，從而有效地分解數列問題.
1.運用函數解析式解數列問題
在等差數列中，Sn是關于n的二次函數，故可用研究二次函數的方法進行解題.
例5等差數列{an}的前n項的和為Sn，且S10=100，S100=10，求S110，并求出當n為何值時Sn有最大值.
分析顯然公差d≠0，所以Sn是n的二次函數且無常數項.
解設Sn=an2+bn（a≠0），則
a×102+b×10=100，
a×1002+b×100=10.
解得a=―11100，
b=11110.
所以Sn=―11100n2+11110n.
從而S110=―11100×1102+11110×110
=―110.
函數Sn=―11100n2+11110n的對稱軸為
n=111102×11100=55211=50211.
因為n∈N*，
所以n=50時Sn有最大值.
2.利用函數單調性解數列問題
通過構造函數，求導判斷函數的單調性，從而證明數列的單調性.
例6已知數列{an}中an=ln（1+n）n （n≥2），求證an>an+1.
解設f（x）=ln（1+x）x（x≥2），
則f ′（x）=x1+x―ln（1+x）x2.
因為x≥2，
所以x1+x1，
所以f ′（x）
即f（x）在[2，+∞）上是單調減函數.
故當n≥2時，an>an+1.
例7已知數列{an}是公差為1的等差數列，bn=1+anan.
（1）若a1=―52，求數列{bn}中的最大項和最小項的值；
（2）若對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，求a1的取值范圍.
（1）分析最大、最小是函數的一個特征，一般可以從研究函數的單調性入手，用來研究函數最大值或最小值的方法同樣適用于研究數列的最大項或最小項.
解由題設易得an=n―72，
所以bn=2n―52n―7.
由bn=2n―52n―7=1+22n―7，
可考察函數f（x）=1+22x―7的單調性.
當x
且f（x）
當x>72時，f（x）為減函數，
且f（x）>1.
所以數列{bn}的最大項為b4=3，最小項為b3=―1.
（2）分析由于對任意的n∈N*，都有bn≤b8成立，本題實際上就是求數列{bn}中的最大項.
由于bn=1+1n―1+a1，
故可以考察函數f（x）=1+1x―1+a1的形態.
解由題，得an=n―1+a1，
所以bn=1+1n―1+a1.
考察函數f（x）=1+1x―1+a1，
當x
且f（x）
當x>1―a1時，f（x）為減函數，
且f（x）>1.
所以要使b8是最大項，當且僅當7
所以a1的取值范圍是―7
3.利用函數周期性解數列問題
例8數列{an}中a1=a2=1，a3=2，anan+1an+2an+3=an+an+1+an+2+an+3且anan+1an+2≠1成立.試求S100=a1+a2+…+a100的值.
分析從遞推式不易直接求通項，觀察前幾項a1=1，a2=1，a3=2，a4=4，a5=1，a6=1，a7=2，a8=4，a9=1，…可猜測該數列是以4為周期的周期數列.
解由已知
函數思想范文5
一、在函數解題中運用數學思想的優越性
數學思想方法原指人們在一定世界觀指導下觀察、研究事物和現象所遵循的規則和程序.在數學學習過程中，思想方法就是解決難題、重點題目的“導火線”和源頭.有些初中生在剛剛接觸到深奧的函數數學知識時知難而退，無法在腦海中形成清晰的解題思路，是對思想方法掌握不好的表現.在函數教學過程中，如果教師不斷向學生滲透思想方法，就能幫助初中生從解題的“牢籠”中釋放出來，使學生模糊不清的知識網絡逐漸變得清楚，自然而然地就會避免學生在拿到題目后無從下手的情況，從而提高學生的解題能力.
二、在函數解題過程中應該具備的解題思想
1.化歸思想.化歸思想是解決函數問題的重要思想方法，需要學生嚴謹的邏輯思維模式.化歸思想就是將學習中遇到的抽象的問題進行轉換，轉化成容易理解的問題方式，從而更容易解決數學難題.在初中階段，函數題目比較深奧，僅僅憑借課堂例題的講解和公理定理的死記硬背已經無法適應初中數學的難度.因此，教師要向學生滲透化歸思想，幫助學生輕松解決函數難題.“授人以魚，不如授人以漁”.在教學過程中，教師不能讓學生死記硬背課堂例題或者做過的題目，要傳授給學生實用的化歸思想，并讓學生靈活運用.化歸思想是在初中函數學習中解決難題時特別實用的方法.運用化歸思想，通?？梢詫碗s的問題轉換為容易解決的問題，將抽象的問題轉換為形象的問題，將無法解決的問題轉換為輕易解決的問題.在心智尚未成熟的中學生面前，很難將化歸思想與初中函數教學完美結合.為了讓化歸思想深入學生的內心，使學生遇到函數題目都能聯想到化歸思想的運用，教師需要讓學生充分體會到化歸思想的重要作用.例如，在講“函數及圖象”時，教師可以引導學生就函數的交點問題進行深入研究，并提出問題：當k取何值時，兩條直線的交點落在第四象限內？第一次接觸到這個題目時，學生必定是滿頭霧水不知道怎么解決，怎么保證兩條直線的交點在第四象限內呢？其中包含了兩條直線的傾斜程度、兩條直線x的取值范圍、兩條直線的斜率大小都是影響本題結果的因素.教師要先讓學生跟著他們自己的思路試著做下去，慢慢限制各個要素，當算了很長時間都沒有算出來，學生正要失去耐心時，教師讓學生轉換一個思路：要想讓兩條直線的交點落在第四象限，就等價于交點坐標要符合第四象限點的特征，即x為正、y為負.教師只要提示到這里，一切就迎刃而解，學生會恍然大悟.通過兩個方法的對比，化歸思想必定能讓學生記憶深刻.
2.數形結合思想.在解決函數問題時，數形結合的思想方法是通過圖形來解決問題.Q一種說法就是，將問題的數量關系轉換成圖的性質或將圖的性質轉換為數量關系.這樣換一種思路解題，能夠將問題簡單化.數形結合是一種重要的數學思維方法，特別是在函數解題中尤其得到廣泛應用.通過圖形將復雜的函數問題直觀、簡單化，降低數學問題的難度，同時通過數形結合解決函數問題，避免復雜的大量計算，從而避免不必要的計算錯誤.例如，求sinα三角函數的最大值.如果通過代數法進行計算，可能花費學生大量的時間，而通過sinα三角函數的圖象進行研究，就能快速得出答案是1.由于學生的學習時間有限，因此數形結合的解題方法對于學生來說必不可少.
總之，“滴水穿石”.教師要引導學生在函數解題過程中運用數學思想.在教學過程中，教師要不斷完善數學思想方法的教學，優化課堂教學方式，基于數學思維方法來指導學生掌握數學的本質、掌握函數解題的關鍵.此外，邏輯思維是以抽象的思維方式研究事物的內在規律，也是解決數學問題必須具備的能力.因此，在初中階段，為了讓學生在函數解題過程中能夠運用數學思想，教師要注重學生邏輯思維能力的培養.
參考文獻
馬艷.中學數學教學中化歸思想方法的應用研究[D].西北師范大學，2009.
黃軼鳳.滲透典型數學思想方法提高學生學習效果的實踐研究[D].上海師范大學，2009.
函數思想范文6
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A
【文章編號】 1004―0463（2016）06―0116―01
函數是初中數學的重要內容，是初中數學知識體系的精髓之一，是刻畫和研究客觀世界變化規律的重要模型.許多數學問題、實際問題都與函數知識息息相關，都需要通過函數知識來解答.對初中生而言，雖然函數知識的學習是由簡到難、循序漸進的，但是很多學生從學習一次函數開始，就對解決函數問題不知所措，更不能靈活掌握其解題方法.究其原因，主要是學生沒有掌握其中的數學思想方法.那么，如何能使學生輕松掌握函數知識，靈活應用數學思想方法解決與函數有關的數學問題呢？下面，筆者結合教學實踐，談談初中涉及到的幾種數學思想方法.
一、分類討論思想
當數學問題中包含多種可能的情況或多種不同的位置關系，就需要依據不同情況分類討論得出結論，從而通過問題的局部解決來實現整體的突破.在引入有理數概念的同時就蘊含著分類討論的思想，這種思想在以后的學習中不斷加強，在解決函數問題時，分類討論的思想顯得非常突出.如下題：
例（2013年銅仁中考）：已知直線y=3x-3分別交x軸、y軸于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，點C是拋物線與x軸的另一個交點（與A點不重合）.
（1）求拋物線的解析式；（2）求ABC的面積；（3）在拋物線的對稱軸上，是否存在點M，使ABM為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求出點M的坐標.
分析：本題是二次函數的綜合題，涉及了待定系數法求二次函數解析式、等腰三角形的性質及三角形面積，難點在第三問，當所給條件中沒有說明哪條邊是等腰三角形的腰時，要對其進行分類討論.可以按每一個頂點都有可能是頂角的頂點分三種情況討論①AM=AB，②BM=BA，③MB=MA求出m的值后即可.在分類中做到細心縝密、考慮周全，才能夠不遺漏每一種情況.
二、數形結合思想
數軸的引入為數形結合思想奠定了基礎，借助數軸，點與數形象而又直觀地呈現出來.直角坐標系的建立為函數提供了展示的舞臺，在直角坐標系中有序數對與平面內的點一一對應，使函數與其圖象的數與形的結合成為必然.初中階段學習的一次函數、反比例函數、二次函數的圖象都是在直角坐標系中得以展示，這種思想方法在函數知識的學習與應用中則顯得更加重要，在相關是函數題型中利用數形結合思想解決問題能起到事半功倍的效果.
例，直線y=x1x+b（k1≠0）與雙曲線y=（k2≠0）相交于A（1，2）、B（m，-1）兩點.（1）求直線和雙曲線的解析式；（2）若A1（x1，y1），A2（x2，y2），A3（x3，y3）為雙曲線上的三點，且x1
分析：本題第二問和第三問都可用數形結合的方法解答，要比較y1，y2，y3的大小，只需要在x軸上取x1、x2、x3，使x1
三、方程與函數思想方法
方程思想簡單地說就是運用方程或不等式的解答方式來求解，而函數思想一般就是指構造函數繼而利用函數的性質去處理問題.函數的研究不能離開方程，同時方程問題借助函數知識去處理才能更簡單.
例 若方程a（x+m）2+b=0的兩個根分別為x1=0，x2=3，那么方程a（x+m+6）2+b=0的根是 .
