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函數值域范文1
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函數值域的求解是中學數學的一個難點，也是一個重點。求函數值域的方法有很多，反函數法是常用的方法之一，在一些刊物、叢書，甚至中學教師使用的《教學參考書》中也頗常見。但該法一直以來存在很多爭議。本文就反函數法求函數值域發表個人的一些看法。
在這之前先給出反函數的定義：
一般地，設函數 的值域是C，根據這個函數中x,y的關系，用y把x表示出，得到 。若對于y在C中的任何一個值，通過 ，x在A中都有唯一的值和它對應，那么， 就表示y是自變量，x是因變量的函數，這樣的函數 叫做函數 的反函數，記作 。反函數 的定義域、值域分別是函數 的值域、定義域。
注：函數存在反函數的充要條件是，定義域與值域之間的映射是一一映射。
一、反函數法合理嗎？
反函數法的合理性一直遭到質疑，首先我們看個例子：
例1、 求函數 的值域。
解：去分母，得
即(1)
(2)
再由 得(3)
所以函數的值域為 的實數。
對于例1，文[1]認為由(1)式到(2)式的推導并不充分，所以其推導“缺乏依據”；只有(1)式和(3)式合起來才能推出(2)式這樣又“導致循環推理”。對于這個問題，文[2]中已經給出了一種合理的解釋。在此，筆者也發表自己的一點看法，反函數的定義域是由原函數的值域確定的，由于反函數與原函數的互相依賴的關系，反過來，在滿足一定條件的情況下，當然可以由反函數的定義域來確定原函數的值域了。因此，筆者認為反函數法在理論上是毋庸質疑的。
二、這是反函數法嗎？
例2、 求 的值域。
解：為了求值域，由原式解出 ,
得
由此得
所以函數的值域是 。
例2在解題過程中符合反函數法的一般步驟，最后的結果也是正確的。但是我們可以發現在反解的過程中得到的x關于y的表達式 中變量y所對應的x并不唯一，即反解得到的解析式不是中學范疇內的函數解析式，所以不存在反函數。例2的結果雖然正確，但只是一種巧合。既然不存在反函數，當然不能用反函數法。
三、存在反函數就一定可以用反函數法嗎？
例3、求函數 的值域。
解1：用配方法
由于
，且y在 上為u的增函數
時， 。
解2：用類似于例1、例2的反函數法
由原函數式解出x，得
由此得
函數的值域是 。
易驗證，函數 存在反函數，反函數解析式即為 ，由解析式我們只能得到 ，事實上反函數的定義域為 （解1得出的結果是正確的）。由此我們可以看出，并不是只要原函數存在反函數就一定能用反函數法求值域。
四、什么情況可以用反函數法
由上面的討論我們可以看出，反函數法在理論上是毋容置疑的，但是又受到種種限制，很容易造成錯誤的使用。因此在什么情況下可以使用反函數法就變得很有意義。
用反函數法求函數值域需滿足兩個條件：1題目給出的函數應該存在反函數，2 與 同解。
在中學數學所學的初等函數中滿足這兩個條件的很多，例如指數函數 的反函數是對數函數 ，一次函數 的反函數還是一次函數 ，反比例函數 的反函數是其本身，所有的奇次冪函數 （其中n為奇數）與對應的冪函數 （其中n為奇數）互為反函數。因此它們都可以用反函數法求函數值域。當然他們的值域教材中都已經作為結論給了出來。
顯然，由上述這些類型的函數復合而成的函數的值域都可以用反函數法來求。例如形如 類的分式函數就是由一次函數和反比例函數復合而成。再如：
例4、求 的值域
解：由已知函數得
，
解得： 或 ，故函數的值域為 。
五、小結
反函數法作為一種常用的求函數值域的方法在理論上是毋庸質疑的，它有自身的優勢也有很大的局限性，因此在采用某種方法之前，我們應當首先確定題目滿不滿足使用這種方法的條件。
參考文獻
[1]孟德酉.反函數法求函數值域質疑[J].數學通報.1990.4
函數值域范文2
關鍵詞：函數值域；解題方法；重要內容；重點難點
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0107
求函數的值域是學生感到棘手的問題，它所涉及的知識面廣，方法靈活多樣，在考試中經常出現，若方法運用得當，就能起到化繁為簡、事半功倍的作用。本文就函數值域的常用求法歸納如下，供參考。
其一，配方法：主要是針對二次函數或可化成二次函數型的最值及值域問題，可用此法。
例：1. 求函數y=-x2+2x+3的值域
解析：y=-（x-1）2+4，當x=1時，y最大=4，所以，值域是（-∞，4]。
2. 求函數y=32x+2?3x-1在[0，1]上的最大值。
解析：令3x=t，則y=t2+2t-1=（t+1）2-2
x∈[0，1]，t∈[1，3]，當t=3時，y最大=14
其二，換元法：若函數表達式中含有根式、分式、指數式、對數式等，可考慮用此方法：
例：1. 求函數f（x）=x+2 的最大值。
解析：方法一：設 =t t≥0，x=1-t2
y=-（t-1）2+2，當t=1即x=0時，y最大=2
方法二：利用導數法，定義域是{x/x≤1}
f ′（x）=1- 由f ′（x）=0，得x=0
當x0，f（x）為增函數
當0
當x=0時，f（x）最大=f（0）=2
2. 求函數y=x+y=x+ 的值域
解析：換元法 由4-x2≥0，知-2≤x≤2
設x=2cos，θ∈[0，π]，則y=2cosθ+ =2cosθ+2sinθ=22 （θ+ ）
θ+ ∈[ ， ]，sin（θ+ ）∈[ ，1]
y∈[-2，2 ]
其三，導數法（利用函數單調性）
函數y=ax+ （a>0，b>0）被稱為對勾函數，以此為背景的考題，曾是考試熱點。
例：談論函數f（x）=ax+ （a>0，b>0）的單調性
解析：f ′（x）=a- 令f ′（x）=0 ax2-b=0 x=±
當f ′（x）>0 x> 或x
當f ′（x）
f（x）在（-∞，- ]，[ ，+∞）上是增函數
f（x）在[- ，0），（0， ]上是減函數
2. 求函數f（x）=x+ 在[3，+∞]的最小值
解析：此函數是對勾函數，由其性質，知f（x）在[3，+∞]上是增函數，所以，其最小值是 。
其四，分離常數法
例：1. 求函數y= 的值域
解析：y=2+ 其值域是{y/y≠2}
2. 求y= 的值域
解析：法一：分離常數法，y= 由2x-1>-1
知 0，y>1或y
法二：反函數法2x= ，x=log2
由 >0，得y>1或y
3. 求函數y= （x>1）的最小值。
解析：x>-1，x+1>0
原式= =x+1+ +5≥2 +5=9
當且僅當x+1= ，x=1時，等號“=”成立
當x=1時，原函數的最小值為9。（先分離常數，再用不等式法求最小值）
其五，不等式法
例：已知：x>0，y>0 ，且 + =1，求x+y的最小值。
方法一：把求二元函數f（x，y）=x+y，轉化為一元函數。由 + =1得y= =9+ ，由x>0y= >0得x>1
x+y=x+9+ =x-1+ +10≥2 +10=16且僅當x-1= 即：x=4時，上式取“=”號
x+y的最小值是16。
方法二：對二元函數也可轉化為 + 型函數，然后再用均值不等式。
（上接第107頁）
+ =1x+y=（x+y）（ + ）=10+ + ≥16當且僅當 = ，即：x=4，y=12時，上式取“=”號
x+y的最小值為16。
其六，線性規劃問題，求目標函數的最值問題
例：已知x，y滿足約束條件x≥1x-3y≤-43x+5y≤30
①求目標函數，y=2x+y的最值
②求y= 的取值范圍
③求y=x2+y2的取值范圍
其七，數形結合法，函數表達式具有明顯的某種幾何定義，如兩點距離、直線斜率等，用此方法會更加簡單、一目了然。
例：1. 求函數y= + 的值域
解析：y=x-2+x+8可看成數軸上點x與點2與點-8的距離之和，y∈[10，+∞）
2. 求函數y= = 的值域
解析：上式可變形為：
y= -
= =
上式可看成在坐標平面內動點P（x，0）到定點A（3，2）與B（-2，1），距離之差。
即：y=AP-BP
由AP-BP≤AB=
- ≤y≤
函數值域范文3
例1：求函數y=■的值域。
解：原函數變形為關于x的方程得(y-2)x2+2(y-2)x+3y+7=0。原函數定域為R。上述方程在x∈R內有實根。
（1）當y-2=0時,方程化為13=0在x∈R內無實根,不合題意，故y≠2；
（2）當y-2≠0時, 上述方程為一元二次方程, 要使該方程在x∈R內有實根, 必須滿足?駐=4(y-2)2-4(y-2)（3y+7)≥0，解得－■≤y≤2。
綜合(1)(2)，得原函數的值域為[－■,2)。
例2：求函數y=■的值域。
解：原函數變形為關于x的方程得：(y-2)x2+x-y-7=0。又原函數的定義域為(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)。 所以上述方程在（-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞)上有實根。
（1）若y-2=0，方程化為x-3=0，其在上述區間內有實根，此時y=2；
（2）若y-2≠0，方程為一元二次方程，要使其在上述區間內有實根只須?駐=1+4(y-2)(y+1)≥0，y-2+1-y-1≠0，-2-1-y-1≠0，解得y≤■或y≥■。
綜合(1)(2)，得原函數值域為(-∞,■ ]∪[■,+∞)。
例3：已知x＞■，求函數f(x)=■的值域。
解：原函數變形為關于x的一元二次方程得x2-(2y+4)x+5+4y=0。原函數定義域為（■,+∞），上述方程在（■,+∞）上有根，則?駐≥0，（x1-■)(x2-■)≥0，x1+x2＞5，或?駐≥0，（x1-■)(x2-■)
即(2y+4)2-4(5+4y)≥0，5+4y-■(2y+4)+■≥0，2y+4≥5，
或2y+4)2-4(5+4y)≥05+4y-■(2y+4)+■＜0，
解得y≥1。原函數的值域為[1,+∞)。
例4：已知函數f(x) =log3■的定義域為R，值域為(0 , 2)， 求m、n的值。
解：f(x) 的值域為(0,2)，■∈[1,9]，設y=■, 則1≤y≤9, 化為關于x的方程為(y-m)x2-8x-y-n=0，由函數定義域為R知，上述方程在R內有實根。
（1）若y-m=0，則上述方程化為一元一次方程8x+m-n=0在R內有實根，此時y=m，又1≤y≤9，所以1≤m≤9。
（2）若y-m≠0，上述方程為一元二次方程,要使其在R內有實根,則?駐=(-8)2-4(y-m)(y-n)≥0，即y2－（m+n）y+（mn－16）≤0。由1≤y≤9 知，關于y的一元二次方程y2－（m+n）y+（mn－16）=0的兩根為1和9。由韋達定理得m+n=1+9，mn－16=1×9，解得■
綜合（1）（2），得m=n=5。
注意：（1）“判別式法”的解題思想是：函數在D內有意義等價于方程在D內有實根。（2）用判別式之前，必須先考慮x2的系數是否為0。（3）一元二次方程在D內有實根：若D=R，則只須?駐≥0；若D≠R，則除了?駐≥0外，還須考慮實根在D內的具體分布情況。
函數值域范文4
關鍵字：函數，值域，案例
以下是我在教學中發現的有關"求函數的值域"的例題，拿出來供大家研討。
一、出示例題
上例是求函數的值域的一種較常用的方法、即"配湊法"，學生易于掌握，但教學中發現有學生在解答其它例題時也采用此法，如：
二、案例分析
上述學生對例2、例3的誤解即反映出學生在解題教學的積極一面，又反映出學生對知識的系統性與思維的全面性的不足，下面作一扼要的分析。
對學生的誤解的合理之處，其一是反映出學生已掌握"配湊法"求函數的值域的要點，另一就是學生具備了舉一反三的思想。
不足之處就是忽視知識的系統性、嚴密性。同時，習慣性思維在腦海中也根深蒂固，從而導致知識（或公式）的生般硬套。細推敲，可以從以下幾方面分析：
①知識性錯誤：表現在對函數性質的把握上，例一中分母X-1其值域為R，其性質就只需考慮X-1≠0。而例2中涉及指數函數y=a （0a ≠1） 的值域問題，不僅僅是只考慮分母不為0，而且要考慮a 0 這一隱含條件，同時例3中分母x +x-1也需考慮其最小值問題，而學生籠統只要求分母不為0，顯然屬于思維不全面。
②邏輯性錯誤：由于例1的存在，故讓很多學生錯誤的認為，如例2、例3類型的題目均可用"配湊法"來解題，這種邏輯思維顯然是錯誤的，很多問題是要求具體問題具體分析。
③心理性錯誤：表現在人的思維定勢及經驗主義。往往很多學生在老師講解某題的特殊解法后，學生把這種解法掌握后，所以在做其它題目不去考慮其它題目的具體特點，往往憑經驗或憑已有固定的思路把這些題目和老師講的例題等同其來，這完全是心理作用在作怪。
④缺乏拓展思維：學生應認識到有很多數學問題，解法不唯一，應提倡學生對同一題目思考多種解法，若多種解法的答案不同，便可自己發現問題，進而進一步思考，從而去偽存真。同時眾多的解法中，也宜來用更為簡單較好的。如上述例2，事實上也可用反解法解之：
函數值域范文5
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為(50－x)米，由題意得：
故函數關系式為： ．
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量 取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量 的范圍：
即：函數關系式為：（ ）
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
二、函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大(小)值的問題。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：
例2：求函數 在[－2，5]上的最值．
解：
當 時，
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。
其實以上結論只是對二次函數 在R上適用，而在指定的定義域區間 上，它的最值應分如下情況：
⑴ 當 時， 在 上單調遞增函數 ；
⑵ 當 時， 在 上單調遞減函數 ；
⑶ 當 時， 在 上最值情況是：
，
．即最大值是 中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
函數 在[－2，5]上的最小值是－ 4，最大值是12．
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。
三、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：
例3：求函數 的值域．
錯解：令
故所求的函數值域是 ．
剖析：經換元后，應有 ，而函數 在[0,+∞)上是增函數，
所以當t=0時，ymin=1．
故所求的函數值域是[1, +∞）．
以上例子說明，變量的允許值范圍是何等的重要，若能發現變量隱含的取值范圍，精細地檢查解題思維的過程，就可以避免以上錯誤結果的產生。也就是說，學生若能在解好題目后，檢驗已經得到的結果，善于找出和改正自己的錯誤，善于精細地檢查思維過程，便體現出良好的思維批判性。
四、函數單調性與定義域
函數單調性是指函數在給定的定義域區間上函數自變量增加時，函數值隨著增減的情況，所以討論函數單調性必須在給定的定義域區間上進行。如：
例4：指出函數 的單調區間．
解：先求定義域：
函數定義域為 ．
令 ，知在 上時，u為減函數，
在 上時， u為增函數。
又 ．
函數 在 上是減函數，在 上是增函數。
即函數 的單調遞增區間 ，單調遞減區間是 。
如果在做題時，沒有在定義域的兩個區間上分別考慮函數的單調性，就說明學生對函數單調性的概念一知半解，沒有理解，在做練習或作業時，只是對題型，套公式，而不去領會解題方法的實質，也說明學生的思維缺乏深刻性。
五、函數奇偶性與定義域
判斷函數的奇偶性，應先考慮該函數的定義域區間是否關于坐標原點成中心對稱，如果定義域區間是關于坐標原點不成中心對稱，則函數就無奇偶性可談。否則要用奇偶性定義加以判斷。如：
例5：判斷函數 的奇偶性．
解：
定義域區間[－1,3]關于坐標原點不對稱
函數 是非奇非偶函數．
若學生像以上這樣的過程解完這道題目，就很好地體現出學生解題思維的敏捷性
如果學生不注意函數定義域，那么判斷函數的奇偶性得出如下錯誤結論：
函數 是奇函數．
錯誤剖析：因為以上做法是沒有判斷該函數的定義域區間是否關于原點成中心對稱的前提下直接加以判斷所造成，這是學生極易忽視的步驟，也是造成結論錯誤的原因。
綜上所述，在求解函數函數關系式、最值(值域)、單調性、奇偶性等問題中，若能精細地檢查思維過程，思辨函數定義域有無改變(指對定義域為R來說)，對解題結果有無影響，就能提高學生質疑辨析能力，有利于培養學生的思維品質，從而不斷提高學生思維能力，進而有利于培養學生思維的創造性。
參考文獻：
1． 王岳庭主編數學教師的素質與中學生數學素質的培養論文集北京海洋出版社1998
函數值域范文6
思維品質是指個體思維活動特殊性的外部表現。它包括思維的嚴密性、思維的靈活性、思維的深刻性、思維的批判性和思維的敏捷性等品質。函數作為高中數學的主線，貫穿于整個高中數學的始終。函數的定義域是構成函數的兩大要素之一，函數的定義域（或變量的允許值范圍）似乎是非常簡單的，然而在解決問題中不加以注意，常常會使人誤入歧途。在解函數題中強調定義域對解題結論的作用與影響，對提高學生的數學思維品質是十分有益的。
一、函數關系式與定義域
函數關系式包括定義域和對應法則，所以在求函數的關系式時必須要考慮所求函數關系式的定義域，否則所求函數關系式可能是錯誤。如：
例1：某單位計劃建筑一矩形圍墻，現有材料可筑墻的總長度為100m，求矩形的面積S與矩形長x的函數關系式？
解：設矩形的長為x米，則寬為（50-x）米，由題意得： ，故函數關系式為： .
如果解題到此為止，則本題的函數關系式還欠完整，缺少自變量 的范圍。也就說學生的解題思路不夠嚴密。因為當自變量 取負數或不小于50的數時，S的值是負數，即矩形的面積為負數，這與實際問題相矛盾，所以還應補上自變量 的范圍：
即：函數關系式為： （ ）
這個例子說明，在用函數方法解決實際問題時，必須要注意到函數定義域的取值范圍對實際問題的影響。若考慮不到這一點，就體現出學生思維缺乏嚴密性。若注意到定義域的變化，就說明學生的解題思維過程體現出較好思維的嚴密性。
二、函數最值與定義域
函數的最值是指函數在給定的定義域區間上能否取到最大（?。┲档膯栴}。如果不注意定義域，將會導致最值的錯誤。如：例2：求函數 在[-2，5]上的最值.
解： ， 當 時，
初看結論，本題似乎沒有最大值，只有最小值。產生這種錯誤的根源在于學生是按照求二次函數最值的思路，而沒有注意到已知條件發生變化。這是思維呆板性的一種表現，也說明學生思維缺乏靈活性。
其實以上結論只是對二次函數 在R上適用，而在指定的定義域區間 上，它的最值應分如下情況： ⑴ 當 時， 在 上單調遞增函數 ；
⑵ 當 時， 在 上單調遞減函數 ；
⑶ 當 時， 在 上最值情況是：
，
.即最大值是 中最大的一個值。
故本題還要繼續做下去：
這個例子說明，在函數定義域受到限制時，若能注意定義域的取值范圍對函數最值的影響，并在解題過程中加以注意，便體現出學生思維的靈活性。
三、函數值域與定義域
函數的值域是該函數全體函數值的集合，當定義域和對應法則確定，函數值也隨之而定。因此在求函數值域時，應注意函數定義域。如：例3：求函數 的值域.錯解：令
故所求的函數值域是 .剖析：經換元后，應有 ，而函數 在[0，+∞）上是增函數，所以當t=0時，ymin=1.故所求的函數值域是[1， +∞）.
