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三角函數值范文1
關鍵詞：三角函數;值域;求法
一、可化為y=asin(ωx+φ)+b(ω>0)型
例1 求y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的值域.
解： y=1-cos2x2+sin2x+3·1+cos2x2
=sin2x+cos2x+2
=2sin(2x+π4)+2
y∈［2-2,2+2］
二、可化為二次函數
例2 求y=3+cosx-2sin2x的值域
解： y=3+cosx-2sin2x=2cos2x+cosx+1
因為cosx∈［-1,1］,所以y∈［78，4］.
三、反解法
例3 求y=3cosx+42cosx-1的值域
解: 因為2ycosx-2y=3cosx+4
所以（2y-3)cosx=2y+4.
所以cosx=2y+42y-3.
|cosx|=|2y+42y-3|≤1
解得： y∈(-∞,-13］∪［7,+∞)
四、當式子中同時含有sinx±cosx,時，常使用換元法
例4 當x∈［0,π］,求y=sin2x+sinx-cosx的值域.
簡解:sinx-cosx=t=2sin(x-π4)∈［-1,2］
所以2sinxcosx=1-t2
所以y=-t2+t+1∈［-1,54］
五、配對法
例5 已知：sinx+siny=1，求cosx+cosy的范圍.
cosx+cosy=t (1)
sinx+siny=1(2) 兩式平方相加得：
2cos(x-y)=t2-1∈［-2,2］
所以t∈［-3,3］.
六、三角函數也是函數，所以其他一些函數值域的求法對于求三角函數的值域照樣適用
如分離常數法：
例6 若cos2x+2msinx-2m-2
簡解：整理得：2m>sin2x+1sinx-1，
sinx-1=t∈［-1,0)
所以2m>t+2t+2，因為(t+2t+2)max=-1.
所以m>-12.
巧用“對比法”解題
江蘇靖江季南初中(214523) 陳一平
對比法：把兩個或兩個以上的事物進行比較，找其共同點與不同點的進行解題的方法.對比法是最基本的思維，也是解題方法.它有時會使思維、解題一清二楚，直接明了.
例1 橫河九年級物理興趣小組的同學在研究“沙子和水誰的吸熱本領大”時，選用了兩只完全相同的酒精燈分別給質量都是200 g的沙子和水加熱.他們繪制出沙子與水的溫度隨加熱時間變化的圖象如圖1所示. 已知酒精的熱值是3.0×107 J/kg，水的比熱容4.2×103 J/(kg·℃)，加熱時酒精燈平均每分鐘消耗0.8 g酒精.那么請問：
(1)圖中a圖和b圖哪個是沙子吸熱升溫的圖象?為什么?
(2)請根據圖象說出水在受熱過程中溫度變化的特點.
(3)加熱滿2 min時,水吸收了多少熱量?
(4)給水加熱持續了10 min時間,共消耗了多少酒精?這些酒精如果完全燃燒將放出多少熱量?
(5)試求出沙子的比熱容.
圖1解：(1) 圖a表示的是沙子吸熱升溫的過程，因為沙子的比熱比水小，吸收相同熱量時沙子溫度升得多.
(2) 水在受熱過程中溫度變化呈先快后慢，至沸騰時溫度保持不變的特點
(3) Q吸=c·m·Δt=4.2×103 J/(kg·℃)×0.2 kg×(70 ℃－20 ℃)=4.2×104 J
(4) m=0.8 g×10=8 g
Q放=mq=8×10-3 kg×3.0×107 J/kg
=2.4×105 J
分析：其中（1）（2）（3）（4）解題如上，不再多贅.
（5）的解題部分同學解題如下：
取t=2 min，Q沙吸=Q放=mq=1.6×10-3 kg×3.0×107 J/kg=4.8×104 J
C沙=Q沙mΔt=4.8×104 J/0.2 kg×(250 ℃-20 ℃)=1043.5 J/(kg·℃)
理由是：根據圖象、題意，取t=2 min，Q放=mq，酒精燃燒放出的熱量可以求出，放出的熱量是供沙子升溫的，且題目沒有給出沙子吸收的熱量是酒精燃燒放出的熱量的百分比，那沙子吸收的熱量就等于酒精燃燒放出的熱量.所以解題如此.如果我們采用“對比法”，就會正確找到沙子在t=2 min內吸收的熱量了.
共同點：①沙子與水的質量都是200 g；②兩只完全相同的酒精燈同時加熱.
不同點：①加熱對象分別是沙子、水； ②圖象中可以看出在相同時間內沙子與水升溫不同
再根據蘇科版物理九年級上P41的信息快遞：如果加熱方法完全相同，就可以認為單位時間內物質吸收的熱量相同.取t=2 min，就很快找到沙子吸收的熱量等于水吸收的熱量4.2×104 J了，這個熱量小于1.6 g酒精燃燒放出的熱量4.8×104 J.題目的難點就會突破，解題也就豁然開朗、水落石出了.
三角函數值范文2
關鍵詞：三角函數；最值；題解
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A
前言
在數學教學中三角函數是學習章程中獨立的一章，也是在歷年的考試中重要的考點之一，要想把三角函數學好，首先必須要對之前所學的三角公式靈活運用，能快速的看出需要變形的恒等。三角函數的最值運算是結合了許多數學知識和運算方法，所以在解題的過程中很可能會因為變形錯誤、問題理解錯誤等諸多問題而最后影響了運算結果。所以在學習三角函數最值的時候，同學們應有針對性的學習，對教學的重點、難點提前預習，理解滲透三角函數的應用公式，學習的時候注意聽老師的思維方法和解題步驟，這樣會對學習三角函數最值有很大的幫助。
在求最值的問題的時候首先要了解求什么類型的最值，其中三角函數的的最值是利用三角函數性質來解決，如果是求一般的最值問題，現在普遍運用的方法一種是利用函數的單調性，另一種是利用導數，在學習三角函數之前可以把曾經做過的有關最值問題進行細致總結，分析題目中所給出的幾個方向，方向的選擇是通過讀題，如果出現多套思路，只要靈活運用所學到的數學方法去處理問題就行。
1 求三角函數最值的方法
求三角函數最值的方法有很多，其中最常用的有配方法、反求法、分離常數法、輔助角法、換元法、不等式法等方法，但是在學習三角函數最值的時候，如果讓學生學習如此多的方法，會使他們造成公式混亂更加難以理解學習的內容，學到最后連最基本的方法都沒有掌握，出現“丟西瓜撿芝麻”的情況。所以在學習三角函數最值的時候，重點掌握三種方法，它們是所有方法當中最基本也是最常用的，有配方法、反求法、輔助角法，其中反求法的應用范圍與分離常數法是異曲同工之妙，它們都要在掌握變形的是同時又需要靈活運用，這種方法通俗易懂、化繁為簡，但是分離常數法不能像反求法一樣作為重點學習。
在對運算公式和方法融會貫通之后，就要運用實例來測試自己的學習成果，但不是所有的例題都能反映出學習效果，要做有特點的例題，因為這種例題能夠很好的反映和體現三角函數最值的求法和變形，還能通過這種例題反映出在做題過程中應注意的細節問題和容易出錯的地方，通過做題更深入的了解這三種運算三角函數最值的方法。三角函數最值的學習還是要通過老師得講解和同學的實際運算相結合，因為三角函數最值的方法是固定的，只有在老師講解完學生理解之后才能自己獨立做練習題，只有充分發揮這三種方法，并多加練習，才能提高三角函數最值的學習效率。
2 三角函數最值的解題思路
如果是屬于三角函數方向的題目，在解題思路上不應該出現不容易把握的狀況，那么在三角變換這個方向上，三角題目的解題方向有的同學在學習過程中把握不好，其中有很多原因，比如在答題時看到題目，套用一個公式寫上去，答完之后發現所用的公式不對，然后重新再換一個公式答題?？偸沁@樣的反復套用，就顯得思路混亂，對公式的掌握程度不夠，往往有的時候，第一次考慮一個公式往上一用，題目解的很順，就會認為已經對三角函數掌握的很好，但是當下一次依然運用這個公式的時候，問題沒有解開，然后又選擇第二個甚至第三個公式，依舊解不開，于是會對心里就會產生影響，這是學生在學習三角變換中很常見的現象。主要原因就是因為三角函數的公式很多，變換的形式多變，這就好像走到了十字路口，然后站在中間，接下來還有許多條路，但是我們只需要選擇最短最快的一條路，而我們站在路中間看不清楚，這跟解答三角函數最值問題是相似的，所以就要求在解答三角函數最值的時候對已知條件仔細研究，準確分析，根據具體的題目，考慮是先從和角公式還是差角公式著手，然后在分析兩角之間存在的必然關系，函數與函數的關聯，題目分析準確之后掌握好解題方向，把應該用到的公式結合起來，按照解題步驟一步一步的解答。只有按照以上方法進行分析三角函數最值才是合理的、準確的。
2.1 給角求值
三角函數中最值問題應熟練掌握三角函數中的套用公式、和角公式、差角公式、倍角公式，還要具有逆向思維的頭腦，將非特殊角轉化為特殊角例如：30°、60°、90°，寫明求值的過程，然后進行解析，總體來講就是先將角度轉換在利用切割化弦運算依次是化為特殊角最后是約去部分，解決這類問題的關鍵就是特殊角轉換，然后約去非特殊角。
2.2 給值求值
給值求值這種三角函數求值法的運算過程中，經常會遇到同角之間的運算關系和推論方法，給值求值的關鍵就在于利用已經給出的條件與要求得的值之間角的運算，對于已知條件和未知條件之間進行轉換或者是變形，達到求解的目的。
3 三角函數問題中常見錯誤分析
三角函數作為數學章程中獨立的一部分，它的特點鮮明，其中需要熟悉掌握的公式比較多，需要靈活的變換公式，往往一道問題會有多個答案出現的情況，所以導致了在解題的過程中會因為思維混亂而陷入誤區，但還是因題而異。
3.1 定義域
三角函數中的恒等之間變換必須要使三角函數是有意義的，在區間內的任意角范圍不能改變的情況下，對于切角和割角的定義域范圍就顯得尤為重要，要仔細分析研究切割角兩類函數，否則很容易造成運算失誤，最終導致答案錯誤。
3.2 單調性
三角函數運算過程中會給出一部分已知條件，利用已知條件去求某一項，這個時候很多人在答題時經常性的忽略單調性，如果是在某一區間上的角，這樣就會使答案增加。
4 三角函數求值域的類型
在解決三角函數的時候，還有可能會遇到求值域的問題，在解決值域問題的時候，一定要熟練運用三角之間的代換，看到題目的時候不要急于解答，要先仔細觀察，分析研究給出的已知條件，大多情況下都是利用數形結合的運算技巧。
例如： f(x)=asinx+b，這種函數我們可以把它看作是定義中的某個函數，那么這種函數的最值就是[f(x)]max= +b；[f(x)]min= +b
4.1 雙曲線型
例如：f(x)，這樣的函數就可以把它看作是雙曲線函數在某個區間上的圖形，函數值有可能在雙曲線的一支上，也有可能函數值分別在雙曲線的兩支上。
4.2 拋物線型
例如：f(x)=asin2x+bsinx+c (a≠0)，這樣的函數可以把它看成是拋物線y=ax2+bx+c (a≠0)在x （-1，1）時的函數值范圍，當這個函數值在一定區間下，達到一個最值，而另一個最值，在另一個區間，如果函數是在某個區間上單調，那么它的最值應該是在兩端點處。
結論
綜上所述，三角函數在慣例考試中是經常出現的數學題目，通常試卷中除了考察和角公式、差角公式、倍角公式以及半角公式等三角函數之間的關系，還有三角函數的恒等變形的靈活運用程度。三角函數覆蓋了豐富的數學公式，復雜的運算步驟，需要注意的是在學習三角函數的時候，必須要準確的牢記三角函數所有公式，熟練的使用變換方法，根據不同的問題思維要靈活，把所學到的公式融會貫通，這樣就會順利的解決問題。
參考文獻
[1]李玉萍.用數形結合的思想求函數的極值[J].數學教學研究,2004,(1).
三角函數值范文3
一、配方法
若函數表達式中只含有正弦函數或余弦函數,且它們的最高次數是2時,一般可通過配方或換元將給定的函數化歸為二次函數的最值問題來處理.
例1 求函數y=5sinx+cos2x的最值.
分析 題目中的三角函數名一個為正弦,一個為余弦,角分別是單角和倍角,所以可先化簡,使三角函數的名和角達到統一,然后配方求最值.
解 y=5sinx+(1-2sin2x)=-2sin2x+5sinx+1
=-2(sinx-■)2+■.
-1≤sinx≤1,
當sinx=-1,即x=2kπ-■(k∈Z)時,y■=-2×■+■=-6;
當sinx=1,即x=2kπ+■(k∈Z)時,y■=-2×■+■=4.
說明 形如y=asin2x+bsinx+c和y=acos2x+bcosx+c的三角函數式,都可用配方法求最值.
二、界值法
在三角函數中,正弦函數與余弦函數具有一個最基本也是最重要的特征――有界性,利用正弦函數與余弦函數的有界性,是求解三角函數最值的最基本方法.
例2 求函數y=■的值域.
分析 此為y=■型的三角函數求最值問題,分子、分母的三角函數同名、同角,這類三角函數一般先化為部分分式,再利用三角函數的有界性求解. 或者也可先用反解法,再用三角函數的有界性求解.
解 原函數可變形為y=1+■.
又|cosx|≤1,可直接得到y≥3或y≤■.
說明 形如y=■(或y=■)的三角函數最值問題都可用界值法來解.
三、輔助角法
當題目中的三角函數式比較復雜時,我們可以利用倍角公式進行降冪,先化成 f(x)=asinωx+bcosωx+c的形式,并引進輔助角,最終化成 f(x)=Asin(ωx+φ)+B的形式,再求最值.
例3 已知函數f(x)=2sinx(sinx+cosx),求函數f(x)的最小正周期和最大值.
分析 在本題的函數表達式中,既含有正弦函數,又含有余弦函數,并且含有它們的二次式,故需設法通過降次化二次式為一次式,再化為只含有正弦函數或余弦函數的表達式.
解 f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+■sin(2x-■).
f(x)的最小正周期為π,最大值為1+■.
說明 解這類問題先降冪是關鍵,一般常用以下四個三角公式來降冪:sin2x+cos2x=1,cos2x=■,sin2x=■,2sinxcosx=sin2x.
四、換元法
對于表達式中同時含有sinx±cosx與sinxcosx的函數,運用關系式(sinx±cosx)2=1±2sinxcosx一般都可采用換元法轉化為t的二次函數去求最值,但必須注意換元后新變量的取值范圍.
例4 求函數f(x)=■的值域.
分析 式中有兩個三角名,可通過角的變換轉化為代數式求函數值域問題.
解 令sinx+cosx=t,則t=■sin(x+■),t∈[-■,■].
又因為1+sinx+cosx≠0,所以t≠-1,
于是t∈[-■,-1)∪(-1,■].
又由 2sinx?cosx=t2-1得sinxcosx=■,
所以f(x)=g(t)=■=■(t-1),t∈[-■,-1)∪(-1,■].
三角函數值范文4
問題1：請用一條直線，把ABC分割為面積相等的兩部分。
解：取BC的中點，記為點D，連結AD，則AD所在直線把ABC分成面積相等的兩個部分。
大家知道，這樣分割線一共有三條，分別是經過ABC的三條中線的直線，能把ABC的面積分成相等兩部分。除了這三條以外，還有很多種，并且對于ABC邊上任意一點，都可以找到一條經過這點且把三角形面積平分的直線。
問題2：點E是ABC中AB邊上的任意一點，且AE≠BE，過點E求作一條直線，把ABC分成面積相等的兩部分。
解：如圖2，取AB的中點D，連結CD，過點D作DF∥CE，交BC于點F，則直線EF就是所求的分割線。
證明：設CD、EF相交于點P
點D是AB的中點
AD=BDSCAD=SCBD
S四邊形CAEP＋SPED=S四邊形DPFB＋SPCF
又DF∥CESFED=SDCF（同底等高）
即：SPED=SPCF
S四邊形CAEP=S四邊形DPFB
S四邊形CAEP＋SPCF=S四邊形DPFB＋SPED
即S四邊形AEFC=SEBF
由此可知，把三角形面積進行平分的直線有無數條，而且經過邊上任意一條直線，運用梯形對角線的特殊性質，很容易作出這樣的分割線。
那么，這些分割線會不會交于某特定的一點呢？
大家知道，三角形的三條中線都把三角形分成面積相等的兩個部分，而三條中線交于它的重心，如果這些分割線相交于一點，那么這點必定是三角形的重心。
問題3：已知：如圖3，在ABC中，G是ABC的重心，過點G作EF∥BC交AB于點E，交AC于點F，求證：SAEF=SABC.
證明：延長AG，交BC于點D
點G是ABC的重心
AG:AD=2:3
又EF∥BC，AEF∽ABC
由本題可得：過AB邊上的點E，經過重心G的直線，EF把三角形面積分為4:5兩部分，直線EF并不是三角形的等積分割線。而根據問題2，可以找到一條過點E把三角形面積平分的一條直線，這條直線必不過重心G。
綜上可知，三角形的等積分割線有無數條，而且任意給定邊上一點，都可以作出相應的等積分割線，且只有一條，所有的分割線并不相交于三角形的重心。
1.給角求值要求熟練掌握兩角和與差的三角函數的基本公式、二倍角公式，特別要注意逆向使用和差角公式與二倍角公式，以此將非特殊角的三角函數轉化為特殊角的三角函數。
例1
求值：sec50°+tan10°
解析：sec50°+tan10°
=1cos50°+cos10°sin10°=1sin40°+cos80°sin80°
=2cos40°+cos80°sin80°=cos40°+cos40°+cos80°sin80°
=cos40°+cos(60°-20°)+cos(60°+20°)cos10°
=cos40°+cos20°cos10°
=2cos30°cos10°cos10°=3
總結評述：本題的解題思路是：變角切割化弦化異角為同角轉化為特殊角約去非特殊角的三角函數。
解此類問題的方法是，轉化為特殊角，同時能消去非特殊角的三角函數。
2.給值求值給出角的一種三角函數值，求另外的三角函數式的值，常用到同角三角函數的基本關系及其推論，有時還用到“配角”的技巧，解題的關鍵是找出已知條件與欲求的值之間的角的運算及函數名稱的差異，對已知式與欲求式施以適當的變形，以達到解決問題的目的。
例2已知1+tanα1-tanα=5+26求1-sin2αcos2α的值
策略：要求1-sin2αcos2α的值，條件1+tanα1-tanα=5+26是非常重要的，要從這一條件出發，將α的某一三角函數值求出，即可獲解。
解析：1+tanα1-tanα=tan45°+tanα1-tan45°tanα=tan(45°+α)=5+26
cos2α1-sin2α=sin(90°+2α)1+cos(90°+2α)=tan(45°+α)
1-sin2α1cos2α=1tan(45°+α)=15+26=5-26
3.給值求角
給出三角函數值求角的關鍵有二：
（1）求出要求角的某一三角函數值（通常以正弦或余弦為目標函數）。
（2）確定所求角在（已求該角的函數值）相應函數的哪一個單調區間上（注意已知條件和中間所求函數值的正負符號）。
例3若α、β∈（0，π），cosα=－750,tanβ=－13求α+2β的值。
解析：由已知不難求出tanα與tan2β的值，這就可求出tan（α+2β）的值，所以要求α+2β的值，關鍵是準確判斷α+2β的范圍。
cosα=－750且α∈（0，π）
sinα=150,tanα=－17
又tanβ=－13,tan2β=2tanβ1-tan2β=－34
tan（α+2β）=tanα+tan2β1-tan2βtanα
=－17-341-(-17)(-17)(-34)=-1
α∈（0，π），tanα=－17<0,α∈(π2,π)
β∈（0，π），tanβ=－13<0,β∈(π2,π)
2β∈（π,2π），tan2β=－34<0
3π2<2β<2π
α+2β∈（2π，3π）.
而在（2π，3π）上正切值等于－1的角只有11π4
三角函數值范文5
(江蘇省揚中市第二高級中學，212200)
第二期江蘇省高中數學青年骨干教師研修班于2013年12月在南京市中華中學，進行了為期3天的“三次磨課，多次反思”活動。
在這期間，我們就“數學概念教學”這一研修主題，以“三角函數的周期性”教學為例展開了分組研討。通過人人備課、小組研討、組內抽簽上課、專家針對點評、集中匯報、組內反思再設計等環節的多次反復，筆者受益頗深。
此后，筆者認真反思總結，將本節課的教學思路梳理為：首先利用生活中的周期現象引入，然后利用圓周運動建立數學模型，定義三角函數、三角函數線——圍繞的都是周而復始的現象；接著從數學的角度，將現實的問題形式化、精確化、可操作化……讓這些建構的過程在數學概念的形成過程中具有一致性。然后，筆者精心設計，重上了這節課。
一、教學過程
（一）概念的引入
師三角函數在本質上，是對單位圓圓周上一個點運動的“動態描述”，是刻畫周期現象的數學模型。
（教師出示問題1：你對這里的“周期現象”如何理解？它是一種怎樣的規律？）
生 每間隔一定時間會重復出現，即“周而復始”的現象。
師 這里的間隔是定值，還是變量呢？
生 定值。
師 我們生活中有周期現象嗎？你能舉出例子嗎？
生 日出日落。
師 這個現象的變化規律是什么？或者說，“周而復始”在你所舉的例子中是如何體現的？
生 每過24小時日出日落便重復出現。
師 同學們還能舉例嗎？
生 四季更替。每過1年四個季節便重復出現。
（教師總結并板書，如圖1所示。）
師 從剛才所舉的例子中，我們可以發現“周而復始”表現為：時間在變，結果不變。
[設計意圖：學生在本節課的學習之前就對周期現象有模糊的認識，可以用自己的語言來表達自己所理解的周期現象，但呈現出“描述不準確、理解不深入”等特點。這里從學生的已知入手，從生活情境入手，引導學生對所舉實例進一步思考，從而一步步接近周期現象的自然本質。]
（教師出示問題2：在之前對三角函數的研究過程中，你發現有周期現象嗎？并具體闡述。）
生 終邊相同的角的三角函數值相等。
師 這里什么在變，什么不變呢？
生 角的大小在變，終邊位置不變，從而三角函數值不變。
（教師用幾何畫板動態演示學生所描述的變化過程，如圖2所示。）
師 你能用函數的觀點來說明這種變化規律嗎？
生 自變量是“角的大小”，因變量是“正弦值（余弦值、正切值）”，自變量每間隔2rc，因變量結果相同。
（教師總結并板書，如圖3所示。）
師 我們把三角函數所具有的這種周期現象稱為三角函數的周期性。
（教師揭示并板書課題。）
[設計意圖：數學本質上是模式或模型的科學，其目的是揭示人們從自然界和數學本身的抽象世界中所觀察到的結構。這里通過自然語言、圖形語言、示意圖（“模式直觀”）、符號語言來表征三角函數的周期性，以便促成不同表征之間的轉換與轉譯。]
（二）概念的建構
師 如果一個函數具有周期現象，它就叫做周期函數。
師 這3種書寫，哪一種比較簡潔？
生 后面兩種。
師 哪一種比較規范、嚴謹呢？
生 最后一種。
師 以為特定值，能為0嗎？為什么?生不能為0。若為0，這個式子就變成f(x)=f(x)，從而任意一個函數就都是周期函數了。
師 那這里的x又該取什么值呢？為什么？
生 定義域中的每一個值。
（教師展示教材中函數周期性的概念。）
[設計意圖：這里讓學生經歷由特殊到一般生成定義的過程，并且通過追問，培養學生思維的嚴密性、表達的準確性，也使得學生對定義有初步的理解。]
（三）概念的理解
（教師出示問題4：請你談談對周期函數定義中表達式“f(x+T)=f(x)”的理解？然后，引導學生從自然語言、符號語言、圖形語言3個方面去理解。）
師 你覺得周期函數的圖像會是什么樣子的呢？
生 不斷地重復某一段。
[設計意圖：周期性的定義有多重表征形式，在學習和今后解決問題的過程中，不同的學生會偏好不同的表征。這里照顧學生之間的差異，同時也便于在不同的表征之間建立聯系，讓學生對周期性有更深刻的認識。]
（教師出示問題5：根據定義，正弦函數除2π外有其他周期嗎？）
生 2kπ(k∈Z)都是周期。
師 沒有例外？
生 k≠0。
師 這么看來，周期函數有無數個周期，每個都研究的話就太麻煩了，選哪一個出來研究呢？
生 挑一個特殊的。比方說，在2kπ(k∈Z且k≠0)中就挑2π。
師 也就是說，挑“最小的正數”。
（教師展示教材中最小正周期的概念。）
師 今后所說的周期，如果不特別說明，一般都指函數的最小正周期。余弦函數、正切函數的周期分別是什么？
生 2π，π。
[設計意圖：這里通過思考和辨析，進一步促進學生對概念的理解，在豐富了學生知識結構的同時，說明了研究最小正周期的必要性。
（四）概念的應用
師 （出示圖4）這個圖給你的直覺是什么？根據這個圖你能得到哪些信息？
生 我覺得這是一個周期函數的圖像。根據圖像，可以得出這個函數的周期，還有一些函數值。
師 周期性的用途是什么？你覺得由你讀出的信息，還可以繼續得到些什么？
（學生互相討論、自主匯報，教師總結。
接著，教師出示如下例1。）
例1若鐘擺的高度h(mm)與時間t(s)
之間的函數關系如圖4所示，求t=10s時鐘擺的高度。
（學生獨立解決此題。部分學生通過補充的圖像解決，部分學生通過得到的函數式解決。教師出示問題6：回顧這道題，你所體會到的周期性對解題有什么幫助？）
生 確定了周期后，就能將要求的函數值轉化到一個基本的區間上了。
師 你能根據周期函數圖像的特征，把上圖再補充一些出來嗎？
（學生畫圖。）
師 由圖可知f(2+0.5)=f(2)，那么，0.5也是該函數的一個周期。對不對？
生 不對。只對一個自變量取值成立不能說明問題。
師 如果在這個函數圖像中挖去一個點，它還是周期函數嗎？
生 不是。有一個點不成立都不行。
師 如何繼續破壞，讓其變成一個周期函數？
生 從此點出發，沿z軸方向，每間隔一個周期長度，去掉一個點。
[設計意圖：這里適當改變問題呈現的順序，讓學生依次學會讀圖、識圖、用圖，先思考周期性的應用、再通過例題驗證，并讓學生在交流和匯報中提升。題目解決后的反思，是為了培養學生良好的解題習慣，也有利于學生優化認知結構。其后的一連串追問，既是例題的變式，也是周期性概念的變式，進一步深化了學生對概念的認識，鞏固了學生所學的知識。
（教師出示如下例2。）
二、教學感悟
（一）要對內容有整體的理解
蘇教版高中數學教材的編寫者之一樊亞東老師說過：“數學教師在進行教學設計時，要思考你是上一節課，上一章的課，上一本書的課，還是上三年的課?！?/p>
對本節課來說，首先，要了解并落實教材的編寫意圖。不同版本的教材中，周期性概念在出現的順序上是有差異的。比如，人教版教材是先研究三角函數的圖像，再借助圖像觀察、概括、抽象出一般函數的周期性。蘇教版教材則是先研究三角函數的周期性，再研究三角函數的圖像與性質——旨在解釋作正弦函數圖像只需要作出[0，2π）上的即可，而對于一般函數的周期性只需要了解即可。
其次，要掌握概念教學的核心是概念的生成?；仡櫤瘮祮握{性、奇偶性概念的生成，大體都經過了這樣一個過程：圖像特征一點的坐標關系一形式化定義。而蘇教版教材順序上的改變，導致學生缺乏概括周期性概念的具體圖像。因此，本節課從生活中的實例引入，進而借助學生已經掌握的等式sin(x+2π)=sinx，分析后給出形式化定義，同時從自然語言、符號語言、圖形語言3個方面來加深學生對概念的理解。
（二）要對學情有準確的把握
學生在學習本節課內容之前，已經能夠感知生活中有大量的按照一定規律不斷重復出現的現象，對周期現象的概念有了模糊的認識；而且已經學習了函數的單調性、奇偶性，具備了研究函數性質的基本經驗，也對形式化的定義表示有了一定的認知基礎。因此，周期性概念的生成要落實在學生的最近發展區。
此外，概念的生成、例題的講解等，要充分考慮高一學生的思維特點：他們已經有了初步的抽象概括能力，但絕大部分學生的思維還是以直觀為主。因此，板書的圖示和課件的演示，都能幫助學生更直觀地理解知識；而概念的生成應該采用由特殊到一般的方法，概念的理解應該以具體的函數作為媒介；且概念的辨析也應該出現在概念的建構過程中，而非在應用之中。
三角函數值范文6
關鍵詞：美；學習興趣；抽象美
美是能夠引起人們愉悅或使人感到和諧、快慰或讓人產生愛（或類似愛）的情感、欣賞享受感、心曠神怡感或有益于人類、社會的客觀事、物的一種特殊屬性。通常我們所說的美以自然美、社會美以及此基礎上的藝術美、科學美的形式存在。數學美是自然美的客觀反映，是科學美的核心，是數學中奇妙的、有規律的、讓人愉悅的美的東西。
我國著名數學家華羅庚說：“就數學本身而言是壯麗多彩、千姿百態、引人入勝的……認為數學枯燥乏味的人，只是看到了數學的嚴謹性，而沒有體會出數學的內在美?！?/p>
數學中充滿著美的因素。數學家徐利治說：“作為科學語言的數學，具有一般語言文字與藝術所共有的美的特點，即數學在其內容結構上和方法上也都具有自身的某種美，即所謂數學美。數學美的含義是豐富的，如數學概念的簡單性、統一性，結構關系的協調性、對稱性，數學命題與數學模型的概括性、典型性、普遍性，還有數學中的奇異性等都是數學美的具體內容?！?/p>
數學美有別與其他形式的美。它沒有鮮艷的色彩，沒有美妙的聲音，沒有動感的畫面。它卻是一種獨特的美。它的美可表現在數學對象的外表：精美的圖形、優美的公式、巧妙的解法。但總的來說：數學中的美還是深深地蘊含在它的基本結構之中，這種內在的理性美學生往往難以感受、認識和理解。
在數學教學中，如何解讀數學的美，讓學生充分感受數學的美，培養和提高學生的審美能力，激發學生對數學美的熱愛和追求，進而提高學生對數學的學習興趣。筆者以三角函數為例，分別從以下幾方面發掘數學中蘊含的美的因素。
一、對稱美
數學作為研究現實世界空間形式和數量關系的一門科學，其中充斥著對稱之美。有幾何圖形的對稱，還有定理、公式的對稱。而最易讓學生感受，并產生強烈的視覺美感的莫過于幾何圖形、函數圖象的對稱之美。
例如，在講解“三角函數y=sinx的圖象和性質”時，可這樣設計教學過程：
1.首先要求學生通過計算列出x，y的對應值表。
2.讓學生在直角坐標系中，描點畫出函數圖象。
3.利用圖象觀察和認識函數的性質和變化規律。
4.教師演示利用計算機或圖形計算器畫出的圖象，動態的展示y=sinx圖象的軸對稱性和中心對稱性。
數學活動過程中，學生自己動手畫圖，主動觀察、探討圖象的性質。再由老師動態直觀的演示這些對稱性。整個教學過程中，重視幾何直觀性。讓學生在探究學習中認識“對稱美”。
二、簡單美
愛因期坦說過：“美，本質上終究是簡單性。”只有借助數學，才能達到簡單性的美學準則。
蘇霍姆林斯基認為：自然界里許多美的事物，如果不事先指給孩子們看、講給孩子們聽，他們自己是不會留意的。這就要求我們教師能發掘數學的美，并逐漸引領學生進入美的天堂。
參考文獻：
[1]劉萍.數學美的哲學思考.數學教育學報，1999（2）.
