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三角函數變換規律范文1
考題解析
考點1：同角三角函數間的基本關系式與誘導公式。
此類問題容易因忽視角所在象限而失分。此題考查同角三角函數的基本關系與二倍角公式難度中等。
考點2：三角函數的圖象。
本考點在高考中，一個是考察利用圖象求解析式或用待定系數法求函數的解析式，題目難度不大，但常與三角函數的性質結合起來，求解的關鍵是確定各參數的值，另一個是考察三角函數圖象的平移、伸縮、相位變換，尤其是平移變換。
例2（2012年湖南卷）已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R， ω>0，0
考點3：利用恒等變換求值與化簡。
利用恒等變換進行求值與化簡，是每年高考必考內容，重點考察運用正、余弦函數的和、差角公式，正切函數的和、差角公式，以及倍角公式的正用、逆用、變形應用。從近幾年高考趨勢看，對于三角恒等變換求值與化簡，高考命題以公式的基本運用、計算為主，在解題中一般有兩個解題思路，一個是角的變化，即將多種形式的角盡量統一減少角的個數；二是"名"的變換，即三角函數名稱的統一，要靈活利用公式，盡量實現切化弦，同時在實際解題時還要注意雙管齊下，整體代換。
點評：在求三角函數值的問題中，要注意"三看"，即：一看角，把角盡量向特殊角或已知角轉化；二看名，把三角函數中的切函數向弦函數轉化，把多個函數名向一個函數名轉化；三看式，看式子是否滿足公式，能否逆用公式，能否向公式的形式轉化。
考點4：利用恒等變換研究函數性質。
在高考中，恒等變換常與三角函數綜合起來，通過恒等變換，將三角函數式化為"單角單函數"的形式，來研究三角函數的性質。
點評：要注意到三角函數名或角的差異，合理運用公式，進行恒等變換，化為"三角單角函數"的形式，進而研究三角函數的性質。
考點5：三角函數與向量的交匯問題。
三角函數變換規律范文2
關鍵詞：三角變換 圖像平移 解三角形 基本知識 基本技能 轉化與化歸
中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.117
三角函數是中學數學中一種重要的函數，它的定義和性質涉及的知識面廣，并且有許多獨特的表現，所以它是高考中對基礎知識和基本技能考查的重要內容之一，同時，三角函數又和代數、幾何有密切的聯系，因此，它又是研究其他知識的重要工具，在高中數學中有著廣泛的應用，三角函數在高考中既有選擇題、填空題，一般也都有一道解答題，因此，我們既要注重它的基礎性和工具性，又要兼顧它的靈活性和新穎性，注意培養應用三角工具解題的習慣，提高分析問題和解決問題的能力。
下面以2013年新課標全國Ⅱ卷（文、理）三角函數試題為例做粗淺解析。
1 原題再現
①（文4）ABC的內角A，B，C對邊分別為a，b，c，b=2，B=[π
6]，C=[π
4]，則ABC的面積為多少？
②（文6）已知sina2α=[2
3]則=cos2（α+[π
4]）=？
③（文16）函數y=cos（2x+）（-π≤≤π）的圖像向右平移[π
2]個單位后，與函數y=sin（2x+[π
3]）的圖像重合，則=__？
④（理15）設θ為第二象限角，若tan（θ+[π
4]）=[1
2]，則sinaθ+cosθ=__？
⑤（理17） ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，已知a=bcosC+csinB.
（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求ABC面積的最大值.
2 試題解析
①這道解三角形的考題，以小題形式出現，屬容易題。解三角形問題主要指求三角形中的一些基本量，即求三角形的三邊、三角、面積等，它的實質是將幾何問題轉化為代數問題，解題關鍵是正確分析邊角關系，依據題設條件合理地設計解題程序。本題考查的知識點有：正弦定理，面積公式，誘導公式和角正弦公式。
②這道題屬于利用三角恒等變換求三角函數值的類型，三角函數化簡的通性通法是從函數名、角、運算三方面進行差異分析，再利用三角變換使異角化同角、異名化同名、高次化低次等。求解此類問題的關鍵是能根據問題的特點發現差異（觀察函數名、角運算間的差異），尋找聯系（運用相關三角函數公式，找出差異之間的內在聯系），合理轉化（選擇恰當的三角函數公式，促使差異的轉化）。盡管此題屬一道容易題，但是學生對于掌握升降冪公式歷來都是一個難點，常常犯錯。因此，我們在教授此知識點時，一定要讓學生大量練習，靈活掌握。教材在這部分內容上給出了大量的習題，目的也在于此，所以高考備考復習時要抓綱務本，重視基礎。
③這道圖像變換題作為填空題的壓軸題出現，對于文科學生來說還有一定難度，難度一：函數名、角不同；難度二：圖像平移變換；難度三：正、余函數間的相互轉化（利用誘導公式）。高考對三角函數的圖像變換主要考查兩種類型：先作周期變換、再作相位變換；先作相位變換、再作周期變換。
④這道題中，角的范圍限定，屬于容易題，但也有一定的綜合性，因為集知識性、思想性、方法性于一體，不失為一道好題：a.考查和角正切公式；b.考查方程思想和化切為弦的轉化思想；c.考查同角三角函數關系。
⑤解三角形問題是三角函數問題的姊妹題，在高考中與三角函數具有同等重要的位置，近幾年新課標高考對解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的綜合運用為主。在解題時，要分析清楚題目條件，利用正弦定理、余弦定理轉化為三角形中各邊之間的關系或各角之間的關系，并結合三角形的內角和為180°，誘導公式，同角兩角和與差的正三角函數基本關系，兩角和與差的正弦、余弦、正切公式進行化簡求值。這道題作為解答題的第一個門檻，學生需要一定的知識儲備和靈活的邏輯推理能力。它以考查正弦、余弦定理及三角形面積公式為載體，以邊角轉化思想與和角正弦公式為紐帶，以基本不等式放縮為技巧，帶有一定的綜合性和靈活性，屬于中檔題，且有一定的難度，這道題困擾學生思維的地方有：第一，化邊為角的轉化思想（正弦定理）；第二，角A正弦轉化為角B+C正弦的轉化思想；第三，運用基本不等式放縮求最值的技巧。像這種體現基本知識、基本技能和基本技巧于一身的優秀考題，我們在今后的備考復習中應多加訓練，融會貫通。解答如下：
（Ⅰ）由已知及正弦定理得sinA=sinBcosC+sinCsinB ①；
又A=π-（B+C），故sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC ②；
聯立①，②和C（o，π）得sinB=cosB.由于所以B（o，π），所以B=[π
4]。
（Ⅱ）ABC的面積S=[1
2]acsinB=[ [2]
三角函數變換規律范文3
一、引言
三角函數是一門較重要的科學知識，它往往會與理工科的其他科目有聯系，我們不僅會在數學中學習到三角知識，而且這一知識也與物理方面的相關知識掛鉤，如在電學中，有不少波的相關公式，以及得出的物理現象就是用三角函數表達式表達的，所得到的圖形是三角函數圖。所以，三角函數不僅僅是一門對數學學習有幫助，同時對于工學類的其他科目也有用途的科學，在實際工作和生活中有廣泛的應用。
二、三角函數問題概述
1三角函數問題的特點
到現在為止，我們已經接觸過了不少問題，這些三角問題大多數是通過三角函數的性質和恒等變換來求解的。如我們要計算三角函數值某個角的大小，就往往是采用計算該角的某一種三角函數值，再依據我們學過的三角函數性質，根據三角函數值的正負來確定象限得出來的。我們要判斷三角函數的單調性，或者確定三角函數的單調區間，往往可以通過基本三角函數的單調區間來求解。所以說，三角函數的一切問題的求解還在于二方面：一是對性質的把握，二是熟悉掌握三角恒等變換公式，并在具體的問題中學會靈活自如地加以應用。
三、考題分析
1考題
例題：在 中，角A，B，C 所對應的邊分別為 a，b，c，
，求A，B及b，c
2考題求解過程分析
3總體分析
上面這道題是以三角形為主要的參考模型來考查三角函數知識的，這是三角函數大題的一大常用考試思路，主要是借助三角形，給出一些已知的參數（可以是邊，可以是角，從而來求其他三角參數的值，如可以是面積，也可以是邊角，這是三角函數的一種基本的考查形式。
3.2.2本題分析
先看考題第一問，要求的是A，B的值，通常情況下，要求出角的大小，我們往往是要求一下角所在的三角函數值的大小，所以根據這一思路，我們要求出B，C的三角函數值，題中給出了三個已知條件，其中第一個邊的大小對于求解第一問起不到幫助，我們只能從后面的二個條件入手，很明顯，從條件2，可以求出C角的三角函數值，其中 ，這很容易看出來，而根據這一點，我們可以求解出C角的三角函數值， ，角C是30或150度，再根據后面的第三個條件，仍然是把A換成B和C，可以得出 ，直接得出B和C角大小相等。由此，得到三個角的大小，是一個等腰三角形。
3.3考題求解
下面，我們按照先前確定的分析過程，理一下思路，求解二問，具體如下：
解：由 得
，又
由 得
即
由正弦定理 得
四、考題總結
根據上面的這道題，我們不難發現，從結論開始進行分析和展開聯想是有必要的。上面的這一題的要求解的內容，將會直接決定我們分析的走向，如第一問要求三角函數，我們就要考慮采用三角和差公式，第二問要計算邊長，我們就要聯想到正、余弦定理。這都是我們在上面這道題中發現的規律。
4.倒推法求解三角恒等變換問題的基本思路
4.1以問題為出發點
在前面，我們就已經明確指出，倒推法是以問題為中心而展開的。所以，來了三角函數類問題，我們必須要對將要求解的問題做一個全面的了解，看一下該問題到底是要求什么，要求邊，還是求角，還是求面積，或者是單調性等。在明確了問題以后，我們就要對此問題進行定性的分析。問題不僅僅是決定我們求解的方向所在，也是我們求解的關鍵突破口。由此看來，對于問題的性質進行全面的分析是極其重要的，它為后面的解答問題起到了鋪墊的作用。
1 注意條件的對應關系
在搞清楚問題以后，我們就要開始進行推理和想象，如上面的那一個實例，我們要調動一切因素，使我們要解決的問題和已經存在的條件無限接近。如第二問，為了使邊和面積之間建立聯系，又是在三角形中，我們唯一想到的思路就是三角面積計算公式，通過公式，我們就可以得到二條邊的乘積。此外，還有一點也是重要的，那就是給出了角的正弦值，就等同于給出了邊的比例關系。如果沒有突破這一點，也無法得以求解。
2 大膽推理和聯想
在倒推法解決問題時，一定的聯想是有必要的。而且由于我們高考題在情境上會不斷發生變化，但是只是形式上的變化，仍然存在換湯不換藥，新瓶裝老酒的做法。所以，我們要根據相關的情況大膽進行推理和猜想，如有這樣一個問題。
例2：若 則 a=B
（A） （B）2 （C） （D）
此題按常規做法是要計算的，而用倒推法，我們只要分析該角的大小，或者說所處象限就行了，根據公式有 sin （a+A）= 而A很明顯是一個銳角，（a+A）=270度，意味著 處于第三象限，排除A與B選項，再根據sinA= 是一個小于30度的角，所以a必須要大于240度，于是 tan a的值比tan60的值要小，所以直接鎖定答案D。根據此題，我們可以發現倒推法無法是用于解答小題還是解答綜合題，都可以起到一定的作用。
五、結束語
根據本文的分析，倒推法不失是一種用來求解三角函數問題的基本方法。通過以問題為出發點，可以進一步理出學過的知識，求解的問題，以及我們現有的條件的關系，使我們在解決問題時，打開思路，自由發揮。更為重要的是，它是一種解決問題的思路，尤其是對于解決難度較大的綜合型問題中更可以看到這一點。值得一提的是，倒推法不僅僅適用于解決三角函數問題，它在解析幾何，立體幾何以及數列等綜合性問題中仍然有較大的用途，這一切都有待于我們在以后的解題過程中，多加總結，以便使其能夠發揮更大的作用。
參考文獻
[1] 周加付. 三角變換的技巧和方法[J]. 成功（教育） 2010年12期
三角函數變換規律范文4
【關鍵詞】 平方關系 切割化弦 輔助角
【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1674-4772（2013）03-023-01
一、 同角三角函數的基本關系的疑問解答
1. 如何已知任意角的一個函數值求其他幾個函數值？
利用周角三角函數關生系求值，主要涉及三類問題：①定值定象限問題，這種問題求解三角函數值，只有一組結果；②定值不定象限問題，這種問題求解三角函數值，有兩組結果；③不定值不定象限問題，這種問題求解三角函數值，需按象限角與軸線角進行討論，從形式上看其結果有兩組。
2. 如何利用同角三角函數關系來求值，化簡與證明？
在計算、化簡或證明三角函數時，常用的技巧有：減少不同名的三角函數，或化切為弦，或化弦為切；多項式運算技巧的運用，如因式分解等；條件與結論的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角三角函數式的應用。
3. 何時使用“平方關系”的代換解決同角三角函數問題？
一般來說，當題中條件有正弦與余弦平方式的求值、化簡或證明時，或者待求的參數值是通過同角的正弦與余弦來表示，?？紤]通過平方，創造條件。比如，在條件中即出現了sinα+cosα又出現了sinαcosα，則需要考慮將進行平方利用平方關系。
4. 何時進行切與弦的轉化？
通常在同一個條件關系中，即出現了正弦與余弦，又出現了正切（余切），要求值或證明相關命題，往往可考慮將弦化為切或將切轉化為弦的形式，何時將弦化為切，何時將切化為弦，要視具體的題目而定。
二、兩角和與差的三角函數
1. 如何推導兩角差的余弦公式，其他公式是如何由此演變出來的？
首先運用向量的方法對公式C（α-β）進行推導，通過兩個向量數量積的非坐標表達式和坐標表達式相等得到。對于其它公式的推導，則使用代換思想及誘導公式進行推導。比如，在C（α-β）用-β代換β得到C（α+β）；而公式S（α+β）的推導應先利用誘導公式，再借助C（α-β）公式即可推出，即：sin（α+β）=cos（■-α-β）=cos（■-α）cosβ+sin（■-α）sinβ=sinαcosβ+cosαsinβ；公式T（α+β） 的推導應用了弦化切的思想，但要注意結果應使用tanα、tanβ及使其和與差角的正切有意義的角范圍。
2. 利用兩角和與差的三角函數公式應注意哪些問題？
（1）要注意公式的正用、逆用，尤其是公式的逆用，要求能正確地找出所給式子與公式右邊的異同，并積極創造條件逆用公式；（2）注意分角、并角的技巧，將未知角用已知角表示出來，使之能直接運用公式；（3）注意常值代換：用某些三角函數值代替某些常數，使之代換后能運用相關公式，其別要注意的是“1”的代換。
3. 角度變換常用的思路有哪些？
在三角函數的化簡、求值、證明中，常要根據已知角與目標角之間的顯性或隱性的關系，通過角度變換，利用誘導公式或兩角和與差的公式，來尋找解題捷徑，從而把未知變成已知，使問題得到合理的解決。
4. 什么是輔助角公式？
遇到形如asinα+bcosα的代數式，常需引入輔助角φ，將asinα+bcosα利用兩角和與差的正弦公式化為：asinα+bcosα=■sin（α+φ）（其中φ角所在的象限由a、b的符號確定，φ角的值由tanφ=■確定）。特別地，當a=b=1時，有sinα+cosα=■sin（α+■）。
5. 在求角或證明時，已知條件中的角與待求或待證的角如何相互表示？
在利用兩角和與差的三角函數公式進行化簡、求值與證明的題型中，常要根據函數名與角度的差異進行角度變換。若將已知三角函數值或相關等式中的角稱為條件角，而將待求的目標函數中的角稱為目標角，則這兩種角何時用哪個角表示另一個角，在不同的題型中是有所區別的。
6. 如何求非特殊角的三角函數值？
非特殊角的求值難度比較大，對我們熟練掌握公式并靈活運用的要求比較高。一般來說，要依據題中非特殊角之間的聯系與差異，利用兩角和與差公式求解。本著三角函數的實質是“由角到值”，也就是先利用運算關系變出所需角，再運用和差角求解。
三角函數變換規律范文5
九年級數學下學期教學計劃
王建國
一、教學背景:
為了加強課堂教學，完善教學常規，能夠保證教學的順利開展，完成初中最后一學期的數學教學，使之高效完成學科教學任務制定了本教學計劃。
二、學情分析:
這學期我所帶的班級是九（1）班，成績較為一般。及格人數只占到60%。這與我之前的計劃相差還有一截兒。針對這些情況，分析他們的知識漏洞及缺陷，及時進行查漏補缺，特別是多關心、鼓勵他們，讓這些基礎過差的學生能努力掌握一部分簡單的知識，提高他們的學習積極性，建立一支有進取心、能力較強的學習隊伍，讓全體同學都能樹立明確的數學學習目的，形成良好的數學學習氛圍。
三、新課標要求:
初三數學是按照九年義務教育數學課程標準來實施的,其目的是通過數學教學使每個學生都能夠在學習過程中獲得最適合自己的發展。通過初三數學的教學，教育學生掌握基礎知識與基本技能，培養學生的邏輯思維能力、運算能力、空間觀念和解決簡單實際問題的能力，使學生逐步學會正確、合理地進行運算， 逐步學會觀察分析、綜合、抽象、概括。會用歸納演繹、類比進行簡單的推理。使學生懂得數學來源與實踐又反過來作用于實踐。提高學習數學的興趣，逐步培養學生具有良好的學習習慣，實事求是的態度，頑強的學習毅力和獨立思考、探索的新思想。培養學生應用數學知識解決問題的能力。
四、本學期學科知識在整個體系中的位置和作用:
本冊書的4章內容涉及《數學課程標準》中“數與代數”“空間與圖形”和“實踐與綜合應用”三個領域的內容，其中第26章“二次函數”和第28章“銳角三角函數”的內容，都是基本初等函數的基礎知識，屬于“數與代數”領域。然而，它們又分別與拋物線和直角三角形有密切關系，即這兩章內容既涉及數量關系問題，又涉及圖形問題，能夠很好地反映數形結合的數學思想和方法。第27章“相似”的內容屬于“空間與圖形”領域，其內容以相似三角形為核心，此外還包括了“位似”變換。在這一章的最后部分，安排了對初中階段學習過的四種圖形變換(平移、軸對稱、旋轉和位似)進行歸納以及綜合運用的問題。第29章“投影與視圖”也屬于“空間與圖形”領域，這一章是應用性較強的內容，它從“由物畫圖”和“由圖想物”兩個方面，反映平面圖形與立體圖形的相互轉化，對于培養空間想象力能夠發揮重要作用。對于“實踐與綜合應用”領域的內容，本套教科書除在各章的正文和習題部分注意安排適當內容之外，還采用了 “課題學習”“數學活動”等編排方式加強對數學應用的體現。本冊書的第29章安排了一個課題學習“制作立體模型”，并在每一章的最后安排了2~3個數學活動，通過這些課題學習和數學活動來落實與本冊內容關系密切的“實踐與綜合應用”方面的要求。
五、個單元章節:
第26章 二次函數
本章主要研究二次函數的概念、圖象和基本性質，用二次函數觀點看一元二次方程，用二次函數分析和解決簡單的實際問題等。這些內容分為三節安排。
第26.1節“二次函數”首先從簡單的實際問題出發，從中引發和歸納出二次函數的概念;然后由函數 開始，逐步深入地、由特殊到一般地、數形結合地討論圖象和基本性質，最后安排了運用二次函數基本性質探究最大(小)值的問題。這些內容都是二次函數的基礎知識，它們為后面兩節的學習打下理論基礎。第26.2節“用函數觀點看一元二次方程”從一個斜拋物體(例如高爾夫球)的飛行高度問題入手，以給出二次函數的函數值反過來求自變量的值的形式，用函數觀點討論一元二次方程的根的幾種不同情況，最后結合二次函數的圖象(拋物線)歸納出一般性結論，并介紹了利用圖象解一元二次方程的方法。這一節是反映函數與方程這兩個重要數學概念之間的聯系的內容。第26.3節“實際問題與二次函數”安排了三個探究性問題，以商品價格、磁盤存儲量和拱橋橋洞的有關問題為背景，運用二次函數分析和解決實際問題。教科書從實際問題出發，引導學生分析問題中的數量關系，建立相應的數學模型即列出函數關系式，進而利用二次函數的性質和圖象研究問題的解法。通過這一節的學習可以使學生對解決實際問題的數學模型的認識再提高一步，從而提高運用數學分析問題和解決問題的能力。本章教學結束之后，學生在已經學習了一次函數(包括正比例函數)、反比例函數和二次函數，這些都是代數函數，即解析式中只涉及代數運算(加、減、乘、除、乘方、開方)的函數。至此，學生對函數的認識已告一段落。
第27章 相似
本章的主要內容包括相似圖形的概念和性質，相似三角形的判定，相似三角形的應用舉例和位似變換等。此前學習的全等是圖形之間的一種特殊關系，而本章學習的相似是比全等更具一般性的圖形之間的關系。全等可以被認為是特殊的相似(相似比為1)，對于全等的認識是學習相似的重要基礎。
第27.1節“圖形的相似”從學生熟悉的一些實際問題說起，引出相似圖形的概念，以及相似多邊形的概念、性質等，使學生對相似先有一個一般性的認識。第27.2節“相似三角形”的內容是討論最基本的多邊形──三角形的相似關系，這是認識相似關系的基礎，也是本章的重點內容。教科書首先安排了證明了“過三角形一邊中點且平行于另一邊的直線，截出的三角形與原三角形相似”，然后將其推廣到更一般的結論“平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似”。在此基礎上，教科書安排了三個探究問題，引導學生得出相似三角形的三種主要判定方法。教科書對于其中第一個問題進行了推導證明，另兩個問題的推導證明安排學生自己完成。接著，教科書通過三個例題討論在測量中如何利用相似三角形的知識，這些例題代表了測量中的常見典型問題。本節最后安排了相似三角形的周長和面積問題。第27.3節“位似”討論一種圖形變換──位似變換。位似是一種特殊的相似，它的特殊性表現在“兩個相似圖形的對應點的連線都交于一點(位似中心)”。教科書安排了利用坐標描述位似變換的內容，這是數形結合方法的體現。本套教科書中先后共出現了四種圖形變換:平移、軸對稱、旋轉和位似，本節最后安排了一幅包含這四種變換的圖案，學生通過思考圖案中的問題，可以對四種變換進行綜合回
第28章銳角三角函數
本章主要內容包括:銳角三角函數(正弦、余弦和正切)，解直角三角形。銳角三角函數是自變量為銳角時的三角函數，即縮小了定義域的后的三角函數。解直角三角形在實際當中有著廣泛的應用，銳角三角函數為解直角三角形提供了有效的工具。相似三角形的知識是學習銳角三角函數的直接基礎，勾股定理等內容也是解直角三角形時經常使用的數學結論，因此本章與第18章“勾股定理”和第27章“相似”有密切關系。
第28.1節“銳角三角函數”中，教科書從沿山坡鋪設水管的問題談起，通過討論直角三角形中直角邊與斜邊的比，使學生感受到銳角的大小確定后相應邊的比也隨之確定，而且不同的角度對應不同的比值，這種對應正是函數關系。教科書設置了“探究”欄目，讓學生通過自主探究，利用相似三角形得出結論，由此引出正弦函數的概念。在此基礎上，引導學生類比對正弦函數的討論，得出余弦函數和正切函數的定義。接著教科書討論了“已知角的大小求它的三角函數值”和“已知角的三角函數值求角”這兩種問題，這樣就從兩個相反方向再次強調了銳角與其三角函數值之間的一一對應關系。現在計算器已經成為學習和運用三角函數的有力工具，教科書在本節最后介紹了如何使用計算器求三角函數值以及如何由三角函數值求對應的角。第28.2節“解直角三角形”中，教科書借助實際問題背景，要求學生探討在直角三角形中，根據兩個已知條件(其中至少有一個是邊)求解直角三角形，并歸納出解直角三角形常用的知識和方法。接著教科書又結合四個實際問題介紹了解直角三角形在實際中的應用，這些問題的已知條件分別屬于幾種不同類型，解決方法具有典型性，體現了正弦、余弦和正切這幾個銳角三角函數在解決實際問題中的作用。本節最后通過對比測量大壩的高度與測量山的高度，直觀形象地介紹了“化整為零，積零為整”“化曲為直，以直代曲”的數學基本思想。
第29章 投影與視圖
本章的主要內容包括投影和視圖的基礎知識，一些基本幾何體的三視圖，簡單立體圖形與它的三視圖的相互轉化，根據三視圖制作立體模型的實踐活動。全章分為三節。
第29.1 節“投影”中，首先從物體在日光或燈光下的影子說起，引出投影、平行投影、中心投影、正投影等概念;然后以鐵絲和正方形紙板的影子為例，討論當直線和平面多邊形與投影面成三種不同的位置關系時的正投影，歸納出其中蘊涵的正投影的一般規律;最后以正方體為例，討論立體圖形與投影面成不同位置關系時的正投影。整個討論過程是按照一維、二維和三維的順序發展的。第29.2節“三視圖”討論的重點是三視圖，其中包括三視圖的成像原理、三視圖的位置和度量規定、一些基本幾何體的三視圖等，最后通過6道例題討論簡單立體圖形(包括相應的表面展開圖)與它的三視圖的相互轉化。這一節是全章的重點內容，它不僅包括了有關三視圖的基本概念和規律，而且包括了反映立體圖形和平面圖形的聯系與轉化的內容，與培養空間想象能力有直接的關系。第29.3節“課題學習 制作立體模型”中，安排了觀察、想象、制作相結合的實踐活動，這是動腦與動手并重的學習內容。進行這個課題學習既可以采用獨立完成的形式，也可以采用合作式學習的方式。應該把這個課題學習看作對前面學習的內容是否切實理解掌握以及能否靈活運用的一次聯系實際的檢驗。六、教法和學法指導方案:(1)指導學生形成擬定自學計劃的能力.(2)指導學生學會預習的能力.要求學生邊讀邊思邊做好預習筆記，從而能帶著問題聽課.(3)指導學生讀書的方法.(4)指導學生做筆記、寫心得、繪圖表的方法，使他們能夠把自己的思想表達出來.(5)指導學生有效的記憶方法和溫習教材的方法.3.學習能力的指導 包括觀察力、記憶力、思維力、想象力、注意力以及自學、表達等能力的培養.4.應考方法的指導 教育學生樹立信心，克服怯場心理，端正考試觀.要把題目先看一遍，然后按先易后難的次序作答;要審清題意，明確要求，不漏做、多做;要仔細檢查修改.5.良好學習心理的指導 教育學生學習時要專注，不受外界的干擾;要耐心仔細，獨立思考，不抄襲他人作業;要學會分析學習的困難，克服自卑感和驕傲情緒.對不同層次學生的數學學習能力的培養提出不同的要求;根據不同學習能力結合數學教學采取多種方法進行培養;根據個別差異因材施教，培養數學學習能力，采取小步子、多指導訓練的方式進行;通過課外活動和參加社會實踐，促進數學學習能力的發展. 總之，對學生數學學習方法的指導，要力求做到轉變思想與傳授方法結合，課上與課下結合，學法與教法結合，教師指導與學生探求結合，統一指導與個別指導結合，建立縱橫交錯的學法指導網絡，促進學生掌握正確的學習方法.
七、階段性測試或檢查方式及輔導措施:
(1)注重課后反思，及時的將一節課的得失記錄下來，不斷積累教學經驗。
(2)批好每一次作業:作業反映了一節課的效果如何，學生對知識的掌握程度如何，認真批改作業，使教師能迅速掌握情況，對癥下藥。
(3)按時檢驗學習成果，做到單元測驗的有效、及時，測驗卷子的批改不過夜?？己髮Φ湫湾e誤利用學生想馬上知道答案的心理立即點評。
(4)及時指導、糾錯:爭取面批、面授，今天的任務不推托到明日，爭取一切時間，緊緊抓住初三階段的每分每秒。課后反饋。落實每一堂課后輔助，查漏補缺。精選適當的練習題、測試卷，及時批改作業，發現問題及時給學生面對面的指出并指導學生搞懂弄通，不留一個疑難點，讓學生學有所獲。
(5)積極與其它老師溝通，加強教研教改，提高教學水平。
(6)經常聽取學生良好的合理化建議。
(7)以“兩頭”帶“中間”戰略思想不變。
(8)深化兩極生的輔導。
八、教學進度安排:
3.1---3.8 第一周:講評期末試卷 第二十六章 二次函數(12)
26.1 二次函數及其圖象、性質
3.9---3.15 第二周: 26.2 二次函數的應用
3.16-3.22 第三周: 26.2 二次函數的應用 26.3 課題學習建立函數模型
3.23-3.29 第四周: 綜合小復習 單元測試及講評
3.30-4.5 第五周: 第二十七章 相似(13) 27.1 相似形
4.6-4.12 第六周: 27.2 相似三角形
4.13-4.19 第七周: 27.2 相似三角形 27.3 相似多邊形
4.20-4.26 第八周: 27.3相似多邊形第
4.27-5.3 第九周: 小復習 單元測試及講評
5.4-5.10 第十周: 期中考試 講評試題
5.11-5.17 第十一周: 二十八章銳角三角函數(12) 28.1 銳角三角函數
5.18-5.24 第十二周: 28.2 解直角三角形
5.25-5.31 第十三周: 28.2 解直角三角形 28.3 課題學習測量 小復習 單元測試及講評
6.1-6.7 第十四周: 第二十九章視圖與投影(11)29.1 三視圖
6.8-6.14 第十五周: 29.1 三視圖 29.2 展開圖
6.15-6.21 第十六周: 29.2 展開圖 29.3 課題學習 圖紙與實物模型小復習單元測試及講評
6.22-6.28 第十七周: 綜合復習一
6.29-7.5 第十八周: 綜合復
三角函數變換規律范文6
近幾年全國各省市高考試題中，有關三角函數的內容平均有20多分，約占總分的15%.試題包括一道考查基礎知識的選擇題或填空題和一道考查綜合能力的解答題.解答題多考查三角化簡和三角函數性質中的單調性、周期性、最值等問題.本文著重分析高考題和模擬題中有關三角函數的各類解答題，主要剖析命題切入點，圍繞解三角函數解答題的方法思路，總結一些規律，供讀者參考.
一、重視對三角函數定義的考查
例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，銳角α和鈍角β的終邊分別與單位圓交于A，B兩點.
（Ⅰ）若點A的橫坐標是35，點B的縱坐標是1213，求sin(α+β)的值；
（Ⅱ）若|AB|=32，求OA?OB的值.
【分析】本題第（Ⅰ）問直接考查三角函數的定義，根據定義求得α，β的正弦、余弦值.之后通過兩角和的正弦公式展開，代入就可以求出結果.而第（Ⅱ）問求OA?OB的值的時候，除了下面解析中的定義法以外，也可以通過余弦定理求解.
【解】（Ⅰ）根據三角函數的定義知，
cosα=35，sinβ=1213.
α的終邊在第一象限，sinα=45.
β的終邊在第二象限，cosβ=-513.
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
=45×(-513)+35×1213=1665.
（Ⅱ）|AB|=|AB|=|OB-OA|，
|OB-OA|2=OB2+OA2-2OA?OB
=2-2OA?OB，2-2OA?OB=94，
OA?OB=-18.
【點評】三角函數定義對學生而言既熟悉又陌生，熟悉是因為有銳角三角函數定義的基礎，理解不難；陌生是因為學過以后用得比較少，見面次數少了自然陌生.本題應用三角函數定義容易得α，β的正弦、余弦值，但是如果考生從解三角形入手，則會使本題變難，從而走不少彎路.
二、三角求值注意角的范圍限制
例2（2013年湖南卷）已知函數f(x)=sin(x-π6)+cos(x-π3)，g(x)=2sin2x2.
（Ⅰ）若α是第一象限角，且f(α)=335，求g(α)的值；
（Ⅱ）求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合.
【分析】本題主要考查簡單三角求值以及三角不等式求解，求解此題的關鍵是利用好降冪公式、輔助角公式等，對已知函數關系式進行先化簡，之后再根據三角函數圖象或三角函數線的變化趨勢去求解.
【解】（Ⅰ）因為f(x)=32sinx-12cosx+12cosx+32sinx=3sinx，
所以f(α)=3sinα=335，
從而sinα=35，α∈(0，π2).
因為sin2α+cos2α=1，得cosα=45，且g(α)=2sin2α2=1-cosα=15.
（Ⅱ）f(x)≥g(x)3sinx≥1-cosx32?sinx+12cosx=sin(x+π6)≥12x+π6∈［2kπ+π6，2kπ+5π6］x∈［2πx，2πx+2π3］，k∈Z.
【點評】本題不難，但是考生在由sinα=35求得cosα=45時，千萬要注意α∈(0，π2)，否則余弦應該有正、負兩個取值了.此外，就是三角函數的相關公式必須熟練掌握.
三、輔助角公式要靈活應用
例3（2013年天津卷）已知函數f(x)=-2sin（2x+π4）+6sinxcosx-2cos2x+1，x∈R.
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期；
（Ⅱ）求f(x)在區間［0，π2］上的最大值和最小值.
【分析】本題主要考查兩角和與差的正弦公式，二倍角的正弦與余弦公式，以及輔助角公式.還包括三角函數的最小正周期、單調性等基礎知識，需要考生熟練掌握相關公式和基本的運算求解能力.
【解】（Ⅰ）f(x)=-2sin2x?cosπ4-2cos2x?sinπ4+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=22sin(2x-π4).
所以，f(x)的最小正周期T=2π2=π.
（Ⅱ）因為x∈［0，π2］，所以2x-π4∈［-π4，3π4］，則sin(2x-π4)∈［-22，1］，所以，當2x-π4=π2，即x=3π8時，f(x)的最大值為22；當2x-π4=-π4，即x=0時，f(x)的最小值為-2.
【點評】所謂輔助角公式，其實就是兩角和與差的正、余弦公式的逆用.顯而易見，逆用公式比正用公式在理解上有困難，所以建議讀者在做這類題的時候，不要怕麻煩，要盡量將步驟寫全.如本題化簡過程中有2sin2x-2cos2x=22(22sin2x-22cos2x)=22(sin2x?cosπ4-cos2x?sinπ4)=22sin(2x-π4).這樣，化簡自然不會失分.
四、會用換元法求二次函數型最值
例4已知函數f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.
（Ⅰ）求f(π3)的值；
（Ⅱ）求f(x)的最大值和最小值.
【分析】本題利用換元思想，引入參數，利用一元二次函數性質，根據一元二次函數的圖象，即可求得f(x)的最值.
【解】（Ⅰ）f（π3）=2cos2π3+sin2π3-4cosπ3=-1+34-2=-94.
（Ⅱ）f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3(cosx-23)2-73，x∈R.
因為cosx∈［-1，1］，所以，當cosx=-1時，f(x)取最大值6；當cosx=23時，f(x)取最小值-73.
【點評】其實，比如求函數f(x)=sinx?cosx+sinx+cosx的值域，我們也可以用換元法，求二次函數值域得結論.令sinx+cosx=t，則sinx?cosx=t2-12，就能很容易求得f(x)的值域.但是，在換元的過程中，千萬注意變量的取值范圍在變化前后的等價性，本例中就是t∈［-2，2］.
五、圖象問題考查形式多樣
例5（2013年上海卷）已知函數f(x)=2sin(ωx)，其中常數ω>0.
（Ⅰ）令ω=1，判斷函數F(x)=f(x)+f(x+π2)的奇偶性并說明理由；
（Ⅱ）令ω=2，將函數y=f(x)的圖象向左平移π6個單位，再往上平移1個單位，得到函數y=g(x)的圖象，對任意的a∈R，求y=g(x)在區間［a,a+10π］上零點個數的所有可能值.
【分析】本題第（Ⅰ）問判斷函數的奇偶性，考生習慣上馬上入手判定F(x)與F(-x)以及-F(x)的關系.但是，當說明一個函數既不是奇函數也不是偶函數的時候，我們只需要有一個反例就夠了.而第（Ⅱ）問考查函數圖象的平移伸縮變化，是考生極易出錯的地方，主要原因是沒有抓住關鍵――不論平移與伸縮順序如何，想要判斷水平方向平移的單位數，關鍵是看自變量x的變化，當自變量由x變化到x+φ，函數圖象向左（φ>0）或向右（φ
【解】（Ⅰ)F(x)=2sinx+2sin(x+π2)
=2sinx+2cosx=22sin(x+π4).
F（-π4）=0,F（π4）=22,
F（-π4）≠F（π4），F（-π4）≠-F（π4）.
函數f(x)=f(x)+f(x+π2)既不是奇函數也不是偶函數.
（Ⅱ）當ω=2時，f(x)=2sin2x，g(x)=2sin2(x+π6)+1=2sin(2x+π3)+1，其最小正周期T=π.由2sin(2x+π3)+1=0，得sin(2x+π3)=-12，
2x+π3=kπ-(-1)k?π6，k∈Z，
即x=kπ2-(-1)k?π12-π6，k∈Z.
區間［a,a+10π］的長度為10個周期，若零點不在區間的端點，則每個周期有2個零點；若零點在區間的端點，則僅在區間左或右端點處得一個區間含3個零點，其他區間仍是2個零點.故當a=kπ2-(-1)k?π12-π6,k∈Z時，21個，否則20個.
【點評】函數圖象問題包括圖象變換（通常以選擇題形式出現），上述試題是一個很不錯的例子，通過函數圖象的平移、伸縮變換求函數解析式.
六、與向量結合問題?？汲Ｐ?/p>
例6（2013年遼寧卷）設向量a=（3sinx，sinx），b=（cosx，sinx），x∈［0，π2］.
（Ⅰ）若|a|=|b|，求x的值；
（Ⅱ）設函數f（x）=a?b，求f（x）的最大值.
【分析】本題注意到向量的坐標表示，解決起來不是很困難.但是在考試的時候，考生容易忘記數量積a?b的坐標表示，而只是記得定義a?b=|a|?|b|?cosθ，從而使得本題第（Ⅱ）問解決起來比較困難.
【解】（Ⅰ）由|a|2=(3sinx)2+(sinx)2=4sin2x，|b|2=(cosx)2+(sinx)2=1.
又|a|=|b|，得sin2x=14，以及x∈［0，π2］，從而sinx=12，所以x=π6.
（Ⅱ）f（x）=a?b=3sinx?cosx+sin2x=32sin2x-12cos2x+12=sin(2x-π6)+12.由于x∈［0，π2］，則當x=π3時，sin(2x-π6)有最大值為1，所以f（x）的最大值為32.
【點評】向量與三角函數等代數知識相結合考查是近年高考的熱點題型，其主要特點是用向量的形式給出條件，然后要求解決有關函數、三角、數列等問題.在解題時，有兩方面可以考慮，一是把向量問題轉化為代數問題，然后由代數知識解題；二是構造適當的向量，使問題目標向量化，然后通過向量運算來解題.
七、解三角形問題要注意挖掘隱含條件
例7（2013年江西卷）在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cosC+(cosA-3sinA)?cosB=0.
（Ⅰ）求角B的大??；
（Ⅱ）若a+c=1，求b的取值范圍.
【分析】本題注意到A+B+C=π，故cosC=-cos(A+B)，再利用兩角和的余弦公式展開，就可以容易求得角B的大小.第（Ⅱ）問求b的取值范圍，則需要注意到余弦定理的選擇，以及通過二次函數求b2的取值范圍，從而求出b的取值范圍.注意，如果只是求b的最小值，還可以選擇均值定理.
【解】（Ⅰ）由已知得-cos(A+B)+cosAcosB-3sinAcosB=0，
即有sinAsinB-3sinAcosB=0.
因為sinA≠0，所以sinB-3cosB=0.
又cosB≠0，所以tanB=3.
又0
（Ⅱ）由余弦定理，有b2=a2+c2-2accosB.因為a+c=1，cosB=12，
有b2=3(a-12)2+14.又0
【點評】三角形中的三角函數關系是歷年高考重點考查的內容，以三角形為主要依托，以正、余弦定理為知識框架，結合三角函數、平面向量等內容進行綜合考查.在三角形中，正、余弦定理將邊和角有機地結合起來，實現了邊角互化，從而使三角函數與幾何建立了聯系，為解三角形提供了理論依據.
八、與導數結合問題新穎
例8（2013年北京卷）已知函數f(x)=x2+xsinx+cosx.
（Ⅰ）若曲線y=f(x)在點(a，f(a))處與直線y=b相切，求a與b的值；
（Ⅱ）若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，求b的取值范圍.
【分析】本題第（Ⅰ）問考查直線與曲線相切的問題，只要注意相切的本質――切點處曲線的斜率等于切線的斜率以及切點既在直線上也在曲線上，就可以求出a與b的值.本題第（Ⅱ）問設置得簡單大氣，但是對考生數學思維能力要求非常高.大多數考生判斷出來函數f(x)在區間(-∞，0)上單調遞減，在區間(0，+∞)上單調遞增，且f(0)=1.于是馬上下結論：若曲線y=f(x)與直線y=b有兩個不同的交點，則必須b>1.但是，卻因沒有說明當x+∞時，f(x)+∞的，不能得滿分.
【解】由f(x)=x2+xsinx+cosx，得
f′(x)=x(2+cosx).
(Ⅰ)因為曲線y=f(x)在點(a，f(a))處與直線y=b相切，所以f′(a)=a(2+cosa)=0，b=f(a).解之，得a=0，b=f(0)=1.
（Ⅱ）令f′(x)=0，得x=0.
當x變化時，f(x)與f′(x)的情況如下：
x(-∞，0)0(0，+∞)f′(x)-0+f(x)1所以函數f(x)在區間(-∞，0)上單調遞減，在區間(0，+∞)上單調遞增，f(0)=1是f(x)的最小值.當b≤1時，曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個交點；當b>1時，f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b，f(0)=1
所以存在x1∈(-2b，0)，x2∈(0，2b)，使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函數f(x)在區間(-∞，0)和(0，+∞)上均單調，所以，當b>1時，曲線y=f(x)與直線y=b有且只有兩個不同交點.
