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排列組合例題范文1
1 數形結合的思想
我國著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔離分家萬事休.”在教學過程中引導學生充分利用數形結合的方法，仔細觀察，合理聯想由形及數，由數構形，發現本質的形數特征，使問題簡化.
例1 有7位朋友見面，任何兩人都互相握手，且不重復，問共需要握手多少次？
C =2 1次.
2 特殊化歸納的思想
當碰到新問題或數字較大，直接求解較復雜時，這時不妨先研究簡單的特殊情況，從中找到解決問題的方法，再來研究復雜的問題，往往能化繁為簡，收到事半功倍的效果.
例2 連結凸邊形三個頂點的線段構成的三角形中，與原邊形沒有公共邊的三角形有多少個？
−− =−−個.
3分類討論的思想
分類討論是一種基本的思想，當問題比較復雜時，不能用同一概念、法則、公式或方法求解時，就應按照情況進行分類討論.分類過程中要注意分類標準明確，層次分明，不重不漏.
例3 有1 0級的階梯，可以一次走一級或二級（不可逆行），問共有多少種不同的走法？
分析 可按走二級的步數進行分類，走二級的步數為0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5 ；相應的總步數為1 0 ，9 ，8 ，7 ，6 ，5 .第一類走1 0步每一步都走一級方法數為1種；第二類從走9步選其中1步走兩級方法數為
種；第三類從走8步選其中2步走兩級方法數為種；第四類從走7步選其中3步走兩級方
在問題的眾多對象中，確定某一類對象為元素，另一類對象為位置，既可以從元素的角度考慮也可以從位置的角度考慮分步和分類，培養學生選擇從不同角度切入，一題多解的能力.
例5 將五名實習生分到三個部門去工作（每人只可在一個部門），有幾種不同的方案？
分析一 從部門接受實習生的角度考慮：
（1 ）一個部門接受全部，有三種可能性；
（2 ）二個部門接受全部，接受人數有1 ，4或2 ，3兩種情況，屬于非均勻分組構成的復合分組，共有
故分配總的方案為3 +9 0 +1 5 0 =2 4 3種.
分析二 從實習生將去何部門來考慮分步，第一名實習生可分到三個部門中的一個，有3種可能性.類似的第二、三、四、五個實習生也分別有3種不同的可能性，所以五位實習生全部分配好就有種. 3× 3 × 3 × 3 × 3 = 3 = 2 4 3
排列組合例題范文2
一、 “特殊元素,特殊位置”優先考慮
例1 (2009北京,7)用0到9這10個數字,可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為()
A. 324
B. 328
C. 360
D. 648
解析:因組成的三位數為偶數,末尾數字必須是偶數,又0不能排在首位,故0是特殊元素,應優先安排,按0排在末尾和不排在末尾分為兩類。(1) 當0排在末尾時,有 =72個偶數。(2) 0不作個位共有 =256個偶數,所以共計72+256=328個偶數,選B
二、 排列組合的混合問題,則先“組”后“排”
對于排列組合的混合問題,可采取先選出元素,后進行排列的方法
例2 (2009重慶,13)將4名大學生分配到3個鄉鎮去當村官,每個鄉鎮至少1名,則不同的分配方案有_______種。
解析:先從4名學生中選出2名看做一個整體共有 =6種選法;然后將三個元素進行全排列有 =6種排法,共有 =36種分配方案。
三、 正難則反,應用等價轉換的方法
對于某些排列組合問題,當從正面入手情況比較復雜,不易解決時可考慮從反面入手,將其轉換為一個比較簡單的問題來處理。
例3 (2009湖北,5)將甲,乙,丙,丁四名同學分到三個不同的班,每班至少分到一名同學,且甲,乙兩名學生不能分到同一個班,則不同的分發為()
A. 18B. 24 C. 30D. 36
解析:從正面入手需考慮的情況較多,所以不妨從反面入手考慮,即先不考慮甲,乙不同班的情況,將4人分成3組有 =6種分法,再將3組同學分到3個班級共有 =6種分法,在減去甲,乙同班的分法有=6種。共有=30種分法。故選C
四、 相鄰問題,“捆綁”法
對某幾個元素要求相鄰的排列問題,可先將相鄰元素“捆綁”起來看做一個元素,與其他元素進行全排列,然后再對“捆”在一起的相鄰元素進行全排列。
例4 (96全國)6名同學排成一排,其中甲,乙兩人必須排在一起的不同排法有()
解析:現將甲,乙“捆”在一起看做一個元素,同剩下的4個元素共5個元素進行全排列有 種排法,然后,甲,乙兩人之間進行全排列有 種排法。根據乘法原理滿足條件的排法共有 =240種排法。
五、 不相鄰問題,“插空”法
對某幾個元素要求不相鄰的排列問題,可現將其它元素排好,然后將不相鄰的元素插在這些排好元素之間及兩端的空隙中。
例5 (97全國)7名同學排成一排,其中甲,乙兩人不相鄰,則不同的排法種數有()
A. 1440種B. 3600種
C. 4320種D. 4800種
解析:先讓甲,乙之外的5人進行全排列,有=120種排法,再讓甲,乙兩人在每兩人之間及兩端的6個空隙中插入,有種方法,故共有=3600種排法。選B
六、 “相鄰”和“不相鄰”綜合問題,則先“捆綁”再“插空”
例6 (2009四川,11)3位男生和3位女生共6位同學站成一排,若男生甲不站兩端,3位女生中有且只有兩位女生相鄰,則不同的排法種數是()
A. 360B. 288C. 216D. 96
解析:先保證3位女生中有且只有兩位女生相鄰,即先從三個女生中選兩位女生“捆綁”成一個元素,再和剩下的女生插在排好的3位男生之間和兩端的空隙中,則有: 種排法;再從中排除甲站在兩端的排法。共有 =288種排法
七、 “順序一定”用除法處理
對于某幾個順序一定的排列問題,可先將所有元素進行全排列,然后用總的排列數除以這幾個元素的全排列數。
例7 5名男生和3名女生站在一起照相,其中3名女生必須按照(從左到右)高矮順序站,共有_______種站法
解析:若不考慮附加條件共有 種站法,而其中女生的站法 中只有一種符合條件,共有 =6720種排法
八、 相同元素放在不同位置,用“隔板法”
例8 有6個一樣的小球,分給3個人,每人至少分一個,則有_______種不同的分法
排列組合例題范文3
【關鍵詞】高中數學 排列組合 教學思考
排列組合在高中數學中占有重要位置，也是高考的考點之一，用以了解學生的分析能力，閱讀能力以及數學建模能力。因此，學好排列組合對于學生們掌握好高中知識，順利通過高考，進入夢想大學顯得至關重要。排列組合思想靈活多變，新穎獨特，要想準確掌握好這種思想，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力。學生們學習時往往會鉆入死胡同，這個時候，老師的指點和幫助顯得尤為重要。下面將對排列組合作簡要介紹分析。
一、排列組合學習中的基礎知識
1.排列組合的基本定義
（1）排列的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n，m與n均為自然數）個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，當m=n時，叫做n個不同元素的一個全排列。
（2）組合的定義：從n個不同元素中，任取m（m≤n）個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。
（3）排列與組合的區別：排列問題與元素之間的順序有緊密關系，然而組合問題與元素之間的順序無任何關系。
2.排列組合中的兩個重要原理
（1）加法原理：做一件事，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+m3+…+mn種不同方法。
（2）分步計數法原理：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法……做第n步有mn種不同的方法，任何一步的一種方法都不能完成此任務，必須且只須連續完成這n步才能完成此任務，那么完成這件事共有N=m1×m2×m3×…×mn 種不同的方法。
二、排列組合中的一般方法策略
在高考試卷中，考查排列組合問題的形式一般是選擇和填空。此類問題題型多變，往往緊密聯系實際。題目不多，但是也占有一定的比例。為了迅速解題，掌握一定的解題技巧是必需的。本文將簡單介紹一下適合運用在排列組合求解時的一些常用方法策略。
1.分部法
對于一些比較復雜的以及比較抽象的排列組合問題，可以采用分部法進行求解。運用分部處理法就是將復雜問題進行簡化，劃分為簡單的小問題分部進行求解。
2.捆綁法
對于排列組合問題中相鄰問題的解決，最合適的方法就是捆綁法。此類問題要求某幾個問題必須相鄰，處理這種問題時，將需要相鄰的元素捆綁在一起，看成一個大元素，然后再進行排列組合，此時需要注意的是，組成大元素的小元素之間也可以進行排序。
3.插空法
插空法處理的問題與捆綁法處理的問題情況正好相反，處理的是某幾個元素必須不相鄰的問題。插空法思想是先將除了那幾個需要不相鄰處理的其他元素排列好，然后再將那些需要不相鄰的元素插入到其他元素之間或者兩端。
4.排除法
在排列組合問題的解決過程中，常常會遇到一些這樣的問題，從正面直接解決的話，會有很大的困難，但從它的反面解決往往簡單得多，此時可以先求出此類問題的反面，然后從整體中排除，即得出需要解決問題的答案。
5.等價轉化法
在排列組合問題的解決過程中，有時候會遇到一些非常規的問題，這個時候直接解決的話，難度很大，但是如果將其等價轉化為常見排列組合問題時，解決會變得很容易。因此，等價轉化法常常作為解決非常規問題的最佳途徑。
以上簡單介紹了幾種排列組合中的一般方法，介紹時雖然是分開介紹，但是遇到實際問題時，往往需要幾種方法共同使用，才能解決。因此，上面各個方法不是相互獨立的，是相輔相成的。遇到問題時要綜合各種方法，靈活運用。
三、典型例題分析
排一張有5個歌唱節目和4個舞蹈節目的演出節目單。
（1）任何兩個舞蹈節目不相鄰的排法有多少種？
（2）歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的方法有多少種？
解析：（1）先排歌唱節目有5×4×3×2×1種，歌唱節目之間以及兩端共有6個位子，從中選4個放入舞蹈節目，共有6×5×4×3中方法，所以任兩個舞蹈節目不相鄰排法有：（5×4×3×2×1）×（6×5×4×3）=43200種方法。
（2）先排舞蹈節目有4×3×2×1中方法，在舞蹈節目之間以及兩端共有5個空位，恰好供5個歌唱節目放入。所以歌唱節目與舞蹈節目間隔排列的排法有：（4×3×2×1）×（5×4×3×2×1）=2880種方法。
說明：對于“間隔”排列問題，我們往往先排個數較少的元素，再讓其余元素插空排列。否則，若先排個數較多的元素，再讓其余元素插空排時，往往個數較多的元素有相鄰情況。
四、結論
排列組合作為高中數學的一部分，頻繁出現在高考題目中，并且還作為高等數學有關分支的準備知識，因此學習好這部分內容顯得十分重要。解決排列組合問題的解決方法靈活多變，新穎獨特，常用方法有轉化法、捆綁法、插空法、排除法等。要想準確掌握排列組合解決方法，需要學生們具有良好的抽象思維能力和一定的邏輯推理能力，同時也需要老師們的熱心指導和無私幫助。
【參考文獻】
[1] 北京師范學院數學系編寫組. 中學數學辭典[M]. 南昌：江西教育出版社，2007：58.
[2] 弗賴臀塔爾. 數學教育再探[M]. 上海：上海教育出版社，2009：72.
排列組合例題范文4
一、 排列與組合的概念
1.排列的概念
排列概念：一般來講在a個元素里面，隨便選用b個元素，再依據指定的次序排成一列，這就叫做在a個元素里面，隨便選用b個元素組成一列.特別是當a=b時，這就叫做a個不同元素的全排列.
排列數概念：在a個元素中選用b個元素的一切排列的數目，這就叫做在a個元素里面選用b個元素的排列數.這里采用數學的符號Aba來表示.
2.組合的概念
組合概念：一般來講在a個元素不相同的元素當中，隨便選用b個元素組合成一組，這叫做a個不相同的元素中隨便選用b個元素的組合.
組合數概念：在a個元素不相同的元素中選用b個元素的一切組合的數目，這叫做在a個不相同的元素中選用出b個元素的組合數，這里使用數學的符號Cba來表示.
二、排列與組合的應用
使用排列：對于無條件限制的簡便排列問題，可以利用公式直接解答；像“用數字0，1，2可以組成多少個無重復數字的三位數？”這種有限制條件的排列問題，可以依照限制條件來使用“直接法”或是“間接法”進行解答.（2）組合方法的使用：對于無條件限制的簡便組合使用問題，就使用公式法直接解答；像“從12人中選5人，甲乙丙三人必須當選，有多少種選法？”這種有條件限制的組合問題，就可以依照指定的限制條件來使用“直接法”或是“間接法”解答.（3）整體的組合和排列：在整體的組合排列的問題上，主要是組合排列的混雜問題，解題之前要先處理組合的問題，然后才能研討排列的問題.在處理組合排列全面問題時，要注重以下兩點：第一點限制條件就是排列問題常常出現的出題方式：“不在”和“在”；“不相鄰”和“相鄰”.在處理客觀問題時必須是要有自己的解答思維和方法：碰到“相鄰”問題的時候，要經常使用捆綁法來解題，把題目當中的幾個元素當作一個元素，這也是處理相鄰問題的最好方法.而“不相鄰”的問題處理最常用的方式就是“插空法”.在處理“不在”和“在”的問題時，常常會碰到特別元素或是特別方位，但是常見的都是先對特別的元素進行排列.但是當題目里元素的排列次序有限制時，就必須把次序約束放在一旁，讓排列結束以后，再依照指定次序來求解得出結果.第二點限制條件的組合問題常常出現的命題方式：“不含”或“含”；“至多”或是“至少”.在處理實際題目時，要學會使用“間接法”或是“直接法”.
三、常見問題的應對策略
1.不相鄰的“插空法”
對于幾種不相鄰元素的排列問題，可以先排其他的元素，再把不相鄰的元素插在排好的元素當中.
例如，在校園文藝演出中有4個是朗誦隊，2個是舞蹈隊，3個是獨唱隊，如果舞蹈隊都不能靠著，那么這樣的節目實行的次序總共有幾種？
分析：一開始先排2個舞蹈隊和3個獨唱隊，有A55種排法，再在這些節目當中和兩邊的6個“空”中選4個讓舞蹈隊去，有A46種排法，根據分布計數原理一共有A55A46=43200種排法.
2.相鄰的“捆綁法”
對于無數個元素要求相鄰的排列，要先讓相鄰的幾個元素“捆綁”在一起，當作是一個整體的元素和剩下的元素進行排列，最后再讓組合元素當中的元素進行排列.
例如，書桌上擺著3本不相同的英語書，4本不相同的語文書，5本不相同的化學書，把這些都豎立起來排成一排，如果把相同類的書放在一起，一共有幾種排列方法？
分析：由于相同類的書放在一起，就把3本英語書，4本語文書和5本化學書都互相捆綁在一起，看作是3個整體進行排列有 A33種，每捆內部的排列分別有A44種， A55種，A33種，由分步計數原理一共有：A44A55A33A33=103680（種）.
3.巧用“轉換法”
對于一些不常見的問題，使用直接解答的方法一般很艱難，從正面著手處理會非常艱難，這時我們就從反面著手，把這種題轉化為一個最為簡便的問題來處理.
例如，用1到6這六個數字，把它們組合成大于200000而且在百位數是非3的不重復數字的六位數有幾個？
分析：一看到題目，瞬間沒有思路，但是仔細地一思考，要大于200000 實際上就是首位不是1的數字，因此，我們把問題看成“1”不在首位，“3”不在百位，分析下來，你就會讀懂了.這和曾經做過的“甲學生不做學習委員，乙學生不當班長”這個題不是很相似嗎？ 從例題那就能轉變成這題的做題方法，共有A55+A14A14A44= 504個.
4.分排問題“直排法”
把多個元素排列成前后的幾種排列問題，假設沒有什么條件來約束，那么就運用全體排成一行的方法來處理.
例如，有個班級有50個學生在10排位置上坐著，而每排有5個人，一共有多少種坐法？
排列組合例題范文5
關鍵詞：排列與組合；分類加法原理；分步乘法原理
關于排列與組合問題的解決是要講究方法和策略的。首先，要認真審題，弄清楚是完成“什么樣的一件事”。其次，要分析出完成的“這件事”是屬于哪一類排列與組合問題，即先從整體上給出一個定性的分析。最后，要思考“怎樣完成這件事”：結合各類排列與組合問題其特有的解題策略和兩個計數原理即分類加法、分步乘法計數原理進行計數。一個排列與組合問題解決的對與錯還應該注意以下兩點：首先，思考、分析、解決問題要做到不重復、不遺漏，要縝密、要全面。其次，分析清楚某一問題是排列還是組合，還是先組合后排列。區分某一問題是排列問題還是組合問題，關鍵是看所選的元素與順序是否有關，若交換某兩個元素的位置對結果產生影響，則是排列問題，否則是組合問題。高中數學中遇到的排列與組合計數問題主要可以歸納為以下六類，而每一類都有著特有的解題策略與方法。下面我們借助具體的例題進行講解。
一、“含特殊元素”的排列組合問題――采取特殊元素優先考慮法
例1.現從甲、乙、丙等6名工人安排4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩人中安排一人，第四道工序只能從甲、丙兩人中安排，則有多少種不同的安排方案？
解：此題中有兩個特殊位置，第一道工序和第四道工序。一個特殊的人――“甲”。所以可以考慮先從甲入手，甲的位置有三類，然后再考慮第一、四道工序的安排。
第一類：甲在第一道工序，這時有C11?C11?A24=12（種）排法；第二類：甲在第四道工序，這是有C11?C11?A24=12（種）排法；第三類：甲不在第一道工序也不在第四道工序，這時有C11?C11?A24=12（種）排法。利用分類加法計數原理知，總共有N=12+12+12=36種不同的分配方案。
變式1：有3名男生，4名女生，求全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾，有多少種不同的排法？
解：“甲”元素受限制、比較特殊優先排。先排甲有A15=5種排法，再排其他人有A66=720種排法。根據分步乘法計數原理，共有 種排法。
二、“含相同元素”的排列組合問題――采取給為相同元素找位置的方法
例2.今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列，有多少種不同的排法？
解：此題同色球不加以區分，導致有相同元素，排列時相同元素間無順序之分，因此相同元素按組合問題選位置。
分三步：第一步，排2個紅球，有C29=36（種）排法；第二步，排3個黃球，有C37=35（種）排法；第三步，排4個白球，有C44=1（種）排法.利用分步乘法原理，總共有N=36×35×1=1260種排法。
變式2：把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯了，則可能出現的錯誤的種數是多少？
解：此題實質是“含相相同元素”的排列問題.考慮“e、o、r、r、r”排成一列共有C15?C14?C33=20排法，其中拼寫正確的只有1種，所以把英語單詞“error”中字母的拼寫順序寫錯有20-1=19種。
三、“元素相鄰型”的排列組合問題――采取“捆綁法”，即將相鄰的元素視為一個整體參與其他元素的排列，同時注意捆綁元素內部排列
例3.有3名男生，4名女生，求全體排成一排，女生必須相鄰有多少種不同的排法？
解：先把4名女生合在一起看作一個元素，和3名男生參加全排列共有A44=24種排法，然后4名女生局部排列共有A33=6種
排法，根據分步計數原理，共有N=24×6=144種排法。
四、“元素不相鄰型”的排列組合問題――采取“插空法”，即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中
例4.有3名男生、4名女生，全體排成一排，男生互不相鄰有多少種不同的排法？
解：4名女生不受限制，則先排4名女生有A44=24種排法，然
后將3名男生插入4名女生產生的5個空檔中，有A35=60種排法。根據分步乘法計數原理，共有N=A44?A35=1440種排法。
變式3：我國第一艘航母“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓練中，有6架殲-15飛機準備著艦。如果甲、乙兩機必須前后相鄰，而丙、丁兩機不能前后相鄰著艦，那么不同的著艦方法有多少種？
解：“相鄰與不相鄰”的混合型問題，捆綁法和插空法相結合。設其他兩機為A，B。先將甲、乙合在一起看作一個元素，和A，B參加全排列共有A33=6種排法，然后甲、乙局部排有A22=2種排法，最后將丙、丁插入甲、乙合在一起看作一個元素和A，B產生的4個空擋中，有A24=12種插入法。由分步乘法計數原理N=A33?A22?A24=144種方法。
五、“分堆型”的排列組合問題――需要注意辨別是“平均分組”還是“非平均分組”
平均分組型是指把k、n個不同元素平均分成k組，每組n個元素，共有■種不同的分法，其特點是每堆的個數相同。
非平均分組型是指n個不同元素分成個數為n1，n2，L，nk的k堆，其中n1≠n2≠n3≠L≠nk，n1+n2+L+nk=n，有Cn1n?Cn2n-n1?Cn3n-n1-n2?L?
Cnknk種不同的分法，其特點是每堆的個數都互不相同。
例5.六本不同的書，按下列要求，各有多少種不同的分法？
排列組合例題范文6
筆者認為之所以學生“怕”學排列組合，主要還是因為排列組合的抽象性，那么解決問題的關鍵就是將抽象問題具體化，我們不妨將原題進行一下轉換，讓學生走進題目當中，成為“演員”，成為解決問題的決策者。這樣做不僅激發了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，還充分發揮學生的主體意識和主觀能動性，能讓學生從具體問題的分析過程中得到啟發，逐步適應排列組合題的解題規律，從而做到以不變應萬變。當然，在具體的教學過程中一定要注意題目轉換的等價性，可操作性。
下面筆者將就教學過程中的兩個難點通過兩個特例作進一步的說明：
1、 占位子問題
例1：將編號為1、2、3、4、5的5個小球放進編號為1、2、3、4、5的5個盒子中，要求只有兩個小球與其所在的盒子編號相同，問有多少種不同的方法？
①仔細審題：在轉換題目之前先讓學生仔細審題，從特殊字眼小球和盒子都已“編號”著手，清楚這是一個“排列問題”，然后對題目進行等價轉換。
②轉換題目：在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，我將題目轉換為：
讓學號為1、2、3、4、5的學生坐到編號為1、2、3、4、5的五張凳子上（已準備好放在講臺前），要求只有兩個學生與其所坐的凳子編號相同，問有多少種不同的坐法？
③解決問題：這時我在選另一名學生來安排這5位學生坐位子（學生爭著上臺，積極性已經得到了極大的提高），班上其他同學也都積極思考（充分發揮了學生的主體地位和主觀能動性），努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，同學們有了統一的看法：先選定符合題目特殊條件“兩個學生與其所坐的凳子編號相同”的兩位同學，有C 種方法，讓他們坐到與自己編號相同的凳子上，然后剩下的三位同學不坐編號相同的凳子有2種排法，最后根據乘法原理得到結果為2×C =20（種）。這樣原題也就得到了解決。
④學生小結：接著我讓學生之間互相討論，根據自己的分析方法對這一類問題提出一個好的解決方案。（課堂氣氛又一次活躍起來）
⑤老師總結：對于這一類占位子問題，關鍵是抓住題目中的特殊條件，先從特殊對象或者特殊位子入手，再考慮一般對象，從而最終解決問題。
2、分組問題
例2：從1、3、5、7、9和2、4、6、8兩組數中分別選出3個和2個數組成五位數，問這樣的五位數有幾個？
（本題我是先讓學生計算，有很多同學得出的結論是P ×P ）
①仔細審題：先由學生審題，明確組成五位數是一個排列問題，但是由于這五個數來自兩個不同的組，因此是一個“分組排列問題”，然后對題目進行等價轉換。
②轉換題目：在學生充分審題后，我讓學生自己對題目進行等價轉換，有一位同學A將題目轉換如下：
從班級的第一組（12人）和第二組（10人）中分別選3位和2位同學分別去參加蘇州市舉辦的語文、數學、英語、物理、化學競賽，問有多少種不同的選法？
③解決問題：接著我就讓同學A來提出選人的方案
同學A說：先從第一組的12個人中選出3人參加其中的3科競賽，有P ×P 種選法；再從第二組的10人中選出2人參加其中2科競賽有P ×P 種選法；最后由乘法原理得出結論為（P ×P ）×（P ×P ）（種）。（這時同學B表示反對）
同學B說：如果第一組的3個人先選了3門科目，那么第二組的2人就沒有選擇的余地。所以第二步應該是P ×P .（同學們都表示同意，但是同學C說太蘩）
同學C說：可以先分別從兩組中把5個人選出來，然后將這5個人在5門學科中排列，他列出的計算式是C ×C ×P （種）。（再次通過互相討論，都表示贊賞）
這樣原題的解答結果就“浮現”出來C ×C ×P （種）。
