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排列與組合范文1
一、直接法
依據兩個基本原理以及排列、組合的有關概念，直接列式計算而得到其方法種數的方法稱為直接法.
例1：有甲、乙、丙三項任務，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選出4人承擔這三項任務，共有多少種不同的選法？
解：這是組合問題，分三步完成：
第一步，從10人中選出2人承擔甲項任務，共有 種方法；
第二步，從剩下8人中選1人承擔乙項任務，共有 種方法；
第三步，從另外7人中選1人承擔丙項任務，共有 種方法.
因此，不同的選法種數共有C210·C18·C17 =2 520種.
【說明】用直接法解題時，捕捉信息，分清排列問題還是組合問題，進行分類或分步是解題的關鍵.
二、間接法（排除法）
在求解附加有限制條件的排列、組合問題時，可首先求出不含有其附加條件的排列、組合數，再減去其中不符合附加限制條件的排列、組合數的方法稱為間接法（排除法）.
例2：某小組共有10名學生，其中女生3名，現選舉2人當代表，至少有1名女生當選，共有多少種不同的選法？
解：從10名學生中任選2名當代表有C210 種選法，其中不符合要求的有：兩人都是男生的選法有C27種選法，因此，符合條件的選法有C210-C27=24 種.
【說明】本例是帶有附加條件的組合問題，這里“至少有1名女生當選”，即為附加條件.先求出所有的組合數，再減去不符合條件的選法.
三、捆綁法
在研究某些排列、組合問題時，某些元素必須在一起，處理時把它們并成1組，或者作為一個整體，與其他元素進行排列、組合，然后再考慮該整體內部的排列、組合問題.這種方法叫捆綁法.
例3：有7個人排成一排照相，甲、乙兩人必須相鄰的排法有多少種？
解：本例是排列問題，可分為兩個步驟：
第一步，將甲、乙兩人當作1個（保證他們相鄰），6個人的全排列數為A66；
第二步，甲、乙兩人的位置可以交換，排列數為A22；
因此，甲、乙兩人必須相鄰的排法種數為A66 ·A22=1 440種.
四、插空法
在研究不相鄰的排列問題時，可先安排無條件限制的元素，然后把要求不相鄰的元素根據題設安插在上述元素的空位當中，必要時包括前后兩端的空位，這種解題方法稱插空法.
例4：由數字1、2、3、4、5組成的沒有重復的數字，且數字1與2不相鄰的5位數，那么這種5位數共有多少個？
解：本例是排列問題，分兩步完成：
第一步，先讓3、4、5這3個數作全排列，有A33種選法.排好后出現4個空位，如下圖：
第二步，從這4個空位中任取兩個讓1、2去站位，則數字1與2均不相鄰共有站法種數為A24 ，根據分步計數原理，這種5位數共有A33·A24=72個.
五、先選后排法
對于排列、組合的混合應用題，往往可以采用先選出來，然后再按要求進行排列的方法，這種方法稱為先選后排法.
例5：從5男4女中，選出3男2女共5個人，分別參加5種不同的工作，有多少種不同的選法？
解：這是一個排列、組合的混合應用題，分兩步完成：
第一步（先選），從5男4女中選出3男2女5個人，共有C35 ·C24種選法.
第二步（后排），選出的5個人分別參加5種不同的工作，有A55種選法.
依據分步計數原理，不同的選法共有（C35 ·C24）·A55=7 200種.
【說明】用先選后排法解排列、組合的混合應用題，關鍵是如何先選，也就是把元素分成怎樣的組合，要選得合理，解法才會正確.
六、特殊優先法
對于一些帶有附加條件的排列、組合應用問題，往往優先考慮受條件限制的某些特殊元素或特殊位置，然后再考慮剩下的元素或位置的方法稱為特殊優先法.
例6：用數字0、1、2、3、4、5能組成多少個沒有重復數字的6位奇數？
解：本例是一個帶有特殊條件的排列問題，先排含特殊條件的數字，共分3步完成：
第一步（特殊優先），個位數可從1、3、5這3個奇數中任選1個，有A13種選法；
第二步（特殊優先），由于0不能是10萬位數字，所以從剩余的2個奇數與2、4共4個數字中任選1個作為10萬位數字，有A14種選法；
第三步，再把剩余的3個數字與0共4個數字，在萬位數至10位數的4個位置上進行全排列，有A44種選法；
排列與組合范文2
教學目標：
（1）使學生通過觀察、猜測、實驗等活動，找出簡單事物的排列數與組合數。
（2）培養學生初步的觀察、分析、推理能力以及有順序地全面思考問題的意識。
（3）引導學生使用數學方法解決實際生活中的問題，學會表達解決問題的大致過程。
（4）培養學生的合作意識和人際交往能力。
教學重點：自主探究，掌握有序排列、巧妙組合的方法，并用所學知識解決實際生活的問題。
教學難點：怎樣排列可以不重復、不遺漏。
教學準備：三只小動物的頭像、 課件。
教學過程：
1.動畫故事引入新課
師："同學們，平時你們喜歡看動畫片嗎？誰看過喜羊羊和灰太狼？這部動畫片里你認為誰最會動腦筋？"（喜羊羊）
"咱們要向喜羊羊學習，在數學課上一定要積極動腦！好不好？"
"今天呀咱們要一起走進數學廣角，去玩有趣的數學游戲。聽說要玩游戲，喜羊羊、美羊羊、懶羊羊也趕來了，可是路上它們被狡猾灰太狼抓住了，大家想去救它們嗎？"
學生："想！"
師：" 可是狡猾的灰太狼設置了三道密碼門，只有找到密碼數字，門才會打開。你們有信心嗎？"
生："有！"
2.智破密碼鎖
2.1數字1、2組成的兩位數，其中最小的就是密碼。
師："一起來看第一道密碼門。"（課件出示密碼門1）
師："你們找到密碼了嗎？"
生："密碼是12。"
師："誰來說說你的想法？"
生："數字1和2組成的兩位數有12和21，其中12最小，所以密碼是12。"
師："仔細觀察這兩個數，你發現了什么？"
生："這兩個數十位和個位交換了位置。"
師："你們觀察的真仔細，第一道密碼門順利打開，美羊羊被救出來啦！"
2.2密碼是數字1、2、3組成的所有兩位數。
師："來看第二道密碼門。（課件出示密碼門2）到底有多少個兩位數？這樣，咱們先以小組為單位用手中的數字卡片擺一擺，討論討論，商量商量，最后由組長寫在報告單上。"
學生小組活動，討論，填寫報告單。
教師巡視，稍后板書。
師："剛才，老師發現兩組有意思的排列，一起看第一種。"
1221 31
1323 32
師："哪組這樣排的？說一說你是怎么想的？"生："先以數字1開頭，組成的兩位數有12和13；再以數字2開頭，組成的兩位數有21和23；再以數字3開頭，組成的兩位數有31和32。"
師："來看第二種排列。"
12 13 23
21 31 32
師：哪組來說一說你們的想法？
生發言：先用數字1和2，組成的兩位數是12和21；再用數字1和3，組成的兩位數是13和31；最后用數字2和3，組成兩位數23和32。
師：你覺得用這兩種方法有什么好處？
生發言。
師小結：按照一定的順序去思考，可以做到一個不多，一個不少，即不重復，不遺漏。好了，懶羊羊被救出來了！
2.3密碼是5、6和0組成的所有兩位數。
師：來看第三道密碼門。（課件出示密碼門3）用剛才的辦法，進行有順序的思考，相信你們一定能想出來！
學生獨立完成。
匯報：56、50、60、65。
質疑：同樣是三位數，為什么1、2、3組成了6個兩位數，而5、6、0卻組成了4個呢？
學生發言。（0不能做最高位）
師：同學們，你們可真棒！要想找得快又不漏掉，我們應該按照一定的順序去思考。
3.握手游戲
師：通過大家的努力，喜羊羊被救出來啦！ 大家高興嗎？那就掌聲祝賀一下。（學生熱烈鼓掌）
羊羊們也很高興，它們激動地互相握起手來。那么它們每兩人握一次手，三人一共握幾次手呢？
學生猜。（6次，3次）
教師指導以四人小組為單位，三人模擬小動物握手，一人數握手的次數，找出答案。最后通過模擬得出：3人一共握了3次手。
質疑：排列數時用了3個數字，握手時是3個人，都是"3"，為什么出現的結果卻不一樣呢？
學生交流后得出：兩個數字可以交換組成2個兩位數，而兩個人握手不能交換只能算一次。
課件突破：像這種數字的排列，與順序有關，交換數字的先后順序會出現兩個兩位數；而握手問題，與順序無關。
4.巧搭衣服
師：看到同學們這么會動腦筋，美羊羊想向大家請教一個問題呢！（課件出示）
排列與組合范文3
1.通過觀察、猜測、比較、實驗等活動，找出最簡單的事物的排列數和組合數。
2.初步學會從數學的角度發現最簡單的排列與組合的規律，培養學生有順序地、全面地思考問題的意識，解決一些簡單的實際問題。
3.感受數學與生活的密切聯系，激發學習數學、探索數學的濃厚興趣，使學生在數學活動中養成與人合作的良好習慣。
教學重點：
經歷探索簡單事物排列與組合規律的過程。
教學難點：
初步理解簡單事物排列與組合的不同。
教學過程：
常規訓練：一分鐘口算。
一、引導自學
師：同學們喜歡去公園玩嗎？
生：喜歡。
師：今天老師帶你們去一個很有趣的地方，哪兒呢？我們今天要到數學廣角城堡里去走一走、看一看。去城堡之前我們先來看看本節課的學習目標。（出示學習目標）
師：明確目標后，我們要怎樣參觀數學廣角城堡呢？老師有幾個小小的要求。（出示自學提示）
師：（課件出示）去數學廣角城堡得買門票，兒童票5角錢一張，請大家將準備好的三種分別是5角、2角和1角的錢拿出來。如果你能用這些錢幣說出組成5角錢的不同付法，就可免費到數學廣角城堡去玩。
學生自主合作學習，教師巡視：學生自學、看書，對學，小組合作學習。
二、指導展示
1.學生展示、師生研討。
2.在小組中互相說一說自己觀察到了什么內容。你想到了什么？
生：1張5角，2張2角1張1角，1張2角3張1角，5張1角。
師：（課件出示）小朋友們，現在我們就可以免費進入數學廣角城堡了。不過，要進去玩，我們又得經過一個小小的密碼門，密碼是用數字1和2組成的不同的兩位數。同學們猜猜看。
學生猜想，操作，之后匯報。
密碼門打開了，我們又順利通過了一關，歡迎大家來到數字樂園。數字樂園里有個很好玩的小游戲：有1、2、3三張數字卡片，可以擺成幾個不同的兩位數呢？
師：同桌合作，一人擺數字卡片，一人把擺好的數記錄下來，先商量一下誰擺放，誰記數，比比哪桌合作得又好又快。
學生討論、操作、記錄。
師：誰來匯報，你擺了哪幾個兩位數？
生：12、23、13。
生：23、21、12、13。
生：12、21、23、32、13、31。
師：為什么有的同學擺得多，而有的同學擺得少呢？有什么好辦法能保證既不遺漏、又不重復呢？請每個小組進行討論，看看有什么規律或方法？再按你們的方法，一邊擺，一邊記下來。
學生帶著問題進行第二次操作。
師：哪個小組愿意來匯報？
生：先擺出12，再交換兩個數的位置就是21；再擺23，交換后是32；最后擺13，交換后就是31，這樣就不會漏也不會重復了。
生：先把數字1放在十位，再把數字2和3分別放在個位，分別組成12和13；接著把數字2放在十位，數字1和3分別放在個位，又分別組成了21和23；最后把數字3放在十位，數字1和2分別放在個位，分別組成了31和32，這樣也不會遺漏和重復。
……
根據學生回答板書：先定位，再交換位置。方法一、二、三。
師：同學們采用了不同的方法都擺出了6個不同的兩位數。真了不起?。〗窈笪覀冊谂帕袛档臅r候，要想既不重復也不遺漏，就要這樣按照一定的規律排列。
師小結規律：兩個數字的排列，調換兩個數字的位置；三個數字的排列，先拿這三個數字分別定位，再調換另外兩個數字的位置。
師：同學們，你們用自己的聰明才智贏來了免費游玩數學廣角的門票，也在數字樂園里挑戰了一個有趣的擺數字游戲，老師祝賀你們（教師不自主地一邊走一邊伸手和同學握手）。提到握手，老師又有一個問題想請大家幫忙：如果三個人在一起握手，每兩個人握一次，一共要握多少次呢？
師：大家看，我在和他握手，他也在和我握手，不管我們的位置如何變化，只要我們的手不松開我們兩個人就是只握了一次手。那三個人握手到底要握幾次？以小組為單位，組長記錄次數，其他三人演示，看看每兩個人握一次手，三個人一共要握手多少次？
小組合作演示，教師巡視并指導。小組匯報并演示。
師：兩個人握一次手，三人一共要握3次手。
師：老師現在有一個疑問，排數字卡片時用三個數可以擺出6個數，握手時三名同學卻只能握3次，都是3，為什么出現的結果會不一樣呢？
學生交流后得出：兩個數字可以交換組成兩個兩位數，而兩個人握手不能交換只能是一次。
規律小結：擺數是一種排列，與位置有關。握手是一種組合，與位置無關。擺數要交換兩個數的位置，而握手交換位置就重復了。
三、輔導檢測
（略）
四、總結延伸，暢談感受
師：同學們，由于時間關系，我們該回家了！剛才，我們去哪里玩了？數學廣角好玩嗎？有趣嗎？大家都看到了什么？有什么收獲？
排列與組合范文4
關鍵詞：排列組合；中職生；邏輯思維
中圖分類號：G620 文獻識別碼：A 文章編號：1001-828X（2016）015-000-02
排列組合的應用十分廣泛，因此作為教學中的重點內容，排列組合是概率統計學習的基礎，同時也為其他高等數學的知識內容學習做準備。排列和組合是不同的問題，但題型多變，相互綜合相互滲透，基本的分辨便是學生學習的難點。在學習排列組合時，要總結自己的解題方法，培養自己的解題技巧，要明確是哪一種問題，排列或者組合，或者是兩種問題的混合題型。解決問題時，要抓住重點，認清問題的本質，熟悉排列組合的擊沉原理，充分利用公式解決問題。排列組合的解題過程就是思維的過程，以其自身的特點影響著中職生的邏輯思維。
一、排列組合概述
數學與我們的生活緊密相連，生活中處處充滿了數學問題和數學思維，排列組合在生活中也是常見的，比如身份證號、電話號、彩票等，各種號碼數字與排列組合相聯系。排列與組合是不同的概念，排列是有序的，是元素按照一定的順序排列。組合是無序的，元素組成一組。學生要區分好排列與組合，才能正確解答問題，他們的區別就是有序與無序，相同點都是有特殊元素的時候，先討論特殊元素。排列問題要求取出特殊元素后，進行排順序。組合取出特殊元素后，不需要再排順序。由于數學題型內容豐富，綜合性強，很多題目重點不清，需要學生自己分析，不要將組合與排列相混合。
排列組合題型豐富，問題復雜，但萬變不離其宗，數學是有規律可尋的，學會一定的方法和技巧，排列組合的問題就不是難題。排列組合題也有自己的規律，也需要講究解題的策略和解題的方法。在解答排列組合問題時，常使用分類計數和分步計數，要依據不同的題型使用。在解答問題時，首先要分析題目，然后判斷是單獨使用還是聯合使用，按照題目有自己的解題思路。根據排列組合的基本原理和公式進行分析。將題目中散亂的信息進行高度概括，抽象成具體的排列問題，或者是組合問題，有目標地有方向地進行解題，能夠很好地解決復雜的排列組合問題。
排列組合題型多變，常常不同的問題帶有不同的限制條件，限制條件的解決是解答排列組合問題的關鍵，不同的限制條件有不同的解決方法[1]。第一，對于特殊元素，要按照先特殊后普通的思路解決。首先挑出來考慮，先安排特殊元素的位置，然后再解決其他的元素的位置。如果不是位置問題，也按照這樣的方法安排元素即可。比如八個人工作，輪流安排日班和夜班，按照不同的日期分，甲不安排在某一天的夜班，排班的方法有多少種。這種特殊元素的題目，一般就是先安排甲的工作，涉及到排列問題，排列完甲的工作再安排其他七個人的工作順序。第二，對于組合的問題，注意題目中要求的組合數，通常使用分類的方法進行計算。分析題目自己設計分組方案是解答組合題的重點，其中會運用到捆綁、插空等許多數學解題的方法，是運用直接法還是間接法，需要學生自己分析判斷。第三，對于排列組合混合問題，要先選擇組合，后排列元素，運用分步法計算。比如五種水果種子選四種種植，種植的土地不一樣，其中一種是必選的情況，要求有多少種種植方法。這種典型的混合題，要求學生重視解題策略，必須選擇的種子先確定，其他的從剩下的里面選，選擇方法很多，先計算選擇方法。組合之后要進行排序，四種土地四種種子，按照排序的公式進行計算。一步一步，解題思路清晰，確保答題正確。第四，多種元素分類組合問題，要按照題目要求先分類，解決分類之后再分布計算。這種問題比較復雜，學生在解題中可以嘗試畫出圖表，通過圖表清晰直觀地分析問題，進行分類。要周密思考，靈活運中排列組合的基礎知識。第五，小團體進行排列時，要先解決團體問題，再將團體看成一個整體的元素，與其他元素進行排列。比如六只公雞、三只鴨子放五個標號的籠子，要求每只鴨子必須配一只公雞，有多少種放法。先選出小團體，鴨子和公雞配合，再將組合好的小團體與其他的元素進行排列組合。明確問題，有清晰的思路，是解題的關鍵。在解題過程中，學生要注意不要出現原理混用，主要是加法和乘法，這與學生的分析題目解決思路有關，是分步還是分類，不同的原則要使用不同的解決方法。分類加法，分步乘法，原理簡單，在實際做題中，由于題目的原因，加上學生思維方式的問題，常常出現錯誤，成為學生解題的障礙[2]。
二、排列組合對邏輯思維的影響
在排列組合中，對學生綜合思維能力的考查強，簡單的思維誤區便會造成解題的錯誤。除了扎實的基礎知識的學習，學生在解題中的思維能力得到了鍛煉。在我們思考問題的時候，由于問題的限制，很難正著解決問題，排列組合便是如此。在做這種題型的時候，往往需要學生反向思維，采用間接的方法解決題目。正面解決相對困難，但是反面思考就會容易許多。排列組合鍛煉了學生的反向思維能力。比如組合公式的推導過程，組合的性質等都是如此。例如利用4、5、6、7、8、9組合新的自然數，新的數字不能重復并且必須大于460000，這樣的自然數有多少個，這種問題從正面計算就比較難，但是從反面思考，比460000小的自然數只有開頭兩位是45的，通過反向解決很容易解決這種難題。
在所有的排列組合題目中，都是對一種程序的解決，都需要利用數學的思維解決程序的問題，學生學的久了，就會形成一種程序思考模式，看到問題能夠按步驟有順序地解決，尤其是既包含分類計數的方式，又需要分步計數的問題，形成良好的思維習慣，不僅對解決數學問題有益，同時有利于生活中問題的思考和解決[3]。
排列與組合結合多種數學思想，比如類比的思維，轉化的思維，歸納分類的思維，這些思維方式都促進了中職生邏輯思維能力的提升。排列與組合是不同的數學問題，在解決不同的題型時，需要中職生通過類比進行判斷，兩者之間既有聯系，又相互區別。在計算復雜的公式時，常用到二項式的定理，二項式定理考查了學生的化歸數學思想。分類問題比較常見，比如普通的抽查問題，合格品與殘次品，50件中抽4件，產品共有5個次品，計算抽出4件中最多有一件的抽法以及至少有一件的抽法問題，通過分類思想，能夠很好地解決問題。
三、排列組合中提高中職生邏輯思維能力的措施
1.重視學生獨立思考能力
邏輯思維是人們的理性認識過程，建立在學生對知識的理解、判斷和推理等基礎上，對客觀現象的能動反應。邏輯思維促進學生能深入地認識和學習知識的本質。在中職數學教育教學的過程中，中職老師的教學不僅幫助學生學習知識，同時需要培養學生學習的能力，思維的能力。數學是充分發揮學生思維能動性的課程，中職生由于個體的差異，學習方法不同，思維能力不同，存在不少思維方面有問題的現象。但是在實際的教學中，中職數學教學往往注重理論知識的灌輸，缺少培養學生思維能力的意識。學生思維能力的培養不是一朝一夕的事情，需要結合學生的特點，培養學生獨立思考的能力。在排列組合的學習上，中職老師要結合知識的特點，鼓勵學生多角度思考問題，排列組合的題型很多，學生獨立思考能力越是被調動，越有利于學習的進行，使學生發散思維，解決問題。要打破中職生的固定思維模式，對排列組合有深刻的理解，不管題型怎么變化，條件怎么改變，解題方法都是有規律可尋的，通過獨立解題的過程，探究問題的實質，對知識進一步了解，提高自己的思維能力。
2.明確教學目標，強化排列組合的對比
排列組合問題需要學生多方面的思考，需要學生加強分析能力。在教學中老師要明確排列組合學習的知識目標，以及培訓學生能力的目標[4]。在教學中讓中職生掌握基本的排列組合的知識是基礎，能夠熟練運用知識解決數學問題，應用基礎的原理明確解決問題的方法。排列組合能夠充分調動學生各方面的數學能力，教學時要重視培養學生的分析能力和思維能力，通過現象抓住問題的本質。在排列組合問題中，分類計數原理和分步技術原理是十分重要的，這兩種原理的區分也是解題的關鍵。其基礎是對兩種原理的理解，學生要學會自己分析，學會歸納總結。中職生在吸收知識的同時，要綜合分析問題，理解數學知識的貫通和發展變化。排列組合學習之后，要挖掘自己的思考和辨析能力，從中分析聯系，總結規律，充分掌握知識，學習的過程就是鍛煉邏輯思維的過程。
3.加強訓練
知識的學習是無止境的，思維能力的培養可以使學生終生受益。教師要適度加強對中職生排列組合學習的訓練，排列組合題很多，解題方法各有不同。教師可以針對不同的類型按照時間段進行訓練，也可以針對不同的解題方法進行訓練。比如捆綁法、插空法等，關于這類的題型很多，中職生只有多看、多學、多思考，才能加深對知識的掌握，同時提高自己的思維能力。
總之，數學中的排列組合雖然更具抽象性，但也與我們的實際生活相關并廣泛應用于其中。排列組合綜合了多種數學思想，能夠促進中職生邏輯思維能力的培養，提高中職生的數學素養。
參考文獻：
[1]王燕兵，陳屏.排列組合的教學研究[J].高中數理化，2015（12）：17-17.
[2]王春梅.解排列組合問題的常用技巧歸納[J].高中數理化，2015（1）：21-22.
排列與組合范文5
智慧技能的教學是學校教學的中心任務．著名認知心理學家加涅認為，智慧技能主要涉及概念和規則的掌握與運用，它由簡單到復雜構成一個階梯式的層級關系：概念（需要以辨別為先決條件）規則（需要以概念為先決條件）高級規則（需要以規則為先決條件）．因此，對于中學數學的每個單元，學生應該按照加涅關于智慧技能由簡單到復雜構成的這個層級關系去學習，以便按照這個層級關系把所學的知識組織到大腦當中，形成具有良好層級性的認知結構．
據此，筆者在“排列、組合”單元的教學中，將教材內容的順序進行了調整．調整后的結構如圖1所示．排列、組合P概念從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手，得出排列與組合的概念，進而介紹排列數概念、組合數概念及其符號表示．
排
列
、
組
合
概念
從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的要領進而介紹排列數概念、組合數概念及其符號表示.
專題一
算法
在解釋P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基礎上，介紹加法原理和乘法原理（引例和例題的處理均須用由P1n或C1n組成的算式來解答）．
專題二
排列數公式與計算
專題三
組合數公式、計算與性質
應用
用直譯法解決純排列與組合問題（同時用分步法解答純排列問題）．題型如1990年人教版高中《代數》下冊（必修）（簡稱：高中《代數》下冊．下同）第234頁例3、第245頁例2.
專題四
用分類法解決加法原理的簡單應用題．題型如高中《代數》下冊第234頁例4（此例還可用分步法）、第245頁例3．
專題五
用分步法、分類法和排除法解綜合性排列與組合問題．題型如高中《代數》下冊第235頁例5、第246頁例4．
專題六
圖1
于是該單元的教學次序是：基本概念的形成（排列與組合的概念、排列數與組合數的概念）基本算法規則的掌握（原理與公式）概念和算法規則相結合的應用（這里是以解題規律為主線，把排列應用題和組合應用題一并按其解法由易到難分層次集中而對偶地解決的），完全符合加涅關于智慧技能的學習必須按從概念到規則，再到高級規則的層級順序去進行的規律，理順了學生學習排列、組合內容的認知層次，加強了該單元認知結構的層級性．
2．運用先行組織者，促成認知結構的穩定性
運用先行組織者以改進教材的組織與呈現方式，是提高教材可懂度，促進學生對教材知識的理解的重要技術之一．其目的是從外部影響學生的認知結構，促成認知結構的穩定性．
因為高中生首次面對排列、組合單元的學習任務時，其認知結構中缺乏適當的上位觀念用來同化它們，因此，我們在該單元的入門課里，在沒有正式學習具體內容之前，先呈現如圖2所示的組織者，能起到使學生獲得一個用來同化排列、組合內容的認知框架的作用．
排
列
、
組
合
概念
排列、組合的概念
算法
算法原理、計算公式
應用
解排列、組合問題
圖2
值得一提的是，安排在本文的入門課——專題一中的飛機票和飛機票價等具體問題，以及安排在基本原理課題中的兩個引例，它們也分別起到了學習相應內容的具體模型組織者的作用．
3．實行近距離對比，強化認知結構的可辨別性
如果排列概念和組合概念在學生頭腦中的分離程度低，加法原理和乘法原理在學生頭腦中的可辨別性差，則會造成學生對排列和組合的判定不清，對加法原理和乘法原理的使用不準，從而嚴重影響學生解排列、組合問題的正確性．因此，在教學中我們必須增強它們在學生頭腦中的可辨別性，以達到促使學生形成良好的“排列、組合”認知結構之目的．
按調整后結構的順序教學，很自然地實行了近距離對比，加大了排列與組合、加法原理和乘法原理的對比力度，從而強化了它們在學生頭腦中的可辨別性．
（1）在入門課里，開篇就將排列概念和組合概念進行近距離對比，有利于引導學生得到并掌握排列和組合的判定標準：看實際效果與元素的順序有無關系．
（2）專題二首次近距離比較加法原理和乘法原理，并運用其判定標準——是分類還是分步，去完成對實際問題的處理，以加強學生對它們的理解與辨別．
（3）專題四、五、六里，把排列、組合問題按其解法分層次對偶地解決，在沒有單獨占用課時的情況下，很自然地為排列和組合的近距離比較，為加法原理和乘法原理的運用對比，提供了切實而盡可能多的機會．
4．及時歸納總結，增強認知結構的整體性與概念性
我們知道，認知結構是人們頭腦中的知識結構，也就是知識在人們頭腦中的系統組織，它具有整體性和概括性．認知心理學認為，認知結構的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學習的保持與遷移．因此，在每個單元的教學中，我們必須隨著該單元教學進度的推進，及時歸納總結已學內容的規律，以促進學生認知結構概括水平的不斷提高，最終促使學生高效高質地整體掌握該單元，從而形成整體性強、概括程度高的認知結構．
于是對于“排列、組合”單元，筆者就隨著教學進度的深入，引導學生不斷歸納、及時總結出以下各規律：
（1）排列與組合的判定標準（見前文）．
（2）加、乘兩原理的判定標準（見前文）．
（3）排列數公式的特征（略）．
（4）組合數與排列數的關系（略）．
（5）解排列、組合問題的基本步驟與方法：
①仔細審清題意，找出符合題意的實際問題．
所有排列、組合問題，都含有一個“實際問題”，找出了這個實際問題，就找到了解題的入口．
②逐一分析題設條件，推求“問題”實際效果，采取合理處理策略．
處理排列、組合問題的常用策略有：正面入手；正難則反；調換角度；整、分結合；建立模型等．但不管采用哪個策略，我們都必須從問題的實際效果出發，都必須保證產生相同的實際效果．因此，實際問題的實際效果，就是我們解排列、組合問題的出發點和落腳點，因而也可以說是解排列、組合問題的一個關鍵．
③根據問題“實際效果”和所采取的“處理策略”，確定解題方法．
解排列、組合問題的方法，不同的提法很多，其實歸根到底，不外乎以下五種：枚舉法；直譯法；分步法；分類法；排除法．如所謂插空法，推究起來也只不過是在調換角度考慮的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教學與培養，增大認知結構的可利用性
智育的目標是：第一，通過記憶，獲得語義知識，即關于世界的事實性知識，這是較簡單的認知學習．第二，通過思維，獲得程序性知識，即關于辦事的方法與步驟的知識，這是較復雜的認知學習．第三，在上述學習的同時，獲得策略知識，即控制自己的學習與認知過程的知識，學會如何學習，如何思維，這是更高級的認知學習，也是人類學習的根本目的．
所謂策略，指的就是認知策略的學習策略，認知策略是個人用以支配自己的心智加工過程的內部組織起來的技能，包括控制與調節自己的注意、記憶、思維和解決問題中的策略．學習策略是“在學習過程中用以提高學習效率的任何活動”，包括記憶術，建立新舊知識聯系，建立新知識內部聯系，做筆記、摘抄、寫節段概括語和結構提綱，在書上評注、畫線、加標題等促進學習的一切活動．
在中學生的數學學習中，如果學生的認知結構中缺乏策略或策略的水平不高，那么學生的學習效果就不好、學習效率就不高，特別是在解題過程中，就會造成不能利用已學的相關知識而找不到解題途徑，或造成利用不好已學的相關知識而使解題思路受阻，或造成不能充分利用好已學的相關知識而使解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結果不準確等．因此，中學數學教學，必須重視策略的教學和培養，讓學生學會如何學習和如何思維，以增大學生認知結構的可利用性．
為此，筆者在“排列、組合”單元的教學中，除注意一般性學習策略（如做筆記、畫線、注記和寫單元結構圖等）的培養以外，更注重解排列、組合問題的培養和訓練．
（1）在專題二、四、五、六里，對排列、組合問題解法的教學，始終按“仔細審清題意，找出符合題意的實際問題逐一分析題設條件，推求問題實際效果，采取合理處理策略根據問題實際效果和所采取的處理策略，確定解題方法”的基本步驟進行，以培養學生在解排列、組合問題時，有抓住“實際問題的實際效果”這個關鍵的策略意識和策略能力．
（2）重視一題多解和錯解分析（多解的習題要有意講評，例題講解可故意設錯）．
一題多解能拓寬解題思路，讓學生見識各種解題方法和處理策略．另外，一題多解又能通過比較各種解法的優劣，使學生在較多的思路和方法中優選．同時，因為解排列、組合問題，其結果（數值）往往較大，不便于檢驗結果的正確性，而一題多解可以通過各種解法所得結果的比較，來檢驗我們所作的解答是否合理、是否正確，從而起到檢查、評價乃至調控我們對排列、組合問題的解答的作用．
錯解分析能使學生注意到解答出錯的原因所在，同時使學生體驗到解題策略調節的必要性和方法，防止今后犯類似的錯誤，增強學生解題糾錯力．
故意設錯如高中《代數》下冊第246頁例4的第（3）小題：如果100件產品中有兩件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種?
錯解：由分步法得C12C299＝9702（種）．
略析：像該題一樣的“至少”問題最好莫用分步法，這里分步出現了重復計算（以上錯解是學生易犯錯誤，教學中必須注意）．
參考文獻
1邵瑞珍主編．學與教的心理學．上海：華東師范大學出版社，1990
排列與組合范文6
智慧技能的教學是學校教學的中心任務．著名認知心理學家加涅認為，智慧技能主要涉及概念和規則的掌握與運用，它由簡單到復雜構成一個階梯式的層級關系：概念（需要以辨別為先決條件）規則（需要以概念為先決條件）高級規則（需要以規則為先決條件）．因此，對于中學數學的每個單元，學生應該按照加涅關于智慧技能由簡單到復雜構成的這個層級關系去學習，以便按照這個層級關系把所學的知識組織到大腦當中，形成具有良好層級性的認知結構．
據此，筆者在“排列、組合”單元的教學中，將教材內容的順序進行了調整．調整后的結構如圖1所示．排列、組合P概念從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手，得出排列與組合的概念，進而介紹排列數概念、組合數概念及其符號表示．
排
列
、
組
合
概念
從飛機票和飛機票價等具體問題的辨別入手,得出排列與組合的要領進而介紹排列數概念、組合數概念及其符號表示.
專題一
算法
在解釋P1n＝n，C1n＝n（n∈Z＋）的基礎上，介紹加法原理和乘法原理（引例和例題的處理均須用由P1n或C1n組成的算式來解答）．
專題二
排列數公式與計算
專題三
組合數公式、計算與性質
應用
用直譯法解決純排列與組合問題（同時用分步法解答純排列問題）．題型如1990年人教版高中《代數》下冊（必修）（簡稱：高中《代數》下冊．下同）第234頁例3、第245頁例2.
專題四
用分類法解決加法原理的簡單應用題．題型如高中《代數》下冊第234頁例4（此例還可用分步法）、第245頁例3．
專題五
用分步法、分類法和排除法解綜合性排列與組合問題．題型如高中《代數》下冊第235頁例5、第246頁例4．
專題六
于是該單元的教學次序是：基本概念的形成（排列與組合的概念、排列數與組合數的概念）基本算法規則的掌握（原理與公式）概念和算法規則相結合的應用（這里是以解題規律為主線，把排列應用題和組合應用題一并按其解法由易到難分層次集中而對偶地解決的），完全符合加涅關于智慧技能的學習必須按從概念到規則，再到高級規則的層級順序去進行的規律，理順了學生學習排列、組合內容的認知層次，加強了該單元認知結構的層級性．
2．運用先行組織者，促成認知結構的穩定性
運用先行組織者以改進教材的組織與呈現方式，是提高教材可懂度，促進學生對教材知識的理解的重要技術之一．其目的是從外部影響學生的認知結構，促成認知結構的穩定性．
因為高中生首次面對排列、組合單元的學習任務時，其認知結構中缺乏適當的上位觀念用來同化它們，因此，我們在該單元的入門課里，在沒有正式學習具體內容之前，先呈現如圖2所示的組織者，能起到使學生獲得一個用來同化排列、組合內容的認知框架的作用．
值得一提的是，安排在本文的入門課——專題一中的飛機票和飛機票價等具體問題，以及安排在基本原理課題中的兩個引例，它們也分別起到了學習相應內容的具體模型組織者的作用．
3．實行近距離對比，強化認知結構的可辨別性
如果排列概念和組合概念在學生頭腦中的分離程度低，加法原理和乘法原理在學生頭腦中的可辨別性差，則會造成學生對排列和組合的判定不清，對加法原理和乘法原理的使用不準，從而嚴重影響學生解排列、組合問題的正確性．因此，在教學中我們必須增強它們在學生頭腦中的可辨別性，以達到促使學生形成良好的“排列、組合”認知結構之目的．
按調整后結構的順序教學，很自然地實行了近距離對比，加大了排列與組合、加法原理和乘法原理的對比力度，從而強化了它們在學生頭腦中的可辨別性．
（1）在入門課里，開篇就將排列概念和組合概念進行近距離對比，有利于引導學生得到并掌握排列和組合的判定標準：看實際效果與元素的順序有無關系．
（2）專題二首次近距離比較加法原理和乘法原理，并運用其判定標準——是分類還是分步，去完成對實際問題的處理，以加強學生對它們的理解與辨別．
（3）專題四、五、六里，把排列、組合問題按其解法分層次對偶地解決，在沒有單獨占用課時的情況下，很自然地為排列和組合的近距離比較，為加法原理和乘法原理的運用對比，提供了切實而盡可能多的機會．
4．及時歸納總結，增強認知結構的整體性與概念性
我們知道，認知結構是人們頭腦中的知識結構，也就是知識在人們頭腦中的系統組織，它具有整體性和概括性．認知心理學認為，認知結構的整體性越強、概括水平越高，就越有利于學習的保持與遷移．因此，在每個單元的教學中，我們必須隨著該單元教學進度的推進，及時歸納總結已學內容的規律，以促進學生認知結構概括水平的不斷提高，最終促使學生高效高質地整體掌握該單元，從而形成整體性強、概括程度高的認知結構．
于是對于“排列、組合”單元，筆者就隨著教學進度的深入，引導學生不斷歸納、及時總結出以下各規律：
（1）排列與組合的判定標準（見前文）．
（2）加、乘兩原理的判定標準（見前文）．
（3）排列數公式的特征（略）．
（4）組合數與排列數的關系（略）．
（5）解排列、組合問題的基本步驟與方法：
①仔細審清題意，找出符合題意的實際問題．
所有排列、組合問題，都含有一個“實際問題”，找出了這個實際問題，就找到了解題的入口．
②逐一分析題設條件，推求“問題”實際效果，采取合理處理策略．
處理排列、組合問題的常用策略有：正面入手；正難則反；調換角度；整、分結合；建立模型等．但不管采用哪個策略，我們都必須從問題的實際效果出發，都必須保證產生相同的實際效果．因此，實際問題的實際效果，就是我們解排列、組合問題的出發點和落腳點，因而也可以說是解排列、組合問題的一個關鍵．
③根據問題“實際效果”和所采取的“處理策略”，確定解題方法．
解排列、組合問題的方法，不同的提法很多，其實歸根到底，不外乎以下五種：枚舉法；直譯法；分步法；分類法；排除法．如所謂插空法，推究起來也只不過是在調換角度考慮的策略下的分步法而已．
5．注意策略的教學與培養，增大認知結構的可利用性
智育的目標是：第一，通過記憶，獲得語義知識，即關于世界的事實性知識，這是較簡單的認知學習．第二，通過思維，獲得程序性知識，即關于辦事的方法與步驟的知識，這是較復雜的認知學習．第三，在上述學習的同時，獲得策略知識，即控制自己的學習與認知過程的知識，學會如何學習，如何思維，這是更高級的認知學習，也是人類學習的根本目的．
所謂策略，指的就是認知策略的學習策略，認知策略是個人用以支配自己的心智加工過程的內部組織起來的技能，包括控制與調節自己的注意、記憶、思維和解決問題中的策略．學習策略是“在學習過程中用以提高學習效率的任何活動”，包括記憶術，建立新舊知識聯系，建立新知識內部聯系，做筆記、摘抄、寫節段概括語和結構提綱，在書上評注、畫線、加標題等促進學習的一切活動．
在中學生的數學學習中，如果學生的認知結構中缺乏策略或策略的水平不高，那么學生的學習效果就不好、學習效率就不高，特別是在解題過程中，就會造成不能利用已學的相關知識而找不到解題途徑，或造成利用不好已學的相關知識而使解題思路受阻，或造成不能充分利用好已學的相關知識而使解題方法不佳，以致解題速度不快、解答過程繁冗、解答結果不準確等．因此，中學數學教學，必須重視策略的教學和培養，讓學生學會如何學習和如何思維，以增大學生認知結構的可利用性．
為此，筆者在“排列、組合”單元的教學中，除注意一般性學習策略（如做筆記、畫線、注記和寫單元結構圖等）的培養以外，更注重解排列、組合問題的培養和訓練．
（1）在專題二、四、五、六里，對排列、組合問題解法的教學，始終按“仔細審清題意，找出符合題意的實際問題逐一分析題設條件，推求問題實際效果，采取合理處理策略根據問題實際效果和所采取的處理策略，確定解題方法”的基本步驟進行，以培養學生在解排列、組合問題時，有抓住“實際問題的實際效果”這個關鍵的策略意識和策略能力．
（2）重視一題多解和錯解分析（多解的習題要有意講評，例題講解可故意設錯）．
一題多解能拓寬解題思路，讓學生見識各種解題方法和處理策略．另外，一題多解又能通過比較各種解法的優劣，使學生在較多的思路和方法中優選．同時，因為解排列、組合問題，其結果（數值）往往較大，不便于檢驗結果的正確性，而一題多解可以通過各種解法所得結果的比較，來檢驗我們所作的解答是否合理、是否正確，從而起到檢查、評價乃至調控我們對排列、組合問題的解答的作用．
錯解分析能使學生注意到解答出錯的原因所在，同時使學生體驗到解題策略調節的必要性和方法，防止今后犯類似的錯誤，增強學生解題糾錯力．
故意設錯如高中《代數》下冊第246頁例4的第（3）小題：如果100件產品中有兩件次品，抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少種?
錯解：由分步法得C12C299＝9702（種）．
略析：像該題一樣的“至少”問題最好莫用分步法，這里分步出現了重復計算（以上錯解是學生易犯錯誤，教學中必須注意）．
參考文獻
1邵瑞珍主編．學與教的心理學．上海：華東師范大學出版社，1990
