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高中數學試題范文1
關鍵詞："高觀點"；中考試題； 命制方法
1 "高觀點"思想之由來
"高觀點"思想是德國杰出的數學家菲利克斯?克萊因于20世紀初在《高觀點下的初等數學》這本書中提出來的.克萊因認為，基礎數學的教師應該站在更高的視角（高等數學）來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單；一個稱職的教師應當掌握或了解數學的各種概念、方法及其發展與完善的過程以及數學教育演化的經過[1]。
克萊因的"高觀點"思想主要是指用高等數學的觀點來剖析、俯視初等數學問題.初中數學是高中數學和大學數學的基礎，高中數學和大學數學是初中數學的發展和延伸，它們是一脈相承的.因此，我們可以用高等數學（包括高中數學，以下簡稱高數）的觀點（知識、思想、方法等）來剖析、透視初中數學試題。
本文以浙江省臺州市中考數學試題為例，運用"高觀點"思想，剖析試題的解法，分析試題的特點和命制方法。
2 "高觀點"思想下中考數學試題之賞識
在近幾年的浙江省臺州市中考數學一些試題中，有著或明或暗的高數背景，都可以從高數的視角來剖析，舉例如下：
[淺析]本題摒棄了通常的找規律型試題和給出新定義讓學生理解的命題方式，獨辟蹊徑，把主動權交給學生，請學生給出合理的對象定義[2]，這與直接給出新定義的途徑正好相反。該題既考查了學生的數學歸納、數學概括能力，又檢測了學生的"自我在線監控與調節"的意識[2]。事實上，本題的三個式子中都有ab =ba 這個重要特征，即對稱性，它的背景就是高等代數中的對稱多項式。我們知道，在高等數學里，如果對于任意的i，j （其中1 i
[淺析]函數最明顯的特征是模型屬性而非圖形屬性，畫函數圖像是為研究函數的性質服務的，而不是為了研究圖像而研究圖像[2]。本題中，學生通過分析函數圖像特征斷定用二次函數來擬合，利用幾個特殊點確定函數解析式，求出函數的最值.從高等數學的角度思考，滿足已知條件的函數也可以用拉格朗日插值函數來表示：
[淺析]求橢圓的面積需要用高等數學中積分的知識來解決，即使如題意中所描述的采用"化整為零，積零為整""化曲為直，以直代曲"的方法，由于初中學生不清楚橢圓的標準方程，分割求面積和求極限都不會.在《全日制義務教育數學課程標準》中提出，教師應該引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發現一些規律，猜測某些結論，發展合情推理能力.事實上，數學直覺和合情推理能力是數學素養的重要組成部分，但在現實的教學中普遍存在對這兩種能力重視和關注不夠[3]，該題的出現旨在考查學生的數學直覺和類比能力.盡管為了降低難度，命題者作了暗示性的鋪墊：希望通過正方形與矩形面積的關系啟發得出圓與橢圓的面積關系，但這種暗示作用甚。也許有人會這樣去猜測，把圓的面積公式πa2 看成πa?a ，再將其中的一個a換成b，但為什么可以這樣猜測呢？筆者以為，要解決這個問題，還得從高等數學的角度來詮釋，因為把圓壓縮成橢圓就是仿射變換的過程，在仿射變換下，任意兩個封閉曲線圍成的面積之比是仿射不變量，即
3 "高觀點"思想下初中數學試題特征之分析
3.1 "高觀點"思想下初中數學試題的特點。
仔細分析這些試題，我們不難發現它們有以下一些特征：
①背景深：
試題背景源于高數，它從不同的角度、不同的思維抓住了初中與高數的銜接點，立意新，背景深，這類試題或者以高數符號、概念直接出現，或者以高數的概念、定理作為依托，融于初中數學知識之中，貼近學生的最近發展區.因此這類試題靠猜題押題是不行的，體現了試題的公正性、公平性，為命題者喜歡。
②落點低：
問題的設計雖然來源于高數，但解決問題的思想、方法卻是初中所學的，決不會超綱，思維雖高落點卻低，它能有利于引導學生提高思維的邏輯性、敏捷性和嚴謹性。
③要求高：
試題的設計旨在考查知識的基礎上，能寬角度、多觀點地考查學生的數學素養，有層次深入地考查數學思維能力和繼續學習的潛能，為學生的后續發展打下基礎。
3.2 "高觀點"思想下初中數學試題的命制方法。
相比而言，高數所涉及的知識點當然要比初等數學所涉及的多（而且深）."升格"和"降格"是我們編制初等數學問題的有效策略。升格就是把問題從局部歸結為整體，從低維提高到高維，從具體提升到抽象的策略；降格是遵循人們認識事物的規律，把復雜、多元、高維的問題情形，分解、降維為簡單、一元、低維的情形，如特殊化方法，可以將問題轉化為我們熟悉的情形。
"高觀點"思想下初中數學試題的命制并不是高數知識和方法的簡單下嫁，而是充分利用高數的背景，通過初等化的處理和巧妙設計，使之貼近初中學生的思維認知水平，達到一定的考查目的。
3.2.1 直接引用法。
直接引用法是指將高數中某些命題、概念、定理、公式等直接移用為初中數學試題的一種做法.事實上，高數中有許多抽象化的概念本身就是初中數學知識的拓展和延伸，在考查學生掌握相關知識水平的同時，也考查了學生對高數知識的理解能力。
例4（2009年第10題） 若將代數式中的任意兩個字母交換，代數式不變，則稱這個代數式為完全對稱式，如 a+b+c就是完全對稱式。下列三個代數式：①（a-b）2 ；②ab+bc+ca ；③a2b+b2c+c2a。其中是完全對稱式的是（ ）
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）①②③
[淺析]該題中的完全對稱式就是直接引用于高等代數中的對稱多項式。
3.2.2 適當改編法。
根據高數有關知識，結合相應的考查要求，適當地將問題進行改編，使之能符合初中學生的知識能力要求范圍內，可以有效地運用初中所掌握的知識和方法予以解決。這類方法可以簡單分為三種：演變法、初化法和高化法。
①演變法 演變法是指將高數的定理公式等的條件和結論進行演變，或以公式、定理為載體，可以通過對概念的延伸或弱化，或增加適當地背景，轉而考查學生的數學思維能力。
問題，通過適當演化，用表格創設背景，所考查的知識內容沒有改變。
②初化法 初化法是指將高數的問題、概念、原理等進行特殊化、初等化、具體化、低維化的處理，使之成為具體的初等化內容。
例6（2006年第17題） 日常生活中，"老人"是一個模糊概念.有人想用"老人系數"來表示一個人的老年化程度.他設想"老人系數"的計算方法如下表：
[淺析]此題是高等數學中的模糊數學和高中數學中的分段函數相結合后初等化處理的一種設問形式，主要考查學生的閱讀理解能力，引導初中數學教學更多地關注背景深刻、趣味無窮、應用廣泛但又是學生能夠理解和接受的數學。
③高化法 高化法是指將初等數學的語言、符號、概念等升華為高數的語言、符號和概念，是學生所學知識的延伸，考查學生的探究能力和后續學習能力。
例7（2008年第10題） 把一個圖形先沿著一條直線進行軸對稱變換，再沿著與這條直線平行的方向平移，我們把這樣的圖形變換叫做滑動對稱變換.在自然界和日常生活中，大量地存在這種圖形變換（如圖4）。結合軸對稱變換和平移變換的有關性質，你認為在滑動對稱變換過程中，兩個對應三角形（如圖5）的對應點所具有的性質是（ ）
（A）對應點連線與對稱軸垂直
（B）對應點連線被對稱軸平分
（C）對應點連線被對稱軸垂直平分
（D）對應點連線互相平行
[淺析]本題從植物葉子的構造特征中讓學生發現平移與軸對稱的組合變換，是將單一的圖形變換升華為復合變換，旨在考查學生對新定義的理解.它也明白地告訴學生，自然界中的許多現象都可用數學的語言區描述，簡潔而準確，數學是有趣的也是有用的.從高等數學看，幾何變換的發展正是從軸對稱出發，通過數學概念的弱抽象（減弱數學結構的抽象）過程，探究各種不變量：軸對稱變換合同變換相似變換仿射變換射影變換拓撲變換，因此，軸對稱變換是幾何變換的基礎，該題可以引導學生在變換過程中積極尋找不變量。
結語
"站得高才能看得遠"，從數學學科的整體性和數學教育的連續性的角度上說，用"高觀點"思想分析初中數學試題，可以較好地解決一些困惑問題，是一把利器.
當然，盡管中考數學試題中有一些高數知識的背景，但是我們也不提倡教師在課堂教學中把高數內容下放給學生，否則勢必會加重學生的學業負擔，再說你想教也是教不完的！在學生充分掌握初中數學知識的基礎上，我們可以借助實例和直觀，滲透一些為學生所能接受的高數的初步知識（最近發展區），突出思想和方法，重視思維訓練，強調理解和應用，不追求嚴格的證明和邏輯推理，積極發展學生的合情推理能力，從而最終提高學生的數學素養.
參考文獻
[1] 菲利克斯?克萊因著，舒湘芹 陳義章 楊欽等譯.高觀點下的初等數學[M].上海：復旦大學教育出版社，2011.
高中數學試題范文2
【關鍵詞】高考理科數學；統計與概率試題；教學
近幾年，隨著社會的不斷發展，統計與概率這方面的知識在社會中的應用越來越普遍，并且所占的比重也越來越大。高中教材中，統計與概率這部分知識分為必修和選修兩部分，可見高中數學對此知識的重視程度，下面我們就基于分析全國各省高考數學中統計與概率試題的基礎上，來對此部分的教學進行詳細的分析。
一、高考理科數學試卷的分析
1.試卷情況
對近三年全國各省的理科數學試卷進行分析之后發現，統計部分的知識主要是以解答題的形式出現，大多考察的是離散型隨機變量的分布以及求期望值、平均數、方差等內容，除此之外還涉及了分層抽樣、系統抽樣、隨機抽樣的概率分布直方圖，對于選修內容之中的正態分布知識，雖然也有考察但是考察的較少。概率部分主要考察的知識點是各種事件概率的運算，題型有選擇題和大題兩類，但是大題屬于和其他知識的結合，不會單獨出概率的大題。
2.命題的特點
由于概率和統計知識在現實中的應用非常廣泛，和現實聯系比較親密，所以高考對這部分知識的考察變得越來越靈活，幾乎沒有太直白的命題傾向，不過也是難易有度的，統計與概率知識在高考中的命題特點主要有以下幾點。首先命題的重點是對隨機事件中對立事件、互斥事件、相互獨立事件以及獨立重復事件的概念理解和對公式的運用，其中離散型隨機事件的期望問題和分布列問題是高考的必考內容；其次這幾年命題的熱點是將概率題和統計題結合起來形成一個大題來進行考察，這種題型一般是通過圖表等形式來考察概率知識；除此之外，命題的特點還有一項那就是將概率和其他知識混合起來考，因為概率的應用太廣泛了，為了體現考題的靈活性，這幾年的命題特點是將概率問題融入其他知識的考察之中，比如將概率和數列、不等式、函數、甚至集合的知識結合起來考察，最近幾年的高考試題中都有出現。
3.考察的能力
通過對近幾年高考試卷的分析，我們可以總結出，對統計與概率知識的考察主要是來考察學生對于概率問題以及統計問題的思考能力與運算能力。具體來說是在理解題目要求的基礎上，選擇合適的公式和計算方式來進行解題，由于設計到實際生活的應用，所以題目的設置有很多無用的信息，干擾條件有很多，所以著重考察的是學生處理信息的能力。
二、對高中統計與概率教學所帶來的啟示
高考不僅僅是對學生的考察，同時也是對教師教學能力的考察，課程的教學要求很大程度上是和高考的命題原則一致的，所以，對高考數學中統計與概率題型的考察對老師的教學也有一定的啟示意義，下面我們來進行詳細的分析。
1.注重基礎的教學
注重基礎的教學也就是指要重視知識的概念講解，首先概念是對一個內容提綱挈領式的概括，對于概念的學習才能為以后新知識的學習打下堅實的基礎，比如要想學習幾何概型和古典概型的概率計算，就必須進行古典事件、互斥事件等事件的概念學習，概念是學習新知識的基礎，并且每年的高考題目中都有對概念的考察，所以要重視對概念的教學。具體的做法有在對具體的知識進行教學之前，要先對概念進行仔細的講解，非常重要的概念有必要讓學生進行背誦。
2.注意和其他知識進行結合
近幾年高考對統計和概率知識不再是進行單一的考察，而是兩者結合或者和其他的知識進行結合。比如2012年新課標卷上的一道真題就是將概率的知識和分段函數進行結合，再融入實際問題計算概率來進行考察，并且這種命題的趨勢越來越大，所以在進行教學中，要注意將統計和概率的知識和其他的知識進行結合，最簡單的方式就是在開新課的時候，要提前思考是否所要學習的知識能和統計概率知識進行結合，如果能結合的話，可以在課堂教學的時候就將知識進行融合，讓學生直接接觸的就是融合的信息，以便在考場上看到問題不會產生慌張的情緒。
3.及時的復習
統計與概率知識是非?，嵥榈模瑳]有一個聯系緊密的系統，不同知識點之間的關系是并列的，所處的地位是一致的，并且還具有能和其他知識相結合的特性，學生要想牢牢得掌握住僅憑課堂上的學習幾乎是不可能的，所以老師要有計劃有安排得引導學生進行復習，可以參照月考的形式設置周考，對統計與概率知識中復雜的概念和公式進行定期的復習來加深印象，只有對基礎的知識掌握牢固，才有可能和其他的知識進行結合。
三、結束語
統計與概率知識屬于高考考試的重點，還不算高考的難點，但是由于其能和其他知識進行結合的特性，加大了考察的難度。所以，要想使學生在高考中有關這部分知識的題目不丟分，除了學生自身的努力之外，老師也應該在平時的教學中多下功夫。
【參考文獻】
[1]夏蓮.課程標準下數學高考命題的研究[D].云南師范大學，2014
[2]柳慧君.課程標準下的高考數學試卷結構比較研究[D].東北師范大學，2010
[3]趙興杰，蔣路琴.從近三年高考理科數學試題談高中統計與概率的教學[J].遵義師范學院學報，2013.03：106-109
高中數學試題范文3
在應試教育的影響下，大部分高中數學教師認為學習數學知識更多為了應付考試，在這樣的主觀思維影響下，導致高中數學課堂教學氛圍枯燥乏味。經過調查，當前高中學生之所以無法真正掌握分類討論思想，最主要的原因是因為教師并沒有對分類思想的內涵進行專門的講解，更多的精力放在對知識本身的講解。筆者認為高中數學的精髓還是在于讓學生形成數學思想，學生一旦有了數學思想，其實很多數學問題都能迎刃而解。
一、教學設計上有意識體現分類討論思想
分類討論思想的應用能夠讓學生形成數學思想，而且分類討論思想能夠讓學生在面對數學難題時能夠快速找到突破口。因此，高中數學教師應該在教學設計上充分體分類討論思想，尤其是要重視對分類討論試題的優化。一般涉及到需要使用分類討論思想的數學問題都比較復雜，比較難，學生在處理的過程上非常容易出錯。教師需要在教學設計上不斷優化分類討論思想試題，同時還需要讓學生明白一些數學試題不需要使用分類討論思想，需要盡量避免。
例如：解不等式>3-2x。對本題進行解析：由于被開方數和算術平方根的非負性。而解決這個問題時會涉及到分類討論的方法，通常的解法是分3-2x≥0和3-2x3-2x得到{x|x≤0}，其中補集{x|0
從上述數學試題來看，如果使用補集思想能夠將題目更加簡化。因此，我們在解題過程中需要注意分類討論思想的應用，尤其要重視對分類環節的優化，從而避免不必要的分類討論。
二、知識形成的過程中融入分類討論思想
高中數學知識中有很多的數學公式、數學概念、數學定理以及數學性質，這些知識是學生解題過程中邏輯推理的主要依據。在平常教學匯總，教師要引導學生分析數學公式、數學概念、數學定理以及數學性質中所隱含的分類討論思想。將分類討論思想融入到數學概念形成的過程中，能夠幫助學生更好地掌握數學概念。通常數學概念對其中的量有著對應的要求與限制，然而利用分類討論思想則可以解決相關的問題。
因為數學概念本身引起的分類就比較多，如|a|分為a>0，a=0，a0，且a≠1）與對數函數的y=logax（a>0，且a≠1）可以分為a>1和0
高中數學教師可以在概念的形成過程中融入分類討論思想。例如，數學的n次方根的定義中有關n的計算，要求偶次方根非負，在這里教??可以引入分類討論思想。
解析：當n為奇數時，n=a，
當n為偶數的時，n=|a|=
有些數學定理、公式、性質其實都是分類給出來的，不同的條件下所給出的結論也不一樣。
三、在習題教學中融入滲透分類討論思想
高中數學解題講究的是“三分審題，七分解題”。那么在不斷“灌輸”數學知識的同時，筆者認為教師還應該引導學生面對數學試題時應該如何去思考與分析。所謂審題就是對題目的信息進行研究，將關鍵信息提煉出來，其實這個過程還包括了對解題方法的選擇。關于解決分類討論思想類的問題時，很多教師習慣給學生各種各樣的例子，讓學生掌握對已知條件的分類方法。其實在很多情況下，都需要教師進行提點，在提點之后再讓學生去獨立觀察與分析，一味舉例只會讓學生感覺到疲憊。
例如：從圖形的不確定性引入分類討論思想。在解決很多幾何問題時，發現圖形的形狀、位置以及類型都沒有辦法確定，基于這樣的情況其實就可以用到分類討論思想。例如，二次函數對稱軸位置的變化，還有函數圖像形狀的變換等等數學問題都可以用到分類討論思想。
例如，已知tan a=，試求sin a，cos a，cot a。
解析過程：三角形的函數性質受到角的終邊所在象限的影響，因此需要對角的終邊在不同的象限情況中展開分類討論。
tan a==>0
a則應試是地獄級或者第三象限角。
如果a是第一象限角，由tan a=知a終邊上有一點P（3，4），則x=3，y=4，r==5
高中數學試題范文4
【關鍵詞】高中數學；試卷講評；開展；略談
學習對象的學習實踐活動效果，需要借助于數學試卷或課堂練習來進行檢驗和考量。教育學指出，數學試卷，是教師檢測學生學習活動效果的有效“抓手”，是教師開展有的放矢教學的重要“依據”，也是學生鞏固所學知識的重要“載體”和認知學習不足，實時查漏補缺的有效“指南”。教學工作者不僅要做好試卷試題的設計工作，同時，更要做好試卷考后的講評工作。部分高中數學教師簡單的認為，試卷講評，就是結合學生試題完成情況，就試題講試題的活動進程。而教學實踐學指出，試卷講評是一個綜合考慮、統籌兼顧、自我反思、整改提升的發展進程。本人在此簡單闡述高中數學試卷的考后講評活動開展。
一、緊扣教材要義，試卷講評利于學生鞏固新知
試卷測試的目的，是為了考查學生群體對數學知識點內涵的掌握情況，是為了鍛煉學習群體對已有解題策略的運用能力。試卷講評，同樣與試卷測試的目的一樣。因此，教師開展數學試卷講評活動，不能毫無目標，沒有重點，應該做好“重點明確”，“方向鮮明”。必須圍繞和緊扣數學教材知識點內涵要義，進行有的放矢地講解和評判活動，針對高中生數學試題的試題解題情況，組織高中生根據試題內容以及解題要求，復習所涉及到的數學知識點內容，進行行之有效的探究分析活動，在有效講評試題的同時，實現教材知識點內涵的鞏固強化。如“正弦定理、余弦定理的應用”階段性試卷講評中，教師將試題講評作為鞏固正弦定理、余弦定理以及應用正余弦定理解決實際問題的步驟內容的有效“抓手”，在正弦定理、余弦定理的應用試題講評中，就解決的思路，組織高中生進行思考分析活動，高中生在再次探析試題過程中，借助于所學習的相關數學知識點內容，在有效探析進程中，再一次鞏固了數學知識點內容，切實增長了高中生數學素養。
二、展現雙邊特征，試卷講評便于師生深入探討
試題：已知函數f（x）=tan（■sinx），求f（x）的定義域和值域。
學生解析：-1≤sinx≤1， -■≤sinx≤■。
又函數y=tanx在x=kπ+■（k∈Z）處無定義，
且（-■，■）？奐[-■，■]？奐（-π，π），
令■sinx=±■，則sinx=±■。
解之得：x=kπ±■（k∈Z）。
f（x）的定義域是A={x|x∈R，且x≠kπ±■，k∈Z}。
f（x）的值域是（-∞，+∞）。
教師補充：學生在確定函數的值域時，沒有對結果進行闡述，應該對值域求取過程進行說明。tanx在（-■，■）內的值域為（-∞，+∞），
而當x∈A時，函數y=sinx的值域B滿足（-∞，∞）？奐B。
f（x）的值域是（-∞，+∞）。
學生進行試題解答修正活動。
在上述試題講評中，教師與高中生圍繞該試題的解答方法進行深入細致的雙邊交流活動，在高中生探析案例和教師有序引導的雙重功效下，對解題方法有了準確掌握。同時，借助于教師對高中生該試題的完成情況及注意點的評價活動，有效展示學生主體地位，切實培養學生解題能力。
由此可見，高中生在試卷講評活動中，應該將試卷講評作為課堂教學的“一份子”，展現教學活動的雙邊特征，在試卷講評過程中，滲透師生之間的交流互動活動，組織和引導高中生參與到教師試題講解和評判的活動進程中，與教師進行深入細致的討論活動，進一步明晰此類案例的解題思路，進一步掌握解析此類案例的解答方法，以此推進評講活動進程，提高評講活動效果。
三、落實課改要求，試卷講評促進主體能力提升
筆者以為，新課標作為高中數學教師課堂教學活動的“綱領”和“遵循”，就決定了數學教師的課堂教學必須遵循和按照新課標要求和標準，深入有效實施。眾所周知，新課標將學生學習能力、學習素養、學習品質擺在“首位”，倡導“學生第一，能力為王”的教學理念。這就要求，高中數學試卷講評活動，必須貫徹和落實新課程改革綱要的內涵和精髓，將數學學習技能訓練滲透在試卷講評之中，把“講解”和“評判”的任務交給學生，多給高中生營造“講評”的機會，讓高中生在自身探究、分析實踐中，進行“講解”和“評判”活動，以此鍛煉和提升高中生的探究、推理、判斷、概括、反思等數學學習能力。如“設不等式|2x-1|
值得注意的是，高中數學開展試卷講評進程中，不僅要做好講解指導的工作，同時，要應發揮試卷講評中“評”的特點，認真研究分析并歸納總結高中生試題解答效果，形成解題效果數據統計表，在此基礎上，對高中生的試卷完成情況及效果進行科學評價，多肯定高中生解題效果，對出現的不足和錯誤，評價點到為止，提出殷切希望，此效果勝過傳統的“訓斥”評價活動的多倍。
【參考文獻】
[1]陳根倉.數學試卷講評課的新理念[J].劍南文學（經典教苑），2011年02期
高中數學試題范文5
一、立足于教材，挖掘教學內涵
傳統照本宣科“教教材”的條條框框，隨著新課程改革的不斷深入，也逐漸被新方法、新策略打破。我們作為數學教師，應該更加深入地研究教材，在吃透教材的基礎上，發現問題，更新模式，采用新方法，更加合理地授課，更加精心地選擇教材中的典型題目，創設教學情境，設計教學過程，激發學生積極地參與到分析和解決問題的活動過程中，活躍學生思維，并使學生得到不同層次的思維訓練，提高學生的數學學習能力。教材是教學的根本，但不是全部。我們既要立足于教材，又不能局限于教材，要根據教學任務的需要及學生的實際情況，適當地取舍、補充，改善教材，讓高中數學教材“煥然一新”。
二、注重教法，領略思想方法
數學思想較之數學基礎知識，有更高的層次和地位，它蘊含在數學知識發生、發展和應用的過程當中，用以對數學問題的認識、處理和解決。數學方法是數學思想的具體體現，具有模式化與可操作性的特點，可以應用與解題和解決日常生活問題中。學生只有掌握了數學思想與方法，才能得到分析和解決問題的能力，學生只有掌握了數學思想與方法，才能將書本上的、他人的知識內化成為自己的能力。因此，在高中數學課堂教學中，教師應該注重數學思想和方法的傳授，引導學生充分地認識，什么樣的思想和方法適用于解決什么樣的問題，從而提高學生準確應用數學思想和方法分析和解決問題的能力。
高中數學試題范文6
1.立足數學的基礎知識、基本能力、基本方法——從基礎知識、核心內容、基本方法出發命制試題
案例1（1）某水果店1至6月份的銷售情況為450，440，420， 480，580，550（單位：千克），則這組數據的極差是_____________千克.
（2）一個樣本為1，3，2，2，a，b，c.已知這個樣本的眾數為3，平均數為2，那么這個樣本的方差為_____________.
命制途徑：以上兩題的命制均以課本的習題為素材，經過改造、組合而成的.這兩道題緊緊圍繞眾數、平均數、極差、方差這4個基本概念設計，目的是考查考生的的基礎知識和核心概念的掌握.對于這類考題，學生只要理解教材中的基礎知識和核心內容，就能輕松解決問題.
命制反思：以上兩道試題都是從初中數學的基礎知識、核心內容、基本方法出發來命制的，因此在教學中要讓學生深刻地理解概念的本質，熟練地掌握公式、定理、法則，并能靈活地加以運用，要善于將所學的知識進行歸類，理清初中階段數學知識脈絡，形成完整的知識體系.重視基礎知識、核心內容、基本方法的復習，不斷鞏固，落實三基，決不能片面追求解難題、怪題、偏題，否則得不償失.同時，采用課本例題、習題加以改造、編制試題，還能較好歸避因“公平性”問題的引起的爭議，而且能引導教師和學生多關注課本，對教師的教學和學生的學習都起到積極的意義.
2.立足學生的知識技能和生活實際，注重“數學化”與“生活化”的統一
案例2某校操場有一堵長方形墻面，它是由邊長為acm的24個小正方形白瓷磚拼成的.現準備在墻面上劃出一塊設計圖案，要求面積不超過原墻面的 .
（1）小唐設計了如圖2-1的方案，圖案框架的左右兩邊為兩個半圓，中間是4個小正方形拼成的正方形.問小唐的設計方案是否符合要求？請通過計算說明；
（2）你能否也設計一個符合要求的圖案框架，請你把方案畫在圖2-2的長方形中，并標示出尺寸（不再要求計算說明）.
案例3如圖3是某市一條河上一座古拱撟的截面圖，拱橋橋洞上沿是拋物線形狀，拋物線拱橋處于正常水位時水面寬AB為26m，當水位上漲1m時，拋物線拱橋的水面寬CD為24m.現以水面AB所在直線為x軸，拋物線的對稱軸為y軸建立直角坐標系.
（1）求拋物線的解析式；
（2）經過測算，水面離拱橋頂端1.5m時為警戒水位.某次洪水到來時，小明用儀器測得水面寬為10m，請你幫助小明算一算，此時水面是否超過警戒水位.
命制途徑：上述兩道試題處處充滿生活的氣息，教學導向清晰，能引導教師在教學過程中關注學生數學活動經驗的積累.案例2考查的是平面幾何及整式的知識應用，要求學生能夠借助運算得到的結果進行開放的設計判斷；案例3考查學生建立二次函數模型、并運用二次函數的圖象與性質解決實際問題，解決此類問題時，首先要理清所給材料的精髓，然后尋找數量之間的關系，并建立恰當的數學模型（如方程、不等式，函數），考查學生通過數學知識解決生活中的實際問題的能力.
命制反思：《新課程標準》特別強調數學背景的“生活化”、“情境化”，而適度的形式化又是中學生數學必須具備的特點，因此命制試題必須強調“生活化”與“數學化”并重與統一.“生活化、情境化”的試題既能考查學生“觀察、猜測、設計、驗證、應用”的探究過程和數學應用意識，又能考查學生從實際問題中建立數學模型，轉化成數學問題，綜合應用數學知識、方法分析解決的數學思想方法，它有助于幫助學生形成正確的的學習方法，克服哪種靠“識記套用”、“題海戰術”的學習方式，讓學生感知、感悟數學是來源于生活的，來源于實踐的.
3.立足問題情境，關注對“知識形成過程和學生學習過程”的考查
案例4如圖4是由8個相同的小立方塊搭成的幾何體，它的三個視圖都是2×2的正方形.若拿掉若干個小立方塊后（幾何體不倒掉），其三個視圖仍都為2×2的正方形，則最多能拿掉小立方塊的個數為（ ）
A.1B.2C.3D.4
命制途徑：有關三視圖的傳統命制主要是“識別已知幾何體的三視圖”，而本題命制的關鍵點是命題視角點的改變，突出在實驗操作活動過程中，體會三視圖與已知幾何體的聯系，從而達到考查學生對三視圖的實質性的理解，考查學生空間想象能力和合情推理意識.
案例5圖5-1所示的遮陽傘，傘柄垂直于水平底面，其示意圖如圖5-2.當傘收緊時，點P與點A重合；當傘慢慢撐開時，動點P由點A向點B移動；當點P到達點B時，傘張得最開.已知傘在撐開的過程中，總有PM=PN=CM=CN=6.0分米，CE=CF=18.0分米，BC=2.0分米.設AP=x分米.
（1）求x的取值范圍；
（2）若∠CPN=60°，求x的值；
（3）設陽關直射時，傘下的陰影（假定為圓面）面積為y，求y關于x的關系式（結果保留π）.
命制途徑：本題直接取材于街頭常見的遮陽傘，將其數學化，試題配以文字，同時展示原景與抽象后的幾何圖形，圖文并茂，考查了心智操作中綜合利用菱形、相似形，方程解決問題的能力，更為重要的是考查學生數學的應用意識，體會生活中的數學無所不在.
命制反思：通過學生學習生活基本經歷過中的游戲或者實際經驗，探索規律，體會數學知識的形成過程，在層層深入的活動中不斷深化數學思考，培養學生良好的數學應用意識，發展學生的數學思維。這種在玩中學數學、用數學，體驗數學的趣味性和應用的廣泛性的命制思路，既考查學習的結果，又考查學習過程的情感態度價值觀，很好地實現了“三維目標”考查的目的.
4.立足學生的自主探究，促進教學由重視知識積累轉向重視問題探究
案例6（1）如圖6-1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點B，C）上任意一點，P是BC延長線上一點，N是∠DCP的平分線上一點.若∠AMN=90°.求證：AM=MN.
下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，你可以選擇另外的方法證明.
證：在邊AB上截取AE=MC，連接ME.
正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC.
∠NMC=180°-∠AMN-∠AMB=180°-∠B-∠AMB=∠MAB=∠MAE.（下面請你完成余的證明過程）
（2）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2），N是∠ACP的平分線上一點，則當∠AMN=600時，結論AM=MN是否還成立？請說明理由.
（3）若將（1）中的“正方形ABCD”改為“正n邊形ABCD……X”，請你作出猜想：當∠AMN=__度時，結論AM=MN仍然成立.（直接寫出答案，不需要證明）
命制途徑：本題意圖讓學生通過觀察、實驗、探索等活動獲得某些數學猜想，并證明猜想的合理性.試題考查的思路從知識立意轉向能力立意，從傳統考查證明轉向問題探究，讓學生使用恰當的數學語言有條理地表達自己的數學思維過程，讓學生積極有效的觀察所探索的對象，通過觀察發現存在于其背后的數學現象，這樣的試題真正體現了考試的選拔.
命制反思：“應用數學”、“實驗數學”等新的數學教育觀念，正在影響著數學中考的命題；縱觀近幾年各省、市數學中考中的應用性問題和數學實驗操作試題已成為一個熱點，它們不僅體現出數學的工具性、也積極地滲透著數學的文化性，數學的理性思維和廣泛的應用性正發揮著積極的作用.因此，在教學中不僅不能丟棄課題學習的教學，更為重要的是，在日常的教學中要有的放失，不失時機地進行探究性、開放性的思維訓練，培養學生學會數學地思考，提高學生的分析、判斷的能力，樹立學生的創新意識.
5.立足初高中銜接，關注學生的可持續性發展
案倒7 已知a、b是正實數，那么 ≥ 是恒成立的.
（1）由（ - ）2≥0恒成立，說明 ≥ 恒成立；
（2）填空：己知a、b、c是正實數，由 ≥ 恒成立，
猜測： ≥ 也恒成立；
（3）如圖7，己知AB是半圓O的直徑，點P是弧上異于點A和點B的一點，PCAB，垂足為C，AC=a，BC=b，由此圖說明 ≥ 恒成立.
命制途徑：本題以高中數學“基本不等式”為素材，考查了完全平方公式、相似三角形角形的判定與性質、圓（圓周角）、不等式等知識，考查了歸納、猜想的思維方式，考查了代數推理論證的能力、考查了以形助數的數學思想方法、化歸思想的應用，關注了學生進一步學習的潛能和可持續性發展.
