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關鍵詞：動手操作；理解記憶；靈活應用
圓錐曲線中，橢圓和雙曲線的概念都可以通過動手操作完成，并且操作簡單方便，而拋物線的給出卻不容易，這也是導致教師忽略的原因之一。正是動手操作的缺失，使得學生在遇到運用拋物線定義解題時，不能靈活。
比如下列一組題目：
1.動圓過點（1，0），且與直線x=-1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為________________。
2.若點P到直線y=-1的距離比它到點（0，3）的距離小2，則點P的軌跡方程為________________。
3.設點F為拋物線y2=4x的焦點，A，B，C為該拋物線上三點，若++=，則++=（ ）。
A.9 B.6 C.4 D.3
4.已知拋物線y2=2x的焦點是F，點P是拋物線上的動點，又有點A（3，2），求PA+PF的最小值，并求出點P的坐標。
這些全都是利用拋物線定義來解的題目，有些學生不會，或者感覺很陌生，主要是對定義的由來沒有深刻印象，因為缺少動手操作，缺少親身經歷。人教B版中拋物線定義的給出方式很好，但在實際課堂中常常因為各種原因，沒有讓學生實際操作，造成學生對拋物線的定義只是死記硬背，不會靈活應用。
針對這種現實情況，結合自身的教學實踐，我摸索出了拋物線的定義教學的幾點做法：
一、畫拋物線
讓學生親自畫拋物線，體會定義由來的方法，介紹如下：
1.工具
畫拋物線的圖象，需要借助鉛筆，帶刻度的直尺，圓規。
2.原理
到定直線距離相等的點在一條和定直線平行的直線上，然后從該直線上通過圓規畫弧，找到該直線上到定直線和定點距離相等的兩個點，最后用光滑的曲線將所找到的點連起來，便畫出了一條拋物線。
3.具體做法
（1）為了便于找點，先令定點F到定直線l的距離為2，作直線l1與l的距離為1，以F為圓心，1為半徑畫弧，與l1交于一點P1；然后作直線l2與l的距離為2，以F為圓心，2為半徑畫弧，與l2交于兩點P2，P3；再作直線l3與l的距離為3，以F為圓心，3為半徑畫弧，與l3交于兩點P4，P5；以此類推，作直線l4，l5與l的距離為4，5，以F為圓心，4，5為半徑畫弧，與l4，l5交于點P6，P7，P8，P9等等，然后用光滑曲線聯系起來。
（2）改變定點F到定直線l的距離為4，再畫一遍。
（3）改變定點F到定直線l的距離為ρ，該如何處理？
畫出圖象，再去分析拋物線上的點滿足的幾何條件，給出拋物線的定義，學生易于接受，效果比較好。
二、拋物線標準方程的推導
在拋物線標準方程的推導中，我采取了放給學生，讓學生自己推導的方法。
在教學中，學生給出了三種建系的方法，分別是以K，F及K，F的中點為坐標原點來建系，我把學生分成三組，分別去嘗試推導，然后去比較三種方程形式的特點，最后確定以K，F的中點為坐標原點來建系比較方便和簡潔。
1.以K為坐標原點建系，則F（p，0），l∶x=0，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=0的距離d=x，MF=，由拋物線定義可知x=化簡得：y2=p2-2px。
2.以F為坐標原點建系，則F（0，0），l∶x=-p，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=-p的距離d=x+p，MF=，由拋物線定義可知x+p=，化簡得：y2=p2+2px。
3.以K、F的中點為坐標原點建系，則F（，0），l∶x=-，設拋物線上任意一點M（x，y），則M（x，y）到定直線l∶x=-的距離d=x+，MF=，由拋物線定義可知x+=化簡得：y2=2px。
通過三種不同建系方法下的方程的比較，讓學生明確建系方法不唯一，只是每種建系方法對應于不同的拋物線的方程，根據數學中的簡潔原則，我們選擇了以K，F的中點為坐標原點建立直角坐標系；并且在推導過程中，學生了解了焦點坐標和準線方程都與有關系，而p的含義是焦點到準線的距離；另外也知道了方程中一次項的系數為什么是2p，有助于大家記憶拋物線的標準方程。
三、關于拋物線定義的應用
在應用拋物線定義時，遇到拋物線上的點到焦點的距離，要把它化為到準線的距離，究其原因是我們研究的拋物線的準線都是與坐標軸平行的直線，點到準線的距離比點到焦點的距離好表示，運算起來更加簡便。但是不轉化也可以解決問題，比如求拋物線y2=4x上的點P（3，y0）到拋物線焦點F的距離。
解法一：拋物線的準線方程為x=-1，拋物線y2=4x上的點P（3，y0）到拋物線焦點F的距離即到準線的距離d=3-（-1）=4。
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“算兩次”的解題形式，單教授將其比喻成“三步舞曲”，即從兩個方面考慮一個適當量，“一方面……，另一方面……，綜合起來可得……”。如果兩個方面都是精確的結果，綜合起來得到一個等式；如果至少有一個方面采用了估計，那么綜合起來得到一個不等式?！八銉纱巍辈粌H體現了從兩個方面去計算的解題方法，還蘊涵著換一個角度看問題的轉換思想。向學生介紹“算兩次”的解題應用，能有效地培養學生思維的發散性，使學生體會到數學知識的內在聯系及統一性。它應當成為學生進行再發現、再創造活動的探索方式。本文介紹算兩次原理在高中數學解題中的應用情況，以期引起大家的重視。
一、算兩次與解析幾何
例1 橢圓以正方形ABCD的對角頂點A、C為焦點，且經過各邊的中點，求橢圓的離心率。
評注 如何建立關于a、c的關系式從而求出e呢？在這里線段AM具有雙重身份，可有兩種表達形式，正是表達的多樣性使得“算兩次”有了用武之地。在很多與圖形有關的題目中只要細心尋找諸如AM這樣的量，“算兩次”就有了一展身手的機會。
二、算兩次與向量
評注 本題解決的關鍵是從兩個角度來考慮向量AP。一個角度順其自然（題目已知），一個角度曲徑通幽（隱藏的結論）。教學過程中教師有必要總結提煉出這里的數學方法――算兩次，使學生對問題的解決能力得到進一步提升。
三、算兩次與導數
評注 題中分別利用導數的幾何意義和斜率的坐標公式得到切線的斜率k的兩種算法，建立方程使問題得以解決。數學中一些公式、定義有多種表達形式，正是這些公式、定義表達的多樣性，使得公式、定義的應用具有很強的靈活性。而“算兩次”正是靈活運用、理解公式和定義的一種重要手法。
小議曲線的切線方程 費小林 03，
曲線的切線方程是高考必考的一個重要的知識點。但是，我在教學過程中發現學生求曲線的切線方程時，對曲線的切線的概念理解不透徹，產生漏解和錯解的現象。我們在初中平面幾何中學過圓的切線，它的定義是：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切。此時直線叫做圓的切線，唯一的公共點叫做切點。圓是一種特殊的曲線。它的切線的定義并不適用于一般的曲線。而曲線的切線是通過逼近的方法，將割線趨于確定位置的直線定義為切線。它適用于各種曲線。這種定義才真正反映了切線的直觀本質。一般曲線的切線不象圓的切線，它可以與曲線有兩個公共點。而圓的切線與圓只有唯一的公共點。如果對曲線的定義理解不夠準確，解題時容易產生錯解和漏解的現象。為此我根據自己的教學心得談談曲線切線方程的求法。
一、求曲線上某點處的切線方程
例1 曲線y=2x2+1在點P（-1，3）處的切線方程是
點評 求曲線上某一點處的切線方程時，先根據導數的幾何意義求出切線斜率，再用點斜式寫出直線方程即可。
二、求過曲線上某一點的切線方程
例2 求過點（1，-1）的曲線y=x3-2x的切線方程。
三、求過曲線外的一點的曲線的切線方程
例3 求過點P（3，5），且與曲線y=x2相切的直線方程。
四、算兩次與證明定理
例4 在ABC中，a、b、c分別是三個內角A、B、C所對的邊，證明：csinB=bsinC。
簡證 過點A作ADBC，垂足為D，向量AB、AC在向量AD上的正射影數量，無論∠C是銳角、鈍角還是直角，得到的兩個數量都是相等的。
評注 對于一些等量關系不太明顯的定理證明，“算兩次”思想幫助我們找到了隱藏的等量關系，巧妙地、無中生有地建立了等式。算兩次可用來證明高中數學中的一些定理如正弦定理、余弦定理、兩角和與差的正、余弦公式等。
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例題：求拋物線上與原點距離近的點的坐標。
解析：設所求的點P的坐標為（x，y），
則：|OP|=■=■=■，（x≤3）。
當x=1時，|OP|min=■，此時y=±2，所以點（1，
±2）為所求的點。
設計意圖：從課本中較簡單的習題出發，使學生能參與學習，體現了面向全體的基本原則。教師對解法適當點評后，要求學生考慮該問題的變式。
一、條件由特殊到一般，加深印象
將原題中“到特殊點（原點）的距離”改為“到軸上動點的距離”，這樣使得題目更加一般化，而解法完全相同，從而幫助學生加深解對此類題的印象，將習題條件一般化正是設計變式題的常用方法。
變式1？搖在拋物線y2=6-2x上求一點P，使此點到點A（a，0）距離最短，并求出最短距離。
解析：設所求的點P的坐標為（x，y），
則：|PA|=■=■=■，（x≤3）。
若a≥2時，當x=3時，|OP|min=|a-3|，此時點
P（3，0）；
若a
P（a+1，±■）。
二、變化問題形式，深化概念理解
筆者從教學實踐中體會到：學生如果只會機械地套用解題模式去處理問題的話，思想容易僵化，思維容易呆板。若將問題形式略加變化，引導學生回歸基本概念、基本知識，則會在一定程度上克服機械套用解題模式的思維定式。比如將原題中拋物線上的點“到一個定點的最小距離”變更為“到兩個定點的距離之和最小”，貌似增大了題目的難度――照搬原題的解法會比較難于操作。這時教師指導學生回歸到拋物線的定義解題，讓學生在“山重水復疑無路”之后恍然大悟，體驗到定義帶來的“柳暗花明又一村”，這就使學生產生強烈的認知沖突，從而加深其對基本概念的理解。
變式2 已知點A（1，1），F是拋物線y2=6-2x的焦點，點P是該拋物線上的動點，使求當|PA|+|PF|最小時點P的坐標。
解析：根據拋物線的定義可知，當AP連線與x軸平行時|PA|+|PF|最小，易求得此時P（■，1）。
三、改常規題為探索題，突出逆向思維
在現代課堂教學當中非常重視探索式教學，其中逆向思維探索顯得尤為突出，它能使學生的思維突破傳統習慣的框架。在變式教學中，將原題的條件變為要求的結論、原題的結論變為已知條件，使思維方向逆轉，此舉有利于培養學生的綜合分析能力。
變式3 某拋物線頂點在x軸上，且以直線x=■為準線。如果點（1，0）到此拋物線上的點的最小距離是■，求此拋物線方程。
解析：設存在滿足條件的拋物線，且頂點為（a，0），a≠0，設P（x，y）為拋物線上任一點，若a>■，則拋物線的開口向右，此時|PA|≥a-1>■；
若a
|PA|2=（x-1）2+y2=（x-1）2+（4a-14），
x-a=[x-（8-2a）]2-8a2+46a-63，
①若8-2a
②若8-2a>a即a
綜上所述，所求拋物線方程為y2=6-2x或y2=
（-4■-10）（x-1+■）。
四、改變條件背景，促進知識交匯
在上題中，將定點A（1，0）變成了在某條定直線上運動的動點，徹底改變了題目的條件背景，促成了圓錐曲線與直線知識的交匯。如此處理對激發學生的求知欲、培養他們的知識遷移能力有促進作用。
變式4？搖有一拋物線以（3，0）為頂點，且以x軸為對稱軸。如果動點A滿足直線方程l：3x+4y=12，且到此拋物線上的點的最小距離為■，求此拋物線方程。
解析：由題意知，要求的拋物線必是開口向左，故可設拋物線的方程為y2=-2p（x-3），（p>0），
該拋物線上的點與直線l：3x+4y=12的最小距離為■，可先求出一條直線l′滿足與l平行且與拋物線相切，
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“曲線與方程”這節課是一節承上啟下的內容，既對必修2中解析幾何初步學習進行了延伸，又為后面學習圓錐曲線做好了鋪墊。
二、學情分析
學生在必修2中已經學過直線和圓的方程，體會到了解析幾何的基本方法――坐標法的好處。但沒有從理論的角度探索曲線與方程的關系，表現在求解一些軌跡問題或曲線方程的時候常常出現范圍錯誤的現象。
三、教學重點、難點
重點：曲線的方程和方程的曲線的定義。
難點：運用定義驗證曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。
四、教學目標
1.知識與技能：知道曲線的方程和方程的曲線的定義。給出一些熟悉的曲線的部分圖象后能確定變量的取值范圍。能夠根據所給的方程畫出相應的圖形。
2.過程與方法：讓學生參與教學的全過程，通過對定義的總結與應用，進一步體會數形結合的思想方法。
3.情感態度與價值觀：通過師生互動、生生互動，讓學生在民主、和諧的課堂氛圍中，感受學習的樂趣，提高學生的興趣，增強學生的信心。
五、教學方法
課堂教學中堅持以學生為主體，教師為主導，思維訓練為主線，能力培養為主攻的原則。我采用引導發現、問題引領等方法。
六、媒體資源選用
采用多媒體輔助教學，PPT制作課件，利用天宮一號的視頻來讓學生初步體會曲線與方程的關系。
七、教學流程
為突出重點，突破難點，完成教學目標，我設計的教學流程如下：
首先利用天宮一號的目標飛行器成功發射的模擬動畫，使學生初步體會曲線上的點與方程的解是一一對應的關系，同時體會數學的應用價值。
我引導學生嘗試用自己的語言歸納什么叫曲線的方程，什么叫方程的曲線，在學生自我歸納的基礎上，教師給出標準的定義將其感性認識理性化。
為了幫助學生理解定義，我又從集合、充要條件兩個不同角度進行剖析，也為后面解決問題做好了鋪墊。
為了檢測學生對定義的理解和應用，在習題配備上，我采用了二、二、三的結構。
首先給出兩組練習，并設置問題。接著設置兩道例題，讓學生掌握利用定義判斷及證明方程為曲線的方程。通過師生互動完成例題的證明過程，進一步加深學生對定義的理解，培養學生書面表達的嚴謹和簡潔。
最后，讓學生歸納、總結出本節課所學的主要內容，老師作適當點撥引導，培養學生的概括能力、表達能力和自我獲取知識的能力，并布置課后作業。
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具體到一節課，可以從以下幾個方面入手研讀教材：理解教材整體結構及前后聯系，明確例題的地位和作用，弄清習題和例題的關系.
【案例1】 （人教版）橢圓及其標準方程，在給出了橢圓的定義后，要求根據橢圓的定義求出橢圓的標準方程.
盡管課本已歸納了求曲線方程的幾個步驟：
① 建立適當的坐標系，用有序實數對如(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標；
② 根據題意，寫出適合條件P的點M的集合PM|P（M）；
③ 用坐標表示條件P（M），列出方程f(x,y)=0；
④ 化方程f(x,y)=0為最簡形式；
⑤ 證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
但在此學生剛接受了橢圓的定義，求圓錐曲線的方程對學生來說是陌生的，有一定的難度.筆者認為在給出了橢圓的定義后可以安排下面這樣一個例題，一方面熟悉求曲線方程的知識，另一方面，可為求橢圓的一般方程做一個過渡.
【例1】 平面上兩個定點F1、F2的距離為10，動點M到兩個定點F1、F2距離之和為26.（1）判斷動點M的軌跡；（2）求動點M的軌跡方程.
解：（1）動點M到定點F1、F2的距離之和為常數26，故M點的軌跡為橢圓.
（2）求動點M的軌跡方程.
①以F1F2所在直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設M點的坐標為(x,y)；
②M點滿足的條件為|M F1|+|M F2|=26；
③用坐標表示M點滿足的條件即為
（x+5）2+y2+(x-5)2+y2=26;
④化簡上式變形為
(x+5)2+y2=26-(x-5)2+y2
，兩邊平方整理得
(x-5)2+y2=13-513x，兩邊再平方得
x2-10x+25+y2=132-10x+(513x)2，整理得x2132+y2122＝1，
即x2169+y2144=1.
⑤證明（略）.
在此，求曲線的方程、化簡曲線的方程對學生來說都是比較陌生，比較困難的，盡管在課本（人教版）P106安排了化簡含根式的方程的習題，在此筆者認為安排下面這樣一個例題是必要的.
下面再由具體到抽象，從特殊到一般，可以按照教材的安排求出橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
為了進一步熟悉求曲線的方程，以下可安排學生自己練習，當橢圓的焦點坐標為F1（0，-c）, F2（0，c）,橢圓上的點到兩焦點的距離為2a時，橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
【案例2】 在課本（人教版）的習題中，6，7兩題又在求橢圓的標準方程的基礎上加大了難度，增強了解決問題的技巧性.為了解決這些問題，培養學生的解題技能，對教材進行拓展和延伸是非常必要的，在此筆者對例2進行如下的拓展延伸.
【例2】 已知B、C是兩個定點，|BC|=6，ABC的周長等于16，P1、P2為ABC底邊的BC上的中線OA的兩個三等分點，求點P1的軌跡方程.
解：①以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設P1的坐標為(x′,y′).
②要求寫出P1的坐標(x′,y′)滿足的條件（難點），在此x′,y′兩個變量沒有直接的聯系，但我們看能不能把x′,y′與A點的坐標x,y聯系起來.P1為OA的一個三等分點，由圖可得，x′x=23,y′y=23，從而有x=32x′,y=32y′，A點的坐標x、y之間有對這兩個概念的理解，收到了較好的教學效果.充分尊重學生的主體地位，通過數學教學，在獲取數學知識的同時，讓學生主動學習自行獲取數學知識的方法，培養主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學能力、創造能力和社會活動能力.
二、激發學生思維促使學生全面發展
每個學生都渴望獲得成功，都想要證明自己的的價值.但又并非每一個人都能獲得成功，表現自己.如何才能使學生在學習數學活動的過程中獲得成功？這里就需要發揮教師的作用.教學實踐證明，精心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與.增強學生的愉快情緒和探索興趣.運用設問、提問、實驗等方式，創設激感，創設一定的問題情境，來調動學生思維活動的積極性和主動性.教師要從學生的學習能力出發，從學生的知識水平出發，結合平常的教學活動的每一個細節因勢利導，設置多個臺價，分步到位，化難為易，為每個學生創造成功的機會.如我在講“眾數和中位數”時，首先是對學生的家長工作進行調查，對鞋店、成衣店的家庭學生提出問題：每天經營下班時你爸媽最關心店里的問題是什么？回答是多種多樣，五花八門的.接著我又問：如果你是鞋店的老板，要想獲得最好的效益，下次怎樣進貨？你最關心的問題是什么？這時激發和啟發學生活躍思維.對眾數和中位數概念的理解收到了良好的效果.我在講：線段AC和BC在一條直線上，E、F分別是AC、BC的中點，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，求EF的長時，將原來的一問改為兩問；（1）求EC、CF的長，這一問題比較簡單，只要根據中點定義，就可求出，把這一問題交給學習有一定困難的學生，使他們嘗到成功的喜悅，增強學習的積極性，同時也為下一問題目提供思考的“階梯”.（2）求EF的長，由于題中沒有畫圖，點B的位置不固定，先由學生分組討論得出，可能出現兩種情況：①點B線段AC上，這時EF=EC-FC，②點B在線段AC的延長線上，這時EF=EC+FC，這一問題情境的設計，有利于學生活躍思維，培養創新精神和創新能力，有利于學生真正成為學習主體，有利于個性品質的形成和發展.讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣選擇不同的教學并得到發展，能力較強者能夠積極參與數學活動，有進一步的發展機會；能力較低者也能參與數學活動，完成一些特殊的任務.這個過程也體現了教學目標的多元整合性.使學生可以全面發展.
三、重視培養發散性思維確保其參與教學活動的持續的熱情
發散思維即求異思維，是創造性思維中重要的組成部分，是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層
次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法.發散思維具有流暢性，變通性和獨特性等特點，即思考問題時注重多途徑，多方案，解決問題時注重舉一反三，觸類旁通.通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情.因此，正確培養和發展學生的發散思維，對造就創造型人才，至關重要.
線上教學定義范文6
在初中數學中，幾何知識是教學的重點和難點，很多學生對幾何內容敬而遠之。筆者分享兩個幾何問題設計的案例。
案例1：已知如圖1，線段AB、CD相交于O，連接AD、CB，請寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系，并說明理由。
解答：解：在AOD中，∠AOD=180°-∠A-∠D，
在BOC中，∠BOC=180°-∠B -∠C，
∠AOD=∠BOC（對頂角相等），
180°-∠A -∠D=180°-∠B -∠C，
∠A+∠D=∠B+∠C；
如果把形如圖1的圖形稱之為“對頂三角形”。那么在這一個簡單的圖形中，筆者循序漸進的設計了九個問題，現分享如下：
（1）仔細觀察，在圖2中“對頂三角形”有幾個？
（2）在圖2中，若∠D=46°，∠B=30°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N，利用原題中的結論，試求∠P的度數。
（3）如果圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系？
（4）如圖3所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=？
（5）如圖4，若∠B=50°，∠D=32°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，求∠M的度數。
（6）如圖5，設∠B=x°，∠D=y°，∠BAM=∠BAD，∠BCM=∠BCD，用含n、x、y的代數式表示∠M的度數。
（7）如圖6，點E在BA的延長線上，∠DAE的平分線和∠BCD的平分線交于點N，求∠ANC度數。
（8）如圖7，點E在BA的延長線上，點F在BC的延長線上，∠DAE的平分線和∠DCF的平分線交于點P，請直接寫出∠APC 的度數。
案例2：如圖1，O是ABC內一點，且BO，CO分別平分∠ABC，∠ACB。
（1）若∠ABC=80°，∠ACB=60°，求∠BOC的度數。
（2）若∠A=40°，求∠BOC的度數。
（3）若∠A=α，用含α的代數式表示∠BOC。
分析：（1）根據角平分線的定義得到∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出∠BOC的值；
（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出∠BOC的度數；
（3）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理求出∠OBC+∠OCB的值，再利用三角形的內角和定理求出
。
為拓寬、拓深學生的思維，鞏固所學知識，此題可以有如下幾種變式：
變式1：如圖2，若BO，CO分別平分ABC的兩個外角，試探索∠BOC與∠ABC的數量關系。
分析：分別作∠ABC、∠ACB的平分線交于點G，這樣就可以應用原題中第三問的結論了。證明如下：
BG、CG分別平分∠ABC、∠DBC
∠ABC+∠DBC=180°
∠GBO=90°
同理可得∠GCO=90°
∠GBO+∠GCO+∠G+∠O=360°
∠G+∠O=180°
由第三問結論可知：∠G=90°+（∠A/2）
∠O=180°-（90°+（∠A/2））
=90°-（∠A/2）
變式2：如圖3，若BO，CO分別平分ABC一個內角和一個外角，交于點O，你能探索出∠O與∠A之間的數量關系嗎？試試看。
分析：和變式1一樣，可以作∠ACB的平分線與∠ABC的平分線交于點H，也可以利用原題中的結論了。
將圖1、2、3糅合到一個圖上，此類題型就得到一個升華，可以找出∠1、∠2、∠3、∠4之間的相互關系等題型。
