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高考重點數學知識點范文1
第一、遺忘空集是任何非空集合的真子集，因此對于集合B，就有B=A、φ≠B、B≠φ三種情況出現。在實際解題中，如果考生思維不夠縝密，就有可能忽視第三種情況，導致結果出錯。尤其是在解含有參數的集合問題時，要充分注意當參數在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況?？占且粋€特殊集合，考生因思維定式遺忘集合導致結果出錯或不全面是常見的錯誤，一定要倍加當心。
第二、忽視集合元素的三性集合元素具有確定性、無序性、互異性的特點，在三性中，數互異性對答題的影響，尤其是帶有字母參數的集合，實際上就隱含著對考生字母參數掌握程度的要求。在考場答題時，考生可先確定字母參數的范圍，再一一具體解決。
第三、四種命題結構不明若原命題為“若 A則B”，則逆命題是“若B則A”，否命題是“若A則B”，逆否命題是“若B則A”。這里將會出現兩組等價的命題：“原命題和它的逆否命題等價”，“否命題與逆命題等價”?？忌谟龅健坝赡骋粋€命題寫出其他形式命題”的題型時，要首先明確四種命題的結構以及它們之間的等價關系。
在否定一個命題時，要記住“全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題”的規律。如對“a，b都是偶數”的否定應該是“a，b不都是偶數”，不是“a ，b都是奇數”。
第四、充分必要條件顛倒兩個條件A與B，若A=>B成立，則A是B的充分條件，B是A的必要條件;若B=>A成立，則A是B的必要條件，B是A的充分條件;若AB，則AB互為充分必要條件。考生在解這類題時最容易出錯的點就是顛倒了充分性與必要性，一定要根據充要條件的概念作出準確的判斷。
第五、邏輯聯結詞理解不準確
在判斷含邏輯聯結詞的命題時，考生很容易因理解不準確而出錯。小編在這里給出一些常用的判斷方法，希望同學們牢牢記住并加以運用。
p∨q真p真或q真，p∨q假p假且q假(概括為一真即真);
p∧q真p真且q真，p∧q假p假或q假(概括為一假即假);
p真p假，p假p真(概括為一真一假)。
函數與導數
第一、求函數定義域題忽視細節函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數的定義域。
在求一般函數定義域時，要注意以下幾點：分母不為0;偶次被開放式非負;真數大于0以及0的0次冪無意義。函數的定義域是非空的數集，在解答函數定義域類的題時千萬別忘了這一點。復合函數要注意外層函數的定義域由內層函數的值域決定。
第二、帶絕對值的函數單調性判斷錯誤帶絕對值的函數實質上就是分段函數，判斷分段函數的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間，然后對各個段上的單調區間進行整合;第二，畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函數題離不開函數圖象，而函數圖象反應了函數的所有性質，考生在解答函數題時，要第一時間在腦海中畫出函數圖象，從圖象上分析問題，解決問題。
對于函數不同的單調遞增(減)區間，千萬記住，不要使用并集，指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。
第三、求函數奇偶性的常見錯誤求函數奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函數定義域或忽視函數定義域，對函數具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數奇偶性判斷方法不當等等。判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域區間關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶的函數。在定義域區間關于原點對稱的前提下，再根據奇偶函數的定義進行判斷。
在用定義進行判斷時，要注意自變量在定義域區間內的任意性。
第四、抽象函數推理不嚴謹很多抽象函數問題都是以抽象出某一類函數的共同“特征”而設計的，在解答此類問題時，考生可以通過類比這類函數中一些具體函數的性質去解決抽象函數。多用特殊賦值法，通過特殊賦可以找到函數的不變性質，這往往是問題的突破口。
高考重點數學知識點范文2
關鍵詞：高考；高三復習；數學知識點；有效性
近年來，我國中學教育有了翻天覆地的大變化、大發展、大進步，全民的知識素養也有了前所未有的提高. 高三復習工作也從無到有，從有到精，發展到復習模式的標準化、系統化、完備化，形成中國中學教育的一個鮮明的特色. 現在，作為一名常年在高三指導學生數學復習工作的數學教師，都在高三數學復習計劃上執行著一個不成文但約定俗成的程序化的流程，即高三數學的一輪、二輪、三輪復習. 同時，在檢驗我們復習效果的措施上，絕大部分省市都會在幾個城市之間或者地區之間在高考前的三月、五月組織一模、二模，甚至三?？荚? 我們的高三學生和高三教師經過高三這一年像上述模式化的學習和工作后，在高考結束后隨之到來的成功與成就的體驗后，又都伴隨著同一個感覺：累、枯燥. 這一負面的感受折射出我們的高三數學復習教學到底有多少是有效的，值得我們教師去研究、反思.
[?] 知識重現的有效性
現在全國有10多個省份在實施新課程改革，我們江蘇省的新課程改革已經進入到了第八屆高中學生（新高一），江蘇省的新課程下的新高考也已進行了七屆（2008年～2014年）. 數學新高考在知識內容、試卷結構、試題功能上和以往的老高考有了很大的變化和發展，但是在試卷的形制、命題的模式上并沒有發生很大的變化. 江蘇新高考中，文、理第Ⅰ卷合卷有20個試題，14個填空題、6個解答題，理科加試第Ⅱ卷，4個解答題. 本人統計了近幾年來新課改省份的數學高考試卷，發現數學高考所涉及的數學知識點細化到數量一般為80個左右，而一個高中生在高中三年的數學學習中所需要掌握的數學知識總量是多少呢？如果將我們的高中數學教材中所涉及的數學內容也細化到知識點數量，筆者粗略統計了一下，大約是800多個（不包括理科附加部分）. 從這個數據，讀者可以清晰地發現，要在一張數學高考試卷的20個試題中來全面呈現800多個數學知識點是不現實、不可能的. 因為學習的知識點與考查的知識點的比例高達10∶1. 下面，我們再來看一組數據.
高考試卷（江蘇?。┑念}目數量是20個恒定的. 我們的學生在高中三年中又做了多少個數學題目呢？我們可以這樣計算，一個高中生一天做10個數學題目（算是比較懶惰的學生），三年我們算學習時間1000天，那就有10000道（其實大家都知道現實情況遠遠超出這個數量）. 10000∶20=500∶1，這已經是一個很驚人的比例了.
以上兩組數據說明什么問題呢？問題就是高三復習過程中的數學知識點重現的有效性. 第一組數據說明了數學高考對所學數學內容進行知識點考查時有重點、對數學思想方法考查有傾向性.
[?] 近五年江蘇省高考試卷所涉及知識點分布的統計分析
首先，我們來分析近五年（2010～2014）江蘇省高考填空題命題所涉及數學知識點的重點方向. 讀者可以仔細閱讀這五年的試題分析，從14個填空題的知識點中對比后可以很清晰地看到，五年新高考考查的14個填空題所涉及的知識點分布是基本一致的. 新教材在教學內容上增加了概率、導數、統計、算法、復數、推理、向量七部分應用類數學的核心內容，在五年新高考中均有涉及，且在填空題中都有分布，體現出新課程理念比較注重數學應用，對于不同于以往老教材的教學內容是高考考查的必備考點. 這說明，平時我們在新課教學上就應重視這部分新增教學內容，深刻理解這部分內容并非是大學中高等數學內容的簡單下放，而是新課程所倡導的“數學生活化”、“數學應用化”、“數學大眾化”理念的推行，旨在學生在學習過程中體驗數學改造生活的作用，數學推動社會科技發展的力量.
再從解答題考查的知識點來分析，讀者不難發現解答題的命題設置還是比較穩定的，繼承了中學數學中的經典數學內容，但是，在考查解答題所需的數學工具、數學思想方法以及呈現知識點所要借助的載體上呈現出在保持穩定的前提下逐步靈活多樣的趨勢. 在同一知識模塊的考查上，命題時既考慮到知識點、數學工具、思想方法的選擇，也考慮到試題出現位置的變化，體現出新課改的命題在注意保持穩定性的同時又避免死板造成八股形制，這說明我們的課改并不是摒棄一切舊的東西，而是繼承經典，傳承發展，對于數學中經典的數學工具、數學思想還是始終滲透在我們的新課程教學中.
最后我們來看看理科學生的四十分附加分：由于附加題加試時間僅為30分鐘，命題所受的局限性會比第Ⅰ卷大，因為內容要涉及選修2系列和選修4系列的多章內容，命題確實有著很大的難度. 從知識點的分布可以看出，這五年的試題內容的選擇已經做到了選修2系列和選修4系列的全覆蓋，在難度上基本保持一致. 選做題考查基本知識，必做題考查學生的能力.
通過上述分析，第一組數據要陳述的觀點是：高三復習的本質是知識的重現，要讓學生在復習過程中逐步提高，就必須提高所復習內容知識重現的有效性，而提高這一有效性的重要方法就是我們教師要吃透考綱重點，通俗地講就是要會“押寶”，當然這里的“押寶”不是“押題”而是“押方向、押重點”，以此提高復習的有效性.
第二組數據又說明什么呢？許多高三學生都有一個錯誤的認識：我平時做過的試題高考是不會出現的. 包括我們教師本身也有這方面狹隘的理解. 而通過第二組數據，筆者要對高三學生大聲疾呼：“高考試題就是我們平時做過的試題，尤其是我們曾經做錯的題目. ”很明顯，高考的20個試題不是空中樓閣，它就來自于我們學生所付出的10000個題目，只不過，呈現知識點的載體有所變化而已. 因此，在高三復習階段，如何發揮選用例題、習題、試題的功能和有效性十分重要. 而且，要重視學生錯例的整理、再現工作，而不是盲目、簡單機械、重復地做一套又一套的模擬試卷.
[?] 時間分配的有效性
還是來看數據，高考數學應試時間是2個小時（不算理科附加），也就是說，學生在展示自身數學素養與能力高低上也就是這2小時，而我們的學生高中數學學習的時間總量是多少呢？至少1000小時，每天1小時（包括數學課的40分鐘），也算1000天吧. 學習時間：一錘定音的考試時間=500∶1，又是500∶1. 這無論對于學生還是教師來說壓力是很大的，長期的學習而積累下的成果要在2個小時內得以體現，需要合理地安排數學知識的學習時間量與復習的分配，要提高學習與復習時間的有效性. 現在，我們高中數學教學時間安排的通常做法是：高一學完必修1、3、4、5，高二學完必修2，選修系列，高三一年復習. 這樣就造成高中階段的800多個數學知識點有近600個分配在高一，而高考所涉及的數學內容在比例上有接近65%的分值是高一所學的內容. 這樣帶來的問題是，雖然我們有高三一年充裕的時間去復習，但是由于高一的教學任務過于緊迫，造成學習時間與復習時間分配的有效度不高. 高一的新授知識學生掌握并不牢固，到了復習階段使得復習與新授內容的界限很模糊，而且復習時間過長，學生容易出現疲勞感和所謂的“高原期”，降低了復習提高的效率. 因此，必須提高時間分配的有效性，應該適當減輕高一的教學任務，在新授課的時間分配上傾斜一點，壓縮一下高三的復習時間分配，這樣效果會更好.
[?] 考前模擬的有效性
高考重點數學知識點范文3
關鍵詞： 新課改 高中數學 立體幾何 有效教學 教學策略
為了有效提高學生對這部分知識的接受與掌握能力，教師需要根據新課改要求采取相應教學策略。
一、大力培養學生立體幾何的空間立體感
高中數學立體幾何部分知識點的難度雖然不像導數那么高，但是同樣給學生帶來了不小的困擾。因為學生從小接觸到的幾何知識大部分都是在同一份平面內的，如線段、直線、角度及封閉圖形等。但是高中數學立體幾何與它們不同，這是一門專門研究三維空間中圖形的學問，學生在學習過程中由于沒有良好的空間立體感，感到學習壓力較大。教師在實際的高中數學立體幾何教學過程中首要的教學任務即幫助學生培養良好的立體幾何空間立體感。這種教學策略一方面從根本上解決了學生感到學習壓力大的癥結，幫助他們不斷提高學習高中數學立體幾何的能力。另一方面學生良好的空間立體感可以為今后更高層次的旋轉變化、鏤空設計等學習奠定扎實的基礎。為了有效提高學生立體幾何的空間立體感，教師可以從引導學生觀看空間立體圖形并畫出其三視圖做起，如長方體與正方體。學生在不斷的觀察與畫圖之中，逐漸提高空間立體感。
二、重視基礎立體幾何公理與定理教學
實際高中數學立體幾何教學過程中為了提高學生空間立體感，可以從觀看簡單立體幾何三視圖入手。為了提高學生立體幾何知識的運用水平，教師還要重視基礎立體幾何公理與定理教學。這種新式教學方法一方面可以有效幫助學生理清每一個公理與定理之間的關系，達到有效提高立體幾何知識水平的目的。另一方面這種重視基礎的教學方法還可以使學生對高中數學立體幾何知識有進一步的認識與掌握，從而完善基礎立體幾何知識體系。如教師教授學生公理三（判定若干點共面的依據）：經過不在同一直線上的三個點，有且只有一個平面。當學生對此公理有了一定的認識之后，教師可以趁熱打鐵地教授他們相關定理推論：（1）經過一個直線與不在這條直線上的任意一點，有且只有一個平面；（2）經過兩條相交直線，有且只有一個平面。教師通過使用“點在線上，線在面內”的推論思想，幫助學生理清公理三與其推論定理之間的關系，從而達到完善自身高中數學立體幾何知識體系的目的。
三、開展平面幾何到空間立體幾何的引導教學
高中階段立體幾何教學不僅需要學生擁有良好的空間立體感，還要求他們理清繁多且復雜的公理與定理之間的關系，最終達到提高學生立體幾何學習能力的目的。為了進一步加深學生對高中數學立體幾何知識的認識，教師還可以開展平面幾何到空間立體幾何的引導教學。因為學生通過小學與初中平面幾何數學知識的學習，已經擁有了一定的知識基礎。同時平面幾何與空間立體幾何之間存在較強的聯系性，可以很好地通過類比推理學習，以此幫助學生接受相關的空間立體幾何知識。這種新式的教學方法一方面通過類比推理學習方法有效降低了空間立體幾何知識的學習難度，從而幫助學生更好地理解了相關內容。另一方面教師使用的平面幾何知識還能讓學生產生親切感，大大激發他們的學習熱情，最終達到提高學生課堂學習效率的目的。如學習“空間中平面與平面之間的平行傳遞定理”的時候，教師為了幫助學生更好地理解立體幾何知識點，可以首先引導學生回憶之前學習過的“平面內直線與直線之間的平行傳遞定理”：已知平面內存在一組平行線，如果現有一線直線平行于這組平行線中的任意一條直線，那么相應的這條直線一定平行于另外一條直線。然后教師幫助學生進行推理類比學習相關面面平行傳遞性：已知空間內存在一組平行平面，如果現有一個平面平行于這組平行平面中的任意一個平面，那么相應的這個平面一定平行于另外一個平面。教師采用的類比推理學習方法不僅有效降低空間立體幾何知識的學習難度，而且達到鞏固與復習學生原有數學幾何知識點的目的。
四、解題過程中空間幾何向量的熟練使用
高中數學立體幾何題目一直都是歷年高考的必考題目之一，所以教師在實際教學過程中應該著重教授學生基本解題技巧?？臻g幾何向量同傳統解題方法相比更具便捷性，所以空間幾何向量的熟練使用可以有效幫助學生理解題意并快速解答問題，從而達到提高解題效率的目的?？臻g幾何向量的使用還使得學生的解題過程變得規范化，便于閱卷教師快速找到該題的得分點，最終對他們高中數學考試成績的提高奠定扎實的基礎。以下為一道具體的高中數學立體幾何解題過程，可供教師進行教學參考：
教師在實際高中數學立體幾何教學過程中為了幫助學生掌握這一部分重點數學知識，可以采用培養空間立體幾何感、重視基礎公理與定理教學、類比推理學習空間幾何知識及空間向量的實際使用等多種具體教學方法達到目的。學生通過教師全方位的立體幾何教學，最終達到完善自身立體幾何知識體系的目的。
參考文獻：
[1]郭明旺.新課改高中立體幾何教學研究[J].高中數理化，2014（08）.
高考重點數學知識點范文4
高考考試說明（文科數學）對概率部分的要求是：
（1）事件與概率：①了解隨機事件發生的不確定性和頻率的穩定性，了解概率的意義，了解頻率與概率的區別；②了解兩個互斥事件的概率加法公式。
（2）古典概型：①理解古典概型及其概率計算公式；②會用列舉法計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率。
（3）隨機數與幾何概型：①了解隨機數的意義，能運用模擬方法估計概率；②了解幾何概型的意義。
所以概率部分的主要考點有：（1）隨機事件的概率；（2）古典概型；（3）隨機數與幾何概型。而且，考試說明里的每一個要求部分都有可能是命題的來源，包括熱點，也包括冷點。
二、考情分析
概率在高中新課程中，有一定的知識容量，概率（含統計）授課時數多，是高中六大主干知識之一，在高中新課程中有著突出的地位，高考對本塊知識的考查力度也是較大的，從近幾年新課程的高考試題來看，概率統計一般是1+1的模式，一大一小。幾何概型是高考一個新的熱點，并且它是一個重要的知識交匯點，通常會把幾何概型與線性規劃、解析幾何以及其他數學知識綜合起來進行考查，且重點考查“長度型”和“面積型”，主要以填空題、選擇題的形式出現，試題難度為中、低檔，所占分值為5分左右。古典概型是考查的熱點，經常在解答題中與統計一起考查，屬中、低檔題，以考查基本概念為主，同時注重運算能力與邏輯推理能力的考查。近年來，背景新穎、知識交匯的題目越來越多，穿插考查合情推理能力和逆向思維能力等，難度可能有所提升，考生應有心理準備。下面以近幾年的新課程高考卷或模擬卷為例，對核心知識點的考查舉例說明。
我喜歡純粹的東西，我不喜歡酒里摻水。我也這樣對待我的生活。――杜尚
我們看似掌握一切，事實上卻可能會被任何一種力量擊倒。――戴維?羅特科普夫
三、核心考點例題分析
1考查隨機事件的概率
【例1】 甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是對立事件，那么（ ）
A甲是乙的充分條件但不是必要條件
B甲是乙的必要條件但不是充分條件
C甲是乙的充要條件
D甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
【解析】 若A∩B為不可能事件（A∩B=），那么稱事件A與事件B互斥；若A∩B為不可能事件，且A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件。因此，互斥不一定對立，對立一定互斥，即甲是乙的必要條件但不是充分條件。選B。
【點評】 概念是思維的細胞，是知識，也是解題的基礎，應掌握好。
【例2】現有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1、A2、A3通曉日語，B1、B2、B3通曉俄語，C1、C2通曉韓語，從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組。
（1）求A1被選中的概率；
（2）求B1和C1不全被選中的概率。
【解析】 （1）從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結果組成的基本事件空間Ω={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2），（A2，B1，C1），（A2，B1，C2），（A2，B2，C1），（A2，B2，C2），（A2，B3，C1），（A2，B3，C2），（A3，B1，C1），（A3，B1，C2），（A3，B2，C1），（A3，B2，C2），（A3，B3，C1），（A3，B3，C2）}共18個基本事件組成。由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發生是等可能的。用M表示“A1恰被選中”這一事件，則
M={（A1，B1，C1），（A1，B1，C2），（A1，B2，C1），（A1，B2，C2），（A1，B3，C1），（A1，B3，C2）}，
事件M由6個基本事件組成，因而P（M）=618=13
（2）用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件N表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于N={（A1，B1，C1），（A2，B1，C1），（A3，B1，C1）}，事件N由3個基本事件組成，所以P（N）=318=16，由對立事件的概率公式得：
P（N）=1-P（N）=1-16=56
【點評】 正面考慮“B1、C1不全被選中”這一事件的情況比較多，其反面“B1、C1全被選中”容易求，所以用對立事件的概率公式即能化難為易，化繁為簡。
【變式訓練1】 （2013?新鄉模擬）一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球。從中隨機取出1球，求：
（1）取出1球是紅球或黑球的概率；
（2）取出1球是紅球或黑球或白球的概率。
【解析】 方法一：（利用互斥事件求概率）記事件A1={任取1球為紅球}，A2={任取1球為黑球}，A3={任取1球為白球}，A4={任取1球為綠球}，
則P（A1）=512，P（A2）=412，P（A3）=212，P（A4）=112，
根據題意知，事件A1、A2、A3、A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得
（1）取出1球為紅球或黑球的概率為
P（A1∪A2）=P（A1）+P（A2）=512+412=34
（2）取出1球為紅球或黑球或白球的概率為
P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=512+412+212=1112
方法二：（利用對立事件求概率）
（1）由方法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為
P（A1∪A2）=1-P（A3∪A4）=1-P（A3）-P（A4）=1-212-112=34
（2）因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，
所以P（A1∪A2∪A3）=1-P（A4）=1-112=1112
【變式訓練2】 某城市有甲、乙兩種報紙供居民們訂閱，記事件A為“只訂甲報紙”，事件B為“至少訂一種報紙”，事件C為“至多訂一種報紙”，事件D為“不訂甲報紙”，事件E為“一種報紙也不訂”。判斷下列每對事件是不是互斥事件；如果是，再判斷它們是不是對立事件。
（1）A與C；（2）B與E；（3）B與D；（4）B與C；（5）C與E
【解析】 （1）由于事件C“至多訂一種報紙”中有可能“只訂甲報紙”，即事件A與事件C有可能同時發生，故A與C不是互斥事件。
（2）事件B“至少訂一種報紙”與事件E“一種報紙也不訂”是不可能同時發生的，故B與E是互斥事件。由于事件B發生可導致事件E一定不發生，且事件E發生也會導致事件B一定不發生，故B與E還是對立事件。
（3）事件B“至少訂一種報紙”中有可能“只訂乙報紙”，即有可能“不訂甲報紙”，即事件B發生，事件D也可能發生，故B與D不是互斥事件。
（4）事件B“至少訂一種報紙”中有這些可能：“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”、“訂甲、乙兩種報紙”，事件C“至多訂一種報紙”中有這些可能：“一種報紙也不訂”、“只訂甲報紙”、“只訂乙報紙”，由于這兩個事件可能同時發生，故B與C不是互斥事件。
（5）由（4）的分析，事件E“一種報紙也不訂”是事件C的一種可能，故事件C與事件E有可能同時發生，故C與E不是互斥事件。
2考查古典概型
【例3】（2013年高考江西卷，文4）集合A={2，3}，B={1，2，3}，從A，B中各取任意一個數，則這兩數之和等于4的概率是
A23 B13 C12 D16
【解析】 從A，B中各取任意一個數，共有6種滿足兩數之和等于4的有（2，2），（3，1）兩種，所以兩數之和等于4的概率是26=13，選C。
重要的是與世界保持距離，不再觀察本來的世界，而是幻想他它，并在幻想中自得其樂。――皮埃爾?瑪里
盡管堅強勇敢吧。那才是路。隨便什么事都要敢作敢為。要有大勇，敢于被人所愛。要勝于尋常男女。――舍伍德?安德森
【例4】甲、乙二人用4張撲克牌（分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4）玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張。
（1）設（i，j）分別表示甲、乙抽到的牌的牌面數字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況；
（2）若甲抽到紅桃3，則乙抽到的牌面數字比3大的概率是多少？
（3）甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，則甲勝，反之，則乙勝。你認為此游戲是否公平，說明你的理由。
【解析】 （1）甲、乙二人抽到的牌的所有情況（方片4用4′表示，其他用相應的數字表示）為（2，3），（2，4），（2，4′），（3，2），（3，4），（3，4′），（4，2），（4，3），（4，4′），（4′，2），（4′，3），（4′，4），共12種不同情況。
（2）甲抽到紅桃3，乙抽到的牌的牌面數字只能是2，4，4′，因此乙抽到的牌的牌面數字比3大的概率為23。
（3）甲抽到的牌的牌面數字比乙大的情況有（3，2），（4，2），（4，3），（4′，2），（4′，3），共5種，故甲勝的概率P1=512，同理乙勝的概率P2=512因為P1=P2，所以此游戲公平。
【點評】 本題屬于求較復雜事件的概率，關鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉化為概率模型，聯想擲骰子試驗，把紅桃2、紅桃3、紅桃4和方片4分別用數字2，3，4，4′表示，抽象出基本事件，把復雜事件用基本事件表示，找出總體I包含的基本事件總數n及事件A包含的基本事件個數m，用公式P（A）=mn求解。解題時要注意題目中“紅桃4”與“方片4”屬兩個不同的基本事件，應用不同的數字或字母標注，還要注意“抽出的牌不放回”對基本事件數目的影響。
【變式訓練3】（2012高考江西卷，文18）如圖，從A1（1，0，0），A2（2，0，0），B1（0，1，0，）B2（0，2，0），C1（0，0，1），C2（0，0，2）這6個點中隨機選取3個點。
（1）求這3點與原點O恰好是正三棱錐的四個頂點的概率；
（2）求這3點與原點O共面的概率。
【解析】 （1）總的結果數為20種，則滿足條件的種數為2種所以所求概率為220=110。
（2）滿足條件的情況為（A1，A2，B1），（A1，A2，B2），（A1，A2，C1），（A1，A2，C2），（B1，B2，C1），（B1，B2，C2），所以所求概率為620=310
【變式訓練4】（2013?北京朝陽二模）高三年級進行模擬考試，某班參加考試的40名同學的成績統計如下：
分數段[70，90）[90，100）[100，120）[120，150]
人數5a15b
規定分數在90分及以上為及格，120分及以上為優秀，成績高于85分低于90分的同學為希望生。已知該班希望生有2名。
（1）從該班所有學生中任選一名，求其成績及格的概率；
（2）當a=11時，從該班所有學生中任選一名，求其成績優秀的概率；
（3）從分數在（70，90）的5名學生中，任選2名同學參加輔導，求其中恰有1名希望生的概率。
【解析】 （1）設“從該班所有學生中任選一名，其成績及格”為事件A，則P（A）=40-540=78所以從該班所有學生中任選一名，其成績及格的概率為78
（2）設“從該班所有學生中任選一名，其成績優秀”為事件B，則當a=11時，成績優秀的學生人數為40-5-11-15=9，所以P（B）=940所以當a=11時，從該班所有學生中任選一名，其成績優秀的概率為940
（3）設“從分數在（70，90）的5名學生中，任選2名同學參加輔導，其中恰有1名希望生”為事件C記這5名學生分別為a，b，c，d，e，其中希望生為a，b。從中任選2名，所有可能的情況為ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de，共10種。其中恰有1名希望生的情況有ac，ad，ae，bc，bd，be，共6種。所以P（C）=610=35所以從分數在（70，90）的5名學生中，任選2名同學參加輔導，其中恰有1名希望生的概率為35
3考查隨機數與幾何概型
【例5】（2013年高考湖南卷，文9）已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使APB的最大邊是AB”發生的概率為12，則ADAB=（ ）
A12B14C32D74
【解析】 如圖，設AB=2x，AD=2y
由于AB為最大邊的概率是12，則P在EF上運動滿足條件，且DE=CF=12x，即AB=EB或AB=FA
所以AB2=AF2=AD2+DF2，又DF=32x，
2x=（2y）2+32x2，即4x2=4y2+94x2，
即74x2=4y2，y2x2=716
yx=74又ADAB=2y2x=yx=74，故選D
【點評】 本題考查幾何概型，以及逆向推理能力?？梢?，幾何概型的考查已呈多樣化。
【例6】 一只螞蟻在邊長分別為5，6，13的三角形區域內隨機爬行，試求其恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率。
【解析】 由題意，畫出示意圖（如圖所示）
在ABC中，由余弦定理，
得cosB=62+52-（13）22×6×5=45
于是sinB=1-cos2B=1-452=35
所以SABC=12×5×6×35=9
又圖中陰影部分的面積為ABC的面積減去半徑為1的半圓的面積，
即為S陰影=9-π2，所以螞蟻恰在離三個頂點距離都大于1的地方的概率為P=9-π29=1-π18
有些事情你就是不想讓別人知道。不是因為它們是壞事，你就是想讓它們成為秘密。有那么兩三件事，即使是你們，我也不會說的。――卡森?麥卡勒斯
人的痛苦連過三次當然是種不幸，可是誰也沒有想過，快樂重溫三次，也是一種悲哀。――安伯托??？?/p>
【點評】 幾何概型與其它知識的交匯（向量，算法，數列等），是命題的一個創新點。本題融入了解三角形的知識，以及整體補形的技巧（三個小扇形的面積等于一個半圓的面積），這個小技巧幫你快速求解。
【變式訓練5】（2009年福建卷，理8）已知某運動員每次投籃命中的概率都為40%現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器算產生0到9之間取整數值的隨機數，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果。經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（ ）
A035B025C020D015
【解析】 該運動員三次投籃恰有兩次命中的隨機數有191，271，932，812，393，共四組，所以該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率p=520=025，選B
【變式訓練6】已知向量a=（-2，1），b=（x，y）
（1）若x，y分別表示將一枚質地均勻的正方體骰子（六個面的點數分別為1，2，3，4，5，6）先后拋擲兩次時第一次、第二次出現的點數，求滿足a?b=-1的概率；
（2）若x，y在連續區間[1，6]上取值，求滿足a?b
【解析】 （1）將一枚質地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，可用列舉法列出所包含的基本事件總數為36個；由a?b=-1，有-2x+y=-1，
所以滿足a?b=-1的基本事件為（1，1），（2，3），（3，5），共3個；
故滿足a?b=-1的概率為336=112
（2）若x，y在連續區間[1，6]上取值，則全部基本事件的結果為
Ω={（x，y）|1≤x≤6，1≤y≤6}；
滿足a?b
畫出圖形如下圖，
矩形的面積為S矩形=25，
陰影部分的面積為S陰影=25-12×2×4=21，故滿足a?b
【變式訓練7】（2102高考北京卷，文3）設不等式組0≤x≤2，0≤y≤2，表示平面區域為D，在區域D內隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是
Aπ4Bπ-22Cπ6D4-π4
