前言：中文期刊網精心挑選了指數函數練習題范文供你參考和學習，希望我們的參考范文能激發你的文章創作靈感，歡迎閱讀。
指數函數練習題范文1
三角函數與解三角形
第十一講
三角函數的綜合應用
2019年
1.(2019江蘇18)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規劃在公路l上選兩個點P?Q,并修建兩段直線型道路PB?QA.規劃要求:線段PB?QA上的所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.已知點A?B到直線l的距離分別為AC和BD(C?D為垂足),測得AB=10,AC=6,BD=12(單位:百米).
(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;
(2)在規劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;
(3)在規劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米).求當d最小時,P?Q兩點間的距離.
2010-2018年
一?選擇題
1.(2018北京)在平面直角坐標系中,記為點到直線的距離,當,變化時,的最大值為
A.1
B.2
C.3
D.4
2.(2016年浙江)設函數,則的最小正周期
A.與b有關,且與c有關
B.與b有關,但與c無關
C.與b無關,且與c無關
D.與b無關,但與c有關
3.(2015陜西)如圖,某港口一天6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數
,據此函數可知,這段時間水深(單位:m)的最大值為
A.5
B.6
C.8
D.10
4(2015浙江)存在函數滿足,對任意都有
A.
B.
C.
D.
5.(2015新課標Ⅱ)如圖,長方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點,點P沿著邊BC,CD與DA運動,∠BOP=x.將動點P到A,B兩點距離之和表示為x的函數,則的圖像大致為
A
B
C
D
6.(2014新課標Ⅰ)如圖,圓O的半徑為1,A是圓上的定點,P是圓上的動點,角的始邊為射線,終邊為射線,過點作直線的垂線,垂足為,將點到直線的距離表示為的函數,則=在[0,]上的圖像大致為
A.
B.
C.
D.
7.(2015湖南)已知函數則函數的圖象的一條對稱軸是
A.
B.
C.
D.
二?填空題
8.(2016年浙江)已知,則=__,=__.
9.(2016江蘇省)
定義在區間上的函數的圖象與的圖象的交點
個數是
.
10.(2014陜西)設,向量,若,
則_______.
11.(2012湖南)函數的導函數的部分圖像如圖4所示,其中,P為圖像與y軸的交點,A,C為圖像與x軸的兩個交點,B為圖像的最低點.
(1)若,點P的坐標為(0,),則
;
(2)若在曲線段與x軸所圍成的區域內隨機取一點,則該點在ABC內的概率為
.
三?解答題
12.(2018江蘇)某農場有一塊農田,如圖所示,它的邊界由圓的一段圓弧(為此圓弧的中點)和線段構成.已知圓的半徑為40米,點到的距離為50米.現規劃在此農田上修建兩個溫室大棚,大棚Ⅰ內的地塊形狀為矩形,大棚Ⅱ內的地塊形狀為,要求均在線段上,均在圓弧上.設與所成的角為.
(1)用分別表示矩形和的面積,并確定的取值范圍;
(2)若大棚Ⅰ內種植甲種蔬菜,大棚Ⅱ內種植乙種蔬菜,且甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為.求當為何值時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.
13.(2017江蘇)如圖,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm,容器Ⅰ的底面對角線的長為10cm,容器Ⅱ的兩底面對角線,的長分別為14cm和62cm.
分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均為12cm.
現有一根玻璃棒,其長度為40cm.(容器厚度?玻璃棒粗細均忽略不計)
(1)將放在容器Ⅰ中,的一端置于點處,另一端置于側棱上,求沒入水中部分的長度;
(2)將放在容器Ⅱ中,的一端置于點處,另一端置于側棱上,求沒入水中部分的長度.
14.(2015山東)設.
(Ⅰ)求的單調區間;
(Ⅱ)在銳角中,角,的對邊分別為,若,,求面積的最大值.
15.(2014湖北)某實驗室一天的溫度(單位:℃)隨時間(單位:)的變化近似滿足函數關系:,.
(Ⅰ)求實驗室這一天的最大溫差;
(Ⅱ)若要求實驗室溫度不高于,則在哪段時間實驗室需要降溫?
16.(2014陜西)的內角所對的邊分別為.
(I)若成等差數列,證明:;
(II)若成等比數列,求的最小值.
17.(2013福建)已知函數的周期為,圖像的一個對稱中心為,將函數圖像上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍(縱坐標不變),在將所得圖像向右平移個單位長度后得到函數的圖像.
(1)求函數與的解析式;
(2)是否存在,使得按照某種順序成等差數列?若存在,請確定的個數;若不存在,說明理由.
(3)求實數與正整數,使得在內恰有2013個零點.
專題四
三角函數與解三角形
第十一講
三角函數的綜合應用
答案部分
2019年
1.解析
解法一:
(1)過A作,垂足為E.
由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,.＇
因為PBAB,
所以.
所以.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規劃要求.
②若Q在D處,聯結AD,由(1)知,
從而,所以∠BAD為銳角.
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此,Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,B=15,
此時;
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,.此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當PBAB,點Q位于點C右側,且CQ=時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為17+(百米).
解法二:(1)如圖,過O作OHl,垂足為H.
以O為坐標原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標系.
因為BD=12,AC=6,所以OH=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標分別為3,?3.
因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.
從而A(4,3),B(?4,?3),直線AB的斜率為.
因為PBAB,所以直線PB的斜率為,
直線PB的方程為.
所以P(?13,9),.
因此道路PB的長為15(百米).
(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(?4,0),則EO=4
②若Q在D處,聯結AD,由(1)知D(?4,9),又A(4,3),
所以線段AD:.
在線段AD上取點M(3,),因為,
所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.
因此Q選在D處也不滿足規劃要求.
綜上,P和Q均不能選在D處.
(3)先討論點P的位置.
當∠OBP
當∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規劃要求.
設為l上一點,且,由(1)知,B=15,此時(?13,9);
當∠OBP>90°時,在中,.
由上可知,d≥15.
再討論點Q的位置.
由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側,才能符合規劃要求.當QA=15時,設Q(a,9),由,得a=,所以Q(,9),此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.
綜上,當P(?13,9),Q(,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離
.
因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(百米)
2010-2018年
1.C【解析】由題意可得
(其中,),,
,,
當時,取得最大值3,故選C.
2.B【解析】由于.
當時,的最小正周期為;
當時,的最小正周期;
的變化會引起的圖象的上下平移,不會影響其最小正周期.故選B.
注:在函數中,的最小正周期是和的最小正周期的公倍數.
3.C【解析】由圖象知:,因為,所以,解得:,所以這段時間水深的最大值是,故選C.
4.D【解析】對于A,當或時,均為1,而與此時均有兩個值,故A?B錯誤;對于C,當或時,,而由兩個值,故C錯誤,選D.
5.B【解析】由于,故排除選項C?D;當點在上時,.不難發現的圖象是非線性,排除A.
6.C【解析】由題意知,,當時,;當時,,故選C.
7.A【解析】由,
得,所以,所以,
由正弦函數的性質知與的圖象的對稱軸相同,
令,則,所以函數的圖象的對稱軸為
,當,得,選A.
8.
【解析】,所以
9.7【解析】畫出函數圖象草圖,共7個交點.
10.【解析】,,,,
.
11.(1)3;(2)【解析】(1),當,點P的坐標為(0,)時;
(2)曲線的半周期為,由圖知,
,設的橫坐標分別為.設曲線段與x軸所圍成的區域的面積為則,
由幾何概型知該點在ABC內的概率為.
12.【解析】(1)連結并延長交于,則,所以=10.
過作于,則∥,所以,
故,,
則矩形的面積為,
的面積為.
過作,分別交圓弧和的延長線于和,則.
令,則,.
當時,才能作出滿足條件的矩形,
所以的取值范圍是.
答:矩形的面積為平方米,的面積為
,的取值范圍是.
(2)因為甲?乙兩種蔬菜的單位面積年產值之比為4∶3,
設甲的單位面積的年產值為,乙的單位面積的年產值為,
則年總產值為
,.
設,,
則.
令,得,
當時,,所以為增函數;
當時,,所以為減函數,
因此,當時,取到最大值.
答:當時,能使甲?乙兩種蔬菜的年總產值最大.
13.【解析】(1)由正棱柱的定義,平面,
所以平面平面,.
記玻璃棒的另一端落在上點處.
因為,.
所以,從而.
記與水平的交點為,過作,為垂足,
則平面,故,
從而.
答:玻璃棒沒入水中部分的長度為16cm.
(
如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結果為24cm)
(2)如圖,,是正棱臺的兩底面中心.
由正棱臺的定義,平面
,
所以平面平面,.
同理,平面平面,.
記玻璃棒的另一端落在上點處.
過作,為垂足,
則==32.
因為=
14,=
62,
所以=
,從而.
設則.
因為,所以.
在中,由正弦定理可得,解得.
因為,所以.
于是
.
記與水面的交點為,過作,為垂足,則
平面,故=12,從而
=.
答:玻璃棒沒入水中部分的長度為20cm.
(如果將“沒入水中部分”理解為“水面以上部分”,則結果為20cm)
14.【解析】(Ⅰ)由題意
.
由(),可得();
由(),得();
所以的單調遞增區間是();
單調遞減區間是().
(Ⅱ),,
由題意是銳角,所以
.
由余弦定理:,
可得
,且當時成立.
.面積最大值為.
15.【解析】(Ⅰ)因為,
又,所以,,
當時,;當時,;
于是在上取得最大值12,取得最小值8.
故實驗室這一天最高溫度為,最低溫度為,最大溫差為
(Ⅱ)依題意,當時實驗室需要降溫.
由(Ⅰ)得,
所以,即,
又,因此,即,
故在10時至18時實驗室需要降溫.
16.【解析】(1)成等差數列,
由正弦定理得
(2)成等比數列,
由余弦定理得
(當且僅當時等號成立)
(當且僅當時等號成立)
(當且僅當時等號成立)
即,所以的最小值為
17.【解析】(Ⅰ)由函數的周期為,,得
又曲線的一個對稱中心為,
故,得,所以
將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍(縱坐標不變)后可得的圖象,再將的圖象向右平移個單位長度后得到函數
(Ⅱ)當時,,,
所以.
問題轉化為方程在內是否有解
設,
則
因為,所以,在內單調遞增
又,
且函數的圖象連續不斷,故可知函數在內存在唯一零點,
即存在唯一的滿足題意.
(Ⅲ)依題意,,令
當,即時,,從而不是方程的解,所以方程等價于關于的方程,
現研究時方程解的情況
令,
則問題轉化為研究直線與曲線在的交點情況
,令,得或.
當變化時,和變化情況如下表
當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
當且趨近于時,趨向于
指數函數練習題范文2
一、信息技術整合使學生由“被動地接受知識”轉向“主動構建新知識”
由于信息技術的發展，使得在信息工具所營造的認知環境中，學生可以從一種新的角度去探究數學問題，在一種動態變化的過程中去認識數學概念的本質。信息技術的參與使得學生所面對的數學對象和數學過程的性質發生了改變，這樣必然會引起學生對數學概念本質的認識過程變化。在這樣的認知環境中，操作、試驗、猜想、發現等過程都變得具體而清晰，數學思維的目的性大大增強，這就使得學生通過自主的、積極主動的數學思維，成功地構建數學概念、解決數學問題的可能性大大增加。
［案例一］
利用 TI圖形計算器研究指數函數的圖形和性質。
［問題提出］
研究指數函數的圖像和性質。
［研究過程］
1．教師分配任務、組織教學。
教師：今天我們的主要任務是研究指數函數的圖像和性質。研究的方式是分組討論，前后排四個同學一組，先討論研究的方案，然后具體實施，最后由一個同學匯報研究的結果。匯報的內容包括：（ 1）研究方法；（2）研究結果；（3）研究過程中的問題。
2．學生代表匯報。
（ 1）研究方法：我們組的研究方案是先對指數函數的底數賦予幾個特殊值，然后利用TI圖形計算器畫出它們的圖像，觀察圖像，猜想指數函數的性質，然后再設法證明結論。
令 a＝2，3，0.9，0.1，4.5，函數y＝a x 的圖像如下（圖 1）：
圖 1
（ 2）研究結果（表1）。
表 1指數函數的圖像特征和性質分析
（ 3）研究過程中的問題。
①個別學生的研究選擇具體函數太少，難以達到從特殊事例猜想出一般規律的效果。
②個別學生在選擇參數的值時，只考慮了 a＞1一種情況，從而使研究陷入片面的狀況。
（ 4）意外收獲。
①有的學生在考慮參數 a的取值時注意選取數據之間的關系。比如有的小組選取a的值為2和，6和，由于互為倒數，結果畫出圖像之后發現除了剛才的結論還有一條規律：底數互為倒數的兩個指數函數的圖像關于y軸對稱（圖2）。
圖 2
②有的學生發現指數函數的圖像雖然都在 x軸上方，但它們對于x軸的傾斜程度是不一樣的。這與底數a的取值有關。結果又發現一條規律：在第一象限，隨著底數a的取值的增大，指數函數的圖像越來越陡。有些學生操作幾何畫板的技術比較高，能演示當底數a連續變化時指數函數的變化情況，這更容易觀察出這個規律。
3．在教師啟發下，利用所學的知識證明結論。
［案例小結］
在本案例中，教師在信息技術的支持下摒棄了傳統的“教師講、學生聽”的“被動式接受知識”的模式，組織了一堂生動活潑的學習活動課。學生通過自己操作圖形計算器，親身經歷了知識的發生過程，再通過同學之間的“協作”“交流”，完成了對指數函數的認識──意義建構。從始到終教學活動充分體現了學生的主體地位。不僅如此，通過學生主動的認知活動，除了發現課本上已有的結論，還有其他一些額外的收獲，這是傳統的教學方式所不能達到的效果。在信息技術環境中，設計開放性的教學過程，可以在真正意義上實現學生的學習方式從“聽講式”“接受式”到“探究式”“研究式”的轉變。
二、信息技術整合使學生由“學數學”向“用數學”轉變，為學生進行數學建模活動提供了有力的保障
數學建模活動是由對實際問題進行抽象、簡化、建立數學模型、解釋驗證等步驟組成的過程。在中學開展數學建?；顒觿荼貢W生的數學學習方式產生深遠的影響。首先，學生生活中大量的實際問題被轉化為數學模型，使學生感受到數學無處不在，改變了過去為“學”而“學”的觀念，重視數學知識的應用。其次，鮮活的實際問題、變化多樣的數學模型大大地激發了學生的學習興趣，使得數學學習更具挑戰性。最主要的是從學習方式看，作為建?；顒拥膮⑴c者，學生不再滿足于充當被動接受的角色，而是主動地設計和建構自己的數學模型，在實踐中展示自己駕馭數學解決問題的勇氣、才能、個性和創造性。數學建模活動給學生們再現了一種微型的科研過程，它對學生的能力和素質提出了更高層次的要求。
信息技術的發展為學生進行建?；顒犹峁┝擞辛Φ谋Ｕ?。在數學建?；顒又杏泻芏喙ぷ餍枰畔⒓夹g的參與，如需要強大的計算功能、數據處理功能、模擬功能、資料檢索功能……通過信息技術與數學教學的整合，使學生可以順利地完成數學建?；顒印?/p>
三、信息技術整合使學生由“接受式學習”轉向“研究性學習”
“研究性學習”是與“接受式學習”相對的一個概念。傳統的“接受式學習”最大的弊端就在于缺乏對學生的主體性與探究性的培養，而“研究性學習”注重培養學生獨立思考、自主學習的能力，它使學生積極主動地去探索、嘗試，去謀求個體創造潛能的充分發揮。它將學生的需要、動機和興趣置于核心地位，鼓勵學生自主選擇、主動探究?！把芯啃詫W習”使學生學習的重心不再僅僅放在獲取知識上，而是轉到學會學習、掌握學習方法上。這種全新的學習方式對于培養學生創新精神和實踐能力，完善學生的基本素質具有重要意義。
研究性學習的一種常見模式是問題探討模式，它分成四個階段，即確定問題情境、提出解決方案、搜集資料驗證假設、得出結論。信息技術的參與，可以幫助學生開展這四個階段的活動。計算機網絡、圖形計算器、幾何畫板軟件等強大的資料搜集功能、作圖功能、動畫演示功能、數據處理功能、計算功能，使得學生比較容易從某個問題的情境中發現研究的目標，解決方案的提出、搜集資料驗證假設更離不開信息技術的參與。基于信息技術的研究性學習模式是一個新的命題，它是信息技術與研究性學習的整合，它可以真正實現自主探究、協作學習、個性化學習的共同完成。
［案例二］
利用 TI圖形計算器研究抽象函數圖像的對稱性以及它與周期性之間的關系。
［問題提出］
練習題：設函數 y＝f（x）定義在實數集上，則函數y＝f（x－1）與函數y＝f（1－x）的圖像關于對稱。
學生在學完函數圖像的知識后解決這類問題仍感到困難，在教師的提示下學生找了 f（x）的一個具體模型：令f（x）＝2x，然后用TI圖形計算器畫出y＝f（x－1）和y＝f（1－x）的圖像，接著觀察這兩個圖像的對稱性，得出結論后，再尋找理論依據（圖3）。
這個問題解決了，是否其他抽象函數圖像對稱性的問題也能順利解決呢？為了讓學生真正弄懂有關抽象函數圖像對稱性的問題，我將此課題留給學生研究。
圖 3
［問題研究］
學生在課后積極開動腦筋，主動探索，他們從上述練習題的解決入手，通過討論將問題加以延伸，得到以下問題：
設函數 y＝f（x）定義在實數集上，那么：（1）函數y＝f（x－2）與函數y＝－f（2－x）的圖像關于 對稱。（2）函數y＝f（x－a）與函數y＝f（b－x）的圖像關于 對稱。（3）函數y＝f（x－a）與函數y＝－f（b－x）的圖像關于 對稱。（4）若函數y＝f（x）滿足f（1－x）＝f（1＋x），則函數y＝f（x）的圖像關于 對稱。（5）若函數y＝f（x）滿足f（a＋x）＝f（b－x），則函數y＝f（x）的圖像關于 對稱。（6）若函數y＝f（x）滿足f（a＋x）＝－f（b－x），則函數y＝f（x）的圖像關于 對稱。（7）若函數y＝f（x）有兩條對稱軸，則函數y＝f（x）有什么性質？若函數y＝f（x）有一條對稱軸和一個對稱中心，則函數y＝f（x）有什么性質？
［問題解決］
借助圖形計算器的幫助，學生們將上述問題一一解決。
1．研究方法。對于問題（1）（2）（3），學生按照解決引例的模式來做，先尋找y＝f（x）的具體模型，然后用TI圖形計算器或計算機作出上述函數的圖像，再觀察或通過測算得出結論。對于含字母系數的問題，學生通過對參數賦特殊值轉化為具體問題來解決，然后由特殊到一般總結規律。
對于問題（ 4），學生通過觀察等式的代數特征可知當函數自變量關于1對稱時函數值相等，得出函數圖像的對稱軸，將這個結論一般化即可解決問題（5）（6）。
問題（ 7）的代數推理模式學生很難想出，他們借助TI圖形計數器或計算機畫出滿足條件的函數圖像，即可直觀地得出結論（圖4．圖5）。
圖 4
圖 5
3．證明結論（略）
［案例小結］
指數函數練習題范文3
一、對定義、概念型問題的教學變式
如：高中數學人教A版必修（1）中指數函數及性質的教學。課上，學生學習了指數函數的（描述性）定義后，引導學生對y=ax（a>0）進行深化變式。
變式1：y=-2.3x還是指數函數嗎？
變式2：y=（■）-x是指數函數嗎？
以上老師通過對y=ax（a>0）變式，使學生進一步發現指數函數的本質屬性，把指數函數的概念放到一定的系統、關系和結構中來學習，使學生不斷完善指數函數的認知結構。
再如講授函數周期時，對于函數f（x），存在非零常數T使得函數f（x+T）=f（x），則T為函數的周期。
變式1：對于函數f（x）存在非零常數a（a≠0）使得函數f（x+a）=f（x-a），則函數的周期是什么？
變式2：對于函數f（x）存在非零常數a（a≠0）使得函數f（x+a）=-f（x），則函數的周期是什么？
二、對定理、結論型問題的教學變式
如：高中數學人教A版必修（5）中：均值不等式■≥■，其中a>0，b>0（當且僅當a=b時取“=”號的教學。原題：（耐克函數）已知x>0，求函數f（x）=x+■的最小值，并求此時x的值。
變式1：（對勾函數）已知x∈R，求函數f（x）=x+■的最小值。
變式2：已知x>2，求函數f（x）=x+■的最小值。
均值不等式是高中階段的一個重點，但學生在使用時很容易忘記定理使用的條件――“一正二定三相等”。通過變式訓練，使學生由淺入深地理解和掌握了條件，為定理的正確使用打下了堅實的基礎，為高效課堂創造內涵。
三、對例題、練習題型問題的教學變式
如：高中數學人教A版選修2-1中已知橢圓C：■+■=1，和直線l：4x-5y+40=0，在C上求一點使它到直線l的距離最小，并求其最小值。
變式一：（數形結合）與l平行的直線系4x+5y+m=0中有兩條直線l1，l2分別與橢圓相切，兩平行線l與l1，l與l2間的距離分別為橢圓上的點到直線l的最大值和最小值。易得d=■。
變式二：（換元法或參數法）可設橢圓上任意一點P（5cosα，3sinβ），則點P到直線l的距離由點到直線距離公式可求。
在變式教學中，充分重視對教材例題的挖掘，采用多樣化教學方法和教學模式，提高課堂教學的有效性。
四、對探究型問題的教學變式
如：在橢圓C：■+■=1上求一點，使它與兩焦點F1，F2的連線互相垂直。
變式1：滿足題中條件的點P對任意橢圓是否都有4個？（c>b時，這樣的點P有4個，c=b時，這樣的點P有2個，c
變式2：滿足題中條件的點P恒在橢圓內部，試求離心率的取值范圍。課堂教學中，教學方法和教學模式是多樣化的。我們在探究、研究問題時，應該讓學生發現問題變式的角度與思考的方法，這是授學生以“漁”的重要方法。
指數函數練習題范文4
關鍵詞：高中數學教學隱性分層教學
在一個班集體中，學生各方面都存在著一定的差異.在高中數學教學中，如果教師使用統一的教學方式，就無法滿足不同層次學生的學習需求，對每個學生的發展有著一定的影響.在高中數學教學中，教師應根據學生的實際學習情況分別在小組討論、授課過程、作業布置等方面進行分層教學，從而提高教學效果.下面就在高中數學教學中開展隱性分層教學談點體會.
一、在備課時分層
備課是開展教學的基礎工作.在備課時，教師要將學生學習基礎和能力的差異分為三個層次，使每個學生學習內容符合自身的實際水平.這樣，教學中教師可以及時了解優等生、中等生和后等生對知識的掌握程度.在備課過程中，教師要明確不同層次的學生學習的重點內容，根據不同層次學生設計出不同的教學目標，引導優等生學習，激發中等生和后進生對數學的興趣.例如，對“指數函數”備課時，教師可以將學生分成優等生、中等生和后等生，然后對每個層次的學生進行備課，中等生的學習目標是掌握函數的定義域、值域、圖象，能夠證明指數函數的單調性；后進生的學習目標是掌握函數的基礎知識；優等生的學習目標是對指數函數的變式內容進行了解.
二、在教學過程中分層
在數學教學中，如何進行隱性分層式教學是每個教師所關注的問題.在教學中，對中等生的教學主要以掌握基礎知識為主，對后進生要適當降低難度，而對于優等生就需要拓展教學內容，使學生能夠獲取更多的知識.在課堂提問環節中，讓優等生回答思維難度較高的問題，中等生回答難度適中的問題，后進生回答簡單的問題，讓每個學生都能獲得成功的喜悅.例如，在講“生活中的優化問題舉例”時，教師要讓學生掌握導數知識，并利用導數知識解決生活中問題.教師可以給出如下題目：制作一個圓錐型漏斗，其中母線長為30cm，要使其體積最大，則其高應為多少厘米？在學生解這道題時，教師先讓學生掌握函數導數，然后進行提問，主要讓學生描述函數求導的過程.比如，求導y=2x2+4ex.教師可以提出問題，讓學生思考函數求導的過程.對中等生提問：在這道題中怎么引入函數，設置哪個未知數比較有利于函數的建立；對于優等生，就需要讓學生詳細描述這道題的解題思路.在講解過程中，教師要針對不同層次的學生進行講解，使教學效果從整體上得到提高.
三、在小組討論中分層
小組討論是提高學生自主學習能力的有效方法.由于學生的各個方面存在著一定的差異，教師要進行分層教學，使每個學生的數學知識得到提高.在小組討論教學中，教師要根據學生的個體差異設置不同的討論目標，使每個學生都能展示自身的優勢.教師要設置平等、民主的教學方案.在小組活動中，教師要鼓勵學生互幫互助，使每個學生都能提高自身的數學水平.在學生完成小組任務后，教師要給予學生相應的鼓勵，提高學生學習的積極主動性，并對學生的錯誤及時進行糾正，從而提高數學教學效果.
四、在布置作業時分層
布置作業也能體現分層教學的有效性，可以檢測學生掌握知識的程度.在布置作業時，教師要根據學生的基礎水平與學習能力進行作業的布置，使每個學生都能達到訓練的目的.教師要注意練習題的難易程度，對后進生布置較為簡單的題目，中等生以完成基礎知識為主，優等生以培養思維為主.例如，在講“圓錐曲線”后，教師要對不同層次的學生布置相應的作業.對于后進生，主要對橢圓、雙曲線以及拋物線的基本公式進行練習，能夠識別這三種圓錐曲線的各種變形；對于中等生，主要要對圓錐曲線的基礎知識進行訓練，掌握理論知識，并能夠解答圓錐曲線和直線的結合題型；對于優等生，主要練習關于圓錐曲線的綜合題型.
綜上所述，在高中數學教學中，隱性分層教學是一種有效的教學方法.在備課時分層，根據學生的實際水平制定不同的教學目標；在教學過程中分層，使學生全面掌握數學知識；在小組討論中分層，提高學生自身的數學水平；在布置作業時分層，使每個學生都能得到訓練.只有這樣，才能提高高中數學教學效果.
參考文獻
指數函數練習題范文5
【關鍵詞】新課程；問題情境；創設
隨著《普通高中數學課程標準（實驗）》的實施，《課程標準》理念也在廣大師生中逐步深入。新的課程標準強調：“學生是學習的主人，教師是學生學習的組織者、引導者和合作者”。教師要從一個支配者的權威地位，向數學活動的組織者、引導者、合作者的角色轉換，表面上看似乎壓縮了教師的“空間”，實際上是對教師提出了更高的要求?，F在要求“從學生實際出發，創設有利于學生自主學習的問題情境”，引導學生實踐、思考、探索、交流，經歷數學知識的形成和應用的過程，并在這個過程中鼓勵學生自主探索和合作交流，促進學生個性發展。在這一過程中，關鍵在于創設合理的問題情境，讓學生置身于問題的情境之中，營造一個激勵探索和交流的氛圍，促進學生主動獲取知識，并且不斷地豐富數學活動的經驗，學會探索，學會學習。
一、導入新課時創設情境
1.以舊引新，復習與新課有聯系的舊知識，引入新知識。
當新舊知識聯系較緊密時，用回憶舊知識來自然的導入新課。這種方法導入新課，既可以復習鞏固舊知識，又可把新知識由淺到深、由低層次到高層次地建立在舊知識的基礎上，從而有利于用知識的聯系來啟發思維，促進新知識的理解和掌握。
2.借助計算機多媒體教學手段，直觀演示、探索、發現，調動學生的思維和學習興趣。
在新知識教學引入時，根據教學內容，重視直觀演示、實驗操作，就會使學生感興趣，就能較好地為新知識的學習創設思維情境。如利用《幾何畫板》、《PowerPoint》等軟件動態的演示函數圖象，形象直觀的效果，調動起學生的學習興趣。
例如：分析函數y= +x的性質：
由于此函數不是基本函數，我們沒有對其進行系統的學習，只能結合其圖象進行分析，用幾何畫板繪出該函數的圖象通過圖象分析總結函數的性質：
單調增區間：（-∞，-1）（1，+∞）；單調減區間：（-1，0）（0，1）
最值性：當x∈（-∞，0），x=-1時，ymax=-2；當x∈（0，+∞）時，x=1時，ymin=2。
二、教學過程中創設問題情境
在教學過程中問題情境的創設尤為重要。教學過程中創設問題情境可采用以下方法：
1.從學生的知識經驗出發創設問題情境
“數學教學活動必須建立在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎上”。
學生的知識經驗出發創設問題情境，既可以復習鞏固舊知識，又可以強化新舊知識的聯系，培養新知識的增長點，形成良好的認知結構，并在這個由簡單到復雜的知識發展過程中，培養學生的探索和合作交流能力。
例如在《對數函數的圖象和性質》教學設計中，一般先復習指數函數的圖象和性質，然后讓學生自己研究。大多數同學類比指數函數性質的研究方法，觀察圖形特征，總結出對數函數的一般性質。教師為了啟發學生突破思維定勢，讓學生探討：不作圖象能否得出對數函數的性質？這是一個很有挑戰性的問題。根據指數函數的性質直接映射出對數函數的性質，這一方法展示了學生對知識的深刻理解，反映出更高層次的思維水平。發現學生思想的火花，激發學生思考，培養學生的創新思維，這正是我們追求的教學目標。
2.從學生的生活經驗出發創設問題情境
中國著名的教育家陶行知先生說過“生活即教育”。利用學生聽說過的，看見過的或者親身經歷過的生活素材創設問題情境，學生感到親切，對提出的問題往往都會躍躍欲試，從一開始就能充分調動學生的學習積極性。
例如在《直線與平面垂直的判定》教學設計中，讓學生們討論如何確保旗桿與地面垂直，暢所欲言，都積極地投入到探索之中，充分調動學生的學習積極性。最后大家一起總結“直線與平面的判定定理”。這一方法通過設計問題情境，為學生提供實踐的機會，搭建活動，使學生對知識的理解和應用都有很大的好處，展示了學生的主觀能動性，培養了學生的創造性思維，加深了對知識點的理解和運用，這也正是我們的教學目標。
三、在練習和小結中創設思維情境
學生在練習中出錯當然不是我們所希望的，但學生出錯又很難避免。學生練習中的錯誤，尤其是較為共性的錯誤，往往反映教學中的疏漏或學生認知上的缺陷。從學生練習中的錯誤出發，創設問題情境，往往能更有效的加深學生的印象，改正錯誤。因此要有目的，有選擇性地安排課堂練習，一是通過“制錯找因”，創設問題情境。練習中，根據所講內容選編一些選擇題或判斷正誤題，并要學生找出錯誤原因。二是編選變式題，使學生在不同的情境中把握概念的本質屬性。三是編選的課堂練習要體現出一定的思維層次性，先淺后較深。
例如：在《橢圓的標準方程》的教學設計中，練習題：橢圓 + =1的焦距是2，則實數m的值是____。
很多同學的答案是5，他們往往不考慮橢圓的焦點的位置，默認在軸上，這顯然是不正確的，考慮不全面，產生了漏解。正確的答案是5或3。
以上僅是在教學中創設問題情境的點滴體會，事實上，創設問題情景的方式很多，不管用哪種方式來創設，只要在教學中貫切了啟發式的教學思想，激發了學生的學習信心，讓學生積極主動地參與教學活動，這就是我們數學教學所應努力追求的目標。
指數函數練習題范文6
[關鍵詞]啟發思維 師生互動、由淺入深、深入淺出 課堂教學等
技工學校的生源狀況：普通高中逐年擴招，學生生源也逐年減少，造成初三學生中成績中等以上（個別地區甚至是中下生）的學生都進入了高中學習，余下的下層生就是技工生了。技工學校學生的數學基礎狀況：這些學生在中學階段成績最差的就是數學和英語，學生數學基礎起點低，差異大，厭學現象嚴重。大批數學基礎薄弱的學生“望數生畏”，游離于數學學習之外。去年有一個學生曾對我說；“我以為讀技工沒有數學課上的，早知還要學數學， 就不來讀了”，由此可見技工生的“恐數”心理有幾嚴重。所以技工數學教育正面臨著前所末有的困惑和挑戰。我經過幾年的技工學校數學課堂教學的研究探索，得出以下幾點體會：
一、用具體、生動的例子或懸念吸引學生注意
上一堂課等于演一場戲，要讓觀眾能夠專注地從頭看到尾，首先開場就要能夠引起觀眾的注意，吸引觀眾。課堂教學，就是老師導演的一場戲，學生就是觀眾。學生能否沿著老師的指揮棒上好這節課，開頭能否把學生的注意集中到老師身上是致關重要的第一步。文科類老師常用談話、講故事、提問、放電教片等手段來實現；物理化學老師會用實驗、放電教片等手段來實現；而數學課因為它自身的特點，用上述方法難以奏效。如何把學生引上數學學習舞臺上呢？用與本課堂知識有關的具體、生動的例子或者設置一個懸念去吸引學生的注意力，使學生開始就產生一種新鮮感、求知欲，從而等待新知識或往下追。例如：講集合的概念時，可以這樣：同學們，現在把我們班的全體同學集中在一起或者把所有的三角形放在一起，這是一個什么樣的數學問題？我們能正確地用數學語言描述它嗎？這時學生會集中注意想或小聲議論，同學集中在一起易理解，但如何能把所有的三角形放在一起呢？三角形有無數個呀（自問）？學生產生了抽象感、有異問、有好奇。這樣有的學生就會耐心等待答案、有的學生就會往下想（猜）。又如：學習冪函數、指數函數內容時，向學生提出這樣一個既現實又末解的懸念：同學們，幾年后我們都會成家立業，供房養車?，F設一房子，價值五十萬元，第一期付款二十萬元，余款分十年供養，房貸月利率為0.58%，問平均每月需要供多少元？這樣會立時吸引學生的注意和興趣，正當學生議論紛紛時，老師給他們一個末解的答案：這與我們現在學習的冪函數、指數函數問題有關。懸念會引帶學生學習完冪函數、指數函數部分。
二、用幽默的語言提起學生的精神
著名的藝術大師候寶林、黃振英等的相聲節目深受國民的喜愛，百看不厭，為什么？就是因為他們的語言幽默。這種幽默很能給觀眾帶來笑聲，提起觀眾的精神，給觀眾一個愉。課堂教學也是一場戲，這場戲的導演是教師，演員是學生和老師。觀眾是學生，能否給觀眾提起精神，就要靠導演（老師）了。我們作為課堂上的導演兼演員，在課堂教學過程中適時地帶點幽默語言，適時地把學生分散了的注意（學生在課堂上很容易分散注意的）再度集中起來，提起學生的精神，為課堂增加一點氣氛，對本課堂的教學效果會產生較大的作用。這個幽默不是固定在某個時段，而是貫穿于整個課堂。但要適時適“候，”不要勉強、嘩眾取寵，整堂課鬧笑話，否則，不但得不到我們要的效果，還會使學生產生厭惡感。
三、用提示、疑問、點到即止的方法啟發學生思維
在課堂教學中，大多數老師只是在課堂上把要講授的知識、方法簡單直接地“灌輸”給學生，把結果直接告訴給學生，即是授之以魚，不是授之以漁。特別是對基礎較差的技工學生，往往如此，認為只要求學生能記住知識就行，其結果恰恰相反。這樣長期下去，學生就會產生一種依賴思想，不愿意用腦子思考問題。同時，學生靠“灌輸”得來的知識會很快忘記，并且學生的學習能力得不到培養。所以，要使整個課堂教學處于活躍狀態，在40分鐘內不讓學生有“閑”，要激發學生的的學習情緒，培養學生的思維能力 ，就要在講授知識時不急于“灌”，而重于“鉤”、“引”，適時提出疑問、適時提示，點到即止，充分讓學生去思考，引導學生去“追”、去尋求答案。讓學生多體驗下自己的“成功”感，喚起學生的自信心、自尊心。例如：為使學生理解集合的概念，我給出以下練習：判斷下列語句是否構成集合。1、12春汽修2班體重不少于50公斤的同學；2、12春汽修2班體重較重的同學；先讓學生思考 ，再提問，提問后我還不作出結論，而是提示學生回顧描述集合概念時，集合中的對象應滿足什么條件（確定性）？這兩個語句中的對象是否符合這個條件？這樣點到即止，讓學生自己去討論、思考 、判斷。還末明白的，留下疑問。讓他們繼續討論。
四、師生互動，活躍課堂氣氛
一堂課的成功與否，課堂效果的大小，與本課堂
教學過程中課堂氣氛程度分不開的。要活躍課堂氣氛，必須要師生互動，就象演戲，主角與配角互動配合，戲才能演得精彩。技工學生本來就基礎差，怕學習、懶學習，如果還用過去的傳統的教學模式---老師“灌”完知識，就讓學生練習。會造成老師授課他聽不懂，要他練習他不會，咬住筆頭無從下手，漸漸地把他們帶到“周公”哪里（即睡覺），老師的“表演”成為學生的催眠劑。師生互動其目的就是使學生在40分鐘內保持活躍狀態，不讓學生的腦休息。師生怎樣互動？我個人認為：就是老師在授課時不是只顧羅列知識、滔滔不絕地“灌”，而是適時留有空間讓學生疑問、思考、消化，老師適時提問（不是簡單的一問一答），讓學生探索、追尋。使學生的思維沿著老師的指揮“棒”轉；在堂上練習時，適時提示，下到座位督導、輔導等活動。在心理上給學生一種關心、鼓勵；在學習上給學生一種啟發；在行為上給學生一種幫助。例如，我在講授指數函數圖象和性質時，先由學生用描點法作出函數y=2x和y=（ ）x的圖象，再讓學生草畫函數y=3x和y=（ ）x的草圖，并與y=2x和y=（ ）x的圖象比較，問有什么結果？通過觀察比較，再幫助學生分析、歸納出y=ax（a﹥1）和y=ax（0﹤a﹤1）的圖象的形狀；然后讓學生觀察這兩圖象，一個個問題提問學生，讓他們回答函數圖象的幾個特征，最后得出函數的性質；接著給出練習：比較下列兩個數的大小；1、30.3與30.4；2、（0.3）-2與（0.3）-3；3、3-2與0.1-1，由學生練習運用；并提示學生注意同底與不同底應如何運用知識解決。整個教學過程充分讓學生動起來，使學生無機會在課堂上睡覺。
五、用由淺入深，深入淺出的方式幫助學生理解知識
技工學生數學基礎甚低，“望數生畏”現象突出，對數學知識很難理解和掌握?！拔贰眮碜杂凇半y”，所以要解決學生的“畏數”現象，就要千方百計幫助學生理解數學知識，使他們覺得學習數學不難、可學、能學、想學，在數學上有成功體驗。要達到這個目的，在課堂教學中老師對數學知識的引入要做到：由淺入深導出新知識，再深入淺出幫助學生理解新知識。即給他們一點“甜頭”把學生“誘”進數學迷宮，在迷宮里錘煉一下，再把學生從迷宮中帶出來，讓學生感覺學習數學輕松，從而提高他們對學習數學的自信心，逐步消除“畏數”心理。例如，在講授函數概念時，我設計這樣的問題“誘”學生入“宮”：我們到果攤上買萍果，萍果單價是每斤3.5元，買2.5斤要多少錢？ 買4.5斤呢？這個買賣過程有哪兩個變量？這兩個變量有什么關系？這樣“誘”出函數概念，對函數概念正確描述（這時學生對函數概念還末正確理解），然后再由函數表達式y=f（x）設置習題：已知函數f（x）=2x2-1，求：f（-1），f（0），f（3），把學生從抽象的函數概念中帶出來，使學生理解函數概念。
六、用嚴謹、簡煉的語言幫助學生歸納、總結知識；用恰當、生動、形象的比如，幫助學生鞏固、記憶知識
在課堂教學中，對知識的歸納總結是課堂教學的重要環節，是評價課堂教學的標準之一。為使學生對本課時學習過的知識系統理解，必須引導學生用嚴謹、簡煉的語言，用恰當、生動、形象的比如對知識進行歸納、總結（不是老師課后把知識結論對學生直接給與）。其目的不僅如此，更是為了幫助學生鞏固、記憶知識，令他們過耳不忘。例如，在學習不等式（組）解集時，對型如： （a﹥b） x≥a； （a﹥b） x≤b； （a﹥b）
b≤x≤a的公共解集，編成這樣一個順口流：大大取大，小小取小，一大一小（指不等號）取中間，使學生易學易記。
七、設置層次性、科學性的練習，讓每個學生都學有所得
技工學生數學基礎差異大，幾年來我對他們進行了調查得到；數學基礎稍為好點的只有10%左右；50%的技工生數學基礎差；40%的學生無數學細胞。要想提高技工生的數學素質，使各層次的學生都能學數學、學有所得，在課堂教學中，必須要因材施教。在課堂上分層教學，合理設置層次性練習，使各層次的學生都有得學、能夠學、學得會，使每個學生都無“懶”可偷。例如，我在講授函數單調性證明時，給出例題，證明：y=x2在（-∝，0）上是減函數。然后布置分層次練習，一部分模仿例題證明y=x2在（0，+∞）上是增函數，另一部分同學（基礎稍好部分）增加練習：證明y=x3在（-∞，+∞）上是增函數，這樣各層次學生都有“工”做，既使基礎較差的同學能夠學到一點知識，又能使個別基礎較好的同學有進一步的學習空間，各有所得。
通過課堂教學提高技工學生的數學教育素質，是我們數學教師的一個重要研究課題。我五年的技工數學教學探索到以上幾點心得，僅供同行們參考，并敬請同行斧正。
[參考文獻]
[1]劉靜.教師思維品質；數學概念教學的關健因素，2010.12
[2]徐小芳.高中數學課堂有效提問的策略與評價[J]，中小學教學有刊，2009.（1）
[3]馬美芳.職校學生數學解題反思習慣的調查研究，職業教育研究，2010.4，
[4]陳林.注重生活聯系，激起學生學習數學的興趣，[J]，科學教育家，2009.（4）
[5]黃永宏.學生解題后思能力的培養，廣東教育，2010.7.8綜合
