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指數與指數冪的運算范文1
學教師對其概念理解不是很透徹，因此對分數指數冪的概念有必要進一步分析.
首先我們來看教材上分數指數冪的概念.
（1）規定正數的正分數指數冪的意義是
amn=nam （a＞0,m,n∈N*, n＞1)；
（2）正數的負分數指數冪的意義是
a-mn=1amn（a＞0, m, n∈N*, n＞1)；
（3）0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義.
那么負數有沒有分數指數冪呢？
例如，①能比較(-1)13與(-1)26的大小嗎？
②求冪函數f(x)=x13的定義域，自變量x能取負數嗎？
這些問題容易使人產生困惑.因此深入理解分數指數冪的概念是必要的.
1.所有的根式都可以寫成分數指數冪的形式，
即nam=amn （ m, n∈N*, n＞1).
也就是說分數指數冪是根式的另一種書寫形式，只要根式有意義，不論a為何值，都可以寫成分數指數冪的形式.但是要注意的是此時指數mn是一種記法形式，不具有數的性質，不是真正意義的分數.不能比較分數指數的大小，也不能進行約分、通分等運算.
例①中比較(-1)13與(-1)26的大小時，不能簡單認為因為13=26，所以(-1)13=(-1)26.
正確的做法是先還原成根式，再化簡后比較大小.
解：(-1)13=3-1=-1，
(-1)26=6(-1)2=1，
(-1)13＜(-1)26.
例②中：f(x)=x13=3x，
函數的定義域為R.
2.在分數指數冪或有理數指數冪運算時，我們要強調底數a必須大于0，
否則就會出現錯誤.
例如化簡 ［(-1)2］12=（-1）2×12=（-1）1=-1 ，而這一結果顯然是錯誤的，正確結果應為1.
究其原因，分數指數mn只是一種記法形式，不具有數的性質，不是真正意義的分數，當然不能參與運算.
當底數a＜0時，對指數mn進行約分、通分等運算后的結果和把分數指數冪化成根式后進行運算的結果有很大的差異.
指數與指數冪的運算范文2
1.知識結構：
2.教材分析
(1)重點和難點
重點：準確、熟練地運用法則進行計算.同底數冪的除法性質是冪的運算性質之一，是整式除法的基礎，一定要打好這個基礎.
難點：根據乘、除互逆的運算關系得出法則.教科書中根據除法是乘法的逆運算，從計算和這兩個具體的同底數的冪的除法，到計算底數具有一般性的，逐步歸納出同底數冪除法的一般性質.所以乘、除互逆的運算關系得出法則是本節的難點.
(2)教法建議：
1.教科書中根據除法是乘法的逆運算，從計算和這兩個具體的同底數的冪的除法，到計算底數具有一般性的，逐步歸納出同底數冪除法的一般性質.教師講課時要多舉幾個具體的例子，讓學生運算出結果，接著，讓學生自己舉幾個例子，再計算出結果，最后，讓學生自己歸納出同底數的冪的除法法則.
2.性質歸納出后，不要急于講例題，要對法則做幾點說明、強調，以引起學生的注意.(1)要強調底數是不等于零的，這是因為，若為零，則除數為零，除法就沒有意義了.(2)本節不講零指數與負指數的概念，所以性質中必須規定指數都是正整數，并且，要讓學生運用時予以注意.
重點、難點分析
1.同底數冪的除法法則：同底數冪相除，底數不變，指數相減，即(，、都是正整數，且).
2.指數相等的同底數的冪相除，商等于1，即，其中.
3.同底數冪相除，如果被除式的指數小于除式的指數，則出現負指數冪，規定
(其中，為正整數).
4.底數可表示非零數，或字母或單項式、多項式(均不能為零).
5.科學記數法：任何一個數(其中1，為整數).
同底數冪的除法(第一課時)
一、教學目標
1.掌握同底數冪的除法運算性質.
2.運用同底數冪的除法運算法則，熟練、準確地進行計算.
3.通過總結除法的運算法則，培養學生的抽象概括能力.
4.通過例題和習題，訓練學生的綜合解題能力和計算能力.
5.滲透數學公式的簡潔美、和諧美.
二、重點難點
1.重點
準確、熟練地運用法則進行計算.
2.難點
根據乘、除互逆的運算關系得出法則.
三、教學過程
1.創設情境，復習導入
前面我們學習了同底數冪的乘法，請同學們回答如下問題，看哪位同學回答得快而且準確.
(1)敘述同底數冪的乘法性質.
(2)計算：①②③
學生活動：學生回答上述問題.
.(m，n都是正整數)
【教法說明】通過復習引起學生回憶，鞏固同底數冪的乘法性質，同時為本節的學習打下基礎.
2.提出問題，引出新知
思考問題：().(學生回答結果)
這個問題就是讓我們去求一個式子，使它與相乘，積為，這個過程能列出一個算式嗎?
由一個學生回答，教師板書.
這就是我們這節課要學習的同底數冪的除法運算.
3.導向深入，揭示規律
我們通過同底數冪相乘的運算法則可知，
那么，根據除法是乘法的逆運算可得
也就是
同樣，
，
.
那么，當m，n都是正整數時，如何計算呢?
(板書)
學生活動：同桌研究討論，并試著推導得出結論.
師生共同總結：
教師把結論寫在黑板上.
請同學們試著用文字概括這個性質：
【公式分析與說明】提出問題：在運算過程當中，除數能否為0?
學生回答：不能.(并說明理由)
由此得出：同底數冪相除，底數.教師指出在我們所學知識范圍內，公式中的m、n為正整數，且m>n，最后綜合得出：
一般地，
這就是說，同底數冪相除，底數不變，指數相減.
4.嘗試反饋，理解新知
例1計算：
(1)(2)
例2計算：
(1)(2)
學生活動：學生在練習本上完成例l、例2，由2個學生板演完成之后，由學生判斷板演是否正確.
教師活動：統計做題正確的人數，同時給予肯定或鼓勵.
注意問題：例1(2)中底數為(-a)，例2(l)中底數為(ab)，計算過程中看做整體進行運算，最后進行結果化簡.
5.反饋練習，鞏固知識
練習一
(1)填空：
①②
③④
(2)計算：
①②
③④
學生活動：第(l)題由學生口答;第(2)題在練習本上完成，然后同桌互閱，教師抽查.
練
下面的計算對不對?如果不對，應怎樣改正?
(1)(2)
(3)(4)
學生活動：此練習以學生搶答方式完成，注意訓練學生的表述能力，以提高興趣.
四總結、擴展
我們共同總結這節課的學習內容.
學生活動：①同底數冪相除，底數__________，指數________。
②由學生談本書內容體會.
【教法說明】強調“不變”、“相減”.學生談體會，不僅是對本節知識的再現，同時也培養了學生的口頭表達能力和概括總結能力.
五、布置作業
P1431.(l)(3)(5)，2.(l)(3)，3.(l)(3).
指數與指數冪的運算范文3
一、有關實數、根式運算題
例1 （2016?山西）計算：（-3）2-[15-1]-[8]×[2]+（-2）0.
【分析】本題中先算乘方、負整數指數冪、二次根式、零指數冪的運算，再將這些結果相加減.
解：原式=9-5-4+1……（4分）
=1.……（5分）
【點評】從評分標準中我們可以看出，第一步正確得出乘方、負整數指數冪、二次根式乘法、零指數冪的結果將得4分，最后一步得1分，因此記牢乘方、二次根式運算法則，負整數指數冪、零指數冪等公式是解題的關鍵.
二、有關整式運算題
例2 （2016?三明）先化簡，再求值：（a-b）2+b（3a-b）-a2，其中a=[2]，b=[6].
【分析】本題先算完全平方公式、單項式乘多項式，再進行整式的加減，最后再代入求值.
解：原式=a2-2ab+b2+3ab-b2-a2……（4分）
=ab.……（6分）
當a=[2]，b=[6]時，原式=[2]×[6]
……（7分）
=[23].……（8分）
【點評】從評分標準中我們可以看出，只要將完全平方及單項式乘多項式運算正確即有一半的分數，體現了中考對基本能力的重視；另外在化簡求值題中，按要求將數字正確代入字母也有分數，這些需要同學們在平時訓練時格外重視.
三、有關分式運算題
例3 （2016?莆田）先化簡，再求值：[x+2x-2]-[x-1x2-4]÷[1x+2]，其中x=-1.
【分析】本題先算分式的除法，再算分式的加減，最后將x=-1代入求值.
解：原式=[x+2x-2]-[x-1x+2x-2]?（x+2）
……（2分）
=[x+2x-2]-[x-1x-2]……（4分）
=[3x-2].……（6分）
當x=-1時，原式=[3-1-2]=-1.……（8分）
【點評】從評分標準中可以看出，分式的混合運算根據運算順序先算乘方，再算乘除，最后算加減，當沒有乘方時，先把除法轉化為乘法也有2分，正確得出分式的乘法運算再得2分，算出正確結果得2分，層層遞進，因此解題時嚴格按照步驟是相當必要的，也是避免失分的不二方法.
通過以上三例，同學們可以看到：在數與式的運算中，按步驟、按運算法則正確運算就能保證考試中最大限度地不失分.在平時的訓練中，同學們可要記住哦！
小試身手
1.（2016?莆田）計算：[2-3]-[16]+[130].
2.（2016?襄陽）先化簡，再求值：（2x+1）
?（2x-1）-（x+1）（3x-2），其中x=[2]-1.
指數與指數冪的運算范文4
同底數冪的乘法(一)
一、素質教育目標
1．理解同底數冪乘法的性質，掌握同底數冪乘法的運算性質．
2．能夠熟練運用性質進行計算．
3．通過推導運算性質訓練學生的抽象思維能力．
4．通過用文字概括運算性質，提高學生數學語言的表達能力．
5．通過學生自己發現問題，培養他們解決問題的能力，進而培養他們積極的學習態度．
二、學法引導
1．教學方法：嘗試指導法、探究法．
2．學生學法：運用歸納法由特殊性推導出公式所具有的一般性，在探究規律過程中增進時知識的理解．
三、重點·難點及解決辦法
（－）重點
冪的運算性質．
（二）難點
有關字母的廣泛含義及“性質”的正確使用．
（三）解決辦法
注意對前提條件的判別，合理應用性質解題．
四、課時安排
一課時．
五、教具學具準備
投影儀、自制膠片．
六、師生互動活動設計
1．復習冪的意義，并由此引入同底數冪的乘法．
2．通過一組同底數冪的乘法的練習，努力探究其規律，在探究過程中理解公式的意義．
3．教師示范板書，學生進行鞏固性練習，以強化學生對公式的掌握．
七、教學步驟
（－）明確目標
本節課主要學習同底數冪的乘法的性質．
（二）整體感知
讓學生在復習冪的意義的基礎之上探究同底數冪的乘法的意義，只有在同底數冪相乘的前提條件之下，才能進行這樣的運算方式即底數不變、指數相加．
（三）教學過程
1．創設情境，復習導入
表示的意義是什么？其中、、分別叫做什么？
師生活動：學生回答（叫底數，叫指數，叫做冪），同時，教師板書．
個
．
．
提問：表示什么？可以寫成什么形式？______________
答案：；
【教法說明】此問題的提出，目的是通過回憶舊知識，為完成下面的嘗試題和學習本節知識提供必要的知識準備．
2．嘗試解題，探索規律
（1）式子的意義是什么？（2）這個積中的兩個因式有何特點？
學生回答：（1）與的積（2）底數相同
引出本課內容：這節課我們就在復習“乘方的意義”的基礎上，學習像這樣的同底數冪的乘法運算．
請同學們先根據自己的理解，解答下面3個小題．
；
；．
學生活動：學生自己思考完成，然后一個（或幾個）學生回答結果．
【教法說明】
（1）讓學生在已有知識的基礎上感知規律的存在性、一般性，從而建立對同底數冪乘法法則的感性認識．
（2）培養學生運用已有知識探索新知識的熱情．
（3）體現學生的主體作用．
3．導向深入，揭示規律
計算的過程就是
也就是
那么，當都是正整數時，如何計算呢？
（都是正整數）
（板書）
學生活動：同桌研究討論，并試著推導得出結論．
師生共同總結：（都是正整數）
教師把結論寫在黑板上．
請同學們試著用文字概括這個性質：
同底數冪相乘底數不變、指數相加
運算形式運算方法
提出問題：當三個或三個以上同底數冪相乘時，是否也具有這一性質呢？
學生活動：觀察（都是正整數）
【教法說明】注意對學生從特殊到一般的認識方法的培養，揭示新規律時，強調學生的積極參與．
4．嘗試反饋，理解新知
例1計算：
（1）（2）
例2計算：
（1）（2）
學生活動：學生在練習本上完成例1、例2，由2個學生板演完成之生，由學生判斷板演是否正確．
教師活動：統計做題正確的人數，同時給予肯定或鼓勵．
注意問題：例2（2）中第一個的指數是1，這是學生做題時易出問題之處．
【教法說明】學生在認識的基礎上，嘗試運用性質，加深對性質的理解．學生做題正確與否，教師均應以鼓勵為主，增強學生學習的信心．
5．反饋練習，鞏固知識
練習一
（1）計算：（口答）
①②③
④⑤⑥
（2）計算：
①②③
④⑤⑥
學生活動：第（1）題由學生口答；第（2）題在練習本上完成，然后同桌互閱，教師抽查．
練
下面的計算對不對？如果不對，應怎樣改正？
（1）（2）（3）
（4）（5）（6）
學生活動：此練習以學生搶答方式完成．注意訓練學生的表述能力，以提高興趣．
【教法說明】練習一主要是對性質運用的強化，形成定勢．練中主要是通過學生對題目的觀察、比較、判斷，提高學生的是非辨別力．（1）（2）小題強調同底數冪乘法與整式加減的區別．（3）（4）小題強調性質中的“不變”、“相加”．（5）小題強調“”表示“”的一次冪．
6．變式訓練，培養能力
練習三
填空：
（1）（2）
（3）（4）
學生活動：學生思考后回答．
【教法說明】這組題的目的是訓練學生的逆向思維能力．
練習四
填空：
（1），則．
（2），則．
（3），則．
學生活動：學生同桌或前后左右結組研究、討論，然后在練習本上完成．
【教法說明】此組題旨在增強學生應變能力和解題靈活性．
（四）總結、擴展
學生活動：1．同底數冪相乘，底數_____________，指數____________．
2．由學生說出本節體會最深的是哪些？
【教學說明】在1中強調“不變”、“相加”．學生談體會，不僅是對本節知識的再現，同時也培養了學生的口頭表達能力和概括總結能力．
八、布置作業
P941，2．
指數與指數冪的運算范文5
一、考查數與式的相關概念
1.正、負數的識別.
例1 （2016?攀枝花）下列各數中，不是負數的是（ ）.
A.-2 B.3 C.[-58] D.-0.10
【分析】利用負數的定義判斷即可得到結果.
解：由負數的定義知，-2，[-58]，-0.10均為負數，而3不是負數.故選B.
【點評】負數可以從以下兩個方面識別：①根據數前面的符號：非零數前面只有一個“-”號是負數，非零數前面只有一個“+”號是正數；②根據與零的大小關系：大于零的數是正數，小于零的數是負數.
2.相反數、倒數.
例2 （2016?永州）[-12016]的相反數的倒數是（ ）.
A.1 B.-1 C.2016 D.-2016
【分析】本題應先求相反數，再求倒數.
解：[-12016]的相反數是[12016]，[12016]的倒數是2016.故選C.
【點評】求一個數的相反數，相當于改變這個數的符號，即在這個數前面加上“-”號；求一個數的倒數，即求1除以這個數的商.
3.數的開方.
例3 （2016?常德）4的平方根是（ ）.
A.2 B.-2 C.[±2] D.±2
【分析】一個正數有兩個平方根，它們互為相反數.
解：（±2）2=4，4的平方根是±2.故選D.
【點評】本題考查了求一個正數的平方根，這類題一般比較簡單，記住它們的概念是解題的前提.這類題有如下規律：非負數a的平方根是[±a]，算術平方根是[a]，立方根是[a3].
4.無理數的概念.
例4 （2016?宜黃）下列各數：1.414，[2]，[-13]，0，其中是無理數的為（ ）.
A.1.414 B.[2] C.[-13] D.0
【分析】無理數是無限不循環小數，符合這個要求的就是無理數，當然需要化簡或計算的要看化簡以后的結果.
解：因為1.414和[-13]都是分數，0是有理數，故只有[2]是無理數.故選擇B.
【點評】常見的無理數有以下幾種形式：①開方開不盡的數，如[2]，[3]，[-3]，[33]；②特定意義的數，如圓周率π，tan30°；③特定結構的數，如0.1010010001….特別注意像[22]，[π3]等含開方開不盡的數或含π的數不是分數而是無理數.
5.科學記數法.
例5 （2016?達州）在“十二五”期間，達州市經濟保持穩步增長，地區生產總值約由819億元增加到1351億元，年均增長約10%，將1351億元用科學記數法表示應為（ ）.
A.1.351×1011 B.13.51×1012
C.1.351×1013 D.0.1351×1012
【分析】科學記數法的表示形式為a×10n，其中1≤[a]
解：把1351億寫成135100000000，它的整數位有12位，此時a=1.351，n=12-1=11.故選A.
【點評】科學記數法的表示方法：a值的確定：1≤a
6.實數與數軸.
例6 （2016?北京）有理數a，b在數軸上的對應點的位置如圖所示，則正確的結論是（ ）.
A.a>-2 B.a
C.a>-b D.a
【分析】觀察數軸得到a，b的正負性及離原點的距離，從而解決問題.
解：由數軸可知，-3
誤；又知1
-2
-b.故選D.
【點評】觀察數軸上的數應從兩方面入手：①數的正負性，數在原點左側則負，數在原點右側則正；②數離原點的距離大小.另外利用數軸還可以比較有理數的大?。簲递S上右邊的數總大于左邊的數.由于引進了數軸，我們把數和點對應起來，也就是把“數”與“形”結合起來，體現了數形結合思想.
7.整式的有關概念.
例7 （2016?銅仁）單項式[πr22]的系數是（ ）.
A.[12] B.π C.2 D.[π2]
【分析】直接利用“單項式中的數字因數叫做單項式的系數”解題.
解：單項式[πr22]的系數是：[π2].故選D.
【點評】單項式的系數包括它前面的符號，且只與數字因數有關.另外單項式的系數是帶分數時，通常寫成假分數.
8.同類項.
例8 （2016?常德）若-x3ya與xby是同類項，則a+b的值為（ ）.
A.2 B.3 C.4 D.5
【分析】根據同類項的定義，即相同字母的指數相同，可分別求出a、b的值.
解：由同類項的定義，得a=1，b=3，a+b=4.故選C.
【點評】所含字母相同，并且相同字母的指數也相等的項叫做同類項，據此列出方程（組）即可解決這類問題.
9.分式的有關概念.
例9 （2016?北京）如果分式[2x-1]有意義，那么x的取值范圍是 .
【分析】分式有意義，必須使分母不為零，由此可得x的取值范圍.
解：由分式的意義，知x-1≠0，解得x≠1.故答案為x≠1.
【點評】分式是否有意義，只取決于分式的分母，與分式的分子無關.
例10 （2016?湘潭）若分式[x-1x+1]的值為0，則x=（ ）.
A.-1 B.1 C.±1 D.0
【分析】根據分式的值為0的條件“分子為0，分母不等于0”，列出方程和不等式求解.
解：由題意可知：x-1=0，得x=1.由x+1≠0，得x≠-1，所以x=1.故選B.
【點評】此類問題容易出錯的地方是忽視分式的值為0的前提條件：分式有意義，即分母不等于0.
10.二次根式的有關概念.
例11 （2016?白銀）下列根式中是最簡二次根式的是（ ）.
A.[23] B.[3] C.[9] D.[12]
【分析】最簡二次根式滿足下面的條件：①被開方數不含分母；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式.根據這兩個條件進行辨別.
解：A選項：[23]不是最簡二次根式，因為根號中含有分母；B選項：[3]是最簡二次根式；C選項：[9]不是最簡二次根式，因為根號中含有開得盡的因數；D選項：[12]不是最簡二次根式，因為根號中含有開得盡的因數.故選B.
【點評】判斷最簡二次根式時，特別要注意分母中不能含有根號哦！
11.二次根式有意義的條件.
例12 （2016?西寧）若式子[x+1]有意義，則x的取值范圍是 .
【分析】二次根式有意義，必須滿足被開方數是非負數，然后解不等式即可.
解：二次根式[x+1]有意義，x+1≥0，x≥-1.故答案為x≥-1.
【點評】解決這類問題的關鍵是由被開方數是非負數得出不等式，解這個不等式即可.對于分式形式的代數式，同學們還要注意所取的字母的值不能使分母為零.
二、考查數與式的運算能力
1.冪的運算.
例13 （2016?茂名）下列各式計算正確的是（ ）.
A.a2?a3=a6 B.（a2）3=a5
C.a2+3a2=4a4 D.a4÷a2=a2
【分析】分別從“同底數冪的乘法法則、冪的乘方法則、合并同類項的法則、同底數冪的除法法則”逐個驗證各選項的正確性.
解：a2?a3=a2+3=a5；（a2）3=a2×3=a6；a2+3a2=（1+3）a2=4a2；a4÷a2=a4-2=a2.故選擇D.
【點評】冪的運算是整式運算的基礎，需要熟練掌握，注意不要混淆相關知識，尤其是冪的乘方不要與同底數冪的乘法混淆，冪的乘方運算是轉化為指數的乘法運算，而同底數冪的乘法運算是轉化為指數的加法運算.
2.無理數的估算.
例14 （2016?畢節）估計[6+1]的值在（ ）.
A.2到3之間 B.3到4之間
C.4到5之間 D.5到6之間
【分析】先找到緊挨6的兩個完全平方數，再判斷[6]夾在哪兩個正整數之間，從而判斷[6+1]夾在哪兩個正整數之間.
解：4
【點評】本題主要考查對[a]的估算能力，解決此類問題的關鍵是確定與a相鄰的兩個平方數，即比a大和比a小，且同時最接近a的平方數，然后分別求出這些平方數的算術平方根，便可知[a]在哪兩個整數之間，從而得到[a±b]（b為整數）的范圍.
3.因式分解.
例15 因式分解：（1）（2016?襄陽）2a2-2= ；
（2）（2016?深圳）a2b+2ab2+b3= .
【分析】（1）先提取公因式2，再利用平方差公式分解因式；（2）先提取公因式b，剩下（a2+2ab+b2）正好滿足完全平方公式.
解：（1）2（a+1）（a-1）；（2）b（a+b）2.
【點評】因式分解問題應首先考慮是否能提公因式，找公因式應從系數、字母和字母的指數三個方面分別考慮.沒有公因式或提公因式后，再根據項數考慮公式法，兩項則判定是否可用平方差公式，三項則判定是否可用完全平方公式，三項以上則應考慮使用分組分解法.
4.非負數性質的應用.
例16 （2016?自貢）若[a-1]+b2-4b+4=0，則ab的值等于（ ）.
A.-2 B.0 C.1 D.2
【分析】[a-1]+b2-4b+4=0可變形為[a-1]+（b-2）2=0，根據非負數的和為零可得a、b的值，再根有理數的乘法得到答案.
解：由[a-1]+b2-4b+4=0可得：[a-1]+（b-2）2=0，a-1=0，b-2=0，解得a=1，b=2，ab=2.故選D.
【點評】初中階段學習了三種非負數：①[a]≥0；②a2≥0；③[a]≥0.如果出現幾個非負數的和為零，則說明這幾個非負數的值都等于0，此時可得一個方程組，解方程組即可求得未知數的值.
5.實數的運算.
例17 （2016?海南）計算：6÷（-3）+[4]-8×2-2.
【分析】先計算有理數除法、算術平方根、負整數指數冪及有理數乘法，最后再加減.
解：原式=-2+2-8×[14]=-2+2-2=-2.
【點評】實數的計算題常常將零指數冪、負整數指數冪、倒數、絕對值、算術平方根、特殊角的三角函數值、冪的運算性質等集于一題，綜合考查運算能力，解題時需記住以下規律：①對于一個非零數a，有a0=1，需要注意a必須是一個非零數，否則沒有意義；②對于一個數的負整數指數冪的求法公式：a-n=[1an]，應注意a≠0，n為正整數.
6.整式的運算.
例18 （2016?烏魯木齊）先化簡，再求值：（x+2）（x-2）+（2x-1）2-4x（x-1），其中x=[23].
【分析】先利用乘法公式和單項式與多項式乘法法則進行化簡，再合并同類項，最后代入數值進行計算.
解：原式=x2-4+（4x2-4x+1）-（4x2-4x）=x2-4+4x2-4x+1-4x2+4x=x2-3.當x=[23]時，原式=（[23]）2-3=12-3=9.
【點評】整式的化簡求值問題是中考的必考內容，主要涉及整式的乘除、乘法公式和整式的加減，同學們只要能熟練掌握有關法則及公式就可以解決此類問題.
7.分式與二次根式的運算.
例19 （2016?恩施）先化簡，再求值：[a-32a-4]÷[a+2-5a-2]，其中a=[5-3].
【分析】先確定分式的運算順序：先算小括號內的，再進行除法運算，最后代入求值.
解：原式=[a-32a-2]÷[a2-4a-2-5a-2]=[a-32a-2]÷[a2-9a-2]=[a-32a-2]?[a-2a+3a-3]=[12a+3].當a=[5-3]時，原式=[125]=[510].
指數與指數冪的運算范文6
【關鍵詞】分類思想 ；理性思維；滲透
數學思想和方法是數學的精髓和靈魂，其中分類思想在社會生活中、小學初中數學中普遍存在，如“物以類聚，人以群分”“合中分，分中合”，實數的分法和趣味題目“樹上停著10只鳥，獵人打中了1只，樹上還有幾只鳥？”等等.分類思想不管是在教學中，還是高教版教材中和中職大綱中都隱性地存在著，所以，我們應結合中職生的思維特點，更多從教材中、教學中把分類思想顯性化，提高中職生學習數學的趣味性，培養中職生思維的條理性、邏輯性，甚至為以后工作和生活提供指導，增強遷移能力.
所謂分類思想，就是根據數學本質屬性的相同點和不同點，將數學研究對象分為不同種類的一種數學思想，又稱邏輯劃分.一般按照“明確對象――確定標準――逐類討論――歸納總結”的思維步驟來分析問題.本文從以下幾點分析分類思想在中職數學中的滲透.
1.處理教材，挖掘分類思想
中職高教版數學等數學教材內容一般只顯示數學知識，而蘊含于知識中的分類思想方法沒有點明或為了避免分類討論而不采用分類思想方法.概念、性質、法則、公式、定理等知識是數學的外在表現形式，而分類思想等數學思想屬于內隱形式，隱藏在數學知識背后.教師應通過處理分析教材，挖掘分類思想，體現數學本質.“授人以魚不如授人以漁.”很多數學知識，等到學生走上工作崗位就忘記了，而數學思想方法、數學邏輯思維卻會自覺不自覺地應用與遷移到工作生活中.分類思想是貫穿整個中職數學的一種重要思想，幾乎涉及每個知識點.因此，在中職數學教學中，制定教學目標，既要體現數學知識，又要在適宜時機體現分類數學思想.
比如，中職高教版數學高一教材中，對解絕對值不等式只用了絕對值的幾何意義來分析，如|x-1|
再比如，中職高教版高一教材中，對解一元二次不等式只結合一元二次函數的圖像來分析.如ax2+bx+c>0a>0，令fx=ax2+bx+c，根據圖像可得不等式的解.雖然數形結合的方法比較容易，但過了一個學期，總有些數學基礎中等偏下的同學對原解法理解不深刻或口訣只會生搬硬套而不會解了.因此，建議在教學中一題多解、擴散思維，對一元二次式因式分解后再對兩個式子的正負性進行討論分析，一方面可以比較兩種方法的優劣，另一方面可以滲透分類思想.
從這兩個例子可以看出，教師在教學工作中教好教材，更要用好教材，挖掘和提煉數學思想方法，并在教學中滲透分類等思想方法，有助于培養中職學生數學興趣和提升思維的縝密性、深刻性.
2.形成概念，體驗分類思想
數學概念是人腦對現實對象的數量關系和空間形式的本質特征的一種反映形式，即一種數學的思維形式.數學思想方法是數學知識的重要組成部分，基于數學內容又高于數學內容的一種隱性知識，往往以隱藏的形式滲透在概念發生、發展、形成過程.下面就舉幾個概念中體現分類思想的例子：
中職高教版數學教材對實數指數“冪”概念形成過程很簡單，“冪”這個概念最早是在乘方運算中提出來的，即相同因數連乘積的運算叫作乘方，結果稱為冪.冪的兩個要素為指數與底數.底數的取值范圍由任意實數隨著指數的拓廣最后限定為正數；指數為正整數時也稱個數，指數從正整數推廣到整數，有理數再到實數.最后，冪隨著指數的變化為確保冪的存在而對底數進行限定才形成實數指數冪.通過以上分析可知，冪形成的兩個要素為底數和指數，而這兩種實數都可以從范圍來分，也可以從正負性來分.而教材上沒有實數指數冪形成過程的說明，也沒有冪的分類圖，所以，建議為了對“冪”這個概念有一個整體的認識，可以從兩個角度四個方面去劃分冪，為了更好地突出冪的應用廣泛性和引入冪函數的需要，根據指數的范圍給出如下的一個分類圖（根據指數的范圍）：
當然，若從指數正負性來劃分：實數指數冪可以分為正指數冪、負指數冪和零指數冪.若底數從實數范圍劃分，實數指數冪也可以分為有理數底數冪和無理數底數冪.若底數從正負性劃分，則可以得到：
冪ax正底數冪（x∈R）
零底數冪（x>0）
負底數冪x≠m[]n，n∈{偶數}，m∈{奇數}
以上兩種角度四種方法的分類，都要根據一個確定的、統一的標準來分，分的標準就是概念的要素，多個要素可以確定多個分類.通過分類，可以使概念系統完整，從而達成這個概念體系，在概念的形成中和體系的搭建中滲透分類思想.
3.探究原理，揭示分類思想
中職數學教科書由于篇幅限制和中職學生的學習特點，往往只有公式、定理的簡略的推導過程或現成的結論，因而要引導和鼓勵學生探究原理和揭示原理背后的思想方法.
數學原理是對數學概念之間穩定不變的關系的描述，數學概念是數學原理的基礎.如高教版中職拓展教材中直接給出兩個計數原理，沒有對原理進行探究分析.計數原理的基礎涉及兩個基本概念：加法和乘法.本校學生在本區內數學基礎是中等以下的，很多學生對分步完成乘法原理的理解只是停留在公式套用的層次上，原因在于一方面對分步完成還是分類完成分不清，另一方面對分步完成為什么用乘法原理的理解沒有本質的認識.現舉例分析：
例1 甲地到乙地有2條路可以走，分別記作a和b；乙地到丙地有3條路可以走，分別記作c，d，e，那么從甲地經過乙地到丙地共有幾種走法？
分析 若甲地到乙地選擇a，則有ac，ad，ae共三種走法；若甲地到乙地選擇b，則有bc，bd，be共三種走法，總計3+3=2×3=6種方法.
例2 在例1基礎上現增加從丙地到丁地有4條路，分別記作f，g，h，j，問從甲地經過乙地和丙地最后到達丁地共有幾種走法？
分析 從例1可知甲地到丙地有2×3=6種，若最后一階段從丙地到丁地選擇了f，則甲地到丁地有6種，同理若選擇了g，h，j也分別有6種，所以共計6+6+6+6=6×4=2×3×4=24種走法.
從以上兩個例子分析可以看出：分步完成乘法原理的分析用到了分類思想，對每個階段出現的路進行分類討論；分步完成乘法原理的基礎是分類完成加法原理，就如乘法運算是指將相同的數加起來的快捷方式，乘法的基礎是加法一樣.因此，對分步完成用乘法原理的不深刻理解源于對乘法運算的含義理解的膚淺，而這個最簡單、最常見的乘法原理卻蘊含著分類的思想，在探究原理的過程中，揭示分類的思想.
4.解決問題，領悟分類思想
例3 已知x∈R， n∈N*，求數列xn的和：Sn=x+x2+x3+…+xn.
分析 由于x的任意性，本題未指明數列為等比數列，所以要考慮該數列是等比數列和不是等比數列兩種情況，而其中等比數列又要分公比為1和不為1的兩種情況.總之，分類討論時要考慮分x=1，x=0，x≠0且x≠1共三種情況分析求解.
例4 已知A={1，2}，B={xmx=1，m∈R}，BA，求m的取值范圍.
分析 B是A的子集，B要分空集和非空集共兩種情況.其中B為非空集時，要考慮B為單元素集合和雙元素集合，排除雙元素集合，又有B=1，B=2共兩種情況.
例5 有5名同學排成一行拍照，甲同學不排在最左邊，乙同學不在最右邊，問有幾種排法？
分析 先考慮甲同學.如果甲同學在最右邊，余下的4名同學的排列不受限制，一次有A44種排法；如果甲同學不在最右邊，則只能排在中間3個位置，此時乙同學也只有3個位置可以選擇，因此有A13A13A33種排法.所以，共有A44+A13A13A33=78種.
解決以上數學問題，實質是變換命題形式和分類思想的反復運用.比如，例1的步驟：明確對象（集合B）――確定分類標準（集合B元素的個數）――逐類討論（空集，單元素集，雙元素集）――歸納總結（所有的情況合并得出m）.對所求的m不能統一進行研究，變換命題的形式分析集合B，然后再分類，最后得出m的值.此類數學問題的每一步轉換，都遵循著分類思想方法“總――分――總”的規律.通過這類數學問題的解決，會避免分類中重復和遺漏的現象，學生能夠領悟分類的魅力.
