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統計與概率范文1
易錯剖析一：抽樣方法含義理解不清致誤
例1學校附近的一家小型超市為了了解一年的客流量情況，決定用系統抽樣從一年中抽出52天作為樣本實施調查（即從每周抽取1天，一年恰好有52個星期），你覺得這樣的選擇合適嗎？為什么？
錯解：在這種情況下適合采取系統抽樣.
錯因分析：這家超市位于學校附近，其顧客很多為學生，客流受到學生作息時間的影響，如周末時，客流量會明顯減少，如果用系統抽樣來抽取樣本，起始點抽到星期天的話，樣本代表的客流量會明顯偏低，另外，寒暑假也會直接影響超市的客流量.
正解：利用簡單隨機抽樣和分層抽樣，可以把一周分為7天，一年分52層，每層用簡單隨機抽樣的方法，抽取適當的樣本進行調查.
易錯剖析二：概率與頻率的關系不清致誤
例2下列說法：
①頻率反映事件發生的頻繁程度，概率反映事件發生的可能性的大??；
②做n次隨機試驗，事件A發生m次，則事件A發生的概率為mn；
③頻率是不能脫離n次試驗的試驗結果，而概率是具有確定性的，不依賴于試驗次數的理論值；
④頻率是概率的近似值，概率是頻率的穩定值.
其中正確命題的序號為.
錯解：①④.
錯因分析：對概率和頻率的關系認識不清，導致誤判.如對于說法②，認為事件發生的頻率就是事件發生的概率，再如對事件發生的概率的確定性認識不清，就可能認為說法③不正確等.
正解：①③④.
易錯剖析三：誤解基本事件的等可能性致誤
例3任意投擲兩枚骰子，求出現點數和為奇數的概率.
錯解：點數和為奇數，可取3，5，7，9，11共5種可能，點數和為偶數可取2，4，6，8，10，12共6種可能，于是出現點數和為奇數的概率為55+6=511.
錯因分析：上述解法是利用等可能性事件的概率模型，此時必須保證每一個基本事件出現的可能性均等，而上述解法點數為奇數、偶數出現的機會顯然不均等，則不能用等可能性事件的概率模型來解答.
正解1：出現點數和為奇數，由數組（奇、偶）、（偶，奇）組成共有3×3+3×3=18個不同的結果，這些結果的出現是等可能的，故所求的概率為1836=12.
正解2：若把隨機事件的全部等可能結果取為：（奇、奇）、（奇、偶）、（偶，奇）（偶、偶）.點數和為奇數的結果為（奇、偶）、（偶，奇）兩種，故所求概率為24=12.
易錯剖析四：幾何概型概念的不清致誤
例4在等腰直角三角形ABC中，直角頂點為C，在∠ACB的內部任作一條射線CM，與線段AB交于點M，求AM
錯解：在AB上取AC′=AC，在∠ACB內作射線CM看作在線段AC′上任取一點M，過C，M作射線CM，則概率為AC′AB=ACAB=22.
錯因分析：上述作法好像很有道理，為什么錯誤呢？值得深思.考查此解法是否滿足幾何概型的要求，雖然在線段上任取一點是等可能的，但過點C和任取的點所作的射線是均勻的，因而不能把等可能取點看作等可能作射線，在確立基本事件時，一定要選擇好觀察角度，注意判斷基本事件的等可能性.
正解：在∠ACB內的射線CM是均勻分布的，所以射線CM作在任意位置都是等可能的，在AB上取AC′=AC，則∠ACC′=67.5°，故滿足條件的概率為67.5°90°=34.
易錯剖析五：互斥與對立事件相混淆致誤
例5把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分發給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是：.（填寫“對立事件”、“不可能事件”、“互斥但不對立事件”）
錯解：對立事件.
錯因分析：本題的錯誤在于把“互斥”與“對立”混同，要準確解答這類問題，必須搞清對立事件與互斥事件的聯系與區別：兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立；互斥的概念適合多個事件，但對立概念只適合于兩個事件；兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發生，即至多只能發生其中一個，但可以都不發生；兩事件對立則表示他們有且只有一個發生.
正解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”是不能同時發生的兩個事件，這兩個事件可能恰好有一個發生，也可能兩個都不發生，所以應選“互斥但不對立事件”.
易錯剖析六：混淆互斥事件與相互獨立事件致誤例6一個通訊小組有A、B兩套通訊設備，只要有一套設備正常工作，就能進行通訊，A、B設備各有2個、3個部件組成，只要其中有1個部件出現故障，這套設備就不能正常工作，如果在某段時間內每個部件不出現故障的概率都為p，試計算在這段時間內能進行通訊的概率.
錯解：由題意知：在某段時間內A、B兩套通訊設備能正常工作的概率分別為P（A）=p2，P（B）=p3，則在這段時間內能進行通訊即A、B至少有一個能正常工作，故在這段時間內能進行通訊的概率為P（A+B）=P（A）+P（B）=p2+p3.
錯因分析：題中A、B兩套通訊設備能正常工作這兩個事件是相互獨立的，上面所用的公式是兩個互斥事件有一個發生的概率，互斥與獨立是不同的兩種關系，一般沒有必然聯系，不能混淆，把互斥結果套用在獨立事件中是錯誤的，只有當A、B中一個是必然事件，另一個是不可能事件時，A、B既是互斥事件，又是獨立事件.
正解1（逆向思考）：A、B至少有一個能正常工作的對立事件為：A、B都不能正常工作，A不能正常工作的概率為1-p2，B不能正常工作的概率為1-p3，則在這段時間內能正常進行通訊的概率為1-（1-p2）（1-p3）=p2+p3-p5.
正解2（正向思考）：A、B兩套通訊設備在這段時間內能進行通訊這一事件包括：A正常B不正常，A不正常B正常，A、B都正常，且這三個事件彼此互斥.故在這段時間內能正常進行通訊的概率為p2（1-p3）+p3（1-p2）+p2?p3=p2+p3-p5.
易錯剖析七：忽視公式成立的條件致誤
例710張獎券中有3張中獎的獎券，每人購買1張，則前3個購買者中，恰好有1人中獎的概率為（）
（A） C310×0.72×0.3（B） C13×0.72×0.3
（C） 310（D） 3A27A13A310
錯解：因題中有“恰好有1人中獎”，根據n次獨立重復試驗恰好出現k次的概率計算公式Pn（k）=Ckn?pk?（1-p）n-k，馬上得到答案（B）.
錯因分析：用獨立重復試驗的概率公式進行計算時，它有三個前提條件：
（1）每次試驗都是在同一條件下重復進行的；
（2）每一次試驗都彼此獨立；
（3）每一次試驗出現的結果只有兩個.
只有這三個條件均滿足才可使用，而此題中3個購買者去購買獎券時，由于是不放回抽樣，所以彼此之間不獨立的，則不能用上述公式解答.
正解：3個人從10張獎券中各購買1張獎券出現的結果數為A310個，且出現的可能性均等，恰好有1人中獎出現的結果為3A27A13，故恰好有1人中獎的概率為3A27A13A310，選（D）.
易錯剖析八：求概率過程中把有序還是無序混為一談致誤例8一個口袋裝有6只球，其中4只白球，2只紅球，從口袋中取球兩次，第一次取出1只球不放回口袋，第二次從剩余的球中再取1球，求取到的2只球中至少有一只白球的概率.
錯解：取到的2只球中至少有1只白球包括：2只都是白球，1只白球1只紅球，故取到的2只球中至少有1只白球出現的結果數為A24+A12A14，依據等可能性事件的概率的求法，則取到的2只球中至少有1只白球的概率為A24+A12A14A26=23.
錯因分析：這是古典概率常見的模型――摸球模型，有“有序”與“無序”之分，不能混淆.從上述解法中可知：取球的過程是有順序的，那么取到1只白球1只紅球這種情況中有第一次取到白球、第二次取到紅球與第一次取到紅球、第二次取到白球兩種不同的情況.
正解1（正向思考）：取到2只球中至少有1只白球出現的結果數為A24+A12A14+A14A12，故所求概率為A24+2A12A14A26=1415.
正解2（逆向思考）：所求事件的對立事件是：取到的2只球都是紅球，故所求概率為1-A22A26=1415.
統計與概率范文2
英文名稱：Mathematical Theory and Applied Probability
主管單位：
主辦單位：北京工業大學應用數學系
出版周期：季刊
出版地址：北京市
語
種：雙語
開
本：16開
國際刊號：
國內刊號：43-1121
郵發代號：
發行范圍：國內外統一發行
創刊時間：1986
期刊收錄：
核心期刊：
中文核心期刊(2000)
中文核心期刊(1992)
期刊榮譽：
聯系方式
統計與概率范文3
1．串聯情況：排列、組合是概率統計的基礎，兩者既有聯系又有區別．排列與組合的共同點是“從n個不同元素中，任取m個不同元素”；而不同點是排列要“按照一定的順序排成一列”，而組合是“并成一組（與順序無關）”．因此，“有序”與“無序”是排列與組合的重要特征．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，通常以客觀題出現，常與兩個計數原理、概率統計交匯命題，是各地區高考命題的熱點．
3．破解技巧：解決排列組合問題時，常用的技巧：
（1）特殊元素（位置）優先安排；
（2）合理分類與準確分步．
4．經典例題：?搖
有4位同學在同一天的上、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠”、“肺活量”、“握力”、“臺階”五個項目的測試，每位同學上、下午各測試一個項目，且不重復．若上午不測“握力”項目，下午不測“臺階”項目，其余項目上、下午都各測試一人，則不同的安排方式共有_______種（用數字作答）．
破解思路本題可以先考慮安排上午的測試項目，再安排下午的測試項目，運用列舉法解決．
經典答案記4位同學分別為A、B、C、D，則上午共有A=24種安排方式．不妨先假設上午如表1所示安排方式，
表1
則下午可如下安排：BADC、BCAD、BCDA、BDAC，CABD、CADB、CDAB、CDBA，DABC、DCAB、DCBA，共11種安排方式．因此，全天共有24×11=264種安排方式．
圖1中有一個信號源和五個接收器．接收器與信號源在同一個串聯線路中時，就能接收到信號，否則就不能接收到信號．若將圖中左端的六個接線點隨機地平均分成三組，將右端的六個接線點也隨機地平均分成三組，再把所有六組中每組的兩個接線點用導線連接，則這五個接收器能同時接收到信號的概率是（）
圖1
A．B．C．D．
破解思路本題主要考查組合、概率知識，破解的關鍵是審清題意――“五個接收器能同時接收到信號”，即需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，解題中要用到平均分組的計數求法．
經典答案由題意，左端的六個接線點隨機地平均分成三組有=15種分法，同理右端的六個接線點也隨機地平均分成三組有=15種分法；要五個接收器能同時接收到信號，則需五個接收器與信號源串聯在同一個線路中，即五個接收器的一個全排列，再將排列后的第一個元素與信號源左端連接，最后一個元素與信號源右端連接，所以符合條件的連接方式共有A=120種，所求的概率是P==，故選D．
1．串聯情況：事件的“互斥”和“相互獨立”是兩個不同的概念，雖然它們都是針對兩個事件而言的，但互斥事件是說兩個事件不能同時發生，而相互獨立事件可以同時發生，并且一個事件發生與否對另一事件的發生沒有影響．互斥事件運用概率的加法公式，而相互獨立事件運用概率乘法公式．
2．考情分析：高考試題題中，常常是將互斥事件、相互獨立事件等交匯在一起進行考查，主要考查我們的理解辨別能力．
3．破解技巧：解題時，在透徹理解各類事件的基礎上，準確把題中所涉及的事件進行分解，明確所求問題所包含的事件類型．
4．經典例題：
甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球，乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球．先從甲罐中隨機取出一球放入乙罐，分別以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球的事件；再從乙罐中隨機取出一球，以B表示由乙罐取出的球是紅球的事件，則下列結論中正確的是_________（寫出所有正確結論的編號）．
①P（B）=；②P（BA1）=；③事件B與事件A1相互獨立；④A1，A2，A3是兩兩互斥的事件；⑤P（B）的值不能確定，因為它與A1，A2，A3中哪一個發生有關．
破解思路本題從概率模型入手考查互斥事件、相互獨立事件及條件概率．解題的關鍵是正確理解題意，明確基本概念的內蘊，把事件B的概率進行轉化P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3），可知事件B的概率是確定的．
經典答案易見是兩兩互斥的事件，而P（B）=P（BA1）+P（BA2）+P（BA3）=×+×+×=．故選②④．
在某次普通話測試中，為測試漢字發音水平，設置了10張卡片，每張卡片印有一個漢字的拼音，其中恰有3張卡片上的拼音帶有后鼻音“g”．
（1）現對三位被測試者先后進行測試，第一位被測試者從這10張卡片中隨機抽取1張，測試后放回，余下2位的測試也按同樣的方法進行．求這三位被測試者抽取的卡片上，拼音都帶有后鼻音“g”的概率；
（2）若某位被測試者從10張卡片中一次隨機抽取3張，求這三張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的卡片不少于2張的概率．
破解思路第1問首先確定每位測試者抽到一張帶“g”卡片的概率，再利用相互獨立事件的概率公式計算；第2問利用互斥事件的概率公式計算．
經典答案（1）每次測試中，被測試者從10張卡片中隨機抽取1張卡片上，拼音帶有后鼻音“g”的概率為，因為三位被測試者分別隨機抽取一張卡片的事件是相互獨立的，所以概率為××＝．
（2）設Ai（i＝1，2，3）表示所抽取的三張卡片中，恰有i張卡片帶有后鼻音“g”的事件，且其相應的概率為P（Ai），則P（A2）＝＝，P（A3）＝＝，因而所求概率為P（A2＋A3）＝P（A2）＋P（A3）＝＋＝．
1．串聯情況：兩種概型中每個基本事件出現的可能性都是相等的，但古典概型問題中所有可能出現的基本事件只有有限個，而幾何概型問題中所有可能出現的基本事件有無限個．
2．考情分析：古典概型是高考重點考查的概率模型，常與計數原理、排列組合結合起來考查；幾何概型易與線性規劃、定積分等幾何知識交匯命題，多以選擇題、填空題的形式出現．
3．破解技巧：古典模型的概率問題，關鍵是正確求出基本事件總數和所求事件包含的基本事件數，要準確理解基本事件的構成；利用幾何概型求概率時，關鍵是試驗的全部結果構成的區域和事件發生的區域的尋找，有時需要設出變量，在坐標系中表示所需要的區域．
4．經典例題：
已知集合A=｛x－1≤x≤0｝，集合B=｛xax+b•2x－1
（1）若a，b∈N，求A∩B≠的概率；
（2）若a，b∈R，求A∩B=的概率．
破解思路本題以集合為載體，導數為工具，考查兩種概率模型的求法．對于（1）要求運用導數知識列舉（a，b），再利用古典概型求解；（2）根據條件列出不等式，再用幾何概型求解．
經典答案（1）因為a，b∈N，（a，b）可?。?，1），（0，2），（0，3），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共9組．令函數f（x）=ax+b•2x－1，x∈［－1，0］，則f′（x）=a+bln2•2x．因為a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以f′（x）>0，即f（x）在［－1，0］上是單調遞增函數．f（x）在［－1，0］上的最小值為－a＋－1．要使A∩B≠，只需－a＋－10．所以（a，b）只能?。?，1），（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3）共7組．所以A∩B≠的概率為．
（2）因為a∈［0，2］，b∈［1，3］，所以（a，b）對應的區域是邊長為2的正方形（如圖2），面積為4．
圖2
由（1）可知，要使A∩B=；只需f（x）min=－a+－1≥0?圯2a－b+2≤0，所以滿足A∩B=的（a，b）對應的區域是圖中的陰影部分．所以S陰影=×1×=，所以A∩B=的概率為P==．
1．串聯情況：離散型隨機變量及其分布列是高中概率統計的核心內容，要求能寫出隨機變量的可能取值以及概率分布，要求熟練掌握兩點分布、二項分布、超幾何分布模型．
2．考情分析：求離散型隨機變量的分布列，以及分布列求隨機變量的數學期望與方差，特別是二項分布，成為新課程高考內容的重點和必考對象，主要考查我們觀察、分析、解決問題的能力以及我們收集、轉化、處理信息的能力．
3．破解技巧：解決此類問題時，注意以下幾點：（1）離散型隨機變量分布列的判斷；（2）求離散型隨機變量的分布列、期望與方差應用；（3）根據離散型隨機變量的分布列求概率；（4）根據離散型隨機變量分布列、期望與方差性質求參數．
4．經典例題：
甲、乙、丙三人參加了一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約，甲表示只要面試合格就簽約．乙、丙則約定：兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約．設甲面試合格的概率為，乙、丙面試合格的概率都是，且面試是否合格互不影響．
（1）求至少有1人面試合格的概率；
（2）求簽約人數ξ的分布列和數學期望．
破解思路本題考查概率、分布列及期望的求解．第1問運用間接法；第2問先確定ξ的取值，再運用互斥事件、相互獨立事件的概率公式求出分布列，進而求得數學期望．
經典答案（1）用A，B，C分別表示事件甲、乙、丙面試合格．由題意知A，B，C相互獨立，且P（A）=，P（B）=P（C）=，至少有1人面試合格的概率是1－P（）=1－P（）P（）P（）=1－××=.
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3．P（ξ=0）=P（B）+P（C）+P（）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（C）+P（）P（）P（）=××+××+××=；P（ξ=1）=P（AC）+P（AB）+P（A）=××+××+××=；P（ξ=2）=P（BC）=××=；P（ξ=3）=P（ABC）=××=；所以ξ的分布列是
所以ξ的期望Eξ=0×+1×+2×+3×=.
1．串聯情況：統計是研究如何收集、整理、分析數據的學科，要求理解抽樣方法，體會用樣本估計總體及其特征的思想，體會統計思維與確定性思維的差異，能認識變量間的相關關系．統計與概率的相關知識能有機地結合．
2．考情分析：近幾年高考試題中設計了許多背景與我們日常生活非常貼近的統計綜合題，通過對統計圖表分析出來的頻率值估算事件發生的概率．概率與統計交匯的考查，主要以課本知識為基礎，以統計思想為主線，考查我們分析解決問題的能力．
3．破解技巧：在弄清題意、讀懂題目所給圖表信息的基礎上，建立適當的概率模型、運用有關公式進行求解，要求熟練掌握基礎知識和基本方法、理解數據處理的幾種基本思想、方法和作用．
4．經典例題：
為調查某市學生百米運動成績，從該市學生中按照男、女生比例隨機抽取50名學生進行百米測試，學生成績全部都介于13秒到18秒之間，將測試結果按如下方式分成五組，第一組［13，14），第二組［14，15），…，第五組［17，18］，圖3是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖．根據有關規定，成績小于16秒為達標．
（1）用樣本估計總體，某班有學生45人，設ξ為達標人數，求ξ的數學期望與方差；
圖3
（2）如果男、女生使用相同的達標標準，則男、女生達標情況如表2.
表2
根據上表數據，能否有99%的把握認為“體育達標與性別有關”？若沒有，你能否提出一個更好的解決方法來？
附：K2=
破解思路本題以頻率分布直方圖為載體，考查運用樣本估計總體及其特征的思想．（1）把問題歸結為二項分布求解；（2）運用獨立性檢驗原理，判斷兩個分類變量之間的關系．
經典答案（1）成績在［13，16）的頻率：（0.04+0.18+0.38）×1=0.6，若用樣本估計總體，則總體達標的概率為0.6．從而ξ～B（45，0.6），所以Eξ=45×0.6=27（人），Dξ=10.8．
（2）
K2=≈8.333，由于K2≈8.333>6.625，故有99%的把握認為“體育達標與性別有關”，故應根據男、女生性別劃分達標的標準．
1．串聯情況：新課程高考注重在知識點的交匯處命題，這就為概率的出題提供了空間，概率可以和函數、數列、幾何、算法等知識結合．
2．考情分析：“在知識網絡交匯處設計試題”是近年高考命題的重要理念．要注意挖掘知識內在聯系，領會知識間的自然交匯．
3．破解技巧：在復習備考的過程中，要把握好知識間的縱橫聯系與整合，打破數學內部章節界限，使自己對所學內容真正融會貫通，運用自如，形成網絡化的知識體系．
4．經典例題：
甲、乙兩人做射擊游戲，甲、乙兩人射擊擊中與否是相互獨立事件，規則如下：若射擊一次擊中，原射擊者繼續射擊，若射擊一次不中，就由對方接替射擊．已知甲、乙兩人射擊一次擊中的概率均為，且第一次由甲開始射擊．
（1）求前4次射擊中，甲恰好射擊3次的概率；
（2）若第n次由甲射擊的概率為an，求數列｛an｝的通項公式，并說明當n趨向于+∞時的實際意義．
破解思路本題以相互獨立事件為背景，考查概率與遞推數列，由遞推關系求得通項公式，運用極限的思想說明問題的實際意義．
經典答案記A為甲射擊，B為乙射擊，則
（1）前4次射擊中甲恰好射擊3次可列舉為AAAB，AABA，ABAA，其概率為P=××+××+××=．
（2）“第n+1次由甲射擊”這一事件，包括“第n次由甲射擊，第n+1次繼續由甲射擊”及“第n次由乙射擊，第n+1次由甲射擊”兩事件，則有an+1=an+（1－an）=an+，其中a1=1，an+1－=an－，所以數列an－等比數列．所以an=+，當n趨向于+∞時，an趨向于．
實際意義為當甲、乙兩人射擊次數較多時，甲、乙兩人分別射擊的次數接近相等．
甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定每局勝者得1分，負者得0分，比賽進行到有一人比對方多2分或打滿6局時停止．設甲在每局中獲勝的概率為pp>，且各局勝負相互獨立．已知第二局比賽結束時比賽停止的概率為．若圖4為統計這次比賽的局數n和甲、乙各自的總得分數S，T的程序框圖．其中如果甲獲勝，輸入a=1，b=0；如果乙獲勝，則輸入a=0，b=1．
（1）在圖4中，第一、第二兩個判斷框應分別填寫什么條件？
（2）求p的值；
（3）設ξ表示比賽停止時已比賽的局數，求隨機變量ξ的分布列和數學期望Eξ．
破解思路本題是概率與算法的綜合題．破解的關鍵是讀懂程序框圖，結合程序框圖求出p值；對于（3）先確定ξ的所有可能值，設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為，進而求得其分布列及數學期望．
經典答案（1）程序框圖中的第一個條件框應填M=2，第二個應填n=6．（答案不唯一．如：第一個條件框填M>1，第二個條件框填n>5，或者第一、第二條件互換，都可以．）
圖4
（2）依題意，當甲連勝2局或乙連勝2局時，第二局比賽結束時比賽結束，所以有p2+（1－p）2=，解得p=或p=．因為p>，所以p=．
（3）依題意知，ξ的所有可能值為2，4，6．設每兩局比賽為一輪，則該輪結束時比賽停止的概率為．若該輪結束時比賽還將繼續，則甲、乙在該輪中必是各得一分，此時，該輪比賽結果對下輪比賽是否停止沒有影響．從而有P（ξ=2）=，P（ξ=4）=1－=，P（ξ=6）=1－•1－•1=．
所以隨機變量ξ的分布列為：
故Eξ=2×+4×+6×=．
品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試，一種通常采用的測試方法如下：拿出n瓶外觀相同但品質不同的酒讓其品嘗，要求其按品質優劣為它們排序；經過一段時間，等其記憶淡忘之后，再讓其品嘗這n瓶酒，并重新按品質優劣為它們排序，這稱為一輪測試．根據一輪測試中的兩次排序的偏離程度的高低為其評分．
現設n=4，分別以a1，a2，a3，a4表示第一次排序時被排為1，2，3，4的四種酒在第二次排序時的序號，并令X=1－a1+2－a2+3－a3+4－a4，則X是對兩次排序的偏離程度的一種描述．
（1）寫出X的可能值集合．
（2）假設a1，a2，a3，a4等可能地為1，2，3，4的各種排列，求X的分布列．
（3）某品酒師在相繼進行的三輪測試中，都有X≤2，
①試按（2）中的結果，計算出現這種現象的概率（假定各輪測試相互獨立）；
②你認為該品酒師的酒味鑒別功能如何？說明理由．
破解思路本題以絕對值為載體，考查分布列和期望的簡單應用以及閱讀理解、轉化化歸能力．（1）X的可能取值集合為｛0，2，4，6，8｝，在1、2、3、4中奇數與偶數各有兩個，a2，a中的奇數個數等于a，a中的偶數個數，得到1－a1+3－a3與2－a2+4－a4的奇偶性相同；（2）可以用列表或者樹狀圖列出1、2、3、4的排列，計算每種排列下X的值，算出概率，寫出分布列．
（3）將三輪測試都有X≤2的概率記作p，求出概率的值和已知量進行比較，得到結論．
經典答案（1）X的可能值集合為｛0，2，4，6，8｝．在1，2，3，4中奇數與偶數各有兩個，所以a2，a4中的奇數個數等于a1，a3中的偶數個數，因此1－a1+3－a3與2－a2+4－a4的奇偶性相同，從而X=（1－a1+3－a3）+（2－a2+4－a4）必為偶數，X的值非負，且易知其值不大于8，容易舉出X的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子．
（2）可用列表或樹狀圖列出1，2，3，4的一共24種排列，計算每種排列下的X值，在等可能的假定下得到
（3）①首先P（X≤2）=P（X=0）+P（X=2）=，將三輪測試都有X≤2的概率記作p．由上述結果和獨立性假設，得p==．②由于p==
1.串聯情況：（1）二項分布及其應用主要以條件概率、相互獨立事件同時發生的概率、獨立重復試驗的概率為載體，綜合考查某一事件發生的概率，進而通過計算期望與方差考查總體取值的平均水平和穩定性；（2）正態分布主要考查正態分布的意義和性質，通過把一般正態總體轉化為標準正態，常以客觀題的形式出現．
2．考情分析：在每年的高考中都有考查，獨立重復事件多以解答題的形式出現，而正態分布常出現在客觀題中，偶爾也會在解答題中出現.
3.破解技巧：（1）準確判斷某隨機變量是否服從二項分布，要看兩點：①在每次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生；②在每次試驗中，事件發生的概率相同．若滿足，則在此獨立重復試驗中以事件發生的次數為隨機變量，此時該隨機變量服從二項分布．
（2）理解正態分布曲線的意義及性質是解答此類問題的關鍵：如正態分布密度函數f（x）=e，圖象關于直線x=μ對稱，均值為μ，方差為σ2等．
4．經典例題：
在一個圓錐體的培養房內培養了40只蜜蜂，準備進行某種實驗，過圓錐高的中點有一個不計厚度且平行于圓錐底面的平面把培養房分成兩個實驗區，其中小錐體叫第一實驗區，圓臺體叫第二實驗區，且兩個實驗區是互通的．假設蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的．
（1）求蜜蜂落入第二實驗區的概率；
（2）若其中有10只蜜蜂被染上了紅色，求恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率；
（3）記X為落入第一實驗區的蜜蜂數，求隨機變量X的數學期望EX．
破解思路恰當地回歸到相應的概率模型中去，是解答概率與統計應用問題的突破口.只有找到合適的概率模型，我們才能迅速抓住問題的本質，進而設計相應的解題策略．第1小題考查幾何概型的“三維”測度問題；第2小題實際上可轉化為獨立重復事件的概率；對于第3小題，“落入第一實驗區的蜜蜂數”服從二項分布，不必通過列隨機變量分布圖求數學期望，直接代公式即可．
經典答案（1）記“蜜蜂落入第一實驗區”為事件A，“蜜蜂落入第二實驗區”為事件B．依題意，P（A）===，所以P（B）=1－P（A）=，所以蜜蜂落入第二實驗區的概率為．
（2）記“恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區”為事件C，則P（C）=C××==，所以恰有一只紅色蜜蜂落入第二實驗區的概率．
（3）因為蜜蜂落入培養房內任何位置是等可能的，且蜜蜂落入哪個位置相互之間是不受影響的，所以變量X滿足二項分布，即X～40，，EX=40×=5
在某校舉行的數學競賽中，全體參賽學生的競賽成績近似服從正態分布N（70，100）．已知成績在90分以上（含90分）的學生有12名．
（1）此次參賽學生總數約為多少人？
（2）若該校計劃獎勵競賽成績排在前50名的學生，設獎的分數線約為多少分？可共查閱的（部分）標準正態分布表Φ（x0）=P（x
破解思路本小題主要考查正態分布，考查運用概率統計知識解決實際問題的能力．
經典答案（1）設參賽學生的分數為ξ，因為ξ～N（70，100），由條件知，P（ξ≥90）＝1－P（ξ
（2）假定設獎的分數線為x分，則P（ξ≥x）＝1－P（ξ
1．重視對審題能力的培養
概率統計問題，大都以應用題的面目出現，同學們由于審題不夠細心而出錯的現象比較普遍，出現的錯誤主要有：主觀臆斷、混淆事件、重復計算、遺漏條件．因此我們要學會審題，培養自身的閱讀理解能力，提高應用數學知識、方法分析問題和解決問題的能力．
統計與概率范文4
數學是什么？數學并不只是一個科學工具，數學是文化，是人類文明的重要基礎；數學是科學，是哲理思維，蘊涵著深刻而豐富的人文文化.學習數學文化，既要提高數學素質、科學素質，也要提高思維品質和人文素質，促進文理交融與學生全面發展.
數學的素質尤為重要，它在實施素質教育中具有基礎的意義.就如體質是從事一切體力勞動的基礎一樣，數學素質是從事一切腦力勞動的基礎.在科學技術成為第一生產力推動社會發展的今天，在人類發展要向可持續方式轉變的今天，我們把數學作為文化，作為所有科研工作者和社會工作者的基本素質，是何等的重要.數學思想是數學文化的核心，因為數學文化是數學的形態表現，它可以包括：數學形式、數學歷史、數學思想.其中思想是本質的，沒有思想就沒有文化.
當今世界，無論是國際間的競爭還是社會各行業各領域的競爭等，核心是創新人才的競爭，而創新人才的產生又與教育密不可分.諾貝爾獎獲得者楊振寧和朱棣文在談到中國教育現狀時，都認為中國的教育重基礎知識的學習，而輕創造能力的培養.那作為大學數學教師的我們，怎樣才能以合理有效的教學培養學生的創造能力呢？以數學公共課“概率論與數理統計”的教學為例，有下面一些反思.
非數學專業的學生在學習“概率論與數理統計”之前基本上都是有微積分和線性代數的數學基礎，但大多數學生對這些數學知識的印象都是枯燥、繁瑣的計算、記不住的公式和不知所以然的推理論證，甚至有些學生對數學有種排斥的心理，認為數學根本就沒有用.學數學意味著什么？當然除非你能用它，否則毫無益處.而“概率論與數理統計”是一門研究隨機現象及其規律性的科學，有著廣泛的實際應用，而且其中用到求導數、求積分等工具，正好可以通過這門課的學習，使學生感受到數學的力量，從而對數學產生興趣.
j．勒雷說過：“學習科學不是靠讀，而是靠理解.科學不是靜止呆板的字母，書籍不能保證它永恒的青春.科學是一種有生命的思想，為了對它產生興趣，進而掌握它，人們必須在精明的人的指導下，用自己的頭腦去重新發現它.”
我們教師就應該成為這樣精明的人，當然我們的教學不能只是宣讀寫好的課本或ppt，也不能只是登上講臺發表高見，而要通過對話使學生發現真理.這就要求我們在教學過程中不斷滲透數學思想，注重培養學生的自學能力和擴展、發展知識的能力，為學生今后持續創造性的學習打好基礎.
數學思想可以歸納為三種基本思想：抽象、推理和模型.下面舉個課本［4］第一章中的一個例子：設盒子中有3個白球，2個紅球，現從盒中任抽2個球，求取到一紅一白的概率.
為了培養學生的創造性，在教學過程中還要培養學生的數學yawp（叫嚷或尖銳的叫聲），就是發現一個數學思想或數學論證的美或解決一個問題時所表達的驚奇和愉快.這就要鼓勵學生發現，要恢復學生孩子般的好奇心和想象力，教他們提出好問題.例如書本［4］第五章是講大數定理與中心極限定理，這章其實主要就是回答了四個問題：為何能以某事件發生的頻率作為該事件的概率的估計？為何能以樣本均值作為總體期望的估計？為何正態分布在概率論中占有極其重要的地位？大樣本統計推斷的理論基礎是什么？在教學過程中，這四個問題不應該是講到這一章由老師提出，而應該在前面相應各章節的學習時就引導學習自己提出這些問題，學生帶著這些問題來學這一章的效果肯定會更好.
統計與概率范文5
關鍵詞：因材施教；實踐教學；案例教學法
中圖分類號：G64 文獻標識碼：A 文章編號：1673-9132（2016）34-0016-02
DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2016.34.007
工程教育專業認證是國際通行的工程教育質量保障制度，也是實現工程教育國際互認和工程師資格國際互認的重要基礎。工程教育專業認證標準的通用標準要求：“能夠應用數學、自然科學和工程科學的基本原理，識別、表達、并通過文獻研究分析復雜工程問題，以獲得有效結論?！备怕暑愊嚓P課程是數學類的一門基礎課程，研究的是隨機現象統計規律性問題，其基本思想和方法已經滲透到各個領域。因此，應針對不同專業建立有差別的課程體系。
一、概率統計課程教學內容的現狀
南京郵電大學目前開設的概率統計課程主要包括“概率論與數理統計”和“概率統計和隨機過程”兩門，分別面向不同的專業需求。概率論與數理統計共48學時，主要面向計算機、自動化、經濟、管理等專業。概率統計和隨機過程比前者多了16學時的隨機過程部分，主要面向通信、電子、光電、物聯網等專業。目前，同一門課程對不同專業講授的內容幾乎完全相同，且這兩門課程共同包含的概率論與數理統計部分在講授時也并沒有因專業不同而區別對待。雖然任課教師認真備課授課，但是預期的教學目標并不能完全實現，就是所謂的事倍功半。數學知識是專業知識的基礎，掌握得好，會使得后面專業課的學習更加得心應手。反之，就會影響預期效果。因此，概率類課程的教學內容應根據學生的專業背景進行適當調整。特別是部分通過專業認證和擬參加專業認證的專業，應調研專業的知識背景以及對概率類課程內容的需要，在講授過程中做到突出重點，解決難點，真正做到“因材施教”。當然以此作為契機，對全校的概率課程教學內容進行一些改革，將會更好地提高教學質量。
二、構建概率統計課程新的框架
以48學時的概率論與數理統計為例進行分析，其他以此為據，適當增加或減少課程內容或在某些內容上增大或降低教學難度。整個課程設置分為必修、實踐和選修三個部分。
（一）必修部分（48學時）
必修部分主要涵蓋該門課程的理論知識部分，包括概率論部分和數理統計部分。概率論部分主要包括一維、二維隨機變量及其分布，隨機變量的數字特征，大數定律等概率論基本概念。數理統計部分主要包括參數估計，假設檢驗等數理統計中的基本概念和抽樣分布。
教學內容可分解成若干知識點，而聯系緊密的一些知識點可以組成知識模塊。將所有教學內容按照知識點、知識模塊進行細分之后，按照不同專業的學習需求，增加或者跳過某個知識點或知識模塊，以便調整授課內容。此外，對于高中出現的知識點、知識模塊，可以采取歸納復習的方法。
（二）實踐部分
概率論與數理統計課程是研究隨機現象統計規律性的一門學科，從誕生到發展都離不開實踐，許多重要的思想和方法都來自實踐。另一方面，隨著計算機的普及和發展，各種功能強大的數學軟件應運而生。因此，在教學過程中加入計算機技術和數學軟件，重視實踐動手能力的培養成為該課程教學的必然。
實踐教學內容的開展可以由多種形式來完成。一是作為一門必修課或者限選課，單獨開設概率統計的實踐課。二是在必修部分的課時充足的時候，將內容不太多的實踐教學歸入其中。三是將它歸入其他課程，例如數學實驗課就可以包含概率統計的實驗問題。具體形式的選取要根據學校的實際情況而定。
（三）選修內容
概率統計的選修課可根據實際，開成各有側重的課程。例如經濟管理中的概率統計可以結合經濟和管理專業講述概率統計的應用，概率統計在社會生活中的應用可以側重概率統計知識的使用等。這樣做既考慮到了不同專業對概率統計知識的需求，也能照顧不同學生的需求。
三、概率類課程的教學方法改革內容
首先，教學內容要與生活實際結合。包括兩方面：（1）闡述教學內容的背景知識。例如古典概型是通過擲硬幣、擲骰子等賭博游戲發展而來。對背景的講述有助于學生對概率統計知識的了解。（2）使用案例教學法。傳統的教學方式注重系統性和嚴謹性，忽視了應用性。而實際上，概率統計中有相當一部分抽象難以理解的內容，就可以采用案例教學法。在案例分析中可以讓學生體會數學建模的全過程。教學內容與實際問題結合的方式有助于學生對基本概念和理論知識的理解和掌握，有利于提高學生的綜合應用能力。
其次，要注意學生能力的培養。包括兩方面：（1）鼓勵一題多解，培養學生的發散思維和深刻思維。鼓勵學生用不同方式解決問題，當然這個過程中，重要的是先理解，然后應用。（2）講授和討論相結合，啟發學生獨立思考。在教學活動中，采用啟發式、應用案例教學等相結合的教學方法，發揮教師的主導作用和學生主觀能動性，注重學生的主體地位，最終提高學生分析和解決問題的能力。
最后，課程教學可以采用如下授課形式：（1）預習課1周。重溫以前學過的知識，閱讀教師指定的教材、參考書。（2）集中授課13周（包括習題課2-3周）。帶著之前預習過程中發現的問題，有重點的聽講、練習。（3）討論課2周。教師可提前準備幾個題目，然后由小組代表和成員參與討論。最后教師進行歸納和補充，這樣每位學生對這些問題就有了全新的認識。
正如中科院院士李大潛所說：“數學的教學不能僅僅看做是知識的傳授，而應該使學生在學習知識、培養能力和提高素質等方面都得到教益。”要做到這一點，教學方法的改進和教學內容的創新是關鍵的一環。
參考文獻：
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[3] 陳俊英，曾浩宇.概率統計課程教學方法的探索實踐[J].科技文匯，2014（2）.
統計與概率范文6
關鍵詞： 概率論與數理統計 分級教學 實踐 問題
高等院校經過近幾年連續擴招，正面臨著學生規模大幅膨脹、學生能力參差不齊的客觀現象。這些變化給基礎類教學帶來了嚴峻的挑戰，為了全面貫徹黨的教育方針，大力推進素質教育，對概率論與數理統計進行科學的教學改革十分必要。
長江大學作為湖北省最大的省屬地方高校，本身情況特殊，學生間存在著巨大差異：第一，我校石油工程、地球物理勘探和石油地質三個專業按照國家一本線招生，其它專業則按照二本線招生；第二，畢業后職業目標及就業要求差異較大，一部分進入石油石化行業，另外絕大部分會從事實際應用型工作；第三，我校辦校和科研水平穩步提升，對部分“精英”學生要求更高。之前我校該課程一直按照傳統的對所有學生實行自然分班和“一刀切”教學模式，這種單一、統一的教學模式，必然造成“好的學生吃不飽”、“差的學生吃不了”等新問題。
1.分級教學的理論依據和目的
實施分級教學，將高等數學處于同一或相近水平的學生跨專業跨班級歸在同一個班級進行教學，極大優化教學資源，這主要源自因材施教原則。在因材施教教學原則下，分層次教學可滿足各層次學生數學素質的要求，可充分挖掘學生的潛能，使每個學生都能獲得所需要的知識，同時又充分實現高等院校的教育和服務功能，保證教學的質量和效果。
2.概率論與數理統計課程分級教學的實踐
2.1分級教學的必要性。
2.1.1個體差異理論與生源質量差異
由于學生在地域因素、學習方法、接受教學信息等方面存在明顯的個體差異，因此教師必須照顧學生的個體差異，從實際出發因材施教。擴招后學生高考成績相差懸殊的現象已經非常明顯，經過一年的學習，學生差異有擴大的趨勢。該課程作為高等數學的后續課程，如果仍然采用自然分班，勢必會嚴重影響教學效果，還會導致有限的教學資源不能得到有效的利用。
2.1.2各個專業間的要求差異
各個專業對于概率論與數理統計的要求也不盡相同。我校物理、機械、電信等專業后續課程和專業研究與數理統計知識聯系緊密，對學生的能力要求也比較高；而法學、英語等專業只需要其掌握一般的數學基礎知識和概念。完全不顧專業差異，采用同樣的教學形式與教學方法，顯然是違背科學規律的。
2.2分級教學的實施。
2.2.1學生的分級原則
學生分級是進行分級教學的前提，必須遵循一定的原則規律，科學合理地分班分級。劃分標準應主要包括學生高等數學成績、專業性質和本人意愿。分班分級應首先考慮學生的高考入學成績和高等數學成績，同時兼顧各專業后續課程及專業研究對概率論與數理統計知識能力的要求。在以上大原則的背景下，還應尊重學生的自我選擇。當然，現實分級時，要考慮的因素還有很多，可以暫時分為ABC三級：數學基礎好、專業對概率論知識要求較高的同學分為A級；數學基礎較差且專業與數學聯系不太緊密的同學分為C級；其他同學分為B級。
2.2.2教學的分級原則
教學分級的實施過程比較復雜，需要重新分級的教學環節很多，本文主要探討教學大綱、教學目標、教學內容和考核方法。針對不同情況，我們重新修訂了教學大綱和教學計劃，并安排了適當的教學進度。具體來說，A級主要是在掌握“三基”的基礎上，適當加深教學內容，學習并運用統計軟件SPSS或SAS來解決實際問題；B級學生著重于理解，依據教學大綱的要求，強調對基礎知識的理解與掌握，以課本知識為主，適當補充習題，培養學生通過建模思想來解決問題；C級學生則側重于一般理解掌握，在不影響課程體系完整性的基礎上，適當降低概率論部分的理論性和難度，在教學中多介紹一些有著良好應用背景的簡單例子，力求做到深入淺出、通俗易懂?？己朔绞降姆旨壷饕w現在平時成績的給定上。平時成績包括學生學習態度、作業完成和出勤情況等多方面，如果條件允許，A級學生也可采用課程論文加期末考試加平時成績的做法，并且ABC三級的平時成績可按總成績的20%、30%、40%的比例給出。
3.分級教學中存在的問題
目前各高等院校概率論與數理統計分級教學仍處于嘗試和探索階段，沒有現成的道路可循，為此要構建合理的分級教學模式，必須注意以下幾個方面的問題。
3.1如何制定更加科學的分級教學計劃。
制定科學合理的教學計劃和教學內容，實行有效的教學方法是分級教學重中之重。如何在充分體現國家學大綱精神的基礎上，根據學生及專業的具體情況，制定合理規范的教學計劃和教學內容是分級教學改革探索中面臨的首要問題。
3.2如何使得教務、學生管理更好地協調一致。
分級教學打破了原有的自然班級界限，給教務、學生管理帶來了一系列問題。班級同學來自不同專業，學生成績登記、存檔等問題都需要學校各個部門相互協調配合。所以，分級教學需要教務部門及各學院學生管理部門等方面的大力支持，相互協調才能順利實施，這也是分級教學能夠不斷進行的可靠保證。
4.結語
近幾年我院進行了概率論與數理統計課程的分級教學，取得了一定的成績，但也發現了許多問題，如個別C級學生出現了自卑心理，分級成績對各種獎（助）學金的評選帶來了一些矛盾，等等，這些問題都要求我們探求解決之道?？傊?，分級教學具有堅實的理論依據，更適合新形勢下高等教育教學改革的方向，是提高高等院校教學質量的一條可行途徑。
參考文獻：
［1］傅麗芳，鄧華玲.高等院校概率論數理統計課程分級教學的實踐與思考［J］.大學數學，2008，24，（01）：13-16.
