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有些學者從微觀經濟理論的角度探索消費和投資的最優比率。例如，Phelps構建了不確定收入下的最優消費率［2］?；谶@一模型，Merton以布朗運動模擬不確定收益，利用動態規劃建模的方式，求出在連續時間假設下獲得最大消費效用的消費和資產投資組合［3］。然而Merton的模型采用了Pratt的絕對風險厭惡度（absolute risk aversion）［4］，即假設投資者的風險偏好是和年齡、財富無關的常數，從而把家庭總財富比率設計成常數。為了改進過于嚴格的常系數風險厭惡假設，Farhi和Pan－ageas假設投資者可以通過控制退休時間來調整勞動供給，從而實現最優消費和投資［5］。另外有些學者拓展了Merton等人的模型，如Hakansson和Richard研究了存在保險時的生命周期最優消費［6］［7］；Karatzas使用鞅方法研究了個人如何選擇消費率來實現消費和財富效用最大化［8］；Bodie等人探討了退休期間的最優消費投資問題［9］。有些學者則從宏觀經濟學的角度闡述消費和投資對消費效用最大化的影響。李嘉圖的古典消費理論強調了消費對經濟的刺激。凱恩斯絕對收入假說認為消費主要取決于當期絕對收入，平均消費傾向（APC）隨收入增加而減少。按此假說，一戰后，美國人民收入增加，儲蓄應隨之增加。但是，Kuznets實證研究發現戰后儲蓄并未增加，長期APC穩定［10］。為解析上述矛盾現象，Duesenberry提出相對收入假說，家庭會比較其他家庭的收入，即相對水平，來決定自己的消費水平［11］（P3）。相對收入假說的缺陷在于家庭的消費是短視行為，沒有考慮未來收入。為克服相對收入假說存在的問題，Friedman提出了家庭將根據終生收入來決定消費的持久收入假說［12］（P26－135）。內生增長理論被廣泛用于分析投資和消費的最優分配。該理論假設在生產過程中的規模收益不變，即凸性生產技術，經濟增長的決定因素是生產要素，生產率是由模型內生所決定的，而不是由資源、人口等外部因素決定。典型的內生增長模型有AK模型、Rebelo模型等［13］。
曾經有人質疑AK模型是否可以用來評估經濟增長。Jones建立了技術為常數的AK模型，對函數關于物質資本和人力資本求最大值，并基于1950～1988年加拿大、法國、德國等15個OECD國家的時間序列數據，研究發現戰后投資額同經濟增長無關，并由此推斷AK模型對投資和經濟增長關系的預測是短期的或不正確的［14］。為了反駁AK模型不適用于研究經濟增長的結論，McGrattan建立了技術為常數的AK模型，對函數關于消費和資本求最大值。McGrattan用1870～1989年11個國家的數據驗證了投資率和經濟增長之間的正相關關系，證明政府投資誘導政策會永久性影響經濟增長［15］。McGrat－tan發現Jones之所以用AK模型測不出投資和經濟增長的相關性，一是數據期限短，二是模型設計存在缺陷。McGrattan的模型假設如下：（1）代表性家庭選擇投資和消費，從而實現生命周期效用最大化；（2）家庭有兩種資本，分別是結構資本和設備資本，家庭收入來源于把結構資本和設備資本租給公司的租金；（3）家庭收入要向政府繳納稅收，因此政府政策可以影響投資產出比和勞動閑暇選擇。這樣一來，McGrattan就解釋了Jones觀察到的投資增加而產出穩定的短期離差，并從理論和實證角度驗證了AK模型的有效性。本文在持久收入假設和內生增長理論框架下，研究經濟增長的最優消費投資比率，從理論上指導國民收入的合理分配。之所以選擇資本產出彈性為單位彈性的AK模型，是因為資本對發展中國家很重要。發展中國家可以通過購買技術先進的國家的設備得到知識，這種由投資帶來的技術溢出可以加速整個國家的現代化。另外，由于行業間存在溢出效應，當資本提高某個行業的生產率時，與之相關行業的生產率也隨之提高［16］，所以不僅要考慮資本對單個行業的作用，還需要考慮資本的社會回報。Ljungqvist和Sargent建立的AK模型與本文有類似的目標函數yt＝Akαt，也猜測了相同的值函數形式，并得到了類似的策略函數［17］，但本文與之不同的是：第一，他們假設資本產出彈性大于零而小于1（0＜α＜1），從而使資本邊際效用遞減，通過數學推導發現資本收斂，而本文假設資本產出彈性等于1（α＝1），從而使資本沒有邊際效用遞減，通過數學推導發現資本不收斂，而值函數收斂；第二，本文考慮了資本折舊；第三，本文通過真實數據，再現改革開放以來消費和投資對提高社會效用的貢獻。本文余下部分的結構安排如下：第二部分建立包含資本折舊率和貼現因子的最優消費模型，通過猜解求出策略函數，討論了消費、資本積累序列的意義，并通過求導分析了各變量對值函數的影響；第三部分比較了不同貼現因子下的值函數，并用三維效果圖展示了1978～2010年中國消費、資本和值函數的演變關系；最后是本文的結論。
模型
本文考慮生產單一商品的經濟，此商品既可消費又可投資，投資以資本的形式體現，消費品和資本品可以相互轉換。消費數量和消費投資比決定代表性行為人的效用，社會計劃者的目標是通過政策引導消費路徑，使代表性行為人在任意時期都能獲得最大效用。經濟增長由資本驅動，因此設生產函數為yt＝Akt，其中A反映技術水平，yt、kt和ct分別表示在時期t的生產量、資本存量和消費。對于任意t期，有ct≥0，kt≥0；且初始資本k0已知。由此，可得模型：max∑!t＝0βtln c（t）s．t．kt＋1＝yt＋1－（δ）kt－ct， yt＝Ak烅烄烆t（1）其中δ為資本折舊率，0≤δ≤1；β為貼現因子，0＜β＜1；βtln c（t）是消費效用。式（1）是終生消費效用，資本積累規則為下期資本的數量取決于本期的有效商品總供給和本期的消費。令f k（t）＝Akt＋1－（δ）kt＝（A＋1－δ）kt表示包含資本折舊的有效商品總供給，則式（1）可轉化為：max∑!t＝0βtln c（t）s．t．kt＋1＝f?。╧t）－ct，f?。╧t）＝（A＋1－δ）k烅烄烆t（2）式（2）目標函數的含義是代表性行為人追求一生消費的貼現效用最大化，其中消費ct是控制變量，資本kt為狀態變量。由約束條件kt＋1＝f?。╧t）－ct，可得ct＝f?。╧t）－kt＋1，即控制變量可表示為狀態變量的函數。求式（2）的最優解，就是在給定約束條件下，找到一個恰當的序列ct，k｛t＋1｝!t＝0，使目標函數∑!t＝0βtln?。╟t）取得最大值。（一）猜解求值函數和策略函數為方便求極值，將式（2）由離散形式轉化為連續形式，并定義值函數（）V k為投資者在給定財富下所能達到的期望終生總效用。在競爭性均衡中投資者的效用得到了最大化，則根據漢密爾頓－雅可比－貝爾曼方程（Hamilton－Jacobi－Bellman equation，HJBE）可得：（）V k＝maxk＇（）ln?。踗 k－k］＇＋β｛V （k）｝＇（）＝ln?。踗 k－g（k）］＋βV ［g（k）］（3）式（3）中，k是當前時期的資本存量（相當于kt），k＇是下一時期的資本存量（相當于kt＋1）。g（k）是利用HJBE進行遞歸迭代的策略函數，且g（k）＝k＇，表示計劃者面臨的決策為：究竟是應該用政策引導代表性行為人當期多消費一些，還是當期少消費，留作下一期的資本，從而使下一期能消費更多。（）V k和g（k）都是連續可微的。根據動態規劃理論，可猜測值函數的形式為：（）（）V k＝E＋Fln k（4）其中，E、F是待定常數。對式（3）和（4）計算一階最優的必要條件，并根據式（2）可得：g（k）＝k＇＝βF A＋1－（δ）k1＋βF（5）（）c＝f k－k＇＝A＋1－（δ）k1＋βF（6）式（5）是策略函數g（k）關于k的顯式解，F是待定系數。（二）最優消費、資本累積序列令n＝1，式（3）變成式（7）。由式（2）可知當t＝1時，以下兩式成立：V1（）k＝maxk＇（）ln f k－k［］＇（7）V1（）k＝maxk＇（）ln f k－k［］＇＋βV0k（）＇（8）式（7）是目標函數（2）的最大值，即社會計劃者最優問題中的值函數；式（8）表示代表性行為人一生的效用貼現值等于當期效用、未來效用的貼現值之和。當期消費和期末資本的選擇c，k｛｝＇產生了當期效用ln（c），下期的資本k＇將按照策略函數g（k）來選擇。此處可獲得的最大期望效用是V k（）＇，而k＇的貼現值為βV0k（）＇。類似的，利用式（5）、式（3）逐期遞歸迭代可得到值函數Vn（）k序列。對任意t期，有：Vn（）k＝∑n－1i＝1（β）i－1 lnA＋1－δ1＋β（）F＋βn－1ln?。ˋ＋1－δ）＋ ∑n－1j＝1j（β）j lnβF A＋1－（δ）1＋β［］F＋∑ns＝1（β）s－1（）ln k由于0＜β＜1，根據級數理論容易證明：當n→!時，Vn（）k是收斂的，且其極限值（）V k＝limn→!Vn（）k就是無窮序列的唯一解。也就是說，得到的函數方程與式（4）的猜測完全符合?？梢越獬鯡＝11－βln?。?－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］，F＝11－β。將E和F代入式（4）可得到函數方程（3）的具體表達式和相應的策略函數：（）V k＝11－βln?。?－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］＋11－β（）ln k（9）g（k）＝βA＋1－（δ）k（10）式（9）也就是式（1）的解。對于任意給定的k0＞0，值函數（）V k采用策略k＇＝g（k）＝βA＋1－（δ）k恒可取得最優值?；氐绞剑?）的離散形式，對任意時期t（t≥0），當資本存量按策略kt＋1＝βA＋1－（δ）kt逐步演變時，式（1）必定取得最優解。相應地，ct＝1－（β）A＋1－（δ）kt。綜上所述，可得式（1）的最優消費、資本累積序列ct，k｛t＋1｝!t＝0為：ct＝1－（β）A＋1－（δ）ktkt＋1＝βA＋1－（δ）k烅烄烆t（11）從式（11）可以看出：資本折舊率δ和當期消費ct以及下期資本kt＋1負相關。資本折舊率反映了資本的使用成本，折舊率越大，資本越少，收入越少，可供消費也越少。對資本的良好維護，可以降低資本折舊率。宏觀政策能改變折舊率，比如政府推出投資刺激政策，會使維護既有資本的成本高于重新投資，從而提高資本折舊率；再如，高利率增加貸款成本，導致生產者更傾向于用廉價原材料，產品耐用度降低，資本折舊率提高。貼現因子β和當期消費ct負相關，和下期資本kt＋1正相關。貼現因子反映了資產預期總收入超出當期總收入的部分折現到當期末的值。貼現因子越小，代表性行為人越傾向于當期消費ct；貼現因子越大，代表性行為人越希望把消費推遲到將來。貼現因子是隨機的、主觀的，受真實的經濟發展變化的影響，可以通過宏觀經濟政策引導貼現因子變化。比如福利保障制度可以提高當期消費者的信心，而提高利率會導致人們推遲當期消費。α＝1時，AK模型y＝Akαt的資本增長率kt＋1kt＝βA＋1－（δ）更大，而且資本不收斂。0＜α＜1時［1 7］，AK模型y＝Akαt的資本增長率kt＋1kt＝αβAkα－1t更小，而且資本收斂。另外，根據方程（1）最優解的一階必要條件可以斷定，當且僅當ct＋kt＋1＝Dkγt（D為常數，γ是大于零的任意實數）的形式時，即ct＋kt＋1必須與kγt成正比關系，AK模型才可能求出顯式的最優解。其他學者在研究包含資本折舊的AK模型時，要么生產函數是線性的（即y＝Ak），而資本折舊是非線性的；要么生產函數是指數形式的（即y＝Akα），但資本折舊是線性的；或者假設勞動是彈性供應的（即y＝Akαn1－α）。諸如此類模型，它們所對應的消費、資本累積之和ct＋kt＋1必定不能表示為kγt（其中γ＞0）的正相關函數，因此無論采用序列推導法或貝爾曼動態規劃的解法或其他方法，都不可能得到最優解的顯式解析表達式，他們一般采用數值解法求解最優的消費和資本積累路徑。（三）變量對值函數的影響前文定義值函數（）V k為投資者在給定財富下，所能達到的終身期望總效用，以下討論貼現因子β、資本折舊率δ、消費c、資本存量k對值函數（）V k的影響。為方便討論參數β、δ、k的意義，將V（k）記為V（β，δ，k），即：Vβ，δ，（）k＝11－βln?。?－）βA＋1－［（δ）］＋β1－（β）2lnβA＋1－［（δ）］＋11－β（）ln k（12）由式（12）可以發現：1．可以證明?Vβ，δ，（）k?β＞0對于β0≤β（≤1）恒成立，所以Vβ，δ，（）k是β的單調增函數，即值函數（）V k隨著貼現因子β的增大而增大。而由式（1）也易知，貼現因子β越大，消費的效用就越大。2．由?Vβ，δ，（）k?δ＜0可知，值函數Vβ，δ，（）k隨著資本折舊率δ的增加而減小，也就是說，資本折舊率越高，消費總效用就越小。關于宏觀經濟政策對資本折舊率和貼現率的影響，可參考公式（11）對最優消費、資本累積序列的分析。3．由?Vβ，δ，（）k?k＞0可知，值函數Vβ，δ，（）k隨著資本存量k的增加而增加。資本存量k越大，可用于生產的投資就越多，從而可供未來消費的也就越多（即消費c越大），因此終生消費的總效用值就越大。另外，根據式（1）的假設，消費越大，消費效用也就越大，但是由于所有的生產恰好被消費與投資全部劃分，即ct＋kt＋1＝const是常數，若t期的消費占收入比率過大，則可用于下期的資本就少，下期消費也減少，所以應該合理地安排消費－投資比率。政府可以用貼現因子、折舊率和技術進步率等政策引導消費－投資比率。#p#分頁標題#e#
實證
實驗數據包括中國1978～2010年的名義GDP、資本產出比率、折舊率、投資平減指數、GDP平減指數。其中2005年以前的數據根據Bai、Hsieh和Qian的研究成果計算而來［18］（P86－88），2005年以后的數據來源于國家統計局和Indexmundi指數公司。用各年GDP平減指數把GDP轉化為不變價格，用各年投資平減指數把投資轉化為不變價格；用真實GDP減去真實資本折舊和真實投資得到消費。根據Bai、Hsieh和Qian的研究［18］（P86－88），本文也將資本折舊率定為10．5％～12．06％。（一）不同貼現率的值函數圖1是在其他變量不變時，貼現因子分別取0．99、0．96和0．90時對應的值函數。圖1（圖略）的左圖顯示：當貼現因子為0．90時，效用介于70～100，并且從1978～2010年呈上升趨勢。圖1（圖略）的中圖顯示：當貼現因子為0．96時，效用先是緩慢上升，接著劇烈波動直到最后穩健上升。圖1（圖略）的右圖顯示：當貼現因子為0．99時，效用在4 000～5 500之間，效用曲線先緩慢上升，然后劇烈波動，降到低點后趨向穩定。由此不難看出，貼現因子越大，值函數越大，一生消費總效用越高，這與本文第二部分數學推導的結果一致。從長期來看，貼現因子是外生的，因為它由國際資本市場決定，非單一國家能決定?！ 。ǘ┵N現率為0．96時消費、投資和值函數的關系圖2(圖略)是1978～2010年中國消費、資本和值函數的關系。根據Dammon、Spatt和Zhang的研究［19］，將中國的貼現因子設為0．96。X軸為消費，Y軸為資本，Z軸為依據式（12）算出的值函數V。線上的33個點代表從1978年到2010年的33年。數據實驗顯示，效用函數呈現四個明顯的階段： 第一階段是1978～1988年，這一時期資本年均增長率為10．2％，消費年均增長率為12．9％。值函數所代表的社會總效用大幅躍進，年均增長率達到1．5％，在1985年和1988年分別取得兩次峰值。這一時期國民經濟處于改革開放的起步階段，經濟活力得到釋放，社會效用的提高主要來源于消費增長的貢獻。這一結構特征同經濟增長理論的預期一致，即當經濟處于較低的發展階段時，消費增長快于投資增長時，有利于社會效用增長。第二階段是1989～1994年，這一時期資本年均增長率為12．7％，消費年均增長率為15．0％，值函數在1990年達到一個谷底之后快速回調，并且在1993年達到一個新的峰值，社會效用達到改革開放以來的最高水平。但是，由于受到1989～1990年連續兩年的下降沖擊，這一階段值函數年均增長率下降為－0．1％。這一時期，資本和消費的增長結構基本同第一階段，即消費增長快于資本增長。可見，整體的國民經濟增長依然處于較低發展階段，社會效用的增長依然得益于消費的貢獻。第三階段是1995～1999年，這一時期資本年均增長率下降為8．4％，消費年均增長率僅為1．1％。值函數基本處于持續下降過程，年均增長率為－1．8％，1999年水平大致相當于1990年水平。這一階段資本和消費同時結束了改革開放以來兩位數增長的過程，并且，資本和消費結構發生了逆轉，即資本增長快于消費增長。
這一時期國民經濟的惡化主要來源于兩方面的影響：一方面，1994年發生了固定資產投資過熱，因此在1995年中央采取了嚴格的緊縮政策，加上政策的一年滯后影響，使得資本增長在1994年和1995年保持一位數的低水平增長；另一方面，受到1997～1998年東南亞金融危機的影響，中國進出口受到很大影響。兩方面影響的疊加使國民經濟整體處于萎縮調整階段，因此社會效用大幅下降。第四階段是2000～2010年，這一階段資本增長保持了快于消費增長的結構趨勢，資本年均增長率為11．1％，消費年均增長率為9．1％。值函數年均增長率為0．07％，總體增長趨勢平穩，但仍然低于過去時期的最好水平。由于2001年中國加入WTO，資本和消費得到了恢復性增長，社會效用再次回到上升路徑。值得指出的是，2008年由于受到美國次貸危機的影響，投資和消費均為一位數增長，可見中央政府的4萬億刺激計劃具有必要性，并且也取得了一定的正面效果。對比第一和第四兩個上升路徑，可見當經濟處于較高發展階段時，資本積累要大于消費，才能驅動值函數增長。這一結論也是符合理論預期的，在經濟處于較高發展階段時，社會效用的提高主要取決于產品質量的改進。對比加入WTO前后的增長路徑，可以發現，加入WTO之前國民經濟起伏劇烈，值函數振幅較大，是典型的粗放型增長；而加入WTO后，值函數振幅較小，表現出集約型增長的優化趨勢。
結論
本文在資本產出彈性為單位彈性的假定下，基于動態規劃的貝爾曼原理，建立了包含資本折舊率和貼現因子的最優消費模型，推導出消費效用最大化的值函數、策略函數、最優消費和資本累積序列，得出社會效用與消費－投資比成反比的一般性結論。通過值函數對貼現因子和折舊率求偏導，發現社會效用與貼現因子成正比、與折舊率成反比，這與前面的結論是一致的。通過對中國1978～2010年資本和消費數據的實證研究發現，理論模型的一般結論成立與否，受到經濟所處發展階段的系統性影響，即當經濟處于較低水平的起飛階段時，社會效用與消費－投資比正相關；而當經濟處于較高的發展階段時，社會效用則與消費－投資比負相關。中國在加入WTO后，經濟發展開啟了一個新的增長路徑，較之以前的增長路徑，新的增長路徑表現出相對穩定的增長態勢。但是，從值函數的數值可以看出，還未達到1978年改革開放以來的最好水平?？梢娊洕鲩L模式還有較大的優化調整空間，政策取向可以考慮維持消費－投資結構大體平衡、投資略大于消費的基本結構，以保證社會效用獲得可持續的增長路徑；由于貼現因子與消費－投資比成反比、與社會效用成正比，應適當增加投資收益預期；由于折舊率與消費－投資比成反比、與社會效用成反比，同樣應當增加社會的投資收益預期。
本文作者：彭凌 陳迅 單位：重慶大學 經濟管理學院 美國 佛州佛羅里達大學 經濟系