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勾股定理證明方法范文1
勾股定理在幾何學中有著重要的地位，因此證明勾股定理在我們學習幾何數學中非常重要。千百年來有許多數學家對勾股定理進行證明，證明方法多種多樣。對勾股定理的證明在1940年出版的《畢達哥拉斯命題》中就收集到了367種之多，但是這還不是全部的證明方法，根據不完全統計到目前為止證明勾股定理的方法已經達到了500多種。當然各種證明方法都有自己獨特的優點，有的豐富有的簡潔。在西方國家勾股定理還被人們稱為畢達哥拉斯定理，這是因為畢達哥拉斯是最先發現直角三角形的勾股定理并且給出了嚴格的證明。
關鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發現和利用勾股定理的人，商高曾經說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現了數型結合得思想，這體現了在學習數學得過程中我們必須要重視思維方式的培養，以及對各種思維方式的應用，達到舉一反三的效果。在學習勾股定理的過程中我們要領會數學思維的規律和方法，提高數學思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關的已知量和未知量通過圖形結合起來解決問題，也就是說我們必須要數型結合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數和形結合起來考慮，并且把圖形的性質轉化為數量關系，可以使得復雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數型結合是一個重要的數學思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發現了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數學家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經說過：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實?！辈贿^在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數表，在表中一共有四列十五行數字，不難看出這是一組勾股數，從右邊到左邊一共有15組勾股數，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認識。
對勾股定理進行分類討論可以對有可能出現的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結
勾股定理作為中學數學的基本定理之一，是我們學習數學的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進行的驗證，這會帶領大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發學生對學習的思考，養成多方面看待問題的思維習慣。通過本文主要是想讓學生能夠學好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學好勾股定理對我們今后的學習和研究由很大的幫助，所以我們學者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當大的價值。
參考文獻
[1]趙爽.周脾算經注.2006.
[2]王工一.論《九章算術》和中國古代數學的特點[J].麗水學院學報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數學[J].邵陽學院學報.2005.
[4]張俊忠.史話勾股定理[J].中學生數理化.2002.
勾股定理證明方法范文2
在現今的課堂教學中，如何培養學生的人本意識、質疑精神和批判精神無疑是教育的最高目標，但囿于現實的教育體制、急功近利的教育觀念、桎梏人的教育思想，要實現上述目標無異于緣木求魚、南轅北轍。“錢學森之問”就是對這種教育現實、教育結果的最直接的反映。教育者只能戴著思想的鐐銬在刀刃上跳舞，退而求其次。在課堂教學中培養學生發現問題、提出問題的意識和能力，即對問題意識的培養，是不得已而為之的做法。愛因斯坦曾說過：“提出一個問題往往比解決一個問題更重要，因為解決問題也許僅是一個數學上的或實驗上的技能而已。而提出新的問題、新的可能性，從新的角度去看舊的問題，卻需要有創造性的想象力，而且標志著科學的真正進步?！笨梢娕囵B受教育者問題意識的重要性。
在具體的數學課堂教學上，可以從下列途徑培養學生發現問題、提出問題的意識和能力;當然還可以從其他更多的途徑進行訓練。
1.從建立概念（或命題）的過程中發現問題、提出問題
在蘇科版《數學》（八年級上冊）《第3章勾股定理》、《3.1勾股定理證明》的教學中，通過畫圖，用三個正方形面積來驗證了直角三角形斜邊、直角邊之間的關系，得到了一個正確的命題：勾股定理，而后介紹公元前1000多年前《周髀算經》記載的“勾三股四弦五”的結論。此時可引導學生對勾股定理來思考：對勾股定理可以提出哪些問題？舉數例如下：
（1）中國人老早就發現了勾股定理，那么外國人有沒有發現勾股定理？如發現了，最早是什么時候、是誰發現的？（這個問題如何解答呢？咨詢、查圖書資料、網上搜索……）
（2）勾股定理有哪些應用呢？（求邊長、計算、證明其他命題、圖案設計、列方程……）
（3）如何證明勾股定理？（咨詢、查圖書資料、網上搜索……幾何的、代數的、三角的、面積的、向量的……多種方法）
（4）到目前為止，勾股定理有多少種證明方法？（咨詢、查圖書資料、網上搜索……）
（5）勾股定理有逆定理嗎？如有，如何證明它？
再如，學過勾股定理的逆定理之后，接著就建立勾股數的概念，可以要求學生對勾股數可提出哪些問題呢？舉數例如下：
（1）填空：
32+（ ）2=52， （ ）2+62=102，52+（ ）2=132， 52+（ ）2=182，
72+（ ）2=252， 92+（ ）2=412，722+（ ）2=972，902+562= （ ）2。
從32+42=52及上面的練習可知：至少有一組勾股數3、4、5，即勾股數是存在的。那么，勾股數是有限的還是無限的？
（2）能不能建立公式求勾股數？
（3）勾股數與直角三角形是什么關系？
（4）古人是怎樣發現勾股數的？
2.從問題中發現問題、提出問題
仍然以勾股數概念的建立為例，給出下列問題：
n是大于1的正整數，下列三個數n2-1、2n、n2+1是不是勾股數？
自然，可以讓學生自己去判斷這三個自然數是不是勾股數，很快就可以得出結論：這三個自然數是勾股數。于是，就可以引導學生思考、去探究、去提出問題：
（1）設自然數k，這三個數的k倍k（n2-1）、k（2n）、k（n2+1）是不是勾股數？如何判斷呢？（這個問題是引導學生思考：由勾股數的定義去判斷出，由一組勾股數就可以得到許多組勾股數）
（2）n取不同的值，就得到不同的勾股數，是不是就求出了所有的勾股數？（這個問題是引導學生思考勾股數是有限的還是無限的，怎樣用有限去表達無限）
（3）這三個數是怎樣得到的？（這個問題是引導學生思考、探求發現這三個數的途徑）
3.從命題的證明過程中發現問題、提出問題
問題：如圖：AD為ABC的高，∠B=2∠C，
用軸對稱圖形說明：CD=AB+BD。
給出如下解答：
（1）如圖，在CD上取一點E使DE=BD，連結AE;ADBE，
AB=AE，∠B=∠AEB，
而∠AEB=∠C+∠CAE，
所以∠B=∠C+∠CAE;
又∠B=2∠C，
2∠C=∠C+∠CAE，
∠C=∠CAE，AE=EC，
AE +BD=DE+EC，
即AB+BD=DC。
（2）上面的證明有沒有錯誤？有沒有不完善的地方？有沒有漏洞？如果有的話，在哪里？
勾股定理證明方法范文3
摘要：數學作為一門課程，越來越多的學者開始從文化這一視角來關注數學?！度罩屏x務教育數學課程標準（實驗稿）》明確指出：“數學是一種文化”。每一學科都有它的歷史，數學也不例外。 數學的過去融合在現在與未來之中，所以一套教材要返璞歸真的反映知識的來龍去脈，思想方法的深刻內涵以及科學文化的進步。就必須融入一些數學史料和簡略的數學史知識，以便學生開拓視野，啟發思維，增加學習興趣，這也使得在推進新一輪的數學課程改革的過程中，甚是實驗教材的數學史的內容和分布選的十分必要，正基于此，本文由于時間有限，就對人教版和北師大版初中數學教材中“勾股定理”一章數學史編排模式進行做一個比較研究，拋磚引玉，以便大家對數學實驗教材中的數學史部分有更多的關注和重視。通過的比較發現：兩版本教材在數學史的設計上各具特色，都力求通過多種方式出現數學史，北師大版比人教版在此更加注重學生的實踐操作能力和交流能力的培養，人教版更關注學生的情感；反思發現兩版本教材在數學史融入教學中的弱點：缺乏與信息技術的整合、數學史的運用過于淺顯。
關鍵詞：數學史 勾股定理 教材 比較研究
1、引言
數學史的教育價值以為大多數學者所承認，并越來越得到國內外數學教育界的重視。張奠宙先生曾經指出：在數學教育中，特別是中學的數學教學過程中，運用數學史知識是進行素質教育的重要方面。《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》也明確提出，數學是人類文化的重要組成部分，數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中，“教材可以適時地介紹有關背景知識，包括數學在自然與社會中的應用，以及數學發展史的有關材料”。數學是積累的科學，它的發展并不合邏輯，數學發展的實際情況與我們學校里的教科書很不一致。根據歷史發生原理，學生對數學的理解與數學本身的發展有很大的相似性。因此，一套好的教材若要返璞歸真地反映知識的來龍去脈、思想方法的深刻、內涵以及科學文化的進步，就必須融入一些簡略的數學史以啟發思維、開闊視野、激發興趣。這就使得在教材的修訂與編寫過程中，合理設計數學史內容及其編排方式顯得尤為重要。本文僅對人民教育出版社和北京師范大學出版社初中數學教材（以下簡稱“人教版”、“北師大版”）中勾股定理一章的數學史進行比較分析。
2、調查與分析
本文首先對人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學（八年級下冊）》和北師大版《義務教育課程標準實驗教科書數學（八年級上冊）》勾股定理一章中的數學史進行了統計，具體見下表。
從上表可以看出，在勾股定理這一章中兩版本初中數學教材都呈現了大量的相關史料，但在數學史的呈現方式和選材上，又各有側重點。據上表，兩版本教材在本章各出現數學史14處、13處，主要分布在正文、習題、專題和閱讀材料中。（在人教版中是以“閱讀與思考”呈現相關數學史料的，而北師大版則以“讀一讀”這一欄目呈現史料，為統一起見，統稱閱讀材料；這里的“專題”多是指在有關知識內容旁邊以框架的形式將某些內容作簡短介紹。）此外，北師大版第一節（探索勾股定理）和第三節（螞蟻這樣走最近）的引入是在歷史名題“折竹抵地”和“蜘蛛與蒼蠅”問題的基礎上改編的，雖然表面文字上看不出歷史的影子，但是我們在統計時仍把這兩處歸為數學史料。
2.1 勾股定理證明的教材編排
2.1.1教材中對勾股定理的證明的設計模式
在正文中對勾股定理的證明上，兩版本教材采取了不一樣的處理形式。人教版在出示趙爽弦圖后，結合三組圖對弦圖的證明做了詳盡的解釋，直至得出最終答案：。而北師大版在正文兩處分別呈現了弦圖的兩種證法以及對青朱出入圖證法（無字證明）的解釋。與人教版不同的是，北師大版在這兩處更注重學生的實際動手操作。如在弦圖證明時，不像人教版那樣對弦圖證明進行一步一步的解釋，而是簡潔的介紹了用弦圖證明的“割補”思路，最后以“這里所有三角形和正方形的面積都能夠求出，相信同學們可以比較容易地驗證勾股定理了”這句話結束，接下來的工作是由學生自己完成，學生經過計算很容易就驗證了定理的正確性。在介紹“青朱出入圖”證法時，通過“你能將兩個小正方形中多出的部分剪下正好補到大正方形上去嗎？”設問，水到渠成讓學生自己動手、動腦、動嘴操作。在這之后還設計了“做一做”欄目，共4問，前三問主要是讓學生親身經歷拼“青朱出入圖”這一過程，這樣留給學生更多的是動手操作的機會；而最后一問 “利用五巧板，你還能通過怎樣的拼圖驗證勾股定理？與同伴交流”不僅為學生提供了實踐的機會，還能充分調動學生思維，有利于學生從多方、多角度思考問題；此外，學生在交流各自觀點的同時，不僅豐富了自身思維，看到自己與他人思路的區別，還有利于表達能力的發展。
2.1.2其他證明方法的編排模式
兩版本都不同形式的出現了勾股定理的幾種證明方法，除在正文中對趙爽弦圖證明做相關解釋外，人教版還以閱讀材料的形式呈現了勾股定理證明的另外三種方法（畢達哥拉斯證法、弦圖的另一種證法及總統證法）。由于“閱讀與思考”這一欄目用方框框起來，并且是放在勾股定理這一節最后，這就容易使教師和學生認為，這些內容是補充材料，可學可不學，可看可不看。再加之受現行考試制度和傳統考試文化的影響，大多數教師對這些內容要么略微提一下，要么是要求學生下來自己看，還有一部分教師根本就對這些內容視而不見，直接越過。作為學生來說，本來學習壓力就大，平時一本本做不完的練習冊，加之有的學生還要進行課外輔導。哪有時間去看這些考試不考的內容，就算是有時間，這個年齡階段的學生還想在這難得的空余里玩一會，做點平時想做但沒時間做的事情。據本人的了解，能主動去看這些內容的學生畢竟是少數。這樣以來，這些數學史對大多數學生來說就失去了其本身應有的地位和價值，難以發揮其所期待的育人功能。
與人教版的設計模式不同的是，北師大版除了在正文中介紹了弦圖的兩種證法和對青朱出入圖的解釋外，把勾股定理的另外三種證法（總統證法、達芬奇的實驗研究法以及畢達哥拉斯的證法）分別放在了不同小節的習題當中。這樣教師和學生就不得不重視這些數學史內容了，因為課后習題大都是教師先布置給學生做，最后教師再“處理”。暫且先不說這種設計模式是否發揮了數學史的真正價值。但從某種層面上說，教師和學生至少會被“逼著”關注這些內容。學生在做這些習題或當教師處理這些習題時，就會了解到證明勾股定理的其他證法，同時也有利于學生從多方面多角度看問題，有利于發散思維能力的培養。因此，從這一層面上可以說，在勾股定理證明法的編排模式上北師大版較人教版更為合理。
2.2其他內容的設計
人教版在章前圖文并茂，不僅呈現了2002年北京國際數學家大會的會標“趙爽弦圖”，還簡要解釋了勾、股、弦所表示的含義，并在此基礎上提出了兩個問題，進而交待了這一章所要學習的主要內容。這樣的設計不僅激起了學生的求知欲、好奇心，還能讓學生在學習新知識之前對本章要干啥有一個大概的了解，同時也便于學生在學習完這章后的自我評估。比起北師大版在章前簡單列出各文明古國關于勾股定理說法的設計更為人性化。
兩版本教材在介紹數學家時，都是簡要的說明數學家的生平（如國籍、年代、出生地等）及做出的貢獻，并沒有體現數學家遭遇的困惑、挫折、失敗的經歷。使學生覺得數學家所想到的定理是理所當然的，未能體現數學家在創作過程中斗爭、挫折以及數學家所經歷的艱難漫長的道路。相比北師大版，人教版在此有一個特色，也是人教版整套教材的特色，即在介紹數學家時附有數學家的頭像（本章附有畢達哥拉斯圖像），這樣能喚起學生對數學家及數學史的親近、肅穆之感。而北師大版在這方面就稍顯遜色，根據劉超的統計，在初中六本教材中人教版有五處附有數學家圖像，而北師大版僅有一處（并不是此章）。
3、幾點思考
3.1教材采用歷史名題進行引入，但是引入過于平淡，體現不出實際價值。
人教版在勾股定理及其逆定理的開始分別以數學家的故事和古埃及人得到直角的方法引入數學知識，而北師大版在第一、三節都是以實際問題情境引入數學內容的，但這兩處的情境都來源于數學歷史名題。兩版本在此對數學史用的都比較淺顯，沒有深挖史料背后隱藏的數學思想方法，數學史只是作為一個情景用來引出相關內容的，顯得過于平淡和簡單，也顯示不出實際的一個教學價值。這只是數學史融入教學的初級階段，但我們并不能說這種融入方式是低級的或是不好的。一方面，初級階段是數學史融入教學，進入高級階段不可逾越的階段，具有重要意義，比如激發學習興趣、調動積極性；另一方面，教材的這種設計也體現了教材的靈活性和多樣性，便于教師在不同情況對內容的重新加工。因此，對這兩種引入方式我們不可妄加斷言其好壞，唯獨希望各相關領域人員對數學思想、方法做認真的思考，對數學史料進行加工和創造，深挖史料背后隱含的價值，充分發揮數學史的作用和價值。
3.2數學史與教材的整合與立足于學科本源，返璞歸真，適度形式化。
兩個版本教材中雖然說數學史料都比較豐厚翔實，但編排方式單一，多以成人的語言呈現出來，較為抽象，概括；在教材設計上又大多表現為閱讀與思考（選學內容），歷史圖片，數學家故事等形式，以至于多事在章末的閱讀材料形式出現居多。我覺得，數學史的內容的呈現方式應該是多樣化的，除了目前已有的形式外，還應結合學生的心理年齡特征，知識接受水平對數學史進行選擇，編排，比如卡通，連環畫等形式，也可以將數學游戲等編排進其中，這樣學生學習起來更加容易接受和容易理解，也更能實現數學史的教育價值。
3.3應加強與現在信息技術的相結合
現代信息技術的發展使得計算機已經成為數學文化與數學教育現代化之間的橋梁。《義務教育數學課程標準（修訂稿）》在基本理念中明確提出：“信息技術的發展對數學教育的價值、目標、內容以及教學方式產生了很大的影響。數學課程的設計要注意信息技術與課程內容的整合開發并向學生提供豐富的信息資源”。而兩版本教材除了讓學生自己上網搜索相關內容外（并沒有提供相關網站），并沒有涉及與信息技術有關的內容。而“勾股定理”作為幾乎是全世界中學都要介紹的定理，其證明方法就有400多種，并且這些證法反映了東西方不同的文化，在教材中卻沒能與信息技術掛上鉤，是不是有點可惜。這應引起兩版本教材編寫者的重視，以便在教材修訂時注重相關數學史與信息技術的整合。
參考文獻：
[1]中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（修訂稿）[S].北京：北京師范大學出版社，2012.1.
[2]馬復主編.義務教育課程標準實驗教科書（八年級上冊）[M].北京：北京師范大學出版社，2006.
[3]林群主編.義務教育課程標準實驗教科書（八年級下冊）[M].北京：人民教育出版社，2008.
[4]張維忠，汪曉勤等.文化傳統與數學教育現代化[M].北京：北京大學出版社，2006.4.
[5]王亞輝編.數學史選講[M].合肥：中國科學技術大學出版社，2011.1.
[6]羅新兵等.高中數學教材中數學史分布的特征和模式研究——以北師大版數學必修教材為例[J].數學教育學報，2012.2.
[7]劉超.人教版初中數學教材中數學史的調查分析[J].中學數學雜志，2011.6.
[8]劉超.初中數學教材中數學史內容比較分析[J].教學與管理，2011.9.
勾股定理證明方法范文4
關鍵詞 勾股定理 數形結合 課后拓展
自“科教興國”戰略實施多年以來，我國的教育體制已逐漸從應試教育向素質教育轉變。然而，這種轉變的有效性仍值得檢驗。素質教育的本質就是以培養、激發學生的創新思維為目的，以特色的教學模式為手段，調動學生的積極思維欲望，不拘一格地帶動學生對知識敢想、多想，以達到學生更深層次地理解所學知識，使其真正轉變為自己的知識，并能在以后的學習、生活中加以利用。就數學而言，數學課堂教學研究一直是國內外教育改革的焦點之一，課堂被認為是學生構建知識，老師組織學習最重要的現實環境，它被喻為“人世間最復雜的實驗室之一”。作為一名初中數學教育工作者，如何能在課堂中帶動學生的聽課積極性，使學生對我們所教內容產生濃厚的興趣，而不認為是教條式的填鴨，顯得至關重要。勾股定理是中國幾何的根源，是中華數學的精髓。在此，作者以初中二年級數學課程“勾股定理”作為課程實踐案例，進行了一次簡單嘗試。
一、以歷史故事開始，激發學生興趣
筆者改變了以往“勾股定理”教學中照書念的本本模式，而是不惜用去10分鐘時間給學生講講勾股定理的起源。在引領學生將書翻到勾股定理章節后，告訴學生，大家書本上看到的這位畢達哥拉斯，是公元前四百多年前發現了直角三角形的三邊關系，而最早有關該定理的文字著作出自我國商朝約公元前200年左右的《周髀算經》，由商高發現。并在三國時代由趙爽對其做出詳細注釋，又給出了另外一個證明引，我們的祖先是不是也很智慧呢？此時，全班幾乎所有學生目光都從書本移開，極為專注地看著筆者，眼神中帶著強烈的求知欲望。筆者轉而引導學生開始上課，每個孩子都帶著濃厚的興趣想要學好我們祖先發現的偉大定理。
二、數形結合，形象理解抽象概念
通過帶領學生從看圖18.1-2中快速計算正方形ABC、A’B’C’面積，并展開猜想，引出“勾股定理”的命題。隨后，將學生分組，一組4人，給每組分發下去4個全等的直角三角形紙板，短直角邊標有a(勾)字樣，長直角邊和斜邊分別標有b(股)及c(弦)。讓每一位同學都在仔細觀察“趙爽弦圖”的同時，用紙板擺出“趙爽弦圖”，使學生對趙爽的證明過程有一個初步形象的直觀認識，然后給學生做出趙爽對“勾股定理”的詳細推導。學生們在小組參與弦圖旋轉、擺放的過程中，個個樂此不疲，相互提醒。雖然，教室中看似多了點吵鬧，但筆者發現，在學生眼、手、口并用的實際操作中，勾股定理的學習少了許多課本填鴨式的枯燥，換之而來的是學生們積極的參與、激烈的討論和更為濃厚的興趣。
三、舉一反三，調動思維
在定理證出后，筆者立即向學生提問：誰能給出快速說出更多的均以整數為邊的勾股數的方法？底下同學開始議論，一位同學的回答引得全班哄堂大笑，上網！筆者也忍俊不禁，告訴他很會利用現代高科技工具，算是一項能力，但不是獨立解決該問題的最佳辦法。此時，已有學生說出6、8、10，9、12、15等等。筆者微笑點頭肯定，整數勾股數三遍等量放大比例同樣也是勾股數，三邊不可約分的整數勾股數是以質數為最短邊，并且只有一組以其為最短邊的勾股數。至于原因，不過該內容已超綱，有興趣的同學可以課下研究、探討。
四、課后總結，課外拓展
重點內容“勾股定理”授課完畢，繼而啟發學生對“勾股定理”的實際應用。學生通過做門框、湖水等實際應用題對勾股定理的實用性有了更加現實的認識，也有了數學建模的簡單概念。鄰近下課時，給學生布置了家庭作業，讓學生用一個禮拜的時間觀察生活中有關勾股定理應用的現實例子，并加以簡單介紹。之后騰出一節課給學生自由發揮，介紹自己對勾股定理的實踐觀察，學生們積極上臺發言，表達欲望強烈，在其他同學獲取知識的同時，講述的同學也在大家肯定的掌聲中增強了自信心，課外拓展取得了很好的效果。
五、結語
固定不變的是已有的知識，持續發展進步的是我們的思維。初中學生正處在一個思維活躍的階段，在初中數學課堂基本理論的教學中，適時帶入一些生動靈活的素材，如講述所教內容的歷史小故事，團體討論、課外拓展等，培養起學生自動自發的學習意識，積極思考的求知欲望和舉一反三的實踐能力，會使我們的教學質量得到較大幅度的提高，培養出更多的勤思考、愛動腦和成績好的優秀學子。
參考文獻：
[1] 吳登文. 數學課堂教學中認知水平的變化―以四地勾股定理教學課例分析為素材[J].理科教學探索.2010.12,(45~51).
勾股定理證明方法范文5
【關鍵詞】同一法；勾股定理；解題思維生長點
1我怎么沒想到
常見的勾股定理教學中，命題引入方式有兩種：
（1）直接呈現式.有以下幾種具體呈現形式：
①呈現畢達哥拉斯觀察到的地板圖案，請學生觀察并提出問題：“你認為這三個正方形的面積之間存在著怎樣的關系？”如圖1；
②呈現以特殊數3，4，5為邊長的直角三角形的三邊正方形圖，請學生算一算：“這三個正方形的面積之間存在著怎樣的等量關系？”如圖2；
③呈現弦圖，請學生觀察并分析其中幾何圖形的面e關系，如圖3.
（2）問題發生式.此種教學法的常見形態有：
④測量猜想式.如：作兩個直角三角形，使其兩直角邊分別是3cm和4cm，5cm和12cm，測一測斜邊的長度；
⑤格點轉移式.如：在網格中，作一個直角邊長分別為3、4的直角三角形，量一量該直角三角形的斜邊長是多少？若利用圓規，以斜邊長為半徑作弧，可發現圓弧經過另一個格點，數出半徑長恰好是5個單位長度.同理，可以測量出直角邊長分別為5、12的直角三角形的斜邊長為13.
筆者初上講臺，使用直接呈現式的教學方式.每當展示勾股圖的時候，筆者感受到學生的驚嘆連連：“好聰明啊！”“他是怎么想到去算正方形面積的呢？”“我怎么就想不到呢？”“為什么會想到研究一個三邊長為3、4、5的直角三角形？”雖然學生向筆者投來敬佩的目光，但似乎，疑問多于贊嘆.
畢達哥拉斯從地板的圖案上頓悟出勾股定理，是機緣巧合，但講這樣的故事就是學習數學了嗎？
再次教學，筆者開始改用問題發生式教學，提出問題：你會求直角三角形的斜邊長嗎？筆者以為，用問題驅動的方式可以引導學生積極展開思維.而事實上，因為量一量的對象是特殊邊長的直角三角形，結果也特殊，所以在量一量的環節，學生表現平靜，無疑無贊.當筆者再接下來問：“這三個數據之間有什么特殊的關系嗎？”學生的表現更是一愣一愣的，幾分鐘內，教室內只聽見小小的嘀咕聲，卻沒人說得出結果.當筆者再次點醒：“你沒有發現32+42=52、52+122=132嗎？”教室內頓時如炸開了鍋一樣，“原來是這樣啊！”、“我怎么就沒想到呢？”
一句話：“我怎么沒有想到？”
――“我怎么沒有想到以直角三角形的三條邊為邊構建正方形？”；
――“我怎么沒有想到3、4、5之間、5、12、13之間會有什么相同的數量關系？”；
課后，學生問我：“老師，你是怎么想到的？你可以把你想到的方法告訴我嗎？”
――“是啊，我是怎樣想到的呢？前人是如何想到的呢？”筆者自問，并深深地思考：“畢達哥拉斯的頓悟雖是一種重要的解題方式，但學生對此的驚訝多于理解！是什么方法能讓人想到這樣的構圖法解題？我該如何解題（求直角三角形的斜邊長）、我該如何構圖？”
2我該如何解題
再次執教這節課，筆者深深地思考：“如果沒有勾股定理，我們應當如何求解直角三角形的斜邊長？”
2.1從認知角度進行解題類別分析
求線段長度是常見的題型.一般在梳理問題條件時，需要從兩個方向進行準備分析：一是問題條件的準備，二是知識準備.初中范圍內，幾何以三角形為基礎，展開學習四邊形、多邊形、圓形，依據歸納轉化的思想，當我們對知識系統中的上層知識進行學習、研究時，常常將其轉化為對基礎問題的求解，如求解多邊形內角和時，將多邊形轉化為三角形進行求解；學習平行四邊形的性質時，將四邊形轉化為三角形進行學習；解決不規則圖形面積時，常常將不規則圖形轉化為規則圖形進行處理.所以，對圖形常見的處理方式是高級向低級的轉化，不規則的圖形向規則的圖形進行轉化，這是一種下位學習的方式，也是一種下位式的解題方式；奧蘇伯爾曾在對認知結構進行分析的基礎上，提出關于命題學習的三種分類：上位學習、下位學習、并列學習.通過命題學習，我們獲得了命題的結論性知識，用命題的“結論解題”是數學解題中常常偏好的一個方向，只要能對問題的模式進行識別、會從命題的條件辨別異同，能在求同思維及求異思維的指導下進行分析，就可以解題.這是一種原型式的、特征式的解題方式.這種解題方式的缺點就是以結論為主，以原型模式辨別為主，很少在解題過程中明確解題的生長基礎，并尋找解題的生長點.
借鑒奧蘇伯爾的命題學習分類，我們也將解題學習分為三類：上位式解題、下位式解題、并列式解題.上位式解題：在解決問題時將問題向上一個層級的概念、命題進行轉化，借助包容程度更高的命題、概念幫助解決問題；下位式解題：將問題向從屬的概念、命題進行分解、轉化，借助基礎地、熟悉地、簡易的知識結構解決問題，這也是一種常用的解題方式；并列式解題：在解決問題時，沒有將問題的結構進行上位、下位概念命題的轉移，利用同層級的概念、命題解題，比如：同一法證明勾股逆定理，文獻[1]借助逆命題解題都是屬于并列式解題的例子.
同一法在初中范圍內應用不多，主要是因為用此法解題，不用調動上、下位的概念圖式，對培養學生命題域的知識結構效用不大，所以在數學學習過程中，甚少出現，只是在涉及互逆命題的證明或使用互逆命題時，才被人記起，而這樣的互逆命題教學，在初中的數學教學過程中，所占的比例僅僅微乎其微.
2.2同一法為勾股定理的推導提供解題生長點
近日，筆者在進行八年級《直角三角形的性質》教學時，頻頻接觸到一組組互逆命題：①直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；如果三角形的一條邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形；②直角三角形中，30°的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半；如果一個直角三角形中，有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°.教學時，筆者著重對這些互逆命題的證明，及一些使用逆命題互助解題的例題進行重點教學，其間教授了同一法.而后又接觸到勾股定理的教學.筆者在備課時以解題生長式的理念進行備課思考：如何求解直角三角形的斜邊長呢？解決此命題的解題基礎和解題生長點在何處？
解題基礎分析：（1）關于勾股定理命題證明的條件只有一個：直角三角形；（2）與直角三角形邊長有關的知識概念儲備：無.
解題生長點分析：這樣的命題解決，如何進行？解題的生長點在哪里？從條件分析，還是從儲備知識分析？儲備知識無，那么只能從條件入手，條件如何轉化？此圖中只有一個直角三角形，條件單一，如何轉？轉向何處去？
曾經學過的知識中，除三角形的三邊關系，全等三角形的知識，其余者無.其中“三角形的三邊關系”用不上，那么知識儲備中就只有全等三角形的知識.“單木不成林”，單單一個三角形，哪來全等關系？可除了全等，還有何法？
不禁地，筆者想到才接觸的同一法：是否可利用同一法將圖形進行再建構？如果圖中具有多個全等三角形，那么圖形會變成……，嘗試之后，筆者頓覺思路大開，原來，奧妙藏于此圖中.筆者興奮不已，借助同一法，進行了一堂非常順利的勾股定理證明的教學課.以下為教學實錄：
師：“前兩節課我們用同一法解決了一些圖形性|單一、不易于被證明的問題.同一法告訴我們：對于無法求解的線段，可在原圖四周，重新建構一條長度相同的線段（或性質相關圖形），通過證明新舊兩圖全等，而獲得原線段長度.”
（呈現問題）……
師：“現在，我們如何求直角三角形的斜邊AB的長？”
生：“我們可以在ABC外再尋找長度等于AB的線段.利用圓規，分別以點A、B為圓心，AB長為半徑作弧，圓弧經過格點E和F.因為線段BE、AF與線段AB一樣，都是一個3×4的矩形對角線，所以AB=BE=AF，同理可證線段EF=AB.發現新組成的四邊形ABEF是一個小正方形，被包含在大正方形CMNK中，可以證明小正方形四周均為全等的直角三角形.”
“這樣的圖形能幫助你求線段AB的長嗎？”
“能.如果能算出正方形ABEF的面積，就可以知曉邊長AB的值.”
“如何求小正方形ABEF的面積呢？”
此時，全班的聲音異常整齊：“用大正方形的面積減去4個小直角三角形的面積！”
接下去的計算與推廣證明過程便沒有任何難度了.（圖4、圖5是兩個學生的不同做法）
如何由一條線段想到構建四條邊的正方形，如何由一個小直角三角形想到用4個全等的直角三角形進行拼圖，思維的來源并不是空穴來風，重新構建，“同一法”證明給了我們極大的啟示.圖4圖5
借助圖4，證明勾股定理結論的過程為：設直角ABC的兩條直角邊長為a、b，
易證四邊形ABEF、CMNK為正方形.
因為S正方形CMNK=S正方形ABEF+4×SABC，
所以a+b2=AB2+4×12ab，
所以AB2=a2+b2.
即：c2=a2+b2.
證明至此，學生對于為何要構建正方形，為何要計算三個正方形面積之間的關系的理解便水到渠成了.
在此次證明中，正是因為證明的條件不多，圖形不豐富，且曾經所學習的基礎知識不夠充分，所以只好選擇同一法，通過構造一個與原圖全等的圖，并在豐富了圖形之后，試圖獲取原圖的圖形性質.當我們構造一個全等的直角三角形之后，不妨再構造一些，進而獲得了一個嵌入式的雙正方形.利用小學的面積知識，便輕松地推導出勾股定理.此次解題證明初入時為并列式解題思路，后繼發展為上位式解題方式，是初中數學中為數不多的上位式解題的典型題.
3思維的兩種表現形式與教學方式
3.1直覺式頓悟與發生式學習
畢師關于勾股定理的發現是一種直覺式頓悟.“直覺是一種人們沒有意識到的對信息的加工活動，是在潛意識中醞釀問題而后與顯意識突然溝通，于是一下子得到了問題的答案，而對加工的具體過程，我們則沒有意識到”[2].在頓悟之前畢師經過了觀察，“觀察是人們對事物的一個知覺過程.……知覺與人的經驗分不開”，“直覺判斷，個體利用自己的經驗對知覺對象可能具有的屬性作出一種判斷”[3].畢師的發現是直覺式的，建立在他的經驗之上，對著地板圖案的觀察，畢師能夠將其中的圖形結構進行重組分析，進而突顯直至頓悟發現勾股定理.而對于初中學生，他們數學的直覺、數學經驗、知識結構、數學方法尚不完善，雖說數學教學是要踩著歷史的腳印前進，但要求十三、四歲的孩子們也能獨自經歷畢師的思維之路，困難程度不言而喻.
故而，勾股定理的認知，是否該是一種發生式的、過程式的學習方式呢？
發生式命題學習，是將命題產生的過程揭示出來，使學生在體悟命題發生和發展的認識中獲得命題的學習方式[3].這種學習，也可以稱為是一種過程性學習，從一個概念到另一個概念過渡的過程，方法的過程，推理的過程，獲得思維的過程均在教學的范疇之中.概念固然是數學知識結構中的重要結點，但數學學習不僅僅是概念的習得，更重要的是如何在概念之間進行推理，使得概念點之間能夠發生聯結，這就是思維.數學是思維的體操，“數學是玩概念的”，數學要學習的，就是如何在概念之間產生往回地、多向地聯結.所以，筆者認為勾股定理的教學中，三個正方形的面積計算不是主要的，如何想到構建正方形才是教學釋疑的又一個重點.
3.2命題教學的結論性學習與生長式規則性學習
喻平認為，概念是數學的基礎，數學命題由概念組合而成，在條件概念與結論概念之間，有“規則”連結，故命題學習也稱規則學習[3].
筆者認為，規則是思維發生的過程與表現形式，思維的發生是有方向性、目的性的，是具有生長性的，因此，命題的規則性教學，應當從規則的生長性上進行考慮，包括生長點的分析與思考.其實，數學的學習就是規則性的學習，這是一種學習的方法論.規則具有自主的生長能力，解題時，思維在條件性概念與結論性概念之間進行各種方式地聯結，若聯結成功，則規則的生長成功.
對于教學而言，側重結論式教學與側重規則性教學，對學習者的思維培養效果有較大不同.若進行結論式教學，學習者的思維生長能力較弱；若進行發生式學習，在聯結對象未知的情況下，思維的活躍程度相對更高，對解題者概念系、命題系的調動范圍更大更積極，對思維能力的鍛煉也就越高.所以，規則性學習是命題學習的一個重點內容，其價值高于結論性概念的獲取.學習命題，不僅僅學習結論性知識，更有規則性內容.另外，命題教學的價值方向，就是提高解題能力，而解題教學的重點，是尋找具有生長基礎（生長點）與生長方向的規則，進而培養思維的能力.
借助于同一法，筆者將“求解斜邊長”的問題進一步擴大，進行上位式轉化，進而順利地解決了勾股定理的推導問題.既是教學思考必得，也是教學偶得，饗與讀者.
參考文獻
[1]陳明儒，岑霞麗.逆思補形分割[J].中學數學教學參考，2014，（4）：38-39.
[2]錢學森.思維科學探索[M].太原：山西人民出版社，1985：22.
勾股定理證明方法范文6
為使學生學好當代社會中每一位公民適應日常生活、參加社會生產和進一步學習所必需的代數、幾何的基礎知識與基本技能，進一步培養學生運算能力、發展思維能力和空間觀念，使學生能夠運用所學知識解決實際問題，逐步形成數學創新意識。
二、教材內容分析
本學期數學內容包括第一章《勾股定理》、第二章《實數》，第三章《圖形的平移與旋轉》，第四章《四邊形性質探索》，第五章《位置的確定》，第六章《一次函數》，第七章《二元一次方程組》，第八章《數據的代表》。
第一章《勾股定理》的主要內容是勾股定理的探索和應用。其中勾股定理的應用是本章教學的重點。
第二章《實數》主要內容是平方根、立方根的概念和求法，實數的概念和運算。本章的內容雖然不多，但在初中數學中占有十分重要的地位。本章的教學重點是平方根和算術平方根的概念和求法，教學難點是算術平方根和實數兩個概念的理解。
第三章《圖形的平移與旋轉》主要內容是生活中一些簡單幾何圖形的平移和旋轉。簡單幾何圖形的平移是本章教學的重點，簡單圖案的設計是本章的難點。
第四章《四邊形性質探索》的主要內容是四邊形的有關概念、幾種特殊的四邊形（平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形）的性質和判定以及三角形、梯形的中位線，其中幾種特殊四邊形的性質和判定是本章教學的重點，推理證明是本章的難點。
第五章《位置的確定》主要講述平面直角坐標系中點的確定，會找出一些點的坐標。
第六章《一次函數》的主要內容是介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。其中一次函數的圖像的表達式是本章的重點和難點。
第七章《二元一次方程組》要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的問題。
第八章《數據的代表》主要講述平均數和中位數、眾數的概念，會求平均數和能找出中位數及眾數。
三學生情況分析：
初二（1）班共有學生44人，從上學期期未統計成績分析，及格人數分別為5人，優秀人數分別為0人，與其他幾個平行班比較，優秀生及格生都少，另外這兩個班的學生中成績特別差的比較多，成績提高的難度較大。在這樣一個以少數民族為主的學生群體中，學生的數學基礎和空間思維能力普遍較差，大部分學生的解題能力十分弱，特別是幾何題目，很大一部分學生做起來都很吃力。從上學期期末統測成績來看，成績最好是78分，差的只有幾分，這些同學在同一個班里，好的同學要求老師講得精深一點，差的要求講淺顯一點，一個班沒有相對較集中的分數段，從幾分到70多分每個分數段的人數都差不多，這就給教學帶來不利因素。
四、教學目標
1、正確理解二次根式的概念，掌握二次根式的基本運算，并能熟練地進行二次根式的化簡。
2、掌握二次根式加、減、乘、除的運算法則，能夠進行二次根式的運算。掌握二次根式的化簡，進一步提高學生的運算能力。
3、理解四邊形及有關概念，掌握幾種特殊四邊形的性質定理及判定。
4、理解相似一次函數的概念，掌握一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。
五、教學措施及方法
1、成立學習小組，實行組內幫輔和小組間競爭，增強學生學習的信心及自學能力。
2、注重雙基和學法指導。
3、積極應用嘗試教學法及其他新的教學方法和先進的教學手段。
4、多聽聽課，向其它老師借簽學習一些優秀的教學方法和教學技巧。
六、本學期教學進度計劃
第一周：第一章《勾股定理》
第二周：第二章《實數》
第三周：第二章《實數》的復習和第三章《圖形的平移與旋轉》
第四、五周：第四章《四邊形性質探索》。
第六周：第五章《位置的確定》。
第七周：第六章《一次函數》，介紹函數的概念，以及一次函數的圖像和表達式，學會用一次函數解決一些實際問題。
第八周：第七章《二元一次方程組》，要求學會解二元一次方程組，并用二元一次方程組來解一些實際的問題。
第九周：第八章《數據的代表》和總復習。
第十周：綜合復習和訓練。
七、本學年教學成績目標：