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勾股定理教案范文1
【關鍵詞】勾股定理；文獻資料；教學設計；實驗操作
在“理解數學、理解學生、理解教學”的基礎上備好一節課本是最好的備課方式，但由于教師理解能力的差異，以及對“三個理解”的認識程度不同，備課效果自然不可同日而語.那么，怎樣才能備出一節好課呢？筆者認為，通過比對同一課時的文獻資料，分析不同教案的優缺點，博采眾長，巧妙融合，自然會備出一節好課.下面以“勾股定理”起始課為例，談談如何利用文獻資料進行備課.供參考.
1常見教學設計
查閱近幾年的文獻資料，發現勾股定理起始課教學設計大致分為三類：以證明定理為主的教學設計、以探究發現定理為主的教學設計、以實驗操作來發現定理的教學設計.現對這三種教學設計做客觀分析.
1.1以證明定理為主的教學設計
章建躍博士在談到勾股定理教數學時指出：“其一，勾股定理的發現具備偶然性；其二，畢達哥拉斯是大數學家，對數極其敏感，對“形”非常自動化地想到“數”，這是一般人做不到的……我覺得，不應該讓學生去發現，重點應該放在讓學生去證明這個定理.”[1]在這一觀點的支撐下，一線教師中的許多實踐者也取得了良好的教學效果.
課例1劉東升[2]先從一段BBC紀錄片《數學的故事》展示古埃及人結繩繃成直角三角形導入新課，隨即導入勾股定理的特例“如果作一個直角三角形，使得兩直角邊分別為3和4，你能否求出斜邊的長？”在學生嘗試無果后，教師指出有人曾經用拼圖的方法求出該三角形的斜邊長為5，接下來用拼圖的方法予以計算.最后從特殊到一般用面積法（割補法）證明勾股定理.
分析教師設計以證明為主的教學思路，大致是基于以下幾點思考：一是恰當安排講授法，節約時間，采用教師講授證明思路，學生跟進理解，是基于對學情的理解；二是勾股定理的發現具有偶然性，只有畢達哥拉斯這樣的大數學家，才能從“形”非常自動地想到“數”，這是一般人做不到的，在課堂上有限的時間里讓學生去發現該定理是不現實的，也是無法完成的任務.所以，該設計把時間重點分配在證明勾股定理和欣賞勾股定理文化上.從學習的角度看，這樣的安排是有效的，是基于學情來考慮的，有利于學生學習數學知識，培養學生演繹推理的能力.
《義務教育階段數學課程標準（2011版）》[3]（以下簡稱標準）在課程基本理念中指出：學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程.除接受學習外，動手實踐、自主探索與合作交流同樣是學習數學的重要方式.學生應當有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程.顯然，上述過程少了學生觀察、實驗、猜想的過程，而這卻是數學教學的重要功能所在.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理，從這個角度看，上述安排是不完美的.
1.2以探究發現定理為主的教學設計
特級教師卜以樓認為：研究一個定理，一般要從猜想――驗證――證明這三個方面去把握，如果離開了猜想、發現定理這兩個環節，那么培養學生的創新意R和實踐能力就會在教學中打折.事實上，發現一個定理的價值遠遠大于證明這個定理.卜老師同時給出了基于上述思考的教學設計.
課例2卜以樓首先通過畫兩個直角三角形，引導學生發現直角三角形三邊間有關系，然后順勢提出問題：既然直角三角形三邊數量之間有一個等量關系，這個等量關系是什么呢[4]？接著，引導基礎薄弱的學生在單位長度為1 cm的坐標紙上，理性地選擇幾個直角三角形去畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系；引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系：a、b、c三邊間關系可以是一次等量關系、二次等量關系，甚至是高次等量關系，根據三角形兩邊之和大于第三邊否定三邊間存在一次關系，然后探討三邊間的二次等量關系，先從特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，經過驗證發現猜想成立，再用“證偽”否定其它的二次關系，最后引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”，然后利用圖形面積（割補法）來分析和解決問題.
分析首先，本課例關注學生四能培養，教學過程就是基于發現和提出問題，分析和解決問題的思路來設計的，教學過程就是引導學生思維的過程；其次，符合“猜想――驗證――證明”的數學學習規律，過程嚴謹，絲絲入扣，數學味濃，注重學生思維能力和創新能力的培養.
但仔細分析其教學設計后發現，其課堂教學過于理想化，既要啟發基礎較差的學生畫一畫、量一量，觀察量出的數值，估計、猜想三邊間的關系，又要引導基礎較好的學生理性分析三邊間的關系，直至發現直角三角形三邊的平方關系，還要引導學生證明勾股定理，復雜的教學過程可能會導致教學時間不夠，文章展示的探究過程很難在現實的課堂中得以實現.另外，在引導基礎較好的學生理性分析三邊間關系的過程中，作者根據三角形兩邊之和大于第三邊就可以否定三邊間存在一次關系，這句話是有問題的，比如，邊長分別為a=3、b=4、c=5的關系可以表述為a+b=75c這樣的等量關系.對于a、b、c之間二次關系的三種形式的分類是可行的，但直接從特殊情況a2+b2=c2入手，是執果索因的結果，這和直接告知結論是一樣的效果.
1.3以實驗操作來發現定理的教學設計
蘇科版數學教材主編董林偉先生指出：數學實驗不是學生被動地接受課本上的或老師敘述的現成結論，而是學生從自己的數學現實出發，通過自己動手、動腦，用觀察、模仿、實驗、猜想等手段獲得經驗，逐步建構并發展自己的數學認知結構的活動過程[5].數學實驗已成為數學教學中的一個重要方式.關于勾股定理的教學，數學實驗大致有兩種方法：測量法和計算法.
課例3測量法[6]：任黨華引導學生從“直角三角形的角度特殊，會不會它的邊在數量上也有特殊的關系呢？”開始思考，然后讓學生動手畫一個任意直角三角形，測量其三邊長度，計算交流，接著學生展示所得數據及本組猜想，師生用幾何畫板演示，發現a2+b2=c2這一結論成立，再用拼圖法證明結論，最后介紹有關勾股定理的數學史.
課例4計算法[7]：萬廣磊從展示2002年的數學大會的弦圖開始，然后直接給出直角三角形和以該三角形三邊向形外作三個正方形，通過填空的方式來計算三個正方形的面積，學生通過畫一畫、想一想、試一試、辨一辨來發現a2+b2=c2，再用實驗的方法驗證鈍角三角形和銳角三角形不具備兩短邊的平方和等于最長邊的平方，然后用拼圖法證明勾股定理，最后介紹有關勾股定理的數學史.
分析這兩個課例都是通過畫一畫、想一想、算一算來發現勾股定理的，動手實驗的過程有利于培養學生的動手能力，獲得研究問題的方法，積累活動經驗.但課例3存在兩點不足，一是學生畫圖、測量過程中無法保證圖形的準確和數據的精確，不能為發現規律提供保證；二是學生從測量出的三邊數據中，怎么會輕易發現三邊的平方關系？課例4教師通過填空計算面積的方式已經把解題思路和盤托出，難點化為烏有，就像幾何題中老師提前告知輔助線一樣，是避開難點，而不是突破難點.羅增儒教授稱以上教學為“虛假性情境發現”和“淺層次的情境發現”.
2勾股定理教學中需要突破的難點
通過上述課例的分析，我們不難發現在勾股定理的教學中回避不了幾個難點：一是如何創設合適的情境，引導學生發現直角三角形三邊間的平方關系？二是怎樣引導學生從a2、b2、c2這些“式結構”想到“邊長分別為a、b、c的正方形面積”這個“形結構”？三是選擇探究教學，探究的時間較長，有時甚至不可控，需要時間成本；四是數學定理的呈現雖是美麗的，但發現的過程確是漫長和痛苦的，所以，課堂上定理的發現不能過于理想化，所謂還原數學家火熱的思考，實在過于理想化，在短短的一節課內要完成一個定理的發現，必然要降低發現坡度，縮短發現時間，中間教師的引導甚至干預就必不可少.3吸收精華，改進教學設計
上述四個課例均有可取之處，在認真學習比對優劣的基礎上，多方吸收各種教法中的精華，充分考慮勾股定理教學中需要突破的四大難點，經過認真整合，確定“從特殊到一般，經歷猜想――驗證――證明”這樣的探究教學設計，在實際教學中取得了較好的效果.
3.1情境入
在一個確定的三角形中，有確定的角的關系：①三角形內角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三邊間有確定的關系嗎？
3.2探究發現
（1）從最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三邊間關系
直角邊長為1的等腰直角三角形的面積是多少？如果斜邊用字母c表示，請用c表示三角形的面積.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）
用同樣的方法研究直角邊長為2的等腰直角三角形，有什么發現？
（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.
依次研究直角邊長分別為3、4的等腰直角三角形，會發現下面結論.
12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（這里是需要教師干預和引導的）
（2）在網格中研究直角邊不等的特殊直角三角形圖1
如果兩直角邊不等，上述猜想還成立嗎？老師在黑板空白處畫圖分析，指出上面的方法行不通，能否借助格點正方形來發現呢？分析“式結構”，在上圖（圖1）中22=4，用四個正方形表示，12=1，用一個正方形表示，那么以斜邊為邊的正方形的面積是等于5嗎？引導利用割補法研究（小學已經學過）.
（3）幾何畫板驗證猜想的結論
（4）不完全歸納法得出勾股定理
3.3定理證明與介紹
證明過程略.（圖形割補見圖2，證明思路見上面分析）
本設計在研究最簡單的三角形時，學生是不可能想到運用面積來發現等腰直角三角形的三邊關系的，這時教師直接引導先用兩直角邊求面積，再啟發用斜邊求面積，這個過程不自然，但確實沒有更好的辦法.所以，發現式教學不能不加干預，任由學生自由思考，正如佛賴登塔爾所說：“強調用發生的方法來教各種思想，并不意味著應該從它們產生的順序來呈現它們，甚至不關閉所有的僵局，刪除所有的彎路.”顯然，這就是教師主導作用的意義所在.
綜上所述，通過文獻資料的研究，我們可以對相關內容的教學有清楚的認識，并在比較中去粗存精，獲得比較合理的教學方法，這不失為一種行之有效的備課方式.
參考文獻
[1]章建躍.理解數學內容本質提升思維教學水平[J].中學數學教學參考（中旬），2015（6）：14-19.
[2]劉東升.基于HPM視角重構“勾股定理”起始課[J].教育研究與評論：課堂觀察版（南京），2016（1）：45-48.
[3]義務教育數學課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2011.
[4]卜以樓.基于四能的“勾股定理”教學創新設計[J].中學數學教學參考（中旬），2016（7）：11-14.
[5]董林偉.初中數學實驗教學的理論與實踐[M].南京：江蘇科學技術出版社，2013.
[6]任黨華.勾股定理（第一課時）[J].中學數學教學參考（中旬），2015（6）：12-13.
勾股定理教案范文2
教材是課程的重要組成部分，是數學教學的客觀依據。解讀教材的編寫意圖，從科學的角度揭示教學內容的內在聯系、潛在因素、思維方式、思想方法；從心理的角度對教材進行重構，使學習過程符合學生的認知心理。是教師解讀教材的最高要求。本文結合教學實踐闡述解讀教材中應該具備的幾種觀念。
一、系統——聯系觀
數學知識有其內在聯系，是一個有機的整體。認知理論指出，學習過程是新的學習內容與學生的原有認知結構相互作用形成新的認知結構的過程。學生學習是否有效就是看學生能否把新知識融入已有的知識結構，和已有的知識建立聯系并系統化。系統、聯系觀就是要關注教材的邏輯性、系統性。對于知識內容，不僅要了解其本身的規定和意義，更要把它納入整體的知識結構中作橫縱比較。橫向比較與其他知識的關系，弄清它們的相同、差異，縱向揭示知識間的從屬關系、先后次序，了解它們在學科體系和教材體系中的地位和作用。
北師大版八年級上冊第六章第一節《函數》。從它在學科體系中的地位和作用來看，函數是研究現實世界變化規律的一個重要模型。函數的概念是數學體系中的一個核心概念；從它在初中教材體系中的地位來看。函數的概念的認識過程、方法對研究其他函數有重要的指導意義?！稊蹬c代數》中的數、式、方程與不等式都可以用函數來研究；從本節內容與前后知識的聯系來看。七年級上冊《字母表示數》中結合具體情境列出代數式，已經滲透了初步的函數思想，并通過列表、數值轉換機等多種形式讓學生體會變量間的對應關系。七年級下冊《變量之間的關系》中，通過大量實例體會變量之間相互關系的普遍性，通過列表、解析式、圖像三種形式呈現變量之間的關系。本節就是繼續通過對變量關系的考察，建構函數的概念。把握了上述基礎，就可以從整體上、從網絡中把握教學內容，確立教學的起點、方法、思路。
二、思想——方法觀
數學思想、方法是對知識的本質性認識，是教學的終極目標。是在學生頭腦中起永恒作用的觀念和文化。但是，數學思想隱藏于數學知識的內部。知識教學雖然蘊含著數學思想方法，但如果沒有把數學思想方法作為教學對象，學生學習時并不能注意到它。思想、方法觀要求教師在解讀教材時關注“暗線”，把隱藏在知識背后的數學思想方法顯露出來，把它作為教學的核心內容對學生進行潛移默化的熏陶。
北師大版九年級上冊《反比例函數的圖像與性質》的教學就蘊含了數形結合、變化與對應、類比、轉化、分類等豐富的數學思想。首先，圖像與性質本身就是數與形的統一體，對圖像的研究和分析確定函數的性質，體現了數形結合的思想。反比例函數是自變量和因變量之間具有反比例關系的函數，其概念、性質都體現了變化與對應的思想。研究性質時，由解析式到作圖再到性質，充分體現了由數到形，再由形到數的轉化過程，解析式、性質、圖像之間的聯系與轉化，是轉化思想的具體應用。反比例函數的圖像和性質分為k>0、k
數學方法上，反比例函數的學習從整體程序，從具體研究函數概念、圖像與性質的方法都一脈相承。因此研究反比例函數的圖像與性質可以與研究其他函數的圖像和性質進行類比。不僅有知識結構和研究內容（圖像形狀、位置等）的對比，更重要的是研究方法的類比，就是數形結合的研究函數圖像與性質的方法。如反比例函數的圖像的不連續性就是與正比例函數圖像的一個不同點，因而反比例函數需要在不同的象限內分別討論增減性，解決問題的辦法還是要回y=■（x≠0）上去，這正是數形結合思想的體現。教師只有在解讀教材時理清了這些思想方法。才能在教學設計中滲透這些抽象的數學思想。把它們融入數學知識的學習過程中。
哲學家羅素說“凡是你教的東西要透徹”。教師必須有自己的眼光，看到的不只是文字、圖表和數學公式，而應是書中跳躍著的真實而鮮活的思想，這種思想就是對數學本質的認識，在教學中教師只有對教材賦予思想，教材才能“活起來”。
三、思維——過程觀
知識是思維的產物，但是思維是潛在的，反映到教材中不明顯，很多數學知識隱去了發現、發生、發展的過程。教師在解讀教材時不能只停留在結論和說明的表述上，而要去粗取精、去偽存真、從特殊到一般，從局部到整體，由現象到本質，由具體到抽象再現概念的形成過程、法則的總結過程、公式的推導過程、實際問題的分析過程。這種基本的指導思想應該成為我們教師鉆研教材、設計教案的出發點。
教學《勾股定理》時，很多教師“掐頭”、“去中”，直接呈現結論，刪減了探究的過程，得到孤立的無用的“勾股定理”，不能內化為學生認知結構。且學生的思維得不到提升。如果我們研讀教材時把探究過程和探究過程中學生的思維方式顯露出來，就會發現兩者是天壤之別。
四、校本——開發觀
受書面表達形式、普適性等因素的影響，再好的教材也無法顧及不同地區、不同學校的多樣性和學生的差異性。同時教材并不是唯一的教學資源，它只是為教學提供的一種范例。任何一套教材都有改進、調整、補充和重組的必要。新課改下的教材觀給了我們很大的開發和創新的空間。教師應根據教學目標、教學條件、學生的認知心理基礎大膽處理教學內容。
一是開放、延伸，把問題的條件、結論進行變化、變式、對比，讓學生從多方面探索，多方位聯想。把問題延伸、類比去探究問題背后的規律性的東西。二是把教材資源校本化、鄉土化，挖掘生活中的教學資源，拓展教材教學內容，把來自社會生活中的典型資料充實到教學內容中去。三是豐富認知形式，發揮現代教育技術的作用，用掛圖、剪紙、幻燈、視頻、錄音等改變教材的呈現方式，使內容鮮活，發掘教材的潛在功能。四是整合不同學科的教學資源，加強學科之間的聯系。
北師大版八年級上《二元一次方程與一次函數》為了讓學生體會兩者的關系，設計了一個例題，用作圖像的方法解方程組x-2y=-22x-y=2。在實際教學中，會出現兩個問題：一是教師為了解決學生由于畫圖不準而出現的誤差會引出“近似解”，造成學生會在“近似解”的問題上糾纏，二是學生根本不會用圖像法去做。所以例題承擔的兩個目標根本無法實現。筆者認為用圖像法求解重要的不是把解求出來，而是體驗感悟求解的過程、思想，體會方程組與函數的關系。為此做了改變。
1.一次函數y=■x+1和y=2x-2的交點坐標是（2，3），寫出x-2y=-22x-y=2的解。
2.直線l1=mx+n，l2=kx+b的交點坐標是（2，-3），x=2y=-3是哪個方程組的解？
這樣做的最大好處就是讓學生真正經歷一次函數的圖像的交點坐標與二元一次方程組的解的關系的體驗過程，較好地達成了課程目標。
弗賴登塔爾強調“學習數學的唯一正確方法是實行再創造，教師的任務是引導和幫助學生進行這種再創造?！彼裕處熞鶕W生的實際水平，對教學內容進行“再度開發”，特別要精心設計“過程與能力”的教學過程，促進學生的探究能力，發展學生的數學思維，提升學生的數學素養。
五、文化——感悟觀
教材是數學文化傳播的載體，教師要對數學教材進行挖掘和理解，追溯數學的發展史，凸顯數學的理性精神，滲透數學的人文教育，體現數學的應用價值。
挖掘教材中剪紙、畫圖、規律探究、圖案設計、圖形的對稱、黃金分割等內容蘊含的美學價值，教學時潛移默化的鑒賞和感受數學之美，促進學生形成良好的數學觀。教材中的閱讀材料豐富多彩，在彩頁插圖、情境創設、讀一讀中滲透了圓周率、九章算術、楊輝三角等20多個數學史的內容，結合課程知識向學生介紹數學史、數學家故事、有助于學生了解數學在人類文明發展中的作用，體會數學家的創新精神、科學方法、嚴謹的治學態度，感受他們的人格魅力。數學教材的章（節）前語、章（節）前圖為數學學習提供實際背景或問題情境，我們要充分利用它們把生活中的數學原型展現在課堂中，使學生眼中的數學不再是簡單的數學，而是具有活力的知識，在培養能力的同時激發學生熱愛生活的情感。利用課題學習讓學生將數學知識應用于實際之中，加深理解數學與生活的關系，獲得一些數學活動的經驗，發展思維能力，增強應用數學的信心。
[參 考 文 獻]
[1]王凝.中學數學教材體系初探[J].課程教材教法，1988（05）.
[2]章建躍，左懷玲.我國中學數學教材的建設與發展[J].數學通報，2009（08）.