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勾股定理的研究范文1
勾股定理在幾何學中有著重要的地位，因此證明勾股定理在我們學習幾何數學中非常重要。千百年來有許多數學家對勾股定理進行證明，證明方法多種多樣。對勾股定理的證明在1940年出版的《畢達哥拉斯命題》中就收集到了367種之多，但是這還不是全部的證明方法，根據不完全統計到目前為止證明勾股定理的方法已經達到了500多種。當然各種證明方法都有自己獨特的優點，有的豐富有的簡潔。在西方國家勾股定理還被人們稱為畢達哥拉斯定理，這是因為畢達哥拉斯是最先發現直角三角形的勾股定理并且給出了嚴格的證明。
關鍵詞：勾股定理
勾股定理在我國也稱“商高定理”，因為在中國商高是最早發現和利用勾股定理的人，商高曾經說過：“故折矩，勾廣三，股修四，經隅五”。這就是人們后面說的“勾三股四弦五”。勾股定理的應用十分廣泛，到目前為止對勾股定理的證明方法非常多，美國總統伽菲爾德證明勾股定理在歷史上也是很有名的。勾股定理的證明體現了數型結合得思想，這體現了在學習數學得過程中我們必須要重視思維方式的培養，以及對各種思維方式的應用，達到舉一反三的效果。在學習勾股定理的過程中我們要領會數學思維的規律和方法，提高數學思維的靈活性。利用勾股定理解題的時候，常常要把有關的已知量和未知量通過圖形結合起來解決問題，也就是說我們必須要數型結合才能更好的解決勾股定理的問題。在研究問題的時候把數和形結合起來考慮，并且把圖形的性質轉化為數量關系，可以使得復雜的問題簡單話，抽象問題具體化，所以數型結合是一個重要的數學思想。
在早期的人類活動中，其實人們就認識到了勾股定理的一些特征，傳說在公元前1000多年前我國就發現了勾股定理，古埃及人也用“勾三股四弦五”來確定直角。但是有數學家對此也表示懷疑，例如美國的M?克萊因教授就曾經說過：“我們也不知道埃及人是否認識到畢達哥拉斯定理。我們知道他們有拉繩人，但所傳他們在繩上打結，把全長分成長度為3、4、5的三段，然后用來形成直角三角形之說，則從未在任何文件上得到證實?！辈贿^在大約2000多年前的古巴比倫的泥版書上，經過考古專家的考證，在其中一塊泥版書上記錄著這樣的問題：“一根長度為30個單位的棍子直立在墻上，當其上端滑下6個單位時，請問其下端離開墻角有多遠？”很明顯這是一個勾股定理的例子。還有一塊泥版上刻著一些奇特的數表，在表中一共有四列十五行數字，不難看出這是一組勾股數，從右邊到左邊一共有15組勾股數，從這里可以看出勾股定理實際很早就被人們所認識。
對勾股定理進行分類討論可以對有可能出現的問題考慮得比較的完整，在解決問題的時候做到“不漏不重”。
證明勾股定理的方法很多，一一例舉是不可能的，本論文只簡單的討論了幾種簡單易懂的證明方法。那么，接下來我們來看一下證明勾股定理的這幾種方法。
1.通俗易懂的課本證明
2.經典的梅文鼎證法
例2：做四個全等的直角三角形，兩條直角邊邊長分別是a、b，斜邊為c。把這些三角形拼成如下圖所示的一個多邊形，使D、E、F在一條直線上，過C作AC的延長線交DF于點P。
8.總結
勾股定理作為中學數學的基本定理之一，是我們學習數學的必修課程。本文討論了勾股定理的一些證明方法，簡單的闡述了勾股定理的背景，這可以讓我們對勾股定理能夠由更深的了解。本文證明勾股定理的這幾種方法都是比較簡單和常見的，但是也是從不同的方面進行的驗證，這會帶領大家更加深入的了解勾股定理的證明，啟發學生對學習的思考，養成多方面看待問題的思維習慣。通過本文主要是想讓學生能夠學好勾股定理，能夠運用勾股定理解決實際問題。學好勾股定理對我們今后的學習和研究由很大的幫助，所以我們學者對勾股定理的研究就顯得很有必要，也具有相當大的價值。
參考文獻
[1]趙爽.周脾算經注.2006.
[2]王工一.論《九章算術》和中國古代數學的特點[J].麗水學院學報.2006.
[3]王凱.勾股定理玉中國古代數學[J].邵陽學院學報.2005.
[4]張俊忠.史話勾股定理[J].中學生數理化.2002.
勾股定理的研究范文2
二、探索性學習不可或缺的題材
數學新課程理念下的數學學習將大量采用操作實驗、自主探索、大膽猜測、合作交流、積極思考等活動方式。而勾股定理是
三、通過勾股定理的欣賞與應用，接受文化的洗禮與熏陶，體會數學獨特的魅力
勾股定理是一條古老的數學定理，不論哪個國家、民族，只要是具有自發的(不是外來的)古老文化，他們都會說：我們首先認識的數學定理就是勾股定理。在西方文獻中，勾股定理一直以古希臘哲學家畢達哥拉斯(Pythagoras，約前580－約前500)的名字來命名，稱為畢達哥拉斯定理。更有趣的是我國著名數學家華羅庚教授在《數學的用場和發展》一文中談到了想象中的首次宇宙“語言”時，就提出把“數形關系”(勾股定理)帶到其它星球，作為地球人與其它星球上的“人”進行第一次“談話”的語言?？梢哉f勾股定理是傳承人類文明的使者，是人類智慧的結晶，是古代文化的精華。因此，世界各國都非常重視勾股定理的社會文化價值，許多國家還發行了諸多勾股定理的相關郵票。
勾股定理的研究范文3
【關鍵詞】數學史；勾股定理歷史；融入；教學策略
1.勾股定理歷史融入教學的意義
1.1 有利于激發興趣，培養探索精神
勾股定理的證明是一個難點.在數學教學中適時引入數學史中引人入勝和富有啟發意義的歷史話題或趣聞軼事，消除學生對數學的恐懼感，可使學生明白數學并不是一門枯燥無味的學科，而是一門不斷發展的生動有趣的學科，從而激發起學生學習數學的興趣.
1.2 有利于培養人文精神，加強歷史熏陶
學習數學史可以對學生進行愛國主義教育.浙教版新教材對我國勾股定理數學史提得很少，其實中國古代數學家對于勾股定理發現和證明在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位，尤其是其中體現出來的數形結合思想更具有重大意義。
2.勾股定理歷史融入教學的策略
在勾股定理教學的過程中，要求我們在教學活動中，注意結合教學實際和學生的經驗，依據一定的目的，對勾股定理歷史資源進行有效的選擇、組合、改造與創造性的加工，使學生容易接受、樂于接受，并能從中得到啟發.在實踐過程中，發現以下幾種途徑與方法是頗為適宜的.
2.1在情景創設中融入勾股定理歷史
建構主義的學習理論強調情景創設要盡可能的真實，數學史總歸是真實的.情景創設可以充分考慮數學知識產生的背景和發展歷史，以數學史作為素材創設問題情景，不僅有助于數學知識的學習，也是對學生的一種文化熏陶.
案例1：
師：同學們知道勾股定理嗎？
生：勾股定理？地球人都知道！（眾笑）
師：要我說，如果有外星人，也許外星人也知道.大家知道世界上許多科學家都在探尋其他星球上的生命，為此向宇宙發射了許多信號：如語言、聲音、各種圖形等.我國數學家華羅庚曾經建議向宇宙發射勾股定理的圖形，并說：如果宇宙人是文明人，他們一定會認識這種“語言”的.（投影顯示勾股圖）
可以說，禹是世界上有文字記載的第一位與勾股定理有關的人.中國古代數學著作《周髀算經》中記載有商高這樣的話：……我們做成一個直角三角形，這形亦稱曰[勾股形].它的距邊名叫[勾]，長度為三；另一邊名叫[股]，長度為四；斜邊名叫[弦]，長度為五.勾股弦三邊，若各自乘，我們就可由其中任何兩邊以求出第三邊的長……
《周髀算經》卷上還記載西周開國時期周公與商高討論勾股測量的對話，商高答周公問時提到“勾廣三，股修四，經偶五”，這是勾股定理的特例.卷上另一處敘述周公后人榮方與陳子（約公元前6、7世紀）的對話中，則包含了勾股定理的一般形式：“以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并兒開方除之，得邪至日.”
由此看來，《周髀算經》中已經利用了勾股定理來量地測天.勾股定理又叫做“商高定理”.畢達哥拉斯（Pythagoras）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人，比商高晚出生五百多年.希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認為這個定理是畢達哥達斯最早發現的，所以他就把這個定理稱為"畢達哥拉斯定理"，以后就流傳開了.
2.2在定理證明中融入勾股定理歷史
數學史不僅給出了確定的知識，還可以給出知識的創造過程，對這種過程的再現，不僅能使學生體會到數學家的思維過程，還可以形成探索與研究的課堂氣氛，使得課堂教學不再是單純地傳授知識的過程.
案例2.：
劉徽（公元263年左右）的證明：
劉徽用了巧妙的“出入相補”原理證明了勾股定理，“出入相補”見于劉徽為《九章算術》勾股數──“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”所作的注：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類，因就其余不動也，合成弦方之冪，開方除之，即弦也.”如何將勾方與股方出入相補成弦方，劉徽未具體提示，學界比較常見的推測是如下圖.
③剪拼法（學生動手驗證）
證明方法之特征：數形結合證法，建立在一種不證自明、形象直觀的原理上，主要是用拼圖的方法證明，使數學問題趣味化.
翻開古今的數學史，不僅勾股定理的歷史深厚幽遠，所有的數學知識都蘊涵著曲折的道路、閃光的思想、成功的喜悅和失敗的教訓.將數學史的知識融入數學教學中，發揮數學史料的功能，是數學教育改革的一項有力的措施.正象法國數學家包羅·朗之萬所說：“在數學教學中，加入歷史具有百利而無一弊.”
參考文獻
[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學課程標準 （實驗稿） 》[S] 北京：北京師范大學出版社
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例1 已知RtABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c且a=8、b=15，求c的長.
分析：由于題目沒有指明哪個角是直角，因此有可能是邊長為15的邊所對的∠B是直角，或邊長為c所對的∠C是直角，所以應分兩種情況討論，再根據勾股定理解答.
解：（1）若b=15是直角邊，則c為斜邊，由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289，所以c=17；
（2）若b=15是斜邊，則c為直角邊，由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161，所以c=.
所以c的長為17或.
點評：本題由于斜邊不確定，因此需要分類討論.
例2 下面是數學課堂的一個學習片斷，閱讀后，請回答下面的問題.
學習勾股定理有關內容后，張老師請同學們交流討論這樣一個問題：“己知直角三角形ABC的兩邊長分別為7、24，請求出第三邊長的平方”.
同學們經過片刻的思考與交流后，李明同學舉手回答：“第三邊長的平方為625.”王華同學說：“第三邊的長的平方為527.”還有一些同學也提出了不同的看法……
（1）如你也在課堂中，你的意見如何？為什么？
（2）通過上面數學問題的討論，你有什么感受？（用一句話回答）
分析：本題首先要求在閱讀數學課堂的一個學習片斷后，對兩位同學的說法提出自己的看法.這時應注意題眼：“直角三角形ABC的兩邊長分別為7、24”，要對這個不確定條件進行分析研究.
解：設第三邊長為x，則
當x為斜邊時，由勾股定理得x2=72+242，解得x2=625；
當x為直角邊時，由勾股定理得242=72+x2，解得x2=527.
所以，第三邊長的平方為625或527.
由此說明李明和王華兩同學都犯了以偏概全的答題錯誤.
對于第（2）問，應在第（1）問的解答基礎上，總結出“根據圖形位置關系，運用分類討論思想解多解型問題”，“考慮問題要全面”等體會.
點評：解答本題要注意題目條件的不確定性和由不確定性引起的分類，從而利用分類討論思想來解決問題.
例3 等腰三角形一腰長為5，一邊上的高為3，則底邊長為 .
分析：抓住“一邊上的高”將問題分為底上的高與腰上的高兩種情況，又等腰三角形腰上有高，因此再分為銳角三角形與鈍角三角形兩種情況，可運用勾股定理分別求解.
解：若一邊上的高是該等腰三角形底邊上的高，如圖1，此時由勾股定理易得BD=4，所以底BC=8；若一邊上的高是該等腰三角形腰上的高，此時等腰三角形可以為銳角三角形，如圖2，此時由勾股定理易得AD=4，故CD=1.
在BCD中由勾股定理易得BC=；
若一邊上的高是該等腰三角形腰上的高，此時等腰三角形可以為鈍角三角形，如圖3，此時由勾股定理易得AD=4，故BD=9. 在BCD中由勾股定理易得BC=3.
故答案為8或或3.
圖1
圖2
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一、教學內容分析
本節課以勾股定理解決實際問題為載體，通過對它的學習和研究，體現數學建模的過程，幫助學生形成應用意識，其應用的廣泛性讓學生激發出學習數學的興趣，能讓學生體會到學數學、做數學、用數學的快樂.
二、教學過程設計
1. 情境引入
師：暑假里我走過兩座橋――潤揚大橋和南京長江三橋（多媒體顯示兩座橋的圖片），這兩座橋的夜景非常美麗，我們來仔細觀察一下，這兩座橋有什么共同的特征？
這兩座橋都是斜拉橋，斜拉橋的索塔、橋面與拉索組成許多直角三角形，如果我們知道了索塔的高，怎樣計算拉索的長呢？這就是我們今天要學習的勾股定理的應用――生活篇.（師板書課題：2.7勾股定理的應用）
2. 簡單應用
師：到了南京第二天，我決定去游玩玄武湖，到達中央路時，我發現玄武湖東西向隧道與中央路北段及龍蟠路大致成直角三角形（如圖1）. 從B處到C處，如果直接走湖底隧道BC，將比繞道BA（約1.36千米）和AC（約2.95千米）減少多少行程（精確到0.1千米）？
生1：根據勾股定理可以求出BC的長度，然后用AB與AC的和減去BC，所得的結果就是減少的行程.
評析 這是一次旅行，由公路與隧道引出，貼近學生的生活，激發學生繼續探索下去的興趣. 引導學生觀察路線的最佳選擇方案，通過運用勾股定理，從而解決實際的問題.
師：進入玄武湖，我們看到幾只小鳥停在樹上歡快地歌唱，其中一只小鳥從一棵樹飛到了另外一棵樹上. 這兩棵樹之間相距12米，一棵樹高16米，另一棵樹高11米，那么這只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端至少要多少米呢？
生2：作輔助線得到直角三角形，可以求出兩條直角邊分別為5米和12米，由勾股定理可以求出小鳥飛行的最短距離為13米.
評析 對于沒有直接給出直角三角形的實際問題，通過已知條件在圖形中構造直角三角形，從而運用勾股定理解決問題.
3. 深層拓展
師：我們繼續前行，看到滿池的荷花，忽然想到南宋詩人楊萬里的一首絕句“接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅”. 在池塘邊有幾個游人正在那里摘荷葉，由于靠岸邊的荷葉都已經被摘掉了，只能去采摘離岸更遠的荷葉. 這一幅場景讓我想起了《九章算術》里的一道題目，叫作“引葭赴岸”.
“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊，問水深、葭長各幾何？”
“有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺. 如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦的頂部B恰好碰到岸邊的B′. 水深和蘆葦長各多少尺？”
生3：可以看出這個圖形（圖2）里有直角三角形ACB′，但只知道CB′的長度為5，還有AC與AB′的關系，可以設AC = x，則AB′ = x + 1，利用勾股定理可以求出x的值.
評析 選用這個問題作為勾股定理深層拓展的主要原因有二：其一，通過這個問題的討論，學生可以進一步了解我國古代人民的聰明才智和勾股定理的悠久歷史；其二，這個問題是引導學生感悟數學思想的一個載體. 在這個題目的教學中，不僅要關注勾股定理的應用，而且要把教學的重點放在引導學生感悟求解這個問題中所蘊含的數學思想.
師：我們租了兩條游船，開始游覽玄武湖.一船沿北偏西60°方向行駛，速度是6千米/小時，一船沿南偏西30°方向行駛，速度是8千米/小時. 經過多長時間我們兩船之間的距離正好是20千米呢？
生4：設時間為t，可知OA = 6t，OB = 8t，利用勾股定理得到（6t）2 + （8t）2 = 400，求出t = 2小時.
評析 這個問題同樣是只知道一個量，需要借助于時間這個未知量來建立方程，從而解決問題.
4. 鞏固訓練
師：經歷了這一次南京之旅，我們學到了很多知識，下面讓我們運用這些知識來解決這樣一道生活中的問題.
如圖3，一架長為10米的梯子AB斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8米. 如果梯子的頂端下滑1米，那么它的底端是否也滑動1米？
評析 學生經過前面兩題的訓練已經掌握了此類題目的解法，即找出兩個量之間的關系，從而根據勾股定理列出方程，解決實際中的問題. 通過本題加深學生對勾股定理應用的理解.
5. 提升總結
師：通過本節課的學習，你對勾股定理有怎樣的新的認識？你有什么收獲？
評析 讓學生再一次回顧勾股定理在實際生活中的應用，總結本節課中所用到的數學思想方法. 將實際問題通過構造直角三角形轉化為數學問題，從而通過勾股定理來解決. 6. 課后延伸
作業：課本67頁習題2.7第1題，第2題，第4題.
勾股定理的研究范文6
一、勾股定理文化背景及其對現代教學的影響
勾股定理是中國幾何的根源。中華數學的精髓，諸如開方術、方程術、天元術等技藝的誕生與發展，尋根探源，都與勾股定理有著密切關系。勾股形與比率算法相結合，經推演變化已構成各種各樣的測量法。古代數學家常以勾股形代替一般三角形進行研究，從而可以避開角的性質的研討和不觸及平行的煩瑣理論，使幾何體系簡潔明了，問題的解法更加精致。從中國勾股定理的誕生與發展來看，中國古代數學文化傳統明顯有重視應用、注重理論聯系實際、數形結合，以算為主、善于把問題分門別類建立一套套算法體系的特征。然而中國的傳統文化注重“經世致用”，思維方式具有“重實際而黜玄想”的務實精神，使得勾股定理從誕生開始一直沒有超越直觀經驗和具體運算，而發展成一套完整的演繹推理，它始終作為一種技藝在傳播與應用，走的是為了解決實際問題的模式化發展道路。這種技藝應用的價值取向至今仍影響著我們對數學的認識，影響著我們的數學教學。在西方，從畢達哥拉斯學派發現了“與有理數不可通約的無理數”開始，勾股定理作為歐氏空間的度量標尺，經過演繹推理，為幾何公理體系的完善和發展寫下了新的篇章。歐幾里得在證明勾股定理同時，結合圖形分析，以演繹推理的方法獲得了一系列的定理和推論。此后，西方數學家從數的角度將勾股定理推廣到求不定方程的正整數解，引出了著名的費馬猜想、鮑恩猜想、埃斯柯特猜想，從形的角度又把它推廣到平面圖形面積關系、立體圖形的表面積關系的探討。如此無窮延伸，在追求嚴謹的邏輯體系和數學美的過程中推動了現代數學的發展。這足以表明數學教育在西方文化中的宗教和哲學價值取向的理性地位，這對我們今天學習數學、理解現代數學體系結構的形成有著重要的啟示作用。
二、現代勾股定理教學設計
1.從文化傳統習慣入手，利用現代化教學手段進行數學實驗。請學生自己畫出幾個直角三角形，利用直尺測量三條邊長，并記錄數據，計算邊長的平方值，分析它們的關系，引導學生通過計算發現勾股定理。從幾個學生構造的特殊例子出發，利用測量工具進行估算，尋找規律，提出猜想，符合我們的文化傳統習慣，符合從特殊到一般的思維規律，容易發揮學生的主體積極性。
2.利用幾何畫板軟件設計任一直角三角形，自動測量三邊邊長，驗證學生的發現與猜想。幾何畫板軟件就其本身設計來說，是一種模式化的算法體系，用它來精確測量三角形的邊長，展示直角三角形的任意性，是傳統文化精髓與現代文明的新結合。它不僅是一種測量工具的改善，更是一個數學教育現代化的平臺。此法所展示的直角三角形的任意性，是傳統教學手段無法實現的一個夢想。而幾何畫板軟件可以讓學生操作計算機來構造數學對象，在觀察動態的圖形變化中，直觀體驗了任意性的含義，深入理解任意性在數學中所起的作用。同時計算機提供快速反饋測量結果，進行驗證猜想的能力，使學生有更多的時間從事于更高層次的數學思維活動。這一典型實例足以表明計算機技術可以為文化傳統與數學教育現代化的結合提供了好的教學平臺。