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資本資產定價模型范文1
【摘要】資本資產定價模型是現代微觀金融學的奠基石，是現代金融市場價格理論的支柱。它被廣泛運用于投資分析、資產定價和業績評定等方面。
關鍵詞 資本資產 定價模型 證券組合 風險 收益 有效性
一、資本資產定價模型的基本理論
資本資產定價模型包括以下幾個基本假設：（1）投資者都是風險規避者；（2）投資者遵循均值-方差原則；（3）投資者僅進行單期決策；（4）投資者可以按無風險利率借貸；（5）所有的投資者有相同的預期；（6）買賣資產時不存在稅收或交易成本。其基本原理包括：（1）分離定理：根據同質預期的假定，每個投資者的切點處投資組合都是相同的，而由于投資者的風險-收益偏好不同，其無差異曲線的斜率不同，所以他們的最優投資組合也不同，但風險資產的構成卻相同，投資者對風險和收益的偏好狀況與該投資者風險資產組合的最優構成是無關的，這就是著名的分離定理。（2）在均衡狀態下，每種證券在均衡點處的投資組合中都有一個非零的比例。根據分離定理，每個投資者都持有相同的風險資產組合，如果某種證券在組合中的比例為零，即沒有人購買該證券，該證券的價格就會下降，從而使該證券的預期收益率上升，直到最終在組合中該證券的比例非零為止，反之亦然。（3）在以方差表示風險、收益率均值表示收益的坐標軸中，畫一條從無風險利率出發經過市場組合的直線，這條線就是允許在無風險借貸情況下的線性有效集，即資本市場線（CML），任何不利用市場組合以及不進行無風險借貸的其他所有組合都將位于資本市場線的下方。并且，所有投資者都將選擇市場組合作為他們的最優風險資產組合，投資者之間的差別只在投資于最優風險資產組合的數量與投資于無風險資產的數量之間的比例不同而已。資本市場線的表達式：Rp=Rf + (RM-Rf)*σM/σp，其中：Rp、σp 分別代表有效組合的預期收益率與標準差，Rf 表示無風險收益率，RM、σM 表示市場組合的預期收益率與標準差。（4）資本市場線反映的是有效組合的預期收益率與標準差之間的關系，任何單個風險證券由于均不是有效組合，所以一定位于該直線的下方。資本市場線并不能告訴我們單個證券的預期收益與標準差（即總風險）之間存在怎樣的關系。引入了證券市場線, 其數學表達式為：Ri=Rf + (RM-Rf)*σIm/σ2M，其中：Ri、RM 分別代表單個證券和市場組合的預期收益率，Rf 表示無風險收益率,σiM,表示單個證券與市場組合的協方差，σIM 表示市場組合的方差。證券市場線反映了單個證券與市場組合的協方差和其預期收益率之間的均衡關系。比較資本市場線和證券市場線可以看出，只有有效組合才落在資本市場線上，而非有效組合都落在資本市場線下方。而對于證券市場線來說，無論是有效組合還是非有效組合，它們都落在證券市場線上。因此，證券市場線反映了在不同的β值水平下，各種證券及證券組合應有的預期收益率水平，從而反映了各種證券和證券組合系統性風險與預期收益率的均衡關系。由于預期收益率與證券價格成反比，因此證券市場線實際上也給出了風險資產的定價公式，若令βi=σIm/σ2M，中βi 為證券i 的β系數，則Ri=Rf+(RM-Rf)* βi 就是Sharpe 和Lintner 所建立的標準形式的CAPM，它表明某種證券i 的預期收益率僅由其β系數即系統風險線性決定，而非系統因素在證券的預期收益中沒有作用。在遵循如上原理下，資本資產定價模型認為，在投資者均具有專業知識并具有理性的情況下，所有投資者的市場組合都是一樣的，投資者僅需要通過專業經紀人獲得該市場組合，然后根據自己的效用曲線來選擇無風險證券和市場組合的最佳比例，從而做出最優的投資。
二、資本資產定價模型的應用
資本資產定價模型提供了有關證券的市場定價及期望報酬率測定的思想,它還可以廣泛應用于投資管理和公司財務中。
1、用于風險投資決策
夏普等財務學家根據總風險由系統風險和非系統風險兩大部分組成，除了和整個市場的變動相關的風險（即系統風險）無法分散掉外，其它風險都可以采用投資組合的方式來消除的原理,認為對任何證券而言，投資者通常不會將那些可以分散掉的風險視為風險,只有那些無法分散掉的市場風險才是真正的風險,此種風險的大小能夠由個別證券報酬率隨著市場投資組合報酬率的漲落而漲落的程度衡量出來。并據此研究出一種能描述在證券的供需達到平衡時，存在于證券的市場(系統)風險與預期報酬率之間的關系模型,即資本資產定價模型。資本資產定價模型提供了與投資組合理論相一致的單一證券風險的計量指標，有助于投資者預計單一資產的不可分散風險。該模型可以表述為：期望的投資報酬率= 無風險報酬率+ 風險報酬率= 無風險報酬率+ 風險報酬斜率風險程度，其中風險程度用標準差或變異系數等計量。風險報酬斜率取決于全體投資者的風險回避態度，可以通過統計方法來測定。該模型用于風險投資項目的決策，最常用的方法是風險調整貼現率法。這種方法的基本思路是對于高風險的項目,采用較高的貼現率（風險調整貼現率）去計算凈現值，然后根據凈現值法的規則來選擇方案。問題的關鍵是根據風險的大小，利用上述模型確定風險調整貼現率。該方法的理論依據是：貼現率或資本成本是投資者進行項目投資決策時所要求的最低報酬率,當項目投資的風險增大時，投資者要求得到的報酬也上升。反之，當項目投資的風險減少時，投資者要求得到的報酬也下降。所以風險越大,貼現率越高，風險越小，貼現率越低
2、用于投資組合決策
資本資產定價模型來源于投資組合理論，又反過來用于投資組合決策。某一投資組合的β系數等于組合中個別證券的β系數的加權平均數之和，用于投資組合決策時，資本資產定價模型可以表述為:投資組合的報酬率= 無風險報酬率+（市場平均的風險報酬率-無風險報酬率）投資組合的β系數利用該模型進行投資組合決策的基本方法是:（1）確定不同證券投資組合的系數；（2）計算各證券組合的風險收益率：證券組合的風險收益率=（平均的風險報酬率-無風險報酬率)投資組合的β系數；（3）確定各投資組合的報酬率；（4）比較投資組合的報酬率,并結合投資者的風險態度和風險收益率來進行投資組合方案決策。
3、用于籌資決策中普通股資本成本的計算
普通股的資本成本率可以用投資者對發行企業的風險程度與股票投資承擔的平均風險水平來評價。普通股的資本成本可以用投資者要求的最低報酬率來表示。根據資本資產定價模型：普通股的資本成本率= 無風險報酬率+ (股票市場平均報酬率-無風險報酬率) ×β系數。實證研究表明，股票市場平均報酬率通常比無風險報酬率高5 %-7 %。
三、資本資產定價模型在我國應用中的不足
在國際金融市場上, 資本資產定價模型在理論上是討論的熱點, 在實際應用上也是重要的工具。把資本資產定價模型應用于我國的證券市場是否合理還需要針對我國證券市場的實際情況和模型的應用范圍和適應性進行討論。
1、資本資產定價模型是建立在嚴格的假設條件上的，必要的條件就是要求證券市場是有效的。我國的證券市場正處在一個發展的初級階段，信息公開化程度較低,在我國的證券市場內，信息披露不完全, 有時會存在弄虛作假的情況，使證券的價格發生偏離。
2、我國證券市場個人投資者較多，普遍經驗不足， 且缺少專業的知識。很大一部分投資者投資具有很大的盲目性， 從這一點上來講, 降低了市場的有效性。
3、上市公司股權結構的不合理, 我國上市公司的國有股和法人股占到總股數的63%, 國有股和法人股不能上市流通,限制了證券的高度流動性，降低了證券市場的競爭程度。這種股權結構加劇了我國證券市場的信息不對稱，這種嚴重扭曲的股權結構造成了比較嚴重的影響。
參考文獻
①周俊宇，《資本資產定價模型在證券投資中的應用》[J]《. 投資理財》，2011（5）
②林琳、馬彪，《資本資產定價模型的理論評價及其在我國證券市場的應用》[J].《現代軟科學》，2006（2）
③劉敬，《論資本資產定價模型在我國證券市場上的應用》[J].《現代財經》，2003（8）
④陳燕，《資本資產定價模型的適用性及發展探討》[J]《. 資本運營》，2010（8）
⑤李金壘，《資本資產定價模型在滬市擬合程度檢驗》[J]《. 上海市經濟管理干部學院報》，2008（11）
資本資產定價模型范文2
一、資本資產定價理論簡介
（一）理論淵源 資本資產定價理論是在馬克維茨投資組合理論和資本市場理論基礎上形成發展起來的一種證券投資理論，主要研究證券市場中資產的預期報酬率與風險資產之間的關系，以及均衡價格是如何形成的。 1952年，馬柯維茨在《金融雜志》上發表其題為《投資組合的選擇》的博士論文是現代金融學的第一個突破，他在該文中確定了最小方差資產組合集合的思想和方法，開創了對投資進行整體管理的先河，奠定了投資理論發展的基石。
1964年，威廉?夏普在馬柯維茨的投資組合理論的基礎上首次提出資本資產定價模型。CAPM是第一個在不確定條件下，使投資者實現效用最大化的資產定價模型，導致了西方金融理論的一場革命。其中心特點是只有系統風險才在股票定價中起作用，股票的報酬與股票系統風險的量度β成正比。
之后，林特（1965）和莫森（1966）對資本市場總體定價行為進行了深入研究并各自提出了風險資產定價均衡模型。他們的研究方法有所不同，但是思想和研究的結果是一致的。1990年，威廉?夏普因為資本資產定價模型的創建而獲得諾貝爾經濟學獎。
（二）CAPM的假設條件資本資產定價模型建立在以下基本假設之上：所有投資者都追求當期報酬最大化，并以各組合的期望報酬和標準差為基礎進行投資組合選擇；市場是完全有效的，所有投資者擁有同樣的預期，即投資者對所有資產的預期報酬、方差和協方差等均有完全相同的估計；所有投資者都可以無風險利率無限制的借入或貸出資金；沒有稅金和交易成本；所有投資者都是價格接受者，任何一個投資的買賣行為都不會對股票價格產生影響；所有資產的數量是固定不變的；所有的資產都可以被完全細分，擁有充分的流動性。
（三）模型描述資本資產定價模型可以表示為：
Rp=Rf+β× （RM-Rf）
其中：Rp是資產或資產組合的報酬率；Rf為無風險報酬率；β為給定資產或資產組合的系統風險，RM是市場組合的報酬率。
從模型當中我們可以看出，資產或投資組合的期望報酬率取決于三個因素:無風險報酬率率Rf，通常將國庫券的報酬率作為無風險報酬率；風險系數β，β系數是某一投資組合的風險程度與市場證券組合的風險程度之比。β越大，系統性風險越高，要求的報酬率越高，反之，β越小，要求的報酬率越低；風險補償，即RM-Rf，是投資者為補償承擔超過無風險報酬的額外風險而要求的報酬，即市場組合報酬率與無風險報酬率之差。
二、資本資產定價模型推導
（一）資本市場線在資本資產定價模型中，預期報酬代表所有投資者可能得到的最好的風險回報，預期報酬與標準差之間表示風險――報酬權衡的線稱為資本市場線。
如圖1所示，A表示所有投資組合的機會集；曲線XMN代表有效集或有效邊界，同機會集A相比較，有效集上的組合更有優勢，即相同的風險下，有效集上的組合報酬高，相同的報酬下，有效集上的組合風險??；Rf表示無風險報酬率，從Rf開始，做有效集的切線，切點為M，這條直線就是資本市場線（CML），可以用公式表示為 ：
RP=Rf+re* p
其中Rp為任意有效組合P的報酬率，Rf為無風險報酬率（純利率），re為資本市場線的斜率， p為有效組合P的標準差（風險）。
雖然理智的投資者可能選擇XMN線上的任何有效組合，但是由于無風險資產的存在，使得投資者可以同時持有無風險資產和證券組合，這種組合位于資本市場線MRf上。MRf上的組合與XMN上的組合相比，它的報酬高而風險與之相同，甚至風險更小，或者風險小而報酬相同或更高。
風險厭惡者可以選擇貸出資金，比如購買政府債券，降低風險，當然這樣同時也降低了預期報酬率；風險喜好者可以選擇借入資金，增加投資風險資產的資金，來提高預期報酬率。
總期望報酬率=Q風險組合預期報酬率+（1-Q）*無風險利率
其中，Q代表投資于風險組合的資金比例，1-Q代表投資于無風險資產的資金比例，如果貸出資金，Q將小于1，如果借入資金，Q將大于1。
（二）證券市場線按照資本資產定價模型理論，單一證券的系統風險可由β系數來度量，而且其風險與報酬之間的關系可由證券市場線來描述。證券市場線（SML）揭示了市場上所有風險性資產的均衡期望報酬率與風險之間的關系，用公式表示為：
Ri = Rf + β （Rm - Rf ）
其中，Ri 是第i個股票的必要報酬率，Rf 是無風險報酬率，Rm 是平均股票的要求報酬率，即β=1時的股票報酬率，Rm - Rf是投資者為補償承擔超過無風險報酬的額外風險所要求的報酬率，即風險補償。
如圖2所示，證券市場線的斜率表示市場中風險厭惡的程度，投資者對風險的厭惡感越強，斜率越大，要求的風險補償越多，對風險的厭惡感越小，斜率越小，要求的風險補償也就越少；無風險報酬率Rf是證券市場線的截距。
證券市場線很清晰地反映了風險資產的預期報酬率與其所承擔的系統風險β系數之間呈線性關系，充分體現了高風險高報酬的原則。同時投資者要求的預期報酬率不僅取決于市場風險，還取決于無風險報酬率和市場風險補償程度。它適用于單個證券和證券組合，既適用于有效組合，也適用于無效組合。
三、資本資產定價模型在我國應用的局限性
（一）資本資產定價模型本身假設的局限性 資本資產定價模型就建立在一系列假設前提之上的，這些假設或多或少存在一些不合理的地方：
（1）有效市場假設不成立。有效市場是指這樣一種市場，在這個市場上，所有信息都會很快被市場參與者領悟并立刻反映到市場價格之中，整個市場沒有摩擦，沒有交易成本和稅收，整個市場充分競爭，這在現實中是根本不存在的。在此基礎上，所有投資者擁有同樣的預期這一假設也不成立。
（2）所有投資者都可以無風險利率無限制的借入或貸出資金的假設不成立。出于對風險控制的考慮，投資者不可能從市場上無限制的借入資金，也不可能將自己的資金無限制的貸出，更不可能以無風險利率借貸資金，所以這個假設是不成立的。
（3）沒有稅金和交易成本這一假設也是不成立的，證券的買賣都需要花費一定的交易費用，上繳一定的交易稅金。
（4）資產的數量是固定不變的假設不成立。在證券市場上，資產的數量是隨時變化的，不可能固定不變。
（二）我國證券市場的局限性 我國證券市場成立于20世紀80年代末，相對于西方國家相對成熟的市場，我國證券市場還存在很多問題，主要表現在以下幾個方面：
（1）市場信息透明度低，信息披露不完善。有效市場要求信息完全公開，所有投資者都可以同時免費的獲得所有信息，并且市場信息可以立即反映到證券價格上來。但是，在我國證券市場上，信息透明度低，投資者獲得信息不同步。另外，由于我國法規還不健全，還有市場主體利益問題，導致市場信息披露不完善，漏報、隱瞞、謊報現象時有發生。所以，很多研究者都指出，我國證券市場正處于弱有效和非有效狀態。
（2）股權結構不合理，流動性差。據統計，我國證券市場上發行的股票，60%屬于國有股和法人股。我國法律法規對國有股和法人股的流通有很多限制規定，例如，發起人持有的股份，自公司成立之日起一年內不得轉讓；董事、監事、高級管理人員在任職期間每年轉讓的股份不得超過其所持有本公司股份總數的25%等。由于國有股、法人股占的比重大，同時又不能隨意轉讓，就導致了整個市場的流動性差。
（3）交易費用高。目前，我國證券交易費用主要包括委托費、傭金、印花稅、過戶費等，費用是歐美等成熟市場的3―4倍。
四、提高資本資產定價模型在我國適用性的建議
（一）加強監管，推動信息透明化信息透明度低、披露不完善，使我國證券市場處于弱有效和非有效狀態，嚴重限制了資本資產定價模型的應用，同時導致了市場混亂、股價不合理等現象的存在。為此，各部門應加強對信息披露的監管，完善信息披露制度，對應披露的信息、披露時間等問題要明確規定，做到有章可循、有法可依。
（二）解決股權結構不合理的問題 由于我國股權結構不合理，國有股、法人股所占比重過大，又不能隨意上市流通，導致了市場供求出現矛盾，投機現象盛行。解決好這一問題，能夠提高我國證券市場的有效性，從而提高資本資產定價模型的適用性。
（三）發展證券投資中介機構目前，我國證券市場上的投資者大多是直接投資上市公司股票，而不是通過證券投資機構來實現投資，而且作為投資者個人來說，很難獲得風險分散利益，同時，投資者個人又在證券市場上處于弱勢地位。發展有效率的證券投資中介機構，通過與上市公司之間的博弈，可以推動信息披露制度的完善， 使我國證券市場信息更加透明，提高我國證券市場的有效性。
五、結論
雖然資本資產定價模型的前提假設有很多不成立，我國市場的有效性也比較弱，但是運用資本資產定價模型來進行證券投資決策分析，可以為投資者解決很多問題，比如計算預期報酬率、為資產定價、評估資產組合的業績等，所以我們必須改善市場環境，加強證券市場有效性的建設，以此來提高資本資產定價模型的適用性。
參考文獻：
［1］馬崇明：《論資本資產定價模型及其研究進展》，《財會通訊》2007年第3期。
［2］黃萍，韋增欣：《資本資產定價模型理論及應用》，《科技經濟市場》2006年第10期。
資本資產定價模型范文3
【關鍵詞】 資本資產定價模型 無差異曲線 非線性最優化 最優組合
證券組合管理理論最早由美國著名經濟學家馬柯維茨于1952年系統提出，以均值方差來量化證券組合的收益風險，1964年馬柯維茨的學生威廉•夏普提出著名的資本資產定價模型（CAPM），在CAPM基礎上羅斯于1976年提出套利定價模型（APT），所以CAPM模型在組合管理理論中具有特殊意義，是很多后來發展理論的基礎。以歷史收益的均值標準差衡量組合的收益風險，結合數學優化方法，可以得出CAPM模型下的一些結論。
一、組合可行域邊界簡化處理依據與無差異曲線模型依據
先約定一些用到的符號：Ei表示證券組合中第i種證券的均值（或期望收益）；EA、EB、EP分別表示證券A、證券B、證券組合的均值；?滓i表示證券組合中第i種證券的標準差；?滓A、?滓B、?滓P分別表示證券A、證券B、證券組合的標準差；xA、xB、xi分別表示證券A、證券B、證券組合中第i種證券的投資比例；?籽AB表示證券A、B的相關系數；rF表示無風險收益率；在均值標準差EP-?滓p坐標系中，均值EP為縱坐標，標準差?滓p為橫坐標。
本文所有結論都建立在資本資產定價模型基礎之上，對風險證券組合可行域邊界進行簡化處理，構造無差異曲線模型，所以有必要說明這兩點及其依據。首先可行域邊界簡化處理：在EP-?滓p坐標系中用期望收益最高最低的倆點確定的雙曲線來近似風險證券組合可行域的邊界。各個證券都有一個期望收益與標準差，可以將其在EP-?滓p坐標系中表示出來，各個證券與EP-?滓p坐標平面上的點一一對應。一般情況下（?籽AB≠±1），由證券A、B兩種證券組成的證券組合的可行域為經過A、B兩點的雙曲線。EP、?滓p滿足：
E=xEA+（1-xA）E（1）?滓=x?滓+（1-xA）?滓+2x（1-x）?滓?滓?籽 （2）
由（1）、（2）可得組合的可行域所在的雙曲線方程：（EA-EB）2
?滓=（EP-EB）2?滓+（EP-EA）2?滓-2（EP-EA）（EP-EB）?滓?滓B?籽（3）
在不允許賣空情況下，組合的可行域為雙曲線（3）上的弧AB部分；不允許賣空情況下，含有三種證券的組合，任意兩種證券確定一條雙曲線，共有三條雙曲線，三條雙曲線圍成的區域為可行域。
市場處于均衡狀態下，M為市場組合，市場包含n種風險證券和1種無風險證券，可以根據各個風險證券的歷史實際收益率數據，利用SPSS統計軟件，計算各證券的期望收益與標準差，找出最高最低期望收益的點，記最高點為A，最低點為B。市場組合的比例系數滿足x=1，0
在不允許賣空情況下，風險證券期望收益最高最低的點決定一條雙曲線，風險證券組合可行域邊界左凸部分是該雙曲線的一部分，由于EM?燮EA，所以M在該雙曲線上。不允許賣空情況下，M可以看作由無風險證券F引出的切線與該雙曲線的切點。
允許賣空情況下，靠近最小風險組合的可行域邊界為風險證券期望收益最高最低點確定的雙曲線的一部分。M點位置受兩方面因素影響，F點位置的高低和風險證券組合可行域邊界的情況?？尚杏虿蛔?，市場無風險利率rE越低，資本市場線斜率越小，M點位置越低，越靠近最小風險組合；rF不變，風險證券最高期望收益越高，資本市場線斜率越小，M越靠近最小風險組合。事實上，rF為市場無風險利率，一般很低；風險證券最高期望收益點已經是市場中最高期望收益的點，所以M比較靠近最小風險組合，所以可以作簡化處理，風險證券期望收益最高最低的點決定的雙曲線左邊部分可以近似可行域的左邊部分，且M在該部分曲線上。允許賣空情況下，M可以看作由無風險證券F引出的切線與風險證券組合可行域邊界的切點，而該部分邊界可由期望收益最高最低點決定的雙曲線來近似。
其次構造無差異曲線模型：EP=a（?滓P-b）n+cP（a>0，b?叟0，n>1，?滓P?叟0，cP∈R）。
無差異曲線衡量投資者的滿意程度，滿意程度跟投資者的個人偏好有關，所以不同投資者的無差異曲線有所不同，同一無差異曲線上的任意兩點滿意程度相同，位置越高的無差異曲線滿意程度越高。根據無差異曲線的六大特征，很容易驗證形式如EP=a（?滓P-b）n+cp的曲線族滿足這六大特征，這樣構造無差異曲線模型具有合理性。無差異曲線并非一定是這個形式，這里只是用EP=a（?滓P-b）n+cP函數族來近似。
簡要討論下構造的無差異曲線模型。EP=a（?滓P-b）n+cP（a>0，b?叟0，n>1，?滓P?叟0，cP∈R），已知n，只要知道滿意程度相同的3個點，就可以把a、b、cP解出，a、b決定了曲線的形狀，（b，cP）為曲線頂點位置，（0，abn+cP）為該無差異曲線上一特殊點；E'P=na（?滓P-b）n-1，n>1，a>0，當?滓P?叟b時，n和a越大則E'P越大，即無差異曲線越陡，這意味著投資者對風險補償的要求越高，所以投資者可以根據自己喜好，確定合適的n和a。
二、均衡市場的資本市場線求解
市場處于均衡狀態時，資本市場線與原可行域切點M為市場組合，記市場組合M的均值標準差分別為EM、?滓M，下面給出EM、?滓M的求解步驟：
第一，確定用來簡化模型的最高最低期望收益的兩點A和B。記I為整個證券市場所有風險證券集合的指標集，I={1，2，…，n}，EA=max{Ei｜i∈I}，I1為集合max{Ei｜i∈I}的指標集，?滓A=min{?滓i｜i∈I1}；EB=max{Ei｜i∈I}，I2為集合max{Ei｜i∈I}的指標集，?滓B=min{?滓i｜i∈I2}。
第二，由方程（3）求出過A、B兩點的雙曲線。
第三，求解資本市場線及市場組合M的坐標。因為M點在A、B決定的雙曲線上，而且是由F（0，rF）引出的直線與該雙曲線的切點，由解析幾何知識可求出資本市場線方程，具體步驟如下，令F（?滓P，EP）=（EA-EB）2?滓-（EP-EB）2?滓-（EP，EA）2?滓+2（EP-EA）（EP-EB）?滓A?滓B?籽AB；F1（?滓P，EP）=（EA-EB）2?滓；F2（?滓P，EP）=（2?滓A?滓B?籽AB-?滓-?滓）EP+?滓EB+?滓EA-?滓A?滓B?籽AB（EA+EB）；?準（?滓P，EP）=（EA-EB）2?滓+（2?滓A?滓B?籽AB-?滓-?滓）E。過F（0，rF）的資本市場線方程可表示為?滓P=Xt，EP=rF+Yt，資本市場線與雙曲線相切，所以要滿足下面條件：[F1（0，rF）X+F2（0，rF）Y]2-?準（X，Y）F（0，rF）=0。可以求出Y/X，不妨令k=Y/X，資本市場線方程為：
EP=rF+k?滓P（4）
聯立方程（3）、（4）可以求出切點市場組合坐標M（?滓M，EM）。
用A、B兩點就近似求得了資本市場線與市場組合的風險收益，計算量比較小。求得市場組合的（?滓M，EM）以后，可以與投資者實際組合的收益標準差作比較，可以進行績效評估，比較過程涉及無差異曲線，主要比較二者所在無差異曲線的高低，進而評定投資的績效如何。若實際組合所在無差異曲線高于過M的無差異曲線（即高于市場平均水平），則績效優，反之則差。
三、最優證券組合的求解
吳可、孟新平研究過VP=a+?姿EP（?姿?叟0，VP為組合均方差?滓，a∈R）無差異曲線模型下的最優組合問題，顯然該形式的曲線族滿足無差異曲線的六大特征，但忽視了無差異曲線向下凸出也即最低點期望收益要比其在EP軸上交點低的情況，所以本文構造更一般的無差異曲線模型：
EP=a（?滓P-b）n+cP （a>0，b?叟0，n>1，?滓P?叟0，cP∈R） （5）
無差異曲線最低點為（b，cP），與EP軸交點為（0，abn+cP），顯然abn+cP?叟cP（最低點期望收益比其在EP軸上交點低） 。當n=2，b=0，無差異曲線模型為EP=ab?滓+cP，令a=?姿-1，cP=-aa，（5）式變為?滓=a+?姿EP，即VP=a+?姿EP，所以吳可、孟新平研究的無差異曲線模型只是其中一種特殊情況。最優組合的滿意程度最高，也就是EP最高，所以只需要cP最大，-cP最小。下面就更一般的EP=a（?滓P-b）n+cP模型來求解最優證券組合。
可以建立下面非線性最優化模型：
目標函數：min{-cP｜-cP=a（?滓P-b）n-EP}
約束條件：EP=rF+k?滓P
模型意義為在資本市場線EP=rF+k?滓P上找到滿意程度最高的cP。
資本市場線EP=rF+k?滓P上面已經求出，所以rF、k已知，由非線性最優化的直接消去法，得-cP=a（?滓P-b）n-k?滓P-rF，（-cP）'=na（?滓P-b）n-1-k=0即?滓P=b+（k/na）1/（n-1）時（易驗證此時-cP最小），-cP=k（1/n-1）（k/na）1/（n-1）-kb-rF，即cP=k（1-1/n）（k/na）1/（n-1）+kb+rF，同時將?滓P帶入（4）算出EP=kb+k（k/na）1/（n-1）+rF。最優組合坐標為（b+（k/na）1/（n-1），kb+k（k/na）1/（n-1）+rF），該點正好是資本市場線與滿意程度最高無差異曲線的切點，這驗證了只有當無差異曲線與資本市場線相切時，無差異曲線的位置最高。在EP軸上與最優組合滿意程度相同的點坐標為（0，abn+k（1-1/n）（k/na）1/（n-1）+kb+rF）。
其中，當b=0時，最優組合坐標為（k/na）1/（n-1）+k（k/na）1/（n-1）+rF，過點（0，k（1-1/n）（k/na）1/（n-1）+rF）；當b=0，n=2時，即EP=a?滓+cP，最優組合坐標為（k/2a，k2/2a+rF），過點（0，k2/4a+rF）。
每條無差異曲線與該曲線在EP軸上交點的滿意程度是相同的，比較不同組合的滿意程度，就轉化為比較不同組合所在的無差異曲線與EP軸交點（0，abn+cP）位置的高低，abn為一定值，只需比較cP大小，因此所在無差異曲線cP大的組合滿意程度高。最優組合的cP=k（1-1/n）（k/na）1/（n-1）+kb+rF，無風險證券cF=rF-abn，而k（1-1/n）（k/na）1/（n-1）+kb+rF>rF-abn，所以最優證券組合的滿意程度確實比無風險證券的滿意程度要高。
無風險證券F、市場組合M、最優組合N都在資本市場線上，N可以看作F和M的再組合，即N=yF（1-y）M，y是無風險證券的投資比例，由yrF+（1-y）EM=EN得y=（EM-EN）/（EM=rF）。市場組合M的投資比例為xi=PiQi/PQ（Pi為證券i的市場價格，Qi為證券i的流通股數），M（?滓M，EM）、N（b+（k/na）1/（n-1），kb+k（k/na）1/（n-1）+rF）上文已求得，所以最優證券組合N點各證券投資比例分配為：
無風險證券F的投資比例為y=（EM-EN）/（EM-rF），n種風險證券的投資比例為xi=（1-y）PiQi/PQ=（E-r）/（E-r）PQ/PQ。y∈[0，1]，N在線段FM上，為F和M的投資組合；y
最優證券組合和市場組合比例系數之間的關系決定了最優組合和市場組合比例系數計算量的一致，雖然不易計算，但從給出了最優組合各證券比例系數的理論公式。
四、兩種特殊模型下的最優組合
【參考文獻】
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資本資產定價模型范文4
[關鍵詞]資本資產定價模式 金融時報100指數 預期回報率
一、引論
在1952年，Harry Markowitz提出了均值方差模型，這也為現資組合管理打下了基石?；谶@一模型基礎之上，William Sharpe（1964），John Lintner（1965）andJan Mossin（1966）發展出資本資產定價模型。資本資產定價模型論證了證券的預期回報與風險，這一模型也被廣泛的應用到對預期投資的預期回報率的預算，同時也被應用到對還未在市場進行交易的資產（如首次公開發行的股票）的預期回報的預算。資本資產定價模型理論預測，就個人證券的預期回報是和市場投資組合回報與證券的協方差成直線聯系的。Jones（1991）發現市場投資組合可能是任何一個被公認的主要影響安全回報的指標。個人證券的預期回報肯定是和其風險相關的。也就是說，愿意持有風險資產的投資者必須想要有對應的預期回報率來補償。盡管已經有許多被修訂過的資本資產定價模型被發展出來來評估股票回報率，本研究將繼續使用無條件的雙參數資本資產定價模型來測試來自于金融時報100指數的股票。實證結果為資本資產定價模型的解釋能力提供支持，這也就意味著可以用資本資產定價模型理論來評估來自于金融時報100指數的預期回報率。本文的結構如下：先是文獻回顧，接著是金融時報100指數的簡介和研究樣本的討論，隨后解釋和討論標準資本資產定價模型的實證結果，最后是總結。
二、文獻回顧
投資者通常面臨兩種風險，一種是非系統性風險，另一種是系統性風險。非系統性風險是指對某個行業或個別證券產生影響的風險，它通常由某一特殊的因素引起，與整個證券市場的價格不存在系統的全面聯系，而只對個別或少數證券的收益產生影響，它可通過增加包括投資組合在內的股票的數量來抵消。系統風險是有關于一個證券的商業或金融風險，這可通過構建一個充分分散化的投資組合來消除。標準的資本資產定價模型是由William Sharp推出的，它證實了一支股票的預期回報率是和它的系統性風險Beta（β）線性相關的。資本資產定價模型表明預期回報是預期市場回報率與無風險回報率之差。無條件下資本資產定價模型方程式為：
E〔Ri〕是資產i的預期回報率，Rf是無風險利率，E（Rm）是市場m的預期市場回報率，βi是Beta系數，即資產i的系統性風險，β系數表示了資產的回報率對市場變動的敏感程度。方程式1表明，單個證券投資組合的期望收益率與相對風險程度間的關系，即任何資產的期望報酬一定等于無風險利率加上一個風險調整后者相對整個市場組合的風險程度越高，需要得到的額外補償也就越高。這也是資產定價模型（CAPM）的主要結果。
接下來的半個世紀，許多人對于資本資產定價模型有效性的進行了測試實際論證，例如，Iqbal和Brooks測試了拉合爾證券交易所，Galagedera測試了澳大利亞證券交易所，Panigo和Pasquini研究了拉丁美洲股票交易所，Gunnlaugsson測試了冰島股票交易所，徐緒松和侯成琪在上海股票交易所進行了實證研究，Rogers和Securato在圣保羅股票交易所進行了測試。所以，本文試圖使用已實現的股票收益測試過去的股票收益是否符合資本資產定價模型。
三、金融時報指數（富時指數100）的簡介
創立于1984年，指數基值定為1000，金融時報指數在英國股票市場被最廣泛應用的指數，它約占整個倫敦股票交易所的資本市場的81%。金融時報指數由富時指數有限公司編制，該獨立公司來源于由金融時報和倫敦股票交易所控制的合資企業。所以，它的名字來自于兩家公司的縮寫。富時指數有限公司設定了一些要求來選擇成分，比如在倫敦股票交易所的全面上市，國籍，自由浮動和流動性。該指數有100家公司組成，但是共有102家上市，因為兩股列入皇家荷蘭殼牌公司和寶源。
四、樣本選擇方法
在這一部分，我們討論本論文的數據來源和使用方法。在倫敦證券交易所上市公司每月調整收盤股價是從英國雅虎金融的2003年1月1日到2011年12月31日收集來的。所以，在2003年之后列入富時指數100的組成部分被排除，剩下的72家公司是可以提供的。每只股票共108個數據，樣本中的每家公司的月股票回報被計算。然后每家公司的回報率是107。富時100指數作為市場投資組合。該月無風險利率是由一個月英國國債回報所代表的，這也是從英國雅虎金融收集的。選擇樣本的標準如下。首先，公司應該是在倫敦股票交易所上市的公開公司。其次，公司應該在所分析年份中上市交易達9年。這樣一來，可用的樣本就有72家公司?；诜匠淌?基礎之上，證券市場線常被用來評估beta值，利用月超額回報的時間序列回歸來測試資本資產定價模型的有效性。證券市場線用圖表表示出證券超額回報i是和恰當市場指數t之間是有聯系的。本文將研究這個線性關系來找出已認證的72家公司的收益回報是否支持資本資產定價模型。下圖表明證券市場線，描繪的是預期收益與β關系（Subadar，2010）。方程（1）僅僅是回報與β的關系。
證券市場線公式如下：
由于CAPM模型是一個事前的模型，那么我們將獲得通過的假設股票收益的事后分配是由投資者的認可事前安全市場線方程。方程（2）考慮到多元常態推定，滿足高斯馬爾可夫回歸的假設。因此，為保持標準陣營，貝塔可估計顯著從零，但常數項不應該顯著異于零。本文將使用Eviews軟件做回歸。計算每個股票和市場組合的超額收益后，導入的Eviews數據。
五、實證結果
基于統計的72家公司普通股的月超額收益概括數據，我們能夠看出所有公司都有相同的觀察數據。平均差額收益欄顯示在這個樣本中的72家公司中有54家有無風險利率。至于對稱性方面，15家公司有正偏斜，而剩下的公司則是負偏斜。72個樣本中有大多數的峭度接近3，因此，月平均超額收益從某種程度上來講是正常的?？偠灾?，樣本股票的月超額收益可以說是積極的，低變化的和對稱的。標準資本資產定價模型基于線性序列方程式2基礎之上，以及在Eviews的幫助下，我們預估出72家公司的beta和alpha值。我們可以看出72個樣本中有70個beta值接近0，這也就表明超過97%的樣本beta值是不同的，從0到5%，換言之，金融時報100指數可以用來解釋絕大多數公司的超額收益。與此同時，有58個樣本沒有重要的P價值，占總樣本的80.56%，這表明超過80%的樣本股票有不正常的收益，這收益是不同的，從0到5%。所以，我們得出結論：超過80%的樣本支持標準資本資產定價模型。此外，考慮到R-square指標擬合，72個股票樣本中有50個R-square超過20%，這就意味著線性等式可以適用于觀測。所有的這些結果再次論證資本資產定價模型在從金融時報指數100角度評估那些股票的收益回報是有效的。仔細地檢查回歸結果，我們可以發現37家公司beta系數小于1，這也就表明這些公司的股票是回歸股票，而剩下的就是激進股票。
六、總結
標準資本資產定價模型已作為一種重要的評估潛在投資的預期收益的方法被廣泛的應用。盡管這種過分簡單化的模型有其局限性，但是在Excel和Eviews軟件幫助下計算起來很簡單。本文使用來自于金融時報指數100的數據來論證研究資本資產定價模型的有效性，發現超過80%的研究樣品支持標準資本資產定價模型，這也就意味著大多數股票收益回報可以用資本資產定價模型來進行預估。大約超過一半的樣本股票是激進股票，另一半是防守型的，這可以適合不同投資者的需求。因此當投資者決定持有哪只股票的時候，他們可以采用資本資產定價模型來幫助做決定。盡管標準資本資產定價模型不能完全經受得住論證的測試，它提供的見解和其準確性使其廣泛應用。
參考文獻：
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資本資產定價模型范文5
內容摘要：本文在借鑒國內學者對A股市場CAPM檢驗的基礎上，選取2010年6月4日至2010年12月21日的周收益率，采用單指數模型、BJS兩步法和橫截面檢驗實證分析了我國創業板市場對CAPM的實用性并得出結論。
關鍵詞：CAPM BJS 創業板
資本資產定價模型源于1952年亨利•馬科維茨提出的資產組合理論，后經威廉•夏普深化為資產定價的均衡模型，即CAPM。2009年10月23深圳證券交易所設立創業板并舉行開板儀式。首批上市創業板公司28家，總市值1700億元，平均每家創業板公司的市值61億元。截至2010年11月，創業板公司147家，總市值6977.31億元。為適應創業板市場發展需要，2010年6月1日深圳證券交易所正式創業板指數，創業板市場進入新的發展時期（見圖1）。時至2010年12月，創業板已經推出一年有余，創業板指數也已半年另21日。對于CAPM是否適用于我國創業板市場，國內研究仍是空白。鑒于此本文運用CAPM對我國創業板市場進行實證檢驗，為我國創業板市場發展提供理論支持和經驗借鑒。
相關文獻回顧
顧榮寶，劉瑜華（2007）以深圳股票市場為研究對象，通過時間序列回歸方法對CAPM在中國證券市場的適用性進行實證檢驗，結果表明CAPM不適合我國深圳股票市場。尹哲君（2009）選取上市A股中2005年以前上市的，七個主要行業中規模較大，流動性較好且具有代表性的七支股票對我國股市中的CAPM有效性進行檢驗，得出結論，CAPM對目前中國證券市場的有效性不明顯。王茜（2010）從效用函數的角度對CAPM進行了重新審視，在一定程度上解釋了“賺了指數，賠了股票”現象。黎軍（2009）研究了CAPM在房地產投資風險分析中的應用，認為房地產市場投資受宏觀經濟走勢的影響較大，但各房地產公司股票的風險更多來自企業內部的非系統風險。方俊芝，唐敏（2009）探討了CAPM在保險產品定價中的應用，認為CAPM在保險產品金融定價的基礎性地位是不容忽視的。馮佩（2010）以上證綜指2002年已上市的20支權重股為研究對象，進行時間序列和橫截面回歸分析，最后得出結論：CAPM模型在我國證券市場并不完全適用，股票收益率受系統性風險的影響較弱，而受非系統性風險的影響較強。李璁，陳榮達（2010）選用2003年1月至2009年12月之間上證市場交易所選取的20支股票的84個月度收益率數據，通過BJS檢驗驗證CAPM模型在上證市場的有效性?，F實結果與CAPM模型相差甚遠，一方面是因為上證市場尚屬不成熟市場，另一方面也說明CAPM模型的假設條件過于苛刻，最后得出結論：應謹慎對待CAPM模型在實際應用時的有效性。丁凱，穆瑞田（2010）選取我國上證A股權重前十名的股票為樣本，樣本觀測時間為2008年7月10至7月23日，使用日數據采用單指數模型、BJS方法和對CAPM進行橫截面模型的回歸分析，研究表明上證A股市場與CAPM理論不符。王曉燕，呂效國，浦燕（2010）借用因素模型的研究方法，利用2007年上證A股隨機選取的20只股票為樣本，采用月收益率作為樣本數據，對改進的CAPM進行了實證檢驗，發現改進模型的解釋力比傳統模型有明顯提高。
縱觀以上研究，可以發現目前國內學者在該問題研究上的局限性。一是針對CAPM在我國資本市場的適用性研究大多都集中在A股市場中的上市或深市，對于發展潛力巨大的創業板市場沒有給予關注。二是選取的數據大都是月度數據或日數據，股票市場瞬息萬變，跌宕起伏，月數據容易遺失掉一些重要的波動信息，日數據是相對的高頻數據，容易導致了噪聲數據的使用，有損系數估計的效率，均不利于研究。三是在選取不同的無風險利率，例如李璁，陳榮達（2010）選取一年期定期存款利率作為無風險利率，而馮佩（2010）采用三個月定期儲蓄存款利率作為無風險利率。因此，本文在前人的基礎上，用創業板股票的周數據對CAPM進行實證檢驗，以期得到更準確的結果。
理論基礎和數據選取
CAPM是在一系列假設的基礎上構建的理想模型。CAPM假設：一是投資者的行為可以用均值-方差準則描述，投資者效用受期望報酬率與變異數兩項影響，投資人為風險規避者；二是證券市場是完全競爭市場，投資人為價格接受者；三是完美市場假設，即沒有交易成本、交易稅等，且證券具有無限制分割性；四是同構型預期，即所有投資者對各投資標的預期報酬率和風險的看法是無差異的；五是所有投資人可用無風險利率無限制借貸；六是所有資產均可交易，包括人力資本；七是對融券放空無限制。CAPM的核心思想可表達如下：
或
其中：E（Ri）為股票或投資組合的期望收益率，Rf為無風險收益率，投資者能以這個利率進行無風險的借貸，βi是股票或投資組合的系統風險測度，E（RM）為市場組合的收益率。
由于創業板推出時間有限，本文選取2009年10月30日創業板首批上市的28家公司中的10家公司作為觀測樣本，股票代碼從300001-300011。由于立思辰（股票代碼300010）有籌劃重大資產重組事項，自2010年9月15日停牌，導致交易不連續，故從觀測樣本中剔除。2010年6月1日深交所正式創業板指數，所以本文樣本的觀測期間為2010年6月1日至2010年12月21日。選取10個觀測樣本的30個周收益率數據進行研究，計算公式為：Rt=（Pt-Pt-1）/Pt-1（其中Pt為股票t時的周收盤價格，Pt-1為股票t-1時的周收盤價格）。同時，本文采用觀測期間的創業板指數作為市場組合的收益率，能夠比較準確地反映創業板市場整體行情的變化和發展趨勢（見圖2）。
對于無風險利率的選取，國內學者目前沒有統一的認識普遍認可的無風險利率選擇一年期定期存款利率，市場的無風險利率可以選擇1天、7天的質押式回購利率，也可以選擇國債的二級市場收益率或同業拆借利率。本文遵照大多數學者對無風險利率的選擇，選擇人民幣一年期定期存款利率為無風險利率。即Rf=2.5%，折算為周利率為0.0479%。數據來源于中國人民銀行網站。
檢驗方法與實證分析
本文借鑒Black、Jenson和Scholes（1972）的研究方法（即BJS檢驗）進行分析檢驗。將時間序列檢驗劃分為三個時間段：第一個時間段從2010年6月4日至2010年8月6日，第二個時間段從2010年8月13日至2010年10月15日，第三個時間段從2010年10月22日至2010年12月21日。
第一步為單支股票β值的估計。選取第一時間段的周數據，采用單因素模型估計單支股票的β系數，系數值通過單支股票周收益率對市場組合周收益率的回歸來估計。模型設定如下：
Rit-Rf=αi+βi（Rmt-Rf）+εit
其中，Rit表示股票i在t時刻的周收益率（i=1，2，…，10）；Rf代表無風險收益率，即Rf=0.0479%；Rmt是市場組合在t時刻的周收益率，即創業板指數t時刻的周收益率；βi是對股票i的β系數估計；εit是誤差項。在置信水平95%下，利用Eviews6.0對單個股票的β值進行估計（見表1），表中β系數的估計值均通過t檢驗，估計值顯著。
第二步為股票組合β系數的估計。將股票按照β值大小升序排序，將10支股票分為5組，每組包含兩只股票，每只股票賦相同權重，并利用第二時間段的樣本數據計算組合的周收益率，組合周收益率取組合內股票收益率的算術平均。然后通過組合周收益率對市場組合周收益率回歸估計組合的β系數，模型如下：
Rpt-Rf=αp+βp（Rmt-Rf）+εpt
其中，Rpt表示股票組合p在t時刻的周收益率（p=1，2，…，5）；Rf代表無風險收益率，即Rf=0.0479%；Rmt是市場組合在t時刻的周收益率，即創業板指數t時刻的周收益率；βp是對股票組合p的β系數估計；εpt是誤差項。
在置信水平95%下，利用Eviews6.0對股票組合的β值進行估計（見表2）。
第三步為風險與收益關系的檢驗。利用第三時段的組合周平均收益率（由第三個時間段的股票收益率計算出組合的平均收益率）對第二步得出的組合β值進行橫截面回歸，對收益與系統風險關系進行實證檢驗，檢驗模型如下：
Rp=γ0+γ1βp+εp
其中，Rp為股票組合第三時段的周平均收益率；βp為第二步得出的組合系數；εp為誤差項。由表2結果可知，股票組合1至5的β系數估計的標準誤差可以接受，t檢驗值均大于臨界t值，t檢驗顯著，股票組合β值顯著不為零，可繼續進行橫截面回歸。利用第三步模型進行橫截面回歸，結果如表3和表4所示。
結論
首先，常數項系數估計值γ0=0.05915，無風險利率為正數但數值較小，這一實證結果表明在我國創業板市場上，投資者過于追求高收益，投機欲望強烈，而忽視了高收益相伴的高風險對自身承受能力的沖擊，同時也表明投資者對資本的時間價值關注不夠。以上兩種傾向說明創業板市場的投資者是非理性的，也從另一個側面反映了我國創業板市場的不成熟性。其次，γ1=-0.01542，是一個負數，表示股票收益與系統性風險呈負相關關系。這一方面違背了“高風險高收益”這一基本的金融學原理；另一方面，也可能是因為非系統風險在創業板股票的定價中起到了相當大的作用。另外，T統計量為-0.61984，顯著性不強，可決系數也只有0.113527（修正的可決系數甚至為負數），擬合程度極低。以上分析可以看出，在我國創業板市場上系統性風險與股票收益之間并不存在CAPM所預料的顯著的線性相關關系。同時也表明我國創業板市場是一個不成熟的資本市場。
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資本資產定價模型范文6
〔關鍵詞〕定價模型；風險分解；貼現率；現金流沖擊
中圖分類號：F830.9文獻標識碼：A文章編號：10084096（2013）06004808
一、引言
股票收益和風險的關系，是一個不論在學界還是在業界都經久不衰的討論話題。從1938年Williams＼[1＼]提出股利貼現模型，指出股票價格等于未來期望現金流貼現值之和之后，經濟學者們就開始了探尋股票收益和風險之間的關系之旅。Harry＼[2＼]的均值方差模型首次采用量化的方法，用收益率的方差度量股票的風險，標志著現資理論的誕生。隨后Sharpe＼[3＼]、Lintner＼[4＼]和Black＼[5＼]相繼獨立提出金融學的基石理論資本資產定價模型（CAPM），提出股票的超額收益和股票的系統性風險呈線性的正相關關系，并指出采用貝塔度量股票的系統性風險是一種合理的選擇。此后金融學者們對股票收益和風險的研究進入一個新的階段。Campbell和Vuolteenaho＼[6＼]在Campbell和Shiller＼[7＼]提出的對數線性模型的基礎上，把經典的CAPM中的貝塔分解為現金流貝塔和貼現率貝塔，提出了兩貝塔資本資產定價模型（TBC）；后來又把現金流貝塔和貼現率貝塔進一步分解為同質風險貝塔和異質風險貝塔兩部分，提出了四貝塔資本資產定價模型（FBC），進一步分析股票風險的來源。
本文采用近11年中國股票季度交易數據和公司年度財務數據，首先比較CAPM、TBC和FBC三大定價模型對中國證券市場的解釋力異，在綜合考慮多種“異象指標”的基礎上，探索采用何種模型對中國證券市場更具有解釋力。其次結合中國股票市場實際情況，選擇現金紅利（Div）和市盈率（P/E）構建現金流和貼現率變量，對中國股票市場風險進行方差分解和貝塔分解，分析中國股票市場風險的主要來源。
二、股票收益的解釋模型
1.對數線性模型
Campbell和Shiller＼[7＼]的對數線性模型通過把Williams＼[1＼]提出的股利貼現模型轉化為股票收益率與現金流和貼現率的線性形式，為股票收益分解提供了新的思路。
定義t期對數股利dt=lnDt；t期對數股價pt=lnPt；t期股利增長率Δdt+1=ln（Dt+1/Dt）=dt+1-dt；平均股利增長率g=Δdt+1=1/n∑nt=1ln（Dt+1/Dt）；t+1期對數股利收益率δt+1=ln（Dt+1/Pt+1）=lnDt+1-lnPt+1=dt+1-pt+1；平均對數股利收益率=ln（t/t）=lnt-lnt=dt-pt；t期對變量X的期望Et（X）；t+1期現金流沖擊NCF，t+1；t+1期貼現率沖擊NDR，t+1。進而，t+1期的股票收益率可以表達為rt+1=lnPt+1+Dt+14Pt。把上式寫成對數股利收益率和股利增長率的形式得rt+1=-ln141+eδt+1-1-141+eδt+1δt+1-141+eδt+1δt+1+δt+Δdt+1。在δt+1=δt=及Δdt=g處將上式一階泰勒展開得rt+1=-ln141+e-1-141+e-141+eδt+1δt+1+δt+Δdt+1。令ρ=141+e，k=-ln141+e-1-141+e=-lnρ-1-ρln14ρ-1，則有：
