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數學建模的敏感性分析范文1
【關健詞】項目；風險；風險評價方法
一、引言
現代項目具有一次性、投資大、周期長、要求高等特點，其過程是在復雜的自然和社會環境中進行，受眾多因素的影響，是一個充滿各種風險的過程。項目風險有些是和項目自身特點密切關聯，有些可能是承包商管理混亂引起，有些則可能是外部環境變化所致。為避免和減少損失，了解項目的風險源，在評價基礎上，建立風險防范預案十分重要。對項目風險評價理論和方法的研究一直是風險管理界的熱門課題，本文主要討論項目風險評價中幾種常用的方法。
二、風險定性評價方法
風險定性評價方法是一種典型的模糊評價方法，評價人利用一些經驗做法，快速地對項目風險進行估計，并采取防范措施。
（一）主觀估計法
主觀估計法就是用主觀概率對風險進行估計，所謂主觀概率是根據對某事件是否發生的個人觀點，取一個0―1之間的數值來描述事件的發生可能性和發生后所帶來的后果。因此，主觀估計法常表現為某人對風險事件發生的概率和帶來的后果做出迅速的判斷，這種判斷比客觀全面的顯性信息判斷所需的信息量要少。雖然主觀估計是由專家或風險決策人員利用較少的統計信息做出的估計，但它是根據個人或集體的合理判斷，加上經驗和科學分析所得，因此在應用中有一定成效。
主觀估計法主要適用于資料嚴重不足或根本無可用資料的情況，對于那些不能進行多次實驗的事件，主觀估計法常常是一種可行的方法，使用這種方法關鍵是要有經驗豐富的項目風險分析人員。
（二）模糊數學法
風險的不確定性常常是模糊的，所以模糊數學方法可用于風險評價和分析。在風險評價過程中，有很多影響因素的性質和活動無法用數字來定量地描述，他們的結果也是含糊不清的，無法用單一的準則來判斷。為了解決這一問題，美國學者L?A?Zadeth于1965年首次提出模糊集合的概念，對模糊行為和活動建立模型。模糊數學從二值邏輯的基礎上轉移到連續邏輯上來，把絕對的“是”與“非”變為更加靈活的東西。在相當的限度上去相對地劃分“是”與“非”，這并非是數學放棄它的嚴格性去造就模糊性，相反是以嚴格的數學方法去處理模糊現象。
（三）蒙特卡羅模擬法
蒙特卡羅方法又稱隨機抽樣技巧或統計試驗方法，它是估計經濟風險和工程風險常用的一種方法。蒙特卡羅風險模擬法的基本思想是將待求的風險變量當作某一特征隨機變量。通過某一給定分布規律的大量隨機數值，解算出該數字特征的統計量，作為所求風險變量的近似解。
蒙特卡羅風險模擬法全面考慮風險事件的風險因素，可以直接處理每一個風險因素的不確定性，使決策更加合理和準確，它是一種多元素變化的方法，在模擬過程中，可以編制計算機軟件對模擬過程進行處理，大大節約了時間，此方法較注重對風險因素相關性的識別和評價，這給使用此法帶來了難度和困難，通常費用也較高，但它對概率的分析偏差一般最小，從整個工程項目的經濟性上，將是最節省的方法之一。無論在理論上，還是在操作上都較前幾種方法有所進步，因此比較適合在大中型項目中應用。
（四）故障熟分析法
故障熟分析方法是上世紀60年代初由美國貝爾實驗室在預測民兵導彈發射隨機失效概率時提出的，其后波音公司研制出了FTA的計算機程序，進一步推動FTA的發展。到了60年代中期，隨著概率風險估計在核電站安全分析中的應用，故障樹方法成為主要的定性分析方法。
三、風險定量評價方法
對項目風險進行定量評價，使分析目標更加具體，可信度更高，可為風險決策分析提供科學的數據。
（一）決策樹法
決策樹法，簡稱DTA，適用于未來可能有幾種不同情況，并且各種情況出現的概率可以根據資料來推斷的情況。決策樹把可選方案及有關隨機因素有序表現出來而形成的一個樹。決策者根據決策樹所構造出來的決策過程的有序圖示，不但統觀決策過程全局，而且能在此基礎上對決策過程進行合理分析、計算和比較，從而作出擇優決策。
決策樹的模型圖：為決策結點：是決策樹的根基，它表示決策問題的起點。為狀態結點：是決策方案分枝的終點，又是一個備選方案可能遇到的自然狀態的起點。為結果點：表示執行某一方案在某一自然狀態發生時可能達到的結果。通常指盈利額和虧損額。
決策樹分析方法的步驟：（1）畫出決策樹：畫法：從左至右分階段展開。順序依此為：分析決策點、備選方案（方案枝）、各方案所面臨的自然狀態（狀態節點、概率分枝）及其概率、各方案在不同自然狀態下的損益值。（2）推算各備選方案的期望值：備選方案的期望值沿決策數的反方向自右至左計算。（3）方案選擇：比較不同方案的期望值，從中選擇收益最大或損失最小的方案為最佳方案。
（二）敏感性分析
敏感性分析是針對潛在的風險性，研究項目各種不確定因素變化一定幅度時，計算其主要經濟指標變化率及敏感程度的一種方法。進行敏感性分析，一般是分析項目的內部收益率隨不確定因素變化的情況。從中找出對項目影響較大的因素，然后繪出敏感性分析圖，分析敏感度，找出不確定因素變化的臨界值，即最大允許的變化范圍。
敏感性分析步驟：（1）選定不確定因素，并設定這些因素的變動范圍；（2）確定分析指標；（3）進行敏感性分析；（4）繪制敏感性分析圖；（5）確定變化的臨界點。
（三）影響圖
影響圖（Influence Diagrams，ID）是表示決策問題中決策、不確定性和價值的新型圖形工具，影響圖是一個由終點集和弧集構成的有向圖。只有隨機結點的影響圖稱為概率影響圖。概率影響圖是影響圖的一種特殊形式，它將概率論和影響圖理論結合，專門處理隨機事件間的相互關系，對隨機事件進行概率推理，并在推理過程中對事件發生的概率及其依賴與其它事件的發生概率做出完整的概率評估。影響圖是復雜的不確定性決策問題的一種新穎有效的圖形表征語言，數學概率完整，關于概率估計、備選方案、決策者偏好和信息狀態說明完備，具有決策樹不可比擬的優點。
（四）貝葉斯方法
英國學者T.貝葉斯1763年在《論有關機遇問題的求解》中提出一種歸納推理的理論，后被一些統計學者發展為一種系統的統計推斷方法，稱為貝葉斯方法。采用這種方法作統計推斷所得的全部結果，構成貝葉斯統計的內容。認為貝葉斯方法是唯一合理的統計推斷方法的統計學者，組成數理統計學中的貝葉斯學派，其形成可追溯到20世紀30年代。到50～60年代，已發展為一個有影響的學派。時至今日，其影響日益擴大。
已具備先驗概率的情況下，貝葉斯決策過程的步驟為：
（1）進行預后驗分析，決定是否值得搜集補充資料以及從補充資料可能得到的結果和如何決定最優對策。（2）搜集補充資料，取得條件概率，包括歷史概率和邏輯概率，對歷史概率要加以檢驗，辨明其是否適合計算后驗概率。（3）用概率的乘法定理計算聯合概率，用概率的加法定理計算邊際概率，用貝葉斯定理計算后驗概率。（4）用后驗概率進行決策分析。
（五）層次分析法
層次分析法，簡稱AHP，是20世紀70年代由美國學者T.L.Saaty最早提出的一種多目標評價決策方法。其分析的基本原理是：將復雜的問題分解為若干要素，據它們的相互關聯度和隸屬關系組成一個多層次分析結構模型，并在各要素中比較、判斷、計算，以獲得不同要素的權重，為方案決策提供依據。
AHP法的建模步驟：（1）對構成評價系統的目的、評價項目（準則及替代方案等要素建立多級遞階的結構模型。（2）在多級遞階結構的模型中，屬于同一級的要素應以上一級要素為準則，進行兩兩比較，根據評價尺度確定其相對重要性，以此建立判斷矩陣。（3）通過一定計算，確定各級要素的相對重要度，并檢驗判斷矩陣的相容性是否在允許的誤差范圍內，對于沒有通過相容性檢查的判斷矩陣，就應該去除。（4）進行綜合重要度的計算，對各種替代方案進行排序，從而為決策提供依據。
四、結語
通過以上的分析我們可以知道，不同的方法只能在一定程度上說明問題，要做到科學的決策，應針對不同項目的產業背景，具體到特定項目中去，并針對項目風險所處的不同階段，對相應方法做適當調整，進而做出判斷，而不能一概而論。
參考文獻：
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數學建模的敏感性分析范文2
[關鍵詞]裝備費用估算；估算工作管理；估算方法選擇
[中圖分類號]F123.7 [文獻標識碼] A [文章編號] 1009 — 2234（2012）05 — 0066 — 02
隨著我軍裝備建設逐步發展以及對裝備采辦效益的日益重視，裝備費用估算已經逐漸成為裝備建設決策的重要支撐之一。Bernard Londeix 〔1〕指出，估算貫穿整個產品生命周期，是一個不斷持續的過程，不是一勞永逸的，并且持續的估算與項目行為監控是緊密協調的?？梢哉f，費用估算是一項系統工程，必須要以系統的觀點來統籌裝備費用估算工作。然而在費用估算工作實踐中，還存在估算的隨意性、一次性、不系統性等問題。目前裝備費用估算方面的研究主要集中在估算技術、模型方法上，對估算工作管理的研究較少。而如何組織裝備費用估算、如何有效運用成熟估算技術方法使之發揮作用是裝備費用估算順利進行和取得預期效果的重要保證。
系統的識別費用估算涉及的各項具體工作，分析其中相互制約、相互聯系的內在邏輯關系，利用系統工程思想，將其整合為一個有機的整體，有利于統籌費用估算工作全局。在裝備費用估算中，筆者將費用估算工作分為估算工作計劃、工作實施、結果檢驗與評價三個階段。其內容包括估算時機的選擇、估算目標的確立、估算團隊的建立、估算方法的選擇、估算結果檢驗以及估算結果評價。
一、估算工作計劃
（一）估算時機的選擇
一般地，裝備發展建設決策與管理的需要決定了費用估算的時機。系統的識別估算時機，及時地收集項目數據信息并進行費用估算，是裝備全壽命費用管理的重要手段。
根據我軍裝備相關法規，武器裝備在早期如下階段有費用估算需求，見圖1。
其中A點、B點是經費指標值的估算，C點是經費概算。由于國家戰略需求，某型武器裝備從裝備建設十年規劃中納入到裝備建設五年計劃或直接納入到裝備建設中長期專項計劃，然后再納入裝備研制年度計劃。這期間有三個決策點需要費用估算來輔助決策：可預期的軍費規模能否滿足戰略需求，如果不能滿足，經費缺口有多少。
圖1 武器裝備發展規劃計劃期費用估算需求
武器裝備列入年度計劃之后，在如下階段有費用估算需求，見圖2：
需要注意的是，估算時機不只是一個點，而是一個時間區間。在一個估算點上，可能需要對多個待估內容進行估算，而同一個待估內容也需要隨著項目進展在不同的時機進行漸進估算。一般的，估算時機選擇的同時也決定了所能獲取信息的程度。在一個具體的估算時機上，對估算需求的程度與所能掌握信息的程度通常是負相關的。
（二）估算目標的確立
根據估算所處的時機及估算的具體任務，擬定估算目標，包括：（1）識別估算內容，待估裝備屬于什么類別，估算哪個階段費用；（2）確定假設與約束條件；（3）確定估算精度要求。
估算內容是待估項目的一項費用指標值，比如裝甲車的研制費用、艦船的大修費用等。準確識別待估裝備的類別以及費用階段，是后續估算方法選擇的前提。
假設與約束條件是估算理論方法及其應用的基本前提條件。估算對象（武器裝備）處于特定的歷史條件下，待估算的內容（費用）則是建立在這種既定的“歷史條件”前提下，并且假設這種“歷史條件”不變或可預測的變化。這其中的“歷史條件”就是指估算的假設和約束條件，主要包括裝備項目需求定義、生產率、勞動力價格、技術水平、物價指數等。
估算精度是估算結果的置信區間，不能憑主觀意愿確定，也不是越高越好，而是要綜合考慮估算時機、決策需求以及具體裝備來確定。
二、估算工作實施
（一）估算團隊的建立
大型項目一般建立估算團隊進行費用估算。團隊建立要遵循兩個原則：一是業務素質互補原則；一是獨立客觀原則。
估算的業務素質包含兩個部分，一是相關知識儲備，一是估算從業經驗。一個合格的估算者要具備數據統計分析、數學建模、工程經濟學、估算預測理論、估算支持軟件運用等相關知識儲備。從業經驗要求估算者要有一定的實踐經驗，不能僅是紙上談兵。除此之外，估算團隊成員還應該有待估裝備的工程技術知識背景。比如飛機研制費用估算，就要求估算者對飛機的結構及性能參數有一定了解。
獨立客觀原則要求估算者獨立客觀的進行估算。Bernard Londeix指出〔1〕，直接涉及到項目結果（成本、時間）的任何人都不應該做估算，包括項目經理、技術工程師等。雖然這些人有很深的技術背景并對項目充分了解，但他們或者迫于上級壓力，或者出于對技術的自信，很可能導致其估算偏于樂觀，脫離實際。筆者認為估算者的選擇決定估算者的立場。在軍品市場，軍方希望估算結果偏低而承制方則希望估算值越高越好，這些當然都是一廂情愿。只有相對客觀的估算結果才有助于科學的管理決策。所以出于獨立客觀性考慮，費用估算團隊成員的選擇要慎重考慮裝備項目結果對他們是否有直接或間接的利益關系。只有脫離利益關系，才有可能得到相對客觀的估算結果。比如，可以請幾乎沒有利益關系的第三方來充當估算顧問。此外，估算團隊要獨立于管理層，并要賦予其一定的權利，以便工作的順利開展。
（二）估算方法的選擇
目前常用的裝備費用估算方法主要有類比法、算法模型法、專家法、工程估算法等。按建模方法來分，算法模型法又分為回歸法、灰色理論法、支持向量機法、人工神經網絡法等。特別的，針對一些特殊裝備，比如軍用軟件，也有一些針對性的成熟算法模型。
估算方法的選擇是裝備費用估算取得預期效果的核心。費用估算方法各有利弊，分別有其適用的范圍和約束條件。
在選擇估算方法時還應遵循如下原則：（1）該方法是否容易被人接受，能否獲得管理層認可；（2）該方法是否易于使用，所需時間和人力資源是否容易滿足；（3）該方法所必需的數據信息是否易于獲得；（4）如果是國外的方法模型，要考慮該方法模型建立的背景是否與國內類似，如何修正等。
三、估算結果檢驗及評價
（一）估算結果檢驗
費用估算值的獲得不是估算的終點。經過方法模型獲得具有一定精度的估算值之后，一般需要對估算方法模型進行檢驗。檢驗的目的主要是考察估算方法模型的穩定性，以便下一步用于管理決策。常用的方法是費用影響因素敏感性分析。
敏感性分析，又稱敏感度分析，是分析各種不確定性因素變化一定幅度時，對費用結果的影響程度。對費用結果影響程度較大的不確定性因素稱為敏感性因素。裝備費用的敏感性因素主要有性能參數、時間進度、技術成熟度、生產率、市場環境等。
通過裝備費用敏感性分析，可以起到如下作用：（1）計算影響因素敏感度，檢驗估算方法模型穩定性。敏感度越小，說明估算方法模型越穩定。若敏感度偏高，則需考慮改進估算方法模型。（2）識別裝備費用風險。敏感性因素是項目風險產生的根源，而風險識別是進行風險評估與規避的基礎。（3）確定影響因素預測值的變化范圍，便于在管理過程中對其進行控制。（4）對費用敏感因素敏感度進行排序，幫助決策者清楚了解各種因素對裝備費用的影響程度，從而科學地進行費用—效能權衡。
（二）估算結果評價
實踐是檢驗真理的唯一標準。裝備費用估算的評價一般在裝備項目結束后進行。目前裝備費用估算評價主要做法是，直接把估算值與實際值相比較，通過誤差率計算精度，一般公式是：
A=（1-■）×100%
其中：A表示估算精度；Ve表示估算值；Vr表示實際發生值。
如果是多次漸進估算，則可以就多次漸進估算的結果進行綜合評價，公式為：
σ=■■（■）2
其中：σ表示估算值近似標準差；n表示進行n次估算；
Vi表示第i次估算值；Vr表示實際發生值。
顯然上述評價方式估算精度越高越好，近似標準差越小越好。
在裝備建設發展中，無論從宏觀角度還是從微觀角度，都存在許多的未知因素，影響著裝備建設各階段的管理決策。為了克服未知結果可能帶來的消極后果，提高決策的科學性，就需要有科學根據的預測。裝備費用估算是裝備發展建設預測工作中重要的組成部分，是我軍裝備建設論證經濟可承受性、提高國防采辦效益的重要支撐工具之一。本文系統的研究了裝備費用估算工作的組織管理，提出了三段式管理過程，將裝備費用估算工作統籌為一個有機整體，對估算工作實踐具有一定的指導意義。其中，對于如何基于過程而不是目前僅基于結果的估算結果評價，是下一步需要深入研究的方向。
〔參 考 文 獻〕
〔1〕 Bernard Londeix.軟件開發成本估算〔M〕.吳裕憲，譯.北京：清華大學出版社，1991：10-12.
〔2〕 劉曉東.裝備壽命周期費用與控制〔M〕.北京：國防工業出版社，2008：44-49.
數學建模的敏感性分析范文3
【關鍵詞】 信息管理； 數據建模； 模糊集合； 灰色系統
一、會計建模理論與方法述評
為了充分發揮會計的職能，數學家、法學家、工程師等參與會計理論的研究，使會計程序進一步滲透到企業生產經營管理的許多環節。會計管理與會計核算工作也越來越融入到企業的生產經營管理活動之中。會計管理和會計核算技術的模型化，也成了未來會計發展的基本趨勢。但任何定量化的核算都是以充分的定性分析的結論為依據的。
在會計管理和會計核算技術的模型構造中，筆者按這些技術在會計領域中應用的先后順序，將其分為會計核算技術模型和會計管理技術模型兩大類。會計核算的技術模型主要針對存貨計價、資產折舊、利息計算、票據貼現、債券攤銷、債券發行、股票計價、成本計算等內容。這些內容在初、中級會計中得到詳細的解讀。會計管理的技術模型主要針對成本的性態分析、完全成本的計算、變動成本的計算、標準成本的計算、盈虧平衡分析、存貨管理、質量成本分析、經營杠桿分析、敏感性分析、模擬技術、網絡技術、投入產出、相關分析、線性規劃、影子價格、價值工程、排隊管理、動態規劃、經營預測和管理決策等內容。這些內容在中、高級會計中作了系統的構造和分析。
對于一個具體的問題，究竟選擇構造什么樣的模型，并不是一成不變的。但任何模型都要經過檢驗才能判定其是否合適，是否合格。只有通過檢驗的模型才能用以科學的估計和預測。在社會經濟系統中，人們通常遇到的問題是信息不完全（可能是參數信息不完全、結構信息不完全、關系信息不完全、運行行為信息不完全）的情況。如果掌握的數據不明確或者缺乏，那就難以建立確定的完整的模型。會計核算技術和會計管理的量化模型，大多是數理統計的方法。這些方法的嚴重不足是：1.要求大樣本；2.要求樣本有較大的分布規律；3.計算工作量也都較大；4.還可能出現量化的結果與定性分析的結果不符。為了解決這些問題，以下筆者選擇了現代數學的兩種不確定性理論：模糊理論和灰色理論，并對其在會計管理和會計核算中的應用作系統的分析和評價。
二、會計管理的模糊評價模型
美國加利福尼亞大學的扎德教授在1956年，發表了著名的論文《模糊集合》，標志著模糊學的誕生。他在論文中引進了模糊集合這個概念。為了描述某個對象是否屬于某個模糊集合，他用了0到1之間的數來表示它的隸屬程度，而不是普通集合中有十分明確的界限。普通集合對于給定的隸屬只有兩個：屬于為1、不屬于為0，模糊集合可以在1和0之間連續取值，用隸屬程度表示研究對象屬于某一模糊集合的種種狀態。
模糊評價模型是對事前難以確定的目標的模糊性用定量的方法進行評價的一種方法，可用于會計管理和會計核算的各個方面。
“模糊”（FUZZY）現象的特征是：概念本身沒有十分明確的外延，一個對象是否合乎這個概念沒有確定。如大、中、小；好、中、差；宏觀、中觀、微觀。由于客觀事物存在模棱兩可的現象，因而對這些事物就沒有辦法精確，過于精確了反而模糊，適當的模糊反而精確。研究模糊性問題不能用經典數學的分析方法，而要用模糊數學的分析方法。
筆者以會計信息質量的綜合評價為例，來說明構造模糊評價模型的基本原理。因為評價會計信息質量的綜合指標還僅僅是理論上存在的一個評價標準。通常用到的綜合指標是會計信息集合所產生的凈收益。即使用會計信息集合產生的決策價值大于獲得會計信息集合的成本之間的差額。這一指標既不符合實際，也不便于操作，而是需要將其進一步具體化，提出一些更具體且更易判定的質量標準。例如，反映會計信息質量的具體指標可用：1.真實性；2.相關性；3.可比性；4.一致性；5.及時性；6.明晰性；7.重要性；8.成本性等，也可以從其他方面來衡量。但每一項會計信息的質量指標僅反映了會計信息在某一方面的質量特征；一項指標好，并不能說明會計信息就好，一項指標差，也不意味著會計信息就差。但畢竟不能用一個具體的指標來直接反映會計信息質量的綜合狀況。然而，單項質量指標為我們提供了改進會計信息質量的基本途徑，即通過采取措施來提高單項質量指標。以下筆者就借用模糊數學來綜合評價會計信息集合的優劣。
為了提高會計信息的質量，可以從各單項指標入手，制定各種改進方案。例如，改進計提折舊方法，以提高準確性；進行物價調整以提高相關性。但綜合評價的原理還給我們以下不同的啟示：
第一，某項質量指標的改進，可能會引起其他單項指標的降低，但只要其邊際決策價值大于邊際成本，則這項改進便可以提高會計信息的質量，這是值得采用的。比如某項質量指標的改進可以增加會計信息的相關性，但同時降低了會計信息的可比性。只要這種做法更有利于會計信息使用者進行決策，則是應予肯定的。
第二，對于某一單項指標，如果任何改進方案的邊際決策價值都不大于邊際成本，則該指標在目前條件下已經達到最優。這說明改進后對決策并無多大幫助，即邊際決策價值為零，但會計信息的提供是需要成本的，因此該改進是無益的。
第三，某一單項指標的重要性是變化的。會計信息集合的邊際決策價值越是大于邊際成本，則該項指標對整個會計信息質量的影響越大，從而也就越重要。在實際工作中，最重要的單項質量指標，也是我們首先應予改進的質量指標。
綜合而言，模糊評價法的優點是評價準確，能把定性問題化為定量模型來分析，使分析結果有一定的說服力；缺點是分析人員需要較高的數學能力和數據處理能力。
三、會計數據的灰色動態模型
灰色動態模型是依據華中工學院鄧聚龍教授提出的灰色系統理論建立的數學模型。建模是灰色理論的核心，灰色建模克服了傳統建模要求數據完整、信息明確、分布典型有規律等缺陷。灰色建模可以在“少數據、少信息、任意分布”的條件下，直接將離散的時間序列轉化為微分方程，建立起能描述自然科學與社會科學中許多抽象系統發展變化的動態模型。系統建模主要是通過數的生成或序列算子作用，尋找其規律；然后根據灰色理論的建模思想完成系統建模的。
灰色建模與預測的應用表明，灰色系統理論是在“小樣本”、“貧信息”和“不確定”的條件下建立的。同傳統的數據建模與應用相比具有以下幾個方面的特性：
（1）用灰色數學來處理不確定量，使之量化。在數學發展史上，傳統的經典數學是建立在決定論框架內的分析數學。隨后又產生了用隨機變量和隨機過程來研究事物的狀態和運動的概率數學。模糊數學的出現，與其說提供了一個實用工具，倒不如說提供了一種新的視野，讓我們能有機會去評價似是而非的一些問題。我們不再使用明確的邏輯判斷，去說“是”或“否”，而是使用一個逼近于某個屬性的特征數值。模糊數學研究那些沒有清晰界限的特殊事物，而灰色系統理論則認為不確定量是灰數，用灰色數學來處理不確定量，同樣能使不確定量予以量化。
（2）充分利用已知信息尋求系統的運動規律。研究灰色系統的關鍵是如何使灰色系統白化、模型化、優化。灰色系統視不確定量為灰色量。提出了灰色系統建模的具體數學方法，它能利用時間序列來確定微分方程的參數。
（3）灰色系統理論能處理貧信息系統?；疑A測模型只要求較短的觀測資料即可，這和時間序列分析、多元分析等概率統計模型要求較多資料很不一樣。因此，對于某些只有少量觀測數據的項目來說，灰色預測是一種有用的工具。
綜上所述，利用灰色動態模型研究會計管理等問題，能使會計中許多抽象的問題實體化、數量化；將變化規律不明顯的情況，找出規律，分析其變化。通過分析揭示系統發展的優勢、劣勢、潛力、危機，以作出正確決策。但是這種方法要求使用人員具有較好的數學基礎，并具有較強的計算機數據處理能力。
【參考文獻】
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數學建模的敏感性分析范文4
從工程應用的角度出發，研究問題的精度就需要進行合理的控制，另外，任何理論、方法都應以實踐應用為目的，這樣才具有價值。綜合上述兩點，從工程應用的角度去分析各種土的本構關系是非常有必要的。
本構關系是反映材料的力學性狀的數學表達式，表示形式一般為應力-應變-強度-時間的關系[1]。土的本構關系十分復雜，除受時間因素影響外，還受溫度、濕度等因素影響。同時，強度可以視為土體應力-應變發展的一個特殊階段，因此本文主要討論土的應力-應變關系。
2.本構關系的發展
對于一般的巖土工程問題，穩定問題是主要問題，如地基穩定問題、斜坡穩定問題等，一般采用極限平衡法對土體進行分析。這種分析不考慮土體破壞前的變形過程及變形量，只關心土體處于最后整體滑動時的狀態及條件，實際上是剛塑性或理想塑性的理論。此外，隨著計算手段、試驗手段的提高，也極大地促進了本構關系的發展[1]。
2.1.彈性本構關系
彈性本構關系主要分為線彈性模型與非線性彈模型性兩種?；趶V義虎克定律的線彈性理論形式簡單，參數少，物理意義明確，已有廣泛的工程應用基礎。
2.1.1.線彈性模型
線彈性模型將土的應力-應變關系視為線性關系，顧只需要確定土的2個材料常數：E（彈性模量），（泊松比）或基于這兩個材料參數所導出的其他形式的兩個參數，便可確定這種土的本構關系。
2.1.2.非線性彈性模型
應力應變關系的非線性是土的基本變形特征之一，所建立的非線性彈性模型有割線模型和切線模型。割線模型是一種計算材料應力應變全量關系的模型，而切線模型是立在增量應力應變關系基礎上的彈性模型。具有代表性的非線性彈性模型有：鄧肯-張雙曲線模型、沈珠江模型等。
2.1.3.高階非線彈性理論模型
這種模型可表示為全量應力應變關系，也可以表現為增量應力應變關系；可以存在變形能函數，也可以不存在，按照不同建模條件出現不同的理論模型。
2.2.彈塑性本構關系
隨著土本構關系模型的發展，增量彈塑性理論模型在現代土力學中得到廣泛應用。在這類模型中，土的彈性階段和塑性階段是相互耦合的，而土體的破壞只是這種應力應變關系發展的最后階段。具有代表性的模型有：劍橋模型、萊特-鄧肯模型等。
3.本構模型中的計算參數及比較
由于土性的復雜及土本身的不可重復性，在土力學中可以有通用的本構模型，但不會有通用的模型參數。使用任何模型時必須針對具體的土進行試驗，確定其參數[2]。
3.1.部分本構模型的參數
綜合上述模型，各模型的計算參數各不相同，其計算參數詳見表1：
從表1中可以看出，各種本構模型所需要的計算參數的數量各不相同。
3.2.部分本構模型參數的確定
本構模型需要參數才能進行計算，而獲得相關參數的方法主要依賴相關土工實驗，只有少數參數能夠依靠相關經驗進行選擇。常見的實驗方法如表2所示，從下表可以看出，獲取K-G模型參數需要做非常規的真三軸等p試驗，因為該試驗環境特殊且每組真三軸實驗所需要的試樣均多余常規三軸實驗，故實驗量較大，因此難進行。相比之下，其余模型中需要的參數均可以通過常規室內實驗得到，具有較好的實用性。
3.3.參數對比
從工程應用的角度出發，如果計算模型所需要的參數越少，獲取越容易，則能夠得到廣泛應用。反之，隨著應用的增加，必將反作用于理論，使之能夠得到改良，從而實現良性循環。從參數數量和獲取難度的對比上而言，K―G模型實用性較差，而鄧肯-張雙曲線模型經研究發現，其中n、F、D對其結果影響較小[3]，在適當的情況下可退化為5參數模型；劍橋模型的參數只有3個，因而兩者得到了較為廣泛的應用。
4.結語
從工程實用的角度出發，本構關系應力求公式簡潔，參數物理意義明確且容易通過常規實驗獲取。
本構關系可以唯一，但針對不同的土，參數必定是不同的。因此，本構關系的發展不能一味追求“創興”，也需要對如何能夠更為方便、準確地獲取計算參數而多做研究。
依托不斷發展的計算機技術，如何實現本構關系的程序化，也是非常有意義的事。利用計算機強大的運算能力，我們不僅可以計算更為復雜的實際問題，而且可以運用復雜的本構關系。
參考文獻：
[1]李廣信.高等土力學[M].北京：清華大學出版社，2004.
數學建模的敏感性分析范文5
自動微分轉換系統（DFT）由LASG和LSEC聯合研制開發，目前已擁有成熟的版本。本文對DFT系統的功能、特色及其基本應用作了全面的介紹，并給出了一些頗具說服力的數值試驗結果。同時，本文提出了統計準確率評價的概念，這對評價一類自動微分工具及其微分模式代碼的可靠性與有效性提供了一種客觀的尺度。最后，本文還詳細討論了運用切線性模式求解雅可比矩陣的問題，給出了求解初始輸入矩陣的有效算法。
關鍵詞 自動微分 切線性模式 數據相關分析 統計準確率
1.引言
計算微分大致經歷了從商微分，符號微分，手寫代碼到自動微分幾個階段。與其它幾種微分方法相比，自動微分具有代碼簡練、計算精度高及投入人力少等優點。自動微分實現的基本出發點是：一個數據相對獨立的程序對象（模式、過程、程序段、數值語句乃至數值表達式），無論多么復雜，總可以分解為一系列有限數目的基本函數（如sin、exp、log）和基本運算操作（加、減、乘、除、乘方）的有序復合；對所有這些基本函數及基本運算操作，重復使用鏈式求導法則，將得到的中間結果自上而下地做正向積分就可以建立起對應的切線性模式，而自下而上地做反向積分就可以建立起對應的伴隨模式[1]。基于自動微分方法得到的切線性模式和伴隨模式，在變分資料同化[2]、系統建模與參數辨識[3]、參數的敏感性分析[4]、非線性最優化以及數值模式的可預測性分析[5]等問題中有著十分廣泛的應用。
迄今為止，已有數十所大學和研究所各自開發了能夠用于求解切線性模式的自動微分系統，比較典型的有TAMC系統[6]、ADJIFOR系統[7] 和ODYSSEE系統[8]。在一些特定的運用中，它們都是比較成功的，但在通用性和復雜問題的處理效率上還存在許多不足。通常，自動生成切線性模式的關鍵難題在于對象自身的強相關性，這給系統全局分析（如數據IO相關分析和數據依賴相關分析）和微分代碼的整體優化都帶來了很多困難。同時，對于程序對象不可導處的準確識別和微分處理，至今仍還沒有一個統一而有效的算法。另外，最優或有效求解稀疏雅可比矩陣一直是衡量一個自動微分系統有效性的重要尺度。
統計準確率被我們視為評價一類自動微分工具及其微分模式代碼可靠性與有效性的重要尺度。其基本假設是：如果對于定義域空間內隨機抽樣獲得的至多有限個n維初始場（或網格點），微分模式輸出的差分和微分逼近是成功的；那么對于定義域空間內所有可能初始場（或網格點），微分模式輸出的差分和微分逼近都是成功的。微分模式統計準確率評價的具體方法是：在所有隨機抽樣得到的初始場（或網格點）附近，當輸入擾動逐漸趨向于機器有效精度所能表示的最小正值時，模式輸出的差分和微分之間應該有足夠精度有效位數上的逼近。
DFT系統具有許多優點，它能夠完全接受用FORTRAN 77語言編寫的源代碼，微分代碼結構清晰，其微分處理能力與問題和對象的規模及復雜性無關。它基于YACC實現，具有很強的可擴展性。DFT系統具有四個重要特色。它通過對象全局依賴相關分析，準確求解雅可比矩陣的稀疏結構，自動計算有效初始輸入矩陣，從而可以用較小的代價求得整個雅可比矩陣。同時，它可以自動生成客觀評價微分模式效率與可靠性的測試程序，對奇異函數做等價微分處理，并采用二元歸約的方法，在語句級層次上實現微分代碼優化。
2.系統概況
DFT系統主要由兩部分組成：微分代碼轉換和微分代碼評價，圖2.1。微分代碼轉換部分接受用戶輸入指令并自動分析對象模式，生成切線性模式代碼及其相關測試代碼，后者直接構成微分代碼評價系統的主體。微分代碼評價是DFT系統的一個重要特色。DFT系統的開發小組認為，一個微分模式如果在可靠性、時間和存儲效率上沒有得到充分的驗證，至少對實際應用而言，它將是毫無意義的。
原模式
切線性模式
統計評價結果
圖2.1 DFT系統結構簡圖
2.1 微分代碼轉換
DFT系統是基于YACC在UNIX環境下開發的，其結構圖2.2所示。通過DFT系統產生的切線性模式代碼成對出現，并在語句級程度上做了簡化，可讀性很強，如圖2.4。
切線性模式
評價函數集
圖2.2 微分代碼轉換
微分代碼轉換部分從功能上分為四個部分：詞法分析，語義分析，對象復雜性及數據相關分析和微分代碼轉換。對于一組具有復雜數據相關的程序模式對象，通常需要系統運行兩遍才能得到有效而可靠的微分代碼。這主要有兩方面的考慮：其一，根據對象的復雜性（如最大語句長度、最大變量維數、子過程或函數數目、子過程或函數內最大變量數目等對象特征）選擇合適的系統參數以求最優的運行代價；其二，模式內各子過程或函數之間以及一個子過程或函數內往往具有很強的數據相關性，需要事先保存對象的相關信息并且在考慮當前對象的屬性之前必須做上下文相關分析。
圖2.3 PERIGEE源程序代碼
圖2.4 DFT系統生成的切線性代碼
2.2 微分代碼評價
通常，評價一個編譯系統的性能有很多方面，如處理速度、結果代碼可靠性及質量、出錯診斷、可擴展和可維護性等。對于一類自動微分系統來說，由于軟件開發人力的局限以及對象模式的復雜多樣性，通過自動轉換得到的微分模式并非常常是有效而可靠的（即無論是在數學意義上還是在程序邏輯上應與期待的理想結果一致），因而在微分模式被投入實際應用前，往往需要投入一定的人力來對其做嚴格的分析測試。
對切線性模式做統計評價測試的主要內容可以簡單敘述為：在網格化的模式定義域空間內，選擇所有可能的網格點形成微分模式計算的初始場；在不同的網格點附近，隨機選取至少 個線性無關的初始擾動，對每個擾動輸入分別進行網格點逼近，統計考察模式輸出差分和微分在有效位數上的逼近程度。圖2.5描述了整個測試過程，它包含網格點數據隨機采樣（1）和網格點數據逼近（2）兩級循環。
圖2.5 切線性模式代碼的測試過程
3.系統主要特色
DFT系統并不是一個完整的FORTRAN編譯器，但它幾乎可以接受和處理所有FORTRAN 77編寫的源模式代碼，并且可以很方便地擴展并接受FORTRAN 90編寫的源模式代碼。本節將著重介紹DFT系統（版本3.0）的以下幾個重要特色。
3.1 結構化的微分實現
DFT系統采用標準化的代碼實現，切線性模式的擾動變量和基態值變量、微分計算語句和基態值計算語句總是成對出現，并具有清晰的程序結構。微分代碼保持了原模式本身的結構和風格（如并行和向量特性、數據精度等），即語句到語句、結構到結構的微分實現。在奇異點或不可導處，DFT系統對微分擾動采取簡單的清零處理，實踐證明這對抑制擾動計算溢出具有重要意義，但并不影響評價測試結果。
3.2 全局數據相關分析
DFT系統具有較強的數據相關分析能力，它包括全局數據IO相關分析、全局數據依賴相關分析、全局過程相關分析以及數據迭代相關分析幾個不同方面。數據依賴相關與數據IO相關關系密切，但又存在根本不同。前者強調每個變量在數學關系上的依賴性；而后者描述了一個對象的輸入輸出特性，且具有相對性，即任何一個變量參數，無論它是獨立變量還是依賴變量，在數學意義上都可等價為一個既是輸入又是輸出的參數來處理。
DFT系統記錄所有過程參數的IO屬性表，通過深度遞歸相關計算，準確計算每個過程參數的最終IO屬性。DFT系統通過對數據相關矩陣做模二和及自乘迭代計算（An+1= AnAn2）來完成數據的依賴相關分析，這種算法具有很好的對數收斂特性。DFT系統通過全局過程相關分析的結果，自動生成模式的局部或整體相關引用樹結構（如圖3.1），這對用戶分析復雜數值模式和微分評價測試都具有很好的指導作用。DFT系統還具有分析局部數據迭代相關和函數迭代相關的能力，這兩種形式的數據迭代相關是自動微分實現頗具挑戰的難題之一。
圖3.1 GPS Rayshooting模式的相關樹結構片段
3.3 自動生成測試程序
基于IO相關分析的結果，DFT系統自動生成微分測試代碼，分別對切線性模式的可靠性和運行代價做統計評價測試。特別地，DFT系統還可將任何模式參數都視為輸入輸出參數，生成在數學意義上等價的測試代碼，這樣處理的不利之處在于往往需要極高的存儲開銷。
3.4 基于語句級的代碼優化
目前，DFT系統僅僅具備局地優化能力。在語句級微分實現上采用二元歸約的方法對微分代碼進行優化是DFT系統的一個重要特色。根據右端表達式的乘法復雜性及含變元數目的不同，DFT系統采取不同的分解策略。二元歸約的方法避免了微分計算中的許多冗余計算，在一些復雜的非線性表達式的微分計算中具有最小的計算代價，同時也非常適合于微分系統的軟件實現。同時，對于某些特殊的運算操作（除法、乘方）和特殊函數（如sqrt、exp），DFT系統較好地利用了基態值計算得到的中間結果，避免了微分實現中的冗余計算。
4.系統應用
運用自動微分工具得到的切線性模式，可以在無截斷誤差意義下求解函數的數值微分和導數、稀疏雅可比矩陣。同時這些結果在數值參數敏感性分析、非線性最優化以及其它數值理論分析中有著非常重要的應用。這里簡單介紹切線性模式的幾個基本應用。
4.1 符號導數和微分
如果輸入為數學關系式，DFT系統可以自動生成對應的微分表達式和梯度，而與數學關系式的復雜程度無關。例如我們輸入關系式：
，
（1）
DFT系統將自動生成其符號微分形式及其梯度形式分別為
，
（2）
4.2 數值導數和微分
切線性模式最基本的應用就是在一定擾動輸入下求解輸出變量的擾動（響應）。表4.1給出了DFT系統在對IAP 9L模式、GPS Rayshooting模式和GPS Raytrace模式三個數值模式做切線性化的具體應用中，一些不同計算粒度、不同引用深度和不同程序風格的核心子過程，以及它們的切線性模式在SGI 2000上運行的統計評價測試結果，其中切線性模式的可靠性指標都準確到六個有效數字以上，在運行時間、存儲開銷和代碼復雜性方面分別是原模式的兩倍左右，比較接近于理想的微分代價結果（1.5倍）。除了IAP 9L模式由于過于復雜僅做粗略統計外，其余模式都用非注釋語句行數來表示各自的代碼復雜性。
表4.1 DFT系統在三個數值模式中的統計評價測試結果
性能指標
對象模式 運行時間（10-3秒） 存儲開銷（字節數） 代碼復雜性
原模式 切線性
模式
原模式 切線性
模式
原模式 切線性
模式
Xyz2g 2.530 6.160 5524 11048 55 89
IntCIRA 1.560 2.750 1334 2661 41 65
Dabel 0.035 0.072 60 120 27 49
LSS 8.300 17.50 669 1338 79 143
RP 42.40 85.10 3605 7210 22 38
Vgrad1 0.100 0.212 18564 36828 24 54
RefGr 43.00 86.00 718654 1437308 35 78
LL2JK 0.626 1.350 2622 5244 22 32
RayFind4 62.70
×103 125.4
×103 9856 18212 111 179
EPSIMP 1.760 11.50 4455 8910 13 27
Hlimits 0.830 1.880 242577 484254 37 74
Int3sL 26.90 51.20 820029 1639458 46 90
MAKE
NCEP 1340 3920 722925 1445850 45 84
Curvcent 0.013 0.0385 27 54 27 54
DYFRM 3.800
×103 7.250
×103 5000* 9500* 161 279
PHYSIC 2.750
×103 5.385
×103 3000 5000* 1399*
(含注釋行) 2826*
(含注釋行)
適當設置輸入擾動的初值，運用切線性模式可以簡單求解輸出變量對輸入的偏導數。例如，對于一個含有 個輸入參數的實型函數
（3）
這里設 ， 。運用DFT系統，可以得到對應的切線性模式
（4）
其中 ， 為切線性模式的擾動輸入參數?？梢酝ㄟ^以下辦法來求得偏導數：
（5）
其中 。如果對于某個 既是輸入參數又是輸出參數，可以類似以下過程引用的辦法來處理。對于過程引用的情形，例如一個含有 個輸入參數的子過程
（6）
其中 ， 為輸入參數； ， 為輸出參數； ， 既為輸入參數又為輸出參數。運用DFT系統，可以得到對應的切線性模式為
（7）
其中 ， ， ， 分別為切線性模式的微分擾動輸入、輸出和輸入輸出參數。可以通過以下輸入擾動設置并引用切線性模式（7）來求得偏導數：
a) 設置 ； （ ， ）； （ ）可以同時求得 （ ）和 （ ），其中 。
b) 設置 （ ）； ； （ ， ）可以同時求得 （ ）和 （ ），其中 。
4.3 稀疏雅可比矩陣
運用上節討論的方法來求解稀疏雅可比矩陣，具有極高的計算代價。例如，一個含 個獨立和 個依賴參數的子過程，為求解整個雅可比矩陣就需要反復調用 次切線性模式，當 相當大時，這對許多實際的數值計算問題是不能接受的。事實上，如果雅可比矩陣的任意兩列（行）相互正交，那么可以通過適當設置擾動輸入值，這兩列（行）的元素就可以通過一次引用切線性模式（伴隨模式）完全得到。設 和 分別為雅可比矩陣的行寬度和列寬度，即各行和各列非零元素數目的最大值，顯然有 ， 。這里介紹幾種常用的求解方法。
正向積分 當 時，通常采用切線性模式來計算雅可比矩陣。根據雅可比矩陣的稀疏結構，適當選擇右乘初始輸入矩陣，可以獲得接近 的計算時間代價。DFT系統采用一種逐列（行）求解的方法，來有效求解右（左）乘初始輸入矩陣。其基本思路是：按照某種列次序考察雅可比矩陣的各列；考察當前列中所有非零元素，并對這些非零元素所在行的行向量做類似模二和累加運算（即將非零元素視為邏輯“1”， 零元素視為邏輯“0”），從而得到一個描述當前列與各行存在“某種”相關的標志向量（其元素都是“1”或“0”）；依據此標志向量，就很容易得到一個與之正交的列初始向量 ，其中與當前列序號對應的元素設置為“1”，而與標志向量中非零元素序號對應的元素設置為“0”， 與標志向量中非零元素序號對應的元素設置為“-1”，顯然，該列初始向量是唯一的，并且對應著當前右乘初始輸入矩陣的最后一列；逐一考察已求解得到的列初始向量，如果某列初始向量與當前求解得到的列初始向量按下面定義的乘法（見過程4）正交，那么這兩列就可以合并，即將當前列初始向量中非“-1”的元素按照對應關系分別賦值給該初始向量，并從記錄中刪除當前列初始向量；重復以上過程，繼續按照給定列次序考察雅可比矩陣的“下一列”。不難說明，按照不同列次序求解得到的右乘初始輸入矩陣可能不同。其中逐列求解右乘初始輸入矩陣的過程可以簡單敘述為：
1）將右乘初始輸入矩陣 所有元素的初值均設置為 ， ， 。 。
2）如果 ，轉6）。否則，如果雅可比矩陣 的第 列中的所有元素均為 ， ，重復2）的判斷。否則轉3）。
3）計算標志向量 。令 ，做如下計算：
， ;
4）設 為 的列向量。在 上定義乘法 ，對任意的 ，我們有：a） ；b)如果 ，必有 和 。然后，做如下計算：
， ;
， 6);
2);
5）令 ，并做如下計算：
， ;
令 ， 。如果 ，轉6）；否則，重復2）的判斷。
6）對 ， ，如果 ，則 。取 的前 列，這樣，我們就得到了一個 維右乘初始輸入矩陣。
這里需要說明的是，運用上面的方法求得的右乘初始輸入矩陣不僅與求解雅可比矩陣的列序有關，而且與過程4）中的合并順序也有關系。至于如何最優求解右乘初始輸入矩陣，目前還很難討論清楚。但是，大量模擬試驗結果表明，運用上面自然次序求得的右乘初始輸入矩陣寬度 已經非常接近于其下界值 。
反向積分 當 和 時，通常采用伴隨模式來計算雅可比矩陣。根據雅可比矩陣的稀疏結構，適當選擇左乘初始輸入矩陣，可以獲得接近 的計算時間代價。其中左乘初始輸入矩陣的求解過程完全可以按照上面的方法進行，但是在處理前必須先將雅可比矩陣轉置，最后還需將得到的初始輸入矩陣轉置才能最終得到左乘初始輸入矩陣。同時，其行寬度 也已經非常接近于其下界值 。
混合積分 如果將切線性模式和伴隨模式相結合，往往可以避免梯度向量運算中的諸多冗余計算。例如，ADJIFOR系統在求解雅可比矩陣時，在語句級微分實現中首先用伴隨方法求得所有偏導數，然后做梯度向量積分；其計算時間代價與 和模式的語句數目有關，而其存儲代價為 。具體討論可參考文獻[7]。
5．結論
切線性模式在無截斷誤差意義上計算函數的方向導數、梯度或雅可比矩陣，以及在模式的可預測性及參數敏感性分析、伴隨模式構造等相關問題中有著廣泛應用。DFT系統主要用于求解FORTRAN 77語言編寫的切線性模式，具有很強的全局數據相關分析能力。此外，DFT系統還具有其它幾個重要特色，如結構化的微分實現、自動生成微分測試程序以及基于語句級的微分代碼優化。本文簡單給出了DFT系統在求解數值和符號導數和微分、稀疏雅可比矩陣中的應用。為評價一類自動微分系統，本文初步提出了統計準確率的概念。
參考文獻
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數學建模的敏感性分析范文6
關鍵詞：信用風險；KMV信用風險模型；違約距離；GARCH模型；SV模型
中圖分類號：F830.9 文獻標識碼：A 文章編號：1003-3890（2013）07-0059-08
一、引言
自2008年美國次貸危機以來，各國金融機構及監管部門越來越重視信用風險的管理。準確的度量信用風險是信用風險管理的前提和基礎，而精確度量信用風險仍然存在較大困難，在業界和學術界依然是一個熱門課題。
對于信用風險度量的研究大致分為三個階段：定性分析階段，1970年以前，大多數金融機構主要采用專家法與評級法，但這些方法都過分依賴主觀評價，不能客觀準確的度量信用風險。基于財務指標的分析階段，這種模型主要有Logistic模型、Probit模型、多元判斷分析模型、Altman[1]在1968年建立的5變量Z計分模型以及1977年發展的7變量ZETA計分模型[2]。這些模型主要依賴企業的財務指標，而這些財務指標都是歷史數據，且企業中普遍存在會計信息失真現象，因此，此方法度量信用風險存在較大誤差。20世紀90年代，國內外專家開始采用人工智能，神經網絡等理論對財務數據建立分析預測模型。此方法一定程度上提高模型預測的準確度，但這些模型對樣本選擇的依賴程度較高，不適合廣泛推廣。現代模型階段，當前比較流行的定量度量信用風險的模型有JP摩根的Credit Metrics模型和KMV模型，及瑞士第一信貸銀行的Credit Risk+模型與麥肯錫公司的Credit Portfolio View違約模型。Credit Metrics模型與Credit Portfolio View模型都直接依賴于信用評級機制。而中國信用評級相對滯后，在短期內利用該模型不能準確度量信用風險。Credit Risk+模型的風險驅動因素是債務人的違約率，在中國應用現有數據估計該參數比較困難，且模型要求債務之間是相互獨立的。
KMV模型以現代公司理論和期權理論為理論基礎，以有時變性和前瞻性的資本市場價格為數據，可度量任何公開招股公司的信用風險。巴塞爾銀行監管委員會在2004年通過的《巴塞爾新資本協議》提倡使用內部評級法管理信用風險，并推薦使用KMV模型進行內部評級。KMV模型是中國信用風險管理中應用最廣泛的模型。
近年來，國內外大量文獻已經表明KMV模型度量信用風險具有一定的準確性，并且嘗試尋找改進KMV模型提高信用風險度量的準確度。Bohn[3]通過公司債信用利差比較分析了評級機構與KMV模型的結果。Kealhofer和Kurbat[4]研究發現穆迪的KMV模型比傳統的評級模型能捕捉更多信息，對信用風險的反應更快。Crosbie和Bohn[5]通過應用莫頓模型的變型，改進基于股權價值的資產市場價值與波動率的計算，提高了KMV模型的精確度。Dionysiou，Lambertides和Charitou[6]基于KMV模型發展了一種更簡單的違約預測模型，避免了傳統KMV模型求解非線性方程組的困難，并通過實證證明了該模型具有較強的預測能力。W·lee[7]利用遺傳算法尋找最優違約點，改進了KMV模型，利用該模型對臺灣數據做了實證分析，結果表明該模型能夠準確找到違約點，提高銀行信用風險管理水平。
中國學者也運用KMV模型對中國上市公司信用風險進行了實證研究。馬若微[8]通過實證研究得出KMV模型運用到中國上市公司財務困境預警中是完全可行的，而且KMV模型的預測精度優于基于歷史數據的Logistic，Fisher等模型。周子元，楊永生[9]對影響違約距離大小的參數進行了敏感性分析，發現股權價值波動率是影響違約距離最為敏感的因素。彭大衡，張聰宇[10]的研究也表明違約距離對無風險利率的敏感性較弱；對股價的敏感性隨著股價高低而不同，而對股權價值波動率的敏感性則非常強。這些表明準確估計波動率是提高KMV模型中違約距離準確性的關鍵，進而可提高對公司信用風險度量的準確度。
傳統的KMV模型采用上市公司價格歷史波動率來近似替代現實波動率，而股市波動在不同時間和條件下具有不穩定性，顯然這種方法是不準確的。對波動率單獨建模并與KMV模型的結合，可以有效改進模型效果。由于GARCH模型比較容易估計，中國學者目前主要是應用GARCH模型與KMV模型的結合。如魯煒，趙恒珩等[11]與閆海峰，華雯君[12]，利用GARCH模型估計股權價值波動率，建立了修正的KMV模型，研究發現該模型要優于傳統的KMV模型。
目前對波動率的度量模型主要包括兩大類：一類是基于歷史數據和以前波動率基礎上的波動性模型，這類波動率模型有著確定的函數形式。如1982年Engle提出的自回歸條件異方差（Auto Regressive Conditional Heteroskedasticity）模型[13]（簡稱ARCH模型）和1986年Bollerslev提出的廣義ARCH模型[14]（簡稱GARCH模型），該類模型能夠較好地刻畫波動的時變特性。另一類主要是基于參數基礎上的波動率模型，這類波動率模型的波動率方程中引入了新息項。如Taylor 1986年提出的隨機波動模型[15]（Stochastic Volatility，簡稱SV模型），此模型是由一個不可觀測的隨機過程決定。由于金融時間序列數據波動性規律不斷的發生變化，SV模型更加適合于金融領域的實證研究。對于這兩類模型在理論和實證上的比較研究——其中主要是GARCH類和SV類之間的比較研究。Taylor，Eric，Kim和Shephard等[16][17][18][19]研究表明，SV類模型對金融時序的刻畫能力明顯優于GARCH類模型的刻畫能力，它能夠準確捕獲金融時間序列的異常波動性和波動集簇性，為金融時間序列提供了更實際、更靈活的建模方法。余素紅和張世英[20][21]通過實證分析比較了SV模型與GARCH模型對上證綜合指數的刻畫能力，認為SV模型擬合實際數據的效果優于GARCH模型。
雖然SV模型從理論和實證角度更適合于對金融數據的建模，但由于估計困難，目前還沒有人嘗試將SV模型與KMV模型相結合考察上市公司的信用質量。
本文將分別采用GARCH模型與SV模型來估計上市公司的股權價值波動率，并結合KMV模型。通過實證，對比分析GARCH-KMV模型與SV-KMV模型對信用風險的度量效果，結果表明SV-KMV模型優于GARCH-KMV模型。
全文的組織如下：第二部分模型的構建：簡單介紹GACH，SV兩種波動率模型及KMV信用風險模型；第三部分實證研究：給出本文所選樣本，模型的參數估計及實證結果分析；第四部分給出本文結論與啟示。
二、模型的構建
（一）GARCH模型
1982年Engle提出的自回歸條件異方差ARCH模型，1986年Bollerslev提出的廣義ARCH模型，簡稱GARCH模型。該類模型能夠較好地刻畫波動的時變特性。
（二）SV模型
可以看到，SV模型中的波動性不僅依賴于以前的波動，而且還依賴于當期的新息項，由于考慮了當期的新息項，使得SV模型能更為準確地刻畫金融時序的波動。
2. SV模型的參數估計。雖然SV模型更適合金融時間序列波動的估計，但是SV模型中包含著潛在變量，難以獲得SV模型精確的似然函數，因此模型的參數估計要比GARCH模型困難。
目前SV模型的參數估計方法主要有偽極大似然估計（QML）、廣義矩方法（GMM）估計、有效矩方法（EMM）估計、馬爾科夫鏈蒙特卡洛模擬（MCMC）方法等，其中MCMC方法是目前SV模型參數估計效果最好的。MCMC方法的基本思想是，構造一個平穩分布為？仔（x）的抽樣，基于這樣的抽樣做出各種統計推斷。其算法的核心是對一個給定的多元概率密度，通過反復從一個馬爾可夫鏈中取樣來生產變量，該馬爾可夫鏈具有不變的分布，因此可以根據遍歷性對變量進行估計。
（三）KMV模型
1. 模型的建立。假設當公司的資產價值低于一定水平時，認為公司就會違約，與這一水平相對應的資產價值為違約點（Default Point，簡稱DP）。假設在給定的某個未來時期，公司資產價值服從某個分布，該分布的特征由資產價值的期望與標準差（波動率）描述；未來資產價值的均值到所需清償負債的賬面價值之間的距離為違約距離（Distance to Default，簡稱DD）。根據違約距離與預期違約概率的映射關系，可得出預期違約概率（也稱為違約頻率，Expected Default Frequency，簡稱EDF）。EDF是指在正常的市場條件下，借款公司在一定時期內發生違約的概率，KMV模型認為當資產的均值下降到所需清償負債的賬面價值之下時違約發生，因為事先無法準確判斷借款公司是否會選擇違約，所以只能估計違約的可能性大小。
KMV模型以經典的莫頓模型為基礎，計算公司資產價值及其波動率，進而求得違約距離DD及違約概率EDF。具體分為以下3個步驟：
其中VA表示公司資產的市場價值；？滋，？滓A分別表示資產價值的漂移率和波動率；dWt表示維納過程。如果DP表示公司債務的賬面價值，也就是期權的執行價格，可以解出公司的股權價值與資產的市場的市場價值的關系式為：
通過（1）式和（2）式得到非線性方程組。解出此方程組，即可求出資產價值VA與資產價值波動率？滓A。
（2）計算違約距離DD。KMV模型中，違約距離DD為資產價值偏離違約點DP的標準差的個數，即達到違約點資產價值須下降的百分比對于標準差的倍數。DD計算公式為：
（3）預期違約概率（EDF）的確定。理論上的違約概率為債務到期日公司資產的市場價值小于公司負債的賬面價值的概率，假設資產價值服從正態分布即：
理論的EDF與現實存在很大差異，在實際應用中，KMV模型通過建立大規模的企業違約信息數據庫計算出企業的經驗違約概率，根據觀察所有距離違約點相同個標準差的企業中有多少家企業違約，計算出經驗違約率。計算公式如下：
由于中國歷史數據的嚴重缺乏，確定違約距離和實際違約頻率之間的準確映射無法實現，而直接運用國外的對應結果，會導致很大偏差。因此，本文將直接結合違約距離考察上市公司的相對違約風險大小。
2. 參數的設定。（1）股權價值VE。本文采用2008年以后的股票市場數據，并根據中國證券市場實際情況，把上市公司股權市場價值分為非流通股和流通股兩部分。對于非流通股的定價本文采用加權平均的方法，以每股凈資產作為非流通股的單價，流通股的定價為平均收盤價。公式為：
非流通股權價值=非流通股數×每股凈資產
流通股權價值=流通股數×平均收盤價
股權價值VE=流通股權價值+非流股權價值
（2）違約點DP。對違約點的設定采用KMV公司推薦的方法，即：DP=SD+50%LD其中，SD為流動負債，LD為長期負債。
（3）無風險利率r。本文采用央行公布的當年1年期定期存款利率的加權平均來表示，其中，2008年r=0.039，2009年r=0.041，2010r=0.025，2011年r=0.025。
（4）股權價值波動率？滓E。在KMV模型中，股權價值波動率？滓E對違約距離的影響最大，因此準確估計股權價值波動率對改進KMV模型準確性有著重要意義。由于金融市場波動具有集聚性及尖峰厚尾性，目前大多數學者采取易估計的GARCH模型估計股權價值波動率來提高準確性。但已有研究表明SV模型從理論和實證角度更優于GARCH模型，因此本文將分別采用GARCH模型與SV模型來估計上市公司的股權價值波動率，并結合KMV模型。對比分析GARCH-KMV模型與SV-KMV模型對信用風險的度量效果。
三、實證研究
（一）樣本數據與研究設計
本文選取滬深兩市A股20家上市公司股票作為研究對象，其中10家為2009年與2010年ST公司，并相應的選取與其所在行業與資產規模方面相配對的10家非ST公司，采用ST公司和非ST公司2008—2010年的數據進行參數的確定。本文所有數據選自Wind數據庫。
計算選取的20家公司2008—2010年每日收盤價的對數收益率，yt=lnPt-lnPt-1，其中Pt為第t日的收盤價，Pt-1為第t-1日的收盤價。
2008—2010年GARCH模型、SV模型所得波動率及傳統方差波動率的比較，如圖1-圖3所示。
得到股權價值波動率以后，利用Matlab軟件使用迭代算法求解非線性方程組，得到資產價值及資產價值波動率。由得到的資產價值及資產價值波動率，計算出KMV模型的違約距離。ST公司與其配對的非ST公司的違約距離結果如表1所示。
為了更加直觀的對比分析GARCH-KMV模型與SV-KMV模型對上市公司信用質量度量效果，對比分析2008—2010年ST公司與非ST公司兩種違約距離，如圖4～圖9所示。
為對比分析兩種違約距離對上市公司信用風險度量能力的整體度量效果，應用SPSS軟件分別對所得ST公司與非ST公司兩種違約距離GDD與SDD逐年進行獨立樣本T檢驗和非參數Mann-Whitney U檢驗。實證結果如表2及表3。
（二）實證結果分析
1. 股權價值波動率是KMV模型非常重要的影響因素。GARCH模型與SV模型原理不同，由圖1-圖3可以看出兩種模型所求得的股權價值波動率整體一致，但有個別公司個別年不相同。僅對本文所研究樣本而言，GARCH模型估計的股權價值波動率要偏高一些，傳統波動率介于SV模型與GARCH模型之間。
2008—2010年GARCH-KMV模型中違約距離GDD與GARCH模型得到的股權價值波動率的相關系數分別為-0.965，-0.975，-0.910。SV-KMV模型中違約距離SDD與SV模型得到的股權價值波動率的相關系數分別為-0.968，-0.972，-0.987。首先可以得出兩種模型中違約距離與股權價值波動率都是負相關，股權價值波動率越高，違約距離越小，公司越接近違約，信用質量越差。其次違約距離與股權價值波動率相關程度非常高，證明股權價值波動率是KMV模型非常重要的影響因素。
2. 對比分析SV-KMV模型與GARCH-KMV模型，SV-KMV模型得到的違約距離SDD能更好的區分上市公司的信用質量。由表1分別比較2008—2010年ST公司的違約距離與非ST公司的違約距離，由于違約距離越大說明信用狀況越好，因此為了表述方便，我們將ST公司違約距離小于非ST公司時作為正確判斷，大于非ST公司時作為錯誤判斷。首先考慮違約距離GDD的情況，發現2008—2010年ST公司GDD小于其所對應的非ST公司總數的占研究樣本總體的比例，即正確率，分別為50%、100%、80%。而違約距離SDD的情況，正確率為80%、100%、100%。對比分析，說明兩種違約距離均能度量上市公司的信用風險，違約距離SDD正確率較高，能更好的區分ST公司與非ST公司信用狀況。
觀察2008—2010年ST公司與非ST公司兩種違約距離對比分析圖，對比分析圖4與圖5，可得2008年違約距離SDD對ST公司與非ST公司的信用質量區別更明顯，尤其是第一、四、七對公司，GDD時ST公司大于非ST公司，而SDD時ST公司小于非ST公司。由圖6與圖7，可以看出2009年兩種違約距離對ST公司與非ST公司信用質量的度量效果差別不大，SDD略好于GDD。圖8與圖9說明2010年違約距離SDD對ST公司與非ST公司的信用質量區別更明顯。因此，進一步說明利用SV-KMV模型比GARCH-KMV模型對上市公司的信用風險的度量更準確。
從整體的角度，SDD對上市公司信用風險的度量效果也好于GDD。由表2和表3，觀察獨立樣本T檢驗與非參數Mann-Whitney U檢驗結果，ST公司、非ST公司的違約距離T檢驗與M-W U檢驗的T值、Z值在違約距離SDD的情況下要比GDD時更加顯著。說明違約距離SDD情況下，ST公司的SDD與非ST公司存在差異更明顯，SDD比GDD更好的區分上市公司的信用質量。
考慮非ST公司與ST公司違約距離均值差與秩均值差，SDD的均值差與秩均值差每年都大于GDD的均值差與秩均值差，這表明違約距離SDD時，ST公司與非ST公司的信用狀況差異更明顯。進一步說明SV-KMV模型對上市公司信用風險的度量要比GARCH-KMV模型效果更好。
3. 行業分析。由于SDD比GDD更能準確區分ST公司與非ST公司的信用狀況，在此基礎上本文采用違約距離SDD僅對所選樣本公司進行同行業的ST公司與非ST公司信用狀況對比分析。本文所選20家樣本公司中，按行業分類：2家房地產行業；8家制造業-石油；2家制造業-食品；2家制造業-金屬；2家制造業-機械；2家制造業-電子；2家綜合行業。
對于制造業-機械業，ST思達2008—2010年的SDD分別是1.288、1.741、2.883，與其對應的上海機電分別為1.261、2.299、2.944?？梢钥闯鲋挥?008年ST思達的SDD高于上海機電，2010年兩公司SDD也非常接近。觀察兩公司股權價值波動率，2008年ST思達的股權價值波動率為0.727低于上海機電0.765，2010年分別為0.344和0.334，非常接近。因此股權價值波動率是導致兩家對比公司誤判與SDD接近的主要原因。進一步說明股權價值波動率是KMV模型的重要因素。
對于制造業-電子業，ST精倫與大連控股SDD分別為1.281、1.853、2.600，1.199、1.944、2.931。只有2008年ST精倫的SDD比大連控股高，觀察兩家公司2008年股權價值波動率，2008年ST精倫的股權價值波動率低于大連控股。進一步說明股權價值波動率是KMV模型的重要影響因素。
對于房地產業、制造業-石油、制造業-食品、制造業-金屬與綜合類行業，所選取的ST公司的違約距離SDD均低于與其對應的非ST公司，且相差幅度較大。說明KMV模型能夠很好的區分這些行業公司的信用狀況。
綜合所研究樣本的行業分析，各行業的上市公司信用狀況存在差異，由好到差的順序為：制造業-石油、制造業-食品、房地產業、制造業-電子、綜合類、制造業-機械、制造業-金屬。
四、結論與啟示
由于股權價值波動率是KMV模型的重要參數，因此準確的估計股權價值波動率對提高KMV的準確性意義重大，本文分別利用SV與GARCH波動率模型估計股權價值波動率，對KMV模型重要參數股權價值波動率進行了改進，分別應用改進的KMV模型GARCH-KMV模型與SV-KMV模型對中國上市公司的信用質量進行了實證研究。研究表明：
1. 股權價值波動與KMV模型的結果違約距離高度負相關。股權價值波動率是KMV模型的重要影響因素，股權價值波動率越高，違約距離越小，公司的信用質量越差。
2. GARCH-KMV與SV-KMV模型均能度量上市公司的信用狀況，但SV-KMV模型要比GARCH-KMV模型度量效果更好。加入SV模型改進的KMV模型對上市公司信用風險的度量能力明顯提高，能更好的區分ST公司與非ST公司的信用質量。
3. 各行業信用狀況存在差異，僅針對本文研究樣本而言，信用質量由好到壞順序為：制造業-石油、制造業-食品、房地產業、制造業-電子、綜合類、制造業-機械、制造業-金屬。
本文通過利用更精確的波動率模型計算股權價值波動率進而提高了KMV模型對信用風險度量的準確性，有利于投資者正確估計上市公司信用風險，從而做出恰當的決策。此外，觀察本文所研究的每一個樣本公司，無論是違約距離GDD還是SDD，2008年違約距離最小，而2009年，2010年違約距離逐漸增加。這一變化趨勢恰好與中國自2008年以來的宏觀經濟走勢一致，說明中國上市公司信用質量與宏觀經濟狀況息息相關。本文的研究并沒有考慮宏觀經濟變量的影響，因此將信用風險模型與宏觀經濟變量相結合可能會成為今后信用風險度量研究的重要方向。
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