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常見的建立數學模型的方法范文1
一、數學建模的重要意義
把一個實際問題抽象為用數學符號表示的數學問題,即稱為數學模型。數學模型能解釋特定現象的顯示狀態,能預測對象的未來狀況,能提供處理對象的最有效決策或控制。在小學數學教育中開展數學建模的啟蒙教育,能培養學生對實際問題的濃厚興趣和進行科學探究的強烈意識,培養學生不斷進取和不怕困難的良好學風,培養學生分析問題和解決問題的較強能力,培養學生敏銳的洞察力、豐富的想象力和持久的創造力,培養學生的團結協作精神和數學素養。
二、數學建模的基本原則
1.簡約性原則。生活中的原型都是具有多因素、多變量、多層次的比較復雜的系統,對原型進行一定的簡約性即抓住主要矛盾。數學模型應比原型簡約,數學模型自身也應是“最簡單”的。
2.可推導原則。由數學模型的研究可以推導出一些確定的結果,如果建立的數學模型在數學上是不可推導的,得不到確定的可以應用于原型的結果,這個數學模型就是無意義的。
3.反映性原則。數學模型實際上是人對現實生活的一種反映形式,因此數學模型和現實生活的原型就應有一定的“相似性”,抓住與原型相似的數學表達式或數學理論就是建立數學模型的關鍵。
三、數學建模的一般步驟
數學課程標準向學生提供了現實、有趣、富有挑戰性的學習內容,這些內容的呈現以“問題情景——建立模型——解釋應用——拓展反思”的基本形式展開,這也正是建立數學模型的一般步驟。
1.問題情境。將現實生活中的問題引進課堂,根據問題的特征和目的,對問題進行化簡,并用精確的數學語言加以描述。
2.建立模型。在假設的基礎上利用適當的數學工具、數學知識,來刻劃事物之間的數量關系或內部關系,建立其相應的數學結構。
3.解釋應用。對模型求解,并將求解結果與實際情況相比較,以此來驗證模型的科學性。
4.拓展反思。將求得的數學模型運用到實際生活中,使原本復雜的問題得以簡化。
四、數學建模的常見類型
1.數學概念型,如時、分、秒等數學概念。
2.數學公式型,如推導和應用有關周長、面積、體積、速度、單價的計算公式等。
3.數學定律型,如歸納和應用加法、乘法的運算定律等。
4.數學法則型,如總結和應用加法、減法、乘法、除法的計算法則等。
5.數學性質型,如探討和應用減法、除法的運算性質等。
6.數學方法型,如小結和應用解決問題的方法“審題分析——列式計算——檢驗寫答”等。
7.數學規律型,如探尋和應用一列數或者一組圖形的排列規律等。
五、數學建模的常用方法
1.經驗建模法。學生的生活經驗是學習數學最寶貴的資源之一,也是學生建立數學模型的重要方法之一。例如,教學人教版課程標準實驗教科書數學一年級上、下冊中的“時、分”的認識時,由于學生在生活中已經多次、反復接觸過鐘表等記時工具,看到或聽說過記時工具上的時刻,因此,他們對“時、分”的概念并不陌生,教學是即可充分利用學生這種已有的生活經驗,讓學生廣泛交流,在交流的基礎上將生活經驗提升為數學概念,從而建立關于“時、分”的數學模型。
2.操作建模法。小學生年齡小,生活閱歷少,活動經驗也極其有限,教學中即可利用操作活動來豐富學生的經驗,從而幫助學生感悟出數學模型。例如,教學人教版課程標準實驗教科書數學四年級下冊中的“三角形特性”時,教師讓學生將各種大小、形狀不同的三角形多次推拉,學生發現——不管用力推拉哪個三角形,其形狀都不會改變,并由此建立數學模型:“三角形具有穩定性。”
3.畫圖建模法。幾何直觀是指利用圖形描述和分析數學問題。借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象,有助于探索解決問題的思路、預測結果。幾何直觀不僅在“圖形與幾何”的學習中發揮著不可替代的作用,而且貫穿在整個數學學習和數學建模過程中。例如,教學人教版課程標準實驗教科書數學三年級下冊《數學廣角》中的“集合問題”時,讓學生畫出韋恩圖,從圖中找出重復計算部分,即找到了解決此類問題的關鍵所在,也建立了解決“集合問題”的數學模型——畫韋恩圖。
4.觀察建模法。觀察是學生獲得信息的基礎,也是學生展開思維的活動方式。如何建立“加法交換律”這一數學模型?教學人教版課程標準實驗教科書數學四年級下冊的這一內容時,教師引導學生先寫出這樣一組算式:6+7=7+6、20+35=35+20、300+600=600+300、……,然后讓學生認真、有序、多次地觀察這組算式,并組合學生廣泛交流,學生從中即可感悟到“兩個加數交換位置,和不變?！钡臄祵W模型。
5.列表建模法。把通過觀察、畫圖、操作、實驗等獲得的數據列成表格,再對表格中的數據展開分析,也是建立數學模型的重要方式。例如,教學人教版課程標準實驗教科書數學四年級下冊的“植樹問題”時,教師組織學生把不同情況下植樹的棵數與段數填入表格中,學生借助表格展開觀察和分析,即可建立相應的數學模型——“在一段距離中,兩端都植樹時,棵數=段數+1;兩端都不植樹時,棵數=段數-1;一端不植樹時,棵數=段數;在封閉曲線上植樹時,棵數=段數?！?。
6.計算建模法。計算是小學數學教學的重要內容,是小學生學習數學的重要基礎,是小學生解決問題的重要工具,也是小學生建立數學模型的重要方法。例如,教學人教版課程標準實驗教科書數學六年級下冊第132~133頁的“數學思考”中的例4時,教師就讓學生將實驗數據記錄下來,然后運用數據展開計算,在計算的基礎上即可建立數學模型——過n個點連線段條數:1+2+3+4+……+(n-1)=1/2 (n2-n)。其主要過程如下:
過2個點連線段條數:1
過3個點連線段條數:1+2
過4個點連線段條數:1+2+3
過5個點連線段條數:1+2+3+4
……
常見的建立數學模型的方法范文2
關鍵詞：元算法；數學模型庫；擴展元算法；專題數據處理
中圖分類號：TP311 文獻標識碼：A 文章編號：1009-3044（2015）31-0041-02
專題數據處理模型庫是指通過各類數學模型，充分挖掘其空間分布規律、關聯規律、分類規律等內容，從而獲取專題數據處理所需的信息，為空間分析和制圖提供重要支持。專題數據處理數學模型庫廣泛應用在非空間特性數據分析、挖掘空間數據、專題地圖制圖等多個領域。目前，多數制圖系統和GIS系統中，數據處理主要借助函數、插件等固定形式完成算法，哪怕建立的模型庫管理系統中已存在的模型，例如：針對環境、農業、交通等建立模型庫，已有的模型庫重用性、擴展性效果不佳，應用至其他領域必須實施較大改動，需要重新編制算法模型或相對應的管理系統。現階段，GIS和專題制圖技術的不斷發展，模型庫設計方法無法滿足數學模型共享性、重用性的要求，也無法實現用戶對動態生成數據模型和智能化管理方面的要求。分析上述問題，根據已有的數學模型庫系統展開研究，提出基于元算法數學模型庫系統，在系統中增設擴展元算法模型庫，介紹可視化生成數學模型庫，將設計的數學庫模型系統掛連至外界GIS框架內方便進行專題作圖，獲得良好的應用效果。
1簡述元算法相關概念及特征
元算法是指從數學模型中抽象而來最具體的算法單元體，其可以標識算法模型的一般特征，通過聚合建立的數學模型具有共享性、重用性的特點。同時，具體使用過程中，必須綜合考慮各領域數學模型的特殊性，必須建立針對具體領域所使用的元算法模型。元算法主要特征如下：1）元算法應概括所有專題數據處理算法的特征，換句話來說，任何一個算法均由多個元算法組成，上述元算法過于細化。2）創建的元算法專題數據處理模型采用程序的表示方法，這要求每個算法必須來自客觀實際，確保能夠被程序應用，并非空穴來風設計。3）專題數據處理模型可在通常情況下，元算法作為算法中的最小單元，不可再分，單元算法也不能過于具體化，太具體會加大重復工作量。建立的數據庫系統在確保概況性的基礎上，保證元算法具有不可分性。
2設計在元算法基礎上的數學模型庫
模型庫系統平臺主要功能是管理或維護模型資源，具有模型分析、模擬功能。基于元算法設計數學模型庫系統，該系統的特點主要表現在底層模型庫組織方式和表達方式上。由于元算法模型具有普遍性、概況性的特點，采用元算法模型粒度控制尺度設置數學模型庫，實現對數學模型資源的管理和維護，為各個領域的專家、用戶提供管理控制工具。這種設計形式與已有的模型庫系統比較具有以下優點：1）具有簡捷性的特點：本系統與原有模型庫系統本質的區別在于，該系統是從最基本的模型表示方法入手，把GIS中的算法分解成具有普遍意義的元算法段元。合理控制模型六度確保用戶能夠自由構建所需的算法模型，在一定程度提升算法模型設計的彈性。2）通用性和合理性的特點：本系統針對GIS中反復出現的數據處理算法，把算法管理逐漸從GIS中進行分離，完成數據處理與數據可視化分離的操作，借助模型庫系統便于處理數據。
3建立元算法專題數據處理數學模型庫
1）元算法模型主要分類
為便于管理，不得將元算法當做一類進行處理，專題數據處理中把元算法細化為基本元算法子集和擴展元算法子集。專題數據處理模型庫系統中，為便于管理，根據元算法模型的參與運算目數劃分，主要包括單目和雙目元算法模型。參與運算的預案算法有的是單目的，例如：正弦、絕對值等；有的是雙目運算，例如：加法、指數運算等等，具體情況如圖1。
圖1 數學模型庫“基本元算法”子集內容
2）擴展元算法子集內容
擴展元算法是指由基本元算法組合而成的形式，在實際使用中常見的特殊元算法。對專題數據進行處理過程中，所用的擴展元算法主要來源于以下方面：①包括矩陣、方程等這類相對復雜的運算法，這種復雜的算法主要由基本元算法組合而成，建立數學模型系統也比較復雜，例如：矩陣乘法運算等。②在模型庫中重復出現的特殊算法，這些算法在專題數據處理中頻繁出現，例如：數據數字特征算法，為防止重復繁瑣的算法，必須將這類特殊算法進行提取當做擴展元算法處理，內容如圖2。
圖2 擴展元算法子集主要內容
3）專題數據處理數學模型庫內部組織
專題數據處理模型庫系統采用向對象法描述模型庫的組織體系結構，實現合理管理模型庫內部各種算法的目的。以UML部分算法為例進行設計，如圖3。
圖3 元算法數據模型庫組織結構圖
圖3中MathModel設置一個公共結構，上述算法模型以直接或間接實現該公共接口，確保每種算法模型采用恰當的變量對象參與運算中。中間第一層接口依據模型變量角度進行劃分，依據每個算法參與變量的角度選定相應的實現接口，該接口實現處理輸出結果的功能。最下層表示單目元算法和雙目元算法，每種算法依據運算目數選定繼承基類。每一個算法類實現并繼承設定的基類和接口，完成所繼承接口與基類的各種算法，設計變量數值和類型后參與運算中。上述設計不單保障算法模型每個變量數值，也確保其實施統一的文件格式輸出，達到各算法模型之間相互連通的目的。
4）基于元算法數學模型生成
數學模型可視化生成借助多個元算法模型進行組合或嵌套，是指在原有的模型庫系統正確引導下下，挑選創建數學模型庫系統所需的元算法部件，無需再次實施編程即可創建所需的數學模型庫。
基于元算法主要采用兩種方式設計數學模型庫，一種在元算法模型基礎上創造新的數學模型庫，如：計算一條直線上兩點之間的距離，數學表示公式為：[y=x1-x2]，該公式所用的數學模型有：減法元算法（[（x1-x2）]）和絕對值元算法（[x1-x2]），采用上述兩組元算法模型組建所需的數學模型。另一種方法是借助原有的數學模型和元算法建立新的模型。如：專題數據處理過程中常用的界限等差分級模型，[Ai=L+iH-LM]，該數學公式中的[Ai]表示第i個分級的界限值， M代表該式子的分級數，采用H、L分別表示最大值和最小值，間隔遞增模型（[Ai=L+iH-LM+i（i-2）2D]），其中D表示公差值，通過分析可知，前面的數學公式是后者一部分，建立后面公式的數學模型時，可將前者的模型當做子模型直接參與建立數學模型庫中。例如：在建立等比分級數學模型（[Ai=L（HL）VM]）和間隔等比數學模型（[Ai=L+1-qi1-qM（H-L），q表示公比值]）過程中，其可視化生成步驟如下：
首先，創建模型所需的變量因素，設定其所需的參數。其次，依據系統中通用的元算法模型創建有關的子數學模型，主要由單目、雙兩類數學模型組成，上述數學公式的L、H均為單目模型，其余因子為雙目數學模型。最后，把建立的新模型導入專題數據處理模型，根據數學模型生成步驟，創建專題數據處理數學模型庫系統。
4 結束語
總之，根據元算法數據模型庫設計思路，深入研究專題數據處理常用的數學模型庫，設置相對應的擴展元算法模型，建立在元算法基礎上的專題數據處理數學模型庫。這種數學模型庫系統具有較好的共享性、可重用性，能有效提升數學模型庫開發效率和利用率，值得在各個領域推廣使用。
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常見的建立數學模型的方法范文3
數學模型的難點在于建模的方法和思路，目前學術界已經有各種各樣的建模方法，例如概率論方法、圖論方法、微積分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立數學模型從而解決實際問題。實際生活中的很多問題都不是連續型的，例如人口數、商品價格等都是呈現離散型變化的趨勢，碰到這種問題可以考慮采用差分方程或差分方程組的方式進行表示。有時候人們除了想要了解問題的起因和結果外還希望對中間的速度以及隨時間變化的趨勢進行探索，這個時候就要用到微分方程或微分方程組來進行表示。以上只是簡單的舉兩個例子，其實方程的應用極為廣泛，只要有關變化的問題都可以考慮利用方程的思想建立數學模型，例如常見的投資、軍事等領域。利用方程思想建立的數學模型可以更為方便地觀察到整個問題的動態變化過程，并且根據這一變化過程對未來的狀況進行分析和預測，為決策的制定和方案的選擇提供參考依據。利用方程建立數學模型時就想前文所說的那樣，如果是離散型變化問題可以考慮采用差分思想建模，如果是連續型變化問題可以考慮采用常微分方程建立模型。對于它們建模的方式方法可以根據幾個具體的實例說明。
2方程在數學建模中的應用舉例
2．1常微分方程建模的應用舉例
正如前文所述，常微分方程的思想重點是對那些過程描述的變量問題進行數學建模，從而解決實際的變化問題，這里舉一個例子來說明。例1人口數量變化的邏輯斯蒂數學方程模型在18世紀的時候，很多學者都對人口的增長進行了研究，英國的學者馬爾薩斯經過多年的研究統計發現，人口的凈相對增長率是不變的，也就是說人口的凈增長率和總人口數的比值是個常數，根據這一前提條件建立人口數量的變化模型，并且對這一模型進行分析研究，找出其存在的問題，并提出改進措施。解:假設開始的時間為t，時間的間隔為Δt，這樣可以得出在Δt的時間內人口增長量為N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)對于這種一階常微分方程可以采用分離變量法進行求解，最終解得N(t)=N0er(t－t0)而后將過去數據中的r、N0帶入上述式子中就可以得出最后的結果。這個式子表明人口數量在自然增長的情況下是呈指數規律增長的，而且把這個公式對過去和未來的人口數量進行對比分析發現還是相當準確的，但是把這個模型用到幾百年以后，就可以發現一些問題了，例如到2670年的時候，如果仍然根據這一模型，那么那個時候世界人口就會有3．6萬億，這已經大大的超過了地球可以承受的最大限度，所以這個模型是需要有前提的，前提就是地球上的資源對人口數量的限制。荷蘭的生物學家韋爾侯斯特根據邏輯斯蒂數學方法和實際的調查統計引入了一個新的常數Nm，這個常數就是用來控制地球上所能承受的最大人口數，將這一常數融入邏輯斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)該方程解為N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一個新的數學模型建立后，首先要做的就是驗證它的正確性，經過研究發現在1930年之前的驗證中還是比較吻合的，但是到了1930年之后，用這個模型求出的人口數量就與實際情況存在很大的誤差，而且這一誤差呈現越來越大的變化趨勢。這就說明當初設定的人口極限發生了變化，這是由于隨著科學技術的不斷進步，人們可以利用的資源越來越多，導致人口極限也呈現變大的趨勢。
2．2差分方程建模的應用舉例
如前文所言，對于離散型問題可以采用差分方程的方法建立數學模型。例如以25歲為人類的生育年齡，就可以得出以下的數學模型。yk+1－yk=ryk(1－ykN)，k=0，1，2，…即為yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r為固有增長率，N為最大容量，yk表示第k代的人口數量，若yk=N，則yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡點。令xk=r(r+1)Nyk，記b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)這個方程模型是一個非線性差分方程，在解決的過程中我們只需知道x0，就可以計算出xk。如果單純的考慮平衡點，就會有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，則x*=rr+1=1－1bx因為f''(x*)=b(1－2x*)=2－b，當|f''(x*)|＜1時穩定，當|f''(x*)|＞1時不穩定。所以，當1＜b＜2或2＜b＜3時，xkk∞x*．當b＞3時，xk不穩定。2．3偏微分方程建模的應用舉例在實際生活中如果有多個狀態變量同時隨時間不斷的變化，那么這個時候就可以考慮采用偏微分方程的方法建立數學模型，還是以人口數量增長模型為例，根據前文分析已經知道建立的模型都是存在一定的局限性的，對于人類來說必須要將個體之間的區別考慮進去，尤其是年齡的限制，這時的人口數量增長模型就可以用以下的式子來表示。p(t，r)t+p(t，r)r=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r);p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t時候處于r歲的人口密度分布情況，μ(t，r)表示的r歲人口死亡率，φ(t，r)表示r歲人口的遷移率，β(r，t)表示r歲的人的生育率。除此之外，式子中的積分下限r1表示能夠生育的最小歲數，r2表示能夠生育的最大歲數。根據人口數量增長的篇微分方程可以看出實際生活中的人口數量與年齡分布、死亡率和出生率都有著密不可分的關系，這與客觀事實正好相吻合，所以這一個人口增長模型能夠更為準確地反應人口的增長趨勢。當然如果把微分方程中的年齡當做一個固定的值，那么就由偏微分方程轉化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那么上述偏微分方程就變成了Verhulst模型。偏微分方程在實際生活中的應用也相當廣泛，物理學、生態學等多個領域的問題都可以通過建立偏微分方程來求解。
3結束語
常見的建立數學模型的方法范文4
【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A
【文章編號】0450-9889（2013）01B-
0032-02
數學課程標準強調“從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，使學生在獲得對數學理解的同時，思維能力、情感態度與價值觀等方面得到進步和發展”。由此可見，學生學習數學不能局限于教材內容，還應結合生活、生產實際，提高實際應用能力；而教師則應把培養學生的實際應用能力滲透在教學中，讓學生帶著生活經驗和所學知識走進數學活動，通過數學模型的建構和應用，獲得多方面的發展。
重視數學建模意識的培養和數學模型的應用契合新課程“三維目標”的要求，有助于突破學習數學就是“套公式計算題目”的觀念。下面談談在數學教學中培養學生建模能力的主要做法。
一、讓學生熟悉數學建模的步驟
對具體事物進行構造數學模型的過程稱為數學建模。如圖所示，通過數學建模來解決實際問題的過程大致由三個部分組成。
要讓學生了解數學建模，首先要讓學生明確數學建模的核心在于“兩個轉化”：把實際問題轉化為數學問題，把數學問題轉化為數學模型。生活中的數學問題，其實際背景中的數量關系往往比較隱蔽。初中學生生活經驗不豐富，又缺乏用數學眼光審視實際問題的能力，這是他們學習數學建模的難點。為了讓學生了解數學建模的步驟，更快地解決上述問題，在教學中可從以下四個方面去引導學生。
1.去粗取精：從大量的實際材料中選出具有數學意義的材料、數據，刪除與數學無關的內容。
2.由表及里：把選擇的數學材料用精確的數學語言、相應的數學符號表述出來。
3.以新換舊：把這些經過數學化的材料組成一個數學模型。
4.由此及彼：運用已學的數學知識對數學模型問題進行定性定量求解，用以解決實際問題。
二、讓學生了解建立數學模型的常用方法
建立數學模型的途徑和方法有很多，最常見的有五種：一是運用方程知識建立數學模型；二是運用不等式組與一次函數知識建立數學模型；三是運用三角函數知識建立數學模型；四是運用統計知識建立數學模型；五是運用幾何知識建立數學模型。讓學生了解建立數學模型的方法，能幫助學生提高通過數學建模去解決實際問題的能力。而要讓學生了解數學建模的方法，必須在數學建模實例中讓學生體驗選擇建模類型的數學環境。例如，實際問題中等量與不等量的關系猶如特殊與一般的關系，當問題面對確定的數量時往往建立方程（組）模型，面對數量變化趨勢進行決策時往往建立不等式（組）模型；當問題涉及的兩個變量之間的關系式不好直接寫出或遇到諸如“總運費最少、利潤最大”等決策性問題時，可通過建立函數模型，運用函數的相關知識來解決。
三、對學生進行數學建模能力的訓練
1.引導學生用數學方法去解決具體的實際問題
這種訓練目的是為了激發學生關注生活中數學問題的興趣，使學生加深對生活中數學問題的認識，學會用數學的眼光審視生活中的有關問題，提高實際應用能力。訓練的具體做法：
一是把學生感興趣的生活問題引入數學課堂教學，激發他們的學習興趣。例如，在2011年南非世界杯足球賽前夕，安排一節與足球運動有關的數學建模專題課，其內容包括門票銷售、最佳射門位置、足球在地面的投影面積、足球上黑白兩色皮的塊數等。這些問題不僅可以訓練學生的數學建模能力，而且還能極大地激發學生的好奇心和求知欲。
二是經常讓學生進行“查一查、算一算、看一看、想一想”的活動，使他們加深對生活中數學問題的認識。例如，讓學生看一看家里或公共場所里地磚的形狀，想一想為什么可以用正方形、正六邊形甚至可以用相同的不規則多邊形進行拼接。
三是組織學生開展“如果你是×××”的活動，強化訓練學生解決實際問題的能力。例如，讓學生解決“某賓館大廳有一高度為2.4米，坡度為30°的臺階，經理提出要在臺階上鋪設紅地毯。如果你是采購員，應采購多長的地毯？”“乒乓球拍每付20元，乒乓球每盒5元。兩家體育用品商店開展促銷活動，甲店決定顧客買任何商品都八折優惠，而乙店則采取‘購買一付球拍贈送乒乓球一盒’的優惠措施。班委決定購買球拍4副和乒乓球數盒（大于4盒）。如果你是體育委員，應選擇哪家商店購買？”這樣的實際問題。
2.引導學生把生活中的實際問題轉化為數學問題
這種訓練目的是為了培養學生去粗取精、去偽存真的能力，提高學生對數學材料的檢索能力。訓練采用的措施：
一是引導學生對教材中的材料和自己平時收集到的實際材料進行篩選，排除與數學無關的材料，用比較準確的數學語言、相應的數學符號、數學圖形把問題的主要意思表述出來。
二是指導學生把實際問題簡化為數學模型，使其中的相關元素呈現出來。例如“跳水運動員進行10米跳臺的跳水訓練，跳臺長3米，跳臺支柱在岸上距池邊1米，在跳某個規定動作時，該運動員在空中的最高處距水面10米，入水處距池邊的距離為4米，求運動員落到跳臺所在的平面時與起跳點的距離?！边@個實際問題，面對這么多數據，學生感到無從下手。教師引導學生，根據物理知識可知運動員身體（看成一點）在空中的運動路線是一條拋物線。然后以跳臺所在的水平直線為橫軸，運動員所站位置為原點建立平面直角坐標系，從所給條件中找到拋物線經過（0，0）點，最大值為，入水點坐標為（2，-10），由此可求出拋物線的解析式。實際問題就是求拋物線與坐標橫軸的交點。這樣通過建立函數模型，學生很快就解決了問題。
3.引導學生根據相關材料構造數學模型
這種訓練目的在于培養學生分析、推理、概括、推斷能力，使學生能根據相關材料構造數學模型。訓練采用的方法：
一是通過明確數量關系去建立模型。對方程、不等式類型的問題，著重指導學生明確問題中的等量或不等量關系。例如這樣一個數學問題：在“錘子、剪子、布”游戲中，李浩贏了21次，得108分，其中用“剪子”贏“布”7次。請用所學的數學知識求出李浩用“布”贏“錘子”、用“錘子”贏“剪子”各多少次。這道題中的等量關系有：用“布”贏“錘子”的次數+用“錘子”贏“剪子”的次數=21-7；用“布”贏“錘子”的得分+用“錘子”贏“剪子”的得分+用“剪子”贏“布”的得分=108。通過建立方程模型就能解決這個問題。
二是通過認識問題特征去建立數學模型。例如對“求代數式+的最小值”這個問題，在學生感到無從下手時，可提示學生：這個代數式的形式與我們學過的什么式子相類似？學生很快就會聯想到勾股定理和平面直角坐標系內任意兩點的距離公式。因此，可建立幾何模型，利用勾股定理構造直角三角形，原題轉化為求兩點之間的最短距離；或通過建立函數模型，把原題轉化為“求（x，0）點到（0，2）與（12，3）這兩點的距離之和的最小值”。通過這樣點撥，學生就能舉一反三，知道利用相應的方法建立數學模型去解決問題。學生一旦具備了數學建模意識和建模能力，就能激發出創新思維的火花。
常見的建立數學模型的方法范文5
下面結合本人教學實踐，談幾種常見數學模型的構建方法，與同行們共切磋.
一、方程與不等式模型
這類型的數學模型的構建，常以市場經濟為背景，或以環保、當前時事為載體，綜合各種代數知識考查分析、綜合與分類討論的能力.
例1國家為了關心廣大農民群眾，增強農民抵御大病風險的能力，積極推行農村醫療保險制度，某市根據本地的實際情況，制定了納入醫療保險的農民醫療費用報銷規定，享受醫保的農民可到定點醫院就醫，在規定的藥品品種范圍內用藥，由患者墊付醫療費用，年終到醫保中心報銷、醫療費的報銷辦法：
報銷比例標準不予報銷70%80%
（1）設某農民一年的實際醫療費為x元（500
（2）若某農民一年內自付醫療費為2600元（自付醫療費=實際醫療費-按標準報銷的金額），則該農民當年實際醫療費為多少元？
（3）若某農民一年內自付醫療費不少于4100元，則該農民當年實際醫療費至少為多少元？
評析解決本題關鍵是準確獲取圖表中的信息，抓住自付醫療費為2600元及不少于4100元，把生活中的問題轉化為數學問題――方程或不等式的模型，同時把實際醫療費分段進行討論.
解（1）y=710（x-500）(500
（2）設該農民一年內實際醫療費為x元，則當x≤500時，不合題意.
當500
答：該農民一年內實際醫療費為7500元.
（3）設該農民一年內實際醫療費為x元.
500+（10000-500）×0.3=335010000.
500+（10000-500）×0.3+（x-10000）×02≥4100，解得x≥13750.
答：該農民當年實際醫療費至少為13750元.
二、方程與函數模型
函數與方程是中學代數的重點，它主要以函數為主線，建立函數圖像及性質，相關知識的綜合，提煉并構建方程模型或函數模型.
例2通過實際研究，專家們發現：初中學生聽課的注意力指標數是隨著老師講課時間的變化而變化的，講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間的興趣保持平穩狀態，隨后開始分散，學生注意力指標數y隨時間x（min）變化的函數圖像如圖（y越大表示注意力越集中），當0≤x≤10時，圖像是拋物線的一部分；當10≤x≤20和20≤x≤40時，圖像是線段.
（1）當0≤x≤10時，求注意力指標數y與時間x的函數關系式.
（2）一道數學綜合題，需要講解24 min，則老師能否經過適當安排，使學生聽這道題時，注意力的指標數都不低于36？
評析此問題是發生在學生身邊的實際問題，先建立兩個函數關系式的數學模型，然后利用數形結合，運用待定系數構造幾個方程，使問題得到解決.
解（1）設0≤x≤10時的拋物線為y=ax2+bx+c，由圖像知拋物線過（0，20），（5，39），（10，48）三點，
c=20，
25a+5b+c=29，
100a+10b+c=48，解得a=-15，
b=245，
c=20.
y=-15x2+245x+20(0≤x≤10).
（2）設20≤x≤40時，直線解析式為y=kx+m，由圖像知直線過（20，48），（40，20）兩點，
20k+m=48，
40k+m=20，解得k=-75，
m=76.y=-75x+76.
當0≤x≤10時，令y=36，得36=-15x2+245x+20，
解得x1=4，x2=20（舍去）；
當20≤x≤40時，令y=36，得36=-75x+76，
解得x=2007=2847.
因為2847-4=2447>24，所以老師可以通過適當安排，在學生的注意力指標數不低于36時，講授完這道數學綜合題.
三、幾何模型
《新課程標準》理論指導下的基礎課程，在幾何內容的設置上，著重加強“幾何模型構建及其探究過程，培養應用能力”等方面的內容.因此，考查學生建立幾何模型解決問題能力的試題已日益受到中考命題專家的青睞和使用，此處不再舉例說明.
總之，數學模型的構建是解決問題的過程，也是一個實際問題轉化為數學問題的過程.在這一過程中，數學模型構建是關鍵，也是難點.解題時應注意：（1）仔細審題，理解實際背景材料和所掌握的信息，對問題作出簡化，并且提出假設.（2）數學模型的構建，將實際問題利用數學工具尋求有關事物之間的聯系轉化成為數學問題來解決.（3）求解數學模型與檢驗，從而得到實際問題的解答.
常見的建立數學模型的方法范文6
一、合情推理――數學發現的基本方法
合情推理是根據已有事實和正確的結論、實驗和實踐的結果，以及個人的經驗和直覺等推測某些結果的推理過程。在解決問題的過程中，合情推理為猜測、探索提供思路。
1.采用歸納法進行合情推理
歸納法是從個別事實概括出一般原理的推理方法。例如，在教學《圓的面積》時，教師首先呈現以下圖形供學生觀察后，設問：請根據圓與大、小正方形位置和大小的的關系，猜想圓面積的計算公式？
生1：圓的面積介于小正方形和大正方形之間。
生2：圓的面積介于2r2和4r2之間。
生3：估計是3r/2左右。
……
獲解原問題的方法。
2.通過特殊值法實現化歸
“特殊值法”，就是求解一個較一般數學問題遇到困難時，先考慮這個問題的一種特殊情況，找出一種簡單情形進行解決，利用特例的結論再來求解一般問題。
例如：求解甲比乙多1/7，乙比甲少幾分之幾？
一般解：根據條件乙為1，甲為1+1/7；先求乙是甲的幾分之幾？1÷(1+1/7)=7/8；再求乙比甲少幾分之幾，即1-7/8=1/8。條件和問題中單位“1”發生變化，相應甲乙所對應的數值也隨之變化，學生解答時往往會產生混淆，容易出現計算錯誤。
化歸解：根據條件，先假設甲為8，乙為7；再求乙比甲少幾分之幾？（8-7）÷8。用特殊值法解，在始終把握基本數量關系的前提下，使得復雜的數據換算得以簡單化。
3.通過語義轉換實現化歸
一個數學符號式子的最初意義或常用意義容易被固化，而在問題解決中，式子意義解釋的尋求和提取因環境而異，不同的問題環境會激活不同的意義解釋，不同的意義理解造成問題解決的不同思路和不同難度。
二、數學模型―――數學應用的基本方法
數學模型方法就是對所研究的問題構造出相應的數學模型，通過對數學模型的研究來解決原型問題的方法。從廣義的觀點看，數學概念、性質、法則、公式都是數學模型。從狹義的觀點看，解決小學數學中的具體的數學問題，特別是解答應用題都需要構建數學模型來解決。
1.數學概念（方法）的建立
數學概念建立或數學方法歸納的過程實質就是建立數學數學模型的過程。學生通過操作、比較、歸納、分析和綜合，在對對象的各個屬性形成較為清晰的表象后，教師引導學生將這些對象屬性進行剖析，將對象的本質屬性抽象出來，并將這種本質屬性概括到同類事物當中去，于是就形成關于對象的數學屬性的基本模型。
如數學活動課上，師生一起探討“在正方形四周植樹”的問題，學生活動后，組織交流。
生1：每個頂點栽一棵，一共需要：4×4-4=12 棵。
生2：頂點上的樹屬于其中的一條邊，這樣每條邊上的樹只有3棵，再用3x4=12 棵。
生3：先算每條邊中間植樹的棵數，2×4=8 棵，再加上頂點位置的4棵，也是12棵。
生4：把頂點上的4 棵樹分別屬于正方形上下兩條邊。這樣左右兩條邊只有2棵，列式為4×2+2×2=12 棵。
師：方法不同，列式不同，但殊途同歸，至少要栽12 棵。在解決問題的過程中，你覺得關鍵要注意什么？
生：就是頂點上的棵數不能多算，只能算一次。每條邊上樹的棵數×邊數- 頂點的個數。
師：如果在正三角形、正五邊形、正六邊形草坪四周植樹，每邊都要植4 棵，每塊草坪分別需要多少棵呢?小組選擇一個問題進行研究。
在以上教學過程中，教師先讓學生獨立思考，提出個性化的解決問題的策略，從多個角度，多種途徑進行解釋，理解在正方形四周植樹的計算方法。然后教師引導學生比較求同，在眾多表面上形態各異的思維策略背后蘊藏的共同的具有更高概括意義的數學思想方法，進而體會到解決問題的一般數學模型：“每條邊上樹的棵數×邊數- 頂點的個數?！痹谶@種思想方法的指引下，學生掌握了多邊形各邊植樹的計算方法。
2.運用數學問題的解決
解決數學問題的關鍵步驟就是通過分析數量關系，把題中的實際問題抽象成一個純數學的關系結構，從而構成數學模型,依據該數學模型固有的解決問題的策略進行運算。
三、數形結合―――數學理解的基本方法
數形結合是指將數（或量）與形（或圖）結合起來進行分析、研究、解決問題的一種思維策略，即根據問題的需要，把數量關系的問題轉化為圖形的性質和特征來研究，或者把圖形的性質問題轉化為數量關系的問題來研究，從而利用數形的辯證法和各自的優勢，得到解決問題的方法。
1.以形直觀的表達數
其實質就是抽象對象或關系的“可視化”，將抽象的東西“原型化”，有利于利用形象思維和直觀思維。
借助“形”的直觀建立數學概念。由于概念的抽象與概括性，教學時要向學生提供大量感性材料，而“形”的材料常常是最有效的。如在數小棒、搭多邊形中認識整數，在等分圖形中認識分數、小數；利用交集圖理解公因數與公倍數，等等。借助“形”的操作形成數學規則。讓學生明確規則的合理性、理解其推導過程的意義，不僅僅在于理解算理，更重要的在于學會學習，實現過程性目標。而數形結合能降低思維難度，讓學生有信心和能力歸納出法則。
借助“形”的啟發獲得解題思路。借助圖形解題的最大優勢是將抽象問題形象化。因為將數量信息反映在圖形上，能直觀表現數量間關系，從而獲得解題思路。尤其在解較復雜的應用題（如“種植株數”、“截斷”等）時，恰當選用線段圖、示意圖、集合圖等，是尋找解題途徑最有效的手段之一。
2.以數精確地研究形
