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博弈論在數學建模中的應用范文1
自80年代中期開始,博弈論的廣泛應用促使經濟學經歷了一次巨大變革,而且,目前這場變革還在加速進行。正如著名經濟學家泰勒爾所說：“如同理性預期使宏觀經濟學發生了革命一樣，博弈論廣泛而深遠地改變了經濟學家的思維方式?！辈┺恼撌菙祵W的一個分支，1951年納什和1953年的夏普里的文章都是發表在數學雜志上。但博弈論作為一種研究方法，在經濟學上的應用卻最為廣泛成功。經濟學是研究資源如何有效配置以達到或實現既定目標的一門學科。但從現代經濟學的發展來看，這種觀點將被另一觀點所取代：經濟學是研究人的行為，即研究理性人的行為。因此，現在當再翻開歐美名牌大學的微觀經濟學教材時，你會發現有近一半的內容已與八十年代末大不相同。博弈論在短短10余年對經濟學產生的如此深刻的影響是史無前例的。近年來,博弈論的思想和建模方法已滲透到了幾乎所有的經濟分析領域。而影響最大的便是微觀經濟學。甚至可以說成為微觀經濟學的基礎。1994年諾貝爾經濟學獎被授予納什、豪爾紹尼和澤爾滕三人,以表彰他們在博弈論的發展及應用中所作出的開創性貢獻。
博弈論研究決策主體的行為發生直接相互作用時的決策及決策均衡問題。1944年馮?諾伊曼與摩根斯坦恩合作出版的《博弈論與經濟行為》第一次系統地將博弈論引入經濟學中。到20世紀50年代,合作博弈發展到鼎盛期,非合作博弈也開始產生。1950年納什在《N人博弈的均衡點》、1951年在《非合作博弈》明確提出了“納什均衡”。奠定了現代非合作博弈論的基石。1965年澤爾滕首次將動態分析引入博弈論,提出了“子博弈精煉納什均衡”和相應的“逆向歸納法”。1967年豪爾紹尼把信息不完全性引入博弈分析,定義了“貝葉斯-納什均衡”,構建了不完全信息博弈的基本理論。隨后,不完全信息動態博弈得到迅速發展,1991年弗得伯格和泰勒爾定義了“精煉貝葉斯―納什均衡”。
將博弈思想引入微觀經濟學得到了一些相對獨立、體系完整的經濟學分支學科。其中,最引人矚目的是信息經濟學。它被譽為20世紀80年代以來微觀經濟理論中最活躍的領域。信息經濟學的核心是機制設計,即在給定的信息結構下,什么樣的制度安排是最優的。在傳統經濟學的分析方法中,對這種問題進行分析是非常困難的,某些方面甚至是不可能的。正是博弈思想方法的應用,為這種經濟現實的分析提供了新的分析方法和工具,由此,信息經濟學得以迅速發展并形成為一門適用性強、內容豐富、體系完整和邏輯嚴謹的獨立的經濟學分支學科?？梢哉f,信息經濟學正是博弈論的延伸和具體運用。
將博弈分析方法引入微觀經濟學徹底改變了微觀經濟學的面貌。在瓦爾拉斯世界,廠商視一組市場價格決定自己的產量,消費者根據同一組市場價格做出消費選擇;由于單個廠商或消費者的行為對市場價格的影響小到可以忽略,這些行為個體不必顧及別的廠商的成本函數或消費者的偏好結構即可做出自己的最優選擇。在這一模型中,一組有目共睹的市場價格披露了行為個體需要的所有外部信息;這組價格自動地將經濟調節到帕累托最優狀態,節約信息成本是完全競爭市場的一大優點。但是,在有別于(完全)價格體系的經濟環境中,缺乏一組均衡價格作為信息載體,情況會怎樣呢?正如前面所說,這依賴于具體問題中的博弈規則。在現實經濟問題中,體現博弈規則的可能是某種市場交易法則,或是某種工資制度,也可能是規定了各契約人義務和分配利益的一份文字契約,等等。經濟學家發現,某些情形下,雖然委托人不能直接了解人的私人信息,但是,他可以通過觀察對方一些公開的行為,推斷出這些私人信息――這即是示意性模型。在這類模型描述的特定環境中,雖然沒有象瓦爾拉斯均衡價格那樣直接的信息載體,經濟個體卻可以發掘某種間接的信息傳送渠道。在缺乏直接或間接的信息傳遞渠道的情形下,還可以通過改變博弈規則,構造信息成本最低的契約――顯然,這涉及尋求最優(或次優)的制度安排。
近年來一直處于理論前沿的經濟機制設計研究,正是沿著這個思路進行的。一般說來,實際中的機制設計問題會同時涉及道德風險和逆向選擇問題,但同時考慮這兩個問題是非常復雜的,經濟學家選擇分別處理它們。對逆向選擇問題的研究顯示,許多情況下即使設計最優的機制也只能達到次優的結果;但是,設計最優的機制一定可以通過一個使人吐露其真實信息的機制實現(顯示原理)。另一方面,道德風險模型的一個主要結論是,在一個包含不確定性結果的契約中,對委托人最好的分配制度,一般需要委托人與人共同分擔風險。機制設計研究框架已用來研究許多重要的實際問題,如制度選擇與資源配置效率、公司組織設計和激勵工資制度,等等。可以說,慎密的微觀分析已滲透到了我們所處的這個復雜的經濟系統中的每一部分――從市場的有效性到公共產品的供給,從現代企業制度的各種有關問題到政府在經濟中的作用等等。信息經濟學已經真正成為當今經濟分析的主流。
將博弈概念引入微觀經濟學使個體理性公理在經濟學中的地位達到了極致。博弈論研究的對象是理性的個體。在完全信息博弈中,理性的參與人的戰略空間和最終的支付結構被假定是公共知識。也就是說,每個參與人不僅要首先清理出自己和其他參與人所有可選的戰略來,他還得知曉各種情況下自己最終的收益;并且,其他參與人知道他掌握了這些信息……博弈論要求,每個參與人的信念是共同知識;并且,在博弈進行過程中,參與人會根據對過去事件的觀察,不斷地以貝葉斯法則來修正自己的信念。若說假設參與人自覺或不自覺地按貝葉斯法則的思想行事還有相當的現實基礎的話,參與人是否還能勝任貝葉斯公式的計算未免就太可疑了。
博弈論在數學建模中的應用范文2
關鍵詞：廣告競爭；微分博弈；策略
中圖分類號：F224.32文獻標識碼：A文章編號：1001-6260（2008）02-0115-08
一、導論
對廣告競爭的研究，實質上是分成三個層次的：（1）廣告花費對產品銷售的影響；（2）銷售額與廣告支出之間的反應關系；（3）廣告和銷售額的動態關系。在最優廣告策略的研究中，Sethi（1977）、Feichtinger等（1994）都給出了確定最優動態廣告預算的解。然而，大部分的研究集中在單個產品和壟斷市場的假設下，尤其忽略了競爭性市場環境下的研究。
因而，在過去的近四十年里，大量的學者將精力放在了微分博弈框架下的廣告競爭研究上。用微分博弈方法研究廣告競爭的優點，在于其基于博弈論觀點的決策過程和連續動態博弈理論的應用。微分博弈的理論基礎允許在決策過程中考慮對競爭者決策的預期。微分博弈的動態本質使得廣告策略的制定不僅僅要考慮當前的結果，還要考慮廣告決策的長遠意義。微分博弈分析為廣告策略的研究增添了動態和競爭的因素。
在眾多的微分博弈模型中，定量、解析、定性以及各種實證研究方法都被運用于包括動態廣告競爭在內的情形下。早期的很多研究集中于雙寡頭廣告競爭，而近年來的研究已經涉及到三寡頭甚至更一般化的寡頭競爭模型。然而從雙寡頭廣告競爭到多寡頭廣告競爭的擴展卻并不容易，因為那些在雙寡頭條件下行之有效的研究方法在更一般的壟斷情形下已不再適用，而發展新的研究方法還面臨一定的困難。
本文下面首先介紹其基本模型、主要的模型和模型的擴展，然后對這些模型的實證研究進行比較，最后介紹當前研究面臨的挑戰，并對此作一個評論。
二、廣告競爭與微分博弈模型
1．基本模型框架
假設每個競爭者都有凹的廣告反應函數，微分博弈包含狀態變量和控制變量。廣告競爭中的控制變量是指各個競爭者的廣告支出，即Ai,i=1,K，n；而競爭者的銷售水平Si（或市場份額Mi），i=1,K,n。則被解釋為狀態變量，其動態變化受廣告控制變量和現有的狀態變量水平的影響，另外也可能受時間變量的影響
假定競爭者們不能進行串謀，且每個競爭者都擁有與互動競爭相關的完全信息，因此能很確定地推測到競爭對手的最優策略，得到微分博弈的納什均衡解。所謂納什均衡解是指一個策略集，對每個競爭者來說，這一策略是在給定其它競爭者策略下的最優選擇。在微分博弈中，納什均衡解能夠通過下面的哈密爾頓函數（Hamilton函數）哈密爾頓函數源于物理中的動力學，應用到微分中是一種用以求極值的函數，其一般表達式為：H(t,x,p)，其中，t是時間變量，函數對P是凸的，但并不一定是線性的。，從方程（2）和（1）中解出：
開環和閉環是可供研究的兩種納什均衡。開環均衡策略只隨時間變化，而閉環均衡策略不僅是時間的函數，同時還是狀態變量的函數。對于開環策略，式（5）中動態約束右邊的累加項將消失。然而，開環策略并非子博弈完美均衡，因為這一策略不必對每個子博弈都構成納什均衡。如果不依賴初始條件，閉環均衡策略則是子博弈完美均衡（這種不依賴初始條件的閉環策略也被稱為“反饋”策略）。盡管在某些特殊情況下，式（5）中的累加項可以忽略，從而很容易研究問題的閉環策略，但一般情況下這些累加項并不會消失，這對閉環策略的確定帶來很多困難，因為其中涉及一些偏微分方程，且這些方程在大多數情況下無法解出。但是，當廣告模型只涉及一個狀態變量時，研究閉環策略時遇到的困難就可能被克服。例如，假定雙寡頭競爭市場中的市場容量固定，那么將其中一個寡頭的市場份額作為狀態變量，就可以應用閉環策略分析廣告競爭模型。
在現有的文獻中，有三種微分博弈模型的應用較多，它們分別是VidaleWolfe模型、Lancaster模型和擴散模型。下面分別介紹這三個模型。
這里，A1、A2是雙寡頭中兩個競爭者的廣告水平，M是競爭者1的市場份額。
VidaleWolfe模型和Lanchester模型其實很相似，后者經常被看作是前者在競爭性市場上的一般情況（Little，1979）。如果假設競爭對手的銷售額為（N-S），將式（6）除以N并將δ寫成一個競爭對手廣告的函數，則可以推導出式（7）。公司的銷售額（市場份額）的衰減可以視為競爭對手的廣告努力引起的。VidaleWolfe模型適合應用于壟斷行業，Lanchester模型是其在邏輯上的擴展，用于分析廣告競爭。正如Jrgensen（1982）所說，盡管早期的研究涉及很多模型，但主要集中在兩個重要的模型上，即VidaleWolfe模型和Lanchester模型。值得注意的是，在最近的研究中，Lanchester模型的應用更多。
4．擴散模型
在市場營銷中，比較受歡迎的銷售增長模型是擴散模型，由Bass（1969）建立：
?S=(a+bS)(N-S)(8)
擴散模型并不直接反映單個消費者的購買行為，而是反映購買和銷售增長的總體效果。模型中有兩個重要的參數：一個是外部影響因子，一個為內部影響因子（參數a和b的微觀意義的詳細說明請參考Chatterjee and Eliashberg，1990）。內部影響因子通常被解釋為口碑效應（wordofmouth），因為該模型認為未開發的市場受到已有市場消費者的影響。a和b都可以解釋為廣告的函數。一方面，廣告作為一個重要的外部消息來源會影響擴散過程；另一方面，廣告也可以通過引起消費者內部注意來影響擴散過程，如通過增強社會影響力。
5．閉環解和開環解
20世紀90年代以來的研究已經開始嘗試在實證背景下，利用微分博弈模型來檢驗動態廣告策略。特別是Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）、Erickson（1992）的兩項研究，通過將開環廣告策略同閉環策略進行比較，來檢驗哪種策略類型能更好地解釋軟飲料行業的兩個競爭者――可口可樂和百事可樂的廣告策略。兩項研究都假設以下形式的Lanchester雙寡頭模型：
其中: M是可口可樂的市場份額。Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）估計了式（9）的離散形式，并利用參數估計值模擬開環和閉環廣告策略，然后與可口可樂和百事可樂的實際廣告量進行對比。Chintagunta 和 Vilcassim（1992a）發現閉環廣告策略能更好地擬合實際廣告數據。Erickson（1992）估計了聯立方程的閉環廣告策略，并通過非嵌套替代模型的統計檢驗比較了閉環策略和開環策略。Erickson（1992）也認為閉環廣告策略比開環策略提供了更好的對實際廣告策略的解釋，并進一步估計了Lanchester模型的一般形式：
作為聯立方程系統的部分，方程（10）包含了競爭情形下的兩個啤酒公司AnheuserBusch和Miller的閉環廣告關系。
盡管這些理論提供了支持閉環廣告策略的實證證據，但閉環納什均衡仍然還是很難處理的。值得注意的是，上面提到的實證研究只有兩個競爭者，而且有固定的市場總容量，這些條件將問題限制在只有單一的狀態變量，即單個競爭者的市場份額的情形下。要將廣告競爭的研究進一步從雙寡頭擴展到更一般的寡頭壟斷，或者擴張的雙寡頭市場中，則需要多個狀態變量（各個寡頭競爭者的銷量或市場份額）。當涉及多個狀態變量時，無論從必要條件（1）、（4）和（5），還是從下列使用較頻繁的數值函數方法來推導閉環廣告策略，都包含對偏微分方程的求解，而這是一項或許可能但十分困難的工作。
因此，廣告競爭的微分博弈模型發展到這里遇到了挑戰。鑒于目前求解相關的偏微分方程還存在困難，要將微分博弈分析推廣到多寡頭競爭的研究中，只能發展一些避免推導閉環均衡的方法，如折衷或逼近的方法。下面簡述按這一思路得到的三種不同的方法，同時也是在寡頭競爭下的模型擴展。
三、寡頭競爭下的模型擴展
很多研究動態廣告競爭的微分博弈模型都僅限于兩個競爭者，即雙寡頭的情形，因此有必要從雙寡頭擴展到更一般的n個競爭者的寡頭壟斷分析。與此同時，由于閉環納什均衡相對于開環均衡具有一定的優越性，因此盡管在閉環的研究領域內發展廣告策略理論可能很困難，但仍是必要的。雖然微分博弈閉環納什均衡的條件不一定能完全滿足，但存在一些方法可以逼近這些條件。下面介紹三種逼近的方法。
1．兩階段決策
其中：gi是競爭者i的邊際利潤，wi1和wi2是其二次型殘值系數，殘值的二次型表達式使用的是非線性函數。競爭者目標函數中的殘值考慮了當期廣告決策帶來的未來收益，同時也體現了動態框架下最優化的本質。根據VidaleWolfe模型的離散寡頭壟斷形式，銷售量受到廣告的動態影響。
這樣，得到了納什均衡廣告水平的閉環形式表達式。通過這一模型對三個最大的方便食品制造商――Kellogg、General Mills和Post之間廣告競爭的實證應用，Erickson（1995）認為，每個競爭者的當期銷售都具有一定的未來價值。
3．動態推測變化
Erickson（1997）還提出了另一個不同的方法，在微分博弈分析框架下給出必要條件（5）的解釋。之所以在主變量動態約束的右邊有一個累加項，是因為對于閉環策略，競爭者被認為會對狀態變量的變化做出反應。為了避免處理偏微分方程的麻煩，Erickson（1997）建議將反應AkSj視為動態推測變化，如推測關于對狀態變量變化的競爭性廣告反應。用這種方法推導出的納什均衡廣告策略成為改進的開環策略，但是具有閉環策略的一些特點。在多寡頭Lanchester模型的背景下：
以上所述的三種擴展都試圖將廣告競爭的動態分析引入到多寡頭（兩個以上）壟斷的情形下，且都提出了突破微分博弈開環均衡缺陷且反映閉環均衡某些特點的方法。當然，每種方法都有其優點，也有其缺點。雖然Erickson（1997）的動態推測變化提供的納什均衡策略含有閉環的觀點，但是卻遭遇到開環策略的限制。Chintagunta和Vilcassim（1992b）的兩階段方法的有限期限、離散時間的特征和Erickson（1995）的單階段殘值方法擺脫了微分博弈分析框架，但給出的模型同樣能合理反映管理者對動態市場條件的反應。很顯然，如果沒有偏微分方程在數學上的突破，則有必要采取一些折衷的方法來研究寡頭壟斷廣告競爭。
四、實證研究
大量文獻采用實證方法來檢驗微分博弈模型對競爭廣告策略的估計準確性以及廣告與企業的銷售和市場份額的動態關系。
Erickson（1992）選擇了Lanchester模型對可口可樂和百事可樂公司、Anheuser Busch和Miller兩大啤酒公司進行了雙寡頭廣告競爭的分析。首先，研究發現閉環解的估計更符合實際。有趣的是，兩大可樂公司的廣告投入與市場份額存在著動態負相關，即當市場份額越大的時候，廣告投入越少。然而，兩大啤酒公司的情況卻不同，分析表明其廣告投入并不僅僅取決于市場份額。也就是說，存在著一個市場份額區域，在該區域中當Anheuser Busch的市場份額上升時，兩家公司的廣告水平同時上升。
Chintagunta（1993）研究分析了兩家在美國市場占有率達90%的藥品制造企業的廣告競爭策略，研究重點放在了對模型的各種參數設置和敏感性分析上。為了分析得更仔細，假設市場的總銷售量隨時間變化，且競爭者將市場占有率作為必爭之地，設置了三個不同水平的參數：（1）折現率；（2）廣告彈性；（3）廣告衰減指數。分別對這三個參數進行敏感性分析。研究還應用了最大平滑原則，從而用實證數據驗證了這一原則的可靠性。
Chintagunta和Jain（1995）則使用了改進的Lanchester模型，并且使用了方程組，把需求描述也包含進模型，對可口可樂和百事可樂、Anheuser Busch和Miller、兩家無名的醫藥公司以及P&G和聯合利華進行了實證研究。結果顯示閉環均衡解比開環解能夠能更好地解釋動態廣告競爭；同時，模型的估計結果顯示競爭廣告投入的水平是否單單取決于市場份額是一個模糊的結論。
Nguyen和Shi（2006）將Lanchester模型和擴散模型相結合研究并建立了分析市場規模和市場份額動態變化的模型。模型不僅采用了方程組的形式將需求包含其中，而且還采用了反饋廣告戰略，實證研究采用了美國兩大快速成像企業寶麗萊（Polaroid）和柯達（Kodak）1976―1985年的數據。研究也發現閉環解更好地擬合了實際的廣告投入數據；同時，由于考慮了市場容量的變化，發現在不同產品生命周期階段（即市場規模發生變化），擬合度的大小有所不同，而最接近真實值的是在產品生命周期最初的階段。在研究期的最后兩年里，寶麗萊和柯達的廣告競爭策略都是在固定市場規模的模型中有較好的擬合性。這有可能說明，快速成像市場在這一時期達到了飽和。
這些實證研究都是很具有價值的，因為就市場狀態對廣告決策的影響進行建模，將這些影響作為競爭者之間實證關系的一部分，不僅可以為廣告的需求效應研究提供豐富的空間，還可以從供給方面來考察這種影響對競爭性廣告所產生的作用。
五、評論和總結
正如Eliashberg 和 Chatterjee（1985）所說，對競爭的研究分析要求對競爭者的數量、相互競爭的本質，以及涉及到的競爭者的信息結構作一些基本的假定。總的來說，目前的很多研究都是建立在博弈分析框架下的。博弈論為研究競爭性廣告的互動本質提供了很好的分析框架。早期的研究都假定廣告競爭者同時做出決策，并擁有完全信息?；蛘咚麄兗僭O每個競爭者都對競爭本質有充分的了解，且了解其他競爭者的利潤結構，因此每個競爭者都可以推斷出其他競爭者的策略；同時，假定競爭者之間不能合謀，那么可以用博弈論中的非合作競爭和納什均衡理論來說明各廣告競爭者的策略。
后來的很多研究涉及到雙寡頭，也有涉及三寡頭的情況，近年來的研究已經擴展到更多競爭者的情況。但在大多數情況下，要同時分析很多競爭者的決策行為是很困難的，也是不可能的。與此同時，對少數企業之間競爭的研究也很重要，在這種情況下，每個企業的營銷活動相互影響，并且都能夠被其他企業察覺。尤其是在分析雙寡頭的情況時，要抓住直接競爭的基本特點，因為每個寡頭的情況肯定是不一樣的。嚴格的雙寡頭假設可能并不現實，但在社會經濟中可能有很多情況類似于雙寡頭，尤其是在廣告領域（如可口可樂與百事可樂）。
早期的博弈論在廣告競爭方面的應用著重于靜態模型。實際上，這種競爭可以看作一個動態模型，因為每個競爭者的廣告策略都隨時間改變。動態模型更可取是因為它加上了時間這個重要的尺度，同時認識到競爭者的策略并非一成不變。競爭性市場本質上就是動態的，動態模型也反映了這個基本的事實，可以深刻地洞察競爭性廣告策略。動態模型在時間上可以是離散的，也可以是連續的。連續型模型是對現實的一個真實反映，但是在應用時并不需要精確地界定數據時間間隔，且可以對廣告策略進行瞬時性調整，所以連續型模型應用起來不太方便。在連續模型中，為了從市場數據中估計出模型的參數，可以對時間進行分割，這樣一來連續型模型的實證研究就沒什么障礙了。廣告競爭動態模型中都有一個重要的問題，就是競爭者的廣告策略怎樣影響銷售額和市場份額的變化（即變量的微分過程）。因此，連續競爭模型一般都可視為微分博弈，其中一些關鍵的動態變量（如銷售額和市場份額）都可以假定為給定微分函數對時間的微分。
納什均衡的概念可以用來研究競爭性廣告策略。但是在微分博弈的框架下，求得納什均衡解并不是一個簡單的步驟。在開環策略中，競爭者在博弈開始時就約定好廣告支出的時間點，即使博弈參與人被要求在某個中間點重新考慮他們的策略，他們也不會做出改變。但是，如果這個約定不可行，那么開環均衡解還取決于初始狀態、狀態變量的初始值，因此這個均衡解不是子博弈完美均衡，即開環均衡并不構成在不同時間點開始的子博弈的均衡解。這個邏輯同樣也適用于受動態變量的初始值影響的閉環均衡情況。要達到子博弈完美，均衡解必須與初始狀態無關，也就是說，與初始狀態無關的策略是一個既定的反饋策略。
開環策略的一個重要缺點就是它一經確定就無法改變。開環策略不能根據某些條件, 如當時的市場份額進行修改。但是, 營銷經理確定自己的市場定位時, 一般不會忽略市場中的挑戰，從而制定自動控制的營銷策略。企業和品牌為了保持市場占有率，回應潛在競爭威脅的例子很多。另一方面，閉環均衡策略允許根據市場現狀做出調整，比開環均衡更加現實一些。需要指出的是，盡管閉環均衡是在微分博弈的假定下，但是并不能完全反映某些市場動態。比如, 競爭者根據其對手過去的行為來做出反應的能力。
計算閉環解的困難毫無疑問在于博弈論以及偏微分方程的發展遲緩。Case（1979）提出的方法對這一問題的解決具有啟發性的意義。Case（1979）認為均衡策略應該是狀態變量的靜態函數（時間不變），廣告隨系統狀態改變，卻不隨時間改變。但是靜態假設并沒有太強的限制，因為廣告策略隨狀態變量而變，而狀態變量又是隨時間改變的。Case方法的優越之處在于它對系統狀態的連續依賴。對于涉及一個狀態變量的微分博弈，只需要求解一系列的全微分，而不涉及偏微分函數。因此，這一方法成為分析雙寡頭市場中廣告競爭的基礎。
對于更一般的情形，可以考慮使用動態推測變化方法（Erickson，1997）。這一方法可以擴展到包含多個狀態變量的相關研究。競爭者對狀態變量的變化所采取的邊際廣告反應被視為各競爭者所做的推測，而動態推測變化策略依賴于競爭者認為其對手如何反應的信念?；趧討B推測變化的廣告策略可以像開環策略那樣計算出來，因此這種策略可以看成是開環策略根據競爭者的推測所做的調整。
在經歷了近四十年的研究后，動態廣告競爭的微分博弈模型領域已進入一個兼具吸引力和挑戰性的發展階段。近幾年來，該領域的研究又提出了一些新的命題。如：Prasad和Sethi（2004）在雙寡頭的動態博弈模型中加入了隨機擾動項來分析不確定性情況下的廣告競爭；Cellini和Lambertini（2003）采用微分博弈模型分析了古諾模型中兩個企業的合作廣告博弈和非合作廣告博弈所產生的社會福利，從而研究廣告中存在的溢出效應（正的外部性）；Benchekroun（2007）區分了廣告對商譽的影響，并且建立了一個商譽內生的微分博弈模型，在進行了動態的分析后，他發現了一個意想不到的結果：銷售量對商譽的敏感性增加會導致在均衡狀態的銷售量的減少。綜上所述，該領域的研究今后將集中在以下幾個方面：（1）對閉環解計算方法的進一步發展;（2）目前大部分文獻只涉及到雙寡頭市場的廣告競爭，對多寡頭競爭市場的研究還有廣闊的空間；（3）今后的研究將更為突出模型的隨機性和動態性；（4）過去的博弈只關注非合作博弈（即絕對的競爭情形），因而今后對廣告主之間合作博弈的研究也具有很大的發展空間。
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CAI Xijie CHEN Demian
(School of Economics and Management, Tongji University, Shanghai 200092)
Abstract: This paper presents a focused review of advertising competition based on differential game theory within the last four decades. It describes the analytical framework of differential game, specifies three popular differential game models in advertising competition and provides the extended models under oligopoly. Then it puts forward a review of relevant empirical researches. As a conclusion, this paper briefly comments these researches and illustrates the difficulties faced and the possible research perspective in the future.
