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高數函數有界性的判斷范文1
【關鍵詞】數形結合； 創設情境；思維活動
早在一百多年前，恩格斯曾對數學下了一個經典的定義“數學是研究現實中世界的數量關系和空間形式的科學”.而數與形是互相聯系，也是可以相互轉化的，把問題的數量關系轉化為圖形的性質問題，或者將圖形的性質問題轉化為數量關系問題，是數學活動中一種十分重要的思維策略，這種處理問題的思想就是數形結合的思想方法.這種通過數與形的相互轉化來解決數學問題的思想，實質上就是在解決數學問題時，使抽象思維和形象思維結合起來，實現抽象內容與具體形象的聯系與轉化，即學生理性認識過程是由表象的具體到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程.這正如著名數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休.”
數形結合是初等數學和高等數學中十分重要的數學思想，又是一種常見的數學方法，對此數學教育者在教學中經常引導學生創設“數形結合”的情境，力圖在這種結合中，尋找到解題的思想與方法，使一些題目的解決簡潔明快，為研究和探求數學問題開辟了一條重要的途徑，同時又有利于開拓學生解題思路，發展學生思維.
“數形結合”的方法一般來說可分為以下三種：
（1）將幾何論證轉化為代數計算的“坐標法（解析法）”；
（2）利用數（式）來研究形的“以數（式）輔形法”；
（3）利用形來研究數（式）的“以形助數（式）法”.
下面舉例分別加以說明：
一、坐標法（解析法）
湘教版普通高中課程標準實驗教科書《數學》選修2-1（理科）“2.5曲線與方程”介紹：借助坐標系研究幾何圖形的方法叫做坐標法，即借助于坐標系，用坐標表示點，把曲線看成滿
足某種條件的點的集合或軌跡.
如：（2004上海，文理11） 教材中“坐標平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內容體現出解析幾何的本質是.
答案用代數的方法研究圖形的幾何性質.
二、以數（式）輔形法
以數輔形就是把圖形的性質問題轉化為數量關系問題來研究，借助于數的精確性和規范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數作為手段，形作為目的.
1.點A（1，2）與點B（3，5）到直線l的距離分別為2，3的直線有2條.
分析此題可引導學生利用圓與圓的關系及其公切線的條數的知識，作圖立即可知有2條.再利用圖形只改變AB的長度，再來判斷其條數，或改變距離再判斷，來鍛煉學生的思維活動，達到舉一反三，開拓學生解題思路，培養學生的創新能力.
2.（2012年高考·福建卷·文21）如圖，等邊三角形OAB的邊長為83，且其三個頂點均在拋物線E：x2=2py，（p>0）上.
（1）求拋物線E的方程；
（2）設動直線L與拋物線E相切于點P，與直線y=-1相交于點Q.
證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點.
分析本題主要考查拋物線的定義性質、圓的性質、直線與圓錐曲線的位置關系等基本知識，考查運用求解能力、推理論證能力、數形結合思想、轉化與化歸思想、特殊與一般思想.
評析以數論形是解析幾何、坐標系與參數方程側重的手段，圓錐曲線的各種性質通過它的代數方程等數量關系來研究.在思考問題時，以敏銳的感知迅速提取有效信息，進行“由此思彼”的聯想，果斷、簡潔地解決問題，進而使思維的敏捷性得到培養. 如2011年高考福建卷·理17、21選（2），文18； 2012年高考福建卷·理19、21選（2），文21.
三、以形助數法
以形助數就是把數量關系轉化為圖形的性質來確定，借助形的生動和直觀性來闡明數量之間的聯系，即以形作為手段，數為目的.
如：求函數y=sinx2+cosx的值域.
一般的思路是：①把函數化為三角函數sin（x+φ）=2y1+y2（φ為輔助角）.②利用正弦函數的有界性解不等式2y1+y2≤1.③解不等式得原函數的值域-33，33.此題同學們若用代數的知識計算求解，則不但花費4～5分鐘而把學生的情緒搞得十分低下，倘若用如圖所示數形結合，則學生的自信心立即增強，思維活躍起來，從而思維能力得到開發與鍛煉.
分析由y=sinx2+cosx=sinx-0cosx-（-2），
其幾何意義為過點（sinx，cosx）與點（-2，0）的直線的斜率，即求單位圓上任意一點與點（-2，0）連線的斜率的取值范圍.
