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數學建模常用的算法范文1
中圖分類號：G642.3 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）08-0106-03
運籌學應用分析、試驗、量化的方法，對經濟管理系統中人、財、物等資源進行統籌安排，為決策者提供有依據的最優方案，以實現最有效的管理。該課程主要培養學生在掌握數學優化理論的基礎上，具備建立數學模型和優化計算的能力。本文提出一種新的教學改革思路，將運籌學和數學建模兩門課程合并為一門課程，即開設大容量交叉課程《運籌學與數學建?！穪砣〈哆\籌學》和《數學建模》兩門課程，采用案例教學和傳統教學相結合的教學方法，數學建模和優化算法理論并重的教學模式。這樣既可以避免出現極端教學和隨意選取教學內容的現象，又可以將新穎的教學方法與傳統方法相結合，按照分析問題、數學建模、優化算法理論分析及其方案制定、實施等解決實際問題步驟展開教學。下面就該課程開設的必要性、意義、可行性、注意事項及其存在問題等方面進行分析。
一、開設《運籌學與數學建?！氛n程的必要性
1.一般院校的運籌學課程的教學課時大約為64或56（包含試驗教學），所以教學中不能囊括運籌學的各個分支。一方面，由于課時量不足，教師選取教學內容時容易出現隨意性和盲目性；另一方面，教學中為強化運籌學的應用，消弱理論教學，從而導致學生對知識的理解不透徹，在實際應用中心有余而力不足。
2.運籌學解決實際問題的步驟是：（1）提出和形成問題；（2）建立數學模型；（3）模型求解；（4）解的檢驗；（5）解的控制；（6）解的實施。大部分教學只涉及步驟（3），即建立簡單數學模型，詳細介紹運籌學的算法理論，與利用運籌學解決實際問題的相差甚遠。因此，學生仍然不會應用運籌學解決實際問題，從而導致學生認為運籌學無用。
3.數學建模課程包含大量的運籌學模型；運籌學在解決實際問題的環節中包含建立數學模型步驟。目前兩門課程分開教學，部分內容重復教學，浪費教學課時。
二、開設《運籌學與數學建?！氛n程的意義
1.激發學生的學習動機，培養學習興趣。該課程包含數學建模和運籌學兩門課程的內容，內容容量大，教學課時豐富，教學過程中能夠以生產生活中的實際問題為案例，分析并完整解決這些問題，創造實際價值，使學生認識到該課程不但對未來的工作很重要，而且還有可以利用運籌學知識為企業或個人創造價值，改變運籌學“無用論”的觀念。從而激發學生的學習動機，產生濃厚的學習興趣。
2.合理處理教學內容。運籌學與數學建模的課時量相對充足，能夠安排更多的內容，能夠系統、完整地介紹相關知識，在一定程度上避免了運籌學內容安排的隨意性和盲目性。
3.促進教學方法改革。運籌學與數學建模的教學不再是簡單的數學建模和理論證明，教學內容豐富、信息量大，傳統的一支筆一本教案一塊黑板的模式不再適用，需尋找新的教學方法，促進了多種教學方法的融合。
4.培養學生綜合能力。實際案例源于社會、經濟或生產領域，需要用到多方面的知識，但學生不可能掌握很多專業知識。因而，在解決實際案例的過程中，需要查閱大量的相關文獻資料，并針對性閱讀和消化。而且，實際案例數據量大，需要運用計算機編程實現。因此，通過該課程的學習，可以提高學生多學科知識的綜合運用能力和運用計算機解決實際問題的能力。
5.改變教學考核方式。教學改革后，教學內容已延伸到運用優化知識解決實際案例的整個過程。教學過程中既有對實際案例分析、建模，又有算法介紹、求結果的檢驗及其最終方案的實施。因而，傳統的單一閉卷考試改為筆試和課后論文相結合的方式。
三、開設該課程的可行性
1.運籌學和數學建?；パa性、遞進性使得開設該課程在理論上可行。數學建模是利用數學思想去分析實際問題，建立數學模型；運籌學是利用定量方法解決實際問題，為決策者提供決策依據。由此可見，建立數學模型為運用運籌學解決實際問題的重要步驟。所以，運籌學可以認為是數學建模的進一步學習。同時，運籌學模型為數學建模課程介紹的模型中的一部分，并且運籌學處理實際問題的方法為數學建模提供了專業工具。因此，運籌學與數學建模在內容上是互補的。由此可知，開設該課程在理論上是可行的。
2.計算機的發展使得開設該課程在操作上可行。隨著計算機的發展，能很快完成大數據量的計算，實際案例的數據分析、數學建模及其求解能快速實現，從而使得該課程的教學工作能順利開展。
3.大學生的知識儲備使得開設該課程在基礎上可行。學習該課程的學生是高年級學生，通過公共基礎課和專業基礎課的系統學習，分析問題、解決問題的能力得到進一步提高。同時，運籌學和數學建模所需基礎知識類似，學習該課程所需的線性代數、概率論與數理統計、高等數學及微分方程等課程也已經學習，運用運籌學與數學建模知識解決實際案例所需的基礎知識已經具備。因此，開設該課程是可行的。
數學建模常用的算法范文2
【關鍵詞】變量回歸；灰色理論；神經網絡；遺傳算法
Comparative Study on Modeling Method of Book lending
CHEN Ying
（Henan Agricultural University，Zhengzhou Henan 450002，China）
【Abstract】This paper studies the predictive modeling principles and steps of multi variable regression， grey system theory， neural network and genetic algorithm， predict to law school of Henan Agricultural University library books borrowing model construction as an example， and the modeling process of four kinds of modeling methods were optimized and simplified analysis. With year lending books as sample data， forecast the loan amounts of two books in 2013， and compared with the recorded values， show that predictive genetic algorithm is more suitable for the library lending.
【Key words】Variable regression；Grey theory；Neural network；Genetic algorithm
0 前言
在信息社會，紙質圖書的流通頻率對構建學習型社會非常重要，一定周期內的不同類型的圖書借閱量反映了該社會公民的整體素養。借閱趨勢分析是圖書管理員的日常工作之一，通過對借閱規律分析，管理員能夠掌握師生的借閱興趣和研究狀況，各類圖書和期刊的采購數量和質量，達到更好的為師生服務的目的。建立恰當的數學模型能夠預測未來一定時間段內圖書的借閱規律，常見的借閱規律預測模型建模方法有以下幾種：多變量回歸分析法、神經網絡、灰色系統理論和遺傳算法等[1]。在上述方法中，多變量回歸分析方法是基礎，其它幾種方法都是基于該方法演變而來，是最通用的方法[2]。神經網絡算法也是數學建模中常用算法，該算法有很強的非線性擬合能力，可映射任意復雜的非線性關系，學習規則簡單，魯棒性、記憶能力、能力和自學習能力強大，但該算法沒能力來解釋自己的推理過程和推理依據，訓練模型的數據量龐大，計算過程容易造成信息的丟失；與神經網絡建模方法相比，灰色系統理論建模過程清晰簡單，模型穩定性比較好，但預測精度有待提高。遺傳算法屬于全局搜索算法，采用仿生學原理模擬自然進化過程擇優搜索，該方法適用范圍廣，在一定域內總能找到目標解，但模型容易“早熟”，難以到達最優解，屬于隨機算法[3-4]。本文對上述四種建模方法的建模過程進行分析，對數學模型的優缺點進行評價，為圖書管理員和圖書管理科研工作者提供一定的參考。
1 多變量回歸建模預測圖書借閱量
1.1 建模原理
回歸分析是一種分析變量之間關系的數理統計方法。對于待分析的數據和變量，雖然變量之間沒有確定的數學關系，但可以找出最能代表它們之間關系的數學表達式：數學模型。在圖書借閱規律研究方面，有兩方面的應用，一是根據師生以往和現在的借閱狀況，預測圖書將來的借閱狀況；二是對影響借閱狀況的原因進行分析， 找出哪些是重要因素， 哪些是次要因素， 這些因素之間又有什么關系等等。
1.2 建模過程
使用多變量回歸分析方法得到的圖書預測模型通常表示為時間變量的多項式，并利用最小二乘原理求得多項式的系數，主要求解步驟如下：
（4）計算擬合殘差，評估預測結果的可靠性。
2 神經網絡建模預測圖書借閱量
2.1 神經網絡建模原理
神經網絡建模的基本原理是：各種圖書歷年的借閱樣本數據通過模型的中間層作用于輸出層，經過非線形變換，產生輸出的模擬值，模型訓練的數據包括輸入矩陣和期望矩陣。模型輸出值和期望值之間的偏差量，通過調整輸入層與隱層之間的加權值、隱層與輸出層之間的加權值及閾值，使誤差沿梯度方向下降，經過反復學習訓練，確定與最小誤差相對應的網絡參數（加權值和閾值），訓練即告停止。此時經過訓練的神經網絡即能對類似樣本的輸入數據，自行處理輸出誤差最小的經過非線形轉換的信息。神經網絡模型結果如圖1所示。
圖1 神經網絡模型結構
Fig.1 The structure of a neural network model
2.2 神經網絡建模過程
（1）模型初始化。給各節點間賦予一個初始權值，一般可以設為（-1，1），設定節點間誤差函數e和計算精度ε，規定最大學習次數M。
（2）輸入樣本數據，計算各隱層神經節點的輸入和輸出數據值。
（3）利用模型的輸出期望和實際輸出，計算誤差函數對模型節點的偏導數δm（k）；計算隱層和輸出層對神經節點的偏導數δn（k）。
（4）利用神經節點的計算值修正節點間的連接權值。
（5）計算綜合精度，并判斷預測值是否符合要求。
3 灰色系統理論模型預測圖書借閱量
3.1 灰色系統建模原理
灰色系統模型預測，是指對系統行為特征的發展變化進行預測，對既含有白信息又含有灰色信息的系統進行預測。很多情況下，樣本數據中所顯示的信息具有隨機性，但隨機的信息中也包含了時序的特征，灰色模型預測就是利用這種規律來進行預測。當前使用比較多的灰色預測模型是一階微分的GM（1，1）模型。它是基于隨機的原始時序，經累加后所形成的新的時序，該時序的規律用一階線性微分方程的解來逼近。
3.2 預測模型建模過程
（3）預測方程精度評估。精度評估主要是對模型方程的預測值和樣本數據進行比較，計算預測殘差和數據間的相對誤差。
（4）預測實現。
4 遺傳算法預測圖書借閱量
4.1 遺傳算法建模原理
遺傳算法是本質上是一種尋優方法，該方法借鑒生命學上的生物優勝劣汰原則，不斷的擇優搜索系統解。該方法直接對待優化的系統進行求解，不需要對系統進行連續性限定和對系統求偏導數，因此在應用上更加靈活，并且有較強的全局搜索能力。能對所有的樣本數據進行優化處理，并且自適應的調整搜索的方向，在樣本數據的漸次迭代中找到最優預測解，而且得到的這個解象生物界的生命體進化那樣，有更強的適應性。
4.2 遺傳算法用于圖書預測建模過程
建模的過程參看流程圖2。
圖2 遺傳算法預測模型基本建模過程
Fig.2 Prediction model of genetic algorithm
5 實例分析和預測結果比較
5.1 借閱樣本數據
表1顯示的是河南農業大學文法學院圖書室2005～2012年間兩種圖書的借閱量。
表1 2005～2012年 兩種圖書借閱量
Tab.1 Lending condition among 2005-2012 years
5.2 不同建模方法預測結果比較
（1）表2顯示的是2013年的兩種圖書預測結果
表2 回歸分析法年借閱趨勢預測結果
Tab.2 Forecast results of year of variable regression
（2）表3顯示的兩種圖書的灰色模型預測結果
表3 灰色模型借閱趨勢預測結果
Tab.3 Forecast results of year of grey system theory
（3）表4顯示的兩種圖書的神經網絡模型預測結果
表4 神經網絡借閱趨勢預測結果
Tab.4 Forecast results of year of neural network
（4）表5顯示的兩種圖書的遺傳模型預測結果
表5 遺傳模型借閱趨勢預測結果
Tab.5 Forecast results of year of genetic algorithm
5.3 預測結果分析比較
從預測結果可以看出，遺傳算法模型的預測結果比較精確，絕對誤差和相對誤差都比較小，灰色系統理論模型的預測結果相對比較弱，神經網絡模型和回歸模型的預測結果介于二者之間?；疑到y理論是對數據進行逐次累加，找到數據間的線性規律，當原始數據間跳躍比較大時，這種疊加出的規律線性度并不明顯，所以預測結果比較弱。遺傳算法在每一步計算時，都要進行智能擇優搜索，而且對數據間的跳躍不敏感，所以在對這類數據進行處理和預測時，結果相對精確。神經網絡模型的精度和中間層的數量有很大的關系，對原始樣本數據量的要求也比較大，在不滿足上述條件時，預測精度比較弱，而回歸分析對數據的間的線性度要求比較高。
6 結語
本文分析了多變量回歸、灰色系統理論、神經網絡和遺傳算法在河南農業大學文法學院圖書室圖書借閱量預測模型構建方面的問題，對四種建模方法的建模過程和建模結果進行了分析。用部分圖書的年借閱量作為樣本數據，預測了2013年這兩種圖書的借閱量，并與記錄值進行了比較。比較得出了遺傳算法更適合于圖書室借閱量預測的重要結論。
【參考文獻】
[1]劉思峰，等.灰色系統理論及其應用[M].3版.科學出版社，2007.
[2]陳英，王秀山.基于灰色系統理論的農業院校院系紙質圖書借閱管理研究[J].科技視界，2003（3）：114-116.
數學建模常用的算法范文3
一、創新能力、數學建模的概念
1.創新能力的概念。創新能力主要是指利用已有的知識和經驗，在個性品質的支持下，新穎而獨特的提出問題、解決問題，并由此產生有價值的新思想、新方法、新成果。創新能力是抽象的，必須通過具體的、生動的數學活動去培養，那么數學建模能力就成為培養創新能力的一個載體。
2.數學建模的概念。所謂數學模型，是指對實際問題進行分析，經過抽象、簡化后所給出的數學描述，它是使用數學符號、數學表達式以及數量關系對實際問題簡化而進行關系或規律的描述。一切數學概念、各種數學公式、各種方程、各種函數關系、各種定理及各種理論體系等，都可稱為數學模型，因為他們都是從現實生活原型中抽象出來的。
二、數學建模的方法
創建一個數學模型的全過程稱為數學建模，即用數學的語言、方法去近似地刻畫該實際問題，并加以解決的全過程。數學建模的過程， 大致是用如下框圖來說明：
數學教學中，要使學生初步學會建立數學模型的步驟，提高學生應用數學知識解決實際問題的能力。
三、創新能力培養中數學建模的應用
1.直覺思維的創新能力培養中建模的應用。眾所周知，數學史上不少的數學發現來源于直覺思維，如笛卡爾坐標系、費爾馬大定理、歐拉定理等，應該說它們不是任何邏輯思維的產物，而是數學家通過觀察、比較、領悟、突發靈感發現的。通過建模，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等。
例：科技館里小明看見一臺三角形的儀器，如圖1所示，當一個小球從入口落下，它在依次碰到每層菱形擋塊會等可能的向左或向右落下。
（1）試問小球通過第二層A位置的概率是多少？
（2）請用學過的數學方法模擬試驗，并具體說明小球下落到第三層B位置和第四層C位置出的概率各是多少？
分析：有幾位學生在討論研究時，甲及丙生用畫樹狀圖的方法解決這一問題，結果算出來了，但太復雜；乙及丁生提出它的形狀象楊輝三角，能否用它來類比的解決這個問題嗎？他們共同研究發現小球所在的位置及它在下落時所經過這一位置的次數，這與楊輝三角的每一層的系數相吻合，總次數就是這一行的系數之和，很容易算出經過這三點的概率，如圖2；他們幾個又接著研究發現有一規律，并建立了新的概率三角，如圖3。
2.歸納和類比思維的創新能力培養中建模的應用。歸納和類比思維是數學上的一種非常典型的創新思維，著名的數學家拉普拉斯說過“在數學里，發現真理的主要工具和手段是歸納和類比?！倍蠖鄶禂祵W模型的建立、修改或改進，很多時侯都是依靠這種歸納與類比思維。在尋找模型求解的算法時，也常常用類比思維，利用相似的算法加以優化和改進而得到，有時甚至可以發現新的更好的算法。
分析：本題可以前幾項歸納出一般式，利用互為相反數兩數相加得0加以簡化。
3.化歸思維的創新能力培養中建模的應用。恩格思曾說過：“由一種形式轉化為另一種形式不是無聊的游戲，而是數學的杠桿，如果沒有它，就不能走遠?！庇捎诮＞褪前褜嶋H問題化歸成數學問題，因此，如果我們在數學教學中注重轉化，用好這根有力的杠桿，對培養學生思維品質的靈活性、創造性，以及開發智力、培養能力、提高解題速度是十分有益的。
例：（2009年四川省內江市）如圖，小陳從O點出發，前進5米后向右轉200，再前進5米后又向右轉200，……，這樣一直走下去，他第一次回到出發點O時一共走了（ ）
A. 60米 B. 100米
C. 90米 D. 120米
分析：本題可以化歸為構建多邊形
外角和模型的應用問題?！敬鸢浮緾
數學建模常用的算法范文4
關鍵詞：數學建模；創新能力；大學數學主干課程
中圖分類號：G642.4 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）07-0158-03
大學生數學建模競賽不僅能培養出具有創新能力的學生，也能一定程度上提高教師的教學和科研水平，而且最重要的是它能直接推動大學數學的教學改革。教育部高教司對我國大學生數學建模競賽活動的主要指導思想之一就是“擴大受益面、推動教育改革”。開展數學建模教育，可以推動大學數學教育改革。開展“在大學數學教學融入數學建模、數學實驗的思想和方法，培養學生的創新能力”課題的研究和實踐，就是擴大數學建模受益面的一個重要探索。本文研究對在大學數學教學融入數學建模、數學實驗的思想和方法的必要性，相應的融入手段，以及在融入過程中可能遇到的困難和解決辦法等進行了論述。
一、數學建模思想融入大學數學的教學中的必要性
1.數學建模幾乎是一切應用科學的基礎。數學在科學中的一個重要作用就是能夠使人們對事實上是相當混亂的東西進行適當的理想化，抽象出概念與模型，從而解決實際問題。在解決復雜科學技術問題時，數學建模的方法能使人們設計出最佳和可行的新技術方法、手段，以及預測新的現象等。數學建模及相應的計算也正在成為工廠里常用的主要工具。Charlies R. Mischke指出：學生一般都并不確信大學所開設的所有課程是否真能培養他們的創新能力。他們對學習漸漸失去興趣，原因之一就是缺乏讓學生了解大學教育進程安排的合理性。工程專業課程強調的基本都是專業方面的問題。而實際用來進行教學、組織和應用的工具卻是數學模型。但不幸的是，專業教師很少花時間來講授不涉及專業方面的建模過程本身。所以將數學建模的思想和方法融入大學主干數學課程教學中是具有現實的必要性。
2.當前數學教學的問題。傳統的數學教學和考試可以很好地檢查學生對所學數學知識的概念、定理和方法等的掌握情況，但缺乏對學生的應用數學的能力和創新能力進行考察。因此，在大學數學教學和考試中融入數學建模思想和方法非常必要。傳統的大學數學教育已不能有效地激發廣大學生的求知欲和激情，不能有效地培養學生的創新意識和創新能力。在現實的大學數學教學活動中，學生常常陷入前所未有的困惑之中，投入大量的精力，做了大量的習題，卻絲毫感受不到“數學”有何作用，老師也拿不出鮮活的例子來使學生信服數學的用處。一大半學生認為大學數學的教學內容是沒意義的，并且認為無意義的最大原因是和實際沒有聯系，學生最常問老師的問題就是“高等數學有什么用？”“線性代數有什么用？”等問題。
二、數學建模思想融入大學數學的教學中的具體措施
在大學數學的教學中融入數學建模思想主要是要讓學生明白大學教育進程安排的合理性，以及數學的重要性和廣泛應用性。但還是必須明確要以數學主干課程為主，建模思想培養為輔的指導思想，最主要的目的還是促進學生更好地學習和掌握大學數學主要內容、思想和方法。要建立一套恰當的數學建模思想融入大學數學教學的具體措施。首先必須弄清楚數學建模的具體過程以及我們大學數學教學的內容和思想。數學建模過程一般分為下面幾步：①對實際問題進行觀察、分析，進行必要的抽象、簡化（抓住要點），確定模型建立中的變量和參數；②根據已知的各學科中的定律，甚至是經驗等建立變量和參數之間的數學關系，這實際上就得到了明確的數學問題；③求解該數學問題。大部分情況是沒有辦法得到解析解，而只能得到近似解。這往往涉及復雜的數學思想、理論和方法，以及近似方法和算法；④得到的數學結果是否能解釋或預測實際問題中出現的現象，或用歷史數據、實驗數據或現場測試數據等來驗證模型是否恰當；如果模型是恰當的，那么就可以試用；如果是否定的，那就要進行仔細分析，重復上述建模過程，不斷調整、最終得到恰當的數學模型。大學數學的特點是的抽象的思想、嚴謹的邏輯推理和廣泛的應用，也正是由于它的抽象和嚴謹，使得其成為我們將其他學科量化的一個有效的工具。它與許多其他學科的本質區別在于它抽象地反映了現實世界里各種對象及其變化在數量方面的一般規律，它能夠把一個學科的思想經過抽象、推理和提煉得到的結果用到別的學科，從而具有廣泛的應用性。將數學建模思想融入大學數學的教學的具體方法。
1.具體的切入點。①經驗建模——在所收集數據中提煉事物發展的趨勢；②講授一些實際問題及相關數學模型：人口模型、管理模型、抵押貸款模型、傳染病模型、減肥模型等等。在現有教材中已經講解了所涉及的數學內容，但如果從分析具體問題到建立數學建模的過程來學習的話，不僅能激發學生的學習興趣和積極性，而且還能使其能在學、做而后知不足，從而誘導學生進一步學習數學。
數學建模常用的算法范文5
由清華大學吳文虎、王建德編著的《世界大學生程序設計競賽(ACM/ICPC)高級教程 第一冊 程序設計中常用的計算思維方式》(以下簡稱《計算思維方式》)就是針對世界大學生程序設計競賽(ACM/ICPC)而編寫的參考書,該書面向參加ACM/ICPC的高等院校學生,也可作為程序設計愛好者的參考用書。同時,也向講授程序設計及相關課程的教師推薦此書,建議認真一讀。
1ACM/ICPC
ACM/ICPC是高等院校計算機教育成果的直接體現,是大學生展示水平與才華的大舞臺,也是IT企業與世界頂尖計算機人才對話的最佳機會。因而,ACM/ICPC吸引了越來越多的高校參賽,使得參賽隊伍的水平上升很快,賽題的難度也在不斷提高。
每年度的ACM/ICPC賽事從當年9月份開始,先進行各大洲各地區的預選賽,從上千所高校的幾千支隊伍中挑選出幾十支優勝隊伍。讓這些百里挑一的隊伍在下一年春天參加總決賽,爭奪金銀銅獎和世界冠軍的獎杯。參賽選手由三人組成,一隊共用一臺計算機。這項賽事與中學生的信息學奧林匹克競賽既有聯系又有較大區別,被稱為大學生的信息學奧林匹克。以2008～2009年度的ACM/ICPC為例,這是第33屆賽事,有1838所大學的7109支隊伍參加分區賽。經過第一階段的預選賽,共有100支隊伍取得決賽資格,于2009年4月18日―22日在瑞典斯德哥爾摩舉行全球總決賽。
參加ACM/ICPC的選手需要具備很強的數學建模功底、廣博的算法知識、超強的編程能力以及團隊的合作與協同能力。ACM/ICPC的勝負規則是:答對題目數量多者占優;在兩個隊解題數量相同的情況下,總用時最少者占優,因此解題速度非常關鍵。如果比賽一開始就能迅速找出競賽中相對簡單的題目并盡快加以解決,隊伍的成績排名就會占有優勢,心理上的壓力也會小些。相反,一開始就沒有選好題,或者所寫的程序總有這樣或那樣的錯誤,要花很多時間去調試排錯,就會浪費寶貴的時間,處于下風。
在這種你追我趕的激烈賽場上,比的是誰做得又快又好。競賽過程中第一個重要的環節是看題、審題和選題。一開始就選對題,一下子就切入主題是十分重要的。有時第一個環節遇到陷阱,“馬失前蹄”,就會導致一籌莫展而步步落后。能否在第一環節占上優勢取決于實踐能力和洞察力,而實踐能力與洞察力的提升需要實戰,需要經驗,需要學懂計算思維方式和解題策略。
參加ACM/ICPC活動,在與編程高手過招的過程中,可以把知識運用的綜合性、靈活性和探索性發揮到極致,體驗和感受數學思維與算法藝術之美,提升科學思維能力。
2“觀察―聯想―變換”思維方式
計算機解題的核心是算法設計,而算法設計需要具備良好的數學素養。數學具有運用抽象思維去把握實際的能力,應用數學知識去解決實際問題時的建模過程是一個突出主要因素的科學抽象過程。進行抽象和形式化需要學習和掌握常用的計算思維方式。
科學思維能力的提高是成就事業最重要的因素之一,本書作者希望能在這方面對讀者起到幫助作用。
編程解題的一般思維方法或過程,可以概述為“觀察―聯想―變換”,即通過對問題的觀察,認識和理解該問題;然后通過聯想,尋找該問題同已有知識和經驗之間的聯系;最后通過變換,把該問題轉化為另一個或幾個易于解決的新問題,最終達到解決原問題的目的。
“觀察”是人類認識客觀事物的基本途徑,就編程解題而言,“觀察”是“聯想”和“變換”的基礎。一般地說,通過觀察應當明確:求解的對象是什么;是枚舉方案還是回答哪個存在性問題;已知的條件(包括隱含條件) 是什么;能否用遞推公式、遞歸公式、約束規則或狀態轉移方程把問題的條件、結論和求解途徑表示出來;問題所涉及的這些計算式子各有什么特點等。
“聯想”是由某種對象而引出其他相關對象的思維形式。就編程解題而言,“聯想”的目的在于為“變換”提供可能的方向或線索。一般地說,在“觀察”的基礎上,通過聯想應當明確:以前是否解過這類試題;是否解答過與其類似而又稍有不同的試題;是否解答過與其有關的問題;能否利用解答這些問題時所使用的解題方法或所得到的結果;能否回憶出某個可能用得上的定理、公式或解題思路;為了能利用它,是否應當改變條件或結論的表現形式等。
“變換”是編程解題的基本手段。在“觀察”和“聯想”的基礎上,有目的地對問題實施“變換”,把原問題轉化為另一個或幾個易于解決的新問題,這是編程解題成功的關鍵。為此,變換時,應當遵循如下三條基本的思考原則:熟悉化原則、簡單化原則以及和諧化原則。
3程序設計的常用思維方式
為了使讀者對“觀察―聯想―變換”的思維方法和過程有一個比較全面深入的了解,本書歸納了大賽程序設計中六種常用的思維方式,主要包括正確認識和處理整體與部分的關系、構造性思維、目標轉化的思想、分類與分治思想、逆向思維、猜想與試驗六個章節,旨在引導參賽學生學習并掌握編程解題的一般思維方法和過程,提高解題能力。
在“觀察”上,提出了整體與部分的思想,包括:
(1) 整體實現的關鍵是準確地應用必要條件。
(2) 整體思考的一個重要角度是“守恒”,即尋找變化中的不變量。
(3) 提高整體實現效率的途徑是“充分利用有效信息”和“壓縮冗余信息”。
(4) 改善整體的性能狀態的基礎是處理好細節問題。
在“聯想”上,提出了逆向思維和猜想與試驗,分析了“執果索因型”的逆向思維和“由反及正型”的逆向思維;探討了四種聯想方式:相似聯想、歸納聯想、從數與形的結合上聯想和“回到起點”重新聯想。指出猜想是在深入分析問題的基礎上,不懈探索、反復修正的過程。
在“變換”上,提出了構造性思維、目標轉化思想、分類與分治思想。構造性思維包括建立模型的機理分析法和統計分析法;建模過程注意應用序關系;選擇模型時必須權衡四個因素:“時間復雜度、空間復雜度、編程復雜度和思維復雜度”。目標轉化思想包括縮小目標的“降維”思想和放大目標的“升維”思想;分類與分治思想包括應用于一般有序序列的“二分查找”;應用于退化了的有序序列的“二分枚舉”;應用于無序序列的“二分搜索”;應用于多維情況的“多重二分”。
在實際編程解題時,“觀察”、“聯想”、“變換”等思想活動總是互相聯系、互相影響、互相交織地進行著,形成了一個有機的整體。本書列舉的六種思維方式是互相滲透的,章節劃分主要是依據各種思維方式的主要特征進行分類,同時也是為了敘述的方便。當然這六種思維方式并沒有、也不可能窮盡編程解題過程中的所有思維活動,它只不過是列舉了常用的一些思維方式,為“觀察―聯想―變換”的思維活動勾勒出一個基本輪廓,為讀者留下學習、探索和再創造的空間。
4本書的體例結構
本書介紹的內容豐富而深入,所采用的敘述結構大致如下:
思維方法1 (1～6)
知識點1
經典例題1
思路點撥
解題思路分析
算法1
算法分析
程序實例
算法2
……
經典例題2
……
小結
知識點2
……
思維方法2
……
書中選擇了大量的經典例題,這些題目對于豐富程序設計課程教師的教學案例也很有幫助。所選取案例大都具有一定的趣味性,有助于提高讀者的閱讀和實踐練習的興趣,提高實踐效果。因此,可以說,雖然本書的編寫主要針對ACM/ICPC,但對于高等院校程序設計教學水平的提高,促進程序設計教學質量和教學改革發展具有積極的意義。
本書各個知識點的“小結”內容是很值得推薦閱讀的部分,作者以精準的語言扼要地概括了本部分的知識內容,仔細閱讀和認真思考,將起到事半功倍的效果。
5圖書相關信息
書名:《世界大學生程序設計競賽(ACM/ICPC) 高級教程(第一冊) 程序設計中常用的計算思維方式》
作者:吳文虎王建德編著
ISBN:978-7-113-10134-3/ TP3344
頁數:278
定價:42.0元
出版社:中國鐵道出版社(計算機圖書批銷部)
北京市宣武區右安門西街8號
郵編:100054
責編:秦緒好
裝幀:精裝
出版年:2009-7
6主要內容(目錄)
第1章正確認識和處理整體與部分的關系
1.1整體實現的關鍵是準確地應用必要條件
1.1.1選擇有助于簡化問題、變難為易的必要條件
1.1.2合成必要條件,從整體結構上優化
1.1.3必要條件與原有模型比較,更新算法
1.2整體思考的一個重要角度是“守恒”
1.2.1從具體問題中抽象出守恒量
1.2.2根據問題的本質構造守恒量
1.2.3在交互問題中構造變化中的不變量
1.3提高整體實現效率的基本途徑是“充分利用有效信息”和“壓縮冗余信息”
1.3.1計算過程中充分利用有效信息
1.3.2通過“壓縮法”消除冗余的圖形和數據信息
1.4改善整體性能狀態的基礎是處理好細節問題
1.4.1必須解決導致錯誤結果的細節問題
1.4.2爭取降低算法時間復雜度的階
1.4.3注意降低算法時間復雜度的系數
第2章構造性思維
2.1模型的基本概念
2.1.1模型的一般特點與功能
2.1.2模型的一般分類
2.1.3模型與信息原型間的關系
2.2建模的一般方法
2.2.1建模的機理分析方法
2.2.2建模的統計分析法
2.3建模的一般思維方式
2.3.1直接構造法
2.3.2分類構造法
2.3.3歸納構造法
2.4在建模過程中注意應用序關系
2.4.1在交互式問題中應用序
2.4.2利用典型的“序”關系簡化問題
2.4.3尋找蘊涵在題意中的序關系
2.5模型選擇
第3章目標轉化的思想
3.1“降維”――縮小目標
3.1.1引入“降維思想”
3.1.2高維降為低維
3.1.3一般降為特殊
3.1.4抽象降為具體
3.1.5整體降為局部
3.1.6簡化數據關系
3.2“升維”――放大目標
3.2.1讓步假設
3.2.2倍增思想
第4章分類與分治思想
4.1應用于一般有序序列的二分法
4.1.1在給定的序列中“二分查找”
4.1.2在交互式問題中應用“二分插入”
4.2應用于退化了的有序序列的“二分枚舉”
4.2.1用二分枚舉求可行方案
4.2.2用二分枚舉求最優性問題
4.3應用于無序序列的“二分搜索”
4.3.1在“二分搜索”的基礎上構造可行解
4.3.2在“二分搜索”的基礎上構造最優解
4.4應用于多維情況的“多重二分”
第5章逆向思維
5.1執果索因型逆向思維
5.1.1設置結果參數,逆向搜索
5.1.2從目標狀態出發逆向規劃
5.2由反及正型逆向思維
5.2.1割補法
5.2.2在統計問題中應用補集轉化
第6章猜想與試驗
6.1相似聯想
6.1.1與熟悉的問題類比
6.1.2與特殊的問題類比
6.2歸納聯想
6.2.1歸納聯想的理論基礎
6.2.2歸納聯想的實際應用
6.3從數與形的結合上聯想
6.3.1在數值計算中聯想“以形助數”
6.3.2在幾何計算中聯想“以數助形”
6.4 “回到起點”重新聯想
7推薦指數
推薦同行閱讀指數: (注:以為最高。)
這是ACM/ICPC高級教程的第一冊,我們期待著后續教程的盡早面世。
8作者簡介
吳文虎,1955-1961年分別就讀于清華大學電機工程系及自動控制系。清華大學計算機系教授、博士生導師,原國際信息學奧林匹克中國隊總教練。主要研究方向包括語音識別及語言理解、語音合成、語音信號數字處理等。
吳教授學術水平精湛、教學水平高超、教學經驗豐富。從1989年至今,吳教授作為總教練和領隊,曾15次帶領中國隊參加國際信息學奧林匹克競賽,中國隊累計獲金牌51塊,屆屆名列前茅,2002年獲信息學奧林匹克國際委員會頒發的“特別貢獻獎”。1997年～2008年,吳教授連續13年指導清華大學的學生進入ACM世界大學生程序設計大賽總決賽,多次獲金、銀牌,并于2009年被大賽組委會授予“杰出教練獎”。
數學建模常用的算法范文6
關鍵詞:數學建模 數學建模競賽 大學綜合素質
中圖分類號: G642文獻標識碼:A 文章編號:1007-3973(2010)06-157-02
自從1995年我校首次組織學生參加全國大學生數學建模競賽工作以來,不知不覺我在數學建模教學與競賽工作已有16年。在校、教務處、理學院的領導下, 通過全體教練在教學上不斷探索和共同努力, 取得了優異的成績, 共獲全國一等獎26項,全國二等獎49項,浙江省獎項多項,2006年至今共獲美國特等獎1項,一等獎9項,二等獎16項。取得了省參賽高校與全國同類高校中的優異成績。通過十幾年來的教學與競賽活動, 我感觸很多, 現有如下一點認識與體會。
1數學建模教學及意義
數學建模是就是應用建立數學模型來解決各種實際問題的方法,即就是通過對實際問題的抽象、簡化,確定變量和參數,應用某些“規律”建立起變量、參數間的確定的數學模型,并對數學模型求解,解釋、驗證所得到的結論,從而確定能否用于實際問題的多次驗證、循環并不斷深化的過程。它作為聯系數學與實際問題的橋梁,是數學在各個領域廣泛應用的媒介,是數學理論知識和應用能力共同提高的最佳結合點,在培養學生過程中,數學建模教學起到了啟迪學生的創新意識和創新思維、培養綜合素質和實踐動手能力的作用,是培養創新型人才的一條重要途徑。
2數學建模教學內容和方法
數學建模教學的根本宗旨是學生能力的培養和綜合素質的提高, 而能力和素質的培養應以知識及教學活動為載體, 同時須輔之以相應的教學內容和方法。由于數學建模課程教學不同與其它數學類課程,其主要特點:(1)數學建模的主要“載體”是一個個的具體問題, 這些具體問題大多是各領域的實際問題或是它們的抽象和簡化。(2)數學建模的問題涉及各個領域, 且均有一定的深度和廣度, 并非單靠數學知識和某些專業知識就能完成, 但如果不具備數學知識和相關的專業知識是根本無法建立數學模型的; 而且即使已建立起的模型, 單靠某一學科的知識往往不可能得到滿意的模型解?？偠灾? 數學建模常常需要跨學科跨專業的多學科多專業知識的綜合施用。因此,我們必須處理好書本知識與實際問題的關系,數學知識與其它相關知識的關系。
我校自1995年開設數學建模課程以來,根據實際需要,課程設置不斷得到改革,目前課程組面向全校開設了多種不同課時不同程度要求的數學建模系列課程,包括數學實驗以及課程設計等實踐性環節。課程設置滿足了不同專業學生的多樣化需求和大量學生學習數學建模的大眾化需求。根據我校特點,我們將數學建模課程的目標定位為“學習數學建模的常用基礎知識和基本方法,培養學生綜合素質、團隊精神和實踐能力,努力提高學生研究性學習和創新性應用能力”。 根據這樣一個目標定位,在教學安排上注意基礎知識的寬泛性,建模訓練的應用性,教學方法的研究性。課程教學內容分為四大模塊。(1)常用的數學方法講解,如運籌學中的規劃論、圖論、組合優化、排隊論等,概率統計與馬爾可夫過程、層次分析,常微分方程,還有計算方法等等。當然我們不可能把這些內容面面俱到地細講,只是擇其要義,把最基本最有用的一些思想與方法展示給學生,讓學生知道一些基本思想,同時知道何處可以找到何種方法用于解決何種問題。余下的問題則由學生自己去解決。本模塊教學時數在各個不同層次分別為20到40學時;(2)建模分析,這一塊除了歷年競賽模型外,還從教師自身的科研課題以及大量的科技雜志上精選加工了為數不少的建模案例,讓學生初步明白用數學方法解決實際問題的一些基本方法。這里有的是老師講解分析,有的則是讓學生先讀后講,即讓學生先去嘗試著對所給問題建模并給以解決,然后向大家介紹他所用的方法,并讓大家討論,最后老師作簡要總結或補充。這種教學方式是完全區別于傳統的教學方式的,也是數學建模課程最具特色的內容之一(時)。(3)數學軟件的使用以及計算機編程能力的培養,這一模塊可以穿插在前兩塊的過程之中,也可以數學實驗課的形式得以體現。若以實驗課形式出現,則根據各個層次的不同,學時為17學時(課程配套的課內實驗)到33學時(獨立開設的數學實驗選修課)。以上三塊內容互相補充,互為依托,彼此間也沒有一個明確界限,每一塊內容,也沒有明確的范圍限制,尤其是第二大塊,我們幾年下來,可以說每年的教學內容都有較大的更新。而數學建模也正因為此而使得它對于師生兩方面都是極具挑戰性。(4)在前面三塊的基礎上,再配以實踐性教學環節的設計,該環節中學生分成3人一組,要求學生根據教師提出的實際問題進行充分討論,廣泛查閱有關資料,提出各自的觀點及模型雛形,寫出對應的論文梗概,然后在班上進行討論。
通過學習要讓學生學會數學建模的思想,即在理解問題的基礎上,將具體問題總結歸納提煉為一個數學問題,并設計出一整套求解方法來加以求解。難點是能夠使用的數學方法涉及面太多太廣,作為一個本科學生,尤其是我校這樣地方性普通學校的學生難以在短期內接受。針對這個難題,我們采用基礎知識和案例教學相結合,理論教學和上機實踐相結合,教師講課和學生自主練習相結合,教師引導和學生收集資料,探索討論相結合,學生報告加教師點評相結合的方法,較好地解決了這個難題。十余年的教學實踐證明,經過我們以這樣一個模式培養的學生已經初步具備了從實際問題,到數學方法,到計算機編程實現并最終解決問題的基本能力,這一點不僅從我們的學生在歷年的競賽中均取得良好的成績中可以得到驗證,而且從畢業設計,指導“新苗人才計劃”、“創新杯”等科研活動,學生就業,及研究生學習中充分體現。
3數學建模教學與競賽關系
從我校數學建?；顒訉嵺`說明,數學建模競賽推進了數學建模教學課程化,數學建模課程教學為競賽活動開展打下了基礎,同時開設數學建模課程的目的也轉向了競賽與普及相結合,以提高大學生的綜合素質和實踐能力作為一個重要目標。我校最初開設選修課是因為參加數學建模競賽的需要,選修的學生數較少,而且必須是往年成績較優的學生才允許選修。經過幾年探索,我們通過以競賽為平臺, 加強引導與指導, 充分激發學生的學習興趣和熱情。而且通過數學建模競賽,促進了我校教學內容、教學方法、教學手段的創新,參加過訓練和競賽的學生們普遍感到,以往學多門課程的知識不如參加一次競賽集訓學得全面和扎實。因為數學建模競賽需要全面掌握本領域相關知識, 在深入理解、領會前人智能精髓的基礎上, 敢于提出自己的想法和觀點。只有善于進行創造性地學習和運用知識, 善于對已知知識進行融會貫通, 注意知識積累的同時更注重對知識的處理和運用, 才能取得成功。隨著數學建模競賽在我校影響的增加,同時參加競賽過的學生能力的提高,要求選修數學建模課程的學生逐年增加,使得開設數學建模必修課有了一定的群眾基礎,同時開設數學建模課程的目的也轉向了競賽與普及相結合,以提高大學生的綜合素質和實踐能力作為一個重要目標。目前,已在自動化、信息管理、統計、電子信息科學與技術、計算機、軟件、通信等專業的學生開設不同層次的數學建模必修課與限選課,同時仍然在全校開設不同層次的數學建模選修課。對于不同層次,理論教學學時分別為34、50、66學時,并輔以上機實踐訓練,每年從當初幾十名學生到目前每年近2000名學生修讀此課。參加校數學建模競賽學生近600人。數學建模教學已經形成了多個品種、多種層次、多種方式的教學格局。
4數學建模教學團隊重要性
課程教學實施與建設離不開教學團隊建設,這一點數學建模教學團隊建設更顯得重要。因為一切科學研究都需要建模,而建模會用到多方面的知識與技能,例如,通過數據處理分析,找出統計規律的能力、運用數學知識建立數學模型的能力、運用最優化方法與技術改進模型并設計出算法的能力等等。這些能力的培養單靠一門課程的努力是不夠的。因此數學建模教學與競賽離不開集體的力量,教學內容涉及面廣、方法多、工作量大,必須組建一支知識面寬、業務素質高、解決實際問題能力強、熱愛學生、具有團結協作和樂于奉獻精神的新型教師隊伍。我校課程小組利用這些年新進教師比較多的實際情況,每年動員吸收適量新教師加入到數學建模教師隊伍。通過以老帶新,請專家來我校講學或讓有一定潛力的教師外出觀摩或參加相關交流活動等形式逐步提高青年教師的數學建模教學水平。通過努力,已經建設成功一支規模適當、水平較高、結構合理、相對穩定的數學建模師資隊伍,教師隊伍從最初的5名教師擴展為現在的15位教師。課程教師隊伍在年齡結構、學歷結構、知識結構各個方面得到了很大的改善。原先5位教師中僅有2名副教授和3名講師,現有教師中有5位教授,7位副教授,博士學位獲得者有8名,超過50%。課程組教師的教學科研水平較高。這為我校數學建?；顒雍芎瞄_展作了保障。
5數學建模教學促進了數學課程教學的改革
數學建模教學促進了我校數學課程教學的改革工作,這種促進既有內容上的也有教學方法上的。比如早在上世紀末,我們與電子分院部分教師一道組織討論,在高等數學、線性代數以及概率統計教學中,找一些結合學生專業方向工程背景的實際問題,融入到課堂教學中,加強應用所學方法解決實際問題的例子,一方面可以使學生學到數學在本專業用處與數學建模知識,另一方面也可以使學生加深對數學思想本質的理解。這與以后將數學建模思想融入到本科公共課程數學中思想是一致的。另外,在第二學期,開設高等數學實驗試驗。并且在數學建模教學方法上探索得到經驗,有目的應用到其他數學教學方法上,在教學中注意強調討論式教學以及學生的自主學習嘗試。激發學生的多種思維,增強其學習主動性,培養學生獨立思考,積極思維的特性,這樣有利于學生根據自己的特點把握所學知識,形成自己的學習機制,逐步培養很強的自學能力和分析、解決新問題的能力。
6數學建模教學活動對學生能力培養影響
通過數學建模教學、組織大學生數學建模競賽,學生在數學應用能力、分析處理問題綜合素質方面得到極大的提高,表現出很好的繼續培養潛力。培養鍛煉提高了教師的教學、科研能力;活躍了本科生的科技活動和學習氛圍。正像我校參加過數學建模活動學生代表王教團感言那樣,數學建模,它魅力無窮,能夠很好地鍛煉和考查一個人的綜合素質,是培養創新能力的一個極好載體。它能充分體現參與者的洞察力、創造力、數學語言翻譯能力、文字表達能力、綜合應用分析能力、想象力、使用當代科技最新成果的能力等等;它能塑造參與者同舟共濟的團隊精神、自律精神和協調組織能力,提高自主學習的能力和主動尋求問題、思考問題、解決問題的能力。 正是這些能力的培養和鍛煉,使我在后續的一些學習和研究工作中能夠游刃有余。在大三大四階段,我和團隊的其余4位成員承擔完成了07年省新苗人才計劃項目,并最終順利通過驗收,撰寫了一份調查報告以及發表了2篇學術論文。這讓我第一次接觸到了真實的研究型項目,通過這個項目,使我迅速成長起來。但是歸根結底,沒有數學建模期間積累的經驗,我們是沒法獨立承擔一個項目的。 在目前研究生階段中,我同樣非常得益于數學建模期間培養的能力。能讓我在研究的過程中快速獲取信息、接受新知識,充分發揮團隊合作精神等等。我為我選擇數學建模感到無比的榮幸,沒有它,或許我還在布滿荊棘的道路上摸索著。數學建模是一盞永不泯滅的明燈,指引著我找尋正確的方向,并為之不懈奮斗下去。 “一份耕耘,一份收獲”、“天行健,君子以自強不息”成為我也是所有數模人共同的心得寫照。
最后,數學建模教學活動開展除提高大學生的綜合素質和實踐能力以及推進大學數學課程內容與方法改革外,我感觸最深的是開展數學建模教學與競賽活動,推廣了數學認知。這點好,而且非常重要。通過數學建模教學及校競賽,讓我校學生有機會知道將所學的數學知識運用到解決實際問題中,同時通過全國競賽,擴展了影響,消除用人單位一些認識上的誤區,讓大家更加深刻地體會到數學的魅力,親近數學。
參考文獻:
[1]李大潛. 中國大學生數學建模競賽[M]. 北京:高等教育出版社,2008.
[2]姜啟源,謝金星,葉俊.數學模型[M].北京:高等教育出版社,2003.
