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不等式在中學數學中的應用范文1
柯西不等式屬于高中階段進行數學教學不可忽略的內容.柯西不等式具有形式便捷、應用性強等幾個方面的特點.近些年以來，我國在高考以及數學競賽方面均開始注意并應用了越來越多的關于柯西不等式方面的知識點.解答此類問題過程中，常會應用到柯西不等式，形成假設條件，建立與結論之間的有效溝通.為此，采取何種方式或者手段利用柯西不等式，是我們需要探究的問題關鍵.
柯西不等式為著名數學家柯西在進行數學分析過程中獲得的.基于歷史角度分析，這個不等式也可以被稱作是Cauchy-Buniakowsky-Schwarz不等式.這是因為后兩位數學家均已經在積分學領域之中發揮出其作用和價值.柯西不等式屬于高中教學中的重要內容，也是現代高中數學研究內容之中的關鍵部分.柯西不等式作為一個至關重要的不等式，本研究中采用了三種方式解析與說明柯西不等式，同時，形成了部分柯西不等式在證明幾何、函數等方面的應用.
下面列舉數例，分析柯西不等式在高中數學中的應用.
案例1幾何題型中的應用
例1（2008年高考試題）直線xa+yb=1通過點M（cosα，sinα），因此（）.
A.ax+bx≤1
B.ax+bx≥1
C.1a2+1b2≤1
D.1a2+1b2≥1
分析結合}意確定柯西不等式為
1=cosαa+sinαb2=cosα?1a+sinα?1b2
≤（cos2α+sin2α）1a2+1b2，
因此，可以知道1a2+1b2≥1，所以，正確答案為D.
本題在解題方法上可以選擇較多形式，但是通過柯西不等式進行解答則效果最佳，讀者或可以嘗試其他方法進行解答.
案例2柯西不等式應用在數列與不等式中的應用
在高考試題中柯西不等式通常應用于數列與不等式證明中，如下例題所示.
例2已知數列{an}首項a1=35，an+1=3an2an+1，n=1，2，3，….
（1）求{an}通項公式；
（2）證明：x>0，an≥11+x-1（1+x）223n-x，n=1，2，3…；
（3）證明：a1+a2+a3+…+an>n2n+1.
該例題是高考中較常見的題型之一，也是壓軸問題.上述例題中（1）（2）較為簡單，針對（3）的解題方法分析如下：
由已知任意的x>0，則
a1+a2+…+an≥11+xk-1（1+x）223-x+11+x-1（1+x）2232-x+…+11+x-1（1+x）2?23n-x=n1+x-1（1+x）223+232+…+23n-nx，
所以，取x=1n232+…+232=231-13nn1-13，
則得出
a1+a2+…+an≥n1+1n1-13n=n2n+1-13n>n2n+1.
所以，原不等式成立.
柯西不等式在教材中的應用與實踐檢驗時間不長，但其已經逐漸成為高考中的重點題型.通過靈活把握柯西不等式解題方法，能夠提高解題效率，對培養學生數學素養有著重要作用.
結束語
綜上所述，借助柯西不等式解答試題的核心就是依據題目特征，構造符合題意的項，進一步獲取關于柯西不等式方面的結構.針對相應項目進行構建的過程中也應當結合實際情況，確保合理性.例如，分母應當為0，平方根非負等是基本條件.結合全文可知道，準確運用柯西不等式，以此，可以更好地證明數據各類問題.并將復雜數學問題進行簡化處理.
【參考文獻】
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【關鍵詞】數學分析；數學教學；中學教育；數學素養
【中圖分類號】G633.6【文獻標識碼】A【文章編號】2095-3089（2016）04-0127-01
數學分析在我國中學數學教學中的應用現狀來看，其并非是一種簡單的輔助教學方法，同時也是學生未來接觸高等數學的必要學習內容之一。數學分析有助于培養學生發現問題、分析問題以及解決問題的能力，加強對其的研究有助于為后續理論研究以及實踐教學活動開展提供參考依據。
一、中學數學教學中應用數學分析的指導作用
在中學數學教學中，應用數學分析具有十分深遠的影響，所起到的作用十分突出，具體表現在以下幾個方面：
（一）培養學生學習能力
在中學數學教學中，由于學科特性，很多學生在面臨抽象的幾何圖像和復雜的函數計算時會感到十分抵觸，有時候會感覺無從下手。可以說，數學分析能力水平高低，直接影響著學生的邏輯思維能力和空間想象能力。數學分析有助于學生沉淀所學的數學知識，對于學生知識積累程度同樣存在直觀重要的影響。
（二）培養學生舉一反三能力
就當前我國教育事業發展現狀來看，新課標教育改革提倡學生綜合素質全面發展，部分中學數學教材內容經過反復的刪減和增添后，內容更有助于學生學習，課堂教學也更加流暢。與此同時，中學課堂教學中對于不等式以及函數知識點的學習中，可以利用數學分析方法，尋找知識點中的樂趣，打破知識點的枯燥乏味，從而整合舊有知識，能夠舉一反三，掌握更多其他的知識。
（三）培養學生數學應用意識
數學并非是一門紙上談兵的學科，需要注重理論知識的實踐應用，通過數學分析在教學中的應用，能夠將數學教材中更多典型的例子深化分析，通過自身所掌握的數學知識來解決實際生活中存在的問題。通過對這些實際例子分析和學習，有助于不斷提高學生的實踐應用意識和數學素養。
（四）為教學問題提供理論依據
中學數學課堂教學中，對于一些復雜、困難的數學問題，同給制作函數圖形能夠有效解決此類問題，除了通過函數單調性來判斷極值點以外，還可以通過描點法構建函數圖形，為解題提供幫助。在中學數學分析中，更多的是掌握基本函數知識，這些函數曲線并非是簡單的連接，同時在每一點處都有切線，將這些點連接到一起，就形成了一條平滑的曲線。
二、中學數學分析在中學數學中的應用
（一）函數單調性
在中學數學教學中應用數學分析法，可以通過對數學知識的定義來推動出其他的知識內涵，諸如可以通過導數定義判斷函數單調性，這樣在尋找極值點的時候更加便捷，求出漸近線，最后畫出函數圖。此外，在數學教學中，微分學具有十分重要的作用，教師亦可以通過一系列的組合提問方法，幫助學生掌握合理的數學解題技巧。在判斷函數單調性時候，學生多數通過定義內容及進行計算得出，這種方法十分麻煩，耗時耗力，但是如果采用微分學的嚴格單調充分條件定力，能夠更加簡單的判斷出函數的單調性，即任意的x∈（a，b），如果fˊ（x）＞0或fˊ（x）＜0，函數f（x）在集合（a，b）中是嚴格增加或減少的。借助這種方法，學生能夠更加簡便的判斷函數單調性，節省計算時間，對于學生邏輯思維能力培養有著十分突出的作用。
（二）不等式證明
不等式知識掌握是否熟練，對于其他知識的學習有著深遠的影響。諸如在三角方程教學中，極值條件、三角函數以及不等式之間聯系十分密切，對于不等式證明方法同樣有很多種，但是尚未具有固定的解題模式。中學階段對于不等式數學分析，主要是一些基礎的不等式證明，多數采用數學歸納法和恒等變形方法。其中恒等變形發具有固定的解題模式，通過拼湊而成能夠應用的不等式進行證明。函數單調性同樣可以在掌握一些定積分知識后，從另一個角度來求解不等式，這種方式能夠有效精簡不等式求解過程，更加直觀易懂，學生應用起來得心應手，提升學習成效。在中學課堂教學中，由于學科特性，很多學生在理解知識點時會感到費力，應用數學分析教學方法能夠有效緩解此類問題，在數學教學中應用主要是針對導數、三角函數、不等式證明等知識點。在實際教學中，教師需要向學生講解清楚數學分析法的應用原理，確保解題思路正確，潛移默化中提高數學素養和綜合能力。
參考文獻：
[1]劉小松.高師數學專業本科畢業論文撰寫論析———以數學分析研究性內容為例[J].當代教育理論與實踐,2011,03(2).
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關鍵詞：數；形；函數；值域
一、數形結合的內涵
教學實踐表明：中小學數學教育的現代化，主要不是內容的現代化，而是數學思想、方法及教學手段的現代化，加強數學思想方法的教學是基礎數學教育現代化的關鍵。因此，中學數學應該重視數學思想的教學，數形結合法是中學數學中一種基本的重要的數學思想。
恩格斯認為：“數學是研究現實世界的量的關系與空間形式的科學?！睌蹬c形是數學中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉化?！皵怠迸c“形”反映了事物兩個方面的屬性，數形結合主要指的是數與形之間的一一對應關系。所謂數形結合，就是根據數與形之間的對應關系，通過數與形之間的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法。
二、數形結合法在函數及不等式中的應用
在中學數學中，數形結合的思想方法應用廣泛。常見的如在函數的值域、最值問題，單調性，奇偶性與對稱性中，在求復數和三角函數問題中，數與解析幾何中的結合，一元二次不等式與圖形的結合，本文主要論述數形結合思想在解方程和解不等式問題中的應用。應用數形結合思想，不僅能直觀發現解題途徑，而且能避免復雜的計算與推理，大大簡化了解題過程。在教學中要培養學生數形結合的思想意識，做到胸中有圖，見數想圖，以開闊他們的思維視野。
1.數形結合在方程中的應用
很多方程沒有辦法直接求出解，只能求出近似解或者掌握其解的個數，像這類問題我們可以借助圖形的生動和直觀性來闡明數形之間的聯系，即以形作為手段，數為目的，利用圖形直觀、形象的特點解決問題。
例如：求方程lgx-sinx=0 的解的個數。
分析：此方程解個數即函數y=lgx的圖象與函數y=sinx圖象的交點個數。因為sinx≤1，所以lgx≤1，所以0
2.數形結合與絕對值不等式的結合
因為絕對值本身具有自己的幾何意義，表示的是數軸上兩點之間的距離，所以我們解絕對值不等式可以借助數軸來解決。
例：若│x+1│+│x-2│
解：兩個絕對值表示的是數軸上到 -1與2的距離之和，我們從數軸來看：
我們從圖上可以發現數軸上的點到 -1與2 的距離之和最小值為-1到2 的距離等于3，而不等式要無解的話，那么a應該小于等于左邊的最小值，因為左邊最小值為3，所以a≤3。
3.數形結合在一元二次不等式中的應用
下面以x2-x-2>0（0（0時x2，y
由此可知，不等式x2-x-2> 0的解集是（-∞，-1）∪（2，+∞），不等式x2-x-2
數形結合是很重要的思想，可應用于很多數學題的解答，不單純是我所說的這幾種，還有復數、平面幾何、立體幾何，等等。而學生對于這種思想的掌握又很困難，需要我們不斷地去引導學生將數轉化為形，同時還能夠將形轉化為數，讓他們自己能夠慢慢地形成這種思想，在解題中去應用這種思想。
參考文獻：
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關鍵詞：初中數學；函數與方程；關系
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）18-210-02
就中學數學而言，函數思想在解題中的應用主要表現在兩個方面：一是借助有關初等函數的性質，解有關求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數的取值范圍等問題：二是在問題的研究中，通過建立函數關系式或構造中間函數，把所研究的問題轉化為討論函數的有關性質，達到化難為易，化繁為簡的目的。許多有關方程的問題可以用函數的方法解決，反之，許多函數問題也可以用方程的方法來解決。函數與方程的思想是中學數學的基本思想。
一、相關概念解析
函數思想是運用運動和變化的觀點，分析研究數學中的等量關系，建立函數關系，在運用函數圖像和性質分析問題中，達到轉化問題的目的。
方程思想是以數量關系為切入點，用數學語言把問題轉化為數學模型DD方程、方程組，通過求解方程、方程組轉化問題。
雖然函數思想和方程思想是兩個不同的概念，但是這兩種數學思想卻有著密切的聯系。求方程ax2+bx+c=0的根就是求函數y=ax2+bx+c當函數值為0時自變量x的值；求方程ax2+bx+c=dx+e的根或根的個數就是求函數y=ax2+bx+c與函數y=dx+e圖像交點的橫坐標或交點的個數。這種緊密的關系為函數思想與方程思想在初中數學中的相互轉化提供了物質條件。
二、函數思想在方程、不等式知識當中的應用
事實上，代數式可以看作帶有變量的函數表達式。求代數式的值就是求特定的函數值；方程實際上就是求已知函數滿足一定條件的變數值，使在該變數值上已知函數有某個預先指定的值，特別是函數值為零時的自變量的值：不等式可以視為求函數的誤差估計；如此D來，就把方程和不等式都統一到函數的范疇中，體現了數學的統一性。一元二次方程，一元二次不等式均可看作是研究二次函數和二次三項式的特殊情況。下面的例題更加說明了函數知識在解算式、不等式以及方程時的重要作用。
解析： 這是一道通過構造函數來求算式的值的問題，如何通過對題中所給的式子的形式的研究，巧妙地構造函數，從而使看似復雜的問題得到解決，是本題的關鍵。
不等式問題是中學數學中的一個難點，有些不等式采用常規的方法難以解決，若能夠根據不等式的結構特征，喚起聯想，巧妙地構造函數，將不等式問題轉化成為函數的問題，借助函數的有關性質，常能使問題獲得簡捷明了的解決。
三、函數思想的應用
在初中數學中所遇到的數量關系有時沒有那么直觀，如果利用函數思想建立數學量之間的函數關系模型就能夠有效解決這一問題。通過構建具體的函數模型研究初中數學問題，可以使很多東西簡單化。同時，培養學生的函數思想有助于其學習能力的提高、學習成績的進步。
例如：據報載，我省人均耕地已從1951年的2.93畝減少到1999年的1.02畝，平均每年減少0.04畝。若不采取措施，繼續按此速度減下去，若干年后我省將無地可耕，無地可耕的情況最早會發生在（ ）。
A、2022年B、2023年C、2024年D、2025年
解：設x年后我省可耕地為y畝，則y與x的函數關系式為y=2.93-0.04x。
令y=0得x=73.25。
考慮實際情況x應取74，無地可耕的情況最早會發生在1951+74=2025，所以應該選D。
上述例題的解答問題就體現了函數思想。通過建立時間與耕地面積的函數關系使題目簡單化。倘若直接計算，也能得到正確答案，只是解答過程會相對繁瑣并且容易出現錯誤。其實，利用函數思想解決初中數學問題的中心思想很簡單，就是構建函數關系式。但具體應用起來并非易事。學生要綜合考慮函數的性質、圖形及實際情況解答問題，并不是單純地列出函數式就可以了。教師應加強學生的相關練習。
四、方程思想的應用
1、方程的思想在代數中的應用：對于一些概念性的問題可以用方程的思想解決。
例如：1）■+1與■互為相反數，求m的值；
2）p（x，x+y）與q（y+5，x-7）關于x軸對稱，求p、q的坐標。
解題思路就是根據給出的語言描述，利用相反數的概念及關于x軸對稱的性質列出相應的方程式，然后對方程式進行求解。
2方程的思想在幾何中的應用：最典型的就是給出邊（角、對角線、圓的半徑）的比，求有關的問題。
例如：若三角形三個內角之比是1∶1∶2，判斷這個三角形的形狀。
解題思路為：設每一份為x，三個角分別就是x，x，2x，則x+x+2x=180，解方程得x=45，所以該三角形為等腰直角三角形。
從上面的例子可以看出，方程思想在具體應用中就是利用方程觀點，用已知量和未知量列出等式或者不等式，然后再對方程進行求解。教師應該加強培養學生根據題意列方程的能力，這是利用方程思想解題的關鍵所在。
五、合作討論，拓展學生的數學思維
在教學中，研究討論一直是不可或缺的方法之一。研究討論的方式不僅可以提高學生對數學知識的掌握，更可以加深學生對知識的理解，同時在研究討論中十分有效地提高對學生數學思維的培養。在中學數學課堂上，教師可以將學生分成若干小組，多多提供機會將學生個人與小組結合起來，引導學生加強與組內成員的交流，提供充分的學生自主活動空間以及廣泛的交流。例如，在學習方程函數的課程時，教師可以組織學生們進行小組討論，對方程函數中的各種特點進行歸納、分類。合作討論的教學方法不僅可以加深學生對知識的理解，提高學生對數學知識學習的興趣，更可以培養學生們的團結合作精神，了解團隊的重要性。這能夠提高學生們對數學學習的興趣和熱情，使學生們喜歡上數學，從而大大提高了初中數學課堂教學。
在初中數學中，函數與方程是其中的核心知識，函數和方程概念是中學數學中的一個非常重要的部分，對數學的學習有著非常重要的作用。因此，在數學的教學中，要強調函數和方程思想的重要性，提高學生的綜合能力，從而達到素質教育的根本要求。
參考文獻：
[1] 劉昭慧 在初中數學教學中方程函數思想的運用[J].數理化學習（教育理論），2013
不等式在中學數學中的應用范文5
關鍵詞： 數形結合 思想方法 中學數學
1.引言
我國著名數學家華羅庚說過這樣一句話：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好。”所謂數形結合就是根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想方法。數形結合既是一種思想，又是一種方法，它是中學數學中一種重要的解題思想和策略，數形結合具有直觀、形象、生動等優點，在有些題型中，運用數形結合的思想解題還能避開繁瑣的討論，減少運算量，大大地簡化解題過程。
數形結合的思想可以使某些抽象思維變為形象思維，有助于把握數學問題的本質，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，并且解法很簡單。在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的數形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，使“數”與“形”的信息相互滲透，這樣可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化?！皵怠迸c“形”可以看成是一對矛盾，它包含以“數”助“形”和以“形”助“數”兩個方面，數形結合的思想應用形式大體可分為代數問題的幾何解法與幾何問題的代數解法兩個方面，它們滲透于中學教材之中。中學數學中常常用到數形結合方法的內容有：數軸上的點與實數的對應關系、函數與圖像的關系、曲線與方程的關系、部分不等式與代數式的關系，等等。數形結合的思想方法在解方程和不等式、函數（包括三角函數）、解析幾何中既能直觀地發現解題途徑又能避免復雜的計算，簡化解題過程，這對于畢業班的學生來說在考試時有很大的幫助。
數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過“數”與“形”之間的對應關系和轉換來解決數學問題。在中學中主要有以“數”轉化為“形”和“形”轉化為“數”這兩種關系。“數”與“形”是一種對應關系。“形”具有形象、直觀、簡潔明快的優點，能表達具體思維，是解決問題的關鍵。但部分比較抽象的數量難以把握，這就需要我們把與數量關系相對應的圖形找出來，利用圖形來解決問題。我們把數量問題轉化為圖形，并通過對圖形的分析最終解決數量關系的方法叫圖形分析法。這其中數量問題圖形化是圖形分析法的條件。對于“數”轉化為“形”這類題目的基本解題思路：弄清題目所給的條件和所求的目的，從條件或結論出發，構造出相對應的圖形，再利用構造出的圖形的性質、幾何意義等聯系所要求的目標去解決問題?！靶巍彪m然有形象、直觀、簡潔明快等優點，但對于定量分析還得借助于代數的計算，特別是比較復雜的圖形，不但要正確地把圖形信息轉化為數字信息，而且要觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分地利用圖形的性質和幾何意義進行計算。對于這類題目的解題思路：明確題目中所給的條件和所求的結論，分析所給的條件和所求的結論的性質和特點，理解條件和結論在圖形中的幾何意義，正確將題目中的圖形信息轉化為代數信息，再利用條件與結論的聯系，運用定理或公式解決問題。
2.數形結合的思想方法在中學數學中的應用
2.1解決函數問題
利用圖像研究函數的性質是常用的方法，函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。
令A（0，1），B（2，2），C（x，0），則問題轉化為在x軸上求一點C，使 |CA|+|CB|有最小值。如圖1，由于AB2.2解決方程或不等式問題
2.2.1在解方程時，把方程的根的問題看做是圖像的交點問題。
例2.如果方程x+2ax+k=0的兩個實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，試求a與k應滿足的關系。
解：畫出對應的二次函數y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草圖，這兩個函數圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對稱軸的拋物線（如圖2），要使方程x+2ax+k=0的兩實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，則對應的函數圖像y與x軸的交點應在函數圖像y與x軸的交點之內，它等價于拋物線y的頂點縱坐標不大于零且大于拋物線y的頂點縱坐標，由配方法知y與y的頂點坐標分別為:P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0，即可以求出a與k的關系為：a-4＜k＜a。
2.2.2在處理不等式時，聯系相關函數，分析其幾何意義，從圖形上找解決題目的思路。
例3.解不等式≥x
解：作直線y=x和半圓弧y=的圖像，由=x知x=，由直線和半圓弧的位置關系即可知原不等式的解為（-5，）。
2.3解決三角函數問題
在解決三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題時，數形結合是重要的方法。
例4.求y=的最值
解：y的結構類似于斜率公式，故可視為定點M（2，1）與單位圓上的動點N（cosx，sinx）連線的斜率，如圖4，當MN與單位圓相切時，切線的斜率取值就是所求函數的最值，由圖可知：0≤k≤，故可知y的最值為：y=0，y=。
2.4解決解析幾何問題
解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數形思想運用于對曲線的性質及相互關系進行研究中。
例5.橢圓+=1的焦點為F、F，點P為其上的動點，當∠FPF為鈍角時，P點橫坐標的取值范圍為?搖?搖 ?搖?搖。
解：如圖5，由題意可知，點P在以FF為直徑的圓的內部且在橢圓上時，∠FPF為鈍角，則解方程組+=1x+y=5得圓與橢圓的交點橫坐標x=±，所以點P的橫坐標的取值范圍是：- 3.結語
數形結合思想在中學數學中占有非常重要的地位，其“數”與“形”的結合，把代數式與幾何圖形相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合。應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決。只有熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特征，才能熟練地運用這一思想方法。
參考文獻：
［1］邱海泉.淺談數形結合思想在高中數學的幾點應用［J］.2005.3.
不等式在中學數學中的應用范文6
關鍵詞:齊次線性方程組 線性組合 導函數 變量與常量 概率模型
高等數學由于其本身高度的抽象性和極強的邏輯性,使得不少人認為高等數學在中學數學教學中基本無用,但隨著中學新課改的不斷深入,中學數學中涉及高等數學的內容在不斷地增加,可以說這是數學發展的必然.高等數學知識在開闊學生視野、提高學生學習興趣、指導學生解題等方面的作用也日益突出.因此討論高等數學知識在中學數學中的應用是很有必要的,下面結合具體的實例談談高等數學知識在中學數學解題中的應用.
一、利用高等代數知識解題
1.利用齊次線性方程組的方法解題
引理:含有n個未知量,n個方程的齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是:方程組的系數行列式D=A=0.
例1.設f(x)=ax2-b且滿足-4≤f(1)≤
-1,-1≤f(2)≤5,求f(4)的取值范圍.
分析:本題容易出現如下錯誤解法
f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b
-4≤a-b≤-1 (1)
-1≤4a-b≤5 (2)
由(1)得1≤-a+b≤4,(3)
由(2)+(3)得0≤a≤3(4)
0≤16a≤48(5)
由(3)得4≤-4a+4b≤16(6)
由(2)+(6)得1≤b≤-1(7)
-7≤-b≤-1(8)
由(5)+(8)得-7≤16a-b≤47
即-7≤f(4)≤47
本題可以用齊次線性方程組的方法來解.
解:由已知有f(1)=a-b,f(2)=4a-b,f(4)=16a-b
即a-b-f(1)=04a-b-f(2)=016a-b-f(4)=0
這是關于a,b,-1的齊次線性方程組且有非零解,所以
1 -1 f(1)4 -1 f(2)16 -1 f(4)=f(4)+4f(1)-5f(2)=0
即f(4)=-4f(1)+5f(2)
從而-1≤f(4)≤41
這個例子的實質就是根據已知條件的特征構造齊次線性方程組.這里正確確定方程組的變量是解題的關鍵.如果已知條件是關于幾個變量的等式,而結論是只與其中某些變量有關的表達式,這時將結論中出現的某些量作為齊次線性方程組的系數,而將其余量作為方程組的未知量.
2.利用線性組合的方法解題
定義若向量α為向量組β1,β2,…,βs的一個線性組合,如果有數域P中的數k1,k2…ks,使α=k1 β1 +k2 β2 +…ks βs.
例1的解法二如下:
解:設f(4)=αf(1)+βf(2)=α(a-b)+β(4a-b)
即16a-b=(α+4β)a-(α+β)b
α+4β=16α+β=1?陴α=-4β=5
16a-b=-4(a-b)+5(4a-b)
又-4≤a-b≤-1,-1≤4a-b≤5
4≤-4(a-b)≤16,-5≤5(4a-b)≤25,
-1≤-4(a-b)+5(4a-b)≤41,
即-1≤f(4)≤41.
此種解法與例1的解法有異曲同工之效,此種解法的關鍵是把f(1),f(2)看成一個整體,利用待定系數法求f(4)關于f(1),f(2)的一個線性組合.最后所求的f(4)的取值范圍也沒有擴大和縮小,滿足題目的要求.
二、利用數學分析知識解題
1.利用導函數的方法解題
函數是數學研究的主要對象,中學數學用代數方法研究它的一些形態,如單調性、周期性和極值性等,但是由于方法的限制,這些研究既不全面又不深入,并且計算繁瑣,不易掌握其規律,導數為我們提供更深入地研究函數的性態提供了有力的工具.
例2.已知m,n是正整數,且1
證明:要證(1-m)n>(1-n)m
只要證nln(1-m)>mln(1+n)
x≥2,ln(1+x)>1
f ′(x)
f(x)在區間[2,+∞)上為嚴格減函數,
又1
2.利用“變量”與“常量”相互轉化的方法解題
例3.解方程x3+6x2+9x+2=0
分析:此題若按三次方程求解x相當困難.若將“3”看成未知數,x看做常量,則是一個關于“3”的一元二次方程.
解:改寫原方程為x?32+(2x2+1)?3+x3-1=0
三、利用高等幾何解題
例4.過一圓的弦AB的中點M引任意兩弦CD和EF,連接CF和ED交AB弦于P,Q.
求證:PM=MQ.
分析:此題若局限在平面幾何范圍內去研究,雖能找到多種不同的證法(略),卻都來之不易,但是如果我們利用高等幾何中交比的方法來證明,就非常容易了.
四、利用概率論知識解題
例5.若0
分析:本題是一道關于不等式證明的題目,如用中學數學的知識來做,過程復雜且繁瑣,下面用構造概率模型的方法來給出證明過程.
證明:令A,B是兩個相互獨立的事件,且使P(A)=a,P(B)=b
由P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
=P(A)+P(B)-P(A)P(B)
=a+b-ab
由概率的性質知0≤P(A∪B)≤1
從而0≤a+b-ab≤1
用概率論證明不等式,最基本的思路是將不等式中的數轉換成若干個相互獨立事件的概率,從而將實數之間的運算轉換成概率的運算,利用概率的有關計算公式及性質,便可證得結論.
