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數學模型范文1
【關鍵詞】數學模型；小應用；案例
案例：椅子問題
把椅子置于地面時，如果只有三只腳著地，椅子經常放不穩，通常需要調整幾次方可將椅子放穩，試用數學語言對此問題給以表述，并用數學工具說明椅子能否在地面上放穩？若能，請給予證明并給出做法，否則說明理由。
【問題分析】
為了構造距離函數和設定相關參數，讓我們實際操作一下，從中搜集信息，弄清其特征。要想四只腳同時著地，通常有四種方法：其一是將椅子搬離原地，換個位置試驗；另一個做法是原地旋轉試驗，由于前一種方法需要研究的范圍可能要很大，這里我們采取第二種做法。通過實地操作，易得出結論：只要地面相對平坦，沒有地面大起大落的情況，那么隨著旋轉角度的不同，三只腳同時落地后，第四只腳與地面距離也不同（不僅如此，旋轉中總各有兩個腳同時著地，另兩個腳不穩定）。也就是說，這個距離函數與旋轉角度有關，是旋轉角度的函數，于是一個確定的函數關系便找到了，不僅如此，我們的問題也順其自然地轉化為是否存在一角度，使得四個距離函數同時為零？
綜上分析，問題可以歸結為證明函數零點的存在性，遂決定試用函數模型予以處理。
【模型假設】
根據前面的分析，我們可作如下假設：
1）椅子的四只腳同長。
2）將椅子的腳與地面接觸處看成是一個幾何點，四角連線為正方形。
3）地面相對平坦，即在旋轉所在地面范圍內，椅子在任何位置至少有三只腳同時著地。
4）地面高度連續變化，可視地面為數學上的連續曲面。
【建立模型】
首先，引入合適的變量來表示椅子位置的挪動。
依據假設條件，四只腳連線呈正方形，因而以其中心為對稱點，令正方形繞中心旋轉便可表示椅子位置的改變，于是可以用旋轉角度的變化表達椅子的不同位置。為此，我們以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，并假設旋轉開始時（角度θ=0）四個椅腳點A，B，C，D中的A點和C點位于x軸上，B點和D點位于y軸上。旋轉角度θ后，點A，B，C，D變到點A′，B′，C′，D′（圖1）。顯然，隨著θ的改變，椅子的位置也隨著改變，從而椅腳與地面距離也隨之改變。盡管椅子有四只腳，有四個距離，但對于每個角度，總有點A、C同時著地而點B、D不同時著地或點B、D同時著地，而點A、C不同時著地，故只要設兩個距離函數即可。因此設A、C兩腳與地面距離之和為fθ，B、D兩腳與地面距離之和為gθ，且作為距離函數的fθ、gθ均為非負函數。由假設（3）可知，對任意角度θ，恒有fθ=0，gθ0或gθ=0。故fθgθ=0對任意θ成立。
要證明存在角度θ0，使fθ0=0，gθ0=0同時成立，還需要條件支持。注意到在初始位置（θ=0）處，有f0=0，g0>0或f0>0，g0=0，而旋轉90°后，兩組條件恰好交換。因此，椅子通過旋轉改變位置能放穩的證明，便歸結為證明如下的數學命題，即
已知fθ、gθ是θ的連續函數，對任意θ，fθgθ=0且f0=0時g0>0，fπ2>0時gπ2=0。
求證：存在θ0∈0，π2，使fθ0=gθ0=0。
這就是椅子問題的數學模型。由此可見只需引進一個變量θ及其一元函數fθ、gθ，便把模型條件和結論用簡單又精確的數學語言表述出來，從而形成所需要的數學模型。
【模型求解】
容易看出本模型屬于一元連續函數的零點存在性問題，使用介值定理便可輕松證明它。
數學模型范文2
數學向學生傳達的是一種“模型”的思想，數學模型源于原型、又高于原型。課堂教學中，教師要引導學生充分經歷從數學原型到數學模型的知識創造過程，消除數學原型對概念學習的干擾，深化數學理解。
一、注重問題設計
為了促進學生數學理解，必須精心設計問題，讓設計直觸問題要害。引導學生進行聚焦式思考，鼓勵學生在重要的概念上?；ǜ嗟臅r間深入持久透徹地理解。這就要求教師能分析出教材中的重點，突出重點中的精華。例如，平行線的畫法是教學的難點，為此教師精心設計了問題串，引發學生思考：①摸底：你準備怎樣畫平行線?(想到描和移。但發現用移的方法容易移歪)②質疑：怎樣移，畫出來的就一定是原直線的平行線呢?(學生感到困惑無助)③原型啟發：(觀看紗窗平移)是什么保證窗戶邊平移前后所在的直線一定互相平行?(靠著軌道滑行)④移植：能不能在畫平行線時也安裝個軌道，讓它有個依靠?怎么安裝?安裝時要注意什么?⑤定位：畫平行線要經歷哪些步驟?(對、靠、移、畫)這一環節由“為什么要靠”到“用什么靠”，再到“怎樣靠”，構成了一條主題鮮明、各環相融、對話引證的問題串。其中，把“窗戶軌道”這一生活原型提煉成了數學模型。更好地突出了重點，突破了難點。
二、豐富表象積累
從學生已有的知識經驗來看，原型是有豐富的相關活動經驗作支撐的數學事實或現實材料。便于學生能自然地從頭腦中產生數學問題，比較順利地完成從原型到模型的認識過程，溝通經驗世界與數學世界的聯系。
“三角形的認識”一課，三角形“高”的定義和畫法是本課教學的難點。為此，教師將“兩個人比高矮”之類的情境置換成兩個三角形比高矮，既保留了生活原型中“水平為底、豎直為高”這一關鍵特征，又滿足了三角形高的教學這一要求。通過提問“不轉動三角形，你能把高畫出來嗎”。促使學生從“水平方向的底、豎直方向的高”這一生活原型中，抽取“垂直”這一本質特征，在“非水平方向的底”上作出“非豎直方向的高”，從而，使學生對高的認識產生了由生活原型到數學概念的飛躍。
同時，教師引導學生全面考察了銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形中高的各種表現形式，進一步深刻理解高的概念。當學生的認識遇到困難(尤其在認識鈍角三角形外高)時，可以利用高的原型(如將求作高的底邊轉到水平位置)，在變化的情境中認識高的意義和畫法。這種不斷穿梭于原型和模型之間的學習，不僅能幫助學生形成對當前知識的深刻理解，并將有效地促進后續相關知識的學習。即使從最壞的情況看――學生忘記了高的意義和畫法，只要還有原型存留腦中，還有從原型到模型――這種對數學發生發展規律的認識和學習方法存留腦中。就有可能借助原型重新發現這些遺忘的知識。
三、適時抽象本質
小學數學教材中，有許多概念屬于描述性概念，即通過描述的方法，借助具體圖像、實例來說明概念的內涵。但由此帶來的結果往往是學生對概念內涵的認識始終停留在一種模糊表象的層面上，對數學的本質并沒有十分清晰的把握。
蘇教版二年級上冊“認識線段”一課，以“毛線”作為線段的生活原型引入概念。例題呈現了把一根線放在桌上是彎曲的，用手捏住線的兩端拉緊，它就直了。一教師組織了相應的活動，但由于沒有適時揭示概念的本質屬性“線段是直的，有兩個端點，線段有長短”，從而導致學生只關注毛線的物理屬性，鬧出了笑話，認為線段就是“有顏色的”，“線段可以用來補衣服”等。
由實物的感知開始，通過觀察、操作、語言描述逐步建立概念，是“線段”教學的基本步驟。教師應先引導學生對“線段”這一概念的生活原型――拉直的線進行觀察和操作，再借助形象揭示概念。通過描述性的定義適時抽象出線段的數學意義，引導學生建立線段的正確概念。兒童的概念學習要經歷具體――表象――抽象的過程，教師要善于引導學生在直觀物體和抽象概念之間搭建橋梁，正如蘇霍姆林斯基所言，“直觀手段應當使學生把注意力放在最主要、最本質的東西上去”。
四、突破原型框架
原型不但能啟發學生在正確理解和解決數學問題上找到捷徑。更為學生創造想象的發展提供了廣闊的空間。它的意義絕不僅僅在于被當作模具來完成塑像任務，它是創造、創新的“點金石”。正因為有了原型的啟發，人們才插上聯想的翅膀，把知識不斷完善，把技術不斷更新。而這種突破原型框架、優化解題方案的過程。正是創造性思想形成和發展的過程。我們在教學中，應積極引導學生利用原型啟發找到更多、更好的解決方法，變被動為主動，使學生真正成為學習的主人。
例如，在講“正比例的意義”時，課前讓學生觀賞了泰勒斯測量金字塔高度的方法。用“桿高和影長成正比”的關系引入課題。講完正比例的意義后，又提出了一個問題：“泰勒斯的方法是不是最好?你有更好的解決辦法嗎?”學生們熱烈的發表意見：泰勒斯只在“桿高=影長”時才能測量，有一定的局限性，而根據“桿高和影長成正比例”的關系，我們在任何有太陽的時候都可以測量!
數學模型范文3
關鍵詞：小學數學；模型思想；建模；步驟；方法
一、教學模型的含義
所謂數學模型，就是根據特定的研究目的，用數學形式語言把純粹的數量關系從現實世界的紛繁復雜的事物聯系中抽取出來加以概括。簡單地說，在小學數學階段，用數學形式符號建立起來的數量關系式，以及各種圖表、圖形等都是數學模型。2011年修訂的《義務教育數學課程標準》將數學“雙基”發展成 “四基”； 新增了“數學模型思想”，在10個核心概念中，唯獨其被冠以“思想”稱呼，對比中彰顯標桿意義。
二、小學數學建模教學的現狀與分析
傳統模式和理念下的教學設計，多是注重“知識與技能”這一目標維度?！熬褪抡撌隆笔降暮唵谓虒W，起于鋪墊再到新授，止于練習，亦步亦趨，更多的是學科內部純粹知識之間的演繹。學生缺乏生活的原型操作，缺少規律的探究、方法的尋求、思想的體驗，師其意而不師其辭，更談不上思想方法的內化和強化。集體無意識狀態下的教學，鮮有建模思想滲透，難見“建?！焙汀坝媚！钡暮圹E，無視建模價值。由于建模意識的淡薄，教師很難具有高屋建瓴的教學觀念與方法研究，建模教學是一方沃土，需要人師們不斷開拓。
三、小學數學建模的一般步驟
數學建模每一個環節的銜接，就像一根精美的邏輯鏈條，絲絲入扣。首先是情境再現，準備模型。發揮現代技術媒介優勢，利用信息技術或情境展示等手段，從學生已有的生活經驗出發，給學生呈現一個形象的情境問題。其次是選擇策略，假設構建。學生的數學建模涉及學科知識、概念、規律、問題、方法。教學過程經過假設、推理、簡化，然后讓生活信息初步抽象成數符、文字解決問題，最終用數學思想方法抽象成數學模型。最后是問題回歸，驗證應用，在生活中尋求解釋、驗證和應用，讓學生真正體驗到所學知識的用途和益處，實現建模的真正價值。
四、小學數學建模的基本方法
1.立足數學課堂主陣地開展建模教學
（1）解讀教材。教科書中的一些課程內容編排貫穿建模的思路。教師要充分挖掘書本中蘊含的建模思想，深度解讀，精心設計和優化選擇，在教學內容中尋找現實問題情境。使學生置身于“尋找實際問題―數學化―建立模型―解答問題―解決問題”情境中，獲得豐富的情感和體驗。
（2）挖掘素材。作為教師，要有意識地去創造數學模型的材料，尋找教材中數學模型的素材，利用一切數學模型的教育因素。要在看似沒有數學建模內容的問題中，挖掘建模素材，拓寬建?？臻g，開辟出能訓練學生建模能力的“新天地”，讓數學模型再現、再生，給學生提供和創造更多的數學建模機會和空間。
（3）革新教學。一方面，教師以有關理論為指導，以教學實踐為基礎，革新教學模式，形成教與學、教與研相結合的新型教學方法。另一方面，樹立以學生發展為主體的新理念，在課堂教學中大膽實踐、探索，開展觀察、實驗、分析等活動。
2.借助數學綜合與實踐活動平臺開展建模教學
小學數學綜合與實踐也可以理解為“數學建?；驍祵W實際應用”。 鼓勵師生共同參與教與學，幫助學生積累數學活動經驗，以問題為載體，借助數學綜合與實踐活動平臺，培育學生發現、探究、解決問題的能力。數學模型思想是學生體會和理解數學與外部世界聯系的路徑，可以結合教材內容，適當對各種知識點進行整合，并使之融入生活背景，生產出好的“建模問題”作為綜合與實踐活動的主要題材。
3. 依托習題載體開展建模教學
教材上許多習題并不是實際問題的原形，教學不能僅僅是滿足于得出答案， 而是進一步深度挖掘，使其成為建模的有效素材。例如以下的習題1、習題2和習題3都是正方形與圓有關題材的問題，只是變換了圓與正方形的位置關系。教師開發這類變式題，集中形成序列進行教學，尋找其內在聯系，目的正是引導學生在解題時能夠運用一定的數學思想。
習題1：正方形的面積是12平方厘米， 圓的面積是多少？ （圖1）
習題2：正方形的面積是20平方厘米， 圓的面積是多少？（圖2）
習題3：正方形的面積是16平方厘米， 圓的面積是多少？（圖3）
模型思想作為一種思想，要真正使學生有所感悟需要經歷一個長期的過程。在素質教育行走的大道上，數學學科建設、課程改革方向、學生個體發展都必將與數學建模教學活動一路同行。
參考文獻：
[1]習趙靜，但 琦.數學建模與數學實驗[M]. 北京：高等教育出版社，2008.
數學模型范文4
【關鍵詞】數學模型；函數；問題
數學已被稱為模式的科學，數學概念和數學命題已經具有超越特殊對象的普遍意義，它就是一種模式，數學問題和方法也是一種模式.我們把數學理解為是概念、命題、問題和方法等多種成分組成的復合體，模式就有助于領悟數學的本質，在高中數學中常被稱為“數學模型”.數學模型就是利用數學語言（包括符號、圖形、公式）模擬現實問題的模型，把問題原型進行抽象、概括、假設，運用適當的數學工具得到一個數學結構是完全形式化和符號化的模型.
一、數學模型是聯系客觀世界與數學的橋梁
在學習初等代數的時候，我們就已經接觸過數學模型了.當然，那些問題是老師為了教會學生，而人為特意設置的.如我們以前解過這樣的所謂“航行問題”.
例如：甲乙兩地相距750 km，船從甲到乙順水航行需要30 h，從乙到甲逆水航行需50 h，求船速、水速分別是多少？
設：用x，y分別表示船速和水速，可以列出方程：
（x+y）·30=750，（x-y）·50=750.
這組方程就是上述航行問題的數學模型，列出方程，原問題已轉化為純粹的數學問題，方程的解x=20 km/h，y=5 km/h，最終給出了航行問題的答案.
所以，數學模型可以描述為，對于現實世界的一個特定對象，為了一個特定目的，根據內在規律作出一些必要的假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構.數學模型是用數學語言來模擬空間形式和數量關系的模型.廣義上講，一切數學概念、公式、理論體系、算法系統都可稱為數學模型，如：算術是計算盈虧的模型，幾何是物體外形的模型等.狹義地說，只有反映特定問題的數學結構才稱為數學模型，如一次函數是勻速直線運動的模型，不定方程是雞兔同籠問題的模型等.
二、在探究問題的過程中運用數學模型
數學的思維方式和方法包括對數學問題的認識和解決問題的過程，并在知識的增長過程中發展了思維.在對數學問題的探究中，我們要注重領會用數學模型來優化數學過程，培養學生解決問題和創新思維的能力.
例如：要把數量不限的小球放在同一型號的箱內，每個箱內有10個格子，每一格放一個小球，這些箱子有的格子放有小球，而有的卻空著.如果有兩個箱子，它們至少一個對應的兩個格子，一個有，另一個沒有，那么，我們就認為這兩個箱子不同.每個箱子最多放10個，最少放0個，問可能有多少個這樣的箱子？
模型1 某建筑物裝有10盞燈，在同一時刻的每盞燈都可以開或關.現在用各種方法開燈，兩種開關方法只要有一盞燈的狀態不同（開或關）就認為是不同的開法，所有的燈都關著也是一種開法.問有多少種開法？
模型2 現有一個十列格子組成的長方形表格，在每一行格子中都記有“+”號或“-”號，而行中只要有一個對應格的符號不同，就認為它們不同，問計有不同符號的行有多少種？
模型3 數字0和數字1能組成多少不同的“十位數”（包括數字左邊出現的0的數也作為“十位數”）？
模型4 這個問題解決已顯而易見，“十位數”的每一個位置只能是0或1兩種可能，共有210=1024種不同的可能.模型2中的表格最多有1024行.模型1中的電燈的開法共有1024種.例子中箱子共有1024個.例1可以用三個模型來轉換方式，使問題由難變易，是一種行之有效的解題方法.
在高中數學教學中進行數學模型訓練，有助于學生加深對數學知識系統的學習，有利于培養學生的創新思維能力和實踐能力，并為下一步利用數學模型解決實際問題打下堅實的基礎.
三、函數f（x）=ax+b（a，b>0）模型
對于這類模型應用問題，首先根據題意得出目標函數，再把目標函數變形為f（x）=ax+b（a，b>0）的形式，最后根據ax+b≥2ab（a，b>0）求出最優值.
例如：假設森林發生火災，火勢以每分鐘100 m2速度順風蔓延，消防人員接到警報立即派消防隊員前往撲救，在火災發生后五分鐘到達現場，現已知消防隊員在現場平均每人每分鐘滅火50 m2，所消耗的滅火材料、勞務津貼等費用為每人每分鐘100元，另附加每次救火所耗損的車輛、器械和裝備等費用平均每人100元，而燒毀1 m2森林損失費為60元，問應該派多少消防隊員前去救火，才能使總損失最少？
這樣的模型應用題出現頻率較高，常常通過均值定理或函數的單調性求最值，此時要注意等號能否取到，必要時要討論求之.
高中數學模型思維方法包括了高中數學問題的學習和解決問題過程，并隨著知識的不斷增長逐步培養創新思維.數學模型化思維來探索知識的過程，通過對知識原型的分析、提煉、加深，不斷對原型的理解和概括，歸納原型的內在特質，再通過進一步演繹推理來求解，深化了對原型的本質特征和數量關系的理解.在數學教學中，必須領會和應用數學模型的方法來優化教學過程，從而培養學生的創新思維和實踐能力.
【參考文獻】
[1]張玫.數學建模在中學教學中的認識[J].考試（高考數學版），2011年Z3期.
數學模型范文5
【關鍵詞】數學的作用；數學模型
數學到底有什么用？很多人，尤其是很多學數學不多的人會有這個疑問.在這里不妨反問一下，要是沒有用為什么還會有這么多人學習和研究數學呢？先看一個例子，數論，即關于自然數的理論，在很長一段時間里被一些人看成是沒有實際應用價值，只有理論意義的數學，哥德巴赫猜想（每一個大于等于6的偶數總可以表示為兩個奇素數的和，即所謂“1+1”）有什么用？素數有無窮多個又有什么用？然而，隨著科學技術的發展，數論也開始找到了它的用武之地，成為我們設計密碼的工具（見密碼學中的RSA公開密鑰體制）.在對保密的需求程度越來越高的今天，智慧的人類開始研究如何設置密碼，于是自然地產生了“密碼學”.
在近代科學發展中，牛頓建立了萬有引力定律，麥克斯韋建立了電磁場理論，這些都是數學模型取得成功的典型范例.近百年來，人們通過建立數學模型，在認識世界、改造世界方面取得了更多的成績.在力學、物理學等領域中，人們建立了空氣動力學方程組、黏性流體的NavierStokc方程組、彈性力學方程組等等，在其他領域，通過建立數學模型來研究實際課題的實例也層出不窮，美國經濟學家列昂杰夫的投入產出模型、馬爾薩斯的人口模型、Logistic模型、蘭切斯特關于軍備競賽的模型、天氣預報中的正壓模式和斜壓模式模型等等.總之，模型化方法已成為研究問題的基本方法.下面，我們擬從一個簡單的問題出發，展示用模型化的方法來解決實際問題的意義.
（一）問題的提出
一個雨天，你有件急事需要從家中到學校去，學校離家不遠，僅一公里，況且事情緊急，你來不及花時間去翻找雨具，決定碰一下運氣，頂著雨去學校.假設剛剛出發雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕.一個似乎很簡單的事情是你應該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時間.但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略.試建立數學模型來探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度.
（二）模型的建立與分析
1.建模準備
建模目標：在給定的降雨條件下，設計一個雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小.主要因素：
淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風），路程的遠近，行走的速度.
2.模型假設及符號說明
（1）把人體視為長方體，身高h米，寬度w米，厚度d米.
淋雨總量用C升來記.
（2）降雨大小用降雨強度I厘米/時來描述，降雨強度指單位時間平面上的降水的厚度.在這里可視其為一常量.
（3）風速保持不變.
（4）你以一定的速度v米/秒跑完全程D米.
這時你應該控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量.從建模結果看，“為了少些淋雨，應該快跑”，這個一般的“常識”被基本上否定，那么根據何在？由此提出了建模目的：減少雨淋程度.而為減少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”這個目標函數C，而C=C（v），于是問題便歸結為確定速度v，使C（v）最小——本模型的關鍵建模步驟便得以確定.
有了確定的建模目的，自然引出與C（v）有關的量的設定與簡化假設.一般地，開始時不要面面俱到地把所有相關量都涉及，往往只需考慮幾個主要量，甚至暫時舍棄某個主要量，以求盡快建立模型.另外，為了檢驗所建模型的合理性，建模后用較為符合實際的幾組數據對模型加以檢驗是重要的，它既是對所建模型是否基本符合實際的檢測，也是進一步完善模型的需要.
【參考文獻】
數學模型范文6
一、數學模型思想的意義及表征方式
數學模型是“針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化數學語言，概括地或近似地表述出一種數學結構”，且應該是一種“借助于數學概念和符號刻畫出來某種系統的純關系結構”。數學模型思想，即是以數學概念和符號刻畫數學結構為內容的，在揚棄一切非本質屬性的同時，逐步抽象、提煉出數學結構的思維過程。研究表明，建立數學模型的過程一般分為三步：一是提出問題并用精確語言表達；二是分析數量關系并進行數學抽象；三是求解并解決實際問題。
從模型思想的概念及數學模型建立的過程來看，小學數學中許多知識的學習均體現了數學模型思想。筆者現以《加法的認識》為例，具體分析數學模型思想的意義及表征方式。
首先，加法的產生源于實際問題的解決。如下圖，用“2個方塊與3個方塊合成一個長方體”的問題情境：
其間，“2個”方塊和“3個”方塊分別作為兩個不相交的有限集合A和集合B中的元素，在合并成一個新的集合C（即集合A與集合B的并集）后，成為一個大長方體。這個過程，當我們用精確的數學語言來表達時，便產生了“2＋3＝5”這樣一個數學模型。顯然，“2＋3＝5”是有限集A（2個元素）和B（3個元素）合并成并集C（5個元素）的過程的抽象與提煉，是一種形式化的表達。而當有了“2＋3＝5”這樣一個模型來表達“‘2個’元素與‘3個’同類元素合并產生了‘5個元素’”的新形式之后，以下類似問題便同樣有了解決的依據及表達的形式。
（1）小軍扎了2朵小紅花，小英扎了3朵小紅花，兩人一共扎了幾朵小紅花？
（2）爸爸出差，坐火車用了2個小時，坐汽車用了3個小時，一共用了幾個小時？
（3）保安叔叔要用繩子捆扎廢品，扎舊報紙用了2米，扎硬紙板又用了3米，一共用了多少米的繩子？
……
二、數學模型思想的教學策略
在教學實踐中，數學模型無論是思維表征的過程，還是形式表征的歸納，均需要有以下兩個基本的教學過程作支持。
（一）從“境”到“型”，通過抽象歸納，感悟、理解數學模型結構化、簡約化的特征
“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界的聯系的基本途徑”，其過程中最基本的路徑是從現實生活或具體情境中抽象出數學問題或數學事實，然后用數學語言表示出數學問題中的數量關系或變化規律。這也是數學模型思想建立的第一個層次。實踐中，我們可以從以下兩個方面來引導學生去體驗。
綜上所述，我們不難發現，在從“境”中提煉出“型”的過程中，無論是思維表征，還是形式表征，學生思維的介入及其從隱性思維層面到顯性思維表達的活動設計，是幫助學生感悟、理解數學模型結構化、簡約化的必要條件。
（二）從“型”到“境”，通過演繹解構，深化理解數學模型包容性、應用性的特征
以數學模型的形成來看，從“境”到“型”的過程，更多是數學模型從思維模型狀態向形式模型狀態轉變的過程；而從“型”到“境”則是數學模型從形式模型狀態再次回到思維模型狀態，是幫助學生進一步積累模型經驗，從而提升數學模型的應用水平的過程。教學中，這樣的過程一般實現在兩個應用水平層次上。
