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三角形中線定理范文1
又旋轉.把DEF分別繞DF、DE、EF的中點順或逆時針旋轉180°，經歷圖ⅠⅡⅢⅣ；每次旋轉后都標示角度、邊長以利于數據凸顯與邏輯思維的展開！由基本事實2依次得到：平行四邊形ADEF、平行四邊形BDFE、平行四邊形DFCE.
注意到已知的DEF中有α+β+γ=180°，故A、D、B共線，B、E、C共線，A、F、C共線，即構成了一個大三角形且其邊長分別為a、b、c，見圖Ⅳ.
顯然，它就是與原已知的ABC全等的三角形！
教學啟示 （1）初等數學研究的空間雖然很小很小了，但只要我們不斷挖掘仍會有意想不到的創新的收獲，特別是幾何引進數學變換的觀點下，無論是知識上還是教學上都會有突破?。?）利用此基本觀點（變換觀）可進一步改善八年級特殊四邊形的教學：湘教版八年級下冊第三章平行四邊形一章內容多、繁、雜，如何有效“穿針引線”？
受“基本事實2”的啟發：充分利用湘教版的“變換”特點，由“任意三角形繞一邊中點旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形”結論出發，依次按邊、按角、按邊角條件不斷強化引出菱形、矩形、正方形課題！
具體：從“邊條件強化”，一般三角形變為等腰三角形繞底邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等的平行四邊形”是菱形的課題！再依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等仿平行四邊形展開菱形的學習！
從“角條件強化”，一般三角形變為直角三角形繞斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一個內角為直角的平行四邊形”是矩形的課題！從菱形單元的啟發，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開矩形的學習！
最后從“邊和角條件同時強化”，一般三角形變為等腰直角三角形繞斜邊中點順（或逆）時針旋轉180°后與原圖形組成一個平行四邊形嗎？為什么？此平行四邊形還有何特點？得出“一組鄰邊相等、一個內角為直角的平行四邊形”是正方形的課題！從菱形、矩形單元學習的啟發，也依次從“三大方面”（定義、性質、判定）、“四條線索”（邊、角、對角線、對稱性）等展開正方形的學習！
三角形中線定理范文2
本課題組成員陳丹媛借助史寧中教授等人的課程難度量化分析的模型，撰寫了文章《三角形課程難度的定量分析比較》，并于2014年10月12日在《考試周刊》發表，以此作為基礎，分析初中幾何課程三角形的課程難度變化對初中教師的教學實踐的指導。
根據已發表的前文，比較2011年版《義務教育數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與2000年版《全日制九年義務教育初中數學教學大綱（試用修訂版）》（以下簡稱《大綱》）。《大綱》中課程廣度系數、課程深度系數、課程事實時間、課程難度系數分別為G1=39，S1=88，T1=45，N1=131；而《標準》中對應的系數為G2=41，S2=91，T2=50，N2=126。
二、教學指導
三角形是常見的幾何圖形之一，在生產和生活中有廣泛的應用。教科書通過舉出三角形的實際例子讓學生認識和感受三角形，形成三角形的概念。本文借助陳丹媛文獻所得到的數據進行分析，可得到《標準》與《大綱》相比，課程難度降低了005，雖然課程廣度、課程深度有所增加，但是因為課程實施時間較長，使得課程難度有所降低。接下來，我將分析課程廣度、課程深度、課程實施時間、課程難度這四個影響因素的變化對初中教師的教學實踐的指導。
1課程廣度變化對教學實踐的指導
根據對陳丹媛文獻的分析可以得到，《標準》與《大綱》相比，三角形的知識點從概念方面來說，增加了等腰三角形、直角三角形、三角形的重心三個內容，而且刪除了相似比；從技巧方面來說，增加了會作三角形的外接圓，刪除了作三角形的角平分線、中線和高?？傮w上說，《標準》下“三角形”的課程廣度有所增加。當知識點既有增加又有減少，初中教師在進行授課時，又應該如何把握授課技巧和改變授課方法呢？接下來，我將逐一說明我自己的觀點：《標準》中新增加了等腰三角形、直角三角形的概念，其實也是從另一方面告訴我們等腰三角形、直角三角形越來越重要。還有就是，在《大綱》中只有三角形的內心和外心，《標準》下增加了三角形的重心，內心是三角形角平分線的交點，外心是三角形垂直平分線的交點，重心是三角形中線的交點，這三個知識點是非常重要的，我們必須牢牢記住。再者，《標準》下增加了作三角形的外接圓，刪除了作三角形的角平分線、中線和高，其實作三角形的外接圓必須先找出圓心，要找出圓心必須找出三角形的外心，也就是垂直平分線的交點，也就要求我們會作三角形的高和中線，而《大綱》與《標準》都有要求會作三角形的內切圓，也就是找出圓心，就是找出三角形的內心，也就是會作角平分線。初中學生好奇心強，特別是對新鮮事物，所以要盡量避免知識點的重復性，保持學生的這種好奇心，使學生更好更快地學好知識。
2課程深度變化對教學實踐的指導
基于對三角形課程的分析，可以知道，《標準》相比較于《大綱》，其對課程深度的賦值有些知識點有所增加，例如三角形頂點、邊、內角、外角、角平分線、中線和高，全等三角形、銳角三角函數的概念要求和三角形的邊長關系、直角三角形的全等判定、勾股定理的逆定理這些定理部分；同時有些知識點的課程深度賦值卻有所降低，例如相似三角形的概念要求和三角形相似的判定定理、三角形相似的性質定理這些定理部分。那課程深度賦值的增加或減少，對于教師的授課有何影響呢？
由對比可知，三角形的全等判定的課程難度賦值沒有變化，說明全等三角形這一內容是非常重要的，而直角三角形的全等判定作為一個單獨的知識點，再增加其難度賦值。相似三角形與全等三角形的內容有些許相同，但相對而言，相似三角形的內容難度較大，為控制《標準》下的三角形的課程難度，所以減少難度較大的知識點的難度賦值是十分必要的。因其難度的降低，三角形的相似判定定理或性質定理不再單獨作為一道題目，例如：
如圖，DE是ABC的中位線，延長DE至F使EF=DE，連接CF，則SCEF∶S四邊形BCED的值為（）
A1∶3 B2∶3
C1∶4 D2∶5
由題目可知，首先，我們可以證明ADE≌CFE（SAS），得到SADE=SCFE；再因為DE是ABC的中位線，可知ADE∽ABC，得到SADE∶SABC=1∶4，因此可以知道所求的結果為A選項。從這道題知道，該題目主要的考點：相似三角形的判定性質、全等三角形的判定性質、三角形的中位線定理。就這個題目而言，對于相似三角形這個知識點我們可以很清晰地看出來，既讓我們必須學會了解三角形的定義和定理，又不會出現太過刁鉆的問題，降低了相似三角形該知識點的難度，從而使得一道題目可以出現好幾個知識點又不至于難度太大，讓學生無法解答。因此，教師在講解的時候需要多注意知識的系統性，在教新知識的同時也要注意新舊知識的聯系。
3課程實施時間的變化對教學實踐的指導
由數據分析可知，《標準》中的三角形的課程實施時間較長，增加了五個課時。課時的增加一方面是因為課程廣度、課程深度的增加，所以需要增加課程實施時間來輔助教師的授課，以避免教師對新課的講解不夠具體，學生對知識點的理解不夠徹底；另一方面需要注意的是，因課時的增加，教師不應過多地補充難題、怪題，而是應該多注意幫助學生理解新舊知識的聯系，使學生形成一個系統的知識面。
4課程難度變化對教學實踐的指導
三角形中線定理范文3
知識結構
重點、難點分析
相似三角形的性質及應用是本節的重點也是難點．
它是本章的主要內容之一，是在學完相似三角形判斷的基礎上，進一步研究相似三角形的性質，以完成對相似三角形的定義、判定和性質的全面研究．相似三角形的性質還是研究相似多邊形性質的基礎，是今后研究圓中線段關系的工具．
它的難度較大，是因為前面所學的知識主要用來證明兩條線段相等，兩個角相等，兩條直線平行、垂，全國公務員共同天地直等．借助于圖形的直觀可以有助于找到全等三角形．但是到了相似形，主要是研究線段之間的比例關系，借助于圖形進行觀察比較困難，主要是借助于邏輯的體系進行分析、探求，難度較大．
教法建議
1.教師在知識的引入中可考慮從生活實例引入，例如照片的放大、模型的設計等等
2.教師在知識的引入中還可以考慮問題式引入，設計一個具體問題由學生參與解答
3.在知識的鞏固中要注意與全等三角形的對比
（第1課時）
一、教學目標
1．使學生進一步理解相似比的概念，掌握相似三角形的性質定理1．
2．學生掌握綜合運用相似三角形的判定定理和性質定理1來解決問題．
3．進一步培養學生類比的教學思想．
4．通過相似性質的學習，感受圖形和語言的和諧美
二、教法引導
先學后教，達標導學
三、重點及難點
1．教學重點：是性質定理1的應用．
2．教學難點：是相似三角形的判定1與性質等有關知識的綜合運用．
四、課時安排
1課時
五、教具學具準備
投影儀、膠片、常用畫圖工具．
六、教學步驟
［復習提問］
1．三角形中三種主要線段是什么？
2．到目前為止，我們學習了相似三角形的哪些性質？
3．什么叫相似比？
［講解新課］
根據相似三角形的定義，我們已經學習了相似三角形的對應角相等，對應邊成比例．
下面我們研究相似三角形的其他性質（見圖）．
建議讓學生類比“全等三角形的對應高、對應中線、對應角平分線相等”來得出性質定理1．
性質定理1：相似三角形對應高的比，對應中線的比和對應角平分的比都等于相似比
∽，
，
教師啟發學生自己寫出“已知、求證”，然后教師分析證題思路，這里需要指出的是在尋找判定兩三角形相似所欠缺的條件時，是根據相似三角形的性質得到的，這種綜合運用相似三角形判定與性質的思維方法要向學生講清楚，而證明過程可由學生自己完成．
分析示意圖：結論∽（欠缺條件）∽（已知）
∽，，全國公務員共同天地
BM=MC，
∽，
以上兩種情況的證明可由學生完成．
［小結］
本節主要學習了性質定理1的證明，重點掌握綜合運用相似三角形的判定與性質的思維方法．
三角形中線定理范文4
一、截取(延長)線段，構造全等三角形
例1如圖1，AD是ABC的中線，DE、DF分別是ABD、ACD的角平分線，求證：EF
分析利用角平分線的條件，分別構造兩對全等三角形，轉移BE、CF，使三條線段構成一個三角形.
證明在DA上截取DN=DB=DC，連結NE、NF.
由DE平分∠ADB，知∠1=∠2.
又BD=ND,ED=ED，
所以BDE≌NDE，
得BE=NE.
同理可得CF=NF.
而在EFN中，NE+NF>EF，
故BE+CF>EF，
即EF
點評當有角平分線時，截取相等線段，為解題開通道路.本例也可延長ED到N，由全等三角形得BE=CN,EF=NF.
二、截取(延長)線段，構造等腰三角形
例2如圖2，在ABC中，∠ACB=2∠B，求證：2AC>AB.
分析本題關鍵是如何構造出2AC.利用角的二倍關系，構造以AC為腰的等腰三角形，該等腰三角形的底邊恰與AB相等.
證明延長BC到D，使CD=AC，連結AD.
則∠CAD=∠D.
而∠ACB=∠CAD+∠D，
所以∠ACB=2∠D.
而∠ACB=2∠B，
所以∠B=∠D，得AB=AD.
在ACD中，AC+CD>AD，
所以2AC>AB.
點評本題也可以在BC上取點E，使∠AEC=∠ACB.連結AE，可類證.
三、延長中線構造平行四邊形
例3如圖3，AD是ABC的中線，求證：AB+AC>2AD.
分析由2AD想到延長AD至等長，構造出平行四邊形，就可把有關線段轉移到一個三角形中.
證明延長AD到E，使DE=AD，連結BE、CE.
又DB=DC，所以四邊形ABEC是平行四邊形，得AC=BE.
在ABE中，
AB+BE>AE，
所以AB+AC>2AD.
點評如果沒學到平行四邊形，也可證明EBD≌ACD.
四、構造中位線
例4證明：三角形任兩條中線之和大于第三條中線.
已知：如圖4，AD、BF、CE是ABC的三條中線，它們相交于N.
求證：BF+CE>AD.
分析利用三角形重心N將各中線三等分的性質，取AN的中點M，使EMN的三邊分別是各中線的三分之一.
證明取AN的中點M，連結ME.
因為AD是中線，N是重心，
所以MN=13AD.
又E是AB中點，
則EM=12BN=13BF.
因為EM+NE>MN，
而NE=13CE，
所以13BF+13CE>13AD，
從而BF+CE>AD.
點評本題也可延長ND到G，使DG=DN，得平行四邊形BNCG，再利用BNG的三邊不等關系.
五、移動線段
例5如圖5，D是ABC的邊BC的中點，E、F分別在AC、AB上，且∠EDF=90°，求證：BF+CE>EF.
分析利用直角∠EDF，構造等腰三角形以及全等三角形，將三條線段轉移到同一個三角形中.
證明延長FD到G，使DG=FD，連結EG、CG.
由∠EDF=90°，知EFG是等腰三角形，則EF=EG.
又FD=DG，BD=CD，∠1=∠2，
則BDF≌CDG，
得BF=CG.而CG+CE>EG，
所以BF+CE>EF.
點評本題的關鍵是對直角DEF條件的利用.一般有兩種方法：一是作出斜邊上的中線，二是加倍直角邊.本例采用的是后一種方法.這樣將目標式中的三條線段轉移到同一個三角形中.
六、截大補小
當已知條件中，一個角大于另一個角時，可采用“截大補小”法，即在大角內作一個角等于小角，或將小角補成與大角相等的角.
例6在ABC中，∠C>∠B，求證：AB>AC.
證法1如圖6-1，在∠C內部作∠BCD=∠B,CD交AB于點D，則BD=CD.
在ADC中，AD+CD>AC，
則AD+BD>AC,即AB>AC.
證法2如圖6-2，作∠CBE=∠C，BE與CA的延長線交于點E，則BE=CE.
在ABE中，AE+AB>BE，
則AE+AB>CE=AE+AC，
即AB>AC.
點評本例結論實際上是有關三角形邊角不等關系的一個重要定理.即在三角形中，大角對大邊，大邊對大角.
練習題1.在ABC中，AB>AC，M是角平分線AD上一點，求證：BM-CM
三角形中線定理范文5
一､受“勾三股四弦五”的影響,忽視分情況討論
例1 一個直角三角形的兩邊長分別為3和4,求第三邊長的平方.
錯解: 因為兩邊長分別為3和4,所以由“勾三股四弦五”可知,第三邊的長為5,所以第三邊長的平方為25.
剖析: 題目中并沒有指出3和4是直角三角形的兩條直角邊的長.造成錯誤的原因是思維定勢,受“勾三股四弦五”的影響而忽視了分情況討論.
正解:應分兩種情況:
(1)若已知的兩邊長是直角邊長,則第三邊是斜邊.
根據勾股定理,得斜邊長為= 5,所以第三邊長的平方為25.
(2)若已知的兩邊長是一條直角邊長和斜邊長,則較大的是斜邊長.第三邊是另一條直角邊.
根據勾股定理,得另一直角邊長為=,所以第三邊長的平方為7.
綜上,第三邊長的平方為25或7.
二､忽視勾股定理的應用條件
例2如圖1,ABC中,AB = 10,BC = 12, BC邊上的中線AD = 8.求證:AB = AC.
錯解: 因AD為中線,所以CD =BC = 6.又AD = 8,所以在RtACD中,由勾股定理可得AC = = = 10.而AB = 10,所以AB = AC.
剖析: 由于受結論及題圖的影響,加上AD為中線的條件,很多同學不進行推證,便直接認為ACD為直角三角形,從而導致了錯誤.
正解:因為AD為中線,故BD = CD =BC = 6.又AB = 10,AD = 8,并且62 + 82 = 102,即BD2 + AD2 = AB2,所以ABD為直角三角形,即ADBC.所以在RtACD中,由勾股定理,可求得AC = 10.所以AB = AC.
三､忽視勾股定理表達式的結構特點
例3 在ABC中,∠A = 90°,∠A､∠B､∠C所對的邊長分別為a､b､c,a =13,b = 5.求c.
錯解: 由勾股定理,得a2 + b2 = c2,所以c = =.
剖析: 錯解的原因在于忽視了勾股定理的本質特點,只注意到了表面形式.當∠C = 90°時,勾股定理的表達式為a2 + b2 = c2.而當∠A = 90°時,勾股定理的表達式應為b2 + c2 = a2.
正解:因為在ABC中,∠A = 90°,所以由勾股定理,得b2 + c2 = a2.
所以c = = = = 12.
四､忽視對圖形的討論
例4 已知ABC中,AB = 20,AC = 15,BC邊上的高AD = 12,求ABC的面積.
錯解: 如圖2,在RtABD中,BD === 16.在RtACD中,CD = == 9.所以BC = 16 + 9 = 25.
所以SABC = × BC × AD =× 25 × 12 = 150.
剖析: 錯解中只考慮了三角形的高在三角形內部的情況,實際上,高還有可能在三角形外.
正解: 當AD在ABC內部時,如上解,BC =BD + CD = 25.
SABC = × BC × AD = × 25 × 12 = 150.
當AD在ABC外部時,如圖3,由勾股定理可求出BD = 16,CD = 9.故BC = BD - CD = 7.
SABC = × BC × AD = × 7 × 12 = 42.
三角形中線定理范文6
[關鍵詞]三線合一；等腰三角形；運用
[中圖分類號]G633.6[文獻標識碼]A[文章編號]16746058（2017）20003001
等腰三角形在初中幾何里很基礎，等腰三角形的性質在實際的應用中非常普遍，尤其是“三線合一”這一重要定理.等腰三角形底邊上的高、中線和頂角平分線互相重合，簡稱“三線合一”.不少教案中都是把它和“等邊對等角”放在一起講.我覺得等腰三角形的“三線合一”性質在初中幾何證明和計算中占據了非常重要的地位.學生既需要知道它的由來，又要知道它的用途，還要能在圖形不全的情況下補全“三線合一”所在的基本圖形.因此，教師在教學“三線合一”定理時應該給予學生恰當引導，適時啟發，做到“授人以魚，不如授之以漁”.教師如果把握好“三線合一”定理在輔助線教學中的應用，把握好化歸思想方法的滲透，將有助于學生把握解題的關鍵，更好地培養和發展學生的思維能力，突破解題的難點，探明解題的方法，從而幫助學生提高解決問題的能力.
【例1】如圖1，點D在ABC的邊BA的延長線上，過點D作DFBC，交AC于E，垂足為點F.若AE=AD，求證：AB=AC.
分析：本題有三種證明方法.
方法1：根據AE=AD，得到∠D=∠DEA，再借助垂直關系，以及∠CEF=∠DEA，把∠D=∠DEA轉化為∠B=∠C，從而得證.
方法2：看到AE=AD的條件，我們馬上想到等腰三角形的底邊上“三線合一”定理，于是嘗試著過點A作AH垂直DE，交DE于H，得到底邊上的高AH，那么線段AH身兼三職：
底邊上的高、底邊上的中線和頂角平分線.于是，問題迎刃而解！證明：如圖2，過點A作AHDE，交DE于H，則AH∥BC.
AD=AE（已知）AH平分∠DAE.（等腰三角形底邊上“三線合一”）
∠DAH=∠EAH，而∠DAH=∠B，∠EAH=∠C.
∠B=∠C，AB=AC.
方法3：將“三線合一”定理逆過來用，即若有一個三
角形一邊上兩線合一，通過證明必可得三線合一，并且推出這是個等腰三角形.
故本題也可以從“求證AB=AC”這個求證的結論得到提示與啟發.
證明：如圖3，過點A作AGBC，則AG∥DF，
AD=AE，∠D=∠AED.
∠D=∠BAG，∠ADE=∠CAG，∠BAG=∠CAG.
∠B=∠C，AB=AC.
通過以上例題，我們有了這兩個思路：若題目給出等腰三角形的圖形環境，我們會不由自主地想到“三線合一”定理，從而嘗試著預算出“三線合一”定理能否給解題帶來便利；題目中三角形里有一條線段身兼三線中的二線，我們也應該想到是否能促成等腰三角形的存在，畢竟等腰三角形是個特殊三角形，它帶來的結論不少.
【例2】如圖4，在ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點D，CEBD的延長線于點E，求證：BD=2CE.
分析：如圖5，線段BD既是∠ABC的平分線，又是CE的垂線，讓我們聯想到“三線合一”定理.延長CE交BA延長線于F，則CBF為等腰三角形，于是問題變得簡單了許多.
證明：延長CE交BA延長線于F，
BD平分∠FBC，BECF，BC=BF，且EC=EF=1/2CF，即CF=2CE.
