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數列公式范文1
題記：
數列通項公式給出了數列中第n項與項數n之間的函數關系。求數列通項公式是數列中的基本問題，也是高考考查的重點和熱點內容之一；掌握數列通項公式的求法，有助于學生理解數列的概念以及數列與函數的關系，培養學生對知識的橫向聯系，促進學生對知識的掌握。其中構造等差數列求數列的通項公式 是近幾年高考的又一熱點，本文就如何通過構造等差數列求數列的通項公式做一歸納總結以饗讀者，以期對大家在數列的學習中有一定的幫助。
一. 倒數變換 ：
例 1。 在數列中，，求數列的通項公式。
解：等式兩邊取倒數得，令，則，數列為等差數列，公差為，又，，
例2、已知數列中，求數列通項公式。
解：當時有，
則是以為首項，1為公差的等差數列。
又，故為所求的通項公式。
例3、已知數列的前項和，且滿足，求 數列的通項公式。
解：當時有，，
，，
則是以為首項，2為公差的等差數列。
，
又，故為所求的通項公式。
歸納：形如通過倒數變換構造等差數列去求通項公式。
〖試一試〗1、已知數列的前項和，且滿足，求數列的通項公式。
二. 平方（開方）變換
例4. 若數列{}中，=2且（n），求數列 的通項公式。
解 將兩邊平方整理得。數列{}是以 =4為首項，3為公差的等差數列。。 因為>0，所以。
例5.（2013年高考廣東卷）設各項均為正數的數列的前項和為 ， 滿足且構成等比數列.
（1） 證明：；
（2） 求數列的通項公式；
（3） 證明：對一切正整數，有.
（1）證明：當時，，
（2）解：當時，，
， 當時，是公差的等差數列.
構成等比數列，，，解得，
由（1）可知，
是首項，公差的等差數列.
數列的通項公式為.
（3） 略
三.分式變換
例6.（2000年全國）已知是首項為1的正項數列，且，求數列的通項公式
解：原遞推式可化為：
=0 >0， ，=1 ，是以1為首項的常數列
即=.
【試一試】
2、已知中：，（）求數列 的通項公式。
【答案】；
3.已知函數，數列的前項和記為，點 在曲線上，且 ，
（1） 求數列的通項公式。
（2）數列的首項=1，前n項和記為，且 ，求數列的通項公式.
略解：（1）由已知得，從而
（2）由已知得，從而，進而 得
注：此題兩次構造了等差數列。
歸納：形如通過分式變換構造等差數列去求通項公式。
四. 指數變換
例7.【2008全國】在數列中，，.
（Ⅰ）設.證明：數列是等差數列；
（Ⅱ）求數列的前項和.
解：（Ⅰ）由已知，得.
又，因此是首項為1，公差為1的等差數列.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即.
，
兩邊乘以2，得，
兩式相減得
.
例8.設數列的前n項和，求數列的通項公式。
解：由得
當n=1時， =2；
當n≥2時，即得即 是以1為首項，1為公差的等差數列，=n，帶入已知條件得 ，
歸納：形如通過指數變換構造等差數列去求通項公式。
〖試一試〗
4。（2009年全國卷改編）在數列中， .
設，求數列的通項公式； （）
求數列的前n項和。 （ ）
5. （2009湖北卷理）
已知數列的前n項和（n為正整數）。
（Ⅰ）令，求證數列是等差數列，并求數列的通項公式；
（Ⅱ）令，試比較與的大小，并予以證明。
解析：（I）在中，令n=1，可得，即
當時，，
.
. .
又數列是首項和公差均為1的等差數列.
于是.
（II）由（I）得，所以
由①-②得
于是確定的大小關系等價于比較的大小
由 可猜想當證明如下：
證法1：（1）當n=3時，由上驗算顯示成立。
（2）假設n=k+1時
所以當時猜想也成立
綜合（1）（2）可知 ，對一切的正整數，都有
證法2：當時
綜上所述，當，當時
五. 換元變換.
例9。已知數列{}，其中，且當n≥3時，，求數列的通項公式。
解 由得：
當n≥3時，
令，則上式為，因此是一個等差數列，，公差為1.故.。
由于
又
所以，即
歸納：形如通過換元變換構造等差數列去求通項公式。
〖試一試〗6.已知數列滿足，求數列的通項.
解略：
數列公式范文2
關鍵詞： 數列 遞推公式 通項公式
一、a=a+f（n）型數列
例1.在數列{a}中，a=2，a=a+2n-1，求a.
解：依題意有a-a=1，a-a=3，…，a-a=2n-3
逐項累加有a-a=1+3+…+2n-3==（n-1）=n-2n+1，從而a=n-2n+3.
二、a=a?f（n）型數列
例2. 已知數列{a}中，a=，a=?a（n≥2），求數列{a}的通項公式.
解：當n≥2時，=，=，=，…，=，將這n-1個式子累乘，得到=，從而a=×=，當n=1時，==a，所以a=.
三、a=pa+q型數列
此類數列解決的辦法是將其構造成一個新的等比數列，再利用等比數列的性質進行求解.構造的辦法有兩種，一是待定系數法構造，設a+m=p（a+m），展開整理a=pa+pm-m，比較系數有pm-m=b，所以m=，所以a+是等比數列，公比為p，首項為a+.二是用做差法直接構造，a=pa+q，a=pa+q，兩式相減有a-a=p（a-a），所以a-a是公比為p的等比數列.
例3. 在數列{a}中，a=1，當n≥2時，有a=3a+2，求{a}的通項公式.
解法1：設a+m=3（a+m），即有a=3a+2m，對比a=3a+2，得m=1，于是得a+1=3（a+1），數列{a+1}是以a+1=2為首項，以3為公比的等比數列，所以有a=2?3-1.
解法2：由已知遞推式，得a=3a+2，a=3a+2，（n≥2），上述兩式相減，得a-a=3（a-a），因此，數列{a-a}是以a-a=4為首項，以3為公比的等比數列.所以a-a=4?3，即3a+2-a=4?3，所以a=2?3-1.
四、a=pa+f（n）型數列（p為常數）
此類數列可變形為=+，則可用累加法求出，由此求得a.
例4.已知數列{a}滿足a=1，a=3a+2，求a.
解:將已知遞推式兩邊同除以2得=×+1，設b=，故有b+2=×（b+2），b=-2，從而a=5×3-2.
若f（n）為n的一次函數，則a加上關于n的一次函數構成一個等比數列;若f（n）為n的二次函數， 則a加上關于n的二次函數構成一個等比數列.這時我們用待定系數法來求解.
例5．已知數列{a}滿足a=1，當n≥2時，a=a+2n-1，求a.
解:作b=a+An+B，則a=b-An-B，a=b-A（n-1）-B代入已知遞推式中得:b=b+（A+2）n+（A+B-1）.
令A+2=0A+B-1=0?圯A=-4B=6
這時b=b且b=a-4n+6
顯然，b=，所以a=+4n-6.
五、a=型數列（A，B，C為非零常數）
這種類型的解法是將式子兩邊同時取倒數，把數列的倒數看成是一個新數列，便可順利地轉化為a=pa+q型數列.
例6．已知數列{a}滿足a=2，a=，求a.
解:兩邊取倒數得:=+，所以=+（n-1）×=，故有a=.
六、a=pa+qa型數列（p，q為常數）
這種類型的做法是用待定系數法設a-λa=χ（a-λa）構造等比數列.
例7.已知數列{a}中，a=5，a=2，a=2a+3a（n≥3），求{a}的通項公式.
解：令a+xa=y（a+xa）比較系數得y-x=2xy=3?圯x=1y=3或x=-3y=-1
所以a+a=3（a+a）及a-3a=-（a-3a）
a+a=3（a+a）=3×7
a-3a=（-1）（a-3a）=（-1）×13
由以上兩式得
4a=3×7+（-1）×13
所以數列的通項公式是a=［3×7+（-1）×13 ］
例8.已知數列{a}中，a=1，a=2，a=a+a，求數列{a}的通項公式.
解：在a=a+a兩邊減去a得a-a=-（a-a）
{a-a}是以a-a=1為首項，以-為公比的等比數列，
a-a=（-）
令上式n=1，2，3，…，（n-1），再把n-1個等式累加得:
數列公式范文3
1、通項公式為an=a1q^(n-1)。
2、如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示。
3、等比數列公式就是在數學上求一定數量的等比數列的和的公式。另外，一個各項均為正數的等比數列各項取同底數數后構成一個等差數列；反之，以任一個正數C為底，用一個等差數列的各項做指數構造冪Can，則是等比數列。
（來源：文章屋網 ）
數列公式范文4
【關鍵詞】構造法；轉化；化歸
給出遞推關系，求數列的通項公式是歷年高考的熱點。在此類問題中，轉化與化歸的方法是最重要的數學思想之一，起著不可或缺的作用，貫穿在數列的整個學習過程中。轉化是解決遞推數列問題的實質所在，所以，培養學生明確的“轉化”意識，深刻理解這種思想方法的內涵，并能在解題過程中靈活運用，對于學生來說至關重要，甚至是考察學生數學思維的一項重要內容。
等差數列、等比數列是數列中最基礎且最重要的兩類特征數列，也是高中階段數列內容中的重點研究對象但在平時的習題中，往往碰到的不是這兩類數列，所以有時需要用構造法將其轉化為等差數列或等比數列，這種方法就是求數列通項公式時經常使用的構造法，體現的正是轉化與化歸的數學思想，將非等差和非等比數列轉化為我們熟悉的等差等比數列，進而使問題得到根本解決。此類題通常較難，但使用構造法往往給人耳目一新的感覺。構造的方法很多，可根據遞推公式的特征而定，現將幾種常見類型的問題總結如下：
第一類：構造等差數列
類型1.an+1=■類型
針對這種遞推關系中存在分式的問題，經常需兩邊取倒數，得到關系式■=■+■，構造出等差數列{■}，通過求{■}的通項公式，進而求出數列{an}的通項公式。
例如：已知數列{an}中，a1=1,an+1=■，求數列{an}的通項公式。
解析：an+1=■，■=■+1，又a1≠0，an≠0
所以數列{■}是首項為1，公差為1的等差數列。■=1+n-1=n，an=■.
數列{an}的通項公式為an=■.
類型2.an=pan-1+pn+k類型（其中k為常數）
這種類型可以采取等式兩邊同除以pn，得到關系式■=■+■，構造出等差數列{■}，進而得到數列{an}的通項公式。
第二類：構造等比數列
在數列求通項的有關問題中，經常遇到即非等差數列，又非等比數列的求通項問題，特別是給出的數列相鄰兩項是線性關系的題型，可以通過構造等比數列或等差數列求通項公式。
類型3.an+1=pan+q類型（其中p、q為常數，且p≠1,q≠0）
這類問題可用構造法化歸為等比數列{an+x}，運用待定系數法求出x，通過求出等比數列{an+x}的通項公式，求出數列{an}的通項公式。這種類型的遞推公式比較常見，也很重要，下面類型4、類型5的問題往往需要變形成這種類型來解決。
類型4.an+1=■類型（其中p,q為常數，且p≠0,q≠0）
此種類型需先將等式兩邊同時取倒數，得到■=■?■+■化歸為類型3的問題來解決。
類型5.an+1=pan+f(n)型（其中p為常數，且p≠1）
當f(n)=kn+b時，可設an+1+An+B=k[an+A(n-1)+B],展開之后與給出的遞推公式相同求出A、B,化歸為等比數列{an+An+B};當f(n)=qn+k時，可等式兩邊同除以qn，得到■=■.■+■，化歸為類型3的問題來解決。
類型6.an+1=pann型（其中p為常數）
此種類型需要兩邊取同底對數，如取以10為底的對數，得到lgan+1=nlgan+lgp，轉化為類型3來解決。
【總結】
此類問題的主要方法就是根據遞推關系，分析結構特征，善于合理變形，最終的目的是構造出一個與之相關的等差數列或者等比數列的形式。這種化歸的思想在這類問題中隨處可見?；瘹w思想有著它的風趣描述和理論基礎，它并不是孤立存在的，與我們其它的各種思想相互聯系著。在高中階段的教學過程我們可以挖掘知識發生過程的化歸思想，滲透知識應用過程中的化歸思想，加強解題教學，突出化歸思想?！笆谥贼~，不如傳之以漁”，“教是為了不教”，數學思想對提高學生數學能力有著重要的作用。時代在發展，思想在更新，我們教育工作者一定要把學習的主動權化歸到學生的身上去。
【參考文獻】
[1]數學教學通訊(高考數學).2008年第3期.《高中數學中轉化與化歸思想的運用》
[2]中學生數學報.張永俠.《升華教材-習題 解決一類大問題》
數列公式范文5
【例1】在數列｛a ｝中，a = ，a = a + • （n∈N ，且n≥2）。求數列｛a ｝的通項公式。
解：a = a + •
3 •a = •3 a +
記b =3 •a ，則b = b +
設b +x= （b +x），整理得：b = b + x
x= ，即x=1
b +1= （b +1）
a = ，b +1=3 •a +1=3× +1=
數列｛b +1｝是以 為首項 為公比的等比數列
b +1= •=
3 •a +1=
a = - 即為所求。
【例2】已知數列｛a ｝的前n項的和為S =2a -3•2 +10，（n=1，2，3，…），求數列｛a ｝的通項公式。
解：S =2a -3•2 +10（1）
S =2a -3•2 +10（n≥2）（2）
由（1）-（2）得：S -S =2a -3•2 +10-（2a -3•2 +10）
a =2a +3•2
= +3
記b = ，則b =b +3
在（1）中令n=1得：S =2a -3•2 +10
S =a
a =2
b =1
數列｛b ｝是以1為首項3為公差的等差數列
b = =1+3（n-1），解得：a =2 （3n-2）。
【例3】已知數列｛a ｝的前n項的和S 滿足：S -S =3-（n≥3），且S =1，S =- 求數列｛a ｝的通項公式。
解：當n≥2時，a =S -S
S =a +S ，代入S -S =3-，
得a +S -S =3•-
a +a =3•-
+ =3
記b = ，則- b +b =3，即b =2b -6
令b +x=2（b +x），則b =2b +x，解得：x=-6
b -6=2（b -6）
a =S =1
b -6= -6=-8
數列｛b -6｝是以-8為首項2為公比的等比數列
b -6=（-8）•2 ，即 -6=（-8）•2
解得：a =（-1） -4+3• 。
【例4】已知數列｛a ｝的前n項的和為S ，且對一切正整數n都有S =n + a ，求數列｛a ｝的通項公式。
解：S =n + a （1）
S =（n+1） + a （2）
由（2）-（1）得：S -S =（n+1） + a -n + a
a =2n+1+ a - a ，即a =-a +4n+2
a -2（n+1）=-（a -2n）
記b =a -2n，則b =-b
在（1）中令n=1得：S =1 + a ，
S =a
a =2，從而得b =0
b =0
a =2n即為所求。
上述例題中的數列｛a ｝所給的條件均可轉化為Aa =Ba +f（n）（A≠B）這種類型，經過恰當變形后所構造的數列｛b +1｝，｛b ｝，｛b -6｝，｛b ｝都是我們所熟知的等差或等比數列，而且它們與a 有著直接的關系，從而使問題輕松獲解。
數列公式范文6
關鍵詞：數列；通項公式；方法；
中圖分類號：G623.5
一、觀察法
例1：根據數列的前4項，寫出它的一個通項公式：
（1）9，99，999，9999，...
（2）1，1/2，1/4，1/8，...
解：（1）變形為：101- 1，102- 1，103- 1，104- 1，......
通項公式為：10n- 1
（2）變形為：1/21-1，1/22-1，1/23-1，1/24-1，......，
通項公式為：1/2n- 1
觀察法就是要抓住各項的特點，與常見的數列形式相聯系進行變形，探索出各項的變化規律，從而找出各項與項數n的關系，寫出通項公式。
二、定義法
例2：已知數列{an}是公差為d的等差數列，數列{bn}是公比為q的（q∈R且q≠1）的等比數列，若函數f（x）=（x- 1）2，且a1=f（d- 1），a3=f（d+1），b1=f（q+1），b3=f（q- 1），求數列{an}和{bn}的通項公式；
解：（1）a1=f（d- 1）=（d- 2）2，a3=f（d+1）=d2，
a3- a1=d2-（d- 2）2=2d，
d=2，
an=a1+（n- 1）d=2（n- 1）；
又b1=f（q+1）=q2，b3=f（q- 1）=（q- 2）2，
由q∈R，且q≠1，得q=- 2，bn=b·qn- 1=4·（- 2）n-1 當已知數列為等差或等比數列時，只需求得首項及公差或公比，可直接利用等差或等比數列的通項公式的定義寫出該數列的通項公式。
三、疊加法
例3：已知數列6，9，14，21，30，...求此數列的一個通項。
解：已知a2- a1=3，a3- a2=5，...，an- an- 1=2n- 1，...
各式相加得：an- a1=3+5+...+（2n- 1）=n2- 1
an=n2+5
對于可表述成為an- an- 1=f（n）的形式的數列，即可通過疊加的方法消去a2至an- 1項，從而利用的已知求出。
四、疊乘法
例4：設數列 {an}是首項為1的正項數列，且滿足（n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，求數列{an}的通項公式。
解： （n+1）a2n+1- nan2+an+1an=0，可分解為[（n+1）an+1- nan]（an+1+an）=0
又 {an}是首項為1的正項數列，
an+1+an≠0，
（n+1）an+1- nan=0，
由 此 得 出 ：a1=2a2，2a2=3a3，...，（n- 1）a（n-1）=nan，這n- 1個式子，將其相乘得：a1=nan，又a1=1，an=1/n，n=1也成立，an=1/n（n∈N*）。
對于相鄰的兩項有確定的比例關系的遞推式，可以通過疊乘法消去和，從而利用的已知求出此類數列的通項公式。
五、取倒數法
例5：已知數列{an}，a1=-1， n∈N*，求an =？
解：把原式變形得 an+1- an+1·an= an
兩邊同除以 anan+1得1/an=1/an+1 +1
{1/an} 是首項為 -1，d=-1 的等差數列
故an=-1/n
有些關于通項的遞推關系式變形后含有 anan+1項，直接求相鄰兩項的關系很困難，但兩邊同除以 anan+1后，相鄰兩項的倒數的關系容易求得，從而間接求出 an。
六、利用公式 an=Sn-Sn-1（n ≥ 2） 求通項
例 6：已知各項均為正數的數列 {an} 的前 n 項和為 Sn滿足 S1> 1 且 6Sn=（an+1）（ an+2） n ∈ N*，求 {an}的通項公式。
解：由 a1=S1= 解得 a1=1 或 a1=2，
由已知a1=S1> 1，因此 a1=2
又由 an+1= Sn+1-Sn= 1/6 （an+1 +1）（an+1 +2）-1/6 （an +1）（an +2）得（an+1+an）（ an-1-an-3） =0
an> 0 an-1-an=3從而 {an} 是首項為 2，公差為 3 的等差數列，
故 {an} 的通項為 an=2+3（n-1）=3n-1。
有 些 數 列 給 出 {an} 的 前 n 項 和 Sn與 an的 關 系 式Sn=f（an），利用該式寫出 Sn+1=f（an+1），兩式做差，再利用 an+1=Sn+1-Sn導出 an+1與 an的遞推式，從而求出 an。
七、構造等比數列法
例 7：已知數列 {an} 滿足 a1=1，an+1=2an+1 （n ∈ N*），求數列 {an} 的通項公式。
解：構造新數列 {an+p}，其中 p 為常數，使之成為公比是 an的系數 2 的等比數列，即 an+1+p =2（an+p） 整理得：an+1=2an+p， an+1= 2an+1 p=1 即 {an+1} 是首項為 a1+1=2，q=2 的等比數列 an+1=2·2n-1
an=2n-1。
原數列 {an} 既不等差，也不等比。若把 {an} 中每一項添上一個數或一個式子構成新數列，使之等比，從而求出 an。該法適用于遞推式形如 an+1=ban+c 或 an+1= ban+f（n）an+1= 或an+1=ban+cn其中 b、c 為不相等的常數，f（n） 為一次式。
總之，數列是初等數學向高等數學過度的橋梁，而求數列的通項公式又是學好數列知識的關鍵，它具有很強的技巧性。但是由于同學們在剛剛接觸數列知識時，對求數列的通項公式沒有系統的方法，常常感覺無從下手，需要教師和學生共同努力，共同思考，不斷的完善求數列通項公式的方法和技巧，開拓思維，創新學習，逐步樹立學好數學的信心，提高自身的數學素養，并能融會貫通的運用到其他的知識學習中去。
