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二元一次方程范文1
1、已知關于x、y的方程式（m2-4）x2+(m+2)x+(m+1)y=m+5，當m時，它是一元一次方程；當m 時，它是二元一次方程。
二、選擇題（每題3分共24分）
8、設A、B兩鎮相距x千米，甲從A鎮、乙從B鎮同時出發，相向而行，甲、乙行駛的速度分別為u千米/小時、v千米/小時，①出發后30分鐘相遇；②甲到B鎮后立即返回，追上乙時又經過了30分鐘；③當甲追上乙時他倆離A鎮還有4千米。求x、u、v。根據題意，由條件③，有四位同學各得到第3個方程如下，其中錯誤的一個是（）
A、x=u+4B、x=v+4C、2x-u=4 D、x-v=4
三、解答題
1、在y=ax2+bx+c中，當x=0時，y的值是-7，x=1時y的值是-9，x=-1時y的值是-3，求a、b、c的值，并求x=5時y的值。（6分）
2、解下列方程組（每題5分，共10分）
當比賽進行到第12輪結束時，該隊負3場，共積19分。
問：（1）該隊勝，平各幾場？（2）若每一場，每名參賽隊員均得出場費500元，試求該隊每名隊員在12輪比賽結束后總收入。
5、有三部樓梯，分別是五步梯、七步梯、九步梯，每攀沿一步階梯上升的高度是一致的。每部樓梯的扶桿長（即梯長）、頂檔寬、底檔寬如圖所示，并把橫檔與扶桿榫合處稱作聯結點（如點A）。（8分）
（1）通過計算，補充填寫下表：
（2）一部樓梯的成本由材料費和加工費組成，假定加工費以每個聯結點1元計算，而材料費中扶桿的單價與橫桿的單價不相等（材料損耗及其它因素忽略不計）?，F已知一部五步梯、七步梯的成本分別是26元、36元，試求出一部九步梯的成本。
參考答案
一、填空題
1、-2，2；2、2、- ，x=5y=1,x=8y=2;3、-1;
4、 ，12；5、0；6、2；7、-1，-1；8、3，3；
9、10；10、x=1y=16，x=2y=12，x=3y=8，x=4y=4；
11、4；12、x= y= ；13、1；14、x=0y=1；15、12；
16、-43；17、42，15；18、6，3。
二、選擇題
1、C；2、C；3、B；4、D；5、C；6、D；7、B；
8、A。
三、解答題
1、a=1，b=-3，c=-7；當x=3時，y=3。
2、（1）x= y= ；（2）x=-1y=2z=-3
3、設一只小貓x元，一只小狗y元，則x+2y=702x+y=50，解得x=10y=30，答一只小貓10元，一只小狗30元。
4、解（1）設該隊勝x場，平y場，則x+y+3=123x+y=19，解得x=5y=4，答該隊勝5場，平4場。
（2）5×1500+4×700+12×500=16300（元）
答該隊每名隊員在12輪比賽結束后總收入為16300元。
5、解：（1）七步梯、九步梯的扶桿長分別是5米、6米；橫檔總長分別是3.5米、5.4米（各1分）；聯結點個數分別是14個、18個。
（2）設扶桿單價為x元/米，橫檔單價為y元/米。依題意得4x+2y+1×10=265x+3.5y+1×14=36即2x+y=85x+3.5y=22，解得x=3y=2，故九步梯的成本為6×3+5.4×2+1×18=46.8（元）。
二元一次方程范文2
一、比例性質
一部分題目，其中的一個條件是以比例式的形式給出。解答這部分題時，往往可以根據比例性質，結合題意，巧用二元一次方程組進行解答，就會簡便、快捷，不容易出錯。
若x∶y=2∶4，且x+2y=-10，求x、y的值。
分析：本題根據比例的基本性質，便可以得出關于x、y的二元一次方程組。
解：由比例的基本性質可得2y=4x
x+2y=-10，解得x=-2
y=-4
二、非負數性質
如果題中傳遞給我們的許多信息是題的幾個部分都應為非負數，我們就可以用這個特征來組建二元一次方程組解答。這類題也比較常見。一般不為負數的應用有絕對值，偶次根式，偶次
冪等。
已知（3x-2y+1）2+2x+5y-12=0，求4x+5y-10的值。
解：因為（3x-2y+1）2≥0，2x+5y-12≥0且
（3x-2y+1）2+2x+5y-12=0
所以有3x-2y+1=0
2x+5y-12=0 解得x=-1
y=2
把x=1，y=2代入4x+5y-10=4×1+5×2-10=4
三、指數性質
已知am?an=a7，a2m?an=a11，求m、n的值。
解：由已知可得m+n=7
2m+n=7 解得m=4
n=3
分析：本題雖是同底數冪的運算，但是我們在解題時要根據題目的結構特征，將這樣的問題通過運算前后指數的關系轉化成方程組來解決。
若（am+1bn+1）?（a2n-1?b2m）=a5b3，求m+n的值。
分析：先計算等式的左邊，左邊可以得到一個以m、n為未知數的二元一次方程組，將方程組整理后兩方程組相加，求得m+n的值。
解：由已知可得am+2nb2m+n+2=a5b3
得m+2n=5
2m+n+2=3 即m+2n=5
2m+n=1 兩方程相加得m+n=2
解答這些題時，應根據題意，看能不能轉化為二元一次方程組間接解答。這就要我們在讀題審題時有個預判。只要認真審題，掌握一些巧用二元一次方程組解題的方法，并不斷練習，就能較快地根據題中的已知條件列出相應的二元一次方程組，進行解
二元一次方程范文3
1.教材內容的地位與作用：本節內容是在前面學習了一次函數與二元一次方程的基礎上來學習的，是第一次接觸也是對這兩個知識點的一次升華和提高，也為以后學習用二次函數圖象求一元二次方程做了鋪墊，本節課讓學生在探索過程中體驗數形結合的思想方法和數學模型的應用價值，這對今后的學習有著十分重要的意義。
2.教學目標：
（1）知識與技能目標：理解二元一次方程與一次函數的關系。會用圖象法解求二元一次方程組并會通過解二元一次方程組求得兩個一次函數的交點坐標。
（2）過程與方法目標：經歷探究過程，感受函數與方程的辯證統一，感受數學知識與方法的內存聯系，體驗數形結合思想意義，逐步學習利用數形結合思想分析和解決實際問題。
（3）情感與態度目標：培養學生會用運動、變化的觀點思考問題，使學生體會事物是互相聯系的，讓學生在學習活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數學的價值，建立自信心。
3.教學重難點：
（1）重點：探索一次函數與二元一次方程（組）的關系，掌握二元一次方程組的圖象解法，感受一次函數在數學內部的運用，探究函數與方程之間的關系，進一步體會“數形結合”的思想解決問題。
（2）難點：用函數的觀點探究問題，畫函數圖象。
4.教學突破：通過導學案用問題串引導學生動手操作、自主探索來發現二元一次方程與一次函數圖象兩者之間的內在聯系。
二、學情分析
學生已經掌握二元一次方程（組）和一次函數的基礎知識，在作一次函數圖象時，學生已建立初步的數（代數表達式）形（圖象）結合的意識，在此認知基礎上，教師可在知識關節點上為學生創設合理的問題情境以調動學生的內驅力。同時，八年級的學生模仿能力強，思維多依賴于具體、直觀、形象的特點；進而要通過一次函數與二元一次方程（組）的聯系，強化了數形結合思想的應用。要強調學生的觀察，讓學生有交流和表達自己意見的時間。讓學生在實踐經驗中體會方程和函數的聯系。
三、教學方法和學法指導
《課程標準》明確指出“數學教學是數學活動的教學”“學生是數學學習的主人”。教師的職責在于向學生提供從事數學活動的機會，在活動中激發學生的學習潛能，引導學生自由探索、合作交流與實踐創新。所以在教學中采用探究式教學法，以“情境――問題――探究――交流――應用――反思――提高”的模式展開。讓學生在學習中經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解二元一次方程與一次函數的關系。發展應用數學知識的意識和技能，增強學好數學的愿望和信心，對于學生來說，他們已經具備了初步探究問題的能力，但是對知識的主動遷移能力可能欠缺，為使學生更好地構建新的認知結構，促進學生的發展，在教學中以學生為中心，讓學生動起來，教師應把握好自己是組織者、引導者和合作者的身份，及時對學生進行鼓勵，關注學生的情感體驗。同時本節將導學案中的問題制作了課件借助多媒適時呈現問題情境，以豐富學生的感性認識，使其更具有直觀性，突破教學重難點，以提高教學效果。
四、教學程序
通過與學生一起探討問題，以達到師生互動的效果，引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題，自己動手操作，解決問題，從而歸納出解決問題的一般方法。
1.簡潔的從形式上認識到可以相互轉化總結后進入第一部分一次函數與二元一次方程之間的關系的探究。
2.一次函數與二元一次方程對就應關系應該是這節課的難點，所以用時比較長，對下一步的探究有了足夠的鋪墊后，也就水到渠成了。
3.歸納一次函數圖象上的坐標與二元一次方程的解存在一一對應的關系。
4.繼續用作函數圖象的方法在原圖中畫出另一條函數圖象來找到交點，通過讓學生發現交點坐標與對應方程組的解之間存在的對應關系，確定一次函數圖象交點坐標的對應關系。
5.自學例題總結步驟。仿照應用，學會二元一次方程組的圖象解法。（網格坐標使用――導學案作用）這里也有意回避了近似值的情況。
6.補充討論求交點坐標方法總步驟，討論已知兩函數圖象的交點怎么樣解決，總結解題步驟。
7.小結課堂收獲―――目標完成情況。
8.當堂檢測選擇一些直接易行的問題，重在讓學生加深對所學知識的理解。
9.作業布置。板書：
五、教學反思
二元一次方程范文4
(1)知識結構
(2)重點、難點分析
重點：本小節的重點是使學生學會用加減法解二元一次方程組.這也是一種全新的知識，與在一元一次方程兩邊都加上、減去同一個數或同一個整式，或者都乘以、除以同一個非零數的情況是不一樣的，但運用這項知識(這里也表現為一種方法)，有時可以簡捷地求出二元一次方程組的解，因此學生同樣會表現出一種極大的興趣.必須充分利用學生學會這種方法的積極性.加減(消元)法是解二元一次方程組的基本方法之一，因此要讓學生學會，并能靈活運用.這種方法同樣是解三元一次方程組和某些二元二次方程組的基本方法，在教學中必須引起足夠重視.
難點：靈活運用加減法的技巧，以便將方程變形為比較簡單和計算比較簡便，這也要通過一定數量的練習來解決.
2.教法建議
(1)本節是通過一個引例，介紹了加減法解方程組的基本思想和解題過程.教學時，要引導學生觀察這個方程組中未知數系數的特點.通過觀察讓學生說出，在兩個方程中y的系數互為相反數或在兩個方程中x的系數相等，讓學生自己動腦想一想，怎么消元比較簡便，然后引出加減消元法.
(2)講完加減法后，課本通過三個例題加以鞏固，這三個例題是由淺入深的，講解時也要先讓學生觀察每個方程組未知數系數的特點，然后讓學生說出每個方程組的解法，例題1老師自己板書，剩下的兩個例題讓學生上黑板板書，然后老師點評.
(3)講解完本節后，教師應引導學生比較代入法與加減法這兩種方法，這兩種方法雖有不同，但實質都是消元，即通過消去一個未知數，把“二元”轉化為“一元”.也就是說：
這時學生對解題方法比較熟悉，但還沒有上升到理論的高度，這時教師應及時點撥、滲透化歸轉化的思想，并指出這是具有普遍意義的分析問題、解決問題的思想方法.
教學設計示例
(第一課時)
一、素質教育目標
(一)知識教學點
1.使學生掌握用加減法解二元一次方程組的步驟.
2.能運用加減法解二元一次方程組.
(二)能力訓練點
1.培養學生分析問題、解決問題的能力.
2.訓練學生的運算技巧.
(三)德育滲透點
消元，化未知為已知的轉化思想.
(四)美育滲透點
滲透化歸的數學美.
二、學法引導
1.教學方法：談話法、討論法.
2.學生學法：觀察各未知量前面系數的特征，只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值后即可利用加減法進行消元，同時在運算中注意歸納解題的技巧和解題的方法.
三、重點、難點、疑點及解決辦法
(-)重點
使學生學會用加減法解二元一次方程組.
(二)難點
靈活運用加減消元法的技巧.
(三)疑點
如何“消元”，把“二元”轉化為“一元”.
(四)解決辦法
只要將相同未知量前的系數化為絕對值相等的值即可利用加減法進行消元.
四、課時安排
一課時.
五、教具學具準備
投影儀、膠片.
六、師生互動活動設計
1.教師通過復習上節課代入法解二元一次方程組的方法及其解題思想，引入除了消元法還有其他方法嗎?從而導入新課即加減法解二元一次方程組.
2.通過引例進一步讓學生探究是用代入法還是用加減法解方程組更簡單，讓學生進一步明確用加減法解題的優越性.
3.通過反復的訓練、歸納、再訓練、再歸納，從而積累用加減法解方程組的經驗，進而上升到理論.
七、教學步驟
(-)明確目標
本節課通過復習代入法從而引入另一種消元的辦法，即加減法解二元一次方程組.
(二)整體感知
加減法解二元一次方程組的關鍵在于將相同字母的系數化為絕對值相等的值，即可使用加減法消元.故在教學中應反復教會學生觀察并抓住解題的特征及辦法從而方便解題.
(三)教學過程
1.創設情境，復習導入
(1)用代入法解二元一次方程組的基本思想是什么?
(2)用代入法解下列方程組，并檢驗所得結果是否正確.
學生活動：口答第(1)題，在練習本上完成第(2)題，一個同學說出結果.
上面的方程組中，我們用代入法消去了一個未知數，將“二元”轉化為“一元”，從而得到了方程組的解.對于二元一次方程組，是否存在其他方法，也可以消去一個未知數，達到化“二元”為“一元”的目的呢?這就是我們這節課將要學習的內容.
【教法說明】由練習導入新課，既復習了舊知識，又引出了新課題，教學過程中還可以進行代入法和加減法的對比，訓練學生根據題目的特點選取適當的方法解題.
2.探索新知，講授新課
第(2)題的兩個方程中，未知數的系數有什么特點?(互為相反數)根據等式的性質，如果把這兩個方程的左邊與左邊相加，右邊與右邊相加，就可以消掉，得到一個一元一次方程，進而求得二元一次方程組的解.
解：①+②，得
把代入①，得
學生活動：比較用這種方法得到的、值是否與用代入法得到的相同.(相同)
上面方程組的兩個方程中，因為的系數互為相反數，所以我們把兩個方程相加，就消去了.觀察一下，的系數有何特點?(相等)方程①和方程②經過怎樣的變化可以消去?(相減)
學生活動：觀察、思考，嘗試用①-②消元，解方程組，比較結果是否與用①+②得到的結果相同.(相同)
我們將原方程組的兩個方程相加或相減，把“二元”化成了“一元”，從而得到了方程組的解.像這種解二元一次方程組的方法叫加減消元法，簡稱“加減法”.
提問：①比較上面解二元一次方程組的方法，是用代入法簡單，還是用加減法簡單?(加減法)
②在什么條件下可以用加減法進行消元?(某一個未知數的系數相等或互為相反數)
③什么條件下用加法、什么條件下用減法?(某個未知數的系數互為相反數時用加法，系數相等時用減法)
【教法說明】這幾個問題，可使學生明確使用加減法的條件，體會在某些條件下使用加減法的優越性.
例1解方程組
哪個未知數的系數有特點?(的系數相等)把這兩個方程怎樣變化可以消去?(相減)
學生活動：回答問題后，獨立完成例1，一個學生板演.
解：①-②，得
把代入②，得
(1)檢驗一下，所得結果是否正確?
(2)用②-①可以消掉嗎?(可以)是用①-②，還是用②-①計算比較簡單?(①-②簡單)
(3)把代入①，的值是多少?()，是代入①計算簡單還是代入②計算簡單?(代入系數較簡單的方程)
練習：P23l.(l)(2)(3)，分組練習，并把學生的解題過程在投影儀上顯示.
小結：用加減法解二元一次方程組的條件是某個未知數的系數絕對值相等.
例2解方程組
(1)上面的方程組是否符合用加減法消元的條件?(不符合)
(2)如何轉化可使某個未知數
系數的絕對值相等?(①×2或②×3)
歸納：如果兩個方程中，未知數系數的絕對值都不相等，可以在方程兩邊部乘以同一個適當的數，使兩個方程中有一個未知數的系數絕對值相等，然后再加減消元.
學生活動：獨立解題，并把一名學生解題過程在投影儀上顯示.
學生活動：總結用加減法解二元一次方程組的步驟.
①變形，使某個未知數的系數絕對值相等.
②加減消元.
③解一元一次方程.
④代入得另一個未知數的值，從而得方程組的解.
3.嘗試反饋，鞏固知識
練習：P231.(4)(5).
【教法說明】通過練習，使學生熟練地用加減法解二元一次方程組并能在練習中摸索運算技巧，培養能力.
4.變式訓練，培養能力
(1)選擇：二元一次方程組的解是()
A.B.C.D.
(2)已知，求、的值.
學生活動：第(1)題口答，第(2)題在練習本上完成.
【教法說明】第(1)題可以用解方程組的方法得解，也可以把四組值分別代入原方程組中，利用檢驗的方法解，這道題能訓練學生思維的靈活性;第(2)題通過分析，學生可得方程組從而求得、的值.此題可以培養學生分析問題，解決問題的綜合能力.
(四)總結、擴展
1.用加減法解二元一次方程組的思想：
2.用加減法解二元一次方程組的條件：某一未知數系數絕對值相等.
3.用加減法解二元一次方程組的步驟：
八、布置作業
(一)必做題：P241.
(二)選做題：P25B組1.
(三)預習：下節課內容.
參考答案
二元一次方程范文5
【關鍵詞】二元一次方程組 巧解 化難為易
大家知道，“代入法”與“加減法”是解二元一次方程組的一般方法。它們的實質都是消元。當同學們熟練地掌握了這兩種基本解法之后。就能解決一般的二元一次方程組中的題型，但是對于有些復雜一點的二元一次方程組中的有些題型，同學們處理起來還是有點吃力，根據多年的教學經驗，和教學中自己摸索的一些教學方法，同學們在聽講時更容易掌握一點。我來談談巧解二元一次方程組部分難題的一些方法。
二元一次方程組的題型我大致把它們分為三類：兩個方程，三個方程，四個方程。
兩個方程是我們書中最長見的，也是同學們練的最多的，他的基本解法有“代入法”與“加減法”。
代入消元法即：將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，代入另一個方程中，消去一個未知數，得到一個一元一次方程，最后求得方程組的解。
加減消元法即：當方程中兩個方程的某一未知數的系數相等或互為相反數時，把這兩個方程的兩邊相加或相減來消去這個未知數，從而將二元一次方程化為一元一次方程，最后求得方程組的解，有些復雜一點的二元一次方程組我們還可以用換元法。
換元法即：解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。
以上的方法都是傳統一點的方法，大部分的老師和學生都能很好掌握，下面就方程組中有些巧妙的方法我來稍做介紹。
一、兩個方程
1.整體代入法
例1、解方程組
解：由①得x-y=1③，將③代入②得4-y=5，即y=-1，代入①得x=0，所以原方程組的解為x=0，y=-1。
2.參數法
例2、解方程
解：設3（x-1）=y+5=k，則有
將③和④同時代入②得
解得k=12，再將k=12代入③④得x=5，y=7。
下面重點來介紹三個方程和四個方程的方程組。
為了便于表達二元一次方程我把他們做出了如下定義：一個方程中如果只含有像x，y這樣的兩個字母我把他們稱之為“簡單”的方程，下面我都用“簡單”表述，對于一個方程中有三個或四個字母的方程我用“難”來定義他們名字。很明顯要解出一個方程組的解只要兩個“簡單”的方程就可以了。
二、三個方程
三個方程可以分為兩種類型：
1.“簡單”，“簡單”，“難”型。
例3、如果方程組
的解為方程3x+my=8③的一個解，求m。
觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“簡單”，“難”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①②解出方程組的解為x=2，y=1，代入方程③就能解得m=2。
例4、若方程組
中x=y③，求k。
觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=3，y=3，代入②解得k=1。
例5、已知二元一次方程2x+y=3①，2x-my=-1②和3x-y=2③有公共解，求m。
觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=1，代入②得m=3。
例6、若方程組
的解x與y互為相反數③，求a。
我們可以把方程③改寫為x+y=0，觀察三個方程我們可以發現①②③分別是“簡單”，“難”，“簡單”，因此同學們自然就學會了先由兩個簡單方程①③組成方程組并解出方程組的解為x=1，y=-1，代入②得a=2。
2.“難”，“難”，“簡單”型。
對于“難”，“難”，“簡單”型我們又可以把它們分為四類。
第一類：對于字母x，y他們的系數不是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數是1或-1，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。
例7、若關于x、y的二元一次方程組
的解中，x與y的差為7③，求k。
解：②-①得2x+3y=-1④再由③和④組成方程組解得x=4，y=-3，代入①得k=-2。
例8、關于x、y的二元一次方程組
滿足x+y=12③，求k的值。
解：②-①得x+2y=2④再由③和④組成方程組解得x=22，y=-10，代入①得k=-1。
第二類：對于字母x，y他們的系數比較簡單是1或-1，但是兩個方程的字母k的系數比較復雜，這類題型我們可以想辦法先把兩個方程利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。
例9、若關于x、y的二元一次方程組
的解也是方程x+2y=15③的解，求k。
解：①+②得x=7k，①-②得y= -2k。把x=7k，y=-2k代入③解得k=5。
例10、如果二元一次方程組
的解是二元一次方程3x-5y-28=2③的一個解，那么k為多少。
解：①+②得x=2.5k，①-②得y= -1.5k。把x=2.5k，y=-1.5k代入③解得k=2。
第三類：對于字母x，y，字母k的系數都比較復雜，這類題型我們既可以用第一類的方法先把兩個方程利用加減法把k約掉，得到一個“簡單”的方程，再和另外一個“簡單”的方程組成方程組解出x，y的值，再帶入“難”求出k的值。也可以用第二類的方法利用加減法解出x等于幾k，y等于幾k，再把x等于幾k，y等于幾k代入“簡單”的方程就可求出k的值。
例11、如果二元一次方程組
的解滿足二元一次方程x+y=5③，那么k為多少。
第四類：仔細觀察x和y的系數特點，有些題目有捷徑可以走。
例如：若方程組
的解滿足x+y=0③，求m。
解：①+②得3x+3y=2+2m，即x+y=（2+2m）/3因為x+y=0，所以（2+2m）/3=0，解得m=-1。
三、四個方程
例12：已知方程組
和方程組
的解相同，求（2a+b）2013的值。
分析：我們觀察①②③④這四個方程，可知道①③這兩個方程為“簡單”，②④這兩個方程為“難”，因此解題的時候可以先由兩個“簡單”的方程組成方程組求出x和y的值，再代入兩個“難”的方程就能解出a和b的值了
解：由①③組成方程組得
解得x=2，y=-6，代入②④得
解得a=1，b=-1。所以（2a+b）2013=1
例13；已知方程組
和方程組
有相同的解，求a、b的值。
分析：很明顯本題①④為“簡單”，②③為“難”。
解：由①④組成方程組得
解得x=3，y=-1，代入②③得
解得a=1，b=2。
二元一次方程范文6
例1 解方程組3（x+y）-4（x-y）=1，+=1.
錯解：設x+y=m，x-y=n，
則原方程組可化為3m-4n=1，+=1.解得？搖m=，n=1.
所以原方程組的解是x=，y=1.
剖析：整體換元的策略是正確的，但沒有把元換過來，因而出錯。
正解：設x+y=m，x-y=n，
則原方程組可化為3m-4n=1，+=1.解得？搖m=，n=1.
所以x+y=，x-y=1.解得x=，y=.所以原方程組的解是x=，y=.
例2 某車間實行每天定額工作量管理方法，如果第一天平均每人完成5件產品，全車間一天超額完成30件；如果第二天平均每人完成4件，全車間這一天比定額少完成20件，求車間的人數及每天定額完成多少件產品？
錯解：設車間有x人，每天定額完成y件產品.
由題意，得5x-30=y，4x=y+20. 解得x=10，y=20.
答：這個車間有10人，每天定額完成20件產品.
剖析：“如果第二天平均每人完成4件，全車間這一天比定額少完成20件”根據題意應該是4x=y-20，而不應該寫成4x=y+20。錯因是把“少”的意義理解錯了.在解答類似問題時，要正確理解關鍵詞語“多”、“少”，“增加”、“減少”的意義，正確建立數量關系.
正解：設車間有x人，每天定額完成y件產品.
由題意，得5x-30=y，4x=y-20. 解得x=50，y=220.
答：這個車間有50人，每天定額完成220件產品.
例3 某人要在規定的時間內由甲地趕往乙地，如果他以每小時50千米的速度行駛，就會遲到24分鐘；如果他以每小時75千米的速度行駛，那么可提前24分鐘到達乙地，求甲、乙兩地間的距離.
錯解1：設從甲地到乙地的距離為s千米，從甲地到乙地的規定時間是t小時，
根據題意，得=t+24，=t-24.
錯解2：設從甲地到乙地的距離為s千米，從甲地到乙地的規定時間是t小時，
根據題意，得=t-，=t+.
剖析：（1）錯解1的解題過程錯在方程的單位不統一，其中和t的時間單位是小時，而24分鐘的單位是分鐘.
（2）錯解2的解題過程錯在錯誤理解了題目中的等量關系，晚到24分鐘說明時間用得多，應為t+；提前24分鐘說明時間用得少，應為t-.
正解：設從甲地到乙地的距離為s千米，從甲地到乙地的規定時間是t小時，
根據題意，得=t+，=t-.解這個方程組，得s=120，t=2.
答：從甲地到乙地的距離為120千米.
例4 一列快車長168米，一列慢車長184米，如果兩車相向而行，從相遇到離開需4秒；如果同時同向而行，從快車追上慢車到離開需16秒，求兩車的速度.
錯解：設快車速度為x米/秒，慢車速度為y米/秒.
則根據題意，得4（x+y）=168，16（x-y）=184.即x+y=42，x-y=11.5. 解得x=26.75，y=15.25.
答：快車每秒種行駛26.75米，慢車每秒種行駛15.25米.
剖析：如果兩車相向而行，則其相對速度為兩車速度之和；如果兩車同向而行，則其相對速度為兩車速度之差，這一點并沒有錯.問題是在相對移動的過程中，移動的距離應為兩火車的長度之和.
正解：設快車速度為x米/秒，慢車速度為y米/秒.
