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一、引言
作為計算機相關專業核心基礎課程，離散數學在國內外大學計算機專業教學中均受到充分的重視。近年來，計算機專業離散數學課程的教學改革受到國內各高校關注，更多地注重應用信息技術輔助于教學過程，并結合計算機學科背景、計算機專業應用開展教學，如在教學中引入數學實驗或數學建模、網絡精品課程、雙語教學，以及近年來的MOOC課程等。同時，眾多的學校也在教學思想、方法上進行改革，包括在教學過程中融入程序設計、應用案例、數學建模以及數學文化等。這些教學改革措施取得了一定的效果，但針對目前計算機專業教學面臨的就業問題、學科專業創新思維培養、課程教學學時限制等，離散數學課程教學還存在一系列需要探討的問題。注意到，這些教學改革能夠增加學生的學習興趣與學習信心，強化學習過程。但根據我們多年的教學實踐，從離散數學課程的理論性強、抽象程度高的特點以及學生學習該課程時的基礎等方面分析，這些教學改革措施實施并不容易，難以達到預期的效果，甚至可能出現本末倒置的情況。特別是網絡課程學習、動畫輔助教學等教學效果并不理想，這是有離散數學課程特點決定了的。我們認為要從計算機專業學科體系高度出發思考如何進行研究性教學，要抓住計算機學科發展規律、離散數學課程特點，以增強學生理論知識、抽象思維能力、邏輯思維能力、自主學習能力，以及理解計算機科學核心思想和方法為目標進行教學改革。本文在分析各類教學改革措施基礎上，探討新時期下離散數學教學內容與教學模式。
二、離散數學教學模式
基于現有的研究基礎與教學實踐經驗，筆者認為，要達到離散數學的主要教學目標，需要進一步探討如下幾個方面的問題:如何通過應用案例有效地增加學生學習興趣?如何有效訓練學生計算思維?如何增強學生的創新能力?如何選擇教學實驗?針對目前國內高校計算機專業體系安排以及教學學時壓縮和增強學生自主學習能力難度較大的現實，筆者認為，離散數學教學內容應該以數理邏輯、集合論以及代數結構、圖論為主，同時注重如下幾方面的教學內容的設計:應用案例、計算思維訓練、“本原性學科問題”導學設計等。離散數學采取傳統教學方式與現代計算機輔助教學方式結合的教學模式是最佳選擇。前者強調有益于學生獨立自主的學習思考的教學過程，后者強調可以適當使用多媒體方式展示有大量文字信息的內容給學生，以節省時間，讓學生快速地了解教學內容。特別地，基于歷史上學科發展過程的視角的“本原性學科問題驅動”教學模式是一種適宜于離散數學課程的教學模式，主要基于如下兩方面的思考:一方面，離散數學課程一般在低年級開設，學生對計算機專業還沒有深入的理解，如果僅僅是提供離散數學課程中邏輯性、抽象性非常強的概念、性質給學生，會使得學生在思維與方法上脫離計算機科學專業而導致其學習興趣不強，從而影響后續理論與實踐課程的學習。在新的就業形勢下，有必要開展新的教學模式研究。另一方面，教學經驗表明，學生對課程相關主題的研究歷史(相當程度上也是計算機學科的發展歷史)和研究具體過程表現出濃厚的興趣，從而啟發我們，是否可以將學科本質問題或學科相關主題的研究或發展歷史過程與離散數學課程的理論教學結合起來?希望學生在學習過程中不僅僅能看到成熟的離散數學成果，也能夠看到原始問題，看到計算機學科本質、計算機學科發展過程，能夠真正理解為什么要學、學什么以及怎么學的問題，能夠積極主動了解、理解或甚至參與學科相關問題的提出、發展的過程，這個過程類似于計算機科學家或數學家的研究活動過程。因此，研究與設計來源于歷史、可以反映研究過程并適合于課程教學的離散數學本原性學科問題是很必要和重要的。
三、離散數學教學內容
目前，國內大多數高校計算機專業離散數學課程教學內容主要包括四個部分:數理邏輯、集合論、代數結構以及圖論，而國外大部分計算機專業離散數學課程主要包括數理邏輯(證明方法)、集合、圖論、離散概率以及組合數學部分基礎或算法分析等內容，少數還討論數論。國內有少部分高校采用國外教材從而在教學內容上與后者一致，前者更合適國內計算機專業教學體系，并能更好地銜接研究生考試。整體上，國內高校離散數學教學內容與學時安排上是比較統一的，適合國內絕大部分高校計算機專業的實際情況。
1．應用案例設計
應用案例教學在離散數學教學中已受到相當程度的重視，但如何選擇案例仍然值得研究。教學案例應該是能夠很好地融合到理論學習中，學生通過課堂教學、課外自學逐步了解、理解案例的理論背景以及學科思想與方法。但限于當前學生學習任務重，自學時間少，具體分析討論的案例應該精而少。例如，筆者近年教授的計算機專業學生的專業方向是信息安全，便設計了如下的教學案例:圖論應用案例描述:軟件水印因為其種類繁多、檢測和分析困難而成為研究的熱點之一，尤其是抗攻擊能力較好的動態圖軟件水印特別受到關注。動態圖水印是由Collberg和Thomborson提出的一種基于圖論的軟件水印技術，DGW的基本思想是用一個圖的拓撲結構來表示水印數據，當輸入一個特定的序列后可以觸發后該拓撲結構在程序運行時動態創建，從而提取出圖的拓撲結構得到水印數據。實現動態圖軟件水印的基本步驟略。相關問題:①分析圖基礎概念與圖的拓撲結構定義;②定義圖結構與水印映射關系;③圖的遍歷;④設計一種圖結構與映射關系，使得動態圖軟件水印擁有更高的數據率，從而獲得更好的隱蔽性和魯棒性;⑤定義圖的Catalan數。該案例具有如下特點:①是計算機科學領域當前研究前沿熱點;②可以擴展到遙感影像數字水印，這有著學校特色與交叉學科優勢;③本案例主要涉及到圖論多個知識點，并可以擴展到代數結構部分，是理論知識與應用融合的典型案例。
2．計算思維訓練
計算思維是運用計算機科學的基礎概念進行問題求解、系統設計、以及人類行為理解等涵蓋計算機科學之廣度的一系列思維活動。計算機專業學生對計算思維的學習要求更高，這更有利于理解與應用計算機理論、方法與技術，更有利于開展創造性工作。離散數學課程的特點決定其在培養學生計算思維過程中將起到重要作用。例如，傳統離散數學教學中，在介紹圖論起源即K?nigsberg七橋問題時，常常僅作為歷史故事以及從建模角度引入圖論，而從計算思維角度，考慮從解決問題的層次進行分析，將清晰、抽象地描述該問題，并特別地該問題的解決方案表示為一個信息處理的流程。這樣，在保證相當充分且必要的理論學習的基礎上，展現給學生的是一個完整的計算機科學最為核心的思維方式，可以有效地訓練學生計算思維，并增強學習興趣。
3．本原性學科問題示例
下面是一部分“本原性學科問題”示例。①從數學到命題邏輯:介紹亞里士多德、布爾、弗雷格以及羅素等對數理邏輯發展所做的工作;②符號邏輯代數:學習了解布爾、維恩以及皮爾斯等在符號邏輯的提出、發展到成熟的過程;③哈夫曼編碼:介紹哈夫曼提出哈夫曼編碼的歷史背景與詳細過程，以及其應用模式;④網絡與生成樹:主要基于凱萊的工作介紹樹的提出、分析模式，特別是凱萊定理的提出與證明;⑤代數學中的抽象:拉格朗日、柯西、凱萊為早期群理論所做的工作;⑥七橋問題與歐拉回路:基于早期歐拉的論文完整呈現歷史上七橋問題的提出到求解的完整過程;⑦Icosian游戲于哈密爾頓回路:呈現Icosian游戲中的離散數學思想。
四、結論
本文探討了新時期離散數學教學模式與教學內容設計，提出了不簡單依賴于信息技術輔助手段，而是回歸到以學科思想、方法引領下的離散數學理論教學、學生主動學習的教學模式。將“本原性學科問題”的教學模式融入并統領離散數學理論教學過程，設計本原性學科問題指導下的本原性學科問題、應用案例、課程實驗，從而讓學生能夠在了解、理解甚至參與學科相關問題的提出、發展的研究過程中學習離散數學理論，最終在強化理論學習的基礎上，調動學生學習的積極性、參與性、創造性。教學實踐表明，所提出的研究內容與方法對提高學生理論學習以及就業競爭力具有較好的效果。本研究的后續工作主要是在進一步實踐中總結提高，特別是進一步完善“本原性學科問題”模式與具體教學過程設計。
作者：薛思清 單位：中國地質大學計算機學院
