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數學模型；構建
中圖分類號：F224 文獻標志碼：A 文章編號：1673-291X（2017）07-0007-03
電子產品包含的種類豐富，形式多樣，而且不同品牌的電子產品之間存在一定的替代效應，即電子產品市場是具有一種完全競爭性質的行業[1]。本文將以某LX品牌的電子產品為例，進行成本隨供求變化的數學經濟模型的構建。
一、成本隨供求變化的經濟問題及模型構建
該問題的設計是以完全競爭市場為背景的，在完全競爭市場條件下，整個行業的供給（S）和市場需求（D）的交點決定了某一類型產品的均衡價格P0，這時完全競爭市場中的單個廠商就只能接受將P0作為該產品的售價（見圖1 ，Q為產量，即廠商的供給）。而且，在產品均衡價格確定后，個別廠商所面臨的需求曲線是水平直線，成本的變動主要受供給曲線變動的影響[2]。因此，廠商想要在這一環境下獲取更多的銷售利潤，就必須通過產品供給量的控制來降低產品的成本，進而實現利潤的獲取。
1.成本隨供求變化的經濟問題。在完全競爭市場下，某LX品牌廠商是電子產品的主要制造商，該公司電子產品的實際生產情況如下。公司生產某一型號電子產品的長期固定總成本為28 303 800元，每多生產1臺電子產品（產品供給量，即產量），總成本就會增加460 800元。所有同行企業（市場上的其他競爭對手）的長期成本函數均保持一致。試求：（1）該型號電子產品總成本與供給量之間的關系公式；（2）此時，該型號電子產品的市場容量（即需求量）為1 000臺，那么LX電子廠商占有40%的市場份額時的成本是否比LX電子廠商占有15%市場份額時的成本更具優勢；（3）該型號電子產品的長期邊際成本是多少；（4）該型號電子產品的成本會隨著市場供給量的變動呈現怎樣的變化趨勢。
2.成本歲供求變化的數學模型構建。首先，根據上述經濟問題，市場需求量為固定值1 000臺的條件下，假設LX電子產品的長期總成本為TC，市場供給量為Q。其次，按照所設問題構建以下數學模型。
（1）根據題目可知，該型號電子產品的總成本與市場供給量之間存在這樣的函數關系：TC=28 303 800+460 800Q。
（2）因為長期總成本TC=28 303 800+460 800S，市場需求量為固定值1 000臺，所以，當LX電子廠商占有40%的市場份額時，所需要生產型號的電子產品數量、總成本、平均成本為：Q1=1 000×40%=400臺，TC1=28 303 800+460 800×4 000=212 623 800元；AC1（平均成本）=TC1/400=531 559.5元；當LX電子廠商占有15%的市場份額時，所需要生產型號的電子產品數量、總成本、平均成本為：Q2=1 000×15%=150臺，TC2=28 303 800+460 800×150=97 423 800元，AC2=TC2/150=649 492元；因為（AC2-AC1）/AC2=（649 492-531 559.5）/649 492≈18.16%，說明當LX電子廠商占有15%的市場份額時的平均生產成本要比占有15%的市場份額時的平均生產成本高出18.16%。所以相比之下，占有15%的市場份額時更具成本優勢，當LX電子廠商供給量為400臺時，成本最低。
（3）因為總成本TC=28 303 800+4 608 00S，所以，邊際成本MC=（28 303 800+4 608 00S）的導數=28 303 800。
（4）因為總成本TC=28 303 800+4 608 00S，平均成本AC=
TC/Q=（28 303 800+460 800S）/Q=460 800+28 303 800/Q。所以，可以看出，該型號電子產品的平均成本隨著供給量Q的增加而逐漸降低。但這并不表明產品成本會一直隨著供給量（生產量）的增加始終保持遞減趨勢，當廠商一味地為降低成本而擴大生產時，就會因為產量即供給大于需求而出現資源浪費、導致成本隨供給量的增加而升高。同時，當供給大于需求超過一定限度時，部分企業就會因為生產過剩，無法及時清理庫存而遭受經濟損失，直至退出市場，緊接著，新的企業進入市場，引起新一輪的供求變化，使市場需求曲線發生位移，從而產生新的均衡價格。如此往復，便形成了整個市場經濟的循環運動。
二、供求關系的解釋
供求關系是指在商品經濟條件下，商品供給和需求之間的相互聯系、相互制約的關系，它同時也是生產和消費之間的關系在市場上的反映。供求關系包括三種，第一，供不應求。是指一定時間內，市場上生產部門生產出的商品，也就是提供給人們消費的商品總額，小于（落后）人們在這段時間內滿足物質資料生活所需要產品的總額。在這種情況下，需求大于供給，這時候市場就成了賣方市場，賣方處于有利的低位[3]。第二，供大于求。說的是一定時間內，市場上生產部門生產出的商品，也就是提供給人們消費的商品總額，大于（超出）人們在這段時間內滿足物質資料生活所需要產品的總額。這使得供給大于需求，這時候市場成了買方市場，買方處于主動地位[4]。第三，供求均衡。是指在一定時間內，商品的供給與人們的需求達到了理想的對等狀態，即供給剛好滿足需求。這種平衡只是種趨勢，只能是相Φ鈉膠猓這需要在嚴格的假定條件下才能實現。在這種情況下，買方和賣方處于對等關系，雙方的關系是相對和諧、穩定的。
在完全競爭市場條件下，供求是處于平衡狀態的[5]。只是盡管在整個行業的供給和整個市場需求的共同作用下確定了市場均衡價格P0，但并不是所有的廠商都能夠將生產成本保持在均衡價格之上的。也就是說，個別廠商的生產成本（SAC）可能等于、低于或高于市場價格（P），使廠商存在盈虧平衡、盈利或虧損的狀態。下面，將就此現象探討成本與供求的關系。
1.假設在完全競爭市場中，存在多家生產同一類型產品的廠商，已知：市場需求函數為QD=80 000-5 000P，供給函數為QS=35 000+2 500P。其中，代表性廠商的LAC曲線最低點是6元，產量為500件；當產量為550件時，市場SAC變為6元。試求：（1）市場均衡價格為？該行業的市場均衡情況如何？（2）目前市場中有三種不同成本的廠商，廠商A的生產成本為6元，廠商B的生產成本為5元，廠商C的生產成本為7元，試分析這三家廠商的經營情況。
2.問題解決。
（1）因為已知QD=80 000-5 000P，QS=35 000+2 500P，所以，令QD=QS，80 000-5 000P=35 000+2 500P，7 500P=45 000，P=6，此時市場均衡價格為6，等于LAC曲的最低點數值，所以該市場目前處于長期均衡狀態。
（2）第一，廠商A：P=AR=SAC，成本隨著產量的變化而保持平衡。
此時，廠商需求曲線與SAC曲線最低點相切，產量的增加對A廠商的生產成本不會產生附加作用，廠商可以在保持成本與產量的均衡條件下實現盈虧平衡。
第二，廠商B：P=AR>SAC，平均生產成本隨著產量的增加而降低。
此時，該廠商已經處于盈利狀態。隨著廠商生產產品數量的不斷增多，當產量與市場需求曲線相交，即實現最高產量Q1，即到達E點時，就能夠獲得超額利潤（陰影部分）。
第三，廠商C：P=AR
此時，為了實現虧損的最小化，廠商會選擇E作為決策點，即在既定市場價格條件下最多生產Q1件產品。而當廠商突破Q1，增加產量時就會因成本的增加而出現虧損，最大虧損額度為CBEP0的面積。
三、結語
綜上所述，成本會隨著供給及產量的變化而發生變化，同時，由于供給本身就受到需求變動的影響，所以，成本與需求也具有一定的關系。總而言之，成本會隨供求發生變化。通過上述分析可以發現，在完全競爭的市場條件下，需求其實是確定的，所以成本與供求關系就可以轉化為成本與供給或產量的關系。一方面，隨著供給量的不斷增加，產品的平均生產成本會呈現下降趨勢，并在數額降低到一定程度時，由于市場的自動調節而出現成本隨供給量增加而提高的現象。另一方面，在需求量一定的市場條件下，企業可以通過對供給量或生產量的合理規劃來降低生產成本，進而獲取更大的利潤空間。
參考文獻：
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數學建模基本模型范文2
一、數學建模與數學建模意識
所謂數學模型，是指對于現實世界的某一特定研究對象，為了某個特定的目的，在做了一些必要的簡化假設，運用適當的數學工具，并通過數學語言表述出來的一個數學結構，數學中的各種基本概念，都以各自相應的現實原型作為背景而抽象出來的數學概念。各種數學公式、方程式、定理、理論體系等等，都是一些具體的數學模型。舉個簡單的例子，二次函數就是一個數學模型，很多數學問題甚至實際問題都可以轉化為二次函數來解決。而通過對問題數學化，模型構建，求解檢驗使問題獲得解決的方法稱之為數學模型方法。我們的數學教學說到底實際上就是教給學生前人給我們構建的一個個數學模型和怎樣構建模型的思想方法，以使學生能運用數學模型解決數學問題和實際問題。
由此，我們可以看到，培養學生運用數學建模解決實際問題的能力關鍵是把實際問題抽象為數學問題，必須首先通過觀察分析、提煉出實際問題的數學模型，然后再把數學模型納入某知識系統去處理，這不但要求學生有一定的抽象能力，而且要有相當的觀察、分析、綜合、類比能力。學生的這種能力的獲得不是一朝一夕的事情，需要把數學建模意識貫穿在教學的始終，也就是要不斷的引導學生用數學思維的觀點去觀察、分析和表示各種事物關系、空間關系和數學信息，從紛繁復雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數學模型，進而達到用數學模型來解決實際問題，使數學建模意識成為學生思考問題的方法和習慣。
二、培養數學建模意識的基本途徑。
1、必須從數學教材、教學本身結合高考導向來培養學生的數學建模意識，提高數學思維能力。雖然數學建模的目的是為了解決實際問題，但對于中學生來說，進行數學建模教學的主要目的并不是要他們去解決生產、生活中的實際問題，而是要培養他們的數學應用意識，掌握數學建模的方法，提高數學思維能力。首先我認為可以利用現行的數學教材，向學生介紹一些常用的、典型的基本數學模型，如函數模型、方程模型、不等式模型、數列模型、概率模型、幾何模型、幾何曲線模型等?？赏ㄟ^幾何、三角形測量問題和列方程解應用題的教學滲透數學建模的思想與思維過程。學習幾何、三角的測量問題，使學生多方面全方位地感受數學建模思想，讓學生認識更多現在數學模型，鞏固數學建模思維過程。
2、應盡可能地注意與其它相關學科的關系?，F代科學技術的發展，使數學廣泛的滲透到了各個學科，促進了各學科的數學化趨勢。
在建模教學中應重視選用數學與物理、化學、生物、美學等學科知識相結合的跨學科問題和大量與日常生活相聯系(如投資買賣、銀行儲蓄、優化、測量等方面)的數學問題，從其它學科中選擇應用題，通過構建模型，培養學生應用數學工具解決該學科難題的能力。我們在教學中注意數學與其它學科的呼應，不但可以幫助學生加深對其它學科的理解，也是培養學生建模意識的重要途徑。
3 、把構建數學建模意識與培養學生創造性思維過程統一起來。培養創造性思維能力，主要應培養學生靈活運用基本理論解決實際問題的能力。因此在數學教學中培養學生的建模意識實質上是培養、發展學生的創造性思維能力，因為建模活動本身就是一項創造性的思維活動，它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建模活動過程中，能培養學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉換、構造等能力。而這些數學能力正是創造性思維所具有的最基本的特征。
通過數學建模教學，使學生有獨到的見解和與眾不同的思考方法，如善于發現問題，溝通各類知識之間的內在聯系等是培養學生創新思維的核心。
三、 把構建數學建模意識與培養學生創造性思維過程統一起來。
在諸多的思維活動中，創新思維是最高層次的思維活動，是開拓性、創造性人才所必須具備的能力。我認為培養學生創造性思維的過程有三點基本要求。第一，對周圍的事物要有積極的態度；第二，要敢于提出問題；第三，善于聯想，善于理論聯系實際。因此在數學教學中構建學生的建模意識實質上是培養學生的創造性思維能力，因為建?；顒颖旧砭褪且豁梽撛煨缘乃季S活動。它既具有一定的理論性又具有較大的實踐性；既要求思維的數量，還要求思維的深刻性和靈活性，而且在建模活動過程中，能培養學生獨立，自覺地運用所給問題的條件，尋求解決問題的最佳方法和途徑，可以培養學生的想象能力，直覺思維、猜測、轉換、構造等能力。而這些數學能力正是創造性思維所具有的最基本的特征。
數學建?；灸Ｐ头段?
【關鍵詞】高校數學建模教學方法
隨著經濟社會的發展和進步，數學已成為支撐高新技術快速發展和廣泛應用的基礎學科。由于社會各生產部門均需借助于數學建模思想和方法，用以解決實際問題。因此，高校在數學建模教學過程中，必須注重將實際問題和建模思路加以有效結合，完善數學建模教學思路，創新教學方法，以培養學生的綜合能力，為社會源源不斷地輸送優秀實踐性人才。
1、數學建模的內容及意義
數學建模，指的是針對特定系統或實踐問題，出于某一特定目標，對特定系統及問題加以簡化和假設，借助于有效的數學工具，構建適當的數學結構，用以對待定實踐狀態加以合理解釋，或可以為處理對象提供最優控制決策。簡而言之，數學建模，是采用數學思想與方法，構建數學模型，用以解決實踐問題的過程。數學建模，旨在鍛煉學生的能力，數學建模就是一個實驗，實驗目標是為了使學生在分析和解決問題的過程中，逐步掌握數學知識，能夠靈活運用數學建模思想和方法，對實際問題加以解決，并能夠將其用于日后工作及實際生活中。數學建模特點如下：抽象性、概括性強，需善于抓住問題實質；應用廣泛性，在各行各業均有廣泛應用；綜合性，要求應具備與實際問題有關的各學科知識背景。數學建模不僅需要培養學生扎實的數學基礎，還要求培養學生對數學建模的興趣，積淀各領域學科知識，培養學生的綜合能力，包括發現問題、解決問題的能力，計算機應用及數據處理能力，良好的文字表達能力，優秀的團隊合作能力，信息收集與處理能力，自主學習能力等。由此可見，數學建模對于優化學生學科知識結構，培養學生的綜合能力具有重要的促進作用。
2、完善高校數學建模教學方法的必要性
作為多學科研究工作常用基本方法，數學建模是實際生產生活中數學思想與方法的重要應用形式之一。上文已經提到，數學建模過程中，多數問題并沒有統一答案和固定解決方法，必須充分調動學生的創造能力及分析解決問題能力，構建數學模型來解決問題，這要求高校數學建模教學過程中，必須注重培養學生的創新意識與能力。但是，當前我國多數高校數學建模教學過程中所采用的教學手段落后，教學改革意識薄弱，教學方法單一，缺少多樣性。數學建模教學中，教師多對理論方法加以介紹，而且重點放在講解與點評方面，學生獨立完成建模報告的情況較少，如此落后的教學方法，導致高校數學建模教學實效性差，難以充分發掘和培養學生的創新意識和創造能力。為此，有必要加快創新和完善高校數學建模教學方法，積極探索綜合創新型人才培養模式。
3、創新高校數學建模教學方法的策略
3.1科學選題
數學建模教學效果好壞，很大程度上依賴于選題的科學與否，當前，可供選擇的教材有許多，選擇過程中教師必須考慮到教學計劃、學生水平及教材難易程度。具體而言，在高校數學建模教學選題時，必須遵循如下原則：1）價值性原則。即所選題目應具有足夠的研究價值，能夠對實際生活中的現象或問題進行解釋，包括開放性、探索性問題等；2）問題為中心的原則。是指建模教學中應注重培養學生發現問題、分析問題、構建模型解決問題的能力，在選擇題目時，必須堅持這一原則，將問題作為中心，組織大家開展探究性活動；3）可行性原則。要求所選題目必須源自于生活實際，滿足學生現有認知水平及研究能力，經學生努力能夠加以解決，可以充分調動學生的研究積極性；4）趣味性原則。所選題目應為學生感興趣的熱點問題，能夠調動學生的建模興趣，同時切忌涉及過多不合實際的復雜課題，考慮到學生的認知水平，確保學生研究過程能夠保持足夠的積極性。
3.2多層面聯合
在數學建模教學過程中，應注重建模方法的各個層面，做到多層面聯合。一方面，應著重突出建模步驟。對不同步驟的特點、意義及作用，以及不同步驟之間的協作機制及所需注意的問題進行闡述，并從建模方法層面上，對情境加以創設、對問題進行理解、做出相應的假設、構建數學模型、對模型加以求解、解釋和評價。在各步驟教學過程中，必須圍繞著同一個建模問題展開，著重對問題的背景進行分析、對已知條件進行考察，對模型構建過程加以引導和討論，力圖對不同步驟思維方法加以展現，使學生能夠正確地理解各步驟及相互間的作用方式，便于學生整體把握建模方法與思路，以更好地解決實際問題，為學生構建模型提供依據和指導。另一方面，必須注重廣普性建模方法的應用，包括平衡原理方法，類比法，關系、圖形、數據及理論等分析方法。同時，善于利用數學分支建模法，包括極限、微積分、微分方程、概率、統計、線性規劃、圖論、層次分析、模糊數學、合作對策等建模方法。在針對各層面建模方法進行教學的過程中，應將各層面分化為具體的建模方法，選擇對應的實際問題加以訓練，實現融會貫通，必要時可構建“方法圖”，從整體層面研究各建模方法、步驟及其同其他學科方法間存在的多重聯系，從而逐步形成立體化的數學建模方法結構體系。
3.3整合模式
所謂的“整合”，即關注系統整體的協調性，充分發揮整體優勢。數學建模整合模式指的是加強大學各年級的知識整合，對其相互間的連續性與銜接性加以探索，以便提高數學建模教學實效性。在模式整合過程中，必須重點關注核心課程、活動及潛在課程的整合，其中，核心課程包括微積分、數學模型、數學實驗等課程；潛在課程主要指的是單科或多科選修課；建?；顒?，指的是諸如大學生建模競賽、CUMCM集訓、數學應用競賽、社會實踐活動等。與之所對應的建模教學結構，包括如下模塊：應用數學初步、建?；A知識、建?；痉椒?、建模特殊方法、建模軟件、特殊建模軟件、經濟管理等學科數學模型、機電工程數學模型、生物化學數學模型、金融數學模型、物理數學模型及綜合類數學模型等。本文提出“三階段”數學建模教學模式：第一階段，針對的是大一到大二年級的學生，該階段旨在培養其應用意識，使其掌握簡單的應用能力。教學結構包括應用數學初步、建模入門、軟件入門、高數、線性代數案例及小實驗。第二階段，面向的是大二到大三年級的學生，該階段用以培養學生的建模及應用能力。教學結構主要包括建?；A知識、建?；痉椒?、建模軟件，以及經濟管理學科數學模型，或機電工程數學模型、生物化學數學模型、金融數學模型、物理數學模型。通過開設建模課程、群組選修建模課程、講座、CUMCM活動等教學模式開展；第三階段，面向的是大三到大四年級的學生，用以培養學生綜合研究意識及應用能力。教學結構包括建模特殊方法、特殊建模軟件、綜合類數學模型等模塊。通過CUMCM集訓、畢業論文設計及相關校園文化活動與社會實踐活動開展。
3.4分層進行
數學建模教學應分層進行，根據學生掌握、運用及深化情況，分別以模仿、轉換、構建為主線來進行。
3.4.1模仿階段。
在建模教學中，培養學生的建模模仿能力必不可少。在這一階段的教學過程中，應著重要求學生對別人已構建模型及建模思路進行研究，研究別人所構建模型屬于被動性的活動，和自我探索構建模型完全不同，因此，在研究過程中，應側重于對模型如何引入和運用加以分析，如何利用現有方法從已知模型中將答案導出。在建模教學過程中，這一階段的訓練很重要。
3.4.2轉換階段。
指的是將原模型準確提煉、轉換到另一個領域，或將具體模型轉換為綜合性的抽象模型。對于各種各樣的數學問題而言，其實質就是多種數學模型的組合、更新與轉換。因此，在教學過程中，應注重培養學生的模型轉換能力。
3.4.3構建階段。
在對實際問題進行處理時，基于某種需求，需要將問題中的條件及關系采用數學模型形式進行構建，或將相互關系通過某一模型加以實現，或將已知條件進行適當簡化、取舍，經組合構建為新的模型等，再通過所學知識及方法加以解決。模型構建過程屬于高級思維活動，并沒有統一固定的模式和方法，需要充分調動學生的邏輯、非邏輯思維，還要采用機理、測試等分析方法，經分析、綜合、抽象、概括、比較、類比、系統、具體，想象、猜測等過程，鍛煉學生的數學建模能力。因此，在教學中除了需要加增強學生邏輯及非邏輯思維能力的培養以外，還應注重全面及廣泛性，盡量掌握更多的科學及工程技術知識，在處理實際問題時，能夠靈活辨識系統、準確分析機理，構建模型加以解決。
4、結束語
總而言之，數學建模是聯系數學與生產生活實踐的重要樞紐。在高校數學建模教學中，必須注重確立學生的教學主體地位，關注學生需求及興趣，積極完善教學方法，深入挖掘學生的創造潛能。為了切實提高學生分析和解決問題的能力，必須引導學生大膽探索和研究，鼓勵大家充分討論和溝通，使其知識火花不斷碰撞，求知欲望逐步提高，創新能力進一步增強。
參考文獻：
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數學建模基本模型范文4
關鍵詞： 數學建模 線性代數數學 思想滲透
1.引言
線性代數是理工科各專業數學教學的主要課程之一[1]，教學主要是偏重自身的理論體系，強調其基本定義、定理及其證明，其教學特點是：概念多，符號多，運算法則多，容易混淆，內容上具有較高的抽象性、邏輯性.通過線性代數的學習可以培養學生的推理能力和邏輯思維能力.傳統教學中基本采用重概念，重計算的思路方法，這樣教學的結果只是讓學生感覺到學習線性代數的抽象性、邏輯性，并沒有體現出它的實用性，從而造成了學生學習線性代數的障礙和困難，以致學生畢業后不懂得如何運用學過的數學知識解決實際問題.因此線性代數教學的效果直接影響學生在實踐中對數學的應用能力.本文結合線性代數課程內容的特點與教學實踐，探討了如何在線性代數教學中滲透數學建模的思想，豐富課堂教學的內涵，有效提高課堂教學質量.
2.數學建模的本質
數學建模就是運用數學的語言和方法建立數學模型[2].而數學模型是根據現實世界某一現象特有的內在規律，做出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一種抽象簡化的數學結構.這些結構可以是方程、公式，算法、表格、圖示，等等.如何在線性代數教學中滲透數學建模思想，對于培養學生學習線性代數的興趣，提高學生的思維創新能力有重要作用.
數學建模是利用數學工具解決實際問題的動態過程，這就特別體現了“用數學”的思想.自20世紀80年代以來，數學建模教學開始進入我國大學課堂，至今絕大多數本科院校和許多?？茖W校都開設了各種形式的數學建模課程和講座，為培養學生利用數學方法分析、解決實際問題的能力開辟了一條有效途徑.從1992年起，由教育部高教司和中國工業與應用數學學會共同主辦全國大學生數學建模競賽，二十幾年來這項競賽的規模以平均年增長25%以上的速度發展.每年一屆，目前已成為全國高校規模最大的基礎性學科競賽，也是世界上規模最大的數學建模競賽.2013年，來自全國33個省/市/自治區（包括香港和澳門特區）及新加坡、印度和馬來西亞的1326所院校、23339個隊（其中本科組19892隊、專科組3447隊）、70000多名大學生報名參加本項競賽.全國大學生數學建模競賽已經成為社會和學界普遍關注的一項大學生課外科技活動.
3.數學建模思想的滲透
（1）在定義教學中滲透數學建模思想
線性代數中的基本定義都是從實際問題中抽象概括得出的，因此在講授線性代數定義時，可借助定義產生的歷史背景進行剖析.通過問題的提出、分析、歸納和總結過程的引入，使學生感受到由實際問題背景轉化為數學定義的方式和方法，逐步培養學生的數學建模思想.例如：在講述行列式定義時，可以模擬法國數學家Cauchy求解空間多面體模型體積的過程，從平行四邊形面積和空間六面體體積出發，得到2階和3階行列式的基本公式，從而引發學生對高階行列式公式推導的興趣[3].在矩陣定義的引入時，可以從我國古代公元一世紀的《九章算術》說起，其第八章“方程”就提出了一次方程組問題；采用分離系數的方法表示線性方程組，相當于現在的矩陣；解線性方程組時使用的直除法，與矩陣的初等變換一致.這是世界上最早的完整的線性方程組的解法.與線性代數中Cramer法則完全相同.公元四世紀的《孫子算經》建立了“雞兔同籠”模型，實際上就是矩陣在線性方程組中的應用.這會極大地提高學生興趣，形成愛國情懷.有了實際應用背景，學生的學習目的更明確.
（2）在例題教學中滲透數學建模思想
教材中的例題就是最簡單的數學建模問題.因此，在講授理論知識的同時，要選擇一些現實問題引導學生進行分析，通過適當的簡化和合理的假設，建立簡單的數學模型并進行求解，解釋現實問題.這樣既讓學生了解了數學建模的基本思想，又讓學生體會了線性代數在解決現實問題中的重要作用，提高了學生分析問題和解決問題的能力.
例：假定某地人口總數保持不變，每年有5%的農村人口流入城鎮，有1%的城鎮人口流入農村.問該地的城鎮人口與農村人口的分布最終是否會趨于一個“穩定狀態”.
對于不同的專業，可以有所側重地補充不同類型的模型，例如：在線性方程組教學時，對于數學專業的學生，可以加入不定方程組類的模型；在線性變換教學時，對于信息專業的學生，可以加入關于計算機圖形處理模型；在矩陣教學時，對于土木專業的學生，可以加入彈性鋼梁受力形變模型等.
（3）在數學建模的過程中領悟線性代數的理論
利用課余時間，進行數學建模培訓，在建模過程中，不斷加深和鞏固課堂教學內容.例如：交通流模型、人口增長模型、保險模型、傳染病模型等[4].在建模時會應用到行列式、矩陣、特征向量等知識的應用.某種意義上，數學建模就是一個小型的科研活動，通過此項活動培養學生應用所學知識解決具體問題的能力.
4.結語
在線性代數教學中融入數學建模思想，在數學建模過程中充分應用線性代數的理論[5]，不僅可以深化教學改革[6]，激發學生學習線性代數的興趣，使學生了解數學知識在實際生活中的應用，還能提高學生運用數學知識解決實際問題的能力，為后續課程的學習打下堅實的基礎，真正做到“學以致用”.這對大學數學的教學改革和課程建設都將起到積極的推動作用.
參考文獻：
[1]陳鳳娟.線性代數的教學研究[J].高師理科學刊，2012，32（1）：74-76.
[2]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003.
[3]DavidcL.線性代數及其應用[M].沈復興，譯.北京：人民郵電出版社，2007.
[4]馬知恩，周一倉，王穩地，靳禎.傳染病動力學的數學建模與研究[M].北京：科學出版社，2004.
數學建?；灸Ｐ头段?
關鍵詞：數學建模；概率模型；數學教育
中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）51-0178-02
一、概率理論與數學建模
隨著數學教育的發展，通過數學建模的教學實踐，可以看到作為數學知識與數學應用橋梁的數學建?；顒樱瑢ε囵B學生從實際中發現問題、歸結問題、建立數學模型、使用計算機和數學軟件解決實際問題的能力，起到了其他數學課程無法替代的作用；對于培養學生的獨立思考和表述數學問題和解法的能力，有其獨到之處.國際數學教育界對數學建模教學的共識和重視的程度也隨之提高，數學建模是指根據具體問題，在一定假設下找出解這個問題的數學框架，求出模型的解，并對它進行驗證的全過程.數學模型從影響實際問題的因素是確定性還是隨機性的角度上可以分為確定性的數學模型和隨機性的數學模型.如果影響建模的主要因素是確定的，并且其中的隨機因素可以忽略，或是隨機因素的影響可以簡單地表現為平均作用，那么所建立的模型應當是確定的數學模型；相反地，如果隨機因素對實際問題的影響是主要的，不能忽略，并且在建模過程中必須考慮到，此時，建立的模型應是隨機性數學模型.本文主要討論了簡單的隨機問題中的概率模型，通過舉例說明概率基本知識在數學建模中的應用.建立概率模型的過程主要有如下特點：
1.隨機性.隨機性體現在整個概率模型的建立中，由于隨機因素對實際問題的影響不能忽略，在建模初期的模型分析與模型假設中必須考慮到隨機性的影響，在模型建立環節也會用到分析隨機問題的思想.
2.基礎性.在概率模型中，用到的概率知識基本上是期望、方差、概率分布等基本知識，所以對這些基礎知識的全面掌握是建立概率模型的關鍵.
3.啟發性.在概率模型中，如何全面地考慮建模中的不確定因素具有探索性與啟發性，而且對這些隨機因素的考慮可以激發學生的學習興趣與創造能力.
4.可轉化性.有很多確定性模型在考慮了隨機性的影響后，都可以轉化成相應的隨機性模型.
二、概率基礎知識在數學建模中的應用
客觀世界中，事物的產生、發展變化往往具有隨機性，它的特點是條件不能完全確定結果.例如某地區的降雨量、某流水生產線上的次品數、某商場一天中顧客的流量，某射手在射擊中命中靶心的次數，等等.這就要求學生在分析和求解模型中運用隨機性的思想.在此情況下，概率知識在模型中的應用也就成為必然，而且概率知識的引入也能極大地豐富了數學建模活動中數學方法的使用.
從概率模型的特點可以看出，有很多確定性的模型，當考慮了其中隨機因素的影響之后，它們都可以轉化成概率模型來求解.例如，人口模型中的指數增長模型和阻滯模型，在給定了生育率、死亡率和初始人口等數據基礎上預測了未來人口，但事實上人口的出生與死亡是隨機的，當考慮到這一點時，我們所建立的應當是隨機人口模型；再如確定性存貯模型可以轉化為隨機存貯模型等.
為了更好地將概率知識應用到數學建模中，我們應當做到以下幾點：（1）熟練地掌握概率的基本知識；（2）全面地理解所研究的實際問題；（3）充分地考慮到實際問題中的隨機性影響，并在建立模型過程中體現出隨機性；（4）對所建立的模型能作出準確地檢驗.下面舉例說明.
案例1 機票預售問題.
航空公司采用超額預訂機票的對策來應付某些旅客可能不能按時乘機的情況，以增加航空公司的收入.但預訂機票數超出座位數太多，不僅影響航空公司的信譽，而且損失過多的付給旅客的補貼.因此存在一個適度超額預訂機票的問題.
我們首先通過分析、假設，來簡化、明確問題：設f表示某航班飛行一次的固定費用，包括燃料費和維護費、機組人員的工資和報酬，以及租用機場的設施等費用.以N記飛機的座位數，以g記每位旅客所付機票費.設一個已訂票的旅客按時到達機場的概率為p，設航空公司已訂出的機票數為m，在已訂機票的m人中有k人未能按時到達機場的概率為pk，則pk=C（1-p）kpm-k. （1）
下面計算一次飛行的利潤S.
（i）如果飛機滿座，且訂票數恰好等機的座位數，即m=N，那么S=Ng-f.
（ii）如果實際訂票數大機的座位數，即m>N，而且m人中有k人未按時到達，在不考慮補償已定票而未能乘上飛機的旅客的情況下，一次飛行的利潤為：S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f，若m-k>N
由于“m人中有k人未按時到達”是隨機事件，其概率可由（1）表示，于是一次飛行的平均利潤應該用S的數學期望表示，記作，因此我們有：
為了獲得最大利潤，從（2）式可看出：唯一的辦法是減小一切0≤j≤N時Pj+m-N之值，使它盡可能接近零.由二項式分布性質可知，當m增大時Pj+m-N減小，因此增大可增加利潤.
但是，增大m會導致過多預訂了票的旅客乘不上飛機的情況發生.因此航空公司對超額預訂機票應采取一定的補救措施，如支付給這些旅客一定的補貼以消除影響.
（iii）如果實際訂票數大機的座位數，即m>N，而m人中有k人未按時到達，在考慮給每一位已訂票而未能乘上飛機的旅客補償費b的情況下，航班飛行的利潤公式應改為S（m-k）g-f，若m-k≤NNg-f-（m-k-N）b，若m-k>N
于是一次飛行的平均利潤即S的期望利潤為
由上式可以看到期望利潤與g、b、f、N、m、p諸因子有關.如果固定其他因子不變，僅考慮求m使得S達到最大，這就是航空公司希望解決的問題.
上面所舉的例子是概率模型中常見的素材，其中概率的思想和方法都體現在了建模過程中，因此概率知識在數學建模中的應用極大地豐富了建模方法，推動了數學建模的發展.
在教育向素質教育全面發展的過程中，要求學生不但要掌握知識，同時還要學會應用知識，數學建模毫無疑問是應用知識的一種很好的方式.所以在教學過程中應當注重知識的應用性，以促進學生的全面發展.
參考文獻：
[1]袁震東，等.數學建模[M].第3版.上海：華東師范大學出版社，1997.
[2]袁震東，等.數學建模方法[M].上海：華東師范大學出版社，2003.
[3]李大潛，等.中國大學生數學建模競賽[M].北京：高等教育出版社，1998.
數學建?；灸Ｐ头段?
1. 評定參賽隊的成績好壞、高低，獲獎級別，
數模答卷，是唯一依據。
2. 答卷是競賽活動的成績結晶的書面形式。
3. 寫好答卷的訓練，是科技寫作的一種基本訓練。
二、答卷的基本內容，需要重視的問題
1. 評閱原則：假設的合理性，
建模的創造性，
結果的合理性，
表述的清晰程度。
2. 答卷的文章結構
a. 摘要
b. 問題的敘述，問題的分析，背景的分析等，略
c. 模型的假設，符號說明（表）
d. 模型的建立（問題分析，公式推導，基本模型，最終或簡化模型 等）
3． 模型的求解
計算方法設計或選擇；算法設計或選擇， 算法思想依據，步驟及實現，計算框圖；所采用的軟件名稱；
引用或建立必要的命題和定理；
求解方案及流程
4．結果表示、分析與檢驗，誤差分析，模型檢驗……
5．模型評價，特點，優缺點，改進方法，推廣…….
6．
7．附錄
計算框圖
詳細圖表
8. 要重視的問題
摘要，包括：
a. 模型的數學歸類（在數學上屬于什么類型）
b. 建模的思想（思路）
c . 算法思想（求解思路）
d. 建模特點（模型優點，建模思想或方法，算法特點，結果檢驗，靈敏度分析，模型檢驗…….）
e. 主要結果（數值結果，結論）（回答題目所問的全部“問題”）
表述：準確、簡明、條理清晰、合乎語法、字體工整漂亮；打印最好，但要求符合文章格式。務必認真校對。
1．問題重述。略
2．模型假設
跟據全國組委會確定的評閱原則，基本假設的合理性很重要。
（1）根據題目中條件作出假設
（2）根據題目中要求作出假設
關鍵性假設不能缺；假設要切合題意
3．模型的建立
A. 基本模型：
a. 首先要有數學模型：數學公式、方案等
b.基本模型，要求 完整，正確，簡明
B. 簡化模型
a. 要明確說明：簡化思想，依據
b. 簡化后模型，盡可能完整給出
C. 模型要實用，有效，以解決問題有效為原則。
面臨的、要解決的是實際問題，不追求數學上：高（級）、深（刻）、難（度大）。
A. 能用初等方法解決的、就不用高級方法，
B. 能用簡單方法解決的，就不用復雜方法，
C. 能用被更多人看懂、理解的方法，就不用只能少數人看懂、理解的方法。
D. 鼓勵創新，但要切實，不要離題搞標新立異數模創新可出現在
建模中，模型本身，簡化的好方法、好策略等，
模型求解中
結果表示、分析、檢驗，模型檢驗
推廣部分
F. 在問題分析推導過程中，需要注意的問題：
u 分析：中肯、確切
u 術語：專業、內行；；
u 原理、依據：正確、明確,
u 表述：簡明，關鍵步驟要列出
u 忌：外行話，專業術語不明確，表述混亂，冗長。
4．模型求解
（1） 需要建立數學命題時：
命題敘述要符合命題的表述規范，盡可能論證嚴密。
（2） 需要說明計算方法或算法的原理、思想、依據、步驟。
若采用現有軟件，說明采用此軟件的理由，軟件名稱
（3） 計算過程，中間結果可要可不要的，不要列出。
（4） 設法算出合理的數值結果。
5．結果分析、檢驗；模型檢驗及模型修正；結果表示
（1） 最終數值結果的正確性或合理性是第一位的 ；
（2） 對數值結果或模擬結果進行必要的檢驗。
結果不正確、不合理、或誤差大時，分析原因， 對算法、計算方法、或模型進行修正、改進；
（3） 題目中要求回答的問題，數值結果，結論，須一一列出；
（4） 列數據問題：考慮是否需要列出多組數據，或額外數據對數據進行比較、分析，為各種方案的提出提供依據；
（5） 結果表示：要集中，一目了然，直觀，便于比較分析
數值結果表示：精心設計表格；可能的話，用圖形圖表形式
求解方案，用圖示更好
（6） 必要時對問題解答，作定性或規律性的討論。最后結論要明確。
6．模型評價
優點突出，缺點不回避。改變原題要求，重新建?？稍诖俗?。推廣或改進方向時，不要玩弄新數學術語。
7．參考文獻
8．附錄
詳細的結果，詳細的數據表格，可在此列出。但不要錯，錯的寧可不列。主要結果數據，應在正文中列出，不怕重復。 檢查答卷的主要三點，把三關：
n 模型的正確性、合理性、創新性
n 結果的正確性、合理性
n 文字表述清晰，分析精辟，摘要精彩
三、對分工執筆的同學的要求
四．關于寫答卷前的思考和工作規劃
答卷需要回答哪幾個問題――建模需要解決哪幾個問題
問題以怎樣的方式回答――結果以怎樣的形式表示
每個問題要列出哪些關鍵數據――建模要計算哪些關鍵數據
每個量，列出一組還是多組數――要計算一組還是多組數……
五．答卷要求的原理
u 準確――科學性
u 條理――邏輯性
u 簡潔――數學美
u 創新――研究、應用目標之一，人才培養需要
u 實用――建模。實際問題要求。
建模理念：
1. 應用意識：要解決實際問題，結果、結論要符合實際；模型、方法、結果要易于理解，便于實際應用；站在應用者的立場上想問題，處理問題。
