前言：中文期刊網精心挑選了初中數學動點與最值問題范文供你參考和學習，希望我們的參考范文能激發你的文章創作靈感，歡迎閱讀。
初中數學動點與最值問題范文1
關鍵詞：初中數學；最值問題；生活數學
最值的使用在生活中有很多，比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優方案的問題。這些問題都可以轉化成數學問題，然后用數學的方法去解決。下面我們先來看看有關于線段的最值問題：
一、有關線段和的最值問題
有關距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站，在公路旁有兩個村子A與B，問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經典的求最值問題。在這里，這個問題有兩種情形，第一是兩個村子在公路的不同側，這就轉化成了點與點之間的最短距離，也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側（如圖1），那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經典問題，而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置（如圖2），計算線路最短長度。此時，這個問題的模型又變成第一種情況，兩個村子在公路的不同側了。
由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：
恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于兩高速公路同側，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。
分析：這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值，包括四條線段的和，看起來會比較麻煩，不知道該怎么下手，其實求四邊形的周長的最小值，可以把周長分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題，再做進一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨看這兩段的話，就變得很簡單了，只要根據求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。
解析：作點A關于X軸的對稱點A′，點B關于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當P、Q在線段A′B′上時，AP+BQ+PQ=A′B′最小。
過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。
A′B′==50，而AB=50
四邊形APQB的周長最小值為：AB+A′B′=50（+1）
總結：有關線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發，抓住解決問題的關鍵，把不在同一直線上的線段轉化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題，把每個小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個問題。
二、有關函數的最值問題
有關函數的最值問題是中考?？嫉囊环N題型，也是生活中常用來解決實際問題的一種數學方法。下面我們來看這樣一個例子：某蒜薹生產基地收獲蒜薹200，下表是按批發、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價：
若經過一段時間，蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發量的。（1）求y與x之間的函數關系式。（2）由于受條件限制，經冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。
解析：（1）設零售量為x，則批發量為3x，儲藏后銷售量為200-4x，
則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）
y=-6800x+860000
（2）根據題意得：200-4x≤80，則x≥30
y=-6800x+860000在x范圍內單調遞減
x=30時，y取得最大值
y=860000-6800×30=656000
也就是求得當零售量為30噸的時候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。
總結：除了一次函數以外，二次函數也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學習數學就是為了把數學知識運用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們在學習數學的時候一定要多聯系實際，數學和生活并不是兩個獨立存在的，而是一個緊密聯系的結合體。數學的學習能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數學知識的原型，是發展數學的重要動力。
最值問題是生活中常遇到的問題，通過數學建模來解決實際問題是數學知識用于實際的重要體現，這也正說明了數學知識的生活實用性，學習數學能為我們將來創造美好的生活發揮應有的作用。
參考文獻：
1.傅彪.關于折線段最小值問題的探究.中學數學初中版，2012，8.
2.趙秀琴.初中數學最值問題的解法.考試周刊，2012，44.
初中數學動點與最值問題范文2
關鍵詞：構造函數；利用幾何性質 ；確定范圍
最值型問題，即求有關量的最大值或最小值，是初中數學的常見題型，是中考及數學競賽中的必考題型。它主要考查學生對平時所學知識的綜合應用，無論在代數還是幾何中都會出現最值問題，綜合起來，常見的最值問題主要有以下幾種解法：
一、利用函數思想，構造函數解題，主要用于解決一些成本最小、利潤最大的經濟問題及方案設計、運動變化等問題
用運動變化的觀點研究客觀世界中變量之間的相互關系和內在規律，將其用函數的形式表示出來，并通過對具體函數的分析解決問題的思想稱之為函數思想。 構造函數解題時，要注意從文字敘述、圖形、圖像、表格中，分析數量之間的變化規律，獲取變量之間的信息，建立函數關系式，從而借助于函數圖像及其性質解決相關問題同。
1.構造一次函數
例1.（2010珠海中考）今年春季，我國云南、貴州等西南地區遇到多年不遇旱災，“一方有難，八方支援”，為及時灌溉農田，豐收農機公司決定支援上坪村甲、乙、丙三種不同功率柴油發電機共10臺（每種至少一臺）及配套相同型號抽水機4臺、3臺、2臺，每臺抽水機每小時可抽水灌溉農田1畝?，F要求所有柴油發電機及配套抽水機同時工作一小時，灌溉農田32畝。
（1）設甲種柴油發電機數量為x臺，乙種柴油發電機數量為y臺。
①用含x、y的式子表示丙種柴油發電機的數量；
②求出y與x的函數關系式；
（2）已知甲、乙、丙柴油發電機每臺每小時費用分別為130元、120元、100元，應如何安排三種柴油發電機的數量，既能按要求抽水灌溉，同時柴油發電機總費用W最少？
分析：此題中發電機總費用隨發電機數量的變化而變化，故可構造W與x之間的函數來解決。
解析 （1）①丙種柴油發電機的數量為10-x-y
② 4x+3y+2（10-x-y）=32 y=12-2x
（2）丙種柴油發電機為10-x-y=（x-2）臺
W=130x+120（12-2x）+100（x-2）
=-10x+1240
依題意解不等式組
二、應用幾何性質解題
主要有：
1、三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；
2、兩點之間，線段最短；
3、連結直線外一點和直線上各點的所有線段中，垂線段最短；
相關知識：A、B兩點在直線l的同側，在直線L上取一點P，使PA+PB最小。
取點A關于直線L的對稱點A’，則AP’= AP，在A’BP中A’P’+B’P’>A’B，當P’移到A’B與直線L的交點處P點時A’P’+B’P’=A’B，所以這時PA+PB最小。
例3.在邊長為6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E為AB的中點，F是AC上一動點，則EF+BF的最小值為_______.
解析 利用兩點之間線段最短來解決，求EF+BF最短就要想法把這兩條線段轉化在一條直線上，由于菱形對角連線兩邊對稱，所以AB中點E和AD中點M關于線段AC對稱，即MF=EF
連接BM交AC于點F，線段MB即為MF+FB的最小值， 因此EF+FB=MF+FB=MB，
參考文獻
[1] 義務教育課程標準實驗教科書（華師版七、八、九年級數學）
[2] 《2009年浙江省麗水初中畢業生學業考試數學試卷》
初中數學動點與最值問題范文3
一、利用圖形的變換
例1 （2006年河南中考題）如圖1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，D是BC邊的中點，E是AB邊上一動點，則EC+ED的最小值是.
解析：如圖2，以AB所在的直線將ABC翻折得ABF.
又因為AC=BC，∠ACB=90°，
所以四邊形ACBF是正方形.
連結DF交AB于E′，連結CE′.
因為點C、點F關于AB對稱，
所以CE′=FE′.
又因為兩點之間線段最短，所以線段FD的長即為EC+ED的最小值.
此時，FD=BD2+BF2
=12+22=5.
評注：此類問題的解法是利用圖形的軸對稱變換，把兩條線段和的問題轉化為求某一條線段的長度問題，從而使問題獲解.
二、利用圖形中的不變量
例2 （2001年山東省初中數學競賽題）如圖3，已知AB=10，P是線段AB上任意一點，在AB的同側分別以AP和PB為邊作等邊APC和等邊BPD，則線段CD的長度的最小值是（ ）
（A） 4 （B） 5 （C） 6 （D） 5（5-1）
解析：如圖4，過C作CEAP于E，過D作DFPB于F，過D作DGCE于G.
顯然DG=EF=12AB=5，CD≥DG.當P為AB中點時，有CD=DG=5，所以CD長度的最小值為5，故選（B）.
評注：本題利用了圖形中的不變量DG=EF=12AB=5，又因CD≥DG，于是問題獲解.
三、利用基本不等式
例3 （2002年天津中考題）已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于O，若SAOB=4，SCOD=9，則四邊形ABCD的面積S的最小值為（ ）
（A） 21 （B） 25 （C） 26 （D） 36
解析：如圖5，設SAOD=x，SBOC=y，則
S=13+x+y.
由同高的兩個三角形面積之比等于對應底邊之比，得
SAOD∶SAOB=SCOD∶SBOC，
所以 x∶4=9∶y，
所以 xy=36，
所以 S=x+y+13
≥2xy+13
=25.
所以S的最小值為25，故選（B）.
評注：此類問題通過挖掘題中的隱含條件，利用 a+b≥2ab（a≥0，b≥0）這個基本不等式，求出其最小值.
四、利用根的判別式
例4 （2000年山東省初中數學競賽題）已知矩形A的邊長分別為 a 和 b，如果總有另一矩形B，使得矩形B與矩形A的周長之比與面積之比都等于 k，求 k 的最小值.
解析：設矩形B的邊長分別為 x、y，據題意得：
x+y=k（a+b），xy=kab.
所以 x、y 可看作一元二次方程 m2-k（a+b）m+kab=0的兩個實數根.
則Δ=k2（a+b）2-4kab≥0.
因為 k＞0，
所以 k（a+b）2-4ab≥0，
所以 k≥4ab（a+b）2.
又因為 k（a+b）＞0，kab＞0，
所以 x＞0，y＞0，
所以 k 的最小值為4ab（a+b）2.
評注：解決此類題的一般思路是，由題設找出圖形中兩線段之和與積的關系，構造出一元二次方程，再結合判別式求出最值.
五、利用函數性質
例5 （2007年南充市中考題）如圖6，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°，點M、N同時以相同的速度分別從點A、點D開始在AB、AD（包括端點）上運動.
（1）設ND的長為 x，用 x 表示出點N到AB的距離，并寫出 x 的取值范圍；
（2）當五邊形BCDNM的面積最小時，請判斷AMN的形狀.
解：（1）如圖7，過點N作NPBA，交BA的延長線于P.
由已知得：
AM=ND=x，AN=20-x.
因為四邊形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠C=30°，
所以∠D=∠C，∠PAN=∠D，
所以∠PAN=30°.
在RtAPN中，PN=12（20-x）.
即點N到AB的距離為12（20-x）.
因為點N在AD上，AD=20，
所以0≤x≤20.
又點M在AB上，AD=15，
所以0≤x≤15，
所以 x 的取值范圍是0≤x≤15.
（2）據（1）得：SAMN=12AM?NP
=14x（20-x）
=-14x2+5x.
所以當 x=-52×（-14）=10時，
SAMN有最大值.
又因為S五邊形BCDNM=S梯形ABCD-SAMN，且S梯形ABCD為定值.
所以當 x=10時，S五邊形BCDNM有最小值.
當 x=10時，有ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN.
所以當五邊形BCDNM的面積最小時，AMN為等腰三角形.
評注：由上例可看出，此類問題的一般解法是，建立幾何量之間的函數關系，將幾何最值問題轉化為二次函數的最值問題，充分體現了轉化的數學思想.
初中數學動點與最值問題范文4
一、創設情境,設疑激趣,把握導入契機
心理學研究表明:精彩的課堂開頭,往往給學生帶來新奇感,不僅能使學生的思維迅速地由抑制到興奮,而且還會使學生把學習當成一種自我需要,自然地進入學習新知識的情境中,初中數學課引入方法很多,可通過實驗開路,故事引入,懸念導入等。如教“分母有理化”一節時,教師上課后,板書一道題:“計算 1∕√2(精確到0.01)”。指定兩位同學用兩種不同方法板演。一個先把分子、分母同乘√2,很快算出結果。另一個直接用1被√2的近似值1.414除,列草式,算得很繁。兩生做完后,教師問學生:哪種方法更簡便?學生一致肯定了前一種解法,從而自然地引入了分母有理化這一課題。再如:講“坐標的互化”,先舉例比喻各國度量衡制不統一,我們不僅要掌握市制,而且要學會公制,并且能夠將它們互化。接著轉入主題:直角坐標系,極坐標系,在建立函數和圖像的對應關系時,各有優點,但有時需要將一種坐標系下的方程轉化為另一種坐標系下的方程。這就是我們要學習“直角坐標與極坐標互化”的原因。這樣引入課題并不費力,目的明確,使學生產生強烈的求知欲,迫切學習新知識,其注意力馬上被吸引到課堂教學中來,激發起主動參與研究的強烈欲望。
二、在數學教學中培養學生的新觀念、新思想
新觀念中不僅包含對事物的新認識、新思想,而且包含一個不斷學習的過程。為此作為新人才就必須學會學習,只有不斷地學習,獲取新知識更新觀念,形成新認識。在數學史上,法國大數學家笛卡兒在學生時代喜歡博覽群書,認識到代數與幾何割裂的弊病,他用代數方法研究幾何的作圖問題,指出了作圖問題與求方程組的解之間的關系,通過具體問題,提出了坐標法,把幾何曲線表示成代數方程,斷言曲線方程的次數與坐標軸的選擇無關,用方程的次數對曲線加以分類,認識到了曲線的交點與方程組的解之間的關系。主張把代數與幾何相結合,把量化方法用于幾何研究的新觀點,從而創立解析幾何學。作為數學教師在教學中不僅要教學生學會,更應教學生會學。在不等式證明的教學中,我重點教學生遇到問題怎么分析,靈活運用比較、分析、綜合三種基本證法,同時引導學生用三角、復數、幾何等新方法研究證明不等式。
例 已知 a>=0,b>=0, 且 a+b=1, 求證 (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2
證明這個不等式方法較多,除基本證法外,可利用二次函數的求最值、三角代換、構造直角三角形等途徑證明。若將 a+b=1(a>=0,b>=0) 作為平面直角坐標系內的線段,也能用解析幾何知識求證。
證法如下:在平面直角坐標系內取直線段 x+y=1,(0=<x>=1), (a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)看作點(-2,-2)與線段x+y=1上的點(a,b)之間的距離的平方。由于點到一直線的距離是這點與該直線上任意一點之間的距離的最小值。而 d*d=( -2-2-1|)/2=25/2, 所以(a+2) (a+2) +(b+2) (b+2)>=25/2?！笆谥贼~,不如授之以漁”,方法的掌握,思想的形成,才能使學生受益終生。
三、增強毅力 勤奮學習
一個人要取得成就,除了智力、能力條件外,必須有堅強的毅力,要有不怕困難,勇往直前的決心和勇氣,有的后進生數學成績差總是認為自己天生腦子笨,沒有數學細胞,所以學不來,對于這部分學生我經常教育鼓勵他們。實踐證明,良好的學習習慣可以逐步轉化上升為堅強的意志。我在培養學生的意志的時候,首先讓他們在學習生活中逐漸形成良好的學習習慣,我主要從以下幾點做起:(1)課前預習,課后復習。要求學生養成:在上課前先把所要學的內容逐字逐句地看一遍,在不懂或不理解的地方作個記號(或認真完成《導讀提綱》);課上集中聽講,認真思考,積極參與小組討論;課后先復習,再完成作業(或《導讀提綱》)。(2)作業規范化。要求學生養成:每次著手做作業之前應該先訂正上一次作業,并且要嚴格按照書寫格式來完成,字跡要工整,并且要認真審題,獨立完成作業。這樣持之以恒,就會逐漸地養成良好的習慣。(3)樹立榜樣,增強信心。對于每一次作業全優者就記上“好”,每個單元評比一下誰的“好”的次數最多。中差生作業上有進步,也應提出表揚和鼓勵,這樣他們就會逐漸克服了以往的不良習慣,慢慢地跟上了。(4)耐心說服,循循善誘,后進生完成作業有時存在一定的困難,我經常利用課余時間加以幫助,對于疑難問題仔細分析,作業上的問題有條件時盡可能面批,并且一再鼓勵他們只要能獨立完成作業,那么成績就一定能提高。
四、創設活動過程,培養學生動手能力
四、創設活動過程,培養學生動手能力
著名心理學家皮亞杰說:“兒童的思維是從動作開始的,切斷動作與思維的聯系,思維就不能得到發展”。由此可見,活動是聯系主客體的橋梁,是學生認識發展的直接源泉,因此,教學中教師要多創設讓學生動手操作,動眼觀察,動腦思考,動口表達等活動情境,最大限度地引導學生參與,以“動”啟發學生的思維,實際上,課堂就應當是學生的“活動場”,教學過程就應當是學生的“活動過程”。教師的主導作用之一就是要創設好“活動點”。例如初中數學“實習作業”一課教學設計:⑴學生自制測傾器;⑵讓學生設計實驗;⑶學生用測傾器、刻度尺等器材,動手做實驗,探究用直角三角形知識解決實際問題的方法;⑷學生試著自行小結,教師總結講解;⑸介紹用測傾器測底部不能到達的其它建筑如樓房、煙囪等高大建筑物的高度。在實習作業期間,教師在現場進行觀察指導,并回答學生提出的問題。整個教學過程通過學生積極參與活動,讓學生自主學習,自己探究,自己設計,自己分析,教師只是學生學習的指導者和活動的組織者,其教學效果甚好。
初中數學動點與最值問題范文5
模型呈現：如圖1，圓外一點與圓上任意一點聯結所成的線段中PA最長，PB最短（其中PA、PB所在的直線經過圓心O）.有了這種方法能使很多最值問題中的較難問題得到圓滿解決.
案例1：如圖2，點E為正方形ABCD的邊AD上的動點，過點A作AHBE于點H，若正方形的邊長為4，則線段DH的最小值是多少？
分析：由AHBH可知，∠AHB始終為90°，因此點H在以AB為直徑的F上運動，此時點D為F外一點，所以可利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），聯結DF交F于點H（如圖3），此時DH最小.
思考：本題學生的解答正確率其實并不高，關鍵在于學生不容易發現動點H的運動路徑是以AB為直徑的圓.那么如何才能在看似無圓的題設中準確找到圓模型呢？本題經驗告訴我們，直角三角形的直角頂點在以斜邊為直徑的圓上，故看到直角，容易找到圓模型.
經驗利用1：在正方形ABCD中，動點E，F分別從D，C兩點同時出發，以相同的速度在直線DC，CB上移動.
（1）如圖4，當點E自D向C，點F自C向B移動時，連接AE和DF交于點P，請你寫出AE與DF的位置關系，并說明理由；
（2）如圖5，當E，F分別移動到邊DC，CB的延長線上時，連接AE和DF，（1）中的結論還成立嗎？（請你直接回答“是”或“否”，不需證明）
（3）如圖6，當E，F分別在邊CD，BC的延長線上移動時，連接AE，DF，（1）中的結論還成立嗎？請說明理由；
（4）如圖7，當E，F分別在邊DC，CB上移動時，連接AE和DF交于點P，由于點E，F的移動，使得點P隨之運動，請你畫出點P運動路徑的草圖.若AD=2，試求出線段CP的最小值.
分析：（1）、（2）、（3）中AEDF（證明略）.（4）根據已知條件得AEDF，∠APD始終為90°.因此根據案例1的經驗不難發現點P在以AD為直徑的圓上運動，記圓心為點O，連接OC與圓交于點P，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這一結論，得到此時CP為最小.
經驗利用2：設a為實數，已知直線l：y=ax-a-2，過點P（-1，0）作直線l的垂線，垂足為M.點O（0，0）為坐標原點，則線段OM長度的最小值？
分析：本題共有兩大難點：第一難點是這條直線無法確定，但可以肯定的是必經過A（1，-2），第二難點是怎么發現圓模型.我們發現直線無論怎么變，∠PMA始終為直角，這樣根據案例1的經驗，以AP為直徑的圓就形成，點M始終在以AP為直徑的圓上，利用圓內一點與圓的最近距離和最遠距離這一結論確定了OM的最小值.
經驗拓展：如圖9，在平面直角坐標系中，A（1，0），B（3，0），C（0，3 ），點D是第一象限的一點，滿足∠ADB=30°，則線段CD的最小值？
分析：本題中沒有明顯的圓模型，也沒有同案例1一樣的隱含圓模型的直角，但∠ADB恒為30°，可以看成一個30°圓周角，同樣可以找到圓模型.由于圓周角∠ADB=30°，故對應的圓心角∠AMB=60°，M就是以AB的長為半徑，經過A，B兩點的圓，同樣可以利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型（圖1），最終確定CD的最小值.
推廣：當某個角的大小為恒值時，該角頂點必在以該角為圓周角的圓上.特殊的，當該角為直角時，則該直角頂點在以該直角所對斜邊為直徑的圓上.
案例2：如圖11，已知拋物線y=- （x-1）（x-7）與軸交于A、B兩點，對稱軸與拋物線交于點C，與x軸交于點D，C的半徑為2，G為C上一動點，P為AG的中點，則DP的最大值？
分析：這一問題已經明確有圓了，但怎樣利用圓的模型解決？很明顯，所求的線段PD沒有任何一個點在圓上，沒法直接利用本模型.不難發現D為線段AB的中點，結合條件“P為AG中點”，我們可以聯結BG，則PD構成ABG的中位線，利用中位線的性質PD= BG可將PD最長轉換為BG最長.B為圓外定點，G為圓上動點，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離模型可將這個問題完滿解決.
經驗利用：如圖12，二次函數y=a2x+bx+c（a≠0）的圖像交x軸于點A（-1，0），B（4，0），交y軸于點C（0，2），過B，C畫線直線，并聯結AC.
（1）求二次函數的解析式和直線BC的解析式；
（2）點F是線段BC上的一點，過點F作ABC的內接正方形DEFG，使得邊DE落在x軸上，點G在AC上，GF交y軸于點M.
①求該正方形的邊長；
②將線段EF延長，交拋物線于點H，那么點F是EH的中點嗎？請說明理由.
（3）在（2）的條件下，將線段BF繞點B旋轉，在旋轉過程中，點P始終為CF為中點，請直接寫出線段OP的最大值.
分析：（1）（2）略.第（3）問沒有明顯的圓模型，看似與圓無關，很多學生面對這個問題無從下手，其實將線段BF繞點B旋轉，可以根據圓的定義發現一個以B為圓心，BF為半徑的圓，F始終在這個圓上，圓模型出現了，但同案例2一樣，點O、點P均不是圓上的動點.從條件“點P始終為CF為中點”出發，根據案例2中利用中點構造中位線實現線段轉換的經驗，不妨作C關于X軸的對稱點C′，連接OP，C′F（如圖13），發現OP是三角形CC′F的中位線，因此把OP的最小值轉化成了C′F的最小值，利用圓外一點到圓上的點的最遠距離和最近距離這個結論，這個問題迎刃而解.
綜合應用：如圖14在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將AMN沿MN所在的直線翻折得到A′MN，連接A′C.則A′C長度的最小值？
初中數學動點與最值問題范文6
[關鍵詞] 軸對稱；最小值；方案
第二輪新課程標準已于2011年重新頒布，這一輪的課程標準經歷了前十多年的摸索、實驗和總結，相比第一輪更加完善，對于學生創新精神和獨立思考的能力要求更加符合時代的精神. 而我們一線數學教師在踐行新課程標準理念的過程中，有著不可替代的地位和作用，也就是說，新一輪課程改革的成敗與我們一線教師能否樹立新的教學理念有著密不可分的關系，因為推行新課程的主陣地還是課堂，特別是新課程標準的理念和目標，最終還需要課堂來承載和體現.
我們知道初中數學中最常見的思想方法有很多，如整體思想、轉化（化歸）思想、數形結合思想、分類討論思想、方程與函數思想、數學建模思想等，對于學生數學能力的提升，特別是解決問題的能力培養來說，數學建模思想非常重要，本文擬從數學建模思想的方面來談談對學生能力的培養，特選擇中考常見的一類問題――軸對稱問題加以說明.
例如，新人教版八年級《數學》上冊第42頁的探究題：如圖1所示，要在燃氣管道l上修建一個泵站，分別向A，B兩鎮供氣. 泵站應該修在管道的什么地方，才能使所用的輸氣管線最短？
本題是利用軸對稱變換求最小值的經典之作，無論在理論上，還是在實踐中，都有廣泛的應用價值，充分體現了數學來源于生活，又服務于生活. 在后續的學習過程中，我們常常應用這個模型來解決最小值問題，實際應用時就是利用軸對稱模型求最短距離.
經過最近幾年的研究，筆者發現在教學過程中，關鍵在于要讓學生親身經歷問題解決的過程，真正體會到模型蘊涵的數學思想方法：利用變換，化曲為直，進而求最小值. 熟練以后他們就會建立起一種數學式的思維模式，以后遇到類似的問題，他們就能想到應用軸對稱知識去解決問題，即應用這種方法去解決此類問題.
根據上面的分析我們會發現，在解決人教版八年級《數學》上冊第42頁的探究題后，可以引導學生進一步反思，及時歸納、總結得出兩種模型：“利用軸對稱可在直線l上找到唯一的點P到A，B兩點的距離之和最?。ɑ蛘呤屈cP到A，B兩點的距離之差的絕對值最大）”，依據是“兩點之間，線段最短”. 更具體地，我們可以把上面的兩種模式分別構建出來，把這兩類問題統稱為：一個動點與兩個定點之間距離的最值問題. 針對這兩種情況下的問題，我們分別建立模型一和模型二.
模型一：如圖2所示，在直線l同側有兩個定點A，B，在直線l上找一點C，使得AC+BC最小.
求法：作點A（或點B）關于直線l的對稱點A′（或B′），連結A′B（或B′A）交l于一點，則該點即為符合題意的點C. （作圖略）
模型二：如圖3所示，在直線l異側有兩個定點A，B，在直線l上找一點C，（1）使AC+BC最??；（2）使AC-BC最大.
求法：（1）情況比較簡單，連結AB交l于一點，則該點即為符合題意的點C.
（2）作點A（或點B）關于直線l的對稱點A′（或B′），連結A′B（或AB′）交l于一點，則該點即為符合題意的點C. （作圖略）
下面我們就結合最近幾年的中考試題來談談這類數學模型的應用.
例1 （2009浙江衡州）如圖4所示，已知點A（-4，8）和點B（2，n）在拋物線y=ax2上.
（1）求a的值及點B關于x軸對稱的點P的坐標，并在x軸上找一點Q，使AQ+QB最短，求出點Q的坐標.
（2）平移拋物線y=ax2，記平移后點A的對應點為A′，點B的對應點為B′，點C（-2，0）和點D（-4，0）是x軸上的兩個定點.
①當拋物線向左平移到某個位置時，A′C+CB′最短，求此時拋物線的函數解析式；
②當拋物線向左或向右平移時，是否存在某個位置，使四邊形A′B′CD的周長最短？若存在，求出此時拋物線的函數解析式；若不存在，請說明理由.
分析 （1）用代入法可求得a= ， n=2，易得點P的坐標為（2，-2），從而可求出直線AP的解析式是y=- x+ ，它與x軸的交點坐標即為所求的點Q ，0. 不難發現本題是模型一的應用.
（2）仔細分析我們會發現本題①②均是模型一的應用，只不過在設置過程中，有一些其他形式的變化. 如果審題能力夠強，平時的訓練有培養學生關于軸對稱的建模思想，這里的兩個問題就顯得容易多了，特別是①，只要能畫出圖形則與（1）的解答步驟是一樣的.而對于②，需要應用轉化思想. 要求四邊形A′B′CD的周長最短，注意到線段A′B′和CD的長是定值，從而可把問題轉化為要使四邊形A′B′CD的周長最短，只要使A′D+CB′最短即可. 答案為①拋物線的解析式為y= x+ 2. ②拋物線的解析式為y= x+ 2. 解答過程與（1）問相同.
例2 （2012福建福州質檢）如圖5所示，已知拋物線y= x2+bx+c經過A（3，0），B（0，4）兩點.
（1）求此拋物線的解析式.
（2）若拋物線與x軸的另一個交點為C，求點C關于直線AB的對稱點C′的坐標.
（3）若點D是第二象限內一點，以點D為圓心的圓分別與x軸、y軸、直線AB相切于點E，F，H，問在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得PH-PA的值最大？若存在，求出該最大值；若不存在，請說明理由.
解答 （1）因為拋物線y= x2+bx+c經過A（3，0），B（0，4）兩點，所以0= ×32+3b+c，4=c，解得b=- ，c=4.所以拋物線的解析式為y= x2- x+4.
（2）令 x2- x+4=0，解得x =1，x =3，所以點C的坐標為（1，0）. 因為點A的坐標為（3，0），點B的坐標為（0，4），所以直線AB的方程為y=- x+4. 所以點C關于直線AB的對稱點為C′ ， .
（3）根據題目要求我們很明顯地發現，本題屬于模型二②的情況，所以按照前面所構建的模型，我們需要做的事情就是去找軸對稱. A，C關于拋物線的對稱軸對稱，可連結HC并延長交對稱軸于點P，因為D與x軸、y軸均相切，且在第二象限，所以設點D的坐標為（-m，m）（m>0）. 因為D也和直線AH相切，且切點為點H，所以點D到點H的距離等于點D的縱坐標m，解得m=3. 所以點D的坐標為（-3，3）. 所以點E的坐標為（-3，0）. 所以AE=6. 根據切線長定理有AH=AE，所以易求得點H的坐標為- ， . 如圖7所示，根據拋物線的對稱性得PA=PC，因為PH-PA=PH-PC≤HC，所以當H，C，P三點共線時，PH-PC最大. 因為HC= = ，所以PH-PA的最大值為 .
從上面兩種類型的問題來看，我們發現其實質就是一種，即利用軸對稱來解決數學問題. 而軸對稱的問題核心又是根據“兩點之間，線段最短”的原理，進一步來說，我們認為對于這一類問題的教學，不能只關注其結論，關鍵還在于讓學生親身經歷問題解決的過程，真正體會到模型蘊涵的數學思想方法：利用變換，化曲為直，進而求最小值. 在我們的日常教學行為中，應加強數學思想方法的滲透，使學生不僅學好概念、定理、法則等內容，更要能領悟其中的數學思想方法，并通過不斷積累，逐漸內化為自己的經驗，形成解決問題的自覺意識. 如果教師有了這樣的教育理念，我們就不難理解前輩的經典名言：“數學基礎知識與基本技能所反映出來的數學思想方法才是數學知識的精髓. ”
除了上述兩種類型之外，在實際操作和解題過程中，除了一個動點與兩個定點之間距離的最值問題，我們常常還會遇到這個模型的變式題型，我們稱之為：“三折線段問題”，就是兩個動點與兩個定點距離之和的最小值，我們常說“萬變不離其宗”，所以只要我們掌握了二折線段的精髓，對于“三折線段問題”也就迎刃而解了. 例如下面的中考試題就是很有代表性的問題.
例3 （2011福建福州）如圖8所示，二次函數y=ax2+2ax-3a（a≠0）圖象的頂點為H，與x軸交于A，B兩點（點B在點A右側），點H，B關于直線l ∶ y= x+ 對稱.
（1）求A，B兩點的坐標，并證明點A在直線l上.
（2）求二次函數的解析式.
（3）過點B作直線BK∥AH交直線l于點K，M，N分別為直線AH和直線l上的兩個動點，連結HN，NM，MK，求HN+NM+MK和的最小值.
分析 （1）因為二次函數的解析式為y=ax2+2ax-3a，令ax2+2ax-3a=0，解得x =-3，x =1，所以A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0）. 將點A的坐標代入y= x+ ，有0= ×（-3）+ =- + ，等式成立，所以點A在直線l上.
（2）容易求得點B關于直線l對稱的點H的坐標為（-1，2 ），因為二次函數的圖象過點H，所以有2 =a?（-1）2+2a（-1）-3a，解得a=- . 所以二次函數的解析式為y=- x2- x+ .
（3）不難發現，本題就是“兩個動點與兩個定點距離之和的最小值”類型的問題. 應用上面我們構建的模型，可通過軸對稱用相等的線段把問題轉化為一個三角形的三條邊關系，再利用相關知識求解即可. 分析思路可以從兩個方面來入手.
思路一，如圖9所示，作點K關于直線AH的對稱點Q.
①因為點H，B關于直線AK對稱，所以HN=BN. 因為MN+BN≥MB，所以HN+MN的最小值是MB.
②因為點K關于直線AH的對稱點為點Q，所以MK=MQ.
③因為MB+MK≥BQ，所以MN+HN+MK≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.
④應用勾股定理可求出BQ的長.
思路二，如圖10所示，作點K關于直線AH的對稱點Q.
①因為點K關于直線AH的對稱點是點Q，所以MK=MQ.
②因為MQ+MN≥QN，所以MK+MN≥QN.
③因為點H，B關于直線AK對稱，所以HN=BN. 因為QN+BN≥BQ，所以MK+MN+NH≥BQ，即MN+HN+MK的最小值是BQ.
④應用勾股定理可求出BQ的長.
容易求得點K的坐標為（3，2 ），所以點K關于直線AH的對稱點Q的坐標為（-3，4 ）. 所以MN+HN+MK的最小值為BQ的長，即8.
