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數學建模的微分方程方法范文1
【中圖分類號】O175 【文獻標識碼】A 【文章編號】1674-4810（2012）23-0025-02
目前有關非線性科學的研究方興未艾，這極大地促進了力學、物理、生物、地學、機械工程、通訊工程、電力工程和航空航天技術的發展。為了培養這方面的人才，這對非線性科學起奠基性作用的“常微分方程”的教學提出了新的要求。而另一方面，“常微分方程”更是后續課程“泛函”“偏微”“微分幾何”等的基礎。如何做到二者兼顧，新知識、新方法怎樣注入教學之中，如何用新的思路去改進教學方法，怎樣才能把時代的新要求貫穿于教學始終，這成了現代“常微分方程”課程教學面臨的新課題。由此，結合所在學校關于常微分方程的教學特點及自身經驗，本文對“常微分方程”課程教學的內容選擇上進行了一些思考。
一 結合數學建模
當前，大學生數學建模競賽越來越普及，研究生數學建模競賽也已開展，數學建模已成為高等院校提高素質教育及教學改革的重要手段。常微分方程模型是數學建模的重要方法之一。因此，這門課程的地位和作用將越來越重要。在教學中，通過大量、富有趣味性的實際例子突出數學的應用，讓學生學會運用“常微分方程”建模并分析實際問題是我們的目標。因此，在教學過程中應有目的地將社會經濟生活和現代科學技術的熱點問題引進來，體現用常微分方程知識求解實際問題的全過程，即“實際問題—數學模型—模型解答—結果分析—模型改進—實際應用”。在教學過程中可采用以下幾個典型的微分方程模型（如人口增長模型；傳染病SIS模型；捕食-被捕食模型等）和現實熱點問題（如碳定年法；核廢料的處理問題等）。將常微分方程的理論、方法與解決實際問題有機地結合起來。其原則是既注重理論性強、方法多樣及技巧性強等特點，又要體現利用常微分方程進行數學建模思想等特點，力爭實現理論嚴密性、方法多樣性和應用廣泛性相結合。
二 結合歷史背景
數學理論大都是從現實具體問題中抽象出來的。如果直接將抽象理論灌輸給學生，容易使學生不知所云，很難激發學習熱情，很難營造一個良好的教學氛圍。本人在教學過程中，往往結合數學史，從而引出每個階段的授課內容，即為什么研究這個問題，在這個過程中有什么有趣的故事可以介紹給同學，從而提高學生的學習興趣。弄清楚每個理論的來龍去脈及發展的經歷，對學生數學素養的提高及科學探索精神的培養都是非常有益的，如在“平面定性理論”的授課過程中可以結合數學史。1841年，劉維爾證明黎卡提方程不存在初等函數積分表示的解，而法國數學家們研究的三體問題就不能用已知函數解出，從而運動的穩定性問題就不可能通過考察解的性態而得到。因而要求數學家們開始從方程本身（不求解）直接討論解的性質。龐加萊最終給出了從方程本身找出答案的訣竅。從1881年起，龐加萊獨創出常微分方程的定性理論，創造了一套只通過考察微分方程本身就可以回答關于穩定性等問題的方法，并且在個別章節的講解中還可以結合科研前沿，從而讓學生對常微分方程的面貌有一個概略的印象。通過上述事例，就可以讓學生感受科學研究的一般思維、過程及原理，這對于培養學生的數學邏輯能力很有幫助。
三 結合數學軟件
目前已進入信息時代，計算機已普及應用。正是因為計算機技術的發展，才引發了混沌、孤立子及分形等新現象的發現，使用計算機數學軟件可大大促進數學包括常微分方程的教學、學習和研究。我國的常微分教程多偏重理論，求解析解，而忽視定性分析、數值模擬等實際應用。事實上，多數微分方程是很難或不能得到其解析解的，而我們通過數學軟件（Mathematica、Matlab和Maple），利用已有數據進行數值模擬，能很好地模擬模型的發展變化情況及長時間的動力行為，以便我們進行預測和評估。
四 結合專業特色
不難發現，學生在興趣愛好、就業和考研意向等方面存在著不同的差異，表現在數學知識需求和接受能力等方面不盡一致。結合到筆者所在學院具有三個本科專業的特點，在授課內容上也是結合專業特色因材施教。例如，對數學與應用數學專業的學生在教學過程中應加大研究性教學的力度，在課堂教學中采取“啟發式”和“討論式”的教學方法，使學生掌握數學科學的基本理論與基本方法，注重學生邏輯思維能力、創新能力的培養。對信息與計算科學專業學生注重介紹問題的背景，影響問題的主要因素及根據這些主要因素做出簡化假設，建立方程，并利用所得的數學結果解釋問題的現象，培養的學生具有良好的數學基礎，能熟練地使用計算機，初步具備在信息與計算科學領域的某個方向上從事科學研究，解決實際問題，設計開發有關軟件的能力。對金融數學專業在教學過程中，可以多列舉與金融相關的建模實例，從而使學生具有良好的數學素養，掌握金融數學的基本原理、方法熟練的計算機使用技能，能熟練運用數學知識和數據挖掘分析方法解決實際問題。
最后，在今后一段時期內，作者認為在常微分方程的教學改革中，應該把改革的重心放在課程內容選擇上。因為對于不同專業的學生，他們的需求和需要掌握的知識體系是不一樣的，因而從教學大綱、教學計劃到最后的授課內容，都應該積極地進行教研，并及時與社會需求相結合，更準確地了解社會對于學生的需求狀況及對學生知識掌握程度的需求。只有更充分的調研，才能讓學生有更好的發展。教改之路漫長且艱辛，需吾輩加倍努力。
參考文獻
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[3]張良勇、董曉芳.常微分方程的起源與發展[J].高等函授學報（自然科學版），2006（3）：34～39
數學建模的微分方程方法范文2
關鍵詞： 常微分方程 教學方法 能力培養
常微分方程是一門應用型課程，它在自動控制、彈道的計算，導彈飛行和習機的穩定性的研究、生物物種模型的研究等學科上有著廣泛的應用，因此對常微分方程的教學研究有著重要的意義.
1.提高學生對常微分方程類型的識別能力，對具體問題進行具體分析.
在微分方程的學習過程中，首先要分清微分方程的類型，針對不同的類型的方程應用不同的解法，如：
首先要分清方程的類型，它不是恰當方程，就不能直接用求恰當方程的方法計算，那么就要尋找方程的積分因子，使其轉化為恰當方程，但由于同一種類型的方程可以用多種解法求解，因此如何選擇快捷、簡便方法求解方程，是學生應該認真思考的問題.如：
例2：求解方程ydx+（y-x）dy=0.
方法2簡便快捷，通過本例可知學生在解方程過程中，不能思想僵化，機械地采用常規解法解題，應該掌握問題的共性的同時發現它的特性，做到具體問題具體分析.
2.注重培養學生的邏輯推理、歸納能力.
3.開設實踐課，培養學生的應用能力.
由于常微分方程應用非常廣泛，因此我們在教學中不能只停留在理論的講解上，更要注重常微分方程在其他學科中的應用。我們在教學過程中應開設實踐課，培養學生的應用能力.在實踐課教學過程中，我們先要結合一些實際問題，建立研究對象的數學模型，根據其內在規律列出微分方程或微分方程組，然后研究解的問題.例如池州學院數學與計算機科學系將這門課的教學內容與數學建模緊密結合，結合大學生數學建模競賽在實踐課堂中以競賽的課題為例，編寫一些生動有實際背景的數學模型為實踐課教材，通過教材講解怎樣構建數學模型，怎樣用微分方程的手法研究問題、解決問題，并引導學生用所學的方法，聯系實際模型培養學生解決問題的能力和創新能力.
4.熟練掌握數學軟件，促進常微分方程的教學和應用.
計算機軟件的快速發展為我們進行常微分方程的學習和研究提供了有力的輔助，首先利用數學軟件的計算功能直接求解方程，降低了解題難度，減少人工繁瑣重復的計算；其次利用計算機軟件的數值計算和繪圖功能使我們很方便了解或探索微分方程的性態.根據應用的普遍性和各自的特色功能，我們主要學習的數學軟件為Mathematica、MATLAB、Maple，例如Mathematica是一款科學計算軟件，很好地結合了數值和符號計算引擎、圖形系統、編程語言、文本系統和與其他的應用程序的高級連接；MATLAB在數值計算方面首屈一指.MATLAB可以進行矩陣運算、繪制函數和數據、實現算法、創建用戶界面、連接其他編程語言的程序；Maple系統內置高級技術解決建模和仿真中的數學問題，包括世界上最強大的符號計算、無限精度數值計算、創新的互聯網連接、強大的4GL語言等.結合常微分方程的學習和研究，我們利用計算機軟件在如下的四個方面進行輔助計算：一是用于求平衡點的代數方程和方程組的求解及用于線性微分方程求解指數函數與矩陣特征值、特征向量的計算；二是通過計算機符號計算程序直接求解方程；三是通過計算機軟件描繪常微分方程積分或輔助曲線的圖形；四是常微分方程的特殊解法，如Laplace transform、power-series solution.
參考文獻：
[1]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程.第三版[M].北京：高教出版社，2006，7.
[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程.第二版[M].北京：高教出版社，2004.
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數學建模的微分方程方法范文3
關鍵詞：微分方程；數值解；Matlab；教學設計
中圖分類號：G642.41 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2014）52-0168-02
一、引言
微分方程是一門獨立的數學學科，有完整的理論體系，是描述動態系統最常用的數學工具，也是很多科學與工程領域數學建模的基礎[1]。在高等數學課程中，重點介紹了線性和低階特殊的微分方程的解析解的求法。這些解法中體現了降階、復雜問題簡單化等數學思想[2]。
微分方程在幾何、力學和物理等實際問題中具有廣泛的應用，學生可以在該部分的學習中，感受到應用數學建模的理論和方法解決實際問題的魅力。實際上能夠能夠求得解析解的微分方程并不多，所以數值解就顯得尤為重要。利用數學軟件對微分方程的解進行數值模擬，是對微分方程求解的有益補充。Matlab[3]是美國MathWorks公司出品的商業數學軟件，在數值計算方面具有獨特的優勢。本文以可降階的二階微分方程為例，簡單地介紹了Matlab在微分方程教學中的輔助作用，同時這種教學設計方式可以推廣到其他章節。
二、教學目標和教學手段等
該部分的教學目標是掌握三種特殊形式的二階微分方程的降階求解方法，同時樹立降階和利用微分方程建立模型的數學思想。在現階段由于計算機軟件技術的發展，可以加上“了解或利用Matlab求解微分方程”這一個新的目標。教學形式仍然是講授為主，教學手段是多媒體教學加上Matlab軟件。
三、教材上的內容
對于不同的高等數學教材來說，該部分的內容幾乎沒有差別。這里只是簡單提及一下。
針對三種特殊的微分方程y''=f（x）、y''=f（x，y'）、y''=f（y，y'），采用降階的思想，即令y'=p，對于前兩種形式的微分的微分方程，再令y''=p'實現降階。對于最后一種形式，為了防止一個微分方程中出現兩個未知函數，在y'=p的基礎上，令y''=p■，實現降階，并求得到方程的解。運用教材中的求解方法，可以得到微分方程解的顯式或隱式表達式。Matlab可以求解顯式解。重要的是，在無法獲得解析解的時候，可以通過Matlab進行數值模擬[4，5]。接下來主要介紹如何在本節中使用Matlab軟件。
四、結合Matlab的教學
1.顯式解。Matlab可以求得顯式解，但無法獲得隱式解。通常情況下顯式解的命令調用格式為：
s=dsolve（eqn，cond，Name）
其中eqn表示微分方程，cond是初始條件，Name是方程中的自變量。如下面的例1。
例1.求解微分方程（1+x■）■-2x■=0.
在command窗口輸入以下代碼：
y=dsolve（'（1+x^2）*D2y-2*x*Dy=0'，'x'）
求得結果為：
y=C2+（C3*x*（x^2+3））/3
該解可以很明顯的看出來是：
y=C■+■C■x（x■+3）
如果顯示的代碼很復雜，可以通過命令latex（），再結合mathtype把結果顯示成公式的形式。以該題為例，Latex（y）顯示為：
＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}
然后在word中鍵入兩個$，將上述代碼拷貝到$$中間，如下
$＼mathrm{C2}+＼frac{＼mathrm{C3}＼，x＼，＼left（x^2+3＼right）}{3}$
在mathtype中找到Toggle TeX，點擊，得到公式為：
C2+■
這與降階法得到的結果一致，同時將代碼轉化為公式的方法比Matlab自帶的simple（）命令更具有實用性。
2.數值解。在無法求得解析解的時候，數值解顯得尤為重要。微分方程的數值解法有多種，可以根據數值計算理論，如Euler方法，如自己編寫代碼，可以直接調用Matlab自帶的命令，如ode45（）等，也可以通過Simulink進行仿真計算。通常情況下，采用Matlab自帶的函數來求解微分方程。
為說明數值方法的有效性，下面討論一個可以求得解析解的例題。一方面該例題反映了微分方程在數學建模中的應用，另一方面對數值解和解析解進行比較。
例2.設位于坐標原點的甲艦向位于x軸上點A（1，0）處的乙艦發射導彈，導彈頭始終對準乙艦。如果乙艦以最大的速度v0（常數）沿平行于y軸的直線行駛，如圖1。導彈的速度是5v0，求導彈運行的曲線方程。
根據題意建立微分方程如下：
（1-x）y''=■■y（0）=0；y'（0）=0
通解為：
y=-■（1-x）■+■（1-x）■+■.
利用Matlab求其數值解，令y■=y，y■=y'，將方程化為一階微分方程組：
y■'=y■y■'=■■/（1-x）
建立m文件如下：
clc
x0=0；xf=0.9999；
[x，y]=ode45（'eq1'，[x0 xf]，[0 0]）；
plot（x，y（：，1），'k.'，'LineWidth'，2）；
hold on
x1=x0：0.01：xf；
y_sim=-5/8*（1-x1）.^（4/5）+5/12*（1-x1）.^（6/5）+5/24；
plot（x1，y_sim，'k-'，'LineWidth'，2）
axis（[0 1.1 0 0.25]）
hold on
y1=0：0.01：2；
plot（1，y1，'k-^'）；
legend（'數值解'，'解析解'，'乙艦逃跑線路'）
grid on
function dy=eq1（x，y）
dy=zeros（2，1）；
dy（1）=y（2）；
dy（2）=1/5*sqrt（1+y（1）^2）/（1-x）；
利用Matlab軟件求解如圖2。從圖2中可以看到，數值解和解析解吻合的非常好，在一般實際工程問題中，數值解完全能滿足精度的要求。
五、總結
這種課堂教學的設計的優點，第一，它能夠豐富課堂教學內容，在不改變原有講授知識的情況下，可以讓學生感受到高等數學在現代計算機水平下散發出的新的魅力。第二，這種設計有力地推動了高等數學的教學改革，激發了學生的學習熱情和興趣，對數值方法和數學模型的學習可以提高學生應用數學知識解決實際問題的能力。
但是傳統的高等數學的教學中有較多的公式、定理的推導，它在培養學生的邏輯思維能力、逐步了解和掌握相應的數學思想等方面有不可替代的位置。所以，這種教學設計在課堂中所占比重不能過大，否則會造成不良的教學效果。
參考文獻：
[1]王高雄，周之銘，朱思銘.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]吳贛昌.高等數學[M].北京：中國人民大學出版社，2011.
[3]張志涌，楊祖櫻.MATLAB教程R2012a[M].北京航空航天大學出版社，2010.
數學建模的微分方程方法范文4
高等數學建模能力學習興趣數學建模作為一種運用數學知識對現實中的實際問題進行解決的方法措施，能夠對學生運用數學建模思想對數學的思考、表達、分析以及解決問題能力進行培養。數學建模，指的是對于某個特定目的，將現實生活中的某個對象作為研究對象，運用該對象自身具備的內在規律，制定科學合理的數學教學方法，構建數學結構，對其進行求解與運用。對學生的數學建模能力進行培養，能夠有效激發學生的學習興趣，提高學生的數學應用能力。
一、在高等數學教學中運用數學建模思想的重要性
在運用數學建模思想進行高等數學的教學中，主要運用以下幾個過程，首先對數學問題進行表述，然后運用適宜的方法進行求解，運用相關的理論知識進行解釋，最后對該問題進行驗證。在高等數學的教學過程中，運用數學建模思想，具有以下幾個方面的重要性：
(1)將教材中的數學知識運用現實生活中的對象進行還原，讓學生樹立數學知識來源于現實生活的思想觀念。
(2)數學建模思想要求學生能夠通過運用相應的數學工具和數學語言，對現實生活中的特定對象的信息、數據或者現象進行簡化，對抽象的數學對象進行翻譯和歸納，將所求解的數學問題中的數量關系運用數學關系式、數學圖形或者數學表格等形式進行表達，這種方式有利于培養、鍛煉學生的數學表達能力。
(3)在運用數學建模思想獲得實際的答案后，需要運用現實生活對象的相關信息對其進行檢驗，對計算結果的準確性進行檢驗和確定。該流程能夠培養學生運用合理的數學方法對數學問題進行主動性、客觀性以及辯證性的分析，最后得到最有效的解決問題的方法。
二、高等數學教學中數學建模能力的培養策略
1.教師要具備數學建模思想意識
在對高等數學進行教學的過程中，培養學生運用數學建模思想，首先教師要具備足夠的數學建模意識。教師在進行高等數學教學之前，首先，要對所講數學內容的相關實例進行查找，有意識的實現高等數學內容和各個不同領域之間的聯系；其次，教師要實現高等數學教學內容與教學要求的轉變，及時的更新自身的教學觀念和教學思想。例如，教師細心發現現實生活中的小事，然后運用這些小事建造相應的數學模型，這樣不僅有利于營造活躍的課堂環境，而且還有利于激發學生的學習興趣。
2.實現數學建模思想和高等數學教材的互相結合
教師在講解高等數學時，對其中能夠引入數學模型的章節，要構建相關的數學模型，對其提出相應的問題，進行分析和處理。在該基礎上，提出假設，實現數學模型的完善。教師在高等數學的教學中融入建模意識，讓學生潛移默化的感受到建模思想在高等數學教學中應用的效果。這樣有利于提高學生數學知識的運用能力和學習興趣。例如，在進行教學時，針對學生所學專業的特點，選擇科學、合理的數學案例，運用數學建模思想對其進行相應的加工后，作為高等數學講授的應用例題。這樣不僅能夠讓學生發現數學發揮的巨大作用，而且還能夠有效的提高學生的數學解題水平。另外，數學課結束后，轉變以往的作業模式，給學生布置一些具有專業性、數學性的習題，讓學生充分利用網絡資源，自主建立數學模型，有效的解決問題。
3.理清高等數學名詞的概念
高等數學中的數學概念是根據實際需要出現的，所以在數學的教學中，教師要引起從實際問題中提取數學概念的整個過程，對學生應用數學的興趣進行培養。例如在高等數學教材中，導數和定積分是其中的比較重要的概念，因此，教師在進行教學時，要引導學生理清這兩個的概念。比如導數概念是由幾何曲線中的切線斜率引導出來的，定積分的概念是由局部取近似值引出的，將常量轉變為變量。
4.加強數學應用問題的培養
高等數學中，主要有以下幾種應用問題：
（1）最值問題
在高等數學教材中，最值問題是導數應用中最重要的問題。教師在教學過程中通過對最值問題的解題步驟進行歸納，能夠有效地將數學建模的基本思想進行反映。因此，在對這部分內容進行教學時，要增加例題，加大學生的練習，開拓學生的思維，讓學生熟練掌握最值問題的解決辦法。
（2）微分方程
在微分方程的教學中運用數學建模思想，能夠有效地解決實際問題。微分方程所構建的數學模型不具有通用的規則。首先，要確定方程中的變量，對變量和變化率、微元之間的關系進行分析，然后運用相關的物理理論、化學理論或者工程學理論對其進行實驗，運用所得出的定理、規律來構建微分方程；其次，對其進行求解和驗證結果。微分方程的概念主要從實際引入，堅持由淺入深的原則，來對現實問題進行解決。例如，在對學生講解外有引力定律時，讓學生對萬有引力的提出、猜想進行探究，了解到在其發展的整個過程中，數學發揮著十分重要的作用。
（3）定積分
微元法思想用途比較廣泛，其主要以定積分概念為基礎，在數學中滲入定積分概念，讓學生對定積分概念的意義進行分析和了解，這樣有利于在對實際問題進行解決時，樹立“欲積先分”意識，意識到運用定積分是解決微元實際問題的重要方法。教師在布置作業題時，要增加該問題的實例。
三、結語
總之，在高等數學中對學生的數學建模能力進行培養，讓學生在解題的過程中運用數學建模思想和數學建模方法，能夠有效地激發學生的學習興趣，提高學生的分析、解決問題的能力以及提高學生數學知識的運用能力。
參考文獻：
\[1\]巨澤旺，孫忠民.淺談高等數學教學中的數學建模思想\[J\].中國科教創新導刊，2009，17（11）：16-17.
數學建模的微分方程方法范文5
【關鍵詞】傅立葉變換；拉普拉斯變換；信號與系統；自動控制原理；數學思想
【基金項目】本文受中國民航大學校級大學生創新創業項目（項目號：IECAUC2016014）的資助.
電路、信號與系統、自動控制原理是電氣工程及其自動化專業的專業基礎課，除包含一些專業領域的基本概念，其中涉及的專業知識與處理問題的方法大都以微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換等數學知識為基礎.
在學習數學基礎課時，有學生感覺內容多、難度大、進度快，導致數學基礎不夠扎實，進而在后續學習專業基礎課時感到吃力.而從教學的角度，專業基礎課教師的教學重點是新的專業知識，不能花費過多時間復習數學基本概念與方法.這些銜接上的問題，使部分學生不易接受突然出現的數學知識的應用，對專業基礎課產生畏難情緒.對此，首先，本文對數學基礎課和專業基礎課的知識模塊進行系統的梳理總結，數學知識主要包括微分方程、傅立葉變換、拉普拉斯變換及其關系，并分析它們的應用背景，以豐富數學基礎課教學的應用性.然后，闡述專業基礎課的內在聯系，以幫助學生系統地把握專業基礎課的知識內容.最后，用更高的數學觀點（泛函分析）闡明專業知識中相關的數學方法，使學生對專業知識的數學原理有更深刻的認識.
一、微分方程求解在時域分析中的應用
專業基礎課電路、信號與系統、自動控制原理的主要內容是對各類系統的性態的分析研究，大多以數學模型及其分析方法為基礎，其中時域分析法的教學模型是高等數學中的微分方程：用微分方程描述系y，通過求出的解分析系統.因此，要熟練掌握時域分析法，就必須掌握求解微分方程的方法.常用方程及解法見《高等數學》下冊第十二章[1].
時域分析法的優點是能夠得到解的精確解析表達式，但缺點是求解過程比較煩瑣，而系統的數學建模過程、頻率特性、傳遞函數求取需要求解大量的微分方程，所以必須降低微分方程的求解難度，方法就是對微分方程作拉普拉斯變換.
二、拉普拉斯變換在系統分析中的應用
拉普拉斯變換的定義[2]是
F（s）=∫+∞0-f（t）e-stdt，是將自變量為時間的函數通過某種積分運算轉化為自變量為復頻率的函數.從數學角度看，它使復雜的運算轉化為較簡單的運算.比如，將微分轉化為乘法，將積分轉化為除法.將其應用于系統分析，因為它將微分方程轉化為代數方程，從而達到了降低方程求解難度的目的[2].
（一）應用拉氏變換求解微分方程
具體解法如下：
第一步，求取微分方程中每一項的拉普拉斯變換，得到相應的代數方程；
第二步，求解代數方程；
第三步，對所求的解求取拉普拉斯反變換，得到原微分方程的解.
構成系統的元件的數學模型是時間域下的微分或積分表達式，通過拉普拉斯變換，可將其轉化為復頻域下的簡單的代數表達式.然后相應地做出復頻域中的等效電路圖，這極大地簡化了系統分析中的建模和求解.
下面列舉幾個典型元件的例子[3]：
下面以一個簡單電路的分析為例[4]，表明拉普拉斯變換對系統建模、求解的簡化.
例如圖所示，已知輸入為u1（t）=5cos2t，求輸出u2（t）.
解第一步，根據上表，作復頻域等效電路圖：
第二步，根據等效電路圖列出復頻域下電路的代數方程：
U2（s）=U1（s）1s1+1s=1s+1×5ss2+4=-1s+1+s+4s2+4.
第三步，對U2（s）取拉普拉斯反變換得到時域下的響應表達式：
u2（t）=-e-t+cos2t+2sin2t，t≥0.
由此可見，拉普拉斯變換可以將時域下一些微分方程模型轉化為復頻域下簡單的代數方程模型，使建模與求解得以簡化.
（二）拉普拉斯變換在系統分析中的應用
對于常系數線性微分方程模型，方程的特征根就是解的表達式中各項的系數，它決定了系統的響應性能.好的響應性能需要合適的特征根，改變特征根可以通過改變特征方程的系數實現，而特征方程的系數就是系統中的參數.于是，可以通過改變系統參數，方程的階不變，獲取較好的系統性能.
在復頻域中常用的分析方法是根軌跡法，即找到系統參數與特征根的關系，讓隨著參數變化的特征根軌跡在根平面上繪制出來，從中選擇有好的響應性能的特征根，同時，確定對應的參數.
由于微分方程的特征方程恰是系統閉環傳遞函數的分母多項式對應的方程，特征根就是閉環傳遞函數的極點，而閉環傳遞函數定義就是系統輸出拉普拉斯變換與輸入拉普拉斯變換的比值.由此可見，拉普拉斯變換在系統分析中有著非常重要的作用.
三、傅立葉變換在系統頻域中的應用
時域分析比較直觀，但是分析高階系統比較煩瑣.用拉普拉斯變換分析系統，簡化了時域下的求解過程，但是物理意義不十分明顯.由于信號的輸入與系統頻率關系密切，所以頻域分析是工程上進行系統分析和系統綜合廣泛采用的方法.頻域分析法的優點是處理起來比較簡潔，計算工作量較小，重要的是能夠顯示信號和系統的組成特性.但是，由于實際測得的是信號的時間歷程，所以要采用頻域分析法在頻域下進行處理和分析，就必須先進行時域到頻域的轉換，而這種轉換的數學方法就是傅立葉變換，所以需要應用復變函數與積分變換課程中的傅立葉變換知識，并建立其物理意義.
（一）傅立葉級數
一般地，如果周期信號fT（t）滿足狄利克雷條件，則可利用傅立葉級數將周期信號展開成無窮多個（至多可數個）不同頻率的諧波信號的線性疊加.即
fT（t）=∑∞n=0cnejnω0t，
其中cn=1T∫T0fT（t）e-jnω0tdt，ω0=2πT，稱為基波角頻率.
（二）傅立葉變換
對于非周期信號，在頻域內對應的數學模型是連續的，此時若要將其分解成諧波信號的線性疊加，諧波信號有不可數個.數學上傅立葉級數需轉化為傅立葉變換.
一般非周期信號f（t）的傅立葉變換為
F（jω）=∫+∞-∞f（t）e-jωtdt.
由此可見，時域下周期函數變換頻域后的表達式是離散的傅立葉級數，而時域下非周期函數變換到頻域后的表達式是連續的傅立葉變換，由此可得到工程上的一個重要結論：時域的周期性決定了頻域的離散性.
應特別指出，單位階躍信號的頻譜，由于單位階躍信號是時域下的典型信號，而且一般情況下可以將其他信號分解為不同加權的階躍信號，根據線性時不變系統的齊次性和疊加原理，可以分e求出各個階躍信號的響應，最后，將求出的響應進行疊加，因此，掌握階躍信號的頻譜顯得尤為重要.
四、傅立葉變換與拉普拉斯變換的關系
拉普拉斯變換的積分核e-st中，s=σ+jω，當σ=0時，變換就退化為傅立葉變換.傅立葉變換要求函數滿足狄利克雷條件，并且要絕對可積，但絕對可積條件較強，很多工程上常用的函數都不能滿足這個條件，比如，單位沖激函數.為克服傅立葉變換的這個缺點，使頻域分析適用于更多信號，在數學上，在積分核中加了一個衰減因子e-σt，得到另一種積分變換，即拉普拉斯變換.它們的關系示意圖如下：
五、電路、信號與系統、自動控制原理三門課程的內在聯系
電路除講述一些電路上的基本概念外，主要介紹了對具體的電路模型，給一個電壓或電流輸入信號，根據電路相關知識求解該電路的響應的方法.信號與系統是對上述模型和方法的一般化，將電路模型抽象為一個系統，將電壓或電流輸入信號抽象為任意信號，分別在時域、頻域和復頻域下求解系統的響應和系統函數.在上述兩門課程中學習系統響應的求解方法后，在自動控制原理[5]課程中根據求出的系統響應和系統函數來分析系統的穩定性、動態性能，并在時域、頻域和復頻域中分別尋求系統的最佳性能和進行系統校正.可以概括為“三域三分析”，“三域”分別是指時域、頻域和復頻域，“三分析”分別是指系統穩定性分析、系統穩態誤差分析、系統動態性能分析.可以說電路和信號與系統是通過分析系統來認識系統，而自動控制原理是在學習改造系統，是符合我們認識事物過程的自然規律的.
六、泛函分析視角下理解工程問題解決方法
泛函分析是現代數學分析學分支的基石，下面從泛函分析的角度，更深入地理解專業知識和其中的數學方法，我們需要下面的概念[6].
設H是內積空間，E={en}是H中的規范正交基，x∈H.
（1）稱每個（x，en）為x關于E的Fourier系數；
（2）稱（形式）級數∑∞n=1（x，en）en為x關于E的Fourier級數；
（3）若x=∑∞n=1（x，en）en按H的范數收斂，稱此級數為x關于E的Fourier展開式.
以傅立葉級數為例.設en=e-jnω0t，則{en}+∞n=-∞是Hilbert空間L2[0，2T]的一個規范正交基，則f∈L2[0，2T]，都有
f=∑+∞n=-∞（f，en）en.（*）
而空間L2[0，2π]上的內積定義是
（f，g）=1T∫T0f（t）g（t）dt，f，g∈L2[0，T]，
所以，
（f，en）=1T∫T0f（t）e-jnω0tdt=1T∫t 0+Tt0f（t）e-jnω0tdt=cn.
則由（*）得
f（t）=∑+∞n=-∞cnejnω0t，
這恰恰是傅立葉級數.
因此，從泛函分析的角度看，一個周期函數的傅立葉級數展開，就是將這個函數看成某個函數空間中的一個元素，并將其在該空間的一組規范正交基下進行展開，而傅立葉級數與傅立葉變換的區別只不過是離散和連續兩種情況下的展開方式不同而已.同理，拉普拉斯變換和時域下的卷積也可以理解為函數分別在復頻域和時域的情形中進行展開.那么這種數學思想在信號與系統分析中的實際意義在哪里呢？
我們以線性時不變系統為例來說明，在時域中，任意輸入信號f（t）激勵下線性時不變系統的響應為f（t）與系統沖激響應h（t）的卷積，它表明如果信號f（t）可以表示為沖激信號的積分，則該信號通過系統后產生的零狀態響應yzs（t）就可以表示為這些沖激信號元產生的沖激響應的疊加.采用這種解決問題的思想是由于單位沖激響應的求解比較容易，所以如果將時域中的任意一個信號看成是出現在不同時刻、強度不同的微量沖激元函數的連續和，那么該函數作用下系統的響應就可以用展開后的沖激元信號分別作用于系統產生的沖激響應的累加得到，即做卷積.在頻域中，由于正弦信號下系統的正弦穩態響應求解起來比較容易，所以將信號展開成無窮多個正弦信號的累加，那么系統在該信號下的響應就可以看成是展開后的正弦信號分別作用于該系統得到的正弦穩態響應的累加.
由以上分析我們可以看出，工程中的實際問題之所以可以采用這種方法解決，是由數學中經過嚴格推導或者證明的定理或者概念作為支撐的，所以數學思想是解決工程實際問題的核心；同樣，掌握了數學中的一些重要思想，也使得工科專業課中解決實際問題的一些方法更容易被理解和接受，而在應用數學知識的過程中，也使得數學知識更好地被理解和掌握，這就是建立兩類學科聯系的意義所在.
【參考文獻】
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[2]張元林，編.工程數學?積分變換[M].北京：高等教育出版社，2012.
[3]邱關源，羅先覺，主編.電路[M].北京：高等教育出版社，2006.
[4]楊曉非，何豐，主編.信號與系統[M].北京：北京出版社，2014.
數學建模的微分方程方法范文6
關鍵詞：一階微分方程 一題多解 教學效果
中圖分類號：O174.1 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2017）07（a）-0147-02
常微分方程是數學專業的后續基礎課程，在實際的教學中，發現許多學生求解微分方程的能力得不到提高，在解題的過程中不能選擇合適的方法進行求解，主要原因是學生沒有掌握好所學的解題方法，沒有從平時的解題過程中總結相關規律。該文主要是針對一階微分方程的求解問題進行了探討，并從不通的思維方法和角度進行分析求解，這樣能讓學生體會一題多解的技巧，培養學生的發散思維，提高學生的學習興趣，也能達到更好的教學效果。下面通過幾個有關一階微分方程的具體例子來闡述一題多解在微分方程求解中的重要性。
例1. 求微分方程的通解。
分析：此}可看做形如的形式，通過坐標變換變為變量分離方程進行求解。也可以將方程變形為，仔細觀察可以利用分項組合的方法進行求解。當然，我們也可以看成恰當微分方程來求解。
從以上的例子可以看出，選擇合適的方法求解微分方程可以達到事半功倍的效果，所以在以后的教學過程中，對學生進行一題多解的思維訓練，從不通的思維方法和角度進行分析求解，這樣能讓學生體會一題多解的技巧，培養學生的發散思維，提高學生的學習興趣，也能達到更好的教學。
參考文獻
[1] 邱偉，姜玉秋.常微分方程初等解法研究[J].牡丹江師范學院學報，2016（4）：18-20.
[2] 王言芹.淺談常微分方程教學的幾點體會[J].科技信息， 2010（29）：29-30.
