前言：中文期刊網精心挑選了數學建模窮舉法范文供你參考和學習，希望我們的參考范文能激發你的文章創作靈感，歡迎閱讀。
數學建模窮舉法范文1
中圖分類號：O1-0文獻標識碼A文章編號1006-0278（2013）06-196-01
一、引言
數學在本質上就是在不斷的抽象、概括、模式化的過程中發展和豐富起來的，數學的學習只有深入到“模型”上，才是一種真正的學習。在利用數學方法分析和解決實際問題時，要求從實際錯綜復雜的關系中找出其內在的規律，再用數學的語言，數字、公式、圖表、符號等刻畫和描述出來，然后經過數學與計算機的處理即計算、迭代等得到定量的結果，供人們進行分析、預報、決策和控制，這種把實際問題進行合理的簡化假設歸結為數學問題并求解的過程就是建立數學模型，簡稱建模。而這種成功的方法和技術反映在培養專門人才的大學教學活動中，就是數學建模教學和競賽。
二、數學建模的發展現狀及發展趨勢
建模在20世紀六七十年代進入西方國家的一些大學。近三十年建模在美國、英國、加拿大、日本、俄羅斯、德國等國家數學教育界成為一個熱門的話題，并在國際數學教育大會上占有重要地位。
20世紀80年代初，建模課程引入到我國一些高校。我國第一本建模教材是1987年由姜啟源等人編寫的《數學模型》，當時僅幾所學校的數學專業開設此課程。隨后五六年，建模課程開設的學校增加到幾十所學校，并且開始推向非數學專業。到目前為止開設建模課程的學校達到千余所。
1989年，在幾位從事建模教育教師的組織和推動下，我國幾所大學的學生開始參加美國的賽事。建模競賽給傳統的高等數學教育改革帶來了新的思路和評價標準。建模課從僅僅為參賽隊員培訓，擴展為一門比較普及的選修課。同時，數學試驗作為一門新的課程也應運而生。建模問題絕大部分來自一些具體的科研課題或實際工程問題，而不同于普通的數學習題或競賽題。建模與數學試驗教學的重點是高等與現代數學的深層應用和面向問題的設計，而不是經典理論的深入研討和系統論證。
建模綜合了運籌學，數學實驗，計算方法，數值分析，數學分析等數學學科的多門課。此外建模還與計算機有著重要的聯系。面對要解決的問題越來越趨于復雜化，數據越來越大越多的情況，如果靠人工的手算，這幾乎是不可能的事情，所以需要借助計算機，比如MATLAB和C++語言，這就加強了數學與其他學科的聯系與交融，為科學的綜合性，全面性提供了可能。
建模的多元化方法成為建模發展的一個重要的方向。線性規劃、多元規劃、二次規劃等規劃類問題（可借助Lindo、Lingo軟件實現）；數據擬合、參數估計、插值等數據處理算法；圖論算法（包括最短路、網絡流、二分圖等算法）；蒙特卡羅算法（該算法又稱隨機性模擬算法，是通過計算機仿真來解決問題的算法，同時可以通過模擬來檢驗自己模型的正確性）；動態規劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計算機算法；網格算法和窮舉法；一些連續離散化方法（數據可以是連續的，而計算機只認的是離散的數據，因此將其離散化后進行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的）；數值分析算法（如果在比賽中采用高級語言進行編程的話，方程組求解、矩陣運算、函數積分等算法需要額外編寫庫函數進行調用）；圖象處理算法等等，這些將是數學建模的主要方法。
三、數學教學建議
為了更好的促進大學數學教學，必須改變傳統的教學模式。
（一）教師要轉變教學觀念
數學源于生活，也應用于生活。數學教學是為了學生更好的學習專業課及解決實際問題，為此數學教師不僅要了解數學的發展歷史及發展動態而且要學習新的建模理論，不斷提高自己的建模意識，把數學知識應用到實際生活中。
（二）數學教師把建模意識貫穿于教學的始終
以數學建模為切入點，促進數學教學改革。引導學生用數學觀點去觀察、分析和表示事物之間的關系。從繁縟復雜的具體問題中抽象出熟悉的數學模型。
（三）加強數學教學與不同學科的交叉及融合
不僅理工類專業知識和數學有很大的聯系，而且經濟管理及金融專業不少專業課知識和數學也有密切聯系，甚至文科類專業和數學也有不少聯系。作為數學教師，在教學過程中，我們要針對學生所學的專業，找到數學與其專業之間的聯系，巧妙的把數學和學生所學的專業聯系起來。
（四）把數學實驗納入大學課堂
數學實驗是信息現代化的產物，它是計算機技術介入數學教學與數學研究的必然結果。它以計算機為工具，運用matlab、mathematics、maple等數學軟件加工各種數學信息，以實驗的方法來驗證數學理論及應用數學理論解決實際問題。數學實驗教學是一種新的教學模型，也是培養學生創新能力的重要途徑。
參考文獻：
[1]姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第四版）[M].高等教育出版社， 2011.
[2]劉鋒.數學建模[M].南京大學出版社，2006.
[3]李大潛.中國大學生數學建模競賽[M].高等教育出版社，1998.
[4]王仲春.數學思維與方法論[M].高等教育出版社，1989.
數學建模窮舉法范文2
[關鍵詞]卓越計劃；運籌學實驗；數學建模
[中圖分類號]G64 [文獻標識碼]A [文章編號]1005-6432（2012）41-0145-02
1 引 言
卓越工程師教育培養計劃（以下簡稱“卓越計劃”）是為貫徹落實黨的十七大提出的走中國特色新型工業化道路、建設創新型國家、建設人力資源強國等戰略部署，貫徹落實《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》實施的高等教育重大計劃?！白吭接媱潯本哂腥齻€特點：行業企業深度參與培養過程、學校按通用標準和行業標準培養工程人才、強化培養學生的工程能力和創新能力。力求培養一大批面向工業世界、面向世界、面向未來、適應經濟社會發展需要的高質量各類型工程技術人才。而高校是實施“卓越計劃”的主要陣地，在“卓越計劃”的推進過程中加強專業課程改革是十分必要的。
管理運籌學的飛速發展為各個行業把握管理大型組織的復雜性提供了一套十分重要的工具。這些工具集中了世界的各個邊緣的知識，其中包括數學、統計與概率論、計量經濟學、電機工程甚至生物學。這些外來的技術，如線性規劃、排隊論、自動控制理論、博弈論、動態規劃以及信息論，正在幫助解決各個行業中的實際問題。
因此，在管理運籌學教學中應針對所要解決實際問題的要求和其面臨的客觀環境條件，作出假設分析，抽象為數學模型，然后應用相關的數學知識加以解決。這就要求問題解決者要知識面廣、邏輯思維嚴密，這對于非數學專業，特別是經管類專業學生實在過于困難，因為，由于受到學時限制，經管類專業學生對高等數學、線性代數、概率與數理統計等先修課程學的比較膚淺，沒有或很少經過數學嚴密的邏輯思維方面的訓練，而且經濟管理類專業學生是文理科兼收，有相當一部分學生在數學方面的課程普遍底子較差，這客觀上就給運籌學教學帶來很大困難。因此，為使經濟管理類學生能正確全面地掌握各級管理中已被廣泛應用，且發展較成熟的最優化理論與方法，并能恰當運用解決實際管理工作中的各種最優化問題，有必要針對經濟管理類專業學生的特點和運籌學課程的性質，進行運籌學教學方法的改革。
2 運籌學在數學建模中的應用
管理運籌學在數學建模中有著廣泛的應用，多年來許多數學建模競賽中都涉及運籌學的相關內容。
首先介紹一下圖與網絡在數學建模中的應用，通過“奧運場館周邊的MS網絡設計方案”這個例子來說明其應用。假定奧運會期間每位觀眾平均出行兩次，一次為進出場館，一次為餐飲，并且出行均采取最短路徑。測算題目中20個商區的人流量分布。首先將建模結構圖轉化為無向賦權圖，并鑒于該圖的對稱性，通過設計一種特殊的流量計算方法對傳統的Dijkstra算法進行改進；其次，用MATLAB編寫求解最短路的應用程序，可以得到任意兩點間的最短路徑，進而得到觀眾出行的最短路徑和所經過的商區。
接著通過“彩票發行方案的優化設計模型”這個例子來說明決策論在數學建模中的應用。設計一種“更好”的方案，據此給彩票發行部門提出建議。對此問題，可根據效用理論中存在著主觀概率，以及彩票信息在人群中的傳播效應，建立主觀概率意義下的優化模型。但這個模型是較大規模的非線性規劃模型，用窮舉法求解比較困難，可采用模擬退火算法來求解，用MATLAB編程實現。
3 結合數學建模改進教學方法
3. 1 更新教學觀念，充分重視實驗教學
結合數學建模在教學中增加實驗教學，以提高學生解決實際問題的能力、培養學生的觀察和動手能力為宗旨，有利于培養學生的創新意識與創新能力。在今后的教學中，統籌安排課時，根據教學進度合理安排實驗教學時間，力求在完成每一知識點的學習后安排一次實驗。實驗內容將從實際問題出發，突出本章節的基本原理與基本方法，教師進行監督與指導，有助于學生對理論知識的掌握與理解，同時學生的實踐能力得到鍛煉，自主學習能力得到提升。
3. 2 分級教學
從學生實際出發，因材施教是將幾乎處于同一水平的學生放在一起分別教學的一種教學手段。這種教學體系，根據學生的個體差異，按照不同科目的不同學習能力的高低將學生群體劃分成不同的級別或層次，有針對性地進行分班教學。有效的分級教學，能使教師節約精力突出重點積累經驗，能讓學生盡可能地在各自的最近發展區得到充分的自由發展，謀求各個層次的學生都能獲得成功的體驗，促進學生的素質得到全面提高。所以說，分級教學是建立在以學生成才為本理念基礎上，為實現教學目的的一致性和教學過程的互異性所進行的重要實踐，因材施教是分級教學的核心思想。在運籌學教學過程中，也可采用分級教學，培養學生對運籌學的學習興趣，進而培養數學建模人才。
3. 3 適宜的教學方法
近幾年來，由于擴招，生源的擴大，學生基礎參差不齊。因此，教師應根據學生具體情況，精心設計教案，調整教學內容、次序和教學組織方式；盡量從學生感興趣的實例出發，引入正題，以引發學生學習興趣，吸引學生注意力，使之能更好地掌握理解所學知識，并能恰當運用解決實際問題。
傳授新知識時，教師講授的時間不能過長，內容不能過多，節奏不能過快，并要將基本概念、基本原理在不影響教學效果的情況下，分散介紹，使學生易于接受；否則，教師的講授將是無效的講授。運籌學課程內容多、邏輯性強且抽象，需要學生理解掌握。因此，課堂上教師的板書一定要簡潔、條理清楚、重點和注意事項突出，并要求學生養成做筆記的良好習慣，以便于課后溫習理解和掌握。
3. 4 量體裁衣，突出專業特色
實驗教學中實驗內容是反映教學目的載體，豐富的實驗內容可以激發學生的學習熱情和拓寬知識結構。因此，實驗內容的選擇要“量體裁衣”。面對知識面較廣的商學院學生，要想上好運籌學并凸顯其實用性，教師需具備充分的定量和經濟管理學知識。例如，庫存模型通常將需求區分為固定和相對復雜的隨機兩類，當學生對需求滿足特定分布的假設產生疑惑時，教師就應當能夠適時介紹需求數據的獲取及利用統計學軟件對其分布加以判斷的方法，這可加深學生對運籌學交叉性的理解。
4 結 論
隨著科學技術的進步及“卓越計劃”的深入推進，需要對運籌學課程的建設持續探索與實踐，不斷完善教學方法與教學內容，提高學生的學習興趣，激發學生的學習熱情，真正意義上實現運籌學作為經濟管理類專業核心課程應有的重要作用，并鍛煉學生的動手能力，培養學生的創新意識與創新能力，以滿足創新教育的要求。
參考文獻：
[1]教育部. 教育部啟動“卓越工程師教育培養計劃”[Z].
[2]韓中庚. 數學建模競賽——獲獎論文精選與點評[M].北京：科學出版社，2007（5）.
[3]劉智，汪妍. 管理運籌學教學的思考[J].高師理科學刊，2011（4）：83
數學建模窮舉法范文3
【關鍵詞】中學數學 常用方法 思考
所謂方法，是指人們為了達到某種目的而采取的手段、途徑和行為方式中所包含的可操作的規則或模式.人們通過長期的實踐，發現了許多運用數學思想的手段、門路或程序.同一手段、門路或程序被重復運用了多次，并且都達到了預期的目的，就成為數學方法.數學方法是以數學的工具進行科學研究的方法，即用數學語言表達事物的狀態、關系和過程，經過推導、運算與分析，以形成解釋、判斷和預言的方法。數學方法具有以下三個基本特征：一是高度的抽象性和概括性，二是邏輯的嚴密性及結論的確定性，三是應用的普遍性和可操作性. 數學方法在科學技術研究中具有舉足輕重的地位和作用：一是提供簡潔確定的形式化語言，二是提供數量分析及計算的方法，三是提供邏輯推理的工具.現代科學技術特別是電子計算機的發展，與數學方法的地位和作用的強化正好是相輔相成. 在中學數學中經常用到的基本數學方法，大致可以分為以下三類：
（ 1 ）邏輯學中的方法.例如分析法（包括逆證法）、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法（要求分類討論）等.這些方法既要遵重邏輯學中的基本規律和法則，又因為運用于數學之中而具有數學的特色.
（ 2 ）數學中的一般方法.例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法（也稱坐標法，在代數中常稱圖象法，在學生今后要學習的解析幾何中常稱坐標法）、比較法（數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同）等.這些方法極為重要，應用也很廣泛.
（ 3 ）數學中的特殊方法.例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法（也稱之為中間變量法）、拆項補項法（含有添加輔助元素實現化歸的數學思想）、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等.這些方法在解決某些數學問題時也起著重要作用，對于某一類問題也都是一種通法。
我們要求尊重學生的學習主體地位，要真正把學生作為學習的主人翁看待；關注學生的學習過程，倡導學生主動參與，使學生在自主、合作、探究的方式中積極主動地進行學習活動；培養學生的創新精神與實踐能力。特別是對于初中一年級，要為學生學習數學知識打下良好基礎，數學學習方法的學習顯得更具有時代性和前瞻性。數學學習方法指導是一個由非智力因素、學習方法、學習習慣、學習能力多元組成的統一整體，因此，應以系統整體的觀點進行學法指導，目的在于使學生加強學習修養，激發學習動機；指導學生掌握科學的學習方法；指導學生學習數學的良好習慣，進而提高學習能力及效果。
（1）正確認識數學學習方法的重要性。 啟發學生認識到科學的學習方法是提高學習成績的重要因素，并把這一思想貫穿于整個教學過程之中?？梢酝ㄟ^講述數學名人的故事，激勵學生，我結合《數軸》一課的內容，在班上講述笛卡爾在病床上發現數軸，最終開創了用數軸表示有理數的故事。讓孩子懂得了獲得數學知識，學習數學的方法才是關鍵。在班級中，我多次召開數學學法研討會，讓學習成績優秀的同學介紹經驗，開辟黑板報專欄進行學習方法的討論。
（2）形成良好的非智力因素 非智力因素是學習方法指導得以進行的基礎。初一學生好奇心強烈，但學習的持久性不長，如果在教學中具有積極的非智力因素基礎，可以使學生學習的積極性長盛不衰。激發學習動機，即激勵學生主體的內部心理機制，調動其全部心理活動的積極性。有的課教師還可以運用形象生動、貼近學生、幽默風趣的語言來感染學生。 鍛煉學習數學的意志。心理學家認為：意志在克服困難中表現，也在經受挫折、克服困難中發展，困難是培養學生意志力的“磨刀石”。我認為應該以練習為主，在初一的數學練習中，要經常給學生安排適當難度的練習題，讓他們付出一定的努力，在獨立思考中解決問題，但注意難度必須適當，因為若太難會挫傷學生的信心，太易又不能鍛煉學生的意志。 養成良好的數學學習習慣。有的孩子習慣“悶”題目，盲目的以為多做題就是學好數學的方法，這個不良的學習習慣，在平時的教學中老師一定要注意糾正。
（3）指導學生掌握科學的數學學習方法。 ①合理滲透。在教學中要挖掘教材內容中的學法因素，把學法指導滲透到教學過程中。②隨機點撥。無論是在授課階段還是在學生練習階段，教師要有強烈的學法指導意識，抓住最佳契機，畫龍點睛地點撥學習方法。 ③及時總結。在傳授知識、訓練技能時，教師要根據教學實際，及時引導學生把所學的知識加以總結。我在完成一個單元的學習之后都讓孩子們養成自己總結的習慣，使單元重點系統化，并找出規律性的東西。 ④遷移訓練。總結所學內容，進行學法的理性反思，強化并進行遷移運用，在訓練中掌握學法。
（4）開設數學學法指導課，并列入數學教學計劃。 在我所任教的初一年級里，我每兩周一課時給學生上數學學法的指導課。結合正反例子講，結合數學學科的具體知識和學法特點講，結合學生的思想實際講，邊講邊示范邊訓練。
數學建模窮舉法范文4
樂東縣民族中學 文至
摘要:變形是數學解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式， 一個法則，它的表述形式是多種多樣的。在數學解題中，為了完成論證，求值、化簡等的任務，常要對某些式子進行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強。本文主要介紹了在初等數學中的" " ，" " ，三角函數，一元二次方程等的變形應用。掌握好并靈活運用它，可以很快確定解題方向，減少解題的盲目性，提高解題效率。
關鍵詞:初等數學 ；變形 ；技巧
數學是一個有機的整體, 各部分之間相互聯系、相互依存、相互滲透, 從而構成了一個互相交錯的立體空間. 所以, 為了培養數學學習中的運算能力、邏輯推理能力、空間想象能力及綜合應用數學知識分析解決實際問題的能力, 除了對各單元知識, 及一些開放探索性問題, 實踐應用性問題等綜合內容進行系統復習外, 在最后階段的復習中, 應對常用的數學方法和重要的數學思想引起重視, 并有意識地運用一些數學思想方法去解決問題, 這樣才能使我們的數學學習提高到一個新的層次、新的高度.常用的數學方法, 是針對各種不同的數學知識而定的一種策略. 不同的問題可以用不同的方法, 相同的問題也可以有各種不同的方法 ( 即所謂的一題多解 ). 各種數學方法與數學知識一樣, 是數學發展過程中積累起來的寶貴精神財富, 并且是數學知識所不能替代的.在中學數學中常用的基本數學方法大致可以分為以下三類：
邏輯學中的方法。例如分析法(包括逆證法)、綜合法、反證法、歸納法、窮舉法(要求分類討論)等。這些方法既要遵從邏輯學中的基本規律和法則，又因運用于數學之中而具有數學的特色。
數學中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、圖象法(也稱坐標法。代數中常用圖象法，解析幾何中常用坐標法)、向量法、比較法(數學中主要是指比較大小，這與邏輯學中的多方位比較不同)、放縮法、同一法、數學歸納法(這與邏輯學中的不完全歸納法不同)等。這些方法極為重要，應用也很廣泛。 數學中的特殊方法。例如配方法、待定系數法、加減法、公式法、換元法(也稱之為中間變量法)、拆項補項法(含有添加輔助元素實現化歸的數學思想)、因式分解諸方法，以及平行移動法、翻折法等。這些方法在解決某些數學問題時起著重要作用，不可等閑視之。而變形也是數學中的一種重要的方法之一。變形是數學解題活動中最基本而又常用的方法，它既靈活又多變，一個公式， 一個法則，它的表述形式是多種多樣的。例如勾股定理可表述為 ，亦可表述為 等。若問 ？，這顯然是一個不屑回答的問題，但若問1=？就成了最富靈活性的問題，例如 等?？梢?quot;變形"實在是一個內涵十分豐富的概念，在某些著名數學問題的解決中，變形技巧的巧妙運用也是至關重要的一環。我們在數學解題中，為了完成論證，求值、化簡等的任務，常要對某些式子進行恒等變形，但是恒等變形又無一定之規，一個式子往往有多種可能的變形方向，因題而異，技巧性非常強。本文主要介紹" " ，" " ，三角函數，一元二次方程等的變形應用，希望對這幾方面的變形應用的介紹，對于其他的解題變形能起到拋磚引玉的功效。下面我們分別來談談這幾種變形技巧的應用。
1.1 一元二次方程的變形技巧
對有些含有（或可轉化）一元二次方程的代數問題，如能對方程進行適當變形并施以代換，則常常可使問題化繁為簡。下面列舉例子說明。
例 1 已知 是方程 的兩根，求 的值。
解：因為 是方程 的根 。
則 ，
。
又因為 是方程 的兩根， ，
。
分析：如果要求出 的值，那么就很復雜，而且容易出錯，在這里通過變形的技巧先從結論出發，這樣可以提高解題的效率、節省時間。
例 2 若 ， 是一元二次方程 的兩個根，
求 的值。
解：由題設得
，
及 ， 。
分析：通過觀察要求的結論可知，只要對要求的結論作一下變形，則這道題目便可以輕易解決。不必求出 和 的值。
例 3 設實數 分別滿足 ，并且 ，求 的值。
解：由題設可得 。
兩式相除，得 。
由比例的基本性質，得 ，
整理得
，
分析：通過仔細的觀察可知只要對已知條件 進行變形，再利用比例的基本性質即可解決這道題。 總結：我們在解決一元二次方程的代數問題時，首先要認真仔細地觀察題目的已知條件和所要求的式子，觀察它們之間有什么特點，然后再充分利用已知條件來解決所要求的問題。特別是要靈活應用韋達定理：即如果 為方程 的兩個根，則 。在解這類題目時，可以從已知條件出發，也可以從結論入手。關鍵是要善于觀察所要求式子的特點。 1.2 三角函數的變形技巧
三角函數是初等函數的重要組成部分，它與初等代數、初等幾何的關系十分密切。特別是三角函數的求值問題，而三角函數求值的關鍵是合理地進行三角恒等式的變形，其基本思路是"三看"，即一看角、二看函數名稱、三看結構特征。除此之外，我們還常常應用代數的技巧和構造法，為三角恒等變形創造條件。 例4 已知 ，求 的值。 分析：除了這里的 外，還有以下等式也經常用到： 靈活運用這些等式，可以使許多三角函數問題得到簡化。 例 5 已知 ，求 的值。
分析：對于正切和角公式 可正用也可逆用。而 為變形形式。這里 是 公式的變形應用。 例 6 在 中，已知角 成等差數列，求 的值。 解： 成等差數列， 由兩角和的正切公式，得 分析：本例是正切公式變形的應用。在歷年高考題中，曾多次出現兩角和與差的正切公式的變形應用，讀者在學習中一定要總結、體會。 例 7 （ 年全國高中數學聯賽試題）試求 的值。 講解：注意到 我們可以通過構造對偶式，以減少三角變換的難度。再觀察所求三角函數式，不難發現它與余弦定理非常相似，所以我們還可以通過構造三角形，使問題得到整體的解決。
說明：這里通過構造對偶式和三角形來求三角函數式的值是一種較高的變形技巧。 總結：三角函數式的恒等變形是學習三角函數和其他數學知識的重要知識。它包括化簡三角函數式，求三角函數式的值，證明三角恒等式等。三角函數式恒等變形的理論依據是代數式恒等變形的一般方法和法則，與三角函數式的變形公式。變形中要注意三角函數定義域和值域的要求，以及符號的變化和選擇。 1.3 "0"的變形技巧
恩格斯在《自然辨證法》一書中指出："零不只是一個非常確定的數，而且它本身比其他一切被要所限定的數都更重要，事實上，零比其他一切數都有更豐富的內容 零乘以任何一個數,都使這個數變為零,零除以任何一個不等于零的數, 都等于零, "由于零具備許多特殊的性質,因此,在解題活動中我們若能對這些特性加以注意,對于解題的順利進行是大有幫助的,下面我們舉例幾個"0"的特性在解題中的應用。
例 8 若 ，求證：
。
證明：因為
分析：通過觀察可發現 可以變形為 ，即式子 中加了 。則再利用不等式的性質可方便解決這道題。
例9 在等差數列 和等比數列 中，
分析：本題主要在 變形，即分子上加 ，再利用不等式和等差數列的有關知識去解決即可。
例 10 在數列 中， 求： 通項 ； 前 項的和 。
解： 令 ， 為 的前 項和，則 是首項為 ，公差為 的等差數列。
分析：本題主要應用了 然后再利用等差數列的知識便可解決這道題目。
總結："0"是一個很有用的數字，在數學解題中若能靈活應用它，則會幫助我們順利地解題。如果有些題目可以借助"0"來解決，我們應該充分利用"0"的有關特性去解決。這樣可以很快確定解題方向，提高解題效率。
1.4 "1"的變形技巧
眾所周知" "的變形表述形式是十分豐富的，在數學問題的求解活動中，如果我們善于捕捉" "，恰當地用" "來解決數學問題，會使問題的解決顯得十分的簡潔明了。下面我們來看它的應用。
例 11 化簡 。
說明：本題充分利用 使問題巧妙解決。本題也可以用三角函數的知識來解答，但是比較麻煩。
例 12 若
分析：由均值不等式 有
式左邊是 個正數之積，右邊是 的 次乘方，而求證式左邊是 個正數的積，但任何數乘以 其值不變，因此，我們可以在求證式的左邊乘以 個 ，將其視為 正數之積。
說明：這里的 有 個
例 13 在等差數列 中， ，公差 ，設 ，則 。
分析：這里巧妙的運用 使問題得以解決。即 而這里的 。
例 14 設 求證： 。
解： 若 ， ， 中有兩個或三個為負，不妨設 , ,則 ,即 矛盾。
因而 ， ， 中至多有一個為負。
當 ， ， 中只有一個為負時，不等式顯然成立。
當 ， ， 均為非負時
同理 ，
故
分析：這道題如果不認真去考慮，那么將很容易遺漏 和 這兩種情況。即要討論 ， ， 這三個數的正負情況。而第三種情況用到了 和 的變形技巧，即 用到了 的變形技巧，而 用到了 的變形技巧。然后再利用不等式的性質便可解決這道題。
數學建模窮舉法范文5
關鍵詞：計算思維；計算機基礎教學；案例；算法
1 背景
計算思維（Computational Thinking）是近幾年計算機基礎教育界的熱門研究領域。2006年，周以真教授全面定義和闡述了計算思維。她認為，計算思維就是運用計算機科學的基礎概念進行問題求解、系統設計以及人類行為理解的涵蓋計算機科學之廣度的一系列思維活動。隨后陳國良院士將其引入國內，引起各界的廣泛共鳴，為高校乃至各層次的計算機基礎教學改革提供了思路。目前，計算思維能力的培養已成為高校計算機基礎教學界公認的計算機基礎教學改革的方向，然而，計算思維并非新鮮事物，它早已有之，并隨著計算工具的發展而發展，只不過周以真教授將其清晰化和系統化。以往的計算機基礎課程的教學內容和教學活動中很多地方都體現著計算思維，現在需要我們把它更加科學化、顯性化地表現出來，并且更有目的地進行培養。2012年教育部高等學校計算機基礎課程教學指導委員會舉辦召開的第一屆計算思維與大學計算機課程教學改革研討會上，專家提出將“普及計算機文化、培養專業應用能力、訓練計算思維能力”作為大學計算機基礎課程教學的總體目標要求。
2012年11月，經教育部高等教育司批準，教育部高等學校計算機基礎課程教學指導委員會與文科計算機基礎教學指導委員會啟動大學計算機課程改革項目，自此之后，關于計算思維的研究如火如荼，有不少成果問世，這使計算思維理論體系得以逐步完善。計算思維是一種解決問題的方法體系，可以實現自動化，也可以轉換到跨學科的應用中；它通過一個個要素形成其框架體系。典型的計算思維包括一系列廣泛的計算機科學的思維方法，如遞歸、抽象和分解、保護、冗余、容錯、糾錯和恢復等，這些要素不是枯燥而抽象的純粹理論表述，它們完全可以自然而然地通過計算機基礎課程中所涉及的各種知識點和案例進行更加有效的表達。例如，通過窮舉法、回溯法、遞歸、分治法、貪心法等經典的算法設計體現計算思維中的幾種經典思維，將這些經典算法和學生所熟知的排序問題、漢諾塔問題、國王的婚姻、背包問題等相結合，通過對這些具體問題的算法設計，讓學生體會到如何選擇合適的方法陳述問題，如何對一個問題或問題的相關方面進行建模，并考慮如何使其易于計算機處理。
2 計算思維概念的自然引入
人類通過思考自身的計算方式，研究是否能由外部機器模擬，代替我們實現計算的過程，從而誕生了計算工具，并且在不斷的科技進步和發展中發明了現代電子計算機。在此思想的指引下，還產生了人工智能，用外部機器模仿和實現我們人類的智能活動。隨著計算機的日益“強大”，它在很多應用領域中所表現出的智能也日益突出，成為人腦的延伸。與此同時，人類所制造出的計算機在不斷強大和普及的過程中，反過來對人類的學習、工作和生活都產生了深遠的影響，同時也大大增強了人類的思維能力和認識能力，這一點對于身處當下的人類而言都深有體會。早在1972年，圖靈獎得主Edsger Dii.kstra就曾說：“我們所使用的工具影響著我們的思維方式和思維習慣，從而也深刻地影響著我們的思維能力”，這就是著名的“工具影響思維”的論點。計算思維就是相關學者在審視計算機科學所蘊含的思想和方法時被挖掘出來的，成為與理論思維、實驗思維并肩的3種科學思維之一。計算思維是計算時代的產物，應當成為這個時代中每個人都具備的一種基本能力。
由此可見，在介紹計算機的誕生與發展時，自然地提及計算思維的基本思想，進而再較為詳細地介紹計算思維的相關概念和內涵，更容易被學生接受，并且在后續學習中主動而有意識地加強相關能力的培養。
3 計算思維要素的自然體現
算法和數論中很多內容涉及計算與計算思維，如遞歸就是一種典型的計算思維。遞歸的案例很多，可以從德羅斯特效應（Droste effect）說起，用一張圖（如圖1）就能很好地說明什么是德羅斯特效應，然后解釋德羅斯特效應與遞歸的關系，因為它并非嚴格意義上的遞歸，讓學生從感性的角度對遞歸有一個認識。再如電影盜夢空間，從現實走入一層又一層有意構建的夢境，而后又克服重重困難走出層層夢境回歸現實，這部電影充斥著典型的遞歸思想，通過這種學生感興趣或者采用當前熱門的話題來介紹遞歸概念的方式，可以顯著提升學生的學習興趣，激發其學習的主動性和積極性。
下面我們通過與計算相關的案例進一步介紹遞歸，例如漢諾塔問題（Tower of Hanoi），這是目前在介紹遞歸的書中用的非常多的一個案例，它不僅是一個遞歸問題，而且通過計算我們不難發現，移動金片的次數，f（n）與寶石針上的金片個數n之間的關系是為：
f（n）=2n-1
因此當n=64時，f（n）的值將高達18，446，744，073，709，551，615，按移動一次花費1s計算，需要約5 845億年才能完成，這樣的問題在現實中幾乎是無法實現的，但我們可以借用計算機的超高速，在計算機中模擬實現。由此可見，借助現代計算機超強的計算能力，有效地利用計算思維，就能解決之前人類望而卻步的很多大規模計算問題。
相對于漢諾塔問題，斐波那契數列（Fibonacci Sequence）是更為簡單、典型且易于接受的遞歸問題。斐波那契數列又稱黃金分割數列，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21……，即后一個數字是前兩個數字之和，在數學上，斐波納契數列直接被以遞歸的方法定義：
f（0）=0
f（1）=1
f（n）=f（n-1）+f（n-2）（n>=2，n∈N*）
這個級數與大自然植物的關系極為密切，幾乎所有花朵的花瓣數都來自這個級數中的一項數字。例如，菠蘿表皮方塊形鱗苞形成兩組旋向相反的螺線，他們的條數必須是這個級數中緊鄰的兩個數字（如左旋8行，右旋13行），又如向日葵花盤（見圖2）。它形成了一種自然規律，現在人們也將其應用于股票、期貨技術分析中，在現代物理、準晶體結構、化學等領域也都有直接的應用，為此，美國數學會從1960年代起出版了Fibonacci Sequence季刊，專門刊載這方面的研究成果。有趣的是，隨著數列項數的增加，前一項與后一項之比越來越逼近黃金分割的數值0.618 033 988 7，這個數值的作用不僅僅體現在諸如繪畫、雕塑、音樂、建筑等藝術領域，而且在管理、工程設計等方面也有著不可忽視的作用，另外在取石子的博弈游戲中按此規律必能獲勝。利用這種規律，我們可以用計算機模擬自然、創建人機對戰的博弈游戲，以及對金融走勢的分析等。
此外，計算機中文件夾的復制也是一個遞歸問題，因為文件夾是多層次性的，需要讀取每一層子文件夾中的文件進行復制。掃雷游戲中也有遞歸問題，當鼠標單擊到四周沒有雷的點時往往會打開一片區域，因為在打開沒有雷的四周區域時，如果其中打開的某一點其四周也沒有雷，那么它的四周也會被打開，以此類推，就能打開一片區域。這些問題用遞歸方法實現既清晰易懂，還能通過較為簡單的程序代碼實現。
計算思維的要素還有很多，以上我們以遞歸為例介紹了如何通過學生喜歡并易于接受的案例將遞歸的概念、思維方法顯現出來，并應用于各種現實的應用和問題解決中。根據計算思維的要素構造案例時，最好能夠構造出3種不同層次的案例（見圖3），驅動學生主動思考并領會計算思維。這3個層次包括簡單的計算問題案例、與
通過案例的驅動、問題的解析，在強化計算思維要素的同時，也經由3種不同層次案例的遞進關系逐步深化對學生計算思維能力的培養。
4 程序設計與計算思維
計算思維也可以體現在程序設計中，如經典的證比求易算法――“國王的婚姻”。這是一個很有意思的故事：一個酷愛數學的年輕國王向鄰國一位聰明美麗的公主求婚，公主出了這樣一道題：求出48，770，428，433，377，171的一個真因子。若國王能在一天之內求出答案，公主便接受他的求婚。國王回去后立即開始逐個數地進行計算，他從早到晚共算了3萬多個數，最終還是沒有結果。國王向公主求情，公主告知223，092，827是其中的一個真因子，并說，我再給你一次機會，如果還求不出將來，你只好做我的證婚人了。國王立即回國并向時任宰相的大數學家求教，大數學家在仔細地思考后認為，這個數為17位則最小的一個真因子不會超過9位。于是他給國王出了一個主意，按自然數的順序給全國的老百姓每人編一個號發下去，等公主給出數目后立即將它們通報全國，讓每個老百姓用自己的編號去除這個數，除盡了立即上報賞金萬兩。最后國王用這個辦法求婚成功。實際上這是一個求大數真因子的問題，由于數字很大，國王一個人采用順序算法求解，其時間消耗非常大。當然，如果國王生活在擁有超高速計算能力的計算機的現在，這個問題就不是什么難題了，而在當時，國王只有通過將可能的數字分發給百姓，才能在有限的時間內求取結果。該方法增加了空間復雜度，但大大降低了時間的消耗，這就是非常典型的分治法，將復雜的問題分而治之，這也是我們面臨很多復雜問題時經常會采用的解決方法，這種方法也可作為并行的思想看待，而這種思想在計算機中的應用比比皆是，如現在CPU的發展就是如此。同樣，計算機基礎教學在介紹各個知識點時，往往也是由簡人難、不斷深入的，隨著問題復雜度的逐步提升，需要讓學生掌握如何采用抽象和分解來控制龐雜的任務或進行巨大復雜系統設計的方法。這些思想方法和思維能力是一通百通的，也是如今計算機基礎教學中真正希望學生能夠掌握的。
在日常的教學過程中，介紹這些經典的算法后，需要通過一種具體的程序設計語言將算法轉換為計算機可以執行的程序，了解如何將具體問題抽象化后由計算機實現的過程，并從程序的執行效率中讓學生感性地判斷出算法的好壞，從而對各種算法進行評價分析，體現出在時間和空間之間，在計算機處理能力和存儲容量之間需要進行折衷的思維方法。當計算機基礎教育界在熱議計算思維的同時，“Machine Thinking”在管理學界也成為時下最流行的詞匯之一，他們認為編程特別是其思想正在成為數字時代的一項基本技能，對新時代的知識工作者而言，編程早已不是程序員的必修課，而是營銷人員、業務人員甚至CEO的必修課，一些必要的編程知識成為更好地理解新技術、新服務和新商業模式的第3只眼睛。因此，對于各種專業的學生，無論文理，都應當學習一些基本的算法和程序設計，雖然很多非計算機專業的學生將來可能很少進行程序設計和系統構建這樣直接應用計算科學的實踐，但是在其接觸到的信息技術中，計算科學的應用和計算思維的體現無處不在，而且由于計算機科學技術的發展，可以在不同的邏輯層次進行定制與開發，這也為非計算機專業學生進行計算思維培養相關的實踐活動提供了可能性。對于理工科學生可以學習C、Visual Basic、Visual C++、Java、c≠}、Fortran、Python等高級程序設計語言，而對于文科專業學生可以選擇學習的程序設計語言也很多，例如可以選擇文科專業需要掌握的某項技能軟件之上的二次開發，例如在EXCEL、WORD中的宏編程（Visual Basic Application），或者網頁開發中的腳本語言VB Script或JavaScript等。而且隨著程序語言向自然語言編程方向的不斷發展，還可以選用起點很低的完全可視化編程語言，如RAPTOR（the Rapid AlgorithmicPrototyping Tool for Ordered Reasoning）、MIT開發的Scratch、Google開發的Blockly等，這些可視化編程語言和環境可通過簡單直觀的圖譜結構實現編程，通過它們設計的程序和算法亦可直接轉換成為c++、c#、Java等高級程序語言，為程序和算法設計的基礎課程提供教學實驗環境。程序設計課程應當從復雜的語法規則中解放出來，將內容重點轉移到問題的抽象，算法的構造，程序的實現和評價等知識上，讓學生不僅能掌握一門算法語言，更重要的是可以加深他們對相關軟件實現的理解，從而進一步理解計算科學的本質――抽象和自動化。
5 結語
綜上所述，在計算機基礎課程內容中，通過典型案例的構建，完全能夠潛移默化地將計算思維的思想融入其中，在教與學的互動過程中，通過學生的自我學習和領悟，使其最終能沉淀于學生的腦海里，內化為一種思維習慣，真正實現將計算思維能力與“讀、寫、算”（Read、Write acomposition、Arithmetic，簡稱3R）能力一樣的一種基本能力，并能在學生自身的專業學習中，通過這種能力和思維方式，分析并解決各種專業問題和實際問題；同時還能在所從事的研究領域內也注重其學科本身所蘊含的思想與方法，實現方法的互通與思想的交融。當然，值得警惕的是，在我們以計算思維為切入點進行計算機基礎教學改革，沖破原有“狹隘工具論”的同時，仍應堅持面向應用，且不應偏廢其他能力和思維的培養，如應用能力、動手能力、創造性思維等，不能犯片面主義的錯誤。在2013年第九屆“全國高等學校計算機教育改革與發展高峰論壇”上，根據30多年來計算機基礎教育所取得的經驗和形成的基本規律，大會總結計算機基礎教育不變的本質特征――“面向應用、需求導向、能力核心、分類指導”。實際上，計算思維能力的培養就是一個動手動腦的學習和實踐過程，從普適通用的計算機應用能力層面看，計算思維能力和信息行動能力等同等重要。
參考文獻：
[1]周以真.Computational Thinking[J].Communications of the ACM，2006，49（3）：33-35
[2]陳國良.計算思維[J].中國計算機學會通訊，201l，8（1）：31.34.
[3]盧湘鴻.淺議計算思維能力培養與大學計算機課程改革方向[C]，∥全國高等院校計算機基礎教育研究會.全國高等院校計算機基礎教育研究會2012年會學術論文集.北京：清華大學出版社，2012：10.
[4]陳國良，董榮勝計算思維與大學計算機基礎教育[J].中國大學教學，2011（1）：7-12.
[5]馮博琴.計算思維驅動的計算機基礎課程改革思考和實踐[EB/OL].（2013-8-20）[2014-02-25]..
[13]天極網.告別編程課MIT展示自然語言編程[EB/OL].（2013-07-16）[2014-02-25].http：∥/406/35250406.shtml.
[14]全國高等院校計算機基礎教育研究會，中國鐵道出版社.關于新一輪大學計算機教育教學改革的若干意見[J].計算機教育，2013（20）：54-67.
