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初中數學求最值的方法范文1
命題一抓住方程這條綱
方程是一條綱，好的數學的例子是方程.因為它有廣闊的發展前途，所以初中考試重點考查方程是很有價值的，不僅反映了教學大綱的要求，而且突出了高初中數學的銜接.例如指（對）數方程、三角方程、復數方程、曲線方程等內容都需要以初中代數的各種方程為基礎.在初中方程的諸多內容中，又應側重于方程解法（特別是換元法、降次、消元等思想方法）及二次方程的判別式、根與系數關系等內容的考查.
點評抓住了方程的重要解法：換元法、降次的考查，又考到了韋達定理.重點知識與方法重點考查.
命題二注重函數的銜接
函數在初中數學中占有重要地位，特別在高中數學中函數思想是一條綱.函數是數學中最重要的數學思想之一.根據初中教材，注重一次函數、二次函數的考查，尤其重視待定系數法求解析式、配方法求頂點坐標或最值、用描點法作圖象、用平面幾何知識求頂點坐標或最值、用描點法作圖象、用平面幾何知識求對稱點等數學思想方法的考查.
點評既考查了重要的函數思想，又突出了重要的待定系數法、配方法、對稱點求法、探索法方法、數形結合等數學思想方法的考查.
命題三數學應用方面的銜接
數學應用已列為數學素質之一.顯然在素質教育的考試中，數學應用題更受命題者青睞.應用題的的內容更加貼近生產生活實際，特別是與市場經濟有關的數學應用題已成為中考熱點.所以在中考中不能只局限于傳統的列方程解應用題的考查，應打破傳統，考一考有實際情景的應用問題，必將有益于提高學生適應能力.
例3某學生從一塔型建筑物邊經過，只見這個建筑物基部以北是一片平坦的空地，建筑物的影子清楚地映在地面上.這位同學想估算一下這座建筑物的高度，但身邊未帶任何測量工具，他忽然想起自己的身高168 cm，而雙腳的長度分別是25 cm.于是，他利用這些條件把問題解決了.請你說明這位學生是如何解決這一問題的（寫出估算過程和計算原理）
初中數學求最值的方法范文2
關鍵詞：初中數學；最值問題；生活數學
最值的使用在生活中有很多，比如求兩個點之間的最短距離或者兩線段和的最小，還有我們平常生活中的利潤最大、成本最小等最優方案的問題。這些問題都可以轉化成數學問題，然后用數學的方法去解決。下面我們先來看看有關于線段的最值問題：
一、有關線段和的最值問題
有關距離的最值問題有一個簡單的問題原型。比如說要在公路上建一個公交車站，在公路旁有兩個村子A與B，問車站建在公路上的哪個位置才能使A、B兩村去車站的路程最短？這種“確定最短路線”的問題就是最經典的求最值問題。在這里，這個問題有兩種情形，第一是兩個村子在公路的不同側，這就轉化成了點與點之間的最短距離，也就是兩點間的連線。第二是兩個村子在公路的同一側（如圖1），那么這就是一個利用軸對稱解決極值的經典問題，而解決這個問題的基本方法就是對稱共線法。利用軸對稱變換，將線路中各線段映射到同一直線上（線路長度不變），確定動點位置（如圖2），計算線路最短長度。此時，這個問題的模型又變成第一種情況，兩個村子在公路的不同側了。
由上面這個簡單的例子我們可以歸納出求線段和最小的一般方法：通過軸對稱，將動點所在直線同側的兩個定點中的其中一個，映射到直線的另一側，當動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長（如圖3）。下面我們來看一道這種類型的變式題：
恩施到張家界高速公路Y與滬渝高速公路X垂直，如圖4建立直角坐標系。著名的恩施大峽谷（A）和世界級自然保護區星斗山（B）位于兩高速公路同側，AB=50km，A到直線X的距離為10km，B到直線X和Y的距離分別為40km和30km。請你在X旁和Y旁各修建一服務區P、Q，使P、A、B、Q組成的四邊形的周長最小，并求出這個最小值。
分析：這道題目所涉及的四邊形的周長的最小值，包括四條線段的和，看起來會比較麻煩，不知道該怎么下手，其實求四邊形的周長的最小值，可以把周長分成四部分，先分析其中的兩段或三段，把問題拆解成類似原型題目這樣的簡單問題，再做進一步的分析。比如，可以先看BQ和QP這兩段的和的最小值，單獨看這兩段的話，就變得很簡單了，只要根據求兩條線段的和的一般方法，就可以解出。同樣的方法再分析QP和PA，然后把幾條線段綜合起來看，這道題就不難解決了。
解析：作點A關于X軸的對稱點A′，點B關于Y軸的對稱點B′，連接A′B′，AP+PQ+BQ=A′P+PQ+QB′≥A′B′。當P、Q在線段A′B′上時，AP+BQ+PQ=A′B′最小。
過A′、B′分別作X軸、Y軸的平行線交于C。在RrA′CB′中，A′C=100，B′C=50，交X軸于P，交Y軸于Q。
A′B′==50，而AB=50
四邊形APQB的周長最小值為：AB+A′B′=50（+1）
總結：有關線段和的最值問題是實際生活中常遇到的問題，解決這類問題的方法就是從最簡單的問題原型出發，抓住解決問題的關鍵，把不在同一直線上的線段轉化到同一條直線上。求多條線段的和的最小值就是要先把問題化成幾個小問題，把每個小問題解決，就能從整體上理清思路，解決整個問題。
二、有關函數的最值問題
有關函數的最值問題是中考?？嫉囊环N題型，也是生活中常用來解決實際問題的一種數學方法。下面我們來看這樣一個例子：某蒜薹生產基地收獲蒜薹200，下表是按批發、零售、冷庫儲藏后銷售三種方式每噸的平均售價及成本價：
若經過一段時間，蒜薹按計劃全部售出獲得的總利潤為y（元），蒜薹零售x（噸），且零售量是批發量的。（1）求y與x之間的函數關系式。（2）由于受條件限制，經冷庫儲藏售出的蒜薹最多80噸，求該生產基地按計劃全部售完蒜薹獲得的最大利潤。
解析：（1）設零售量為x，則批發量為3x，儲藏后銷售量為200-4x，
則y=（3000-700）3x+（4500-1000）x+（5500-1200）（200-4x）
y=-6800x+860000
（2）根據題意得：200-4x≤80，則x≥30
y=-6800x+860000在x范圍內單調遞減
x=30時，y取得最大值
y=860000-6800×30=656000
也就是求得當零售量為30噸的時候，售完全部蒜薹可獲得最大利潤656000元。
總結：除了一次函數以外，二次函數也是求最值的重要方法。這種方法用于生活中的很多問題。學習數學就是為了把數學知識運用到生活中，幫助我們解決生活中的問題。因此，我們在學習數學的時候一定要多聯系實際，數學和生活并不是兩個獨立存在的，而是一個緊密聯系的結合體。數學的學習能使生活中的問題得到解決，而生活中的問題又是數學知識的原型，是發展數學的重要動力。
最值問題是生活中常遇到的問題，通過數學建模來解決實際問題是數學知識用于實際的重要體現，這也正說明了數學知識的生活實用性，學習數學能為我們將來創造美好的生活發揮應有的作用。
參考文獻：
1.傅彪.關于折線段最小值問題的探究.中學數學初中版，2012，8.
2.趙秀琴.初中數學最值問題的解法.考試周刊，2012，44.
初中數學求最值的方法范文3
一、轉化思想的內涵及其教學功能
1.轉化思想的內涵.轉化思想不僅僅是用來解題的思想方法，也是教師應該引導學生掌握的解決一般問題的基本思維策略.對于學習數學學科而言，應該是一種常態化的數學思維方式.在研究數學問題和解決數學問題時，學生可以利用轉化思想，將待求問題通過具體的手段變換，使之轉化為能夠解決的問題.
2.轉化思想應用的一般模式.在利用轉化思想解決初中數學問題時，通常的模式如圖1.
3.轉化思想對初中數學習題的教學功能.在初中數學習題教學過程中，教師要有意識地引導學生運用化歸思想解決數學問題，幫助學生理解初中數學知識、概念的形成進程，了解并掌握數學知識體系的內部結構、概念之間的相互關系.大量的理論研究與教學實踐表明，轉化思想在習題教學中的教學功能有如下幾個方面：（1）利用轉化思想處理習題教學，有利于學生透徹理解概念、定理的內涵.（2）利用轉化思想處理習題教學，有利于學生形成完整的知識結構.（3）利用轉化思想處理習題教學，有利于提高學生應用知識的能力；（4）利用轉化思想處理習題教學，有利于培養學生的學習興趣，促使學生樹立正確的數學觀.（5）教師長時間利用轉化思想理習題教學，有利于教師優化教學方法.
二、在初中數學教學中滲透轉化思想實例分析
現以函數的極值為例，就轉化思想的應用進行分析.在學習初中數學的過程中，能用圖形形象地描述相應的問題是很重要的，將題目轉化為圖形，讓我們更直觀地觀察題目，更容易想出解題思路.如果學生可以將函數問題轉化為直角坐標系的問題，通過圖形中的簡單或者復雜的數量關系，把函數題目中所給的量或所求的量體現出來，就會容易理清自己的解題思路，解出題目.如果遇到函數問題，學生不運用轉換思想，只靠在腦中想象，很難將題目中的條件理清楚，反而會將容易的問題變復雜.化數為形的解題思路，培養了學生將抽象的問題化為直觀、具體的問題的能力，幫助學生理清思路.
例若x、y為正實數，且x+y=4，x2+1+y2+1的最小值是多少？
解析：如圖2，線段AB=4，P為AB上一動點.設PA=x，PB=y.CAAB，DBAB，A、B為垂足，且CA=1，BD=2，則PC+PD=x2+1+y2+1，易知當點P、C、D在同一條直線上時，PC+PD最小.作CE垂直DB的延長線于E，易知EC=4，ED=2+1=3，所以PC+PD=DC=32+42=5.故x2+1+y2+1的最小值為5.
初中數學求最值的方法范文4
一、利用根的定義構造一元二次方程
當已知等式具有相同的結構時，我們就可以把某兩個變元（相同的元素）看成是關于某個字母的一元二次方程的兩個根來構造一元二次方程。
例1.若實數滿足■+■=1，■+■=1，則x+y= 。（全國初中數學聯賽題）
思路點撥：觀察方程，可以直接解答，但解答難度大，我們可將x、y看做某個一元二次方程的兩根，構造方程求解。
簡解：33、53是關于方程■+■=1的兩根，化簡得t2-（x+y-43-63）t-（63x+43y-43×63）=0，由韋達定理得33+53=x+y-43-63，故x+y=33+53+43+63=432。
小結：競賽題中的一元二次方程題目一般都不能直接求解，而是需要我們通過分析、歸納已知條件構造一元二次方程，再運用有關一元二次方程的知識進行解答。
二、利用韋達定理逆定理構造一元二次方程
若問題中有形如x+y=a，xy=b的關系式時，則x、y可看作方程t2-at+b=0的兩個實數根。
例2.已知實數a、b、c滿足，a+b+c=2，abc=4，（1）求a、b、c中最大者的最小值。（2）求a+b+c的最小值。（全國初中數學競賽題）
思路點撥：該題運用不等式的變形來求解是比較繁瑣的，由題得b+c=2-a，bc=■，構造以b、c為實數根的一元二次方程，通過≥0探求a的取值范圍，并以此為基礎去解（2）。
簡解：（1）設a≥b，a≥c，b+c=2-abc=■b、c為一元二次方程x2-（2-a）x+■=0的兩根=（2-a）2-4×■≥0，即（a2+4）（a-4）≥0，a≥4，當a=4，b=c=-1時，滿足條件，故a、b、c中最大者的最小值為4。
（2）a、b、c只一正二負，設a>b、b
小結：我們通過構造一元二次方程，在問題有解的前提下，運用判別式建立含參數的不等式，縮小范圍逼近求解，這種方法在求字母的取值范圍、求最值等方面有廣泛的應用。
三、確定主元構造一元二次方程
我們在遇到含有多個變元的等式時可以將方程整理為關于某個未知數的一元二次方程，再利用一元二次方程的有關性質求解。
例3.求方程x2+xy+y2=3x-3y+3=0的實數的解。（全國初中數學聯賽題）
思路點撥：這是一個二元二次方程，可整理為關于某一個未知數的（如x）的方程，利用一元二次方程根的判別式求解。
簡解：方程變形為x2=（y-3）x+y2-3y+3=0，由≥0，可知（y-3）2-4（y2-3y+3）=-3（y-1）2≥0，得y=1，將y=1代入原方程得x=1。
我們要通過敏銳的觀察、恰當的變形、廣泛的聯想進行構造。
解題者要成功地利用構造法解題，必須成為一個“建筑師”，一方面應當記住手中的“建筑材料”，即已知條件提供的信息；另一方面也不要忘記我們要制造的“建筑”，即符合命題要求的事物。
初中數學求最值的方法范文5
一、運用判別式解決明顯的一元二次方程、二次函數、一元二次不等式、二次三項式問題
1.一元二次方程的實數根問題或二次函數圖象與 x 軸的交點問題.
例1 （第21屆江蘇省初中數學競賽初三第二試試題）設關于 x 的一元二次方程 x2+2kx+14-k=0有兩個實數根.則 k 的取值范圍為.
解：因為方程 x2+2kx+14-k=0有兩個實數根，所以，Δ=4k2-4（14-k）≥0.
解得 k≥2-12或 k≤-2+12.
故填 k≥2-12或 k≤-2+12.
2.一元二次方程的整數根問題
例2 （2007年全國初中數學聯賽江西省預賽試題）試求所有的整數 a，使得關于 x 的一元二次方程 x2-5a2-26a-8x-（a2-4a+9）=0的兩根皆為整數.
解：設方程的兩根為 x1、x2，于是5a2-26a-8=x1+x2=整數，即方程為整系數一元二次方程，其根為整數，則其判別式必為完全平方數.
設Δ=（5a2-26a-8）+4（a2-4a+9）=n2，n 是自然數，即（3a-7）2-n2=21.
因此，（3a-7-n）（3a-7+n）=21.
又21=3×7=1×21=（-7）×（-3）=（-21）×（-1），
則3a-7-n=3，
3a-7+n=7；或3a-7-n=1，
3a-7+n=21；
或3a-7-n=-7，
3a-7+n=-3；或3a-7-n=-21，
3a-7+n=-1.
解得 a=4，6，23，-43.
因為 a 為整數，且當 a=4時，5a2-26a-8無意義，所以，只有 a=6.
此時， 原方程變為 x2-4x-21=0.它有整數根7和-3.因此，所求整數 a=6.
3.一元二次不等式的解集問題
例3 如果對于一切實數 x，不等式-x2+2x+k＜0恒成立.求 k 的取值范圍.
解：依題意有：Δ=22-4（-1）•k＜0，
解得 k＜-1.故 k 的取值范圍是 k＜-1.
4.二次三項式在實數范圍內的因式分解問題
例4 （2006年廣東省初中數學競賽初賽試題）若 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，則 k 的值為（ ）
（A） ±1
（B） ±3
（C） -1或3（D） 1或-3
解：因為 x2-2（k+1）x+4是完全平方式，所以，Δ=［-2（k+1）］2-4×4=0，
即 k2+2k-3=0.
解得 k=-3或 k=1.故選（D）.
二、運用判別式解決可轉化為一元二次方程的問題
1.求參數的值或取值范圍問題
例5 （2006年全國初中數學聯賽試題）關于 x 的方程|x2x-1|=a 僅有兩個不等的實根.則實數 a 的取值范圍是（ ）
（A） a＞0
（B） a≥4
（C） 2＜a＜4（D） 0＜a＜4
解：當 a＜0時，原方程無解；當 a=0，x=0，不合題意；當 a＞0時，原方程可化為x2x-1=±a.
整理得 x2-ax+a=0，①
或
x2+ax-a=0.②
因為方程②的判別式Δ2=a2-4（-a）＞0，所以方程②有兩個不等實根.又因為原方程僅有兩個不等實根，因此，必有方程①的判別式Δ1=（-a）2-4a＜0.
從而，0＜a＜4.故選（D）.
2.求參數的最值問題
例6 （2007年“《數學周報》杯”全國初中數學競賽試題）實數 a、b、c 滿足 a≤b≤c，且 ab+bc+ca=0，abc=1.求最大實數 k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立.
解：由已知條件知，a、b、c 都不等于0，且 c＞0.
因為 ab=1c＞0，a+b=-1c2＜0，
所以，a≤b＜0.
由一元二次方程根與系數的關系知，a、b 是 x2+1c2x+1c=0的兩個實數根.
所以，Δ=1c4-4c≥0.于是，c3≤14.
因此，|a+b|=|-1c2|≥4c=4|c|.
即|a+b|≥4|c|（當 c=322，a=b=-32時取等號）.于是，使得|a+b|≥k|c|恒成立的實數 k≤4.所以，最大實數 k=4.
3.求函數的最值問題
例7 （2007年我愛數學初中生夏令營數學競賽試題）代數式113x2+3-110x 的最小值為.
解：令 y=113x2+3-110x（y＞0），則
y2+220xy=3×223x2+3×1132，
即3×223x2-220yx+3×1132-y2=0.
因為 x 為實數，所以，
Δ=（220y）2-4×3×223（3×1132-y2）
=4×1132（y2-32×223）≥0.
所以，y≥3223.當且僅當 x=110223時，y 取最小值3223.故填3223.
4.求不定方程的整數解或實數解問題
例8 求方程 x+y=x2-xy+y2 的整數解.
解：原方程可化為
x2-（y+1）x+y2-y=0.
因為方程有整數解，所以，
Δ=（y+1）2-4（y2-y）≥0，
即-3y2+6y+1≥0.
解得3-233≤y≤3+233.
因為 y 是整數，所以，y=0，1，2.
當 y=0時，原方程化為 x2=x，所以 x1=0，x2=1；當 y=1時，原方程化為 x2-2x=0，所以 x3=0，x4=2；當 y=2時，原方程化為 x2-3x+2=0，所以 x5=1，x6=2.
于是，原方程的整數解（x，y）是（0，0），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2），（2，2）.
5.證明不等式問題
例9 （“祖沖之杯”數學邀請賽試題）如圖1，設ABC的面積為S，作一條直線 l∥BC，且與AB、AC分別交于D、E兩點，BDE的面積記為 k.求證：k≤14S.
證明：設ADAB=x（0＜x＜1）.
因為DE∥BC，
所以SΔABES=AEAC=ADAB=x.
即SABE=xS.
又kSABE=BDAB=AB-ADAB=1-ADAB
=1-x.
于是， k=xS（1-x）.即Sx2-Sx+k=0.
因為 x 是實數，所以，
Δ=（-S）2-4kS≥0.
又S＞0，因此，k≤14S.
三、運用判別式解決可轉化為二次函數的問題
例10 （第七屆美國奧賽試題）已知 a、b、c、d、e 是滿足 a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16的實數，試確定 e 的最大值.
解：設 y=（x-a）2+（x-b）2+（x-c）2+（x-d）2，則y=4x2-2（a+b+c+d）x+（a2+b2+c2+d2）.
因為 x2 的系數4＞0，且 y≥0，所以，Δ=［-2（a+b+c+d）］2-4×4（a2+b2+c2+d2）≤0.于是，4（8-e）2-16（16-e2）≤0.
解得0≤e≤165.
當 a=b=c=d=65時，e=165.
所以，e 的最大值為165.
四、運用判別式解決可轉化為一元二次不等式的問題
例11 （2007年全國初中數學聯賽試題）設 m、n 為正整數，且 m≠2.如果對一切實數 t，二次函數 y=x2+（3-mt）x-3mt 的圖象與 x 軸的兩個交點間的距離不小于|2t+n|，求 m、n 的值.
解：因為二次函數 y=x2+（3-mt）x-3mt 的圖象與 x 軸的交點橫坐標分別為 mt、-3，所以，交點間的距離為|mt+3|.
依題意有|mt+3|≥|2t+n|，
即（mt+3）2≥（2t+n）2（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
又 m2-4≠0，且上式對一切實數 t 恒成立，則
m2-4＞0，
Δ=（6m-4n）2-4（m2-4）（9-n2）≤0.
m＞2，
4（mn-6）2≤0.m＞2，
mn=6.
所以，m=3，
n=2；或m=6，
n=1.
注：|mt+3|≥|2t+n|轉化為關于 t 的一元二次不等式（m2-4）t2+（6m-4n）t+9-n2≥0.
五、運用判別式解決可轉化為二次三項式的問題
例12 （1997年五羊杯初三數學競賽試題）如果 x2+7xy+ay2-5x+43y-24可分解為兩個一次因式的積，則 a=.
解：原式可化為關于 x 的二次三項式 x2+（7y-5）x+（ay2+43y-24）.
依題意Δx=（7y-5）2-4（ay2+43y-24）=（49-4a）y2-242y+121必為完全平方式.
因此，Δy=（-242）2-4（49-4a）×121=0.故 a=-18.
練習題：
1.已知 a、b、c 是ABC的三條邊.證明拋物線 y=b2x2+（b2+c2-a2）x+c2 與 x 軸無交點.［提示：證明Δ＜0.］
2.（2006年全國數學聯賽試題）已知關于 x 的一元二次方程 x2+2（a+2b+3）x+（a2+4b2+99）=0無相異兩實根.則滿足條件的有序的正整數組（a，b）有多少組？［答案：16組］
3.證明 x2-xy+y2+x+y 不可能分解為兩個一次因式之積.［提示：假設能分解，則Δx=-3y2-6y+1必為完全平方式，但Δy=（-6）2-4×（-3）×1≠0.］
4.（2003年全國初中數學聯賽試題）已知實數 a、b、c 滿足 a+b+c=2，abc=4.（1）求 a、b、c 中的最大者的最小值；（2）求|a|+|b|+|c|的最小值.［答案：（1）4；（2）6.］
5.（1993年全國初中數學聯賽試題）當 x 變化時，分式3x2+6x+512x2+x+1的最小值是.［提示：設 y=3x2+6x+512x2+x+1，則（y-6）x2+2（y-6）x+2y-10=0.由 y≠6及Δ≥0可知，分式的最小值為4.］
6.若實數 x、y 滿足 x+y=x2-xy+y2+1，則 x=，y=.［提示：方程可化為 x2-（y+1）x+（y2-y+1）=0.由Δ≥0得 x=1，y=1.］
7.（江蘇省初中數學競賽試題）已知，如圖2，P是O外一點，PT切O于點T，直線PN交O于點M、N，則（ ）
（A） PM+PN
(B) PM+PN>2PT
(C) PM+PN=2PT
(D) PM+PN與2PT的大小不定
［提示PM•PN=PT2，故PM、PN是 x2-（PM+PN）x+PT2=0的兩個實數根.又PM≠PN，所以，Δ＞0.答案：（B）.］
8.已知實數 a，b，c，d 滿足 a4+b4+c4+d4=a2+b2+c2+d2=3.求 d 的取值范圍.
初中數學求最值的方法范文6
一、現有初高中數學知識存在以下“脫節”
1、在初中，因式分解中只介紹了提公因式法和公式法，而公式法中立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。至于十字相乘法不講，分組分解更是不提；因式分解一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“1”的涉及不多,而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要 求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。
2、二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。
3、初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最大、最小值，研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。
4、二次函數、二次不等式與二次方程的聯系，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。
5、圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數圖像關于點、直線的對稱問題必須掌握；函數的定義域、值域、周期性、單調性、奇偶性、對稱性更是讓學生傷透了腦筋。
6、含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。
7、幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，三角形角平分線性質定理，相交弦定理、切割線定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。
二、學生所面臨的主要變化
1、環境與心理狀態的變化
對高一新生來講，環境可以說是全新的，新教材、新同學、新教師、新集體，學生有一個由陌生到熟悉的適應過程。另外，經過緊張的中考復習，考取了自己理想的高中，必有些學生產生“松口氣”想法，入學后無緊迫感。也有些學生有畏懼心理，他們在入學前，就耳聞高中數學很難學，高中數學課一開始也確是些難理解的抽象概念，如映射、集合、函數等，使他們從開始就處于怵頭無趣的被動局面。以上這些因素都嚴重影響高一新生的學習質量。
2、教學內容的變化
首先，初中數學教材內容通俗具體，多為常量，題型少而簡單；而高中數學內容多而抽象，研究變量、字母的較多，不僅注重計算，而且還注重理論分析，這與初中相比增加了難度。
其次，由于近幾年教材內容的調整，雖然初高中教材都降低了難度，但相比之下，初中降低的幅度大，而高中由于受“高考”這一指揮棒的影響，教師都不敢降低難度，造成了高中數學實際難度沒有降低。因此，從一定意義上講，調整后的教材不僅沒有縮小初高中教材內容的難度差距，反而加大了。
3、課時的變化
在初中，由于內容少，題型簡單，課時較充足。因此，課容量小，進度慢，對重難點內容均有充足時間反復強調，對各類習題的解法，教師有時間進行舉例示范，學生也有足夠時間進行鞏固。而到高中，由于知識點增多，靈活性加大和新工時制實行，使課時減少，課容量增大，進度加快，對重難點內容沒有更多的時間強調，對各類型題也不可能講全講細和鞏固強化。這也使高一新生開始不適應高中學習而影響成績的提高。
4、學習習慣、學習方法的變化
首先、初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”，不會鞏固所學的知識。
其次、有些同學把初中的那一套思想移植到高中來。他們認為自已在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才認真學習了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，而且有的可能還是重點班，因而認為讀高中也不過如此，高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再努力一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。
再次、高中老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，問題也有一大堆，課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的聯系，知其然不知其所以然，趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背，還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。
最后，對高中數學教學的幾點教學建議：
1、抓住知識主線，利用好知識間的相互聯系。如三角函數里，誘導公式，和差角公式是主線，角度變換是解題技巧。三角函數曲線是靈魂，周期、對稱中心、對稱軸最值、單調性一目了然；
2、高一教學要放慢進度，降低難度，注意初高教學內容和教學方法的銜接，要重視數學興趣的培養和樹立起學好數學的信心，養成良好的學習習慣，做到堅持教師為主導，學生為主體的原則，師生互動，落實主體，激發學生的學習興趣。
3、嚴格要求，打好基礎。如怎樣聽好課；怎樣讓學生規范地、獨立地完成作業，訂正他們的錯題等。
4、要指導學生改進學習方法。養成良好的學習方法和學習習慣不但是高中階段學習的需要，還會使學生受益終生。好的學習方法與學習習慣，一方面需要教師的指導，另一方面也靠老師的強求。教師應向學生介紹高中數學的特點，進行學習方法的專題講座，幫助學生制定學習計劃等。重點是要會聽課和合理安排時間。聽課時動腦、動筆、動口，參與知識的形成過程，而不是只記結論。提倡學生進行章節總結，把知識串聯成線，做到把薄書變厚書，又由厚書變薄書。
5、課堂上要以訓練為主線。研討怎樣落實主體、師生互動、講練結合、進行學法指導、分層教學等。
