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數學建模的問題范文1
一、“問題―建模―應用”教學模式開展中要重視的問題
1.妥善處理生活與數學之間關系
同生活進行比較，數學有著本質的不同，生活總體來說是多門學科知識的綜合運用。數學雖然單一，但是有其嚴謹性和單一性，若是學生在回答數學應用題過程當中建模不當，就會讓學生在進行分析的時候出現一定的困難。在應用題當中，生活情境的加入是為了給數學知識和考點的融入提供一個良好的空間，但在小學數學學習中，學生心理發育尚不健全，無法從細微處觀察生活中的某些細節。所以，老師在進行應用題教學過程當中，應合理運用數學教材，正確對應用題題干進行信息采集，消除干擾信息。在進行講述的過程當中，讓學生對數學知識和生活中的實際案例進行理性分析，做到揚長避短，才能讓數學知識在解答應用題過程當中發揮其真正價值。
2.妥善處理理論與能力關系
建模思想隱藏在數學理論之中，所以在進行應用題教學的過程當中，老師需要利用相關數學理論知識對學生開展智力開發，幫助學生構建出完整的數學理論知識構架，增強學生解決實際生活難題的能力。
二、“問題―建模―應用”在小學數學應用題教學中的實施策略
“問題―建模―應用”教學模式建立在融入生活情境的模式之下，利用學生已經掌握的相關數學知識，依靠學生的理解與老師的解析，由此幫助學生有效提高數學成績。在實戰教學當中，使用“問題―建模―應用”教學模式開展小學數學應用題教學可以從以下三個方面開展。
1.加入生活情境
應用題一直是很多小學生在進行數學學習過程當中最大的弱點，因此在開展小學數學應用題教學過程當中，老師必須要從學生周邊常見的生活情境入手，給學生創造出操作和觀看的機會，讓小學生能夠在日常的生活情境當中，使用數學知識回答生活中所遇見的問題。
例如，在小學數學學習到“長方體表面積的計算”時，老師可以讓學生進行舉手回答，說說自己在日常生活中所見到的長方體物體都有什么。并且，老師拿出一個長方體模型讓學生作為參考，讓學生對長方體的結構產生充分的認識。又例如，老師可以用學生春游的事情作為例子向學生提出這樣一個為題，公園當中有七艘木船，每只木船可以裝六名學生，全班同學都想劃船，當七只木船已經被全部占用之后，仍有十八名學生無船可坐，請問這個班級一共有多少名學生？由上述的生活情境進行應用題教學的開展，可以有效激發起學生的學習熱情，讓學生可以進行自主性思考。增強了學生解決生活中實際問題的能力，讓數學理論知識可以真正用于生活問題的解答當中。
2.建立數學模型思想
學生在解答應用題的過程當中針對應用題的不同類型創建相關的模型，是解答數學應用題的重要步驟。在構建數學應用題的相應過程當中，學生將獲得創造數學模型的能力。并在進行解答??用題的過程之中，讓學生更加深刻地認識到數學與生活之間的密切聯系。
例如，在進行“單位換算”這一章節數學知識的教學過程當中，老師首先將長度單位千米、米、分米、厘米、毫米之間的關系給學生進行闡述，并在學生進行相關的記憶學習之后，以快問快答的方式進行課堂上的快速回答。學生因為自身對于計量單位的理解存在差異，造成了學生在回答相關問題的過程中出現時間差，在進行換算的過程中也會使用到不同的方法。這之后，老師就需要指導學生建立好相關的模型，在念來為學生解惑。因此，在實際教學中，教師可以通過一些簡單的實驗現象來激發學生提問的欲望，從而鍛煉其提問能力。
2.鼓勵學生提問，培養學生提問意識
學生作為學習的主體，他們在遇到難以理解的問題時，向教師提問是應該的。教師應當轉變教育理念和教學模式，在學生提出問題時放下架子悉心指導，并在解惑之后加以鼓勵，從而使學生在遇到難題時“能問、會問、敢問”。
3.循序漸進地引發學生的問題，促進學生提問能力的提高
物理的學習是有難度的，且物理問題一般比較深奧晦澀，因此教師在教學中不能一蹴而就，將一個問題拋出之后就希望學生快速解答或者理解。而是應該將問題分割細化，在提問過程中耐心引導，層層推進，使得學生在思考問題的過程中能夠對下一步的問題有一定的猜想和認識，從而鍛煉學生的思維能力。
例如在進行滬教版物理選修二第三章第一節的電磁感應的學習時，教師可以在正式上課前向學生講述奧斯特發現電與磁的故事，從而吸引學生的注意。隨后教師通過層層遞進，再引導學生思考，提出問題：磁場能不能夠產生電流呢？帶著這個疑問，教師開始講解本小節的相關內容，讓學生通過新學到的知識自行解答先前的問題。
（四）劃分學習小組，強化提問氛圍
學生提問的對象不僅僅是教師，同學之間也是可以的。把將要學習到的知識點事先當做任務分配給各學習小組，讓各組成員根據課本對知識先進行合作預習，隨后讓他們將難以理解的內容記錄，并在開始上課之前一一提出，在課上由教師解答。課后再讓各小組對本節課的內容進行討論和反思，互相提問互相解答，實現共同提高。
數學建模的問題范文2
【關鍵詞】高職院校；數學建模；教學
在高職院校中開展數學建模教學是為了使學生將所學的數學方法與知識同周圍的現實世界聯系起來，甚至和真正的實際應用問題聯系起來.數學建模不僅使學生知道數學有用、怎樣用，更重要的是使學生體會到在真正的應用中還需要繼續學習.數學建模是一種創造性的活動，也是解決現實問題的量化手段.作為一種創造性活動它要求建模者具備敏銳的洞察力、良好的想象力、較強的抽象思維能力和創新意識；作為一種量化手段，它需要建模者具備較強的知識應用能力和實踐能力.因此，開展數學建模教學不僅可以加強知識積累，提高學生的科學素質，而且可以從根本上實現從應試教育向素質教育的轉變，解決高等職業教育的特色問題，構建一種滿足高職教育人才培養目標所要求的體系全新、特色鮮明的課程內容體系.為了更好地達到預期的教學效果，在教學過程中應注意的幾個問題：
一、合理安排教學內容
高職院校學生數學基礎薄弱，絕大部分學生從沒接觸過數學建模知識.針對這些特點，教學內容的選擇應該以數學知識和方法為縱向，以問題為橫向，由易到難，由淺入深.第一部分是補充知識，主要包括：規劃論、圖論、組合優化、概率統計、層次分析、微分方程、排隊論等數學理論和數學方法；第二部分是編程訓練，強化數學軟件包括Mathematica，Lingo等軟件包的應用和C語言編程能力；第三部分是數學建模專題訓練，從小問題入手，由淺入深地訓練，使學生體會和學習如何運用數學知識和數學技巧解決實際問題，建立數學建模的思想和方法.
同時還要注重提高學生的興趣，注意理論和實際相結合.一方面可以介紹一些學生感興趣的實際例子來說明問題，例如在彩票中概率知識的運用；另一方面可通過一些與學生專業相結合的數學模型來激起學生學習的欲望.
二、建模教學過程中要突出學生的主體地位
由于受到長期傳統應試教育的影響，學生一直處于被動學習的地位，動手能力差，應用意識薄弱.數學建模教學的特點決定了突出學生主體地位的重要性，傳統教學中滿堂灌的方式已經不再可取，以學生為主的探索討論式教學變得尤為重要.教學過程中以教師為主導，學生為主體，教師以教學內容為主線，圍繞教材章節，歸納講解不同類型的數學思維方法和常用的數學思維方法，在教學過程中教師起到引導和示范作用，引導學生發現問題、提出問題，探索解決問題的途徑，形成探究的教學模式，從而激發學生的學習興趣，增強學生學習的主動性.教師要做到充分尊重學生的權利，培養學生的積極性，確保其思考的自主性.另外，要鼓勵學生充分發表個人意見，并且不要輕易否定學生的思路或強行讓學生的思路沿著教師的思維走.要鼓勵學生大膽嘗試、動手操作、動腦思考，勇于提問、勇于探索、勇于爭論，讓學生始終處于主動參與、主動探索的積極狀態，真正地把學生培養成為能夠自主地、能動地、創造性地進行認識和實踐活動的主體.
三、建模教學中要注重學生綜合素質的培養
數學建模是一門綜合性的課程，除了要求建模扎實的數學基礎知識外，還必須補充額外的大量知識.但由于時間短，所有知識不可能由教師一一講授，所以必須發揮學生學習的主動性.高職院校的學生一般自主學習意識比較淡薄，學習的主動性不強，因此在課堂教學之外，教師還要更多地引導學生充分利用課余時間，加強自主學習、自我教育能力的培養.
具體的做法是在教學過程中根據學生的具體情況，適當進行分組，一般3個人一組，然后布置相應的數模題目，教師適當講解，給予學生方法性的指導，讓學生自己思考以達到對實際問題有一個清晰的理解，了解問題的實際背景，已知什么，未知什么，要解決什么問題，明確建模的目的，初步確定用哪一類模型.在模型準備階段，教師可引導學生主動查閱文獻收集資料，盡早弄清對象的特征，用所學的數學知識將實際問題進行轉化.這種訓練使學生在很短時間內獲取與題目有關的知識，鍛煉了他們從互聯網和圖書館查閱文獻、收集與處理資料的能力.由于數學模型大多是用符號語言描述，所以涉及如何把實際問題轉化為數學問題的翻譯能力，而這恰恰是傳統的課堂教學中所忽略的.
構造數學模型是一種創造性的工作，需要想象力、類比、猜測、直覺和靈感，更需要一種組合與選擇.教師必須注重培養學生的觀察能力和想象力.讓學生反復揣測題目，適當增加或減少參數變量，改變變量的性質，降低建模的難度，改變變量之間的函數關系，改變約束關系，改變模型形式等等，這樣的訓練能讓學生經過分析抓住問題的主要矛盾，舍棄次要因素，簡化問題的層次，對可以用哪些方法解決面臨的問題及方法的優劣可作出判斷，利用實際問題的內在規律和適當的數學工具，建立數學模型.
在求解模型時，要求學生既會用手工計算又會用數學軟件進行運算，像微積分、線性代數、概率與統計微分方程、運籌學、模糊數學等數學課程中的簡單計算要求學生進行人工計算.求解多維數據模型時要求學生能應用數學軟件，如Matlab，Lingo，Lindo等，或根據模型運用C語言進行編程，并根據得到的結果檢驗是否符合實際問題的情況.教師可設計層次不同的題目鍛煉學生應用數學軟件包的能力.
最后要求學生要按競賽委員會所規定的規格完成.要求學生注意細節，尤其強調熟練寫好摘要、關鍵詞、模型評價等，使學生熟悉數學建模論文的常規格式和結構.還可以引導學生在網絡搜尋歷年賽題優秀論文，閱讀優秀建模作品，揣摩其中的寫作方法和技巧.
教師在講評學生論文時，鼓勵積極開展討論和辯論.小組可以踴躍發表見解，介紹本組的解題思路和方法，其他組可以補充、修改，或提出質疑，也可以另辟新徑采用不同的建模方法，最后由教師點評各種方法的優勢和不足.
整個過程實際上就是自主學習，探索解決方法的過程，經過這樣的訓練讓學生具備了一定的學習和創新的能力，使學生真正成為學習的主體，從而激發學生的學習興趣和學習積極性，培養學生團結協作、共同奮斗的精神.同時，學生的自學能力、使用文獻資料的能力、應用計算機的能力以及寫作的能力也得到了提高.這恰恰符合社會對人才要求具備終身學習和自主創新的能力.
四、應采取先進的教學手段和教學方法
在開展數學建模教學過程中，為了達到精講多練的效果，突出學生應用能力的培養，我們要改變傳統的黑板加粉筆的教學方法，采用多媒體教學手段進行直觀教學.
教學方法上以問題驅動教學.教學中具體的是引入案例、提出問題、帶著問題、學習解決問題，使學生從這些問題入手，學習體會數學知識的技巧，激起學習的興趣.
教學手段上借助多媒體進行教學.多媒體系統具有很強的真實感和包含大量的不同種類的信息，并且具有直觀、形象的呈現方式.例如，在講解連續與間斷點時，一些簡單的函數圖像學生自己能夠作出來，但一些較復雜抽象的圖形不容易能準確作出.教學中教師借用Matlab軟件，只需幾行簡單的命令，就能畫出直觀準確的函數圖形，從而使連續、間斷以及間斷點一目了然.在演示程序的調試和運行過程中，實現了教學的直觀性和互動性，大大加快了授課速度，同時也提高了教學效果.
高職數學教學的目標是培養學生應用數學知識來分析和解決實際問題的能力，重視數學的應用性、實踐性是高職數學課程改革的趨勢.數學建模教學是實現這個目的的一個新的教學環節，它體現了數學理論與應用的緊密結合，充分調動了學生學習的主動性，對于提高學生用數學知識和計算機技術解決實際問題的能力，培養創新能力與應用能力，培養團隊合作精神，全面提高學生的素質具有積極的意義.因此，如何在高職院校更好地開展數學建模教學是我們應該不斷研究的課題.
【參考文獻】
[1]劉冬華，郭瓊瓊.對高職開展數學建?；顒拥膸c認識[J].鄭州鐵路職業技術學院學報，2006（12）.
數學建模的問題范文3
著重發展學生能力，特別是應用能力，包括：計算、推理、空間想象以及辨明關系、形式轉化、駕馭計算工具、查閱文獻、口頭和書面的分析與交流。
強調計算工具的使用：不僅在計算過程中，而且在猜想、探索、爭辨、發現、模擬、證明、作圖、檢驗中使用。
強調學生的積極性與主動性：教師不應只是講演或者總是正確的指導者，還可以扮演不同的角色：問原因，找漏洞，督促學生弄清楚，說明白，完成進度.評判學生工作及成果的價值、意義、優劣，鼓勵學生有創造新的想法和做法。
結合學生實際水平，分層次逐步推進，結合正常教學的教材內容，結合正常的課堂教學在部分環節切入應用和建模內容。
二、應用性問題中常見的建模
隨著教育改革的深入，新的課程標準的出臺，強調了知識的應用，數學源于實際問題的應用題驟增，因而探討這類問題的解法具有重要的現實意義，數學建模就是將具有實際意義的應用問題，通過數學抽象轉化為數學模型，以求得問題的解決。實際問題是復雜多變的，數學建模較多的是探索性和創造性，但是數學應用性問題常見的建模方法還是有規律可以歸納總結的。
（一）建立幾何模型。諸如臺風、航海、三角測量、邊角余料加工、工程定位、拱橋計算、皮帶傳動、坡比計算，作物栽培等傳統的應用問題，涉及一定圓形的性質，常需要建立相應的幾何模型，轉化為幾何或三角函數問題求解。
例1 足球賽中，一球員帶球沿直線L逼近球門AB，在什么地方起腳射門最為有利。
分析 這是幾何定位問題，畫出示意圖，如圖1：根據常識，起腳射門的最佳位置P應該是直線L上對AB張角最大的點，此時進球的可能性最大，問題轉化為在直線l上求點P，使∠APB最大，為此過A、B兩點作圓與直線L相切，切點P即為所求，當直線L垂直線段AB時，易知P點離球門越近，起腳射門越有利，可見“臨門一腳”的功夫現應包括選取起腳射門的最佳位置。
（二）建立方程模型。例2 如下左圖：某小區規劃在長為40M，寬為26M的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的甬道，使其中兩條與AB平行，其余部分種草.若使每一塊草坪的面積為144M，求甬道的寬度。
分析 如上右圖：作整體思考，設甬道的寬度為xm，則問題轉化為：求方程（40-2x）（26-x）=6×144的解，解得x=2、x=44（不合題意舍去）。
（三）建立直角坐標系與函數模型。當變量的變化具有近似函數關系，或物體運動的軌跡具有某種規律時，可通過建立平面直角坐標系，轉化為函數圖象問題討論。
例3 有一批1米長的合金鋼材，現要截成長為27cm和13cm兩種規格，用怎樣的方案截取使材料利用率為最高？并求出材料最高利用率。
分析 作出直線 ■+■=12圖象，確定與直線最近的整數點（4，2），則4×13+2×27=98，即截4段13cm，2段2cm，材料利用率為98%。
（四）建立不等式模型。對現實生活中廣泛存在的不等量關系：如投資決策等可挖掘實際問題隱含的數量關系，轉化為不等式組的求解，目標函數在閉區間的最佳問題。
例4 某工廠有甲、乙兩種產品按計劃每天各生產不少于15噸，已知生產甲產品1噸需要煤9噸，電力4kw，勞力3個（按工作日計算），生產乙產品1噸需要煤4噸，電力5kw，勞力10個；甲產品美噸價7萬元，乙產品每噸價12萬元。如果每天用煤量不得超過300噸，電力不得超過200kw，勞力只有300個，問每天各生產甲、乙兩種產品多少噸，才能保證即完成生產任務，又能為國家創造更多得財富？
分析 設每天生產甲產品x噸、乙產品y噸，總產值為S萬元，依題意約束條件為■
目標函數為S=7x+12y。解方程組■
數學建模的問題范文4
數學建模中的靈敏度分析是研究和分析一個系統或模型的狀態或輸出變化對系統參數或周圍條件變化的敏感程度的方法。在最優化方法中經常利用靈敏度分析來研究原始數據不準確或發生變化時最優解的穩定性，通過靈敏度分析還可以決定哪些參數對系統或模型有較大的影響，因此，靈敏度分析幾乎在所有的運籌學方法中以及在對各種方案進行評價時都是很重要的，其用途主要用于模型檢驗和推廣，簡單來說就是改變模型原有的假設條件之后，所得到的結果會發生多大的變化。
建立數學模型的五個步驟：
1、提出問題；
（來源：文章屋網 ）
數學建模的問題范文5
關鍵詞：雞兔同籠 模型
有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔？
一、1 如果籠子里都是雞，那么就有35×2=70只腳，這樣就多出94-70=24只腳
2一只兔子比一只雞多2只腳，也就是有24÷2=12只兔子。 35-12=23只雞。
3那么籠子里有23只雞，12只兔子。
4由此我們得出：（每只兔腳數×總頭數-總腳數）÷（每只兔腳數-每只雞腳數）=雞數。 總頭數-雞數=兔數。
二、1如果籠子里都是兔子，那么就有35×4=140只腳，這樣就少140-94=46只腳；
2一只雞比一只兔子少2只腳，也就是有 46÷2=23只雞， 35-23=12只兔子；
3所以籠子里有23只雞，12只兔子。
4由此我們得出：（總腳數-每只雞的腳數×總頭數）÷（每只兔的腳數-每只雞的腳數）=兔數； 總頭數-兔數=雞數。
三、方程法
隨著年級的增加，學生開始接觸方程思想，這個時候雞兔同籠問題運用方程思想則變得十分簡單。
第一種是一元一次方程法。
解：設兔有x只，則雞有（35-x）只
4x+2（35-x）=94
4x+70-2x=94
x=12
注：方程結果不帶單位
從而計算出雞數為 35-12=23（只）
第二種是二元一次方程法。
解：設雞有x只，兔有y只。
則存在著二元一次方程組的關系式
x + y=35
2x+4y=94
解方程式可知兔子數為 y=12 則可計算雞數為 x=23
那么在“雞兔同籠”問題中數學模型是怎樣建構的呢？
數學模型一般地說，是針對或參照某種事物系統的特征或數量相依關系，采用形式化的數學符號和語言，概括地或近似地表述出來的數學結構（張奠宙語），一般可分為三類：概念型數學模型、方法型數學模型、結構型數學模型（顧泠元語）。
“雞兔同籠”問題中數學模型應該屬于結構型數學模型：建模與變式理論。
日本人對雞兔同籠問題也有研究，日本人又稱它叫“龜鶴問題”。日本人說的“龜鶴”和我們說的“雞兔”有聯系嗎？是一樣的意思：龜就相當于兔，都是四只腳；鶴就相當于雞，都是兩只腳。假如我們不叫它雞兔同籠，也不叫龜鶴問題，是不是還可以給它取個其它的名字呢？看來雞兔同籠問題中的雞不僅僅代表雞，兔也不僅僅是指兔！我們看有這樣一首民謠：一隊獵人一隊狗，兩隊并成一隊走。數頭一共是十二，數腳一共四十二，幾個人來幾個狗？在這里獵人有兩只腳其實就相當于雞，而狗就相當于兔子。
看下面的例題：
例 全班一共有38人，共租了8條船，大船乘6人，小船乘4人，每條船都坐滿了，大、小船各租了幾條？
這樣的題怎樣解呢？其實在這里我們把解決“雞兔同籠”問題的方法遷移到這里，問題就迎刃而解了。大船相當于兔子，小船相當于雞，此題就可以改編如下：
有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有8個頭；從下面數，有38只腳。兔子有6只腳，雞有4只腳，求籠中各有幾只雞和兔？
解：（6×8-38） ÷（6-4）=10÷2=5（只小船）；8-5=3（只大船）
例：自行車和三輪車共10輛，總共有26個輪子，自行車和三輪車各有多少輛？
在這道題里：三輪車相當于兔子，有3只腳，自行車相當于雞有2只腳，解法如下：
（3×10-26） ÷（3-2）=4÷1=4（輛）；10-4=6（輛）
又如：1號、2號、3號選手進行比賽，答對一題加10分，答錯一題扣6分。
（1）2號選手共搶答8道題，最后得分64分，她答對了幾道題？
（2）1號選手共搶答10道題，最后得分36分，他答對了幾道題？
（3）3號選手共搶答16道題，最后得分16分，他答對了幾道題？
這道題依然與上述問題思路是一致的，只是兔子是10只雞，雞是 -6只腳，答對和答錯的差值是10+6=16或10-（-6）=16
解：（1）（8×10-64）÷（10+6）
=16÷16
=1（道） （ 錯的）
8-1=7（道）
（2）（10×10-36）÷（10+6）
=64÷16
=4（道） （ 錯的）
10-4=6（道）
（3）（16×10-16）÷（10+6）
=144÷16
=9（道） （ 錯的）
16-9=7（道）
數學建模的問題范文6
本文試圖用運籌學的層次分析法來建立一個評價高職學生綜合素質的數學模型，以全面反映學生的素質水平和學校的教育質量，為學校確立合理的教學目標和人才培養模式提供借鑒。
二、問題的分析
1.評價體系的層次結構
本文借用美國匹茲堡大學教授T.L.Saaty等人在20世紀70年代中期提出的層次分析法（nalytic Hierarchy Process，簡稱AHP），建立評價學生成績的層次結構，如圖1所示。
在第三層之下為第四層，它們表示具體的課程或科目，視不同的學校和專業各有差異。對第四層的每門課或科目都有一個百分制的成績評分，但考查方法因課程特點而不盡相同。不同的學校層次結構的分支可適當變通，集專家、教師討論制定，使各層次的分支更為合理，便于操作。
2.確定權系數的方法
在層次分析法中，同一層中的各項成績對上一層的貢獻程度不是均等的，帶有不同的權重，總成績按加權平均計算。
設第k層某項的成績y由第k+1層的n項成績X1,X2…，Xn來確定，則有Y=W1X1+=W2X2+…+WnXn，其中Wi是第i項的權重，0＜Wi＜1，W1W2+…+Wn=1。為確定權系數Wi，本文采用了成對比較的方式。T.L.Saaty等人提出用1～9的尺度，如表1所示，解決了當比較同一層次的兩個成績Xi與Xj對于上層y的貢獻程度時，采用何種相對尺度aij較好的問題。
表1 1～9尺度aij的含義
用此數據建立一個n階方陣,它的（i，j）元素與（j，i）元素互為倒數，故稱A為逆稱矩陣。若A是一致陣，那是最理想的；否則，應使它的不一致盡量小。這樣可以請m位專家給成對比較矩陣賦值：k=1，2…,m。然后，計算出賦予這m個數幾何平均數,取逆稱矩陣A=[Cij]。
按下述方程構造向量序列｛ek｝：
其中表示的n個分量之和。
用矩陣特征值理論可證明，迭代的n維向量序列收斂，記極限為e=(a1,a2，…，an)T。于是權系數可取作 Wi=ai,i=1,2，…,n)。這表明，成對比較的賦值蘊涵了各項的貢獻程度。實際計算中，用有限次迭代，取e的近似即可。
三、模型的假設
該模型包括四個假設：一是智育、德育、體育和美育分別為評定學生是否優秀的主要因素，二是各項因素在綜合素質成績中的權重有可能因不同的學校和不同的專業而異，三是評定小組在評定同一學校同一專業的學生時各項因素的權重都是一樣的，四是評定優秀學生時評定小組主要是參考有關專家給定各項因素的權重比例。
四、符號的約定
Z―最終目標（該學生的最后評定的成績）；A―德育成績；B―智育成績；C―體育成績；D―美育成績；a―德育成績所占的權重；β―智育成績所占的權重；γ―體育成績所占的權重；δ―美育成績所占的權重。
ai―德育的第i門課程的成績（i=1,2,3,…）
bi―智育的第i門課程的成績（i=1,2,3,…）
ci―體育的第i門課程的成績（i=1,2,3,…）
di―美育的第i門課程的成績（i=1,2,3,…）
ai―德育的第i門課程的成績所占的權重（i=1,2,3,…）
βi―智育的第i門課程的成績所占的權重（i=1,2,3,…）
γi―體育的第i門課程的成績所占的權重（i=1,2,3,…）
δi―美育的第i門課程的成績所占的權重（i=1,2,3,…）
e0―原始向量序列；ei―第i個向量序列；（i=1,2,3,…）
―逆稱矩陣（E）與第i-1個向量序列的乘積（i=1,2,3,…）
―ei的n個分量之和；E―逆稱矩陣。
五、模型的建立及求解
1.名次的確定和分制
不考慮待評人員的意愿,按待評人員總成績評定其在班級的名次。各科或者各項目都是以百分制為標準。
2.建立各因素的數學計算模型
（1）計算德育的數學模型。以某學年度學生所學的政治理論、法律知識和思想道德為主要的研究參照對象，其中每門課程的成績以期末總評的成績（ai）為準，德育的每門課程的成績所占的權重（ai）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定,即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算德育的數學模型：其中而ai為第n個向量序列en的第i個分量。
（2）計算智育的數學模型。以某學年度學生所學的基礎課、專業課和所做的實踐創新為主要的研究參照對象，基礎課、專業課和實踐創新以期末總評的成績（bi）為準。智育的每門課程的成績所占的權重（βi）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算智育的數學模型：其中)而βi為第n個向量序列en的第i個分量。
（3）計算體育的數學模型。以某學年度學生所學的體育理論、體育達標為主要的研究參照對象，其中每門課程的成績以期末總評的成績（ci）為準，體育的每門課程的成績所占的權重(γi)由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算體育的數學模型：其中,而Υi為第n個向量序列en的第i個分量。
（4）計算美育的數學模型。以某學年度學生所學的文明禮貌和修養主要的研究參照對象，其中文明禮貌和修養的成績（di）由教師或者班主任評定。美育每門課程成績所占的權重（δi）由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算美育的數學模型：其中而δi為第n個向量序列en的第i個分量。
3.建立計算該學生總成績的數學模型
以上述所算得的智育、德育、體育和美育的成績為主要的研究參照對象，其中智育、德育、體育和美育的成績分別記為A、B、C和D，并且這四門課程的成績所占的權重分別記為a、β、y和δ，也是由學校里面比較有權威的教師或專家商議決定，即給定了逆稱矩陣（E）。那么容易得出計算總成績的數學模型：Z=Aa+Bβ+Cy+Dδ，其中,,，而a、β、y、δ為第4個向量序列e4的4個分量。
六、模型的應用
1.計算智育的成績
例1：設有一專家對智育的三個變量a1(基礎課）、a2 (專業課）、a3（實踐創新能力）作了成對比較，賦值為：。
于是得逆稱矩陣:
同理可得：
取e4的分量作權，得評價智育成績的公式：B=0.185b1 +0.659b2+0.156b3（其中b1、b2、b3分別為智育的基礎課、專業課、實踐創新的成績）。
若某學生的基礎課、專業課和實踐創新成績經測試分別為80、85、90分，則他的智育成績為：B=0.185×80+
0.659×85+0.156×90=84.855。
2.計算總成績
例2：某學校請兩位專家F和G對德、智、體、美四個變量A、B、C、D作了成對比較，其賦值見表2.。
由此可得兩個逆稱矩陣：
同理可得:易得es=e4，故停止迭代。
由此得全面評價學生成績的公式:Z=0.336A+0.475B +0.133C+0.056D 。
設有三名學生經各種考查,其德、智、體、美的成績見表3。
可用前述的公式對三人作出綜合的評價：
Z1=0.336×90+0.475×80+0.133×75+0.056×90=83.26
Z2 =0.336×80+0.475×95+0.133×80+0.056×70=86.57
Z3=0.336×85+0.475×90+0.133×70+0.056×80=85.10
三人的綜合成績排名為：乙、丙、甲。若按總分排名，則甲第一、乙和丙并列第二。層次分析法的關鍵在于，層次結構要合理，成對比較的逆稱陣要可信，這需要對具體問題進行細心調查研究。要盡量使求權系數有較大的計算量，一旦求出來，便可在一定范圍內普遍適用。
七、評價
為了檢驗評價體系和數學模型，筆者以06機電高1班和06計美高1班作為對象，使用上述評價體系進行測評。測評結果見表4。
表4 測評成績分布
測評顯示的結果與學生實際情況比較相符。從表4的測評結果得出：此評價體系從各個層面反映了學生的素質狀況，反映出不同學生在德育、智育、體育和美育等方面的差異性，比較全面地體現了素質教育的綜合性。該學生評價體系具有三個特點：一是具有一定的科學性，二是具有較好的可操作性，三是具有較強的實用性。
