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數學建模實例分析范文1
1.引言
數學分析是高等院校數學專業最重要基礎課程之一，內容主要包括極限論、一元函數和多元函數的微積分學以及級數理論等。它所提供的理論知識、數學思想方法、邏輯思維能力不僅是學生學習其他后繼專業課程的必備理論基礎和工具，也是提高學生數學業務素質和數學能力的重要基石，更是引導學生應用所學知識解決實際問題和培養創造能力的重要途徑。另外數學分析課程課時較多，而且是數學專業學生考研的必考科目，所以一直以來備受廣大師生們的高度重視。
數學建模問題源于現實生活，建模過程是聯系實際問題和數學之間的橋梁，要用數學方法解決一個實際問題就要設法在兩者之間構設一個橋梁，在這個過程中就必須從習慣的解一套典型題的思維模式中跳出來，去重新組合所學知識建立一種新的知識和新的解題程序，這不但能體現數學知識的應用價值，同時能培養學生分析問題和解決問題的想象力和創造力，對獨立學院培養應用型人才有著非常積極的作用。
就目前國內獨立學院自身情況而言，由于辦學時間較短，數學分析課程建設缺少足夠的實踐經驗，加上生源等因素，使得這門課程的教學現狀不容樂觀，針對此現狀，引發了我們對獨立學院數學分析課程教學中融入數學建模思想的探討。
2.數學建模思想融入獨立學院數學分析課程的價值
首先，數學建模是高等院校數學與應用數學專業的重要實踐課程，是培養學生應用所學知識解決實際問題，實現學以致用的重要手段，所以將數學建模思想推廣和融入到傳統的理論課，例如數學分析課程教學中有著重要的現實意義。在數學分析課程的教學過程中，針對對于學生來說抽象難懂的概念和定理結合適當的數學模型來講解，這樣既有利于學生對概念和理論知識的掌握和數學實踐能力的提高，同時也能使學生感受到數學分析課程除了考研和后繼課程的基礎外，在現實生活中的貢獻。
其次，整體而言，獨立學院的學生數學基礎較差，一開始學習接觸極限語言，而極限語言在中學中有沒有講得很透徹。因此很多同學望而生畏，產生厭學情緒，更不利于日后的學習。
再者，從發展的觀點看，數學的新知識在不斷的產生，數學的應用與技巧千變萬化，要想在有限學時的教學中講透每一個問題是不可能的.因此，在教學中突出數學建模思想尤為重要，培養一種“建模”的數學思維往往要比教會學生做大量的“難題”有用得多.
總之，將數學建模融于數學分析教學，僅能夠幫助學生理解抽象的數學知識，降低教學難度;又能使學生了解數學的應用價值，提高起學習興趣。
3.將數學建模思想融入數學分析教學的措施
圖1
通過圖1給可以了解數學建模的過程，廣義上講，數學中的一切概念、定理、法則、公式、性質等都可以稱之為數學模型，因為它們都是對現實的抽象。數學分析的教學主要分為概念教學、命題（定理、法則、公式、性質）叫教學、例習題教學，前文指出，這些內容也都是數學模型，因此下文便結合這些內容談談如何將數學建模思想融于數學分析教學。另外作業與考試也是教學的重要組成部分，能夠反映學生對所學內容的理解，因此本文還要探討如何在作業與考試中如何滲透與考察建模思想。
3.1 在概念引入中融入數學建模思想
數學分析中很多概念，如導數、定積分等都是從客觀實際問題中抽象出來的。從數學史的角度而言，17世紀牛頓、萊布尼茲分別通過對物理、幾何問題的研究而創立微積分的，（比如導數是研究瞬時速度，切線斜率而產生的;定積分的來源是變力做功和曲邊梯形）只是之后的二百年間，才有柯西、魏爾斯特拉斯等人將微積分嚴格化。比如數學分析教科書呈現出的極限的概念就是維爾斯特拉斯給出的定義了，從數學的邏輯嚴密性角度來講，教科書這樣的安排是合理的，但是將微積分的來源簡化了，學生將很難理解這些概念與實際問題的關系，更談不上數學建模了。
因此教師在教學中，要再現這一過程。讓學生體會到如何從實際問題中抽象出相應的概念。而且李大潛院士曾經指出，數學是玩概念的[1]。概念掌握透徹之后學生才能更好的去解決實際問題，這也體現了由具體到抽象，再由抽象到具體。這也是研究數學的重要方法。
一般來說，現在的大學生在中學學習了導數、定積分的概念，并且高中課程標注也是要求從世界問題引入這些概念，因此學生對這些概念還是較易理解的。但是多元微積分學中的概念，如重積分、曲線積分、曲面積分的概念，如果教師在教學中注重解釋其來源的話，那么學生在以后做相關題目時，往往無從入手。因此在教學中，教師要突出這些概念的現實來源與背景。另外多元微積分的概念往往作圖復雜，傳統的黑板加粉筆的方式既花費大量時間，也不一定收到良好的教學效果。如果教師能夠借助現代信息技術，如matlab，mathematica，超級畫板等，則能收到良好的效果。
3.2 在定理證明中融入數學建模思想
概念多是數學分析難教難學的一個原因，另一個原因則是定理多。查看中學數學教科書，可以發現中學里沒有太多的數學定理。因此大學生剛學習數學分析時對于定理教學不太適應，尤其是很多顯而易見的定理都要證明，學生在心理上往往不能接受這一點。其實同概念的來源一樣，這些定理很多也都是有現實背景的，因此可以將這些定理看做解決某些具體問題的模型。
在定理教學中，教師應當找些背景素材，不要按照教科書那樣，一開始就給出定理，然后便是證明。先借助數學軟件，借助幾何直觀，讓學生通過觀察，歸納、抽象最后提出猜想。雖然由學生提出的猜想可能是用自然語言描述的，和書中由數學語言刻畫的定理還有一定差距。這時教師則應對能提出猜想的學生給予鼓勵，然后再進一步引導，讓學生進一步精致自己的猜想，最后再由教師概括為定理。之后才是證明。這樣學生才不會陷于抽象的理論證明中，這樣的教學方式一是使學生對數學產生恐懼感，另外則是不明就里，不知道學這些定理有什么用處。使學生不當學到知識，還體會到自己發現數學、創造數學的過程，進而也培養了學生的創新能力，這才是數學教育的最終目的。
3.3 在習題課教學中融入數學建模思想
習題教學是數學分析教學中的一個重要環節，但是傳統的教學往往以教科書中的習題以計算和證明為主，較少有實際生活背景的題目，更談不上數學建模了。因此教師要親自查閱更多的參考書，選擇出一些具有實際背景的建模題目。通過習題課的講解，讓學生再次經歷數學建模，用數學解決實際問題的過程。加強對數學建模思想的滲透。
例如在講完函數的最大值與最小值之后，可以安排輪船航行的速度與燃料費關系;在將最小二乘法、條件極值、傅里葉級數時均可找些相關背景的題目讓學生感受數學的應用價值。
3.4 在作業布置中融入數學建模思想
做作業的過程就是學生進一步鞏固所學知識的過程，教師布置作業可以不拘泥與教材，可以留一些建模題目讓學生去做，也可以讓學生自己找素材，編制題目來做。進一步提高學生對數學建模的認識。
另外有學生獨立找素材編制題目難度較大，這時教師可以根據實際情況將學生進行分組，既能減輕學生的負擔，又能提高學生學習的動機（心理學研究表明，當任務難度過大時，學生學習的動機將會下降）。同時小組合作也能提高學生的合作意識。這樣既能使學生掌握知識方法，也能進行德育教育。
3.5 在考試命題中考察數學建模能力
傳統的數學分析考試題型為選擇、填空、計算、證明等。這些傳統的命題方式基本只是對教科書中已有知識結論的考察，學生只要將教科書中的題目做熟，即可應對考試，甚至取得高分，這樣的考試往往容易產生高分低能的現象，不能真正考察出學生的數學能力。因此在命題中可以適當做些改革，選擇一些開放型的題目，既能考察學生的建模能力，也能較好的選拔人才。
4.結束語
傳統的教學強調知識的掌握，而隨著時代的發展，在強調掌握知識的同時還要注重應用能力的培養，通過本文的闡述，可以總結出
4.1調動學生的積極性，改變教師角色
由于獨立學院多采用母體校所使用的數學分析教材，其內容對于學生來講，偏難偏多。如果教師不改變教學方式的話，必然導致課時少，教學任務重，這樣學生只能被動的聽，較少有機會去思考問題，更不要說主動進行數學活動了。而在教學中根據獨立學院的特點，精選教學內容，滲透數學建模的思想，學生既可以體會到數學的應用價值，又能參與到數學活動中來，能夠調動學生的積極性。而教師也有單一的知識的傳授者變成了學生學習的引導者。
4.2以知識更新為中心改變教法
雖然數學分析誕生與嚴格化已有200年左右的歷史，書中的知識顯得有些陳舊。但是實際問題總是在不斷更新中。如果教師在教學中能夠選擇與生活緊密相關的實際問題，用所學理論解決問題，會使學生體會到新鮮感，提高學習興趣。
4.3教學手段現代化、多樣化
借助信息技術將建模思想融于數學分析教學，也改變了傳統單一的教學模式。教學手段的現代化與多樣化。心理學研究表明，人的學習83%通過視覺，11%通過聽覺，人一般能記住自己閱讀的10%，自己看到的和聽到的50%，交談時自己所說的70%，這些表明，如果學習過程中能夠運用多種感官，能夠增強學習效果。
4.4加強過程管理、考核多樣化
課堂教學以教師講解為主的模式，很難對學生的思維狀態作出及時的評價。傳統的考試題目由于答案具有唯一性，也很難區分出學生的差異。這樣難以體現出過程評價，還是以終結性評價為主，而在教學中滲透數學建模思想，可以讓學生主動參與到數學活動中來，也使教師能夠及時了解學生的學習過程，便于過程性評價。平時作業中也設計角建模的題目，也體現了考核過程的多樣化。（作者單位：天津師范大學津沽學院理學系）
基金項目：獨立學院數學教學中融入數學建模思想的探索與研究
項目編號：JKⅧ1407540
數學建模實例分析范文2
[關鍵詞] 三段式片段弓； 壓低輔弓； 前牙壓低； 三維非線性有限元分析
[中圖分類號] R 318.01 [文獻標志碼] A [doi] 10.7518/hxkq.2013.01.019 片段弓技術于1977年由Burstone學者首先提出，并逐步發展為當今口腔正畸領域中一個獨立的矯治體系。其遵循生物力學的觀點，構建了一個相對簡單的力偶系統，使其可以達到理想的牙齒移動[1]。以
前牙壓低為目的的三段式片段弓由后牙支抗單位、前牙壓低段以及壓低輔弓三部分組成。以往臨床研究表明：使用該技術打開咬合能有效的壓低前牙，同時防止磨牙的伸長[2]。但是，利用三維有限元分析法
對片段弓技術進行生物力學的研究國內外還鮮有報道。本研究采用CT薄層掃描技術，結合Mimics 10.0、CATIA V5、Anasys 11.0等專業軟件建立了包含三段式片段弓、直絲弓托槽的下頜牙列三維有限元模型，并將弓絲與托槽、牙齒與牙齒之間設定為接觸關系，運用非線性計算方法初步分析了壓低輔弓的力學特性及片段弓技術打開咬合的生物力學特點。
1 材料和方法
1.1 建模素材
參照文獻[3]選擇一副磨耗少、無缺損的成年男性下頜12顆牙齒。MBT直絲弓托槽和雙管頰面管
（杭州新亞公司），Ni-Ti圓絲、方絲（北京有研億金公
司），不銹鋼方絲（3M公司，美國），TYPODONT（日進公司，日本）。
1.2 方法
1.2.1 排列整齊的下頜牙列模型的獲取 將實驗選擇的12顆下頜牙齒按正常順序排列在TYPODONT的下頜蠟堤上，依照MBT直絲弓治療標準對下頜牙列粘接托槽和頰面管，然后按一定的弓絲更換順序依次對牙齒進行結扎加力，弓絲更換順序依次為0.356、0.406、0.457 mm Ni-Ti圓絲，0.457 mm×0.635 mm Ni-Ti方絲，0.483 mm×0.635 mm不銹鋼方絲，每次更換弓絲后都將TYPODONT在55 ℃恒溫水浴箱中加熱以實現牙齒移動排齊。弓形均按照中國人的直絲弓弓形進行彎制[4]。待下頜牙列排齊后，去除托槽和頰面
管，拋光牙面備用。
1.2.2 下頜牙列三維實體模型的建立 使用西門子多層螺旋CT機對已排齊的下頜牙列TYPODONT模型進行掃描，獲得的掃描圖像以DICOM格式文件保存。使用Mimics 10.0軟件讀取CT掃描獲得的DICOM數據，根據圖像數據中灰度值的差異提取出實驗所需的下頜牙列的點云數據，以ASCⅡ格式保存。用CATIA V5中DSE（Digital Shape Editor）模塊提取點云數據，并對其進行過濾、降噪等優化處理，再通過Mesh Creation功能對點云進行鋪面處理，最后運用CATIA V5的自由造型（Freestyle）模塊對表面進行優化重構，生成實體，以CATProduct格式文件保存。
1.2.3 包含直絲弓矯治器的下頜牙列、牙周組織的三維有限元模型的建立 將下牙列三維實體模型導入Anasys 11.0軟件中，依照牙根外形構造牙周組織（包括牙周膜和硬骨板）；依照下牙列外形及下頜骨相關結構數據[5-6]構建下頜骨模型（包括皮質骨及松
質骨）。利用Anasys 11.0中的CAD建模工具，參照中國人標準弓形方程[4]及直絲弓托槽數據建立一個截面
為5 mm×5 mm的三維實體弓形，在其唇面中央去除一塊截面為0.559 mm×0.711 mm的實體弓形，即模擬了一根帶有0.559 mm×0.711 mm槽溝的方絲弓弓形實體。將其置于下頜牙列唇面并使槽溝中心平面位于中切牙與第一磨牙牙冠中心所構成的平面上，參照直絲弓托槽數據及牙長軸方向去除多余的實體弓形部分，再在托槽的唇頰面加一層蓋板，以模擬弓絲的結扎。對此模型進行有效的網格劃分，即形成了包含直絲弓矯治器的下頜牙列、牙周組織的三維有限元模型。
1.2.4 包含三段式片段弓矯治技術的下頜牙列三維有限元模型的建立 根據下頜牙列的TYPEDONT模型彎制壓低輔弓，選用0.432 mm×0.635 mm不銹鋼絲彎制，片段弓水平前臂長32 mm、后臂長6 mm、齦向臺階高5 mm、小圈直徑2 mm，壓低輔弓前端制作成鉤，鉤掛于下前牙與尖牙托槽間的弓絲上，壓低輔弓后端插入下頜第一磨牙輔弓管中，輔弓管長5 mm、內徑為0.635 mm×0.711 mm。根據以上數據，用Anasys 11.0軟件中的APDL語言建立了參數化的壓低輔弓三維有限元模型。其中，壓低輔弓水平前臂與后臂的夾角為θ（圖1），其能根據需要設置不同的角度，便于研究其力學特性。
在中國人標準弓形方程[4]的基礎上生成截面尺寸為0.43 mm×0.64 mm的方形主弓絲，將其網格劃分并裝配到直絲弓托槽中，同時在切牙與尖牙間將弓絲截斷。最后，將上述模型與壓低輔弓的模型合并，即得到了完整的三段式片段弓技術打開咬合的三維有限元模型。根據有限元中鏡面對稱原則，本實驗僅建立了左側下頜牙列及矯治器的模型（圖2）。
1.2.5 材料參數 本研究將模型中各種材料和組織考慮為連續、均質、各向同性的彈性材料，具體數值見表1。
1.2.6 定義接觸和邊界條件 模型底部全部施加約束使x、y、z 3個方向上的位移和旋轉均為0；壓低輔弓末端同時施加y方向的約束。托槽與牙齒、牙根與牙周膜、牙周膜與牙槽骨間定義為粘接關系。定義壓低輔弓的變形屬于非線性幾何大變形；定義弓絲、托槽、牙齒、牙周膜、牙槽骨為可變形接觸體，弓絲與各托槽間、輔弓與輔弓管之間為非線性接觸關系，摩擦系數為0.15。由于本研究模型只建立了實際模型的一半，因此對模型的對稱面行對稱約束。
1.2.7 載荷的施加 壓低輔弓前臂向齦方彎折一定角度后再鉤掛至前牙段弓絲上，壓低輔弓前端掛鉤對弓絲會產生相應的力；同時，其后臂對磨牙輔弓管也會產生相應的力。在Anasys 11.0中，將壓低輔弓前臂在xz平面內向齦方旋轉一定角度（即修改θ值），再將其約束至與輔弓管平行，即可計算出壓低輔弓前端掛鉤處所產生的力值。選取前端掛鉤處產生0.245 N力值時的壓低輔弓模型，將相應的力加載于下頜牙列的有限元模型上，也就精確模擬了臨床上使用片段弓打開咬合的過程。
1.2.8 計算 使用Anasys 11.0軟件，將θ角度從5°～75°平均設置15個工況，分別計算每個工況下壓低輔弓前端產生的力值。將相應力加載于下頜牙列后，觀察加力后下頜牙列的移動趨勢，計算前后牙的受力大小及牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises應力分布情況。
2 結果
2.1 各工況下壓低輔弓前端產生的力
在15個工況下壓低輔弓前端產生的力值的變化曲線見圖3。在5°～25°范圍內，壓低輔弓前端的力值隨角度的增加而快速增大；在30°時達到最大（0.604 8 N）；
在30°～65°范圍內，壓低輔弓產生的力在0.59 N左右波動；在65°以后，不銹鋼材料超出了其形變范圍，計算結果不收斂。
2.2 下頜各牙齒所受的力及其移動趨勢
根據建立的壓低輔弓角度-力值變化曲線，在Anasys 11.0中將壓低輔弓前臂在xz平面內向齦方旋轉6.5°，再將其約束至與輔弓管平行，壓低輔弓前端掛鉤處對弓絲產生的力約為0.251 1 N。同時，其后臂對磨牙輔弓管也會產生相應的力。將這兩個力對應的加載于下頜牙列的有限元模型上，在受到壓低輔弓的加載后，下頜牙列中位移改變最明顯的是側切牙和第一磨牙。側切牙向遠中唇側傾斜并向齦方壓入，其所受力為0.252 N，其中垂直向的分力最大，為0.251 N；而其近遠中向及唇舌向的分力都接近為0。第一磨牙則后傾明顯并伴有牙冠的近中頰向遠中舌向旋轉趨勢，其受到的力為0.620 N；其中遠中傾斜的分力最大，為0.462 N；使其向方伸高的分力最小，為0.113 N。其余牙齒所受的力都非常小，所以在加力的瞬間基本不會發生移動（表2、圖4）。
2.3 牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises應力分布
情況
牙根、牙周膜、牙槽骨的Von Mises應力分布情況見表3、圖5。牙根、牙周膜、牙槽骨的應力分布情況大體相似。下頜牙列的應力集中區主要出現在側切牙根的唇側頸1/3處及第一磨牙根分叉附近，其牙周膜最大應力分別為4.40、2.25 KPa；其余牙齒的應力較小且分布均勻，無明顯的應力集中區。
3 討論
3.1 三維非線性有限元分析
在正畸治療過程中，正畸力是通過弓絲、矯治器向牙齒及周圍組織傳遞的。牙齒的實際受力并不等于施加于單個托槽或弓絲上的力，而要考慮弓絲與托槽、牙齒與牙齒之間的接觸與摩擦。以往涉及正畸力作用下牙齒移動的三維有限元研究，有學者[7]通過部分或簡化的建模，將單純的點載荷直接加載到牙面或托槽對應的節點上，以此來避免弓絲與托槽間接觸的過程。也有學者[8-9]使用彈簧單元來部分模擬弓絲與托槽間的接觸，但仍不夠精確。在實際受力過程中，弓絲與托槽間的接觸點及接觸區域不定，需要使用三維非線性有限元分析來模擬計算。目前，使用三維非線性方法來模擬分析正畸治療中生物力學的研究相對較少[10]。在本研究中，筆者進行了全牙列建模，弓絲與托槽的尺寸與臨床一致，并且將托槽與弓絲、輔弓與輔弓管間都設定為接觸關系，共生成了2 360個接觸單元。
非線性分析除了上述的接觸非線性，還包括幾何非線性及材料非線性。本實驗中，壓低輔弓在加
力過程中會產生幾何大變形，屬于幾何非線性；弓絲材質為不銹鋼，是雙線性材料，屬于材料非線性。因此，本實驗采用三維非線性方法來分析計算，雖然這種方法加大了計算的難度，但所建模型更接近臨床實際，計算結果也更為真實精確。
3.2 壓低輔弓的力學特性
在臨床上使用壓低輔弓時，主要通過將壓低輔弓的水平前臂向齦方旋轉一定的角度來達到向其加力的目的，其實質上可視為一個單端固定的懸臂梁。本研究所建立的包含輔弓管的壓低輔弓模型即模擬了這樣一個臨床過程，從結果中得出的壓低輔弓角度-力值變化關系曲線，與彎制壓低輔弓所用不銹鋼絲的應力-應變曲線的變化趨勢基本一致。其在初始階段，力值隨角度的增加而直線增大，屬于彈性變形階段；到了30°以后，力值穩定在最大值0.59 N，變化趨于平穩，屬于塑性變形階段；在65°以后，計算結果不能正常收斂，不銹鋼材料超出了其變形極限。這個結果提示：在臨床上一味的加大壓低輔弓打開的角度并不會產生所想象的更大的力值。在很多臨床情況下，正畸弓絲的形變都已超出了其彈性形變范圍，它將不能完全恢復原狀，但這時弓絲仍存在臨床意義的回彈，除非其形變達到了斷裂強度[11]。同時，本實驗中彎制壓低輔弓的材料是0.432 mm×0.635 mm的普通不銹鋼絲，由于其剛度較大，彈性較小，因此壓低輔弓的彈性變形范圍較小，力值變化也相應較快。在正畸臨床治療過程中，需要盡量采用柔和持久的輕力來達到理想的牙齒移動效果，在有條件的情況下，使用材料彈性更好的β鈦絲制作壓低輔弓[12-13]是一種更好的選擇。
3.3 三段式片段弓矯治技術
目前常用的通過壓低前牙來控制深覆的矯治方法主要有J鉤聯合高位牽引技術、多用途弓技術、微種植支抗技術等，但都各有其優缺點[14-17]。而三段
式片段弓作為方法之一，其優點主要有：1）壓低輔弓與前牙壓低段的弓絲呈點接觸，既可以產生適宜且持續的輕力，又可清楚的了解力的大小和方向，使壓低力更接近前牙的阻抗中心，利于前牙整體的壓入移動；2）壓低輔弓段不直接扎入前牙槽溝，避免了入槽后產生不必要的轉矩而影響前牙壓入；3）通過輔弓段與前牙段接觸位置的改變，可以有選擇性的壓低前牙；4）支抗需求的減少，除需強支抗的患者需要口外弓配合外，更多患者不必依賴口外弓的控制[2]。本實驗中筆者只觀察到了側切牙有明顯的壓
入移動，這是由于有限元分析計算的是壓低輔弓加力一瞬間所產生的變化。但是，可以想象隨著側切牙的壓入，中切牙的位置就會相對抬高，弓絲在側切牙處的壓入力會逐漸轉移到中切牙，在弓絲的作用下，中切牙也會產生壓入移動。
在本實驗結果顯示側切牙在壓低的同時發生了一定的唇傾。這提示在臨床操作中可以嘗試使用更粗尺寸的不銹鋼絲作為穩定弓絲來維持前牙正常的唇傾度。對于后牙支抗單位，第一磨牙發生了后傾及旋轉移動，但伸長移動不明顯，其移動趨勢類似于在主弓絲上給其增加了外展彎及后傾彎的效果。在大部分情況下，這種移動對矯治過程是有益的，可以增加后牙的支抗。如果希望減少這種移動，可以采用舌弓等手段來抵抗。本實驗的結果也再次證實了三段式片段弓能產生有效的壓低前牙的效果。
3.4 前牙區適宜的壓入力
對前牙壓低治療來說，需要持續的輕壓力才能獲得正常的前牙壓入。大量的研究表明：單個前牙適宜的壓低力為15 g[11]。過大的壓低力不僅不會加快
前牙壓低的效果，反而會造成牙根吸收、牙周組織損傷以及后牙伸長等副作用。有學者[18]研究發現：牙
齒的壓低常伴有牙根的吸收，并且隨著壓入力的增大，牙根吸收也越明顯；通常0.245 N的力作用于前牙就會產生牙根吸收。同時，牙周膜的應力水平也是衡量牙齒受力大小的一個重要指標。Lee[19]報道牙周膜的應力極限在26 KPa，若超過該應力，牙周膜就會產生永久性損害。本實驗中給壓低輔弓加載的初始力值為0.245 N，這與其他研究所推薦使用的力值相一致[2，17]。在加力初期，側切牙上產生了0.245 N
的垂直向力。其雖然略大于單個牙的適宜壓入力，接近了引起前牙牙根吸收的臨界力值；但是，在該力作用下，牙周膜的Von Mises應力較小，因此筆者認為0.245 N的壓入力在加載的即刻對于前牙牙周是合適的。根據臨床應用實際，由于牙周組織的可壓縮性及牙槽骨組織的改建變化，可以推測，隨著下前牙的壓低，輔弓的力量必然會有所衰減，因此，只要加力的初始力量處于合適的范圍，隨時間的變化，輔弓的力量也不會增大和造成不必要的牙周傷害。
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數學建模實例分析范文3
關鍵詞：應用數學；數學建模；滲透；
一、數學建模在應用數學中的作用概述
數學模型是用數學來解決實際問題的橋梁。數學模型與數學建模不僅僅展示了解決實際問題時所使用的數學知識與技巧，更重要的是它告訴我們如何挖掘實際問題中的數學內涵并使用所學數學知識來解決它。數學建模就是應用數學理論和方法去分析和解決實際問題，簡單的說，就是用數學語言描述實際現象的過程。如今，數學以空前的廣度和深度向其他科學技術領域滲透，過去很少應用數學的領域現在也在迅速的貼近數學，特別是新技術、新工藝蓬勃興起，計算機的普及和廣泛應用，數學在許多高新技術上起著十分關鍵的作用。因此，數學建模不僅凸現出其重要性，而且已成為現代應用數學的一個重要組成部分。數學建模能解決各個領域的實際問題，它從模型和量去考察實際問題，盡可能用數學的規律和參數變量來模擬實際問題的發展和結果，數學模型的建立可分為以下幾個步驟：用理論和定律來確定變量，建立各個參數之間的定量或定性關系，進一步建立出數學模型；用數學的計算方法進行分析、求解；然后盡可能用實驗的、觀察的、歷史的數據來驗證該數學模型。數學建模是一個需要多次迭代重復檢驗才能完成的過程，最重要的是它反映了解決實際問題的真實過程。數學建模思想在應用數學中的作用主要教體現在：
1.全面提高建立模型解決問題的能力。要學會將應用數學用到解決各種實際問題，需要很多方面的要求。對于每一個學習應用數學的人，首先有必要掌握充實的數學理論知識和方法，要有較強的自學能力，其實要有數學建模的意識，有能應用數學的知識去解決問題的能力。在數學建模的學習和掌握過程中，必須能使學到了應用數學的知識，又能運用它們解決一些實際問題，這才是應用數學培養人才的根本目標。為使學生能夠進入一種周而復始的學習、應用的良性循環，從知識和能力來講，數學建模的教學與實踐活動非常重要。所以在培養學生學習應用數學的同時，要注重數學建模思想的培養，只有這樣才能做到學以致用，才能全面提高用應用數學解決實際問題的能力。
2.全面提高創新綜合分析問題的能力。傳統的數學教學時枯燥而又封閉的，學生提不起興趣，自己學不到有用的知識。而創新前提下的數學建模的教學具有開放性多元性的特點，學生主動闡明自己的想法，也是師生交流增多，更有利于產生碰撞的火花。在應用數學教學中滲透數學建模思想，更能全面提高學生的創新綜合分析問題的能力，激發學習應用數學的興趣，讓他們通過數學建模更好的理解應用數學，真正明白應用數學的重要性。
二、應用數學的現狀與發展歷程
應用數學早已不僅僅局限于傳統學科如物理學、醫學、經濟學的原始問題，而隨著信息化時代的到來，應用數學更多的應用于新興信息學、生態學一些劃時代的學科中，在邊緣科學中也發揮這越來越重要的作用，甚至進入了金融、保險等行業，給應用科學帶來了巨大的前途和發展空間，充滿了更多的機遇和挑戰。應用數學是一門數學，更是一門科學。很久以來，在應用數學的教學和實踐中，很多人一直不了解如何把理論知識與實際很好的結合，其根本原因就是沒有將數學建模思想滲透到真正的應用數學中去。很多熟知應用數學的人員卻不能將其運用到實際領域中去，他們也許很多人都還不知道什么是數學建模，也不了解數學建模的過程是什么，更不會知道數學建模能有這么大的用處。馬克思曾經說過：“一門科學只有當它充分利用了數學之后，才能成為一門精確的科學?！彪S著應用數學的發展，給它提供了更廣闊的空間，也給應用者們帶來了巨大的挑戰。這就迫使應用數學的學習者要自覺學習了解各個行業的知識，進入充滿懸念的非傳統領域，在高尖端的應用領域中放手一搏，能及時跟上應用數學的變化并走在時代的前沿。
三、將數學建模思想滲透到應用數學中去
首先，要注重數學應用與理論相結合，成立數學建模小組。數學的基礎理論和概念是學習數學建模的根基。一切數學概念和知識都是從現實世界模型中抽象出來的，用建模的思想進行教學是理論與應用相結合的重要手段。在講解數學概念時，盡量從學生熟悉的生活實例或與專業相結合的實例中引出，減少學生對應用數學的抽象感。用身邊的實例進行講解，能拓寬學生的思路。成立數學建模小組，舉辦專題講座，學生自己選取實例進行建模，從而讓學生嘗到數學建模成功的甜和難于解決的苦，對數學建模的方法加深理解，增長知識，積累經驗。其次，要以建模的思想開展應用數學教學內容，掌握建模方法并將教科書中的實例模型化，用經驗材料進行描述，利用應用數學的理論跟公式推導運算出實際模型的結果，要轉變觀念，拋棄過去的僵化模式，以新觀點來領導課堂，應用數學方法和思想進行綜合分析推理的能力、鍛煉創造力、想象力、聯想力和洞察力、學習建模能力并查閱文獻資料。應用數學的教學中應形成以實際問題為中心，以分析和解決問題為基本出發點，以數學模型的建立為基本途徑，把應用數學、數學建模和課外活動有機的結合起來，完成應用數學和數學建模思想的滲透，寓數學建模于應用數學中
四、結語
應用數學是純粹數學的互補物，本文通過對應用數學特點的分析，闡述了在應用數學中引入數學建模思想的理論與方法，同時討論了滲透數學建模思想的意義以及對應用數學改革的重要性。在應用數學中引入數學建模的思想可以極大提高學生的興趣和教學的效果，拓展了應用數學的內涵。
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數學建模實例分析范文4
【關鍵詞】數學建模 高職教育 數學教學
近年來，高等職業教育迅速發展，已成為社會關注的熱點之一。高職教育的目的主要是培養應用型、技能型人才，因此，各高職高專院校必須加強專業課的教學，強化對學生技能的培養，數學作為一門文化基礎課程，其教學面臨調整。于是，各高職院校都在改變原有的高等數學教學模式，使原本數學基礎較差的高職學生擺脫對數學學習的恐懼，學會用數學的方法解決專業學習中遇到的實際問題。那么，將數學建模引入高職數學教學中勢在必行。
一、數學建模的意義
數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數學手段。數學建模是運用數學思想、方法和知識解決實際問題的過程。數學建模是數學學習的一種新的方式，它為學生提供了自主學習的空間，有助于學生體驗數學在解決實際問題中的價值和作用，體驗數學與日常生活和其他學科的聯系，體驗綜合運用知識和方法解決實際問題的過程，增強應用意識；有助于激發學生學習數學的興趣，發展學生的創新意識和實踐能力。
二、將數學建模融入高職數學教學
數學本身就是為了實際應用才產生的，它的很多重大發現都是從實際應用的需要而出現的。我們現有的教材中數學概念都有其特定的背景，而在教學中向學生講解的過程就是一個實際的數學模型的實例。例如：“極限的概念”中，我們首先引入了古代的“割圓術”，在無限細分的基礎上，給出了數列極限的概念。再如“定積分的概念”，源于計算曲邊梯形的面積。在教學過程中，強調了無限分割的思想，使學生對非均勻積累問題的數學建模有一個認識。事實上，在實際生活中，有很多的量，都需要用類似的方法進行計算。如旋轉體的體積、非均勻細棒的質量、變力作功等等。
但由于近年來高職教育對基礎課程的調整，高等數學的課時壓縮，教學內容少，雖說要求是“以應用為主，夠用為度”，但還是存在知識范圍廣、深度淺，往往成為本科數學的內容壓縮，常常是理論過多，實際不足；運算過多，思想不足。所以，把數學建模所要用的主要數學方法和數學知識滲透到課堂教學中，就要求我們必須及時調整課程教學內容。在教學中要善于挖掘教學內容與學生所學專業及實際生活中實例的聯系，根據學生專業的需求編排高等數學課程教學內容和教學重點，采用模塊化教學。如在我們學校，經管類的專業在基礎模塊的基礎上會加入概率論與數理統計內容，電氣類專業又適當的加入了線性代數和積分變換等內容，機械類專業將微積分作為教學重點。另外，通過案例教學能很好的將數學建模在高職數學教學中廣泛的應用。在教學中，學習完各章內容之后，選擇一些簡單的實際應用問題，引導學生分析，通過抽象、簡化、假設等，建立數學模型，解答數學問題，從而解決實際問題。教學中，根據不同的教學內容，選則相應的數學模型進行案例教學。例如，在函數章節中可以分析銀行存款復利問題：導數應用學完后，可以引入最大收益問題；在學習微分方程后可以講解馬爾薩斯人口模型、跟蹤問題模型等。
把數學建模滲透到高職數學教學中，不僅轉變了教師的教學觀念，而且調動了學生的學習積極性，激發了學生學習數學的興趣和熱情，體會到數學的實用價值，增進了同學之間的友情，培養了團隊的合作意識。
三、結束語
數學建模在以培養“應用型人才”為目標的高職人才培養中有著重要的作用，開展數學建?；顒邮菍Ω呗殞W生綜合素質培養的一種訓練。為了將所學的數學知識能更好的應用到實際問題的解決過程中，就要求廣大數學教師和學生共同努力，在不斷的探索中能更好的將數學建模融入到數學教學過程中。
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數學建模實例分析范文5
【關鍵詞】高職；數學建模競賽；創新；教學團隊
我國高等教育的首要任務是培養具有創新精神和實踐能力的高級專門人才，而學科競賽是創新人才培養的一個非常重要的途徑之一。數學建模競賽作為其中一門學科競賽對于提高高職學生的綜合素質、培養高職學生的創新精神和團結協作精神、培養符合社會需求的高素質人才具有重要作用和意義。當前，很多高職院校已經開展深層次的數學建模教學和競賽活動，構建了相應的數學建模競賽教學團隊。但是我們注意到這些教學團隊主要依托于課程的教學團隊或者依托于科研項目的科研團隊，于是我們提出了建設一支融合制度建設、教學研究、科研活動和競賽指導等多方面于一體的高職數學建模競賽創新教學團隊。
一、創新教學團隊構建的具體實施
1、組建教學團隊、優化人員結構
組建數學建模競賽創新教學團隊應根據教師自愿的原則組成，通過自薦或由教師推選等方式確立團隊負責人。負責人一般應具有學術、教學專長和有人格魅力的教師擔當。通過認真分析研究，優化團隊人員結構，確定團隊內部每位指導教師的主攻方向，實現優勢互補，對于團隊建設急需的研究方向或技術力量，則通過內部物色、主動參與和領導動員等方式加入到創新教學團隊。經過一定時間的磨合，打造出一支專業面寬、職稱學歷層次合理、年齡結構適中、配合密切、形成高效率高情商的數學建模競賽創新教學團隊。
2、設定教學團隊目標、引入競爭機制、完善制度建設
設定有效的數學建模競賽教學團隊目標是保障團隊教學效果的首要保證。在團隊目標建設中，必須具有長遠發展規劃和中短期建設目標以及特定學年和學期的教學改革和建設任務，并注意在工作中為教學團隊設置不同層次的挑戰性目標。在教師個人發展目標方面，應對不同教師制定不同任務和發展目標，以確保教師發展的分類分層推進，以有效激發并保護教師的教學熱情。
引入團隊競爭機制，增強團隊驅動力。當團隊處于競爭環境時，其創造力和潛力才能得到激發。外部壓力的存在，能夠加強團隊成員間相互依賴相互合作意識，使團隊的凝聚力得到相應提升。
完善團隊管理制度和獎懲措施，制定出一整套關于競賽培訓、輔導、競賽帶隊、團隊研討、外出調研、交流學習等方面的管理制度，并制定明確的獎懲措施，實施公平競爭、勞有所得、多勞多得的激勵機制和退出機制。
3、改變傳統教學方法、重點采用項目化教學
數學建模課程是一門實踐性極強的課程，而傳統的教學方法理論性強，學生難以理解，因此我們根據高職學生的職業特點，采用項目化教學。依據項目難易程度，有時還需要多種教學方法相結合。常用的其它教學方法有實例分析法、分組討論法、啟發引導法、師生互動法等等。
（1）實例分析法：如在講2008年全國大學生數學建模競賽D題NBA的賽程分析時，引入循環應用的實訓項目。
（2）分組討論法：各項目的實施以小組為單位，要求學生查閱相關資料，各小組之間討論實驗方案、實驗過程、實驗結果，交流心得。
（3）啟發引導法：對于有一定理論和操作基礎的項目，引導學生自主學習，如三維繪圖，由于前期已經學維繪圖的基本原理和操作，因此，重點在于引導學生學習操作相關函數。
（4）師生互動法：實訓項目結束后由教師和學生共同分析、總結實驗相關問題，做好總結歸納，逐步培養學生分析、解決問題的能力。
4、開展數學建模競賽研究、加強團隊科研能力
數學建模競賽教學團隊要有計劃、有步驟的開展數學建模競賽研究活動，主要包括競賽指導方法研究、競賽賽題研究、競賽論文寫作研究、軟件編程研究等，全面提升團隊指導教師的水平。同時以競賽創新教學團隊為基礎，有計劃的加強團隊內部教師的科研能力，提升科研水平，組織教師申報數學建模各級科研課題。數學建模競賽教學團隊科研能力的提升將有助于數學建模競賽水平的提高。
5、加強競賽指導與技能競賽相結合
數學建模競賽教學團隊要加強競賽指導，采用項目化教學方法，引入問題驅動的啟發式教學模式，提起學生將數學理論應用于科學實踐的興趣，擴大參與面，營造數學建模的活動與競賽的氛圍，真正地實現教學與競賽實戰的互動。另外，要有計劃的組織學生參加各類數學建模技能競賽，展示學生理論聯系實際能力。目前我校數學建模技能競賽主要依托于“二大競賽”：即全國大學生數學建模競賽和學校的數學建模技能運動會。
二、創新教學團隊的建設成效
通過實踐檢驗，我們認為這種高職數學建模競賽創新教學團隊一種有效的、有利于人才培養目標實現的教學團隊，能夠給學生綜合素質的提高帶來積極的促進作用。主要體現在三個方面：第一，對數學建模學習有挫敗感和厭倦感的學生明顯下降。從整體上看學生正在重新產生對數學建模學習動力和熱情。第二，學生的自主學習能力明顯加強，主要體現在用數學建模的知識點查閱和對知識點進行求解的能力的提高等方面。第三，教學團隊的合作能力明顯加強。由最開始的配合生澀，到目前的團隊配合游刃有余，教師獲得了團隊合作的親身經驗，教學效果明顯提升。另外，我們教學團隊還申請了廳局級數學建模課題兩項、校級數學建模課題兩項和數學建模網站一項，更重要是我們所指導的學生在參加2013年全國大學生數學建模競賽中獲得兩項全國二等獎、一項省一等獎、兩項省二等獎和兩項省三等獎的好成績。
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數學建模實例分析范文6
1. 數學建模為經濟類院校的學生利用數學解決實際經濟問題打下堅實的理論基礎。數學建模課程教學重在培養學生的數學素質、邏輯思維能力，使數學與其他學科的結合更加緊密，突出了經濟管理類專業的學科背景和經濟數學的應用特色，其中數學與經濟、管理、金融、證券等方面的結合就是數學建模的一個重要內容。在為經濟管理類學生提供專業所必需的數學基礎，進行必要的邏輯思維訓練的同時，可以依托經濟類院校的經濟管理、金融等專業的實力，形成數學與經濟、金融相互交叉滲透的學科群體綜合優勢，也通過教學過程中提供的大量經濟應用實例，引導學生將所學的數學知識運用于經濟實證分析之中，對學生運用數理分析方法分析經濟問題的能力進行訓練，為經濟類院校的學生學會利用數學解決實際經濟問題打下堅實的理論基礎。
2. 在經濟類院校開設數學建模課程，是培養具有定量建模能力的財經人才的有效手段。數學建模是聯系數學理論與實際問題的橋梁。數學建模課程是為適應培養學生數學建模能力、科學計算能力以及創新意識的人才培養目標而建立的。學生利用所學的數學知識，將實際問題轉化為合理的數學模型，關鍵的步驟是如何合理地結合實際問題，把其中的一些非量化因素定量，然后應用數學計算方法，利用計算機和數學軟件來解決問題。由此可見，在經濟類院校開設數學建模課程，是培養具有定量建模能力的財經人才的有效手段。
3. 數學建模有利于培養學生的綜合能力。（1） 培養學生自主學習的能力和查閱文獻資料的能力。 在數學建模過程中，很多數學模型需要將跨學科、跨專業的知識綜合在一起才能解決，這就需要學生團結合作、相互交流、共同解決問題，通過交流、討論使他們的知識結構互相補充，取長補短，這些有助于學生自主學習的能力提高；同時數學建模涉及的知識很多是學生原來沒有接觸過的，要想解決問題，就需要學生圍繞要解決的實際問題廣泛查閱相關文獻資料，從而也鍛煉和提高了學生的自學能力和查閱文獻資料的能力。（2）增強學生利用數學理論解決實際問題的能力。數學建模就是利用數學理論知識解決實際問題，充分反映了數學的實用價值，它涉及的知識面很廣，與很多學科都有結合點，并且許多模型就來源于實際。學生通過數學建?；顒涌审w會到抽象的數學理論與現實的聯系。 開展數學建模活動，給學生開辟了一個很好的理論應用于實際的途徑，有利于增強學生利用數學理論解決實際問題的能力。（3） 培養學生的創新能力。數學建模是一個不斷探索、不斷完善的過程。在數學建模中，同一個問題從不同的角度理解，會獲得不同的數學模型和求解方法，沒有惟一的正確答案，這就給學生留出了自由發揮的余地和創造性思維的廣闊空間。
根據我們的教學經驗，在經濟類院校開展數學建模教學應堅持以下幾點：
1. 挖掘教材內容，滲透數學建模思想。由生活中的實例入手，建立客觀事物之間的數量關系，從而抽象出數學中的一些概念、定理、公式等，這一過程體現了數學建模的思想。數學建?；貜土藬祵W研究收集數據、建立模型、求解驗證的本來面目。因此，我們要深入挖掘教材內容，將其中所蘊含的數學應用知識，在教學過程中突出出來，讓學生體會到數學在解決實際問題時的價值，體會到所學知識的用處，激發和調動學生的學習興趣。
2. 加強數學建模指導教師團隊建設。 應不斷優化教師團隊的學歷結構，改善教師隊伍的職稱結構，以教師隊伍的業務素質為核心，開展學習活動，邀請校外專家來校傳授數學建模教學與競賽的經驗；組織骨干教師參加全國數學建模組委會組織的研討會；選派優秀青年教師參加數學建模核心課程的培訓； 打造一支學歷層次高、年齡結構合理、教學科研力量強的教學團隊。
3. 提高數學建模教學與人才培養目標的契合度。數學建模是數學理論與實際問題之間的紐帶，是培養現代化高素質創新人才的一種重要手段。堅持以“基礎創新是人才培養的基石”為理念，采用各種現代化的教學手段，利用多媒體設備輔助教學，以服務于教學科研和學科建設為宗旨，充分發揮多媒體、網絡課堂等現代化教育技術在教學過程中所具有的時空自由、資源共享、便于操作等優勢，以競賽機制為手段，把教與學有機地結合起來， 以培養具有高素質人才為目的，極大地提高與人才培養目標的契合度。
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收稿日期：2013-05-20
