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邏輯推理問題的基本方法范文1
【關鍵詞】線性代數；概念；教學；學習方法
《線性代數》是普通高校的一門基礎理論課程，通過本課程的學習使學生掌握線性代數的基本概念和基本定理.線性代數有著重要應用，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論和算法基礎的一部分.線性代數具有高度的抽象性和嚴密邏輯性，但是缺乏直觀的數學模型.線性代數課時短、內容多、理論多，例題少，它經常開設在大一.這些令學生普遍感到學習線性代數困難.除了上述的原因外，它也與教師的教學經驗、教學方式、教學策略、對教材的處理方法等因素有密切關系.為了解決這個問題，筆者認為，可以從以下幾方面入手.
一、加強基本概念的教學
在線性代數學習中，定義、定理及其推論等基本概念是我們做題的基礎，只有深刻地理解定義、定理隱藏的知識，才能更好地把握定理及其推論的應用.我們在教學中，不能要求學生死記硬背公式，要想辦法讓學生理解這些概念、公式.怎么做呢？ 就是盡量將概念具體化，如何具體化呢？盡量給予事例說明.如矩陣、線性變換、特征值與特征向量，讓學生記住具體事例，使之認識深入化.在引導學生學習某些有具體幾何背景（向量的模）的概念時，讓學生多加聯想，指導學生按圖索驥.
為了讓學生吃透概念，授課時應該提醒學生注意兩方面的問題：1.對概念、定理的陳述如果是嚴謹的，那么就要一字一句的摳，一個字都不能動，改動個別字就會導致題意發生根本變化（線性相關、線性無關的概念）；2.對于有些概念、定理，自己能夠簡明扼要用自己地語言來描述它們.另外，在教學中還可適當的構造反例，使學生加深對概念的理解，例如數的乘法運算滿換律和消去律，但矩陣的乘法運算不滿換律和消去律，這樣的反例，直觀性強，淺顯易懂，能給學生留下深刻的印象，使學生掌握概念的本質.既提高了學生分析問題和解決問題的能力，又加深了學生對基本基本知識點的理解，為學生后續課程的學習打下了堅實的基礎.
二、強化邏輯推理能力訓練
邏輯推理是數學的一個基本功能，它也是人們學習和生活中經常使用的思維方式.邏輯推理能力是學好線性代數必須具備的能力，只有具備了良好的推理能力，才能做到既合理猜想又大膽猜想，敢于突破常規思維定式，但是邏輯推理能力的形成和提高是一個緩慢的過程，短時間內很難見效果，我們要創設概念、定理、方法等問題的活動情境，將抽象的理論想辦法具體化，讓學生自己探究知識、形成結論.這樣我們既鍛煉了他們的推理能力又培養了他們的學習興趣，不再覺得學習線性代數是乏味、無趣.推理能力的培養，要考慮學生的自身特點、層次性，思維方式也存在著一定的差異，我們要因人施教，因材施教，這樣使學生的邏輯推理能力不斷躍上新臺階.線性代數的知識點較多，很多重要概念之間的內在聯系并沒在課本中充分反映出來.學生只有具備良好的合情推理和演繹推理能力，才能掌握知識點的核心.例如，向量的線性組合與線性方程組的解、向量的線性相關與齊次線性方程組的非零解均關系密切，但教材中把它們放在不同的章節，很少有學生考慮這些概念之間的聯系，在這些教學內容完成后，我讓學生自己推理出這些概念之間的關系，結果許多學生自己找到了正確的答案.
另外，還要讓學生注意新舊知識的聯系，最后把同類知識歸納、總結、列表，把容易混淆的概念進行對比，以加強學生的想象力、理解力、記憶力.對于有些習題，還要注意一提多解及同類題的共性，培養舉一反三和推理能力.
三、注意學習方法的總結
線性代數的概念很多，重要的有：逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，特征值與特征向量.運算法則也很多，重要的有：矩陣乘法，求矩陣的秩，求非齊次線性方程組的通解，基本運算與基本方法要過關.這些知識點從內容上看環環相扣，相互交錯.要使知識點銜接、成網，歸納總結是不可缺少的步驟.我們對問題的表述要富有邏輯性，解題方法靈活多樣性.在復習時常問自己做得對不對？再問做得好不好？只有不斷地歸納總結，努力搞清內在聯系，使所學知識才能融會貫通，解題思路自然就開闊了.
邏輯推理問題的基本方法范文2
一、邏輯推理與實際應用是數學學習動機
數學發展的歷史包括兩種典型的數學文化:一種是重視邏輯推理的希臘數學文化,一種是重視實際應用的中國數學文化.
數學史家將古希臘數學按時間分期:第一期從公元前600年到前323年;第二期從公元前323年到前30年,也稱亞歷山大前期;第三期從公元前30年到公元600年,也稱亞歷山大后期[3].前兩個時期,希臘數學文化認為,數學命題只有通過幾何形式的邏輯推理論證才能說明其正確性,論證數學成為數學研究的主流,幾何形式的邏輯推理證明成為數學成果正確與否的衡量標準.這個標準逐漸發展成為對數學研究的期望或理想,即期望數學成果能夠通過幾何形式的邏輯推理來論證.在“亞歷山大后期”,古希臘數學突破了之前以幾何為中心的傳統,算術、數論和代數逐漸脫離了幾何的束縛.這一時期受羅馬實用思想的影響,論證數學不再盛行,如海倫的《量度》中有不少命題沒有證明.但論證數學中的邏輯推理在數學研究中仍占有重要位置,如丟番圖《算術》書中采用純分析的途徑處理數論與代數問題[4].邏輯推理從幾何論證中脫離出來,邏輯推理解決問題的思想發展成為數學研究的新理想,即希望數學問題可以通過純邏輯推理的方法解決.縱觀整個希臘數學文化,數學研究成為滿足上述兩種理想而付出的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.究其本質,邏輯推理思想是幾何論證與分析法解決問題的根本,是上述兩種理想中最本質的思想,并且滿足動機的定義.因此它是古希臘數學研究的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.
中國古代數學在整體發展上表現為算法的建構和改進[5].所謂“算法”不只是單純的計算,而是為了解決一整類實際或科學問題而概括出來的、帶有一般性的計算方法[4].算學的目的在于解決實際問題,而實際問題是層出不窮的,因此中國古代數學不僅經受住了統治者廢除“明算”科的考驗,甚至還有所發展,如元末明初珠算的普及.隨著中國數學文化的形成,用數學知識解決實際問題成為算學的理想,即期望數學成果能夠被實際應用.中國古代數學研究成為受這個理想而支配的勞動,成為實現個人價值、滿足求知欲的社會需求而付出的勞動.實際應用滿足動機的定義,因此它是中國古代數學發展的一個動機,也是人類進行數學研究的一個動機.
所以邏輯推理與實際應用是人類進行數學研究的兩個動機,按動機的分類它們屬于驅力,是從生理需要出發的內在動機.數學學習可以認為是有方向性的對已有數學成果的再次研究過程,可以看作是數學研究的特例形式.依據歷史發生原理綜合分析得出:人類進行數學研究的內在動機一定會在數學學習中表現出來,即激勵人類研究數學的內在動機與激勵學生學習的內在動機是一致的.
從實際情況出發,邏輯推理可以作為生活中一種娛樂形式,如邏輯推理游戲、邏輯推理小說、邏輯推理電影等都深受公眾喜歡;而實際應用也是大家十分感興趣的,如通過應用基本的空氣動力學知識制作航模.
綜上所述,邏輯推理與實際應用是數學學習動機,且這兩個數學學習動機是學生共有的、內在的,也是在實際教學中易于對學生進行培養的數學學習動機.
古希臘數學中的公理化思想是希臘數學文化的重要特點之一.公理化思想出現的標志是歐幾里得的《幾何原本》.在數學中引入邏輯因素,對命題加以證明,一般認為是從伊奧尼亞學派開始的,但畢達哥拉斯學派在這一方面作了重大的推進,他們的工作可以說是歐幾里得公理化體系的前驅[3].因此公理化思想的提出要晚于邏輯推理思想,公理化思想是邏輯推理思想的發展.
算法程序化思想是中國數學文化的另一個重要特點.算法程序化思想出現的標志是成書于公元前后的《九章算術》.實際應用思想雖沒有明確的出現標志,但在《九章算術》成書前的《周髀算經》、《算數書》等書中涉及的數學知識都蘊含著明確的實際應用思想.算法的提出是為了解決一類實際問題,算法程序化為了使算法嚴謹、簡明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于實際應用思想,且算法程序化思想是實際應用思想的發展.
隨著數學發展,公理化思想與算法程序化思想已應用到現代數學中,成為現代數學的特點.但它們不是貫穿整個古希臘數學與中國古代數學研究的內在因素,而是邏輯推理與實際應用數學思想發展的衍生物.公理化思想與算法程序化思想也可作為數學學習的動機,但適宜群體明顯要少得多.數學發展至今,數學本身的文化區域性特點淡薄了,希臘數學文化與中國數學文化背后的驅力——邏輯推理與實際應用思想,早已相互融合.近代微積分的應用及理論的嚴密化過程就是一例.
二、比較古今數學教材以研究初中教材兩個學習動機的培養
教材是教學中最重要的用書之一,是教師教學、學生學習的主要依據.《幾何原本》、《九章算術》作為西方與中國的數學教科書都有千年之久.兩本著作都反映了當時的數學文化背景.重視邏輯推理與重視實際應用分別成為教學思想包含在這兩本書中.
因為《九章算術》作為教材多將劉徽注釋加入其中,所以將現行數學教材與《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》進行比較研究.為增加3者的可比性,選擇它們共有的內容,且知識體系完備,預備知識基本一致,學生認知水平大抵相同的勾股定理部分作為比較對象.這種比較雖不能以點代面,但仍有較強的代表性與啟發性.現行數學教材采用經全國中小學教材審定委員會2004年初審通過的義務教育課程標準實驗教科書八年級數學下冊[6],以第18章第1節勾股定理內容為標準,選擇《幾何原本》、《九章算術及劉徽注》部分內容進行比較.因《幾何原本》的成書結構是公理化體系,利用已知命題證明未知命題,且命題后沒有輔助理解該命題的習題,所以選擇其中與勾股定理有關或利用勾股定理證明的命題作為比較對象.由于初中教材在講解勾股定理時,預備知識中未包含圓、無理量及立體幾何內容,故選擇《幾何原本》[7]第Ⅰ卷命題47、48,第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13作為比較對象.《九章算術及劉徽注》的勾股章是利用直角三角形性質求高深廣遠,因初中教材勾股定理的預備知識中沒有相似三角形及勾股數組的內容,所以選擇《九章算術及劉徽注》[8]勾股章[一]至[一四]題及[一六]題作為比較對象.
1.各種教材中勾股定理的內容
(1)編寫目的
《全日制義務教育數學課程標準(修改稿)》(下簡稱為《標準》)中勾股定理的教學要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題[9].《幾何原本》與《九章算術及劉徽注》雖沒有類似的編寫標準,但可以從它們的內容及成書體系分析得出.《幾何原本》利用勾股定理轉換面積間關系證明幾何問題,即在直角三角形中,兩直角邊上正方形面積和與斜邊上正方形面積可以相互轉換.如第Ⅱ卷命題9、10、11、12、13都是利用這種思想.《九章算術及劉徽注》利用勾股定理數量關系求得高深廣遠,解決實際生活的問題.
(2)知識框架
初中教材通過生活發現與幾何直觀探索,建立從實際到理論再到實際的知識體系,并運用定理解決簡單問題.《幾何原本》通過已知命題推導勾股定理,建立從理論到理論純幾何形式的知識體系,重在證明未知命題.《九章算術及劉徽注》通過給出3個簡單幾何問題“術”,建立從理論到實際的應用知識體系,旨在解決實際問題.3者建構的知識框架各不相同.
(3)定理引入
初中教材的導入分為兩部分,分析畢達哥拉斯發現的定理特例與探究定理的一般形式.《幾何原本》受公理化體系的影響,它的導入可以認為是定義、公理、公設及已知命題.《九章算術及劉徽注》的導入是3個已知兩邊求第三邊的簡單幾何問題.
(4)定理表述
初中教材用特例猜想定理的一般形式給出勾股定理[6]:如果直角三角形的兩直角邊長分別為a、b,斜邊為c,那么《幾何原本》的勾股定理以命題形式給出:在直角三角形中,直角所對邊上的正方形等于夾直角兩邊上的正方形[10].《九章算術及劉徽注》中的勾股定理以3個簡單幾何問題術的形式給出:勾股各自乘,并,而開方除之,即弦[8].3者對比,初中教材體現數形結合的勾股定理且形體現在邊長上;《幾何原本》中體現形的勾股定理且形體現在面積上;而《九章算術及劉徽注》體現數的勾股定理.各自的表述為其內容服務,它們之間存在一定差異.
(5)定理證明
初中教材利用我國古代趙爽的弦圖(如圖1、圖2、圖3),通過圖形旋轉證明定理猜想.這種證明方法是近年來學者們傾向于“古證復原”思想提出的.初中教材對定理證明如下[6]:
趙爽注釋的《周髀算經》對勾股定理的證明如下:案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二,倍之為朱實四.以勾股之差自相乘為中黃實.加差實一亦成弦實[8].
兩種解釋代表兩種證明思想,趙爽弦圖及其證明方法未成最終定論.初中教材選擇歷史上的數學作為定理證明既應符合歷史,又應符合學生認知習慣.圖形旋轉是否是趙爽的弦圖思想,是否符合學生對一般幾何問題證明的思維形式,仍需再斟酌.
邏輯推理問題的基本方法范文3
關鍵詞：中學數學；能力發展；途徑分析
中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2014）17-171-01
數學能力是在數學活動中形成和發展的。但又不是在數學活動中自然而然地形成的，它的“必要條件是有一套特別組織好的練習和訓練?！彼?，教學過程中必須有目的有計劃地實施。筆者現結合教學中具體的教學活動，簡要地分敘幾個數學能力的培養和運用。
一、概括能力
數學解題，在數學中有著重要的位置。在一定的教學內容里，通過例題和相應的習題，總結歸納出某一類“基本題型”的共同特點，摸索出這類題型的解題思路和解題方法，達到舉一反三、觸類旁通的教學目的。在尋求一個復雜的數學問題的解法的時候，聯想已經解過的類似題目或者研究是否可分解為某些“基本題型”，是解題的重要思路。所以，各類基本解題方法的概括和積累是十分重要的。
概括出，這是函數f（x）在x-X。處無定義的一類極限計算題，這類題目的通常解法是，先將函數f（x）作適當的恒等變形――或者化積約分，或者分子有理化，從而轉化為可以求極限的新函數。中學階段的求函數的計算問題，如果能夠歸納出：代值法，公式法，代換法，逼近法和上述方法等幾個基本類型，有關極限的計算，總可以轉化為基本的某些方法去解決。
必須指出：盡管概括推理在數學活動中有著重要的作用，但是它畢竟是一種或然性的推理，這樣概括出來的結論，并不能保證其正確性及嚴密性，很多時候，還夾雜著個人的主觀猜想，也就是未必有客觀真理性。所以，由概括獲得的數學結論，或者是必須經過嚴格的證明，或者必須經受實踐的檢驗，道理就在這里。
二、邏輯推理能力
數學是一個系統化的邏輯體系，它有著明確的結構。在這個結構中離不開邏輯推理。數學知識具有抽象性和內在聯系性，學生在解題求證過程中，必須要運用定理、公理、公式進行演繹推理，從而獲得更多的數學知識和更深邃的數學思想。著名的數學家笛卡兒甚至作出這樣的評價：“從不可懷疑的和確定的原理出發，用類似數學的方法進行論證，就可以達到對自然的認識?！北M管笛卡兒的邏輯主義有它的片面性，但他卻道出了邏輯推理方法在認識世界中的重要地位。
演繹推理，在數學活動中運用于定理、命題的證明、公式的推導，這是數學活動的主體。由于演繹推理是一種必然性的推理，推出結論的正確性取決于以下兩點：（1）推理選取的前提正確可靠；（2）推理的形式合乎邏輯。因此，學生在學習推理論證的過程中，一定要使之習慣于合乎邏輯的證題格式，同時要做到論證過程步步有據。
至于尋找證題的途徑，主要讓學生學會綜合和分析兩種思維方法，或者由因導果，或者執果索因，或者順推逆求相結合找尋銜接點。
三、逆向思維能力
數學是研究客觀的工具，其內在聯系也常常反應一定的規律。因此，在數學教學過程中抓住典型例子進行分析，有利于學生掌握解題規律。一些比較復雜的題目，可把問題拆成幾個相互關聯、互相獨立的基本題，降低教學難度，對學生進行疏導，然后再把這個過程逆向進行。具備了逆向思維能力，學生解綜合題也就不難了。其實，逆向思維即是改變了常規思維程序的思維，它把思維的角度進行了相反方向的轉換，拓寬了學生的思維空間。逆向思維在數學教學中的應用主要有以下幾個方面：1、數學公式的變用、逆用；2、用逆運算代換原運算3、用一個命題的等價命題代換原命題；4、引進未知量，把未知量當作已知量參加運算，最后消去未知量或求出未知量；5、初等對稱式、函數圖像的對稱性與幾何關系的運用。
我們看個實例：
已知26a=33b=62c，試求a、b、c之間的關系。
這里所求的量表為不同底的冪的指數形式，只有轉化為對數形式才便于運算。考慮到已知數的因數僅有2及3，對數宜取2或3為底。若變形為6a=3blog23，6a=2clog26，即可通過等式運算導出a、b、c之間關系。
在具體的解題過程中如果不用逆向思維，解題的思路一般是很難暢通的。
四、求異思維能力
在數學活動中求異思維主要有有二方面的意義：第一方面培養學生一題多解的數學能力，進而激發學生思維的靈活性、創新性；第二方面是在解題時給予一定的條件，讓學生運用所學的數學知識和生活經驗展開聯想和想象，并進行分析、辯論，更可能多地推導出各種結論，使學生在解題的時按需選擇。例如，學習了復數的概念和運算，可從下面三個方面溝通它與其他數學知識的聯系：1、用擴張了的“數的概念”處理代數問題；2、通過復數的三角表示，把三角問題轉化為代數問題以便于尋找規律，或把代數問題轉化為三角問題以便運算；3、用復數式表示曲線的方程，或置平面幾何圖形于平面中研究其性質。這些知識聯系建立在學生的思維里，在解決數學問題需要的時候，就可以迅速地聯想起用“復數法”解題。
我們知道，根據概括思維能為我們構筑數學結構，建立數學知識的縱的聯想；運用求異思維，則能使我們在數學知識之間建立起廣泛的橫的聯想。這就使我們在需要的時候，能順利地從一種運算形式過渡到另一種運算形式，實現思維的遷移。可見，求導思維呈現著思維的機動靈活性，在探索創造中起著重要的作用。
總之，在數學教學中，必須依據數學內容的特點，選用恰當的思維形式，讓學生牢固地掌握數學知識和技能；同時又必須充分運用生動的數學材料，去培養和發展學生的數學能力。我們相信，有了這樣的指導思想，并注意在教學過程中有計劃地加以貫徹，就一定能實現教給學生的數學知識與發展學生的數學能力的和諧統一。
參考文獻：
邏輯推理問題的基本方法范文4
關鍵詞：法律邏輯學；法律思維能力；培養策略
法律邏輯學是一門與推理和論證相關的法律類工具學科，其主要的任務是讓學生能夠厘清各種邏輯理論的具體內涵，以及靈活地運用各種邏輯方法于司法實踐當中。而法律思維是指按照法律的邏輯來認真地觀察和分析各種法律案件的思維方式，其與法律邏輯學的主要任務具有相關性，所以法律邏輯學對于培養學生的法律思維能力也具有非常重要的意義。
一、法律邏輯學可以培養法律思維能力
法律是社會公眾的行為規范準則，其承擔保障社會正常運作的職能，同時人們還要依靠法律來保證自身的權益不受侵犯，同時懲治社會犯罪行為。所以法律的嚴謹性和準確性非常重要，否則法律的權威性就會受到質疑，這也就要求法律的各個環節都必須具有嚴密的邏輯。但是在現實生活中，我們很難完全依據傳統的邏輯方法來解決生活中的實際問題。而法律邏輯學就是為了解決這一狀況而產生的，其主要的教學內容是法律推理和法律論證，分別是法律邏輯的基本規律、基本概念、邏輯推理、邏輯論證、案例論證和反駁等知識，學生通過學習法律邏輯學能夠掌握普通的邏輯分析方法，同時形成較強的法律思維能力。
法律思維能力是指以法律的邏輯來觀察、分析、解決法律問題的職業思維方式，主要表現為觀察、分析法律事實的能力，搜集和判斷法律證據的能力，歸納、概括案件爭執焦點的能力，判定案件性質和認定案件事實的能力，正確闡釋法理和適用法條的能力，嚴謹進行法律推理和論證的能力。一般來說，法律思維能力必須要經過長期的司法實踐才能形成，但是學生通過學習法律邏輯學，可以初步形成法律思維能力。
二、法律邏輯教學的開展策略
法律邏輯學的主要教學目的就是讓學生能夠將法律邏輯的知識轉化為實際的法律思維能力，所以學生必須要掌握將邏輯理論知識轉化為法律思維的技能和方法。但是從當前的法律邏輯學來看，其教學內容普遍以“形式邏輯原理”+“法律實例”的形式展開，但是從實質上來看，這種教學模式并沒有脫離形式邏輯的范疇，并沒有有效地將法律邏輯理論與司法實踐結合在一起。筆者結合多年的工作經驗，現重點探究法律邏輯教學的具體開展策略，希望能夠切實達到培養學生法律思維能力的目的。
1.將形式邏輯和辯證邏輯方法有效地結合在一起
法律邏輯學包含的教學內容非常豐富，比如法律推理的標準，法律推理的技術準則，演繹、歸納、類比推理的形式推理方法等。其中形式邏輯推理是法律中最基本的、普適性最高的推理方法，但是在實際的案件當中，單純運用法律形式推理的案件幾乎不存在。辯證邏輯推理是對法律形式推理的必要補充，學生通過學習辯證邏輯推理，能夠有效地拓展法律職業思維的廣度和加深法律職業思維的深度，進而保證法律思維的邏輯嚴密性。所以教師在教學過程當中，也應當將形式邏輯方法與辯證邏輯方法結合在一起，使得學生能夠靈活地運用這兩類方法開展法律推理。
2.強化批判性思維訓練
批判性思維是指在理性思維基礎上產生的一種帶有懷疑性質的、創新的思維，其存在的目的就是通過分析和推理已有的認知和事實，而形成一種與別與常理的見解，從而達到探求真理的目的。批判性思維屬于創新性思維的核心內容，其既具備強的邏輯分析性，又具有高度的辯證性，所以強化學生的批判性思維訓練，就是強化學生對于多種思維方法和思維方式綜合運用的熟練程度。
在法律邏輯學的教學當中，教師應當有意識地滲透批判性思維，讓學生能夠養成自由思考的習慣，通過長期自覺理性的判斷，使得學生不會盲目迷信“標準答案”，走出傳統的思維定勢的局限。在課堂上，教師可以經常出一些存在錯誤的案例，讓學生主動地糾正其中存在的法律邏輯錯誤，從而讓學生形成辯證的法律邏輯思維形式，增強學生法律邏輯思維的準確性和嚴謹性。另外，教師還要讓學生學會提出恰當的問題，學會對所列示的證據材料提出合理的質疑，能夠及時地識別其中存在的錯誤，并且用可靠的證據進行論證，最終得出合理的、具有說服力的結論。
3.培養學生的法律思維能力
法律邏輯學的教學內容主要包括形式邏輯訓練和法律思維能力的培養，所以教師在教學過程當中應當重視這兩方面內容的講解。在培養學生的法律思維能力方面，教師首先要開展生活化教學，選擇實際生活中出現的真實案例與教材的文字知識結合起來，在課堂上為同學們詳細地分析一些現實中發生的事情、社會熱點問題及有趣的邏輯典故。這樣一方面可以使得書面知識直觀化，使得法律邏輯學教學更加靈活、更加具有實用性；另一方面，也便于學生將抽象化的理論知識轉化為實際的理性認識，提高學生的知識實踐運用能力。其次是采用案例教學法，教師要選擇一些案例來開展法律邏輯教學，選擇的案例必須具有法律專業性、真實性以及可討論性，能夠引發學生產生不同的觀點。只有教師在課堂上引用具有可討論性的案例，才能使得學生之間產生不同的思維碰撞，以此來對學生進行邏輯思維訓練，培養學生的批判性思維和法律實踐能力。最后是運用論辯教學法，即引導學生針對某個具體的理論、實際的事例進行辯駁與爭論，以此充分鍛煉學生的法律職業能力。教師在采用論辯教學法的過程中，必須要給予學生充分的時間獨立地思考問題，并且讓學生能夠在課堂上充分地表達個人的思考和理解。教師要鼓勵學生大膽地思考和分析，通過課堂所學的知識去發現其中的規律和方法，最終得出合理的結論。這樣的論辯過程，可以很好地考察學生對知識的掌握程度、邏輯分析的能力、語言表達的能力、思維的敏銳程度，能夠很好地提高學生運用所學法律知識論證個人論點或反駁他人觀點的能力，同時對于培養和提高學生的綜合思維能力也具有非常重要的意義。
參考文獻：
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邏輯推理問題的基本方法范文5
關鍵詞：物理專業；高等數學；數學思想；教學
作者簡介：唐果（1957-），女，湖南湘潭人，湖南科技大學數學與計算科學學院，副教授。（湖南 湘潭 411201）
基金項目：本文系2011年湖南省教育廳教學改革研究資助項目、湖南省教育廳學位與研究生教育教改重點課題（項目編號：JG2011A019）的研究成果。
中圖分類號：G642.0 文獻標識碼：A 文章編號：1007-0079（2013）19-0125-02
“高等數學”是物理專業學生必修的一門重要基礎課程，是學生學習物理各專業課程的基礎。目前國內外很多學者認為高等數學的任務是為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識。[1，2]數學嚴格的邏輯性、高度的抽象性、語言的簡明性，使數學具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的獨特功能。[3]因此，高等數學的任務除了為學生學習物理各專業課程以及今后的工作提供必要的高等數學基礎知識之外，應該還具有培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力的任務。而物理學中的問題，就是利用數學嚴密的推理、高度的抽象及空間想象建立模型，最終經過實踐檢驗，求得其理論。[4]因此，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就顯得尤為重要，也是物理專業“高等數學”教學責無旁貸的任務。如何在物理專業“高等數學”教學中培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力是每位教師必須思考的問題。
一、數學思想簡介
數學思想是數學產生以及數學發展過程中必須依賴的基本思想，是人們在談論數學時，總要談及到的獨特素質。數學思想是由三種基本思想，即抽象、推理和模型思想組成。抽象思想是把外部世界與數學有關的東西抽象到數學內部，其素質表現為抽象能力強；推理思想是邏輯推理促進數學內部的發展，其素質表現為邏輯能力強；模型思想是溝通數學與外部世界的橋梁，其素質表現為應用能力強。
數學中的抽象主要包括兩方面的內容：數量與數量關系的抽象、圖形與圖形關系的抽象。其中關系是重要的，正如亞里士多德所說：數學家用抽象的方法對事物進行研究，去掉感性的東西剩下的只有數量和關系。對于數學研究而言，線、角，或者其他的量，不是作為存在而是作為關系，通過抽象得到數學的基本概念，從而把現實生活中的與數學有關的東西引入數學的內部。這些基本概念包括數學的研究對象的定義，刻畫對象之間關系的術語和符號，還包括刻畫對象之間關系的運算方法。這種抽象是一種從感性具體上升到理性具體的思維過程，但這樣的抽象只是第一次抽象。在此基礎上，還能憑借想象和類比進行第二次抽象，其特點是符號化，得到那些并非直接來源于現實的數學概念和運算方法，比如實數和高維空間的概念，極限和四元數的運算。第二次抽象是此理性具體擴充到彼理性具體的思維過程，在這個意義上，數學并非僅僅研究那些直接來源于現實生活的東西。
數學主要依賴的是邏輯思維，邏輯思維的集中表現是邏輯推理，人們通過推理，能夠深刻地理解數學研究對象之間的邏輯關系，并且可以用抽象了的術語和符號清晰地描述這種關系。所謂推理，是指一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。所謂推理有邏輯，是指所涉及的命題內涵之間具有某種傳遞性。在本質上，只存在兩種形式的推理，一種是歸納推理，一種是演繹推理。人們通過推理形成各種命題、定理和運算法則。隨著數學研究的不斷深入，根據研究問題的不同，數學逐漸形成各個分支，而且數學各個分支得到的結果之間卻是相互協調的。為此，人們不能不為數學的這種整體一致性感到驚嘆：數學似乎蘊含著類似真理那樣的合理性。
數學模型是用數學的概念、原理和思想方法描述現實世界中規律性的東西。所以數學模型是指用數學的語言描述現實世界所依賴的思想。數學模型使數學走出數學的世界，是構建數學與現實世界的橋梁，通俗地說，數學模型借用數學的語言講述現實世界的故事。數學模型的出發點不僅是數學，還包括現實世界中的那些將要講述的東西。并且，研究手法也不是單向的，需要從數學和現實這兩個出發點開始，規劃研究路徑、構建描述用語、驗證研究結果、解釋結果含義，從而得到與現實世界相容的、可以描述現實世界的結論。數學模型也必然有其適用范圍，這個適用范圍通常表現于模型的假設前提、模型的初始值、模型參數的某些限制。
由數學思想的概念可以看到，培養物理專業學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力就是要在物理專業“高等數學”教學中提高學生的數學思想。
二、提高物理專業學生數學思想的“高等數學”教學途徑
對于物理專業的學生，提高了邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，即數學思想，也就增強了他們的創新能力、數學應用能力、可持續發展能力和終身學習能力，才能使培養出來的學生真正做到知識、能力、素質三者并重。下面結合筆者 長期物理專業“高等數學”教學的實踐，針對教師在“高等數學”教學的過程中如何提高物理專業學生數學思想談談體會和具體做法。
1.教師自身必須具有較高數學思想和數學方法論的素養
由于數學思想蘊含于高等數學的各部分內容之中，只有教師具有了較高的數學思想素質，才能挖掘出高等數學各部分內容之中的數學思想，才能做到在高等數學的講授中，善于向學生傳授這些思想以及寓數學思想于平時的教學中，因此教師自身要加強對數學史和數學方法論的學習與研究。
2.教師必須具有較好的物理素質
由于高等數學中的概念和定理只反映數量關系和空間形式，沒有具體的描述對象，而物理中的概念和定理則有具休的描述對象，比如，向量在高等數學中是一個抽象概念，但是在物理中則用來表示力、速度等具體的概念。另外，高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的，例如：微積分就是牛頓在研究力學問題時首先提出，并為解決各種力學問題而日益豐富起來的。因此教師具有了較強的物理素質后，一方面與物理專業的學生有更多的“共同語言”，可以使用在實踐中看得到的現象解釋十分抽象的數學概念和定理，提高學生學習高等數學的積極性；另一方面，可以利用物理實例引入高等數學的概念和定理，培養學生的數學思想。所以，教師自身應加強物理知識的學習。
3.教師要善于將高等數學各部分內容中的數學思想挖掘并系統地分類
教師在備課時要深入研究教材，結合教材的知識點，查閱其發生發展過程，把握住有關概念和定理的來龍去脈，抓住數學知識與數學思想的結合點，挖掘出蘊含于教材每章節中的數學思想，在教學中做到統籌安排，有目的、有計劃和有要求地進行數學思想的教學。
4.教師應針對不同的教學內容，通過多種途徑設計數學思想教學
由于同一教學內容可以蘊含多種數學思想，而同一數學思想又分布在不同的教學內容中，所以教師應根據不同的教學內容，選擇不同的教學手段和方法開展數學思想的教學。選擇的原則為有利于學生領悟和掌握數學思想，例如：在遇到反映推理數學思想的教學內容時，可以采用探究式和啟發式教學方法進行教學。特別是對于物理專業的學生，教師應充分利用其對物理現象熟悉和物理問題理解的特點，首先提出問題，然后學生在教師的引導和啟發下模擬科學家解決問題的過程，或支持學生從多角度以不同方式對問題進行思考，最后讓學生自己得出結果。在遇到反映抽象數學思想的教學內容時，可以采用發現式教學方法進行教學，教師可以利用高等數學中的很多概念和定理是科學家們在研究物理問題時抽象出來的特點，結合教學內容，向學生展示該教學內容的形成和演變過程，使學生體驗抽象數學思想的作用和巨大價值；或采用案例式教學方法進行教學，由于抽象是從許多不同事物中提取的共同點，因此教師可以從許多領域收集既體現數學的本質，又通俗易懂，引人入勝的例子，然后根據教學內容適當地提煉一些最新的有趣的例子作為應用案例，從這些案例中提取共同點得出結論。在遇到反映模型數學思想的教學內容時，可以采用啟發式教學方法進行教學。由于數學建模是對實際問題進行合理抽象和量化，利用數學公式進行模擬和驗證的一種處理方法，因此教師可以結合教學內容適當選擇一些實際應用問題，然后引導學生加以分析，通過抽象、簡化、假設、建立和求解數學模型，從而解決實際問題；或采用實驗教學方法進行教學，教師首先設計出注重數學思想的剖析、數學技術的靈活性和數學理論的實用性的實驗項目，然后在教師的指導下，學生親自動手建立和求解數學模型，從而解決問題。當遇到同一教學內容蘊含多種數學思想的情況，可以同時采用多種教學方法進行教學。
5.教師要充分認識到學生掌握數學思想是一個反復認識、訓練和運用的過程
由于學生對于蘊含在具體數學知識中的數學思想開始只能形成初步的感性認識，只有經過多次反復后，在較為豐富的感性認識的基礎上，才能逐步抽象、概括而形成理性認識，再在實踐活動中反復檢驗和運用，才能加深這種理性認識。因此，學生對每種數學思想的認識都是在反復理解和運用中形成的，其間有一個由低級到高級的螺旋上升過程。所以教師應該將高等數學各個內容中的數學思想形成為具有一定結構的系統，對于某一種數學思想而言，所串連的具體數學知識也必須形成自身的體系。由此明確每一種數學知識的教學中可以進行哪些數學思想的教育，并設計好對每種數學思想進行反復認識、訓練和運用的過程。由于緒論課一般都要講述知識產生的背景，發展簡史，研究對象，基本和主要的問題，研究的思想和與其他各章知識的聯系等，教師可抓準時機在緒論中直接簡述有關數學思想，而在復習課中則可順勢總結概括本章用到的數學思想，這也可以形成學生對數學思想系統的反復認識。
三、結束語
數學思想是數學的精髓和靈魂，是知識轉化為能力的橋梁。數學教育的目的不僅要使學生掌握基本的數學知識與技巧，更要重視發展學生的能力，全面提高綜合素質。因此本文就如何在“高等數學”教學中提高物理專業學生數學思想，培養學生邏輯推理能力、抽象思維能力和空間想象能力，提高他們的創新意識和創新能力，根據多年的教學實踐談了一些認識、體會和具體做法，希望能起到拋磚引玉的作用。
參考文獻：
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[2]左東林，滑超倫.高等數學在物理中的應用舉例[J].淮陽教育研究，1994，（4）：18-21.
邏輯推理問題的基本方法范文6
關鍵詞： 初中數學教學 推理能力 邏輯思維
所謂推理就是由一個或幾個已知判斷推出另一未知判斷的思維形式。合情推理是根據已有的知識與經驗，在某種具體的情境中推出可能出現的結論。合情推理是一種合乎情理的推理，一般包括觀察、概括、歸納、類比、猜想、頓悟等思維形式。推理是邏輯思維的工具之一，是學好數學不可缺少的條件。
一、理解基本概念，發展邏輯推理能力
培養與發展學生的邏輯思維是數學教學的重要任務。在教學中應該揭示教材的內在邏輯性，培養學生的邏輯思維能力。常常會遇到這樣的情況，學生在解數學題時，只重視對公式與定理的記憶，一般不重視對數學概念的透徹理解，因而常有偷換概念等錯誤現象的發生。例如：在求解汽船往返甲、乙兩碼頭之間順水速度為60千米/小時，逆水速度為30千米/小時，往返一次的平均速度時，學生錯解為平均速度是（30+60）×1/2=45（千米/小時），其中對“平均速度”概念的理解是錯誤的，把它與兩個數的算術平均數混淆起來。違反思維的基本規律，造成結論的錯誤。正確的解法應該是：設兩碼頭距離為s公里，那么往返一次的距離應為2S，順水所用的時間為未小時，逆水時間為S/60小時。因此，平均速度是：V=2S/（S/60+S/30）（千米/小時）。從本例可以看到，若運用邏輯推理方法理解“平均速度”這個概念，就可以加深對平均速度這個概念的理解。在教學中，若教師掌握這一規律，就能強調對這概念的理解與使用，從而培養學生的邏輯推理思維。
二、恰當創設情境，引導學生學會觀察
合情推理并不是盲目的、毫無根據的胡亂猜想，而是以中某些已知的條件為基礎，通過選擇恰當的材料創設具體的數學情境，引導學生進行深入的觀察。數學家Euler說：“學習數學這門科學需要認真的觀察，同時還需要實驗?！庇^察是人認識客觀世界的開始。觀察可以調動各種感官在已有知識與經驗的基礎上開展聯想，進而找到解決問題的辦法。同時，觀察力也是衡量一個人能力的標志之一。因此，在數學教學中要培養學生對必要的時間與空間進行觀察，養成良好的觀察習慣，在提高觀察力的同時進行合理的推理。例如：把20，21，22，23，24，25這六個數分別放在六個圓圈中，讓三角形的每邊上的三個數之和相等。通過觀察圖形及這六個數后，我們就應該想到三角形邊長定理，較大的幾個數或較小的幾個數不能同時放在三角形的某一邊上，否則其和就會太大或太小。也就是說，可以把較小的三個數分別放在三角形的三個頂點上，再把三個較大的數放在相應的對邊上。
三、培養空間觀念，提高學生創新能力
《初中數學課程標準》把“空間觀念”作為義務教育階段中培養學生的創新思維與實踐能力的重要內容。對數學的空間觀念是培養創新思維所必需的基本條件，沒有空間觀念幾乎談不上學習數學。因為很多的發明創造都是以空間的形態呈現的，設計者要先從自己的想象出發畫出設計圖。再根據設計圖做出實物模型，根據模型修改設計，直到最終完善成型。這是一個充滿豐富想象力與創造性的探求過程，這個過程也是人大腦思維不斷在二維與三維空間之間轉換、利用直觀進行思考的過程，空間觀念在這個過程中起到至關重要的作用。因此，明確空間觀念的意義、掌握空間觀念的特點、提高學生的空間觀念，對培養學生的創新思維與實踐能力具有十分重要的意義。例如：在教學“長方體與正方體表面”時，讓學生先通過認真觀察長方體與正方體的圖形，再想象它的展開圖，并把腦子中所想的圖形畫出來，然后動手操作，這樣就能充分驗證學生對圖形的空間想象力。
四、培養推理能力，掌握數學思想方法
美國密歇根大學教育學院的德博拉·鮑爾說：“數學具有吸引力的原因之一就在于它能夠引導學生進行奇妙的推理?！彼?，我們在數學教學中應該重視培養學生的推理能力。那么怎樣在教學中培養學生推理能力呢？實踐證明，要讓學生掌握一定的推理方法。數學概念、定理等是推理論證與運算的基礎，讓學生明白在教學過程中要提高由表及里、由此及彼的認識能力。在例題中要把解（證）題思路的發現過程作為重要的教學環節，不僅要知道怎樣做，還要知道為什么要這樣做；在習題練習中要認真的審題、細致的觀察，對解題起關鍵作用的隱含條件要有挖掘的能力，會運用綜合法和分析法，并在解（證）題過程中盡量要求學會用數學語言、數學符號進行表達。此外，還應強化學生分析、綜合、類比等方法的訓練，提高學生的邏輯思維推理能力。加強對逆向應用公式與逆向思考的訓練，提高學生逆向推理證明能力。學生一旦掌握思想方法，推理能力就會不斷提高。
總之，在初中數學教學中培養學生的合情推理能力，能提高課堂教學效率，發展學生的思維能力。因此，教師要不斷改進教學條件，提升教育教學水平。讓學生學到更多的知識，提高學生解決問題的能力。培養合理的推理能力需要一個長期的過程，只要努力的探索，就會使之成為學好數學的工具。
參考文獻：
[1]胡勇.改革教學方法，加強素質教育的初步嘗試[J].考試周刊，2012（4）.
