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混沌理論的應用范文1
中圖分類號：TP271文獻標識碼：A文章編號：1009-2374（2009）06-0129-02
一、混沌概述
（一）混沌的定義
從數學上來講，“混沌”這一詞沒有一個統一的嚴格定義，比較常用的有Li-Yorke、Devaney、Marotto意義下的三種定義。下面給出Devaney基于拓撲學的混沌定義：
定義：設V是一個度量空間，映射如果滿足下列三個條件，便稱f在V是混沌的。
（1）對初值敏感依賴；
（2）拓撲傳遞性：對V上的任一對開集X，Y，存在K>0，使；
（3）f的周期點集在V中稠密。
在定義中，對初值敏感依賴用數學語言描述是：存在δ>0，對任意的ε>0和任意的x∈V ，在x的ε鄰域內存在 y和自然數n，使得 。用中國成語描述就是：“失之毫厘，差以千里”。這種敏感性并不局限于系統狀態的初始值，同時適用于系統參數，著名的Logistic混沌系統就具有這種對初始條件、系統參數的極度敏感性。1979年美國氣象學家洛侖茲（Edward Lorenz）在一次演講中提到，巴西的一只小蝴蝶煽動一下翅膀，有可能在得克薩斯州引起一場龍卷風，這就是所謂的“蝴蝶效應”，“蝴蝶效應”使得系統具有長期不可預測性。這種初始條件敏感性不僅存在于自然界，同樣也存在于人類社會中。1997年東南亞金融風暴的始作俑者喬治?索羅斯就被人稱為“猶太蝴蝶”，因為據說是他在當年3月份大量拋售泰國銖，導致泰國銖匯率狂瀉，并逐漸演變為席卷東南亞的金融“龍卷風”。
圖1為受迫Duffing方程，，當兩個初始條件相差很小時（如x（0）＝2.01與x（0）＝2.02），解x（t）隨時間的變化和解在相平面（ ）上的相軌跡。
所謂拓撲傳遞特性，是指對于任意兩個區域，在其中一個區域內至少存在一個點，系統從該點出發，經過一定時間后能轉移到另外一個區域。更直接的說，具有拓撲傳遞特性的系統有這樣的一些特點，系統從它的任意小鄰域內出發，最終可以到達其它任何領域，這實際上意味著系統具有遍歷性。同時，這類系統也不能被細分或不能被分解為兩個互不影響的子系統。
周期軌道的稠密性是指在系統吸引子中稠密地嵌入著周期軌道，從數學上講，對于V中的任意一點，要么它是周期軌道，要么在它的任意鄰域內，總存在無窮個周期軌道，且這些周期軌道都是系統的解。從整體來看，混沌系統中看不到單個軌道，而是一簇軌道的保絡，其中稠密地嵌入了無窮的周期軌道。
（二） 通向混沌運動的途徑
通向混沌的道路主要有三條：倍周期分叉道路，陣發性道路和茹厄勒（Ruelle）-塔根司（Takens）道路。
1．倍周期分叉道路。系統運動變化的周期是一種有序狀態，在一定的條件下，改變參數能使系統軌道一分為二，即周期加倍，參數繼續改變，軌道的辟裂就繼續發生，由二到四到八成倍周期增長，最終喪失周期而進入混沌。例如蟲口模型 ， 在大于3以后，即為倍周期分叉通向混沌。美國物理學家費根鮑姆（M.J.Feigenbaum）的發現，是倍周期分叉中最為杰出的研究。為探索混沌的內在規律找到了一條道路。
2．陣發性道路。陣發性表示時間域中系統不規則行為和規則行為的隨機交替現象。在非平衡系統中，某些參數的變化達到某一臨界值時，系統會出現表現在時間行為上的時而周期，時而混亂，在兩者之間隨機震蕩的狀況，最終進入混沌。陣發性混沌最早見之于Lorenz模型，它與倍周期分叉所產生的混沌是孿生姐妹，凡是能觀察到倍周期分叉的系統，原則上都可發現陣發性混沌現象。
3．茹厄勒-塔根司道路。當流體系統發生湍流（混沌）時，其顯著特點是系統同時存在著多種頻率的振蕩。因此由于某些參數的變化使得系統內有不同頻率的振蕩相互耦合時，系統就會產生一系列新的耦合頻率的運動而導致混沌。茹厄勒和塔根司兩人在1971年以及紐豪（Newhause）在1978年分別用實驗證明了實際上在三次分叉后，規則運動就變得高度不穩定而進入混沌，即不動點極限環二位環面混沌。
（三）混沌判別方法
系統是否存在混沌？系統是否處于混沌狀態？這是研究混沌首先遇到的問題。下面主要談三種常用的方法：
1．替代數據法。替代數據法是由 Theiler 等人提出來的。該方法的實現步驟為：首先作零假設（假設所討論的時間序列為線性隨機序列），按照一定的算法由待檢驗序列出發產生出一組既滿足假設條件又保留了原序列的傅里葉（Fourier）功率譜值的替代數據，分別計算待檢驗數據及替代數據的李雅普洛夫（Lyapunov）指數或關聯指數等指標，再根據原序列和替代數據指標的顯著性差異水平，在一定的置信度內決定接受零假設還是拒絕零假設。
2．G-P算法。G-P算法是由Grassberger&Procaccia提出的。計算序列的關聯維數 ，并根據關聯維數的值來判定序列的特性。這種方法的判斷準則是：當D2=1時，系統處于自持周期振蕩狀態；D2=2時，系統具有兩種不可約頻率的準周期振蕩；當D2不是整數或大于2時，系統表現出對初始條件敏感的混沌振蕩。
3．Lyapunov指數法。Lyapunov 指數用于量度在相空間中初始條件不同的兩條相鄰軌跡隨時間按指數律吸引或分離的程度，這種軌跡收斂或發散的比率稱 Lyapunov 指數。
Lyapunov 指數λ實際上就是系統在各次迭代點處導數絕對值的對數平均，它從統計特性上反映了非線性系統的動力學特性。在混沌的診斷中，λ起著非常重要的作用：若λ0（且有限），系統即不會穩定在不動點，也不存在穩定的周期解，同時也不會發散，表明系統進入混沌；分叉點對應于穩定軌跡的邊緣，故λ=0。
此外，判別混沌的方法還有Poincare截面法、功率譜法、分維法和拓撲熵法等，但其核心仍是計算 Lyapunov 指數。
二、混沌的應用方向
混沌現象在現實世界里隨處可見，但直到上世紀混沌現象才被人們發現。盡管混沌理論發展到現在還不是很完善，但是最近幾年混沌應用發展很快，幾乎各行各業中都有人在研究混沌的應用。
（一）混沌控制
混沌控制的基本思想就是人為地利用初始條件的微小變化來保持系統穩定或直接利用這一點來控制系統的狀態。在以下領域混沌都能起到有效的控制作用，如飛機機翼的振動控制、電力傳送系統、渦輪機、化學反應、醫學上的心臟起博器、傳送帶、經濟規劃、電腦網絡、航空航天等。美國航空航天局在1978年發射了一艘飛船，1983年，為了重新設置一顆繞太陽旋轉的彗星的運行軌道，NASA的工程師們運用衛星本身的推進系統、月球對衛星軌道的影響以及太陽本身的擾動，成功地對該衛星進行了重新定位。當時還沒有提出“混沌控制”這個專業術語，但這次事件確實用到混沌控制的基本思想。實際上衛星、月球和太陽組成了一個開始提到的三體問題，即混沌系統，天才的工程師們就是利用了混沌系統對初始條件的敏感性――通過殘存的很少一部分飛船燃料，使飛船自身狀態得到微小變化以達到控制飛船的目的，這在非混沌系統中是不可能的。
（二）混沌同步
混沌同步是指由一個自治的系統出發，構造新的混沌系統，使它們具有共同的同步混沌軌道。1989年Tom Carroll創造了第一個同步混沌電子電路。在工程上設計理想的同步混沌系統還處于起步階段，但有很好的應用前景。通過比較兩個同樣的混沌信號（即混沌同步）可以用于信息加密，也可以通過除去混沌信號而獲知信息的內容，人為產生的服從某些規律的信號還能夠用于信息的傳輸。
（三）混沌的短期預測
嚴格來說我們的世界是一個非線性的世界，混沌現象隨處可見，盡管目前已經對混沌應用作了大量研究，但混沌至今還沒有統一的數學定義，混沌應用更是個全新的學科領域，因此混沌理論及其應用都還有待于進一步探索，也預示著混沌應用具有巨大潛力。隨著人們對混沌認識的不斷深入，將能更好地控制和利用混沌為人類服務，甚至一些用已有的科學知識無法解決的疑難問題都將迎刃而解。
參考文獻
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[3]王磊．混沌系統的控制與同步研究[D]．西華大學，2007．
混沌理論的應用范文2
[關鍵詞] 混沌混沌控制蝴蝶效應混沌吸引子
隨著現代大環境的變化，現代企業所面臨的環境也變得越來越復雜，越來越容易發生不可預料的變化，處在一種有限動蕩或混沌狀態之中。這就要求現代管理者轉換傳統經營觀念，應用現代化的管理理念，在復雜的混沌系統中帶領企業突圍。
一、現代企業管理系統是一類非線性的復雜系統即混沌系統
混沌是一種貌似無規則、類似隨機的現象。其特性之一，是指在確定的非線性系統中，不附加任意隨機因素亦可出現類似隨機的行為即內在隨機性，混沌的另一特點是系統的演化對初始條件十分敏感即初值敏感性。環境在迅速變化，以致于企業高層管理者無法對環境進行正確的把握和掌控，因而會影響其制定正確的發展戰略，從而造成企業管理系統具有內在隨機性、初值敏感性等混沌特征, 所以說企業管理系統是一類混沌系統。
1.內在隨機性。隨機性是指在一定條件下, 系統的某個狀態既可能出現也可能不出現。對一個完全確定的系統, 在一定的系統條件下, 能自發地產生隨機特性。對于一個企業說, 企業管理系統內部充滿了非線性的關系, 比如企業各部門內部之間人與人的關系、部門與部門之間的關系、人員分配關系，工資分配關系等等?？偟恼f來, 企業管理系統就是一個由自由個體通過一定的固定規則和復雜關系構成的耗散結構系統。系統具有自組織和內在隨機的特性。
2.初值敏感性。系統對初值的敏感依賴性是指微小的初值變化就會造成系統狀態的巨大變化, 這也就是所謂的“蝴蝶效應”。這種情況在企業管理系統中大量存在著, 比如系統的組織結構、管理體制及控制方式都沒有大的改變, 而一個微不足道某部門的失誤就會導致巨大的損失, 甚至導致企業的破產;同時一個看似簡單的舉措也會給企業帶來巨大的效益, 例如一次個別人的獎勵，會扭轉員工的工作態度和工作作風，為工作注入了新的理念和活力,收到了意想不到的效果。
二、混沌控制理論在企業管理中的作用
在許多場合，混沌可能是一種不期望的現象，它可能導致震蕩或無規則運行，使系統徹底崩潰。隨著混沌理論的產生和發展，人們認識到混沌是一種只能控制而不能忽略的擾動現象。混沌有不利的一面，但如果人們充分了解它的特性，對不同的混沌系統施加不同的控制，就有可能得到不同的系統學行為，并使其為人類服務。
1.“蝴蝶效應”在企業管理中的作用。蝴蝶效應理論是指在非線性混沌系統中，初始條件的微小變化在宏觀上將會產生系統的不確定性與不可預測性。從更深的層次看,混沌運動的本質特征是系統長期行為對初始條件的敏感依賴性。所謂內在隨機性，是系統行為敏感地依賴于初始條件所必然導致的結果。
“蝴蝶效益”又被人們稱為“鯰魚效應”，應用到企業就是改變系統的初值，利用混沌系統對初值的敏感性達到預想不到的結果。企業管理系統內部充滿了非線性的關系，企業管理系統中也充滿了“蝴蝶效應”,使得企業可以用較小的激勵達到較大的回報成為可能。雖然混沌系統是不穩定、不可長期預測的,但混沌系統具有的內在確定性規律,使得短期預測成為可能。對于一個復雜的系統, 如果精確地定義了初始條件并細致地構造了模擬模型, 就可以做出短期有用的預測。例如,當企業人力資源計劃模型是按月或按年構造時, 就可在幾個月或幾年的時間尺度上做出有用的預測?，F代人力資源管理的傾向是在運用數量分析的同時,加入質量分析, 即請第一線經理人員參與計劃的制定,對數量分析的結果進行修正, 給單純的數字測算賦予實際的內涵,這種結論能夠經受多種復雜因素的考驗,它的短期預測結果比較合乎實際要求。
2.“混沌吸引子”在企業管理中的作用。吸引子是系統被吸引并最終固定于某一狀態的性質,是系統的收斂表現。在混沌系統中,對系統狀態的運動范圍和控制體現出三種不同的吸引子，即點吸引子、極限環和奇異吸引子。點吸引子與極限環吸引子都起著限制的作用，以便系統的形態呈現出靜態的、平衡性特征，故它們也叫做收斂性吸引子。而奇異吸引子則與前二者不同，它使系統偏離收斂性吸引子的區域而導向不同的性態。它通過誘發系統的活力，使其變為非預設模式，從而創造了不可預測性。
企業屬于耗散系統，其內部存在著不穩定性，而耗散系統又想保持其穩定性，這時“混沌吸引子”起到了關鍵的作用。對于一個企業來說，如果合理的培養“混沌吸引子”, 并努力加以控制，一定能提高企業的凝聚力。因此, 企業管理者必須致力于尋找復雜現象背后的某些規律性的東西，進而培育出“混沌吸引子”,這樣一切工作就會有意識或無意識地圍繞其運轉起來, 形成一種向前發展的力量。在激勵機制的設置上要本著以人為本的思想, 在充分分析員工需求的基礎上, 對員工采用多種方式相結合的激勵: 物質激勵方式, 包括工資、獎金、各種津貼及其它福利，從而形成企業人力資源管理的“吸引子”。
混沌理論的應用范文3
[關鍵詞] 小波分解 匯率 混沌 預測
匯率在宏觀經濟政策、商業經營和個人決策制定上的作用越來越重要,這種重要性使匯率預測已經成為國內外學者研究的熱點。然而，匯率系統是一個復雜的系統，它具有復雜的非線性動力系統特征,既受確定性規律支配,又表現出某種隨機現象，因此要做到對匯率進行準確的預測是一個很難的研究課題。
匯率預測問題屬于時間序列預測范疇, 傳統的時間序列分析模型主要是基于線性自回歸(Auto Regression, AR)模型和線性自回歸滑動平均(Auto Regression Moving Average, ARMA)模型，如矢量自回歸模型、雙線性模型以及門限自回歸模型等。這些模型對線性系統具有較好的預測效果，但用于預測匯率這樣的非線性系統時，準確性較差。神經網絡預測方法雖然具有逼近非線性的能力，然而，當用它來預測匯率系統時，其結果并不理想，而且還存在著算法收斂速度、網絡推廣能力等目前難以突破的障礙和困難。
小波分析的提出和發展為研究匯率預測問題提供了強有力的工具。小波變換具有獨特的多尺度分析能力，能將時間序列按不同尺度分解成不同的層次，從而降低時間序列中存在的非線性程度，而使問題變得簡單，便于分析和預測?；诖?，本文提出一種方法，將小波變換與混沌理論相結合，對匯率預測進行研究，以期提高預測的精度。
一、小波分解理論概要
設其傅立葉變換為，當滿足允許條件：
(1)
時，稱為一個基本小波或母小波。將經伸縮和平移后得
(2)
稱其為一個小波序列，式中，a為伸縮因子；b為平移因子。
小波分析的重要應用之一是多分辨分析。多分辨分析是一種對信號的空間分解的方法，在其基礎上，產生了小波分解的Mallat算法。運用Mallat算法，可以將信號一層層進行分解，每一層分解的結果是將上次分解得到的低頻信號再分解成低頻和高頻兩部分。例如，從第一層開始分解，結果有高頻部分D1和低頻部分；接著，對低頻部分進行進一步的分解，結果有高頻部分D2和低頻部分。如此，一直把信號進行分解，經過N層分解之后，原始信號X分解為：
X=D1+D2+∧+DN+AN (3)
式中，D1,D2,∧,DN分別為第1層、第2層到第N層分解得到的高頻信號(又稱細節信號)；AN為第N層分解得到的低頻信號(又稱逼近信號)。
如能對D1,D2,∧,DN和AN進行預測，然后通過小波重構算法即可實現對原始信號的預測。
二、匯率預測研究
匯率價格具有波動特性，由于波動的時間性，其在不同時間上波動的快慢是不同的，即它具有不同的高或低頻特性，利用小波變換的特性能夠撲捉到這種特性，當不能完全展現波動特性時（精度不滿足要求）就需要通過多層次的變換去實現。
本文選取2005年7月22日～2008年11月7日的加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率數據，對匯率進行建模和預測。數據來源于美國聯邦儲備銀行圣路易斯官方網站。
1.小波分解及特征分析
利用小波分解算法，分別對加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列進行五層分解，即將原始時間序列分別分解成低頻部分 和高頻部分 ，分解層數的選擇是根據預測誤差最小而定。加拿大元兌美元和英鎊兌美元日匯率序列分解后的高低頻部分的波形分別如圖1，圖2所示。
文獻已證明匯率時間序列是具有混沌特性的，因此，兩個匯率序列經小波分解后的高頻部分很可能仍然具有混沌特征，需要進行判斷。判斷一個序列是否具有混沌特征，要看這個序列的最大Lyapunov指數是否為正。如果為正，則此序列是混沌的。本文采用小數據量方法分別求取各高頻部分的最大Lyapunov指數，其結果都為正，因此可以判斷兩個匯率序列的高頻部分都具有混沌特性，可通過建立各自的混沌模型進行預測。圖1、圖2所顯示的低頻部分雖然較平緩，然而經過計算，其最大Lyapunov指數仍為正，因此低頻部分也具有混沌特性，也可通過建立各自的混沌模型進行預測。
2.匯率預測
2005年7月22日～2008年11月7日加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率數據，其樣本數量分別為833個，將其分別進行5層小波分解后，分別得到6層時間序列，每層時間序列均有833個數據。由于分解后的時間序列都具有混沌特性，因此，對分解后的時間序列應分別建立混沌模型進行預測?；煦鐣r間序列預測的基礎是相空間的重構理論，因此，首先要通過重構相空間矢量來重構相空間。
小波分解得到的各混沌時間序列可表示為{xk}，k=1，∧K,則重構的相空間矢量為
Vn=(xn,xn-τ,∧,xn-(d-1)τ)(4)
式中τ為時滯時間；d為嵌入維數，可由零階近似法確定;n=J0,J0+1，∧,Nf,且J0=(d-1)τ+1,Nf, 為樣本值個數。由嵌入理論可知，存在一映射F∶RdRd使得
Vn+1=F(Vn) (5)
當時間序列的觀察函數是光滑的且嵌入維數足夠大時，式（5）的動力學行為與重構前原系統的動力學行為是拓撲等價的。在實際應用中，使用一標量方程來代替式（5）的矢量方程，即
xn+1=f(Vn) (6)
式（6）就是對分解后的時間序列建立的混沌模型，根據此模型就可由Vn預測出xn+1。
混沌模型建立后，可以把它用于預測。具體的做法是，每個時間序列的前800個數據用于確定預測模型和優化模型參數，后面33個數據用于實際預測。采用混沌模型對各時間序列分別進行預測，即得各時間序列的預測值。
將分解的各時間序列的預測值應用小波重構方法進行合成，得到的結果就是原始日匯率序列的預測值，即加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列的預測值，各自的預測結果如圖3、圖4所示。
圖3、圖4中，實線為實際值，虛線為預測值，預測均方根誤差分別為0.0260和0.0201,由圖可見預測效果非常好。本文也采用式（6）所示的混沌模型對加拿大元兌美元和英鎊兌美元匯率序列進行了預測，預測均方根誤差分別為和0.2200和0.1232，由此可見本文的方法明顯優于直接采用混沌模型的預測。
三、結論
本文應用小波變換和混沌理論提出了一種匯率建模及其預測的方法，并應用它對加拿大元兌美元和英鎊兌美元的日匯率序列進行了預測。對于匯率這一復雜的時間序列而言，本文對兩種時間序列的預測均方根誤差分別達到和0.0260和0.0201，結果是比較滿意的。本文的結果表明，通過對時間序列的小波分解，進而建立混沌模型并進行預測，再進行小波合成的方法是匯率預測的好方法，具有較高的精度，在匯率預測中具有極大的應用前景。
混沌理論的應用范文4
關鍵詞 復雜網絡；混沌同步；最優控制
中圖分類號 O 482.4 文獻標識碼 A
Optimal Control for Complex Networks Chaotic Systems
MAO Beixing1，CUI Hongxin2
（1.Department of Mathematics and Physics，Zhengzhou Institute of Aeronautical Industry
Management，Zhengzhou，Henan 450015， China； 2.Department of Mathematics and Physics，Henan University
of Traditional Chinese Medicine，Zhengzhou，Henan 450008，China）
Abstract A quadratic objective function was determined in accordance with the constraints of control system energy ，and the optimal control law was proposed based on optimal control theory . Using Lyapunov stable theory ，we proved the asymptotic stability of the complex networks chaotic systems. The example proved the approach is effective.
Keywords complex networks； chaotic synchronization；optimal control
1 引 言
自Pecora 和Carroll于20世紀90年代提出混沌系統的完全同步方法以來，混沌同步研究取得了巨大的進展[1-4]，近年來，混沌同步的應用從物理學迅速擴展到生物學，信息學和保密通信等領域，由于混沌同步在工程技術上的重要價值和較廣闊的應用前景，它一直是非線性科學領域的研究熱點問題之一.另一方面，自然界和人類社會存在著大量的復雜動態網絡，如Internet，電力系統，神經網絡，生物網絡，食物鏈網絡，社會網絡等. 復雜網絡的混沌同步是網絡動力學研究的熱點問題，文獻[5]研究了參數不確定異結構混沌系統的自適應同步控制問題，文獻[6]提出了一種對復雜動態網絡進行故障診斷的方法. 然而現有的方法沒有考慮實際過程中對控制能量的限制. 在實際的控制系統中，控制器的輸出能量總是有限的，并希望所需的控制能量越小越好，因此，針對復雜網絡混沌系統的最優控制更具實際意義. 文獻[7]研究了不確定動態混沌系統的最優控制問題，文獻[8]研究了統一混沌系統的最優控制，基于最小值原理實現了統一混沌系統的鎮定控制，然而，針對復雜網絡混沌系統的最優控制這方面的研究結果則相對比較少，本文考慮到控制系統能量限制的要求，確定了一個二次目標函數，基于最優控制理論給出了復雜網絡混沌系統的最優控制律，利用Lyapunov穩定性理論證明了閉環系統的穩定性，數值結果證明了該方法的有效性.
2 主要結果
考慮復雜網絡構成的混沌系統
3 結 論
在實際的控制系統中，控制器的輸出能量總是有限的，考慮到控制系統能量限制的要求，確定了一個二次目標函數，基于最優控制理論給出了系統的最優控制律，由穩定性理論證明了閉環系統的穩定性，數值結果證明了該方法的有效性.
參考文獻
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混沌理論的應用范文5
關鍵詞：超混沌系統；雙曲函數；同步；非線性項
中圖分類號：O415 文獻標識碼：A
由于超混沌系統具有兩個或兩個以上的正Lyapunov指數，相軌在更多方向上分離呈現更為復雜的動力學特性，使得超混沌系統在混沌保密通信和混沌信息加密等方面具有潛在的應用［1］.目前，超混沌系統的產生與同步技術越來越受到研究者的關注而成為混沌研究的熱點.自從Rssler［2］在1979年發現第1個超混沌系統以來，大量的超混沌系統相繼提出，如王光義等［3］通過在3階Lorenz系統中引入一個外加的狀態變量構造了一個超混沌系統.劉揚正［4］在三維Lü系統的基礎上增加一維狀態構建了一個四維超混沌Lü系統.周平等［5］構造了只包含一個非線性項的四維超混沌系統.可以看出在所研究的眾多新超混沌系統中，由于非線性項的不同導致了系統呈現出不同的超混沌特性，多數研究的非線性項均為系統的不同狀態變量的乘積，對于含有雙曲函數非線性項的系統是否會有同樣的超混沌現象，其動力學行為特性目前尚未有研究.為此，本文在對這類自治系統研究的基礎上，提出了一個新的四維超混沌系統，該系統非線性特征主要依賴于一個非線性二次雙曲余弦項和一個非線性二次交叉項.
湖南大學學報(自然科學版)2012年
第8期余 飛等：含有雙曲函數非線性項的超混沌系統及其同步
Pecora和Carroll［6］在1990年首次提出了混沌同步的原理，由于混沌同步在物理學、信息科學以及保密通信等領域存在重要的應用價值，幾十年以來人們對其進行了廣泛深入的研究，并且提出了用以實現混沌同步的多種方法，如主動和被動控制法［7-8］、線性和非線性反饋控制同步法［9-10］、基于觀測器控制法［11］、滑?？刂品í?2］、自適應完全和反相同步方法［13］、Backstepping方法［14］、基于H∞控制器方法［15］和廣義函數投影同步方法［16］等.最近，文獻［5］提出了一種不刪除驅動系統非線性信息的混沌同步方法，并利用嚴格數學理論證明了該混沌同步方法可行性，但是該方法只適用于2個同結構的超混沌同步，對異結構混沌同步會失效.本文通過對該方法的改進，實現了2個異結構的混沌同步，在同步過程中同樣保留了驅動系統的非線性特性，而且通過調整控制參數，可控制同步收斂速度，使得驅動系統和響應系統能夠快速精確達到同步.
3 結 論
提出了一個含有雙曲函數非線性項的四維超混沌系統，通過對該系統的一些基本動力學特性進行數值模擬和理論分析發現，此超混沌系統在參數變化時具有混沌和超混沌等復雜動力學行為，為應用于保密通信等領域提供了選擇.同時本文在文獻［5］的基礎上，給出了一個不刪除驅動系統非線性項的異結構混沌同步方法，并給予了嚴格數學證明.數值模擬結果與理論分析的一致性表明了該改進的同步方法的有效性和可行性.
參考文獻
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混沌理論的應用范文6
關鍵詞：混沌經濟 研究 發展
混沌經濟學的興起
混沌經濟學(chaotic economics)，也稱為非線性經濟學（nonlinear economics），是20世紀80年代興起的一門新興的學科，是指應用非線性混沌理論解釋現實經濟現象，在經濟建模中充分考慮經濟活動的非線性相互作用，在模型的分析上充分利用非線性動力學的分叉、分形和混沌等理論與方法，分析經濟系統的動態行為，以期產生新的經濟概念、新的經濟思想、新的經濟分析方法，得到新的經濟規律的一門新興交叉科學。
傳統經濟學自亞當?斯密1776年《國富論》問世以來，已逐步在西方經濟學中確立統治地位?！巴耆偁帯笔袌龅淖詣诱{節機制在瓦爾拉一般均衡理論和馬歇爾的“均衡價格論”體系上取得規范的形式，并在經典科學的基礎上建立了一整套分析方法。實際上，傳統經濟學所構建的經濟分析框架，是牛頓力學的絕對時空觀（即均衡流逝的絕對時間和恒等且不動的絕對空間）和拉普拉斯決定的可預測宇宙觀（即一個單一的公式可以解釋所有的現象并結束不確定性）在經濟領域的重現。而從現狀經濟角度看，由于種種意外因素的存在和人類所面臨的不確定性。不確定性是現實經濟運行過程中最主要的特征之一。自然地，混沌學作為一種科學范式也就成為經濟學家們研究經濟系統的復雜性、不確定性和非線性的有力工具，成為社會、經濟、技術預測的有力工具。混沌經濟學 (或非線性經濟學)已經成為當代經濟學研究的前沿領域，并取得迅速的進展。
在文獻中正式使用混沌一詞的是李天巖和Yorke，他們在1975年發表的題為《周期三蘊涵混沌》的文章中對最簡單的數學模型，即只有一個變量的模型，證明了一個重要定理，開啟了近代混沌現象研究的先河。下面我們用f表示只有一個變量的函數略加說明。系統(即f)可能是周期的。同是周期現象有一個周期長短的問題。這個定理的第一部分說明，如果這樣的系統有一個3周期點，即存在初始值x，使得x，f (x)，f2(x)兩兩不等，但x=f3(x)1，它就存在以任意整數為周期的周期點。周期現象重要，但非周期現象更重要。為此我們引進一個術語。對任意初始值或點x，x在f的迭代作用下的軌道，是一個點列。如果這個點列收斂到一個固定的點，即系統向一個固定的目標運行。如果系統不向一個固定的目標運行，情況就變得復雜了。定理的第二部分說明，存在由不可數無窮多點或初始值組成的I的子集合S，其中任意不同兩點在同步迭代作用下的軌道時而聚攏，時而分離。這個現象說明，如果系統的初始值選在S內的點上，那么系統的運行就將是復雜多變的和不可預測的。也就是出現了混沌現象。1982年6月和1983年5月美國經濟學家戴(Day)發表的“非規則增長周期”、“經典增長中顯現的混沌”完成了混沌經濟學理論上、實驗上的突破，以1987年“黑色星期一”為契機，混沌經濟學形成了一股不小的研究熱潮，使混沌經濟學開始步入主流經濟學的領地。
經濟系統的混沌性
在研究對象和研究方法上，混沌經濟學與傳統經濟學都是利用提出假設，利用數學工具通過規范推演和實證檢驗來揭示社會經濟現象的客觀規律；但是由于客觀地認識到經濟系統的非均衡、非線性、非理性、時間不可逆、多重解和復雜性等特點，混沌經濟學在研究和解決問題的具體思維方式和假設前提上以及確切的方法論上，與傳統經濟學存在顯著差異。
混沌經濟學假設關系是非線性的，認為經濟系統所呈現的短期不規則漲落并非外部隨機沖擊的結果，而是系統內部的機制所引起的。經濟系統中時間不可逆、多重因果反饋環及不確定性的存在使經濟系統本身處于一個不均勻的時空中，具有極為復雜的非線性特征。非對稱的供給需求、非對稱的經濟周期波動(現已證明：經濟周期波動呈“泊松分布”而非“正態分布”)非對稱的信息、貨幣的對稱破缺（符號經濟與實物經濟的非一一對應）、經濟變量迭代過程中的時滯、人的行為的“有限理性”等正是這種非線性特征的表現。
混沌經濟學的方法論是集體(整體)主義，即“理論必須根植于不可再分的個人集團的行為”。在混沌經濟學看來，經濟系統由數以百萬計的個體和組織的相互作用所決定，而每一個個體和組織又涉及到數以千計的商品和數以萬計的生產過程，因此，個體行為并非是一種孤立的存在，僅僅完備地認識個體的行為并不能使我們掌握整個經濟系統的演化狀態。運用整體主義的方法論，混沌經濟學在經濟增長、經濟波動、股市漲落、廠商行為、匯率浮動等領域進行探索，得出了經濟波動源于經濟系統的內生機制而非隨機震蕩、非均衡是經濟系統的常態、雜亂無章的經濟現象背后隱藏著良好的結構而非隨機狀態等一系列在新古典個人主義方法論下所無法得到的、更符合現實的結果。
混沌經濟學的時間概念是時間具有不可逆性。認為系統的演化具有累進特征(積累效應)，時間之矢是永遠向上的。隨著時間的演進，系統總是不斷地具有新的性態，絕不重復，原因與結果之間的聯系并非唯一確定的，是一種循環因果關系。因此，混沌經濟學的一個核心命題是“對初始條件的敏感依賴性”(亦稱“蝴蝶效應”)。用通俗的語言來說，混沌系統象一個放大裝置，可以將初始條件帶進的差異迅速放大，最終將真實狀態掩蓋，從而實質上導致長期演變軌道的不可預測性。
混沌經濟學更注重對遞增報酬的研究，認為經濟系統在一定條件下（指系統結構演化的各種臨界值），小效果的影響力不但不會衰減，而且還傾向于擴大。而這種小效果的擴大趨勢也正是由非線性動力系統內的本質特征所決定的。混沌經濟學并不排除理性因素，只是認為那種完全理性的假設是不現實的，只有將理性因素和非理性因素綜合起來考慮才更符合現實。它認為混沌這種表面上看起來是隨機的現象后面隱藏著一定的規律性和秩序，如奇異吸引子、分支、窗口等。混沌學研究的內容就是找出其中存在的規律和秩序，并將事物發展的必然性和偶然性，幾率描述和決定論描述統一起來，最后再將研究結果作為工具去解決實踐中困擾我們的復雜性難題。
受到眾多自然、富有創建性思想體系綜合啟發的混沌經濟學，其思想根基比傳統經濟學觸及更廣的自然科學領域，因而也就開闊了它的經濟研究視野。
混沌經濟學的發展方向
國外的混沌經濟學已涉及經濟周期、貨幣、財政、股市、廠商供求、儲蓄、跨代經濟等幾乎所有經濟領域。鮑莫爾(Baumol)和沃爾夫(E．Wolff)等人從微觀經濟角度研究了混沌經濟問題。1983年他們在考慮企業的研究開發(R&D)支出水平與企業生產增長率之間關系時發現，在R&D支出水平占企業銷售收入的比例到達一定范圍時，企業的生產增長率就會呈周期性或混沌態。1985年，鮑莫爾(Baumol)和夸得特(Quandt)發表了論文“混沌模型及可預測性”，研究了利潤與廣告的關系模型：Pt＝ayt(1一Yt)式中Pt為t時的總利潤，Yt為t時的廣告支出．他們假定廠商按本期利潤的一個固定比例b用于下一期的廣告支出，即Yt+1＝b×Pt，則在a×b＝α的條件下，可得到Yt+1＝α×Yt (1一Yt)；研究表明，這種關系模型經一段時間后，就會出現大幅度振蕩，甚至出現混沌。戴(R．Day，1982，1983)研究了包括人口凈自然出生率、生產函數和平均工資收入的古典經濟增長模型，在最大人口數量時的收入若低于維持最低生活水平所需的收入時，人口的變化將會出現混沌狀態。他和本哈比(Benhbib，1981)還研究了不同消費傾向將會產生不同的消費者行為：窮人的消費選擇很可能是相當穩定的，而富人的消費行為則可能是周期波動的，甚至是混沌的。博爾丁(Boldrin，1988)的研究表明，經濟現象的不規則波動是受到市場力、技術變革和消費傾向三者共同作用下經濟系統內生決定的結果。魯塞(J．B．Rosser，l993)等人以東歐集團國家的經濟變革作了實證說明。中央計劃的社會主義經濟既會出現周期性波動，也會出現混沌，而進入混沌的條件，往往也是將要發生經濟制度變革之時。1992年，底考斯持（D．P．Decoster）和米契爾(D．W．Mitchell)研究了貨幣動力系統混沌問題。布勞克(Brock，1988)、沙因克曼(Schenkman)和萊伯倫(Le Baron，1986)等人提出了用關聯性、“攪拌”、“殘差”等方法診斷經濟時間序列的混沌性。索耶斯(Sayers)、巴雷特(Barnett)和費蘭克(Frank)等人也都在股票證券、外匯交易、期貨等市場產生高頻經濟數據的經濟活動中找到了低維混沌吸引子。這意味著只需少數幾個經濟變量就可以描述這類復雜的經濟現象。
在國內，1987年，旅美經濟學學者陳平用實際數據，計算了分維，從宏觀貨幣指數中發現了維數為1.5左右的奇怪吸引子。自他將混沌經濟學研究引入中國后，1992年楊培才等人在論文“經濟混沌的實例及可預報性”中，用倫敦外匯市場的英鎊對美元周平均匯率的時間序列作為原始數據，研究了外匯系統中的奇怪吸引子，推出了匯價變動的規律性及近期的可預報性。1993年．王軍等在“標準普爾500家指數(S&500)的混沌吸引子”一文中指出了S&500有一個混沌吸引子，其維數為2.33，并論述了該吸引子對資本市場運動的意義。劉洪在《系統工程理論方法應用》論證了道格拉斯生產函數產生混沌的條件。1994年，黃登仕、李后強在《非線性經濟學的理論與方法》一書中．對經濟系統中的分形特征作了較深入研究。他們首次使用非線性經濟學的一些統計方法、預測方法(BDS統計、R／S分析)對香港黃金價格、深圳股市價格等進行了預測和實證研究。現在國內已有越來越多的學者從事混沌經濟的研究工作。如莊新田等運用混沌經濟學的方法，對股票市場的流動性及交易群體數量變動問題進行分析，探討如何實現市場的流動性和均衡狀態。王春峰、康莉等利用混沌經濟學和向量自回歸（VAR）方法，實證分析了我國通貨緊縮的成因及發展趨勢。沈華嵩等根據中國國民經濟的數據，提出確認經濟混沌的理論模型。
今后經濟混沌的研究應從兩個方面加強：要擴大經濟混沌的實證范圍和提高實證的質量；要在經濟系統的動力模型方面深入研究，以期在控制和預測方面有所突破?；煦缃洕鷮W的發展對經濟學的貢獻將是不可估量的，而且將會引起數理經濟學及計量經濟學的變革，從而可能在新的規范下建立包容已往各據一詞的各個學派的統一經濟理論，更好地解釋現代經濟的運行規律。
參考資料：
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