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混沌現象范文1
關鍵詞：時變非線性；DC-DC開關變換器；混沌；開關頻率
中圖分類號：TM401.1 文獻標識碼：A文章編號：1007-9599(2011)07-0000-01
DC-DC Switching Converter Chaos and Application
Meng Junhong1,Zhang Youcheng2
(1. Shenyang Institute of Technology,Automotive Branch,Shenyang11015,China;2.Liaoning Dongmei Commerce Co.,Ltd.,Shenyang110010,China)
Abstract:At present,DC-DC switching power converter of the nonlinear phenomenon of chaos has been developed to control and application.This paper discusses on the DC-DC switching converter in its application,and future prospects of chaotic switching converter applications.
Keywords:Time-varying nonlinear;DC-DC switching converter;Chaos;
Switching frequency
DC-DC開關變換器是一個固有開關非線性系統，因此開關變換器運行中必然存在著豐富的非線性現象。諸如運行狀態的突然崩潰、不明的電磁噪聲、系統運行的不穩定、無法按設計要求工作等。已有的研究表明上述不規則現象是開關變換器中混沌現象的一種普遍的表現[1]。當DC-DC開關變換器工作在混沌區時，混沌的不確定性將導致系統的運行狀態無法預測，從而使DC-DC 開關變換器的控制性能受到極大的影響，甚至完全不能工作。因此要從非線性系統混沌現象的理論高度來探索DC-DC開關變換器運行規律。通過對各種DC-DC 開關功率變換器的混沌現象探索和研究，可以達到如下重要的目的：(1)在變換器設計中優化參數設計，避免有害混沌現象的出現，消除奇異或不規則現象，使DC-DC開關功率變換器穩定工作并在高性能下運行。(2)由于混沌運動中存在很多不穩定的周期軌道，可以采用各種控制策略，控制功率變換器工作在預期的周期軌道上，從而實現周期軌道的快速變換，使DC-DC開關變換器的工作性能實現超常規的提高。
一、DC-DC開關變換器混沌現象的研究現狀
20世紀90年代以來，DC-DC的研究逐漸成為國際上專家研究的熱門課題。然而由于DC-DC開關變換器非線性工作的復雜性，使DC-DC開關變換器的混沌現象的研究工作尚處于理論探索和實驗上的觀察階段。
雖然混沌的概念至今沒有一個統一的嚴格定義，但混沌的基本特征已為人們所普遍接受，這些特征包括有：系統的動力學特性對初始條件極其敏感、存在不穩定周期軌道的稠密集、具有正的Lyapunov指數或有限的KS熵，功率譜連續、具有非遍歷性等。DC-DC 開關變換器是一種時變非線性開關電路，除了穩定工作外， 還可能出現分叉、準周期、混沌等多模式的工作狀態。
二、混沌狀態在DC-DC 開關變換器中的應用
對于實際的功率電源設計者來說，變換器工作于混沌狀態是一種不正常的、不可靠的現象，長期以來總是被回避和抵制。對DC-DC 變換器中的混沌現象產生方式與產生過程的研究有助于人們在設計中避開這種不理想的現象的發生，而使變換器工作于穩定的周期工作狀態。然而，實際上混沌狀態是一種有界的不穩定振動，具有整體的穩定性，因此DC-DC 開關變換器的混沌工作狀態不會對電路產生破壞性的危害。相反，混沌狀態的一些特性(如連續寬帶頻譜、遍歷性、對擾動極其敏感性等)可為人們所利用以獲得某些實際的應用。如擴展頻譜以減弱電磁干擾[2]，利用混沌同步以實現保密通信[3]等。開關變換器的一個明顯缺點是會產生電磁干擾(EMI)，盡管可通過優化設計、濾波及屏蔽等方法可使EMI得到一定程度的減小，但要達到國際電磁兼容標準的要求往往是十分困難的。由于電磁兼容(EMC)標準規定寬帶噪聲在一定程度上是可以容許的，而窄帶噪聲應受限制。因此可通過擴頻技術來減少干擾頻譜峰值，以滿足電磁兼容性要求。通常的方法是對脈寬或開關頻率進行周期調制，但需要增加額外的調制電路。然而可考慮令變換器工作在混沌工作狀態以達到擴頻的目的。因為開關變換器的混沌工作態是一種類似噪聲的非周期工作態，具有連續的寬帶頻譜。盡管仍存在頻譜尖峰，但相對于穩定的周期工作狀態要平坦得多。文獻[2]對峰值電流控制的Boost變換器進行了實驗研究，證實了混沌工作態與周期工作態相比頻譜峰值有較大的減小，平均減小達3.6dB，而且這還沒有采取任何優化手段的結果。但這種擴頻方法也衍生出一些問題，首先是混沌工作態的低頻噪聲功率增加了；其次為了實現擴頻，必須保證變換器有一定的魯棒性。
混沌系統的吸引子中有著極其稠密的不穩定周期軌道，且混沌運動具有遍歷性，這就促使人們設想利用混沌狀態的這些性質實現各周期之間的快速切換，雖然至今人們對這種快速切換在工程上有何應用價值并不十分清楚，但它實際上蘊涵了一種可能的潛在作用。為了使工作于混沌態的DC-DC開關變換器穩定于某個周期軌道上，需要對變換器的混沌工作態加以控制，基于混沌系統具有對微擾極端敏感的特性，可設計出DC-DC開關變換器的各種混沌控制方法。而令混沌開關變換器穩定于其混沌吸引子的某個不穩定周期軌道上所需的控制力是最小的，所以為實現對混沌的控制，首先均要從混沌吸引子的無數個不穩定周期軌道中分辯出需要加以控制的目標周期軌道，然后通過參數擾動法或修正導通時刻的方法使變換器運動軌跡穩定在這個目標周期軌道上。這些混沌控制方法的概念都非常清晰明了，且計算量小，不需構造離散時間映射，具有簡單實用的特點。
經歷了三十多年的研究，DC-DC 開關變換器盡管新的拓撲結構仍有可能不斷出現，但從分析方法和控制方案上來看，已基本趨于成熟。然而，目前對DC-DC 開關變換器的混沌現象及其應用的研究才剛剛起步，技術手段仍然以數值仿真和典型電路的實驗為主，對各種開關變換器電路的研究總是逐個進行，沒有一種統一的混沌分析的理論方法。此外，開關變換器混沌的控制與利用仍為一片未開墾的處女地，其中應用混沌開關變換器實現高頻混沌開關電源，可望使開關電源的EMC 問題得到解決?？傊?，有理由相信控制混沌和利用混沌的前景必定是十分廣闊和無比美好的。
參考文獻：
[1]D.C Hamill and D.J.Jefferies. Subharmonics andchaos in a controlled switched2mode power converter.IEEE Trans[J].Circuits systems,1988,35(8):1059-1061
混沌現象范文2
【關鍵詞】非線性混沌 MATLAB與Fortran共享數據 灰度圖像 流加密
近年來，隨著通信和Internet網絡的發展，網上信息被竊聽，泄露等信息安全問題層出不窮。目前國際上廣泛使用的加密算法主要有兩種：DES和RSA。DES算法運算速度快，但是秘鑰的分發和管理存在很大的困難；RSA算法的安全性高，但是存在秘鑰空間小，運算速度慢的缺陷。要實現圖像流加密的前提是完成圖像與數據之間的相互轉化以及對數據的多層嵌套處理。1949年Shannon證明了一次一密的密碼體制才是絕對安全的，為流加密算法的發展研究提供了理論支持。在本文中，我們就是利用非線性混沌產生的偽隨機數列作為流密碼，在MATLAB與Fortran數據共享中，實現對圖像流加密的。
1 生成混沌序列的步驟
首先我們把MATLAB中數據復制到Excel中，然后將Excel另存為"ANSI編碼"的txt文件以實現MATLAB向Fortran的數據傳遞；在Excel中"打開"txt文件，然后將數據復制到MATLAB的"新建變量"中以實現Fortran向MATLAB的數據傳遞。緊接著我們利用密鑰交換生成混沌序列初值，先將密鑰交換得到的混沌序列初值X0進行Logistic映射，從第M個數開始截取，一直截取到第M+S-1個數，再將這截取的S個數每個均作為正弦平方映射的初值進行迭代N次，最后得到的S個數便組成我們所需要的混沌序列。
2 圖像加密算法
第一步：在MATLAB中將原始圖像轉化為二維灰度值矩陣，并將其導入到Fortran中作為明文序列矩陣。
第二步：通過密鑰交換，獲得混沌序列初值后，經Logistic映射與正弦平方映射，生成混沌序列，并將其轉化為二維矩陣的形式。
第三步：將混沌序列矩陣作用在明文序列矩陣上，生成加密序列矩陣（1）。
第四步：將加密序列矩陣（1）的奇數行與偶數行互換，奇數列與偶數列互換，生成加密序列矩陣（2）。
第五步：將加密序列矩陣（2）的每10行奇偶互換，每10列奇偶互換，生成加密序列矩陣（3）。
第六步：將加密序列矩陣（3）導入到MATLAB中作為灰度值矩陣，轉化為加密圖像進行發送。
3 圖像解密算法
第一步：在MATLAB中將加密圖像轉化為二維灰度值圖像，并將其導入到Fortran中作為加密序列矩陣（3）。
第二步：將加密序列矩陣（3）的每10行奇偶互換，每10列奇偶互換，生成加密序列矩陣（2）。
第三步：將加密序列矩陣（2）的奇數行與偶數行互換，奇數列與偶數列互換，生成加密序列矩陣（1）。
第四步：通過密鑰交換獲得混沌序列初值后，同樣經Logistic映射與正弦平方映射，生成混沌序列，并將其轉化為二維矩陣形式。
第五步：將混沌序列矩陣逆作用在加密序列矩（1）上，得到明文序列矩陣。
第六步：將明文序列矩陣導入到MATLAB中作為灰度值矩陣，便可轉化得到原始圖像。
4 仿真結果及分析
在本文中，我們假設發送方與接收方已提前約定：Logistic映射系數μ=3.99，正弦平方映射系數b=2，經秘鑰交換獲得混沌映射初值X0后，從第200位起取Logistic映射數列，隨后將這一數列進行正弦平方映射迭代500次，最后輸出得到混沌序列。
若雙方經密鑰交換得到的混沌映射初值為0.6，則對一個jpg格式的圖像進行加密和解密，結果如圖1所示。其中左圖為原始圖像；中間為加密圖像；右邊為解密圖像。
若解密方的混沌映射初值X0取值錯誤，解密后將得不到原始圖像，如將X0取為0.61進行解密，結果如圖2所示。其中左圖為原始圖像；中間為加密圖像；右邊為解密圖像。
上述仿真結果表明，基于非線性混沌與數據共享的圖像流加密算法具有很好的保密性，較難破譯。
5 結論
本文提出的算法吸收了密鑰交換的思想，同時利用Logistic映射與正弦平方映射產生隨機性很好的偽隨機序列作為混沌序列，通過MATLAB與Fortran數據共享的方式，對圖像進行流加密。密鑰交換確定初始密鑰的方法提高了密鑰分發與管理的安全性。利用Logistic映射與正弦平方映射相互作用產生的混沌序列，能得到復雜度更高的密文。而將MATLAB與Fortran數據共享來實現圖像加密，節省了大量的時間與精力。結果顯示，該算法具有很高的運算速度，同時加密圖像具有很高的復雜度。在不知道初始密鑰的情況下，進行窮舉法破譯是非常困難的。下一步作者將改進該算法進行彩色圖像加密的研究。
參考文獻
[1]Richanrd Spillman.經典密碼學與現代密碼學[M].北京：清華大學出版社，2005.
作者單位
混沌現象范文3
[關鍵詞]混沌理論信息資源管理信息管理
[分類號]G203
混沌的概念由來已久。在古代巴比倫、印度和中國的神話傳說中，把開天辟地之前的形態稱為混沌。恩格斯說：“在希臘的哲學家看來，世界在本質上是從混沌中產生出來的東西”。柏拉圖把混沌視作物質范疇內的事物?？档?Kant)認為混沌由某種更基本的物質構成，構成的原因則是“多種多樣性”，亦即復雜性?；煦缯嬲蔀橐婚T科學卻是從20世紀60年代才開始的。1961年，美氣象學家洛倫茲在進行數值天氣預報時，意外發現從兩個誤差為千分之一數量級的初始值開始，計算出來的天氣模式差別越來越大，最終變得毫無相似之處。這一意外發現，播下了混沌理論這門新學科的種子。
非線性混沌科學不但在認識論上有重大的哲學意義，在求解基本問題時有重大科學意義，而且在研究生態環境、醫療診斷、經濟發展、科學決策等問題時，都有重要應用價值。將混沌理論(chaos theory)應用于信息資源管理研究將成為一個新的趨勢。信息資源的組織是非線性的，其實質是各信息要素之間相互影響、相互制約和相互依存的一類非線性反饋的系統性組織。混沌(chaos)是信息資源管理的一種本質行為，信息資源管理趨向混沌的特性要求必須對以決定論為指導的傳統管理哲學重新思考。
1 混沌理論對信息資源管理的哲學啟示
混沌理論對信息資源管理的哲學啟示主要體現在以下五個方面：
?簡單與復雜的辯證關系。混沌理論認為簡單中孕育著復雜，從復雜中可以抽象歸納出簡單的規律。信息資源管理雖說是一個較為復雜的工程，信息種類繁多，內容龐雜，關系盤根交錯，無數信息的非線性相互作用使之成為一個復雜的層級系統，但其中的規律也可以用簡單的方式表現。
?可測與不可測的辯證關系。由于信息世界原本處于一種包羅萬象、錯綜復雜、瞬息萬變、迷茫混沌的狀態，無數的信息單元中有無數的非線性相互作用使之成為一個復雜的層級系統，因而要準確地描述信息或精準地預測信息的未來狀況幾乎是不可能的?；煦缋碚撝赋?，混沌并不是簡單的混亂，信息的發展變化并不等于沒有規律可尋，而是被無序的表面遮蓋著的更高層次的有序性?；煦缋碚撘龅木褪且诨煦缰袑ふ页鲂畔㈩A測的規律。
?確定性與隨機性的辯證關系?；煦珉m然難以精確定義，但可以把它看作是確定系統所產生的隨機性?！半S機性”指的是不規則的、不能預測的行為?；煦绲碾S機性是內在的，是確定性系統自身固有的，信息資源管理的不確定性主要來自于三個方面：①信息技術的不確定性，信息技術的變革可以完全改變信息資源管理的模式；②信息生態環境的不確定性，組織外部的信息生態環境處于變化莫測；③信息需求的不確定性，很難預料組織的信息需求。信息資源管理的隨機性在適當的條件下，將以必然的形式從內部產生出來。
?穩定性與不穩定性的辯證關系。信息并不是處于靜止的穩定態，而是在不斷發生和演化著。傳統信息資源管理思維中的那種純粹的邏輯分析和演繹，往往是在構成論意義上而非生成論意義上來考察信息世界的靜態思維，很難反映信息世界的真實狀況?；煦缋碚搫t是將信息定位于混沌狀態?；煦鐮顟B不僅具有整體穩定性，而且還具有局部不穩定性。局部不穩定性表現在初值的“敏感性”，初值“差之毫厘”，結果將“失之千里”?；煦缋碚撚脛討B的思維考察信息狀態，為信息資源管理提供了新視角。
?有序與無序的辯證關系?；煦绮皇羌兇獾臒o序或混亂，而是一種“有序中的無序”。它沒有經典意義上的周期和對稱，表面上沒有明顯的有序，但它卻有跨尺度的自相似性。這種結構是一種典型的有序性，是一種更深刻的變換中的不變性，有序滲透于表面的無序中。在知識經濟時代，數據的無序，并不能說明在組織和管理信息過程中正熵的增加和負熵的減少是一種必然趨勢。信息管理的開放性一方面可以使信息管理從外部環境中吸收負熵；另一方面知識經濟時代可以通過學習來積聚和復合知識及信息。正如喬治?吉爾德(George GiIder，1989年)在《微觀世界》(Mi-crocsrn)一書中所說：“思維征服了微觀世界，超越了所有的熵陷阱，了物質本身”。這表明，后現代的信息資源管理不僅僅是處理信息的機器，更要善于創造出新知識。
2 混沌理論下的信息資源管理價值的定位
混沌現象是宇宙中的一種普遍現象。混沌不同于混亂，是介于有序與無序之間的特殊狀態。以混沌理論的視角將信息資源管理解讀為：信息資源管理的任務是研究如何治理信息源混沌狀態和人們認知活動的混沌狀態，如圖1所示：
信息是數據的高級形態，強調智力和智能，強調運用知識的能力。信息資源管理是一個自組織系統，跟外部系統不斷地交換信息?；煦绗F象是從這個自組織系統內部自發地產生的?；煦缗c有序是矛盾的概念，是對立統一的關系。混沌再現了信息的多樣化和復雜性。信息組織的有序來自信息源的混沌，混沌包含了新的有序結構產生的必要條件和基礎。在混沌的驅動力作用下，信息系統自發組織趨向有序，但是有序的過載又誘發了新的混沌。因此信息源本身一直處于絕對有序與絕對無序中間的混沌狀態，在此命名為混沌1。引入混沌理論要做的就是，在信息源混沌中尋找出不確定性的規律。
人們的認知活動也處于一種混沌狀態，在此命名為混沌2。這是因為，從認知心理學的角度來講：人們對信息資源的認知具有“選擇性注意、選擇性理解、選擇性記憶”的特點。當信息流不斷輸入時，人們選擇性地注意、理解和記憶信息，有可能造成認知結構混亂。從中可以看出，語用信息蘊含于語法信息和語義信息，它來自于有序態，但對用戶的作用卻是無序的，這種無序又不是毫無秩序和規律的。人們的認知過程是一個混沌現象；當信息流不斷輸入到信息接受者的頭腦中時，非但不能使用戶的思維更清晰、更有序和更有規律，反而可能造成他的混亂；而信息接收者基于本身的認知結構，可以對這些信息有所理解也有所歪曲，有所記憶也有所遺忘，有所接受也有所排斥，經過這些無序的過程、混沌的狀態，最后才有可能在新的認識層次上再達到有序。信息資源管理的價值突出表現在，治理信息源的混沌狀態和人們認知活動的混沌狀態。
3 混沌理論下的信息資源管理的維度
信息資源管理的任務是從信息源和認知的混沌狀態找到各種規律。混沌理論有吸引力的方面是提供了把信息資源管理的復雜行為理解為有目的和有結構的某種行為的方法，而不是理解為外來的和偶然的行為。治理信息源的混沌狀態，可以利用混沌理論計量各類
信息的產生、增長、老化以及分布狀態的規律，當然這種規律不是單純的線性關系；在信息的采集、組織、提煉過程中引入混沌理論能在有序與無序的辯證中尋找治理信息源混沌的方法；借助于混沌理論能深入了解簡單與復雜、確定性與隨機性、穩定性與不穩定的辯證關系，有利于在信息分析、預測中尋找信息資源管理穩定的、確定的規律，并把結果通過信息檢索系統傳遞給用戶；有助于用戶理解、吸收信息和知識，有效治理認知活動的混沌。因此，利用混沌理論從信息計量、信息采集、信息組織、信息提煉、信息分析、信息預測、信息傳遞、信息檢索人手，可以分別治理信息源和認知活動的混沌狀態。借助混沌理論從這八個維度構建信息資源管理的框架，如圖2所示：
4 混沌理論下的信息資源管理的框架構建
湯姆?J?彼德斯指出，未來的管理將從控制走向混沌。他認為，人們告別了命令和控制的時代，迎來了一個充滿“好奇、創造力和想象力的新時代”。因此不要試圖去進行指揮控制管理過程，而應去支持資源的分派、知識的再配置和適宜文化的設計?；煦缋碚摓樾畔①Y源管理提供了新的發展契機，借助于混沌理論可以從信息資源的計量與采集、信息資源的組織與提煉、信息資源的分析與預測、信息資源的傳遞與檢索8個維度來改進信息資源管理方法，如圖3所示：
4.1計量與采集
混沌區具有無窮嵌套自相似結構，即該區域內顯示出無窮無盡套迭的彼此相似的結構，任取一個小單元，放大看都具有和原來混沌區整體相似的結構，包含有整個系統的信息。由于信息之間的關系具有多樣性，它們之間的地位有主次差別，因此在信息資源管理的信息采集過程中，可以利用混沌理論從混沌運動的自相似性中尋找信息源的分布規律，按照信息的重要程度賦予相應的權值。權重高的信息應該突出表現，并以之為中心。對于權重較低的信息不應該置之不理，或視而不見，應該通過擴大或縮小它們的語義范圍，尋找與主要信息的聯系，逐漸向權重高的信息靠攏。對于權重很低的信息在采集時也不能完全拋棄，可以作為補充和輔助手段突出主要信息。利用混沌理論采集信息歸納起來就是從混沌運動的自相似性中確定信息片斷之間的語義聯系，判斷信息之間的主次關系，從而找出那些決定事物變化和發展方向的最關鍵的信息要素。在計量信息源的過程中，可以依照此種原理，描述某一區域信息源的特征，將之作為計量整體信息源的參考依據，對信息相互引證關系進行定量描述和統計分析，以便揭示信息源的數量特征和內在規律，為信息采集工作提供指導。
4.2組織與提煉
在信息世界里，兩條信息之間存在著的關系有：非常緊密的關系、完全沒有關系、很接近到幾乎意味著同一件事、分離的但相等及一個擁有比另一個更豐富的信息。將眾多的信息片斷放置或排列在一起，可以明確或隱含地向用戶表達信息之間的關系，可以將這種信息并置或排列后的結果看作是信息集合。信息片斷轉化為信息集合的過程就是信息組織的過程。在信息資源管理的信息組織方面，利用混沌理論研究信息源的相關性、轉化性、離散性和集聚性。從混沌吸引因子的特性中尋找信息組織的方法?；煦缥蜃颖硎疽粋€動態行為最終停留下來又被吸引過來的狀態，是信息源混沌現象的一種內在規律性表現。根據混沌吸引因子所界定的描述混沌現象過程中的變量數目，通過實現信息片斷的分離(信息的區分、分類)、判斷其相關陛，尋找片段之間的語義關聯，將無數的語義片段集聚排列(信息的歸類)、組合整序(信息結構序化)，形成有序的信息內容集合，實現信息的有序組織。更進一層，利用混沌理論提煉混沌吸引因子，將信息集合結構和形態進行轉化，使語義復雜性不斷提高，將低價值的數據提煉為高價值的信息，從而實現信息的提煉。
4.3分析與預測
信息的分析與預測可以幫助用戶減少信息理解和認知的障礙。在以前的信息預測和決策等工作中往往以牛頓范式為指導，即認為時間可逆，任何一個系統，只要知道了它的初始狀態，就可以根據動力學規律推算出它隨著時間變化所經歷的一系列狀態。傳統的預測方法如平均法、線性回歸法等都遵循該原理。然而，對于可能走向混沌的信息系統，長期預測決策注定要失敗，穩定發展中總含有波動，危機間或發生。所以，在信息資源管理中應打破還原論的束縛，在預測和決策中用非決定論方法來分析和處理問題。在信息的分析與預測方面，可以利用混沌管理方法中的混沌動力學預測法、混沌唯象預測法、混沌情景預測法優化信息預測的模型?；煦鐒恿W預測可以從動力學的角度研究混沌產生的條件，分析預測信息未來可能出現的情景性質。唯象預測法根據現象而不依賴確定規律的黑箱理論同樣適用于混沌的信息預測研究。唯象預測法是一種從現象到現象的預測方法，它通過信息現象探討事物的本質，以大量的現象為依據，探討信息的發生和發展規律?；煦缜榫邦A測方法可以通過假定模擬當前的信息環境，預計未來的情景，以更好地分析信息的語法形態、語義功能和語用價值，為決策提供依據。
4.4傳遞與檢索
混沌現象范文4
關鍵字：余弦函數 倍周期分支 混沌
中圖分類號：O174 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（c）-0188-01
從任何初始值出發迭代時，一般有個暫態過程，但當迭代次數很大，即當n∞時，演化會導致一個確定的終態。終態可取無窮多種值，對初值極為敏感，成為不可預測，開始出現混沌現象。在此前終態都是周期的、可預測的，并與初值無關。
混沌（Chaos）是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動。一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測，這就是混沌現象?；煦缡欠蔷€性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象?；煦邕\動的動力學特性已經被證明在描述和量化大量的復雜現象中非常有用，但是，由于混沌系統所固有的系統輸出對狀態初值的敏感性以及混沌系統和混沌現象的復雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰性。
這里我們主要考慮一類關于余弦函數迭代映射的模型
（1）
的倍周期分支問題，其中，均為參數。首先作變換，則可有：。（2）
1 倍周期分支
倍周期分支是指在某個特定的參數值的一側有穩定的不動點，但當參數經過這個特定的參數值變化到另一側時，穩定的不動點變成不穩定的，并同時產生了周期2軌道。在給出我們的倍周期分支結果之前，我們先給出關于倍周期分支存在的判別法：
引理：[1]設是充分光滑的函數，記，如果下列條件成立：（1）；（2）；
（3）；
（4）；那么在處發生倍周期分支。更為詳細的是，在附近存在一個不動的曲線，在一邊是穩定的不動點，而過了以后成為不穩定的不動點；并且存在一條光滑的曲線在點與直線相切，而是關于的函數的圖像。當時，新生成的周期2軌道是穩定的，反之則是不穩定的。
引理給出了函數關于參數在特定參數值處發生倍周期分支的充分條件。下面討論模型（1）也就是模型（2）關于參數發生倍周期分支的條件。
定理1：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。
證明：定義函數，則有
.當時，由于，從而，所以在區間上是嚴格單調遞增函數。又對任意的，都有
所以存在唯一的，滿足。于是對于每一個，都有唯一一個零點與之對應，且關于是連續的。這是因為對于任何，一定有。如果不然，則存在，也就有
。
于是我們根據倍周期分支引理，我們可以知道模型（2）在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。
若固定參數，，，不變，模型（2）對參數也會發生倍周期分支。
定理2：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。
證明：定義函數.
因為
所以存在，滿足。定義一個關于k的函數.由于從而有，所以至少存在一個，使得，得出于是我們根據鞍-結點分支引理，我們可以知道模型在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。
2 結論
根據倍周期分支的判別法，該文分別給出了一類余弦函數迭代映射后關于參數和關于參數發生倍周期分支的充分條件，深刻討論了一類簡單的余弦函數發生倍周期分支的這種復雜動力學行為。而倍周期分支是典型的一條通過混沌道路的途徑。這說明這類余弦函數經過迭代也必然會發生復雜的混沌動力學行為?；煦缡欠蔷€性科學中十分活躍、應用前景極為廣闊的領域?；煦缡潜扔行颍ù颂幹附浀湟饬x下的有序━━對稱、周期性）更為普遍的現象。它向我們揭示出一個形態和結構的嶄新世界。這個看似簡單但又充滿神秘，激勵人們不斷地去探究。
參考文獻
混沌現象范文5
Abstract： This Paper deals with the Henon map， applied to the globally coupled network， a nearest-neighbor coupled network and a star-network three network structures， verifies the chaotic occurrence condition in the three networks. Then analyze the situation of initial-chaotic Henon map in the coupled network， and research in different parameters， the different influences that different coupled networks offer.
關鍵詞： Henon映射；全局耦合網絡；最近鄰點耦合網絡；星型網絡
Key words： Henon map；the globally coupled network；the nearest-neighbor coupled network；star-network
中圖分類號：T391 文獻標識碼：A 文章編號：1006-4311（2013）02-0008-03
0 引言
動態網絡是近兩年人們關注的焦點，因為一個節點可以代表一個個體，一個組織或者一個細胞等，一個邊可以代表我們定義的關系[1]。隨著混沌動力學的不斷興起，對于耦合動力學網絡下出現的混沌現象的研究是一個日益突出的問題，也必將是一個重點問題。Henon映射，在能源預測，化工生產，以及處理湍流現象都有很好的應用[2-3]。為此，我們將二維Henon映射應用在一些耦合網絡中，驗證耦合網絡在疊加中出現混沌現象的條件。將節點數目增加到N個，使其能更好地在比較大型的耦合網絡中得到應用。并在此基礎上，分析不同參數的取值對于Henon映射的影響，不同耦合網絡對于Henon映射的不同影響，并加以比較，進一步闡釋了耦合網絡對于Henon映射的影響關系。
1 Lyapunov指數及Henon映射
1.1 Lyapunov指數 Lyapunov指數是一種描述系統在迭代過程中產生混沌狀態的因子，其數學定義式為
λ=■■■1n■■（1）
其中λ稱為Lyapunov指數，它表示系統在多次迭代中，平均每次迭代所引起的指數分離中的指數[4]。
若λ＜0，則意味著相鄰點最終要靠攏合并成一點，這對應于穩定的不動點和周期運動；若λ＞0，則意味著相鄰點最終要分離，這對應于軌道的局部不穩定。若軌道還有整體的穩定因素，則在此作用下反復折疊并形成混沌吸引子[5]。
對于一個二維映射的迭代，滿足方程式：
xn+1=f1（xn，yn）yn+1=f2（xn，yn）（2）
根據Lyapunov指數定義式，可得
λ=■■■1n■■=■■■1n■
=■■■1n■…■=■1n（λ0.λ1）（3）
即Lyapunov指數LE=■■1nλi，i=0，1，LE1=■1n？姿1，LE2=■1n？姿2其中λ為相應的Jacobian矩陣J=■ ■■ ■的特征值[6]。
1.2 Henon映射 Henon映射是一個典型的二維系統，在能源預測，化工生產，以及處理湍流現象都有很好的應用。[2-3]其迭代格式方程如下：xn+1=1-ax■■+ynyn+1=bxn（4）
其中a與b為參數，在參數不同的情況下，會出現周期性軌跡和混沌[7]。選取參數a=1.2，b=0.3[8]，做出前50個迭代點與Lyapunov指數的關系圖（圖1）。
首先研究參數a與Henon映射的關系。因為yn+1=b*xn，遵循一定的倍數關系原則，可知在b一定的時候，圖像y和圖像x的走勢相同，相差的只是一個系數。故僅需研究參數a與x的關系，可以得知參數a與整個映射之間的關系。（圖2）
由此可以得知，在節點數目一定時，a是屬于（0.0.38）中的某個鄰域內的一個點，迭代過程發生分岔現象不明顯，此過程與節點數目N無關。但隨著a的不斷增大，Henon映射發生了周期性的分岔以及混沌。其次研究參數b和Henon映射之間的關系。在參數a取值使得系統發生混沌時，以及參數a取值使系統不發生混沌時，b點值與Henon映射之間的影響如圖3。
有以上得知，參數b本身的取值不會影響Henon映射在迭代中產生分岔和混沌的結果，只是加強了參數a對于分岔和混沌現象影響的結果。
2 耦合網絡的迭代行為以及混沌的出現
2.1 耦合網絡 如果A=（aij）N×N RN×N代表耦合的配置網絡，如果在節點i和節點j有聯系（i≠j），那么aij=aji=1，否則aij=aji=0，取對角線元素
aij=-■aij=-■aji，i=1，2…N[1]（5）
（1）全局耦合網絡：N個節點的全局耦合網絡，其每兩個節點都具有關聯性，共有■邊。其對應的耦合矩陣A為：A=■（6）
（2）星型網絡：N個節點的星型網絡，只有一個中心節點，每個節點只和中心節點發生關聯，與其他邊不發生關聯。其對應的耦合矩陣A為：A=■（7）
（3）最近鄰點耦合網絡：N個節點的最近鄰點耦合網絡，每個節點只和最臨近的節點發生關聯。其耦合矩陣A為：A=■（8）
2.2 耦合網絡迭代中混沌的出現 在耦合網絡中進行數據迭代，除自身影響混沌性以外，節點和節點之間也會相互影響，影響系數記作c，表示耦合強度。
如果系統是一個離散的過程，第x節點對應的迭代方程為xi（k）=f（xi（k）），則對于固定的耦合強度c，第x+1節點對應的迭代方程為
xi（k+1）=f（xi（k））-c■aijf（xj（k）），i=1，2…N（9）
如果系統是一個連續的過程，第x節點對應的迭代方程為xi（k）=f（xi（k）），則對于固定的耦合強度c，第x+1節點對應的迭代方程為
xi（t）=f（xi（t））-c■aijxj（t），i=1，2…N[1]（10）
假定在連接之前每一個帶參數的節點在初始系統狀態下是不混沌的，但隨著節點數目的增加以及耦合矩陣的迭代次數不同，某些耦合網絡會發生混沌現象。
對于全局耦合矩陣和星型節點矩陣，當網絡結構中節點數的數目增加到一定量的數值時，對應的全局耦合網絡和星型網絡結構可以經過有限次疊加完成從初始的非混沌狀態到混沌狀態的轉變；對于最近鄰點耦合網絡，只要網絡足夠大，系統就不會有混沌狀態的發生[1]。
3 Henon映射在耦合網絡中的迭代
因為Henon映射自身會從從非混沌狀態疊加到混沌狀態，針對這種情況，選取出現混沌效果不明顯的Henon映射（即a的取值很小）在三種網絡中進行結果模擬，映射圖如圖4所示（均以第一個點為例，第一圖為全局耦合網絡，第二圖為最近鄰點耦合網絡，第三圖為星型網絡）。因為節點數過小，在全局耦合矩陣和星型節點矩陣中混沌現象體現的不明顯。
在上述論述中，我們驗證了初始狀態是不混沌的Henon映射在耦合網絡中疊加產生混沌的結果。此時，a的取值過于小。而在一般研究中，我們常采用參數a=1.2，b=0.3條件下的Henon映射[6]，此時Henon映射在初始狀態隨著自身疊加已經出現了混沌狀態。對此，研究不同參數條件下不同的耦合網絡對于Henon映射的不同影響是十分必要的。（圖5、6）
由此我們可以看出，在參數a略大的時候，Henon映射節點和節點之間也會在疊加過程中相互影響，對應的全局耦合網絡和星型網絡結構可以經過有限次疊加增加其混沌性，并且影響十分大：在節點數目一定的時候，疊加一定次數的全局耦合網絡和星型網絡已經接近于無窮；對于最近鄰點耦合網絡，只要網絡足夠大，系統的混沌性不會改變。
4 結論
本文分析了一定數目的Henon映射隨著節點數目的疊加，在不同的耦合網絡情況下發生從非混沌到混沌狀態的改變，驗證了耦合網絡混沌狀態轉變的條件并能夠更實用的應用在大型耦合網絡中.分析不同參數，以及不同耦合網絡同時對于Henon影射的影響，得出：最近鄰點耦合網絡，只要網絡足夠大，初始狀態不發生混沌的系統不會發生混沌現象；初始狀態發生混沌狀態的系統的混沌性不會改變。我們可以在其他條件相同的情況下，更好更合理的利用大型的最近鄰點耦合網絡，使其應用效率達到更高的水平。
參考文獻：
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[5]劉宗華.混沌動力學基礎及應用[M].北京：高等教育出版社，2005.
[6]肖江，唐依民，張煥英.礦區地下水系統演化混沌特性的Lyapunov指數判別[J].煤炭科學技術，2005，33（9）.
混沌現象范文6
【關鍵詞】Lorenz混沌系統；Matlab仿真；模擬電路設計
0 引言
混沌系統對初始值非常敏感，并且具有類隨機性，可控及同步性。近年來，混沌保密通訊、混沌電路及加密發展成為一個前沿領域?；煦缂用艿葢脝栴}首先要解決的問題即混沌電路的設計。本文基于Lorenz混沌系統，分析其基本特性，并進行了電路仿真及模擬電路的設計。
1963年著名的氣象學家E.N.Lorenz研究大氣熱對流運動時發現了一種特殊的混沌現象，即蝴蝶效應。Lorzen吸引子是目前文獻記載最早的奇怪吸引子，因此Lorenz也被成為“混沌之父”。至今， Lorzen系統族的發展雖然有很長的歷史，但是Lorzen系統族豐富的動力學行為依然值得更加深入的研究，并進行更多的應用發展。
lorenz系統的動力學方程為：
■=-σx+σy■=-y+rx-xz■=-bz+xy （1）
式中，x，y和z表示對流強弱，水平溫差和與溫差有關的變量；σ、γ和b則分別為Rayleigh數、Rayleigh數和容器大小有關的參數。當σ =10，b=8/3，γ=28時，lorenz系統出現混沌現象。
1999年，我國學者陳關榮等人提出了一個新的混沌吸引子，即Chen吸引子，它的動力學方程為：
■=a（y-x）■=（c-a）x-xz+cy■=-bz+xy （2）
當a=35，b=3，c=28時，Chen系統產生混沌現象。
2002年，呂金虎提出了LU系統，它的動力學方程為：
■=a（y-x）■=-xz+cy■=xy-bz （3）
當a=36，b=3，c=20時，LU系統出現混沌現象。
這三個系統具有類似卻不相同的動力學行為，被稱為Lorzen系統族[1]，它對于混沌系統的理論研究以及控制、同步、加密應用等都具有重要的意義。
1 Lorenz系統的Matlab仿真
Lorenz系統的參數取固定值，σ=10，b=8/3，r=28，動力學方程為：
■=-10x+10y■=-y+28x-xz■=-8/3z+xy （4）
根據公式（4）提供的Lorenz系統數學模型，利用Matlab軟件進行仿真，仿真結果如圖1所示。
2 Lorenz動力學方程的改進
由圖1的仿真結果觀察得到，x軸范圍為-30V～30V，y軸范圍為 -30V～30V，z軸范圍為0～50V。而一般運算放大器較好的線性工作范圍是-10V～+10V，由此可見，沒有經過變形的Lorenz混沌系統不能采用模擬電路來實現的。這也是Lorenz混沌系統不能實現電路的關鍵原因。下面將Lorenz動力學方程的參數進行調整，使各個輸出端工作范圍限制在-10V～+10V[2-3]。
引入三個全新的變量：
u=■，v=■，w=■ （5）
由相圖可知，x在變化幅度為-30V～30V，取u=■后，u變化范圍是-3V～3V。y軸范圍為-30V～30V，取v=■后，v變化范圍是-3V～3V。z軸范圍為0～50V，取w=■后，w變化范圍是0V～3V，均滿足電路要求的動態范圍。
以u、v、w三個變量表示的Lorenz動力學方程為：
■=σ（v-u）■=ρu-v-20uw■=5uv-βw （6）
既得改進后的Lorenz動力學方程。將變量u、v、w還原為x、y、z，
■=σ（y-x）■=ρx-y-20xz■=5xy-βz （7）
改進后Lorenz系統電路輸出幅值范圍滿足實際電路要求幅值范圍。其中xy乘積項顯示的范圍是近-4V～4V，xz乘積項顯示的范圍是近-4V～4V，yz的乘積項顯示的范圍是近0V～50V。因此，各參數幅值范圍均在-10V～+10V。經過標度變換后，新的動力學方程完全可以符合電路設計的要求。
3 Lorenz系統的模擬電路設計
由改進的Lorenz動力學方程，建立Multisim仿真模型，經過計算確定所需要的電路器件及其參數。該仿真模型使用8個模擬運算放大器，2個模擬乘法器。通過運算放大器，電容及電阻搭建電路實現了三個積分器U2、U6、U8，它們的的輸出端分別是X，Y，Z。乘法器A1輸出端XZ，乘法器A2輸出端是XY，R1=R2=R3=R4=R6=R7=R8=R10=R11=R14 =R15=R16=R17=10k， R5為13k， R9為200k， R13為200k， R18為20k，R20為50k， R21為91k， R12和R19為10k電位器，C1和C3為100nf， C2為910nf。Lorenz系統模擬電路如圖2所示，仿真結果如圖3所示， 得到了理想的仿真效果。
圖2 改進后 Lorenz系統模擬電路
【參考文獻】
[1]黃永念.非線性動力學引論[M].北京：北京大學出版社，2010.
