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微積分在微觀經濟學的應用范文1
關鍵詞 MATLAB軟件 微積分 市場均衡
中圖分類號：G424 文獻標識碼：A
Application of MATLAB in Calculus Teaching for
Economy and Management Specialties
SONG Wenyan
（School of Mathematics and Quantitative Economics，
Dongbei University of Finance and Economics， Dalian， Liaoning 116025）
Abstract MATLAB as widely used mathematical software has been applied in the teaching of calculus. Based on the problem of partial market equilibrium， application of MATLAB in the teaching process for economy and management specialties is discussed. By MATLAB， the combine of mathematical model and practical object can promote students to understand correlative theory and conception effectively.
Key words MATLAB; calculus; market equilibrium
0 引言
近年來，隨著大學數學課程教學改革的不斷深入，各類院校在微積分等基礎課的講授過程中，越來越重視理論知識傳播與實際問題求解的結合。這種教學方式的變化，一方面將較為抽象的數學概念置于某些具體情景之下，賦予其特定的物理學或經濟學等含義，有利于學生理解和對照;另一方面，通過在數學課程中獲得的邏輯思維和數值計算訓練，有利于學生在后續專業課程的學習中，更有效地運用數學工具對具體問題展開量化描述和分析。因此在經濟管理學科的許多微積分教材中，都加入了與導數、極值等數學定義相對應的邊際、彈性等經濟學概念的章節。一些學校在教學過程中還將數學建模和數學實驗課程與現有的數學教學內容融合起來，充分調動學生的積極性，使數學理論得到了更深入的運用。特別是隨著數學軟件在基礎數學課程講授中的使用，進一步豐富了教師的教學手段，也增強了學生在學習過程中的興趣，大大提高了微積分等課程的教學效果。
1 MATLAB在微積分教學中的應用
數學軟件的發展和更新，使其在微積分課程教學中的應用愈加簡便。目前最為常用的數學軟件有MATLAB、Maple和Mathematica。此外還有一些針對不同數學分支開發的專業軟件，例如用于統計問題分析的SPSS和SAS，用于解決規劃等運籌學問題的LINGO等。在本科生的微積分教學中，MATLAB、Maple和Mathematica都是可選擇的操作便捷的軟件，而MATLAB則是運用最為廣泛的軟件之一。①
MATLAB是美國MathWorks公司出品的數學軟件，使用MATLAB可以分析數據、開發算法、創建模型和應用程序。MATLAB強大的數據處理能力，可以幫助教師和學生在微積分課程的講習過程中，更為直觀地理解基本概念。特別是利用該軟件的圖形處理和動畫功能，可使數學課程中數與形的結合在教學實踐中表現得更為生動。
例如，在學習微積分的過程中，學生常常會遇到諸如和等不太熟悉的初等函數。利用MATLAB的作圖和動畫功能，可以幫助他們形成對這些研究對象的圖形認知，進而通過圖形的變化幫助學生理解伴隨著函數自變量趨近于無窮或趨近于某一定點的過程，函數值呈現出無限接近于某一確定數值，或函數值無限增大，或函數值無規律變化的動態特征，加深他們對極限這一微積分中最基本的概念的直觀感受，并能使學生更準確地區分無界變量、無窮大量以及沒有極限的變量等概念。②
又如，在有關常微分方程章節的教學中，可利用MATLAB軟件的微分方程求解函數dsolve和ode等，講解演示可分離變量方程、齊次方程和一階線性方程的求解原理和解析解，同時還可以繪制出上述方程的解曲線和相空間曲線。利用MATLAB的方程求解和作圖功能，既可以避免學生在學習過程中機械地記憶求解相應方程的步驟，又能通過可視化的圖形幫助他們了解在描繪實際問題時，微分方程模型中不同參數的具體含義，以及各個參數的變化會引起的解的變化情況。
2 教學實例
下面，以經濟管理學科類微積分教材中經常所舉的局部市場均衡問題為例，說明MATLAB軟件在微積分教學中能夠發揮的輔助教學作用，以及如何通過該軟件的使用讓學生加深對數學模型的理解，進而培養學生運用數學思維和方法描述和解決實際問題的能力。
經濟學中在討論市場中某一產品的需求、供給以及價格之間的關系時，若能分別對三者建立可量化的函數表達式，則可借助數學工具來分析它們的變化及伴隨的市場現象。局部市場均衡是探討獨立市場、單個商品的價格與供求關系變化的一種方法，它假定在其他條件不變時，一種商品的價格僅取決于自身的供求情況。當該商品的需求價格和供給價格一致時，稱此價格為均衡價格，這時商品的數量亦被稱為均衡數量。③
例 設需求函數為 = （），供給函數為 = （），其中為商品單價。線性局部市場均衡模型可表示為：
這里需求（）和（）供給均設為價格的線性函數。解此方程組易得均衡價格為 = ，商品的均衡數量是 = 。由于通常假定>0，并考慮到>0，所以參數、、和還應滿足>0，并稱為超額需求。模型中價格的變化會同時影響供需雙方的變化，使得市場始終在平衡的打破和建立中動態演化。
在教學中我們可通過選取不同的參數取值在同一坐標系下繪制供求曲線，幫助學生更加直接地觀察局部市場均衡狀態與模型中各參數的依賴關系（如圖1所示）。在此基礎上，可進一步探討價格調整模型。
若假定商品的初始價格恰好是，則市場已處于均衡狀態。然而一般情況下，≠，這樣市場如由不均衡欲達到均衡則須經過一定的調整。在市場調整過程中，價格可視為時間的函數，即 = （）。通常而言，價格變動由市場需求和供給的相對力量支配，可設在時刻時，價格（）的變化率總是與此時的超額需求成正比。于是，建立微分方程模型來刻畫價格的變動： = （）
圖1 線性局部市場均衡模型
其中>0，是調節系數。
聯立上述微分方程模型與局部市場均衡模型，得到價格調整的動態均衡模型：
此處和均為時間的函數。將和的表達式代入微分方程中，整理可得一個一階線性微分方程： + （） = （）。
由一階非齊次線性微分方程的通解公式可得該方程的通解為：（） = [（） + ] = + 。
其中為任意常數，為均衡價格。由初值條件（0） = ，可得 = 。記 = （），將價格調整模型的解表示為（） = （） + 。因和都是常數且>0，于是當+時（）0。借助MATLAB將與不同大小關系下的價格曲線繪制在同一圖像中，可幫助學生發現隨時間推移（）向均衡價格趨近變化的過程。具體而言，若 = ，則（）= ，即市場處于均衡，價格是常數;若>，則當+時，（）小于趨于;若
圖2 價格隨時間的調整變化
3 結束語
MATLAB軟件在微積分教學中的運用，能使抽象的數學理論圖形化直觀化。在經濟管理類的相關課程學習中，能將經濟學概念和數學語言相互貫通。在教學實踐中，教師可以充分運用該軟件的各項功能豐富教學手段并幫助學生學以致用。
注釋
① 薛定宇，陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解（第三版）.北京：清華大學出版社，2013.
