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彈性函數的經濟學意義范文1
關鍵詞數學知識 經濟應用 極限 彈性
中圖分類號:G423文獻標識碼:A
隨著社會的發展,應用數學已經越來越深入、廣泛地滲入到科學技術、經濟生活以及現實世界的各個領域,尤其在現代經濟領域中的應用更加廣泛,很多數學知識,在現代經濟發展、經濟分析中起著舉足輕重的作用。許多經濟學的概念、理論都與數學密切相關。
傳統的數學教學內容體系上要求面面俱到,理論上追求嚴謹,不能適應當今科技快速發展、知識日新月異的時代要求,財經類的學生往往覺得“數學學了沒用”,認為高等數學脫離了他們的生活,從而產生厭學情緒;而老師雖然知道數學在人才培養中的重要作用,但卻苦于無法用實例說服學生,找不到合適的案例,自然也就無法解決學生對數學的厭學問題,那么高等數學到底有什么用呢,下面就數學在經濟領域中的應用簡單舉例說明。
1 復合函數在經濟方面的應用
兌換貨幣值是日常生活中常見問題,把這種推算過程用復合函數來表示,思路則很清楚。
例如:某人準備從中國去韓國旅游,將10000人民幣以1:170的比率換成韓元,但臨時因故去不了, 只好又將換好的韓元以1:0.0059的比率換回人民幣。問此次人民幣再換成人民幣的過程損失多少?
分析:如果首先以人民幣數X作為變量, 韓元數Y作因變量,則人民幣換成韓元的公式是:;又以韓元數Y作自變量,人民幣Z作因變量,則韓元換成人民幣的公式是: ,則從拿出人民幣到收回人民幣的過程是一個復合函數,所以此人約損失了元。
2 極限值在經濟方面的應用
在投資經營某活動中,是按連續復利的方法來計算利息,能比較全面地反映資金的時間價值。
設本金為,年利率,按復利計息,第n年末本利和為:,若一年按t期計息,當時,于是得到連續復利計算公式:。
3 微分的近似計算在經濟方面的應用
在自變量的改變量較小的條件下求函數的增量可近似地用函數的微分來代替,以簡化問題的計算。
例如某公司生產某種產品,月產量為,月收入(元),若每月產量從200件增加到250件時,收入改變多少?
分析與解答:公司月產量增加件, 用來估計收入的增加量(元),即公司以后每月的收入大約增加1000 元。
4 利用導數求解經濟函數最優值
經濟的核心問題是增加利潤,降低成本。成本利潤、收入需求、價格等經濟量,是經濟問題中必須考慮的因素。為了達到利潤最大、成本最小,就要把握最合適價格、最佳銷售量,而這常用到求函數的最大、最小值問題,線性規劃、非線性規劃問題等經濟學中最常見的最優化問題。其實質就是求能夠使目標函數達到極值的選擇變量的值。
例如一房地產公司有50套公寓要出租.當租金定為每月180元時,公寓會全部租出去,當租金每月增加10元時,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花費20元的維修費,問房租定為多少時可獲得最大收入?
分析:可設租金每月元,租出去的公寓有,總收入為,又,令,則得,由于=,因此是函數的唯一極大值點,所以是函數的最大值點,即房租定為每月350元可獲得最大收入,最大收入為(元)。
5 邊際分析
邊際概念是研究經濟學核心命題的基本概念,通常指經濟變量的變化率。邊際是當在某一給定值的附近發生微小變化時的變化情況,它反映了的瞬間變化。利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法, 稱為邊際分析。利用導數研究經濟變量的邊際變化的方法是經濟理論中的一個重要方法,有極為重要的意義。
例如已知生產某產品的總成本函數(元),求生產1200個單位產品時的邊際成本值,并解釋其經濟意義。
邊際成本函數為;時的邊際成本為(元)。
邊際成本的經濟意義是當生產達到1200個單位產品時,如果再多生產1個產品所追加的成本為3元。
6 彈性分析
彈性分析也是經濟分析中常用的一種方法,主要用于對生產、供給、需求等問題的研究。彈性概念用來定量描述一個經濟變量對另一個經濟變量的變化的相對反應速度。
例如已知某商品的需求函數為,求時的需求彈性,并說明其經濟意義;
分析:需求彈性函數:。
當時的需求彈性:。
這說明,在時,價格每上漲1%,則需求減少0.54%;而價格若下降1%,則需求增加0.54%。
彈性函數的經濟學意義范文2
關鍵詞： 導數 邊際 彈性
隨著我國市場經濟的不斷發展，應用數學知識定量分析經濟及管理領域中的問題，已成為經濟學理論中一個重要組成部分。導數是微積分中一個重要概念，它是函數關于自變量的變化率。在經濟學中，也存在變化率問題，如：邊際問題和彈性問題。下面筆者將導數在這兩方面的應用介紹如下：
一、邊際問題
在經濟學中，所謂“邊際”指的是當x的改變量x0時，y的相應改變量y與x比值 的變化。即當x在某一給定值附近有微小變化時y的瞬時變化，也即=y′（x）則稱導數y′（x）是y（x）的邊際函數。隨著x、y含義不同，邊際函數的含義也不一樣，一般分為兩大類：邊際成本和邊際收益。
1.邊際成本
設生產某產品的總成本函數為C=C（q），其中q為產量，則邊際成本MC=C′（q）。其經濟含義是：當產量為q時，再生產一個單位產品所增加的總成本為C′（q）。
在經營決策分析中，邊際成本可以用來判斷產量的增減在經濟上是否合算。
例1：某種產品的總成本C（萬元）與產量q（萬件）之間的函數關系式為：
C=C（q）=100+4q-0.2q +0.01q ，
求生產水平為q=10（萬件）時的平均成本和邊際成本，并從降低成本角度看，繼續提高產量是否合算？
解：當q=10時的總成本為
C（10）=100+4×10-0.2×10 +0.01×10 =130（萬元），
平均成本為 =130÷10=13元/件，
邊際成本MC| =C′（q）| =（4-0.4q+0.03q）| =3元/件。
因此在生產水平為10萬件時，每增加一個產品，總成本增加3元，比當前的平均成本13元低，從降低成本角度看，應該繼續提高產量。
由此例可知，若設p為某產品銷售單價，當C′（q ）＜p時，意味著擴大生產量是盈利的；而當C′（q ）＞p時，擴大生產量反而虧損。因此，企業的經營者應及時準確了解邊際成本的變化情況，并作出正確的科學決策（而不是盲目地一味擴大生產量），從而使企業獲得較佳效益。
2.邊際收益
邊際收益指稍微增加其種經濟活動所帶來的利益的增量。實際上就是收益函數瞬時變化率，從數學的角度來看，它是一個導數問題。
設收益函數R=R（q），其中q為產量，則邊際收益MP=R′（q）。其經濟含義是：在銷售量為q個單位的基礎上，廠商增加一個單位產品q，銷售所獲得的總收入的增量。
當R′（q）＞0時，總收入將增加R′（q）;
當R′（q）＜0時，總收入將減少R′（q）;
當R′（q）=0時，總收入不改變。
二、彈性問題
在經濟分析中，會經常用到彈性分析法，彈性是一個十分有用的概念。一般地說，彈性描述的是因變量對自變量的變化的反應程度，具體的說，也就是要計算自變量變化1個百分比，因變量要變化幾個百分比，即用彈性系數來表示：
彈性系數= 。
我們以需求價格彈性為例介紹，其他的類似可得。
1.需求價格彈性
需求價格彈性表示需求量對價格的反應程度，其彈性系數為：
E =
= = ，
其中Q為某種商品的市場需求量，P為價格。
上式計算出的彈性系數代表兩點間的一段彈性，故叫弧彈性系數。若P0時，由此推出需求曲線任一點彈性系數。即點彈性系數
E= = ? =Q′ 。
根據需求法則，需求量與價格成反向變動。其經濟意義為：當P=P ，若P再增加或減少1%，Q將減少（增加）E%，它反映自變量變化時函數變化的靈敏度。它對市場分析預測和定價策略具有重要參考價值。
不同商品的需求彈性相差甚遠，按照彈性值的大小，作以下劃分：
①|E|＞1，稱為需求富于彈性;
②|E|=1，稱為單元彈性;
③0＜|E|＜1，稱為需求缺乏彈性;
④|E|=0，稱為需求完全缺乏彈性;
⑤|E|∞，稱需求量完全富于彈性。
最后兩種是極端情況，需求完全缺乏彈性的商品無論價格高低，需求量都不會改變；而需求完全富于彈性的商品價格在現行水平上稍微提高一點點，需求會立即下降至零。在現實生活中，極端情況很少見。下面舉一個例子來說明需求價格彈性的經濟意義。
例2：假設某市場上A、B兩公司是生產同種有差異產品的竟爭者，且市場上對A、B兩公司產品現有需求量已達到飽和，市場上A公司的需求函數為Q =400- P ，B公司的需求函數為Q =300- P ，兩公司的銷售價格分別為P =400元，P =500元，①求A、B兩公司的需求價格彈性并說明其經濟意義。②B公司的價格降價到400元時，這種行為選擇合理嗎？此時，A公司由銷售量減少而損失多少？
解：①由，P =400，P =500，得
Q =400- ×400=200，
Q =300- ×500=200，
從而市場上對該產品的飽和需求量為Q +Q =200+200=400。
A公司的需求價格彈性E = ? =- ? =-1。
由于|E |=1，所以當P =400時，該商品是單元彈性，此時價格上漲1%，將引起需求量下降1%。
B公司的需求價格彈性E = ? =- ? =- ，
由于|E |= ＜1，所以當P =500時，該商品是需求缺乏彈性，此時價格上漲1%，需求量下降 %。
②B公司在P =500時需求價格彈性|E |= ＜1，即需求缺乏彈性，降價會減少銷售收入。
因為降價前，B公司的銷售收入R =500×200=100000，降價后，當P =400時，Q =300- ×400=220，則B公司的銷售收入R =400×220=88000。
顯然R ＜R ，B公司降價減少了它的銷售收入，所以對于B公司追求銷售收入最大化的目標而言，它降低在經濟上是不合理的。
另外，降低前A公司的銷售收入R =400×200=80000，降價后，由于該產品的飽和需求為400，所以Q =180，則A公司的銷售收入R =400×180=72000，損失80000-72000=8000元。
三、結語
對于企業來說，進行邊際分析和彈性分析是非常重要的，企業如果離開邊際分析而盲目生產，就會造成資源的巨大浪費；企業如果離開需求價格彈性分析，就不可能達到利潤最大化的目標。導數作為邊際分析和彈性分析的工具，可以給決策者提供客觀、精確的數據，從而作出合理的決策。
參考文獻：
［1］黃亞鈞，郁義鴻.微觀經濟學［M］.高等教育出版社，2000.
［2］中國人民大學數學教研室.微觀經濟數學應用基礎（一）［M］.中國人民大學出版社，1982.
彈性函數的經濟學意義范文3
【關鍵詞】生產函數 科技進步 經濟增長 貢獻率
隨著科學技術的高速發展，科學技術對經濟增長的作用越來越明顯。因此，深入研究科學技術進步和經濟增長的關系，正確認識和評價科技進步在經濟增長中的作用，并作出定量的分析，是具有重要的理論意義和實際意義的。本文以青島市為實證研究的對象，采用“柯布－道格拉斯（C－D）生產函數”和索洛“增長速度方程”相結合的生產函數法就青島市科技進步對第三產業的影響進行了測算。
一、科技進步貢獻率的測算方法
丁伯根改進的C－D生產函數模型的形式為：
Y=A0emtK?琢L?茁?滋
其中：Y表示產出量，A0為初始科技水平，m為科技進步參數，t為時間，emt稱作綜合科技進步因素，K表示資本投入，?琢表示資本的產出彈性，L表示勞動投入，?茁表示勞動的產出彈性，?滋是隨機誤差，代表了估計的誤差水平?琢+?茁=1（0
將丁伯根改進模型兩邊取自然對數，得到：
1nY=1nA0+mt+?琢1n（K/L）
又由于產出彈性存在關系：?琢+?茁=1，可令?茁=1-?琢，代入上式則有：1n（Y/L）=1nA0+mt+?琢1n（K/L）
1957年美國經濟學家羅伯特?索洛（R?M?Solow）從技術變革和總量生產函數中提出的估計科技進步對經濟增長的貢獻的經濟計量模型（即“索洛余值法”），被經濟學家們認為是科技進步經濟學的經典之作，在世界各國的長期經濟增長研究中得到廣泛的應用。
索洛增長速度方程為：?琢=y-?琢k-?茁l
其中：y表示產出的年平均增長速度；?琢表示科技進步速度；k表示資金投入的年平均增長速度；l表示勞動投入的年平均增長速度。
二、測算指標的確定
產出量Y是第三產業按照不變價格計算的各年增加值；投入的資本量K是第三產業按照不變價格計算出來的各年固定資產投資額；投入的勞動量L是第三產業各年的從業人數。
測算科技進步對經濟增長的貢獻率，必須首先確定資本和勞動的產出彈性系數?琢、?茁。根據有關資料，目前確定資本和勞動產出彈性系數的方法主要有三種：一是經驗估計法。依據國家計委、國家統計局1992年聯合的《關于開展經濟增長中科技進步作用測算工作的通知》要求，首先將資本的產出彈性系數?琢設定為0.3，然后再利用公式對其進行修正，勞動的產出彈性系數?茁則利用關系式?琢+?茁=1導出。此法比較簡單，但是由于全國各地的發展水平不同，生產規模報酬形式不確定，?琢值會有較大的差別，因此準確性較差。二是回歸法。直接應用C－D生產函數（包括丁伯根改進模型），運用計量經濟學原理對?琢、?茁進行回歸估計，這是最經典的方法。三是比值法。利用與資本投入量和勞動投入量有關的數據計算兩者的比值。如，從收入法的角度看，國內生產總值由勞動者報酬、固定資產折舊、生產稅凈額和營業盈余四個部分組成。勞動者報酬為勞動的收入，固定資產折舊和營業盈余可以看作是資本的收入，而生產稅凈額則為勞動和資本共同創造的收入。假定生產稅凈額中資本和勞動的貢獻份額分別為?琢和?茁，勞動的產出彈性系數為：?茁＝勞動者報酬/（勞動者報酬＋固定資產折舊＋營業盈余）。但是該方法涉及的數據以往統計部門未進行統計，不便于使用。對上述三種方法進行對比，本文采用第二種方法，即回歸法來估計產出彈性系數
三、青島市科技進步對第三產業貢獻率測算的實證分析
本文所采用的各項數據資料主要來自青島市各年度的《青島統計年鑒》。選取的樣本區間為1990-2005年。在測算科技進步對經濟增長的作用時，必須對產出和投入指標做出統一規定，消除價格變化的影響，保證統計數據口徑的一致和結果的可比性。本文將產出和投入的數據都換算成以1990年為基期不變價的指標數據。
參照《青島統計年鑒》，選取1990-2005年的相關數據作為樣本，得到表1。
對表1中的投入與產出數據按照上述數據處理原則，進行相應的可比價格調整，并運用SPSS統計軟件進行回歸分析，得出回歸方程為：
經檢驗，回歸方程通過了所有的統計檢驗。于是，青島市第三產業增加值的生產函數模型為：Y=2221.638e0.084tK0.148L0.852?滋
索洛增長速度方程為：
?琢=y-0.148k-0.852l
根據年平均增長速度計算公式和索洛增長速度方程，測算出各要素在經濟增長中的貢獻率（見表2）。
四、結論與分析
隨著社會的進步和經濟的發展，推動經濟增長的主要力量逐漸由原來的物質要素轉向科技進步因素，經濟的增長越來越依賴于科技的進步和創新。在國際經濟理論界，通常將科技進步對經濟增長的貢獻率作為衡量一個國家或地區經濟增長方式的重要指標。如果科技進步對經濟增長的貢獻率超過勞動力投入和資本投入的綜合，即該指標大于50％，則可以認為該國家或地區已經進入集約型經濟增長階段；相反，則被認為尚處于粗放型經濟增長階段。根據本文測算的結果，青島市自20世紀90年代以來，科技進步對第三產業經濟增長的貢獻率已經超過了50％，達到了55.8％，說明青島市的第三產業已經進入了集約型經濟增長階段。
根據測算結果可以發現，1990-2005年間青島市經濟的科技進步貢獻率并不穩定，十五時期與九五時期相比存在較大波動。對于一定的經濟增長，當投資大幅度增加時，科技進步貢獻率就會迅速減少；相反，當投資減少時，科技進步貢獻率就會增加。十五時期通過快速增長的投資規模來拉動經濟增長，盡管經濟增長速度上去了，但是卻壓低了科技進步貢獻率。十五時期青島市第三產業的科技進步對經濟增長的貢獻率為48.6％，低于50％，說明青島市在十一五時期應該適當控制固定資產的投資增長速度。
從一個較長的時期來看，科技進步對第三產業的貢獻率已超過了50％，表明第三產業已經進入集約型經濟增長時期。從不同時期來看，九五時期科技進步對經濟增長的貢獻率最高，十五時期出現了下滑，說明通過擴大投資拉動經濟增長必然帶來降低科技進步貢獻率的副作用。
【參考文獻】
[1] 趙國慶：計量經濟學（第二版）[M].北京：中國人民大學出版社，2005.
[2] 劉達民、程巖：應用統計[M].北京：化學工業出版社，2004.
[3] 潘德均：技術進步與經濟效益德科學測度方法[J].科技進步與對策，1993（2）.
[4] 陳偉、羅來明：技術進步與經濟增長的關系研究[J].社會科學研究，2002（4）.
彈性函數的經濟學意義范文4
一、彈性理論與方法
（一）什么是彈性和彈性分析
1.彈性的統計含義和數學意義
在統計分析中，彈性系指當變量之間存在依存關系（即相關關系）時，一變量對另一變量變動的反映程度。用統計術語講，彈性是一個相對數，它衡量某一變量的相對變動所引起的另一相關變量的相對變動，其大小是兩個變量變動相對數（增減率）之比的相對量。通常用系數表示，習慣上稱之為彈性系數。
彈性作為一種數量分析方法，它與導數緊密相聯。把社會經濟現象中的彈性問題抽象為數學的彈性范疇，使其有個確定的計算方法，從而可以比導數更有效地應用于統計分析中，只要確定了變量間的函數關系，根據需要就可以應用彈性方法。
由此可見，二者都反映了y的變化對x的變化的反映或依存關系。但導數只反映x、y的值各自變化了多少，與原有x、y的基值無關。而彈性則反映了x、y各自變化的增減率，與x、y的基值有關。如果說導數是y于x的絕對變化，那么彈性就是y于x的相對變化。
2．彈性分析的特點
從以上分析可知，彈性是就兩個變量而言，研究兩個變量之間相互聯系和相互影響的。
彈性的另一特點是，它是一個與被衡量對象的計量單位無關的數，即是一個無量綱的數。
（二）彈性的分類
彈性按不同的標志可分為不同的類型，在統計學中主要有三種：
1.按計量方法的不同可分為比例彈性、點彈性和弧彈性。
（1）比例彈性是彈性的最基本形式，是兩個變量的變動比例之比。其公式表示為：
統計分析中的彈性通常是按比例彈性計算的，反映的是一段時期內兩個變量之間變動反映程度的平均水平。但如果起始點不同會導致彈性值不同，從而使相應于同一變化幅度的彈性值也不同。
顯然，比例彈性不能一致地反映變化幅度相同而起始點不同的兩個變量之間的變動比例之比，為此我們引入弧彈性。
（2）弧彈性是指一函數在某一區間的平均彈性。常用的方法是用某一區間變量值的基期值與報告期值之平均來計算的，中點公式（用上例）為：
可見，變動幅度相同而起始點不同兩個變量之變動比例的比即彈性值相等。
（3）點彈性是比例彈性的一種特例，是它的極限情形。仍以需求價格彈性為例，比例彈性為：
顯然，點彈性就是某一點的偏導數乘以兩個變量的比。在統計分析中，根據已知數字模型通過求導可求所求彈性。
2.按彈性值的大小可以分為零彈性、低彈性、高彈性、單位彈性和無窮大彈性。
零彈性是指某一變量對另一變量的變化完全無反應，其幾何意義在于無論價格上升或下降多少，需求量都保持不變。例如當收入水平低時，人們對高檔消費品的需求彈性。
與零彈性相反的情形是無窮大彈性，即某一變量對另一變量的變化有很大的反應性，在顯示生活中這種情形幾乎不存在，可作為一種彈性極限來理解。
低彈性通常是指彈性值小于1的彈性，介于低彈性與高彈性之間的單位彈性，其彈性值剛好等于1，表明兩個變量是按同一比例變動的。這是一種極特殊的情況，為彈性分析提供了一個量的界限。
3.按所研究的對象不同可分為需求彈性、供給彈性和產生彈性等。
二、彈性方法在經濟統計分析中的應用
（一）彈性分析的應用
自1838年法國物理經濟學家古諾（A.A.Cournot）提出彈性思想以來，迄今有一百五十多年的歷史，統計界把它視為“只描述現象，不揭示本質?！?/p>
（二）經濟統計分析中的幾種常用彈性
1.需求彈性分析
需求彈性是研究相關因素（如價格、收入）變化對需求變化的數量關系極其變化規律的。其分析方法是先建立需求函數，以反映需求量與價格（或收入）的數量關系，然后根據需求函數求得需求彈性，對我們合理制定和調整價格具有重要的經濟意義。
在統計分析中，不僅要揭示需求價格彈性的規律，還要分析影響其變動的原因。歸納起來有以下幾點：
（1）用戶對商品的需求強度，她與需求價格彈性呈反向變動，因此，生活必需品彈性小而高檔、奢侈品彈性大；
（2）商品可代替程度，它與需求價格彈性是同向變動；
（3）商品用途的廣泛性也是同向變動；
（4）商品使用壽命的長短也與彈性同向變動；
（5）其它，如用戶收入水平、區域差異、消費習慣也會影響彈性的大小。
需求交叉彈性就是當一種商品的價格需求量變動時，另一種商品需求量的反應程度。用公式表示為：
需求收入彈性是用來分析消費者收入變化與需求量變化的數量關系及其規律的。它是指商品的需求量對消費者收入變化的反應程度：
2.供給彈性分析
同需求一方一樣，供給與價格和收入之間也存在相互依存關系，也可進行彈性分析。與價格之間的彈性稱供給價格彈性，與消費者收入之間的彈性為供給收入彈性。
供給價格彈性是反應價格變化后供給量變化的反應程度，用公式表示：
影響供給彈性大小的因素從這幾個方面來看：生產的難易程度；生產規模的大?。簧a成本的大小及其變化。
與供給價格彈性對應的是供給收益性，其公式表示為：
其分析情況與前面分析基本一致，不再重述。但還有一種情況，在農民家庭收入由低變高的情況下，對那些自給程度大、供給商品率不變的商品生產者來說，農民收入增加后，商品供給量反而有減少的現象。
3.彈性分析
能源彈性對于經濟預測、制定計劃等方面均有重要作用，它可以反映許多經濟指標和能源之間的技術經濟聯系。由于能源有生產量與消費量之分，則相應有能源生產彈性和能源消費彈性。在我國，能源消費彈性與能源生產彈性基本處于相同水平，二者的基本計算公式為：
它表明經濟發展對能源消費（或生產）增減度變化的反映程度，在一定程度上說明了能源利用程度和節能潛力的大小。
如果能源彈性＞1，則一般在1.2～1.9之間，說明能源利用水平、技術裝備和生產工藝水平還不高；
如果能源彈性＜1，一般在0.46～0.88之間。說明隨著經濟的發展、能源科研的深入、經濟結構的改變、節能措施的采用和能源管理水平的提高，能源的利用效率在不斷地提高，又會導致能源需求量的增長慢于經濟的增長，能源彈性普遍下降。
參考文獻
1.《市場營銷管理教程》吳曉云 天津大學出版社 2004年
彈性函數的經濟學意義范文5
【關鍵詞】 總量生產函數 技術變化 資本存量 資本份額
一、理論基礎
在估算我國總量生產函數之前,本文提出三大假定:第一,生產中只有兩種生產要素投入,即資本和勞動;第二,兩種生產要素都是以其邊際產品償付;第三,技術進步屬于中性技術進步,即當生產過程中存在技術進步時,資本和勞動的邊際替代率保持不變,只是增加或減少給定投入所獲得的產出。雖然這三個假定條件比較苛刻,但是對于描述我國總量生產函數還是比較有意義的。
一般的生產函數形式可以寫成:
Q=AtF(K,L) ………………………………………………(1)
其中,Q,K,L分別表示產出、資本存量和勞動投入量,At表示第t 期的中性技術進步,是一段時間內技術進步的積累效應。
公式(1)兩邊同時除以L,并令=q,=k有:
q=AF(k)……………………………………………………(2)
對公式(1)進行全微分,并除以Q可以得到:
=+wk………………………………………………… (3)
其中,點“•”表示對時間的導數,,表示資本的收入份額。
因此,要得到生產函數的形式,可以分兩步走:第一步,通過公式(3)計算得出A;第二步,通過公式(2)得出F(k)的準確形式。從公式(2)和(3)可以看出,得到生產函數需要以下三方面的數據:單位勞動產出q、單位勞動資本k和資本收入份額wk。
二、生產函數估算
本文采用國內生產總值作為產出的度量,采用國家統計局每年公布的按城鄉分就業人數中的總就業人數作為就業人數的度量,采用郭慶旺、賈俊雪(2005)估算的1978-2004年資本存量數據作為資本存量的度量。由于我國統計年鑒中沒有將總產出分解為資本收入和勞動收入,獲得資本收入份額的數據具有相當大的難度,因此采用(1-wι)作為為資本份額的近似度量,其中wι表示勞動份額,wι的計算方法是:城鎮人口勞動收入和鄉村人口勞動收入之和作為勞動收入總額,再除以名義GDP。
(一)技術變化
圖1反映了我國1979-2004年的技術變化。由圖1可知,技術變化圍繞著零值不斷上下波動,因此我們可以得出,技術變化實際上在時間上是比較穩定的。1978-2004年,人均產出從0.0908萬元增加到0.4846萬元,增加額為0.3938萬元。當不存在技術變化的時候,人均產出在2004年為0.3368(0.4846/1.4390)萬元,則人均產出增加0.3938萬元中有0.2478(0.3368-0.0908)萬元是人均資本存量的增加所致,百分比為62.93%,則有37.07%是由于技術進步所致。
(二)生產函數
前面我們通過計算出了At,則由公式(2)我們可以得出不包含技術進步的人均產出。圖2給出和k的關系圖,橫軸表示人均資本存量,縱軸表示不包含技術進步的人均產出。可以看出,和k之間存在著一定的曲線關系,同時存在著非急劇的規模報酬遞減特征。因此,我們可以將生產函數設定為:
ln()=α+βln(k)………………………………………(4)
運用OLS得出生產函數為:
ln()=-1.26+0.51ln(k)…………………………………(5)
從公式(5)可知,資本的邊際報酬遞減,但是曲率不是很大。同時,資本的產出彈性等于0.51,即當人均資本每增加1%的時候,產出增加0.51%。
五、結論
當生產中只有資本和勞動兩種要素、且要素按照邊際報酬償付以及技術變化屬于中性技術變化時,我們可得出以下結論:(1)技術變化實際上在時間上是比較穩定的;(2)1978-2004年,人均產出增加0.3368萬元,其中技術進步的貢獻是37.07%,而剩下的62.93%是由于資本投入量的增加;(3)我國生產函數存在規模報酬遞減的特征;(4)資本的產出彈性等于0.51,略高于勞動的產出彈性。
參考文獻:
[1] R.Solow ,”Technical Change and the Aggregate Production Function” ,Review of Economics and Statistics ,August 1957.
[2] 郭慶旺、賈俊雪:《中國全要素生產率的估算:1979-2004》, 經濟研究,2005(6)
[3] 李斌、曾志雄:《中國全要素生產率變動的再測算:1978-2007 年》,數量經濟技術經濟研究,2009(3)
作者簡介:
彈性函數的經濟學意義范文6
［關鍵詞］柯布―道格拉斯生產函數；彈性；多元回歸模型
［中圖分類號］F830. 33 ［文獻標識碼］A ［文章編號］1005-6432（2011）26-0105-03
1 引 言
生產函數是描述生產過程中投入的生產要素的某種組合同它可能的最大產出量之間的依存關系的數學表達式。這里的“投入的生產要素”是生產過程中發揮作用,對產出量產生貢獻的生產要素,包括了技術、資本、勞動等投入要素；“可能的最大產出量”指這種要素組合應該形成的產出量,而不一定是實際產出量。本文正是運用生產函數來分析北京市地區GDP和資本、勞動力等投入要素的數量關系。
2 模型的構建
2.1 變量選取和數據調整
根據柯布―道格拉斯生產函數,選取北京市1990―2007年的地區生產總值為因變量,地區固定資產投資和從業人員為自變量。根據地區GDP頻減指數和固定資產投資價格指數對名義GDP和名義固定資產投資進行調整,得到實際GDP和實際固定資產投資,調整后的數據見表1。其中Y表示：北京市地區GDP；L表示：北京市固定資產投資；K表示：北京市從業人員。
2.2 方法簡介
著名的柯布―道格拉斯生產函數，是美國數學家柯布(Charles W. Cobb）與經濟學家道格拉斯(Paul Douglas）根據歷史統計資料，研究了1899―1922年美國的資本與勞動力數量對制造業產量的影響后提出來的,其形式為Y=AK^αL^β。式中：L代表勞動力投入量；K代表資本投入量；Y代表產出量；A為效率系數，是廣義技術進步水平的反映,為正常數；參數α,β分別是資本與勞務的產出彈性,為小于1 的正數。這里取消了方程一階齊次的假設，允許要素產出彈性之和大于1 或者小于1，由參數的估計結果決定。柯布―道格拉斯生產函數具有較為廣泛的適用范圍，它可用來描述一國總的投入產出關系,也可用來模擬單個企業或部門的生產情況，在經濟理論研究與政策分析評價中占有相當重要的地位。
2.3 構建模型
估計北京市柯布―道格拉斯生產函數：Y＝AK^αL^β,其中Y表示北京市地區GDP；L表示北京市固定資產投資；K表示北京市從業人員。首先對模型線性化,兩邊取對數LnY=LnA+αLnK+βLnL,利用E-views軟件繪制的LnK、LnL與LnY的圖形,見下圖,可以看出LnY與LnK、LnL存在線性關系,可以進行線性回歸。
線性回歸圖
2.3.1 樣本回歸方程
將表1輸入E-views軟件進行多元回歸分析,得到的結果見表2。
(2)方程顯著性檢驗
①F檢驗
在α=5%的顯著性水平下,服從自由度為(2,15)F分布,查F分布表的F0.05(2,15)=3.68估計出的F值=194.19548>3.68,所以拒絕0假設：α=0,β=0,即模型的線性關系成立,模型通過方程顯著性檢驗。P值的含義：使0假設被拒絕的最小的顯著水平。
②t檢驗
在α=5%的顯著水平下,服從自由度為15的t分布,查t分布表得t[SX(]a[]2[SX)]=2.131。估計出的t值分別為(-1.55981)、(10.56384)、(2.359725)。即[JB(｜]1[JB)｜]>2.131,所以α通過了5%顯著性水平檢驗，拒絕0假設α=0；[JB(｜][AKt^]2[JB)｜]>2.131，所以β通過了5%顯著性水平檢驗，拒絕0假設β=0 ；而[JB(｜][AKt^]0[JB)｜]>2.131,所以LnA也通過了5%顯著性水平檢驗,拒絕0假設LnA=0。P值的含義：使0假設被拒絕的最小的顯著水平。
2.3.3 違背古典假設的情況檢驗
(1)多重共線性的判定
模型的R2值與F值均較大,且格參數的t值均通過了α=5%顯著性檢驗(見表4),且E-views軟件顯示的相關系數矩陣(見表3),解釋變量的相關系數很小,故認為解釋變量之間不存在多重共線性。
(2)異方差的判定(懷特異方差檢驗)
違背古典假設的情形之一是隨即干擾項的異方差性,即相對于不同的樣本點,也就是相對于不同的解釋變量觀測值,隨即干擾項具有不同的方差,檢驗異方差,也就是檢驗隨機干擾項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性。本文運用懷特檢驗來檢驗異方差,檢驗結果見表4。
2.3.4 自相關的判定(D.W.檢驗)
在α=5%的顯著水平下,k=3,n=18的D.W.檢驗的上下限查表得dl=1.05,du=1.53，D.W.值為d=2.387463(見表4)du
2.4 結論分析
2.4.1 方程設定良好
該回歸模型的擬合值和調整后的擬合值均很好且通過了t統計和F統計檢驗,同時回歸模型不違背經典假設,說明該多元回歸模型從理論模型的設計到樣本的數據的收集是比較合理和成功的。
2.4.2 方程經濟意義分析
固定資產投資、從業人數的要素產出彈性系數均為正數。即在其他投入要素不變的情況下,該要素每增長1%所引起的北京地區GDP增加的百分數均為正數。固定資產投入每提高1%,北京地區GDP 實際增長率則可提高0.76%；從業人數每增加1%,北京地區GDP 實際增長率則可提高0.77%。α＋β≈1.5,即資產與勞動的產出彈性之和近似為1.5,表明北京市在1990―2007年經濟呈現規模報酬遞增的狀態。根據固定資產投資和從業人數要素產出彈性系數大小，可以發現兩者對北京地區GDP 增長的推動作用基本相同,說明二者對北京地區DGP增長率的貢獻同等重要。
3 政策建議
從模型回歸的結果可以看到,固定資產、從業人數的產出彈性雖然都為正數,但兩者對北京地區GDP增長率的促進作用均不是很明顯。說明對固定資產的投資還存在著投資產業結構不合理的情況,從業人數的分配也存在各產業分配不合理的現象,所以北京市在固定資產投資和從業人員的分配上應該進一步加強第一、第二、第三產業的合理投入和調配。政府在制定固定資產投資政策時因充分考慮投資在各產業的合理投入并出臺一些限制性的條款,保證產業政策的實施。在從業人數的分配上,因深入研究各產業對勞動力的需求情況,恰當引導勞動力的分流,發揮勞動力的最大效率。
參考文獻:
［1］易丹輝. 數據分析與E-views應用［M］. 北京：中國統計出版社,2002.
［2］李子奈,潘文卿. 計量經濟學（第二版）［M］. 北京：高等教育出版社,2005.
