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離散數學范文1
離散數學，關系的性質具體如下：
關系R稱為是反對稱的；關系R稱為是對稱的，若屬于R，則有屬于R；由上面的定義看到，當且僅當 R 的元素都是型時R同時是反對稱的和對稱的；舉幾個例子來說明對稱或反對稱的：設A等于1，2，3，則A 上的關系R1等于是對稱的也是反對稱的； R2等于是對稱的而非反對稱的； R3等于是反對稱的而非對稱的； R4等于既非對稱的且非反對稱的。
（來源：文章屋網 ）
離散數學范文2
關鍵詞：離散數學；實驗教學；實踐能力
離散數學課程所涉及的概念、理論和方法，大量地應用在計算機科學體系中，數理邏輯是計算機中的邏輯學、邏輯電路、人工智能的基礎課程，集合與關系是數據結構、數據庫系統的理論基礎，而代數系統則是現實世界的縮影，直接模擬了現實系統，圖論知識更是直接應用在計算機網絡、數據結構、編譯原理等專業課程中。但傳統教學中過于注重理論教學而忽略實踐，學生普遍認為枯燥難懂，認為是純粹的數學課程，對計算機編程用處不大。因此教師在授課過程中要注重理論聯系實踐，培養學生的專業素養，我們將從以下方面循序漸進加強教學理論與實踐。
1課程教學注重教學方法與教學實踐的改革與創新
加強理論聯系實際，從提高計算機編程思想的角度對學生展開教學，教師在講解理論的同時，要注重其實際應用與算法描述。例如在講解最短路徑時，就要介紹Dijkstra算法，單源最短路徑的基本思想如下：設S為最短距離已確定的頂點集(看作紅點集)，V-S是最短距離尚未確定的頂點集(看作藍點集)。
①初始化：只有源點s的最短距離是已知的(SD(s)=0)，故紅點集S={s}，藍點集為空。
②重復以下工作，按路徑長度遞增次序產生各頂點最短路徑：在當前藍點集中選擇一個最短距離最小的藍點來擴充紅點集，以保證算法按路徑長度遞增的次序產生各頂點的最短路徑。當藍點集中僅剩下最短距離為∞的藍點，或者所有藍點已擴充到紅點集時，s到所有頂點的最短路徑就求出來了。
我們通過實例給學生模擬算法執行過程，驗證算法的正確性，但細心的學生會發現前面加進去的點并不一定是后期考察路徑的必經點，例如有三個點A，B，C，AB、BC、AC間權值分別為1，2，4，如果設A為源點，則第一次加進來的點是B，到C的最短路徑應該是A-B-C，如果BC權值為4，則到C的最短路徑應該是A-C，這里就要注意紅點集加入的點不是其他點必經點，這是因為集合元素是無序的，不是聯結已有的點作為最后點的路徑的。
我們給出求解的動畫演示過程，加深學生的認識，實際多應用在交通網絡中路徑的查詢中，兩地之間是否有路徑以及如果有多條路徑時找最短路徑等，最后再對算法進行擴展解決單目標最短路徑問題、單頂點對間最短路徑問題等，擴展學生對算法的理解等。
在講解邏輯推理時，建議學生使用Prolog語言可以輕松實現命題和聯結詞表示以及邏輯推理，代數系統則是無處不再，自動售貨機、電梯系統、自動取款機等都是一個代數系統，有自己的運算關系，鼓勵學生定義一些運算，完成一個具有輸入輸出的可交互的系統。
2建設完善實驗課程體系，加強學生實驗實踐能力
挖掘課程內容，建設完善的實驗課程體系，實驗課程的主要目的是，培養學生的數學建模能力、算法設計能力、編寫程序能力和應用創新能力，使學生養成良好的數學素質。學生可以有選擇地做。
(1)基礎實驗如表1所示，基礎實驗設計一些離散數學基本問題，要求學生利用所學基礎知識，完成相應的算法設計和程序實現。如在集合論部分，設計有限集基本運算算法設計實驗，要求學生利用熟悉的程序設計語言完成有限集合的數據結構、集合間的交、并、差、迪卡爾積、子集判斷等基本運算。學生可以在每部分中自由選部分題，完成一定的基礎實驗。這樣的設計使得學生學會基本操作，鞏固程序設計基本調試方法的掌握。
(2)綜合性實驗如表2所示，設計一些比較復雜的離散數學問題，要求學生綜合運用各章知識或多學科知識，完成問題的分解與求解、綜合和整體實現。例數理邏輯部分的命題真值表計算實驗中，要求學生設計實現命題數據結構、五種基本邏輯運算的代數運算轉換、表達式求值等；學生需要綜合運用命題邏輯、數據結構等知識，完成實驗各個環節，實現運算結果的顯示?？捎蓭讉€同學組成一個學習小組完成實驗。
(3)設計性實驗如表3所示。這一層次要求較高，對那些學有余力、興趣濃厚的學生，給出一些難度較高的課題，要求他們自行設計問題描述模型和實驗方案，開發實現小型應用軟件。例如，要求學生針對某景區內景點的分布情況，設計可滿足旅游者不同需求(如費用最省、線路最短、重復較少、景點最全等各種要求)的實用小軟件。教師檢查實驗現象和實驗結果。學生對實際程序的運行結果應能進行分析并提出改進方法，每完成一個實驗，都要求寫一份實驗報告，挑選出好的作品，做成精品演示系統。
3發現實際應用點，擴大學生知識面
讓學生了解離散數學在現實生活中的主要應用，有意識地引導學生運用所學理論去分析問題、解決問題，從而讓學生充分感受到離散數學這門課程的魅力和實用價值。部分實際應用如表3所示。鼓勵學生按照如下流程操作：發現問題，然后構思一個可能求解該問題的算法過程，再設計算法并將其表達為一道可執行程序，最后精確地評價這個程序，考查其作為一種工具去求解其它問題的潛能，鍛煉學生數學建模能力，提高分析問題，解決問題的能力。
4建設開放式教學環境，豐富網絡教學資源
充分利用網絡學堂、課程學習網站等豐富的教學資源，構建了開放式的教學環境，我們開發了離散數學教學網站，模塊包括：實驗、實驗申請、已審核實驗、成果展示、精品展示、在線解答(前臺如圖1所示，后臺如圖2所示)、資料下載等模塊，實驗項目可選或自擬，增強了師生間互動，也為學生個性化學習提供了良好的條件。
學生可以在任何時間遠程登陸，發表咨詢，下載資料，參與實驗項目，申請實驗項目，獲得批準后，我們開放實驗室免費提供設備，實驗項目結題后提交成果，我們從中提煉出精品，做成精品演示系統，學生還可以對已有成果做深入研究。
總之，鼓勵學生吃透書本，挖掘理論的應用領域，鼓勵學生改進算法、挖掘應用點，從抽象的理論到實際應用，再擴大應用，抽象到一般情況，讓學生感覺到學習離散數學的重要性，理論與實踐相結合，互相促進，切實提高大家學習離散數學的興趣，能夠達到學生積極主動為了實現應用而吃透理論，發揮主觀能動性。采用項目訓練為主的教學理念，切實提高學生的實際動手能力、創新能力和自學能力。
參考文獻：
[1]耿素云，屈婉玲.離散數學[M].北京:高等教育出版社.
離散數學范文3
《離散數學》是以一切離散量為研究對象的一門學科，包括數理邏輯、關系代數、罔論、集合論等多方面內容。這門學科在計算機科學的發展和研究中起著重大的作用，比如在編譯原理、數據結構、數據庫系統、人工智能、計算機網絡等專業課中都大量涉及了離散數學中各個分支的基本概念、基本理論和基本方法。所以它還有一個專業的名字――組合數學。離散數學是掌握和研究計算機學科的必要理論基礎。
有時人們也把離散數學和圖論加在一起算成是離散數學。離散數學是計算機出現以后迅速發展起來的一門數學分支。計算機科學就是算法的科學，而計算機所處理的對象是離散的數據，所以離散對象的處理就成了計算機科學的核心，而研究離散對象的科學恰恰就是離散數學。離散數學的發展改變了傳統數學中分析和代數占統治地位的局面?，F代數學可以分為兩大類：一類是研究連續對象的，如分析、方程等，另一類就是研究離散對象的離散數學。離散數學不僅在基礎數學研究中具有極其重要的地位，在其它的學科中也有重要的應用，如計算機科學、編碼和密碼學、物理、化學、生物等學科中均有重要應用。微積分和近代數學的發展為近代的工業革命奠定了基礎。而離散數學的發展則奠定了本世紀的計算機革命的基礎。計算機之所以被稱為電腦，就是因為計算機被人編寫了程序，而程序就是算法，在絕大多數情況下，計算機的算法是針對離散的對象，而不是在作數值計算。正是因為有了離散算法才使人感到計算機好像是有思維的。
離散數學不僅在軟件技術中有重要的應用價值，在企業管理、交通規劃、戰爭指揮、金融分析等領域都有重要的應用。在美國有一家用離散數學命名的公司，他們用離散數學的方法來提高企業管理的效益，這家公司辦得非常成功。此外，試驗設計也是具有很大應用價值的學科，它的數學原理就是組合設計。用組合設計的方法解決工業界中的試驗設計問題，在美國已有專門的公司開發這方面的軟件。最近，德國一位著名離散數學家利用離散數學方法研究藥物結構，為制藥公司節省了大量的費用，引起了制藥業的關注。
在1997年11月的南開大學離散數學研究中心成立大會上，吳文俊院士指出，每個時代都有它特殊的要求，使得數學出現一個新的面貌，產生一些新的數學分支，離散數學這個新的分支也是在時代的要求下產生的。最近，吳文俊院士又指出，信息技術很可能會給數學本身帶來一場根本性的變革，而離散數學則將顯示出它的重要作用。楊樂院士也指出離散數學無論在應用上和理論上都具有越來越重要的位置，它今后的發展是很有生命力、很有前途的，中國應該倡導這個方面的研究工作。萬哲先院士舉例說明了華羅庚、許寶祿、吳文俊等中國老一輩的數學家不僅重視離散數學，同時還對離散數學中的一些基本問題作了重大貢獻。迫于中國離散數學發展自身的需要，以及中國信息產業發展的需要，在中國發展離散數學已經迫在眉睫，刻不容緩。
2.《離散數學》與計算機軟件
隨著計算機網絡的發展，計算機的使用已經影響到了人們的工作、生活、學習、社會活動以及商業活動，而計算機的應用根本上是通過軟件來實現的。我在美國聽到過一種說法，將來一個國家的經濟實力可以直接從軟件產業反映出來。我國在軟件上的落后，要說出根本的原因可能并不是很簡單的事，除了技術和科學上的原因外，可能還跟我們的文化、管理水平、教育水平、思想素質等諸多因素有關。除去這些人文因素以外，一個最根本的原因就是我國的信息技術的數學基礎十分薄弱，這個問題不解決，我們就難成為軟件強國。然而解決這一問題決不是這么簡單，信息技術的發展已經涉及了很深的數學知識，而數學本身也已經發展到了很深、很廣的程度，并不是單憑幾個聰明的頭腦去想想就行了，更重要的是需要集體的合作和力量，就像軟件的開發需要多方面的人員的合作。美國的軟件之所以能領先，其關鍵就在于在數學基礎上他們有很強的實力，有很多杰出的人才。一般人可能會認為數學是一門純粹的基礎科學，1+1的解決可能不會有任何實際的意義。如果真是這樣，一門純粹學科的發展落后幾年，甚至十年，關系也不大。然而中國的軟件產業的發展已向數學基礎提出了急切的需求：網絡算法和分析、信息壓縮、網絡安全、編碼技術、系統軟件、并行算法、數學機械化和計算機推理，等等。此外，與實際應用有關的還有許多許多需要數學基礎的算法，如運籌規劃、金融工程、計算機輔助設計等。如果我們的軟件產業還是把眼光一直盯在應用軟件和第二次開發，那么我們在應用軟件這個領域也會讓國外的企業搶去很大的市場。如果我們現在在信息技術的數學基礎上大力支持和投入，那將是亡羊補牢，猶未為晚；只要我們能搶回信息技術的數學基地，那么我們還有可能在軟件產業的競爭中扭轉局面，甚至反敗為勝。吳文俊院士開創和領導的數學機械化研究，為中國在信息技術領域占領了一個重要的陣地，有了雄厚的數學基礎，自然就有了軟件開發的競爭力。這樣的陣地多幾個，我們的軟件產業就會產生新的局面。值得注意的是，印度有很好的統計和離散數學基礎，這可能也是印度的軟件產業近幾年有很大發展的原因。
3.離散數學在國外的狀況
縱觀全世界軟件產業的情況，易見一個奇特的現象：美國處于絕對的壟斷地位。造成這種現象的一個根本的原因就是計算機科學在美國的飛速發展。當今計算機科學界的最權威人士很多都是研究離散數學出身的，美國最重要的計算機科學系（MIT，Princeton，Stanford，Harvard，Yale，...）都有第一流的離散數學家。計算機科學通過對軟件產業的促進，帶來了巨大的效益，這已是不爭之事實。離散數學在國外早已成為十分重要的學科，甚至可以說是計算機科學的基礎。一些大公司，如IBM、AT&T都有全世界最強的組合研究中心。Microsoft的Bill Gates近來也在提倡和支持計算機科學的基礎研究。例如，Bell實驗室的有關線性規劃算法的實現，以及有關計算機網絡的算法，由于有明顯的商業價值，顯然是不會對外公開的。美國已經有一種趨勢，就是與新的算法有關的軟件是可以申請專利的。如果照這種趨勢發展，世界各國對離散數學和計算機算法的投入和競爭必然日趨激烈。美國政府也成立了離散數學及理論計算機科學中心DIMACS（與Princeton大學、Rutgers大學、AT&T聯合創辦的，設在Rutgers大學），該中心已是離散數學理論計算機科學的重要研究陣地。美國國家數學科學研究所（Mathematical Sciences Research Institute，由陳省身先生創立）在1997年選擇了離散數學作為研究專題，組織了為期一年的研究活動。日本的NEC公司還在美國的設立了研究中心，理論計算機科學和離散數學已是他們重要的研究課題，該中心主任R.Tarjan即是離散數學的權威。美國重要的國家實際室（Los Alamos國家實驗室，以造出第一顆原子彈著稱于世）從曼哈頓計劃以來一直重視應用數學的研究，包括離散數學的研究。有關離散數學的計算機模擬項目經費達三千萬美元。不僅如此，該實驗室最近還在積極充實離散數學方面的研究實力。美國另外一個重要的國家實驗室Sandia國家實驗室有一個專門研究離散數學和計算機科學的機構，主要從事組合編碼理論和密碼學的研究，在美國政府以及國際學術界都具有很高的地位。由于生物學中的DNA的結構和生物現象與離散數學有密切的聯系，各國對生物信息學的研究都很重視，這也是離散數學可以發揮作用的一個重要領域。前不久召開的北京香山會議就體現了國家對生物信息學的高度重視。據說IBM也將成立一個生物信息學研究中心。由于DNA就是離散數學中的一個序列結構，美國科學院院士，近代離散數學的奠基人Rota教授預言，生物學中的組合問題將成為離散數學的一個前沿領域。
最近Thomson Science公司創刊的一份電子刊物《離散數學和理論計算機科學》即是一個很好的說明。它的內容涉及離散數學和計算機科學的眾多方面。由于計算機軟件的促進和需求，離散數學已成為一門既廣博又深奧的學科，需要很深的數學基礎，逐漸成為了數學的主流分支。本世紀公認的偉大數學家蓋爾芳德預言離散數學和幾何學將是下一世紀數學研究的前沿陣地。這一觀點不僅得到國際數學界的贊同，也得到了中國數學界的贊同和響應。
加拿大在Montreal成立了試驗數學研究中心，他們的思路可能和吳文俊院士的數學機械化研究中心的發展思路類似，使數學機械化、算法化，不僅使數學為計算機科學服務，同時也使計算機為數學研究服務。吳文俊院士指出，中國傳統數學中本身就有濃厚的算法思想。
今后的計算機要向更加智能化的方向發展，其出路仍然是數學的算法和數學的機械化。另外的一個有說服力的現象是，離散數學家總是可以在大學的計算機系或者在計算機公司找到很好的工作，一個優秀的離散數學家自然就是一個優秀的計算機科學家。
離散數學范文4
摘要：“離散數學”是計算機及相關專業的一門重要課程。該課程概念多、理論性強、高度抽象。在教學過程中，教師要強調課程的實用價值和重要性，引起學生足夠的重視，在教學中注重反例的作用，做到一題多解，舉一反三，注重特殊與一般相結合及時歸納與小結，提升教學質量。
關鍵詞：離散數學；舉一反三；啟發式教學
中圖分類號：G642
文獻標識碼：B
1引言
“離散數學”是計算機科學與技術專業的重要專業基礎課程，在計算機科學中有著廣泛的應用。它不僅是許多計算機專業課，如“數據結構”、“操作系統”、“編譯原理”、“數據庫原理”、“人工智能”、“數字邏輯”等的必備基礎，也對培養學生抽象思維能力和邏輯推理能力起著重要作用。該課程由計算機科學與工程實踐中所需要的數學理論和方法所組成，概念多、理論性強、高度抽象。學生在學習該課程時，往往看不到離散數學的知識在計算機科學中的具體應用，因而不僅不重視離散數學的學習，還怕學這門課程。因此如何提高離散數學課程的教學水平和質量，對學生后續課程的學習和畢業以后的科學研究和實踐有重要意義。在離散數學的教學實踐過程中，筆者積累了一些實際效果較好的做法，現提出供大家商榷。
2強調實用價值和重要性，引起學生足夠重視
近年來，計算機學科的發展與離散數學的主要內容如數理邏輯、集合論和圖論等都有非常緊密的聯系。數理邏輯是研究推理的學科，在人工智能、數據庫理論等的研究中有著重要的應用；圖論和集合論為數據結構和數據表示理論奠定了數學基礎，也為許多問題從算法角度加以解決提供了抽象和描述的重要方法。因此，在實際教學過程中，教師更應注重讓學生了解離散數學在現實應用中的主要作用，有意識地引導學生運用所學理論分析和解決實際問題，從而讓學生充分感受到這門課程的魅力和實用價值。例如在講授平面圖時，可以給出它們在印刷電路板、集成電路等方面的應用。
數理邏輯部分在計算機的硬件設計中應用非常突出，我們可以利用命題中各個聯結詞運算規律，把由高低電平表示的各信號之間的轉換與二進制之間的運算連接起來，用數學方法解決電路設計的問題，使得整個設計過程更加系統化。很多學生在解決這樣的問題時已經使用了離散數學知識，但并沒有意識到自己使用了離散數學中的數理邏輯。針對這樣的問題，教師在講授課程過程中，一定要將每部分離散數學知識是怎樣應用到計算機科學中說清楚，讓學生充分認識到離散數學的重要性。
再如，在介紹圖論中根樹時，可將根樹中求最優樹的方法運用到計算機通訊中，以使信息在傳輸過程中既準確無誤又節省二進制位。在講解數理邏輯部分時，可以將真值表部分的內容運用到邏輯電路的設計上，在此基礎上進一步啟發學生運用這部分知識設計簡單的表決器、搶答器等。這樣不僅激發了學生學習離散數學的積極性，還進一步加強了學生理論聯系實際的能力。
3一題多解，舉一反三
離散數學具有多樣性的特點，同一個概念可以給出不同的描述方法，例如，講解二元關系的性質時給出如下定義：
設R為定義在集合A上的二元關系。
① 若 x(x A∈R)，則稱R在A上是自反的；
② 若 x(x A R)，則稱R在A上是反自反的；
③ 若 x y(x，y A R R)，則稱R在A上是對稱的；
④ 若 x y(x，y A R Rx=y)，則稱R在A上是反對稱的；
⑤若 x y z (x，y，z A R R R)，則稱R在A上是傳遞的。
如果教師只從定義解釋關系的性質，學生只從定義理解關系的性質，顯然比較抽象。但關系的性質不僅可以反映在它的集合表達式上，也可以反映在它的關系矩陣和關系圖上。表1給出了關系的五種性質在集合表達式、關系矩陣、關系圖中的特點。所以，教學中教師結合集合表達式、關系矩陣、關系圖講解釋關系的性質，特別是關系圖，它使抽象的數學模型直觀地展示在學生眼前，易于理解和記憶。如R無對稱性，則在R的關系圖中，不同元素間至少找到一條單向的邊。學生從集合表達式、關系矩陣、關系圖理解關系的性質，顯得比較直觀。
在離散數學中，很多問題都可以用多種方法解決。例如在命題邏輯中判斷一個公式是否為重言式，有真值表法、等值演算法和主析取范式方法；用自然推理系統進行推理時，有一般證明法、附加前提證明法和歸謬法。學生運用這些方法判斷或推理時，就會發現這些方法的利弊，從而思考不同類型的題用不同的方法來解。
學生會提出疑問：既然運用不同的方法，最后判斷的結果是相同的，那么這些方法之間又有什么關系？通過思考、分析，學生就會找出表面看似不相干內容的內在聯系，達到系統掌握命題邏輯知識的目的。在二元關系中求解一個已知二元關系R的冪時，有集合表達式法、關系矩陣計算法和關系圖法，學生通過找出其內在聯系，達到系統掌握二元關的目的。例：設R={，，，}是集合A={a，b，c，d}上的二元關系，求R的各次冪。
解法1：集合表達式法
R0={，，，}
R1={，，，}
R2={，，，}
R3={，，，}
R4={，，，}
R5={，，，}
繼續計算有R2= R4= R6=……，R1=R3= R5=……
解法2：關系矩陣法
M0= ，M1= ，M2= ，M3= ， M4= ，M5= ，繼續計算有M2= M4= M6=……，M1= M3= M5=……
解法3：關系圖法
一題多解是訓練學生思維的有效方法。通過運用所學知識，從不同角度對同一問題尋找多種解題途徑和方法，然后歸納總結，比較各種方法優缺點，可以起到舉一反三的作用。實踐證明，一題多解是訓練學生思維的有效方法，它有利于學生掌握和運用所學知識，拓寬解題思路，培養學生的思維能力。
4注重反例在教學中的作用
離散數學的知識體系是由概念和命題等內容組成的，學好離散數學首先要正確理解概念。學生的邏輯思維能力、分析運算能力、解決問題能力都是以清晰、正確的概念為基礎的。離散數學的概念很多，光靠死記硬背是不行的。一個概念往往蘊含若干概念，使之變得愈加抽象，而學生在接觸概念之初，常不以為然，加之課后沒有很多時間復習、鞏固和運用，隨著內容的逐步增多，對概念日趨模糊，給學習帶來極大的困難。針對這種情況，從開始接觸概念起，除了向學生強調每個概念的重要性外，在講授每一個概念的過程中，教師均須抓住其本質屬性，予以層層剖析。在這一環節中，除用典型例子從正面講解外，有時還需用反例來指出此是彼非，以反輔正。
從以前面關于二元關系的性質定義我們看到，“要得出一個結論須考慮全部情況，而要它僅需一個反例?！彼?，教學中除從正面用集合表達式、關系矩陣、關系圖說明關系的各個性質外，還必須從反面強調二元關系的各個性質的集合表達式、關系矩陣、關系圖，使學生易于理解和記憶。如關系的自反的和反自反的性質是一對矛盾的概念，如果二元關系R具有“自反性”就一定不具有“反自反性”，但同學們很容易誤認為二元關系R不具有“自反性”就一定具有“反自反性”，此時指出錯誤最有說服力的且最有效的辦法就是舉反例：設A={1，2，3}，R＝{，}，則R既不具有“自反性”也不具有“反自反性”。
關系的對稱的和反對稱的性質不是一對矛盾的概念，同理同學們很容易誤認為“對稱性”與“反對稱性”是非此即彼的排斥關系，我們同樣舉一個例子說明問題：設A={1，2，3}，R＝{，，}，則R既不具有對稱性也不具有反對稱性。對于二元關系R同時具有對稱性、反對稱性，學生也覺得很迷惑，解釋它也必須從反面入手，即找不到不符合“對稱性、反對稱性”條件的序偶，例如設A={1，2，3}，R＝{，}，則R既具有對稱性也具有反對稱性。反例可以排除與概念無關特征的干擾，對概念的理解更精確，反例可以從另一個方面抓住數學概念或規則的本質，彌補在正面闡述中的不足。反例是作為揭穿錯誤、偽證的強有力的數學方法，傳遞了最有利于辨別的信息，對概念認識的深化具有非常重要的作用，起到事半功倍的作用。以反輔正，既能使學生加深對某一概念的理解和掌握，又能使之區別于相關概念，這是正面例子難以做到的。
5注重歸納與小結
離散數學的內容雖然多且散，但通過歸納，可以用一條主線貫穿始終，這就是離散數學的內容包含兩個方面：研究一個系統中涉及到的靜態(基本概念)與動態(運算、操作、推理)。如集合論中是元素(靜態)及其上的運算(動態)；代數系統中是集合(靜態)及運算(動態)；數理邏輯中是公式(靜態)和推理(動態)。通過歸納總結，學生能夠理清頭緒，提高學習效率。在講課時，教師應該把重點、難點精講細講，對于易懂的內容可以點到為止。此外還要經常歸納小結，尤其對于一些抽象的和難以記憶的重要知識點，更應該輔以有針對性的歸納總結。比如在講完代數系統這部分內容時，可按照代數系統、半群、含幺半群、群的順序依次闡述這幾個概念，均是在前一個概念的基礎上增加一個性質(封閉性、結合性、幺元、逆元)，最后用圖示的方式進行小結，使學生更容易掌握這幾個容易混淆的概念。
為了讓學生更好地理解和記憶公式，在數理邏輯部分的公式和集合公式之間有著密不可分的相似之處。如它們都有冪等律、結合律、交換律、分配律、同一律、零律、派中律、矛盾律、德摩根律等。同樣在格中，求兩個元素的最小上界和最大下界也滿換律、結合律、冪等律和吸收律。因此離散數學中的內容看似很散，但其實內部存在著一些必然的聯系，教師在教學過程中，要給學生適時總結，有利于學生記憶眾多公式。
6特殊與一般相結合
離散數學中既有從特殊到一般的抽象，又有從一般到特殊的特化。如在數理邏輯中，由命題邏輯到謂詞邏輯就是從特殊到一般的抽象。在代數結構中，先講一般代數結構的概念和性質，然后講特殊的代數結構：半群、群、環、域、格、布爾代數的概念及性質。在圖論中，先講一般圖的概念與性質，后講特殊圖：歐拉圖、哈密爾頓圖、二部圖、平面圖、樹的概念與性質。授課時，要注意特殊與一般相結合，既要教學生學會把一般的屬性應用到特殊實例中去，又要教學生學會從特殊的事物中抽象出一般規律，用例子去解釋和區分一般和特殊在概念和性質方面的不同，以加深對抽象概念的理解。
7結束語
總之，要把離散數學這一門課教好，教師就要不斷研究新的教學方法，認真掌握教學規律，借助于現代化教學手段，摒棄“填鴨式”教學，提倡“啟發”式教學。只要具有扎實的理論功底，并具有對學生高度負責的精神，教師就一定能夠找到較好的方法調動學生的學習積極性，達到良好的教學效果。
參考文獻：
[1] 李盤林,李麗雙,李洋,等. 離散數學[M]. 北京:高等教育出版社,2006.
離散數學范文5
離散數學是現代數學的一個重要分支，是計算機科學與技術的理論基礎，它以研究離散量的結構及相互間的關系為主要目標，其研究對象一般是有限個元素或可數個元素，因此它充分描述了計算機科學離散性的特點。
離散數學是計算機科學與技術各專業的核心、骨干課程，它不僅為后續課，如數據結構、編譯原理、操作系統、數據庫原理和人工智能等，提供必要的數學基礎；也是組合數學、遺傳算法、數據挖掘等計算機碩士研究生階段相關課程的重要基礎。無論從計算機學科發展的過去、現在和未來看，《離散數學》都是計算機科學與技術專業不可缺少的重要組成部分。這門課程有著其它課程不可替代的地位和作用，是一門承前啟后的課程，既是基礎，又有發展。而且通過學習離散數學，可以培養和提高學生的抽象思維與邏輯推理能力，為學生今后繼續學習和科研工作，打下必備的數學基礎。但是，在長期教學實踐中，學生普遍認為該課程是一門很難學的課程。主要的困難是概念多、理論性強、高度抽象、不易理解，學生更看不到本課程的應用前景，沒有學習興趣。因此，本文結合筆者近年來從事離散數學課程教學的實踐，從如何提高離散數學課程的教學水平，激發學生對本課程的學習興趣，調動學生學習本課程的積極性出發，就教學觀念、教學內容、教學方法、教學手段等方面的改革進行了一些探討。
一、轉變教學觀念，樹立理論應用意識
在以往的教學中，離散數學總是按純數學的形式來講授，把一個個概念、定理和證明很生硬的講給學生，學生聽起來覺得枯燥無味，更看不到它在計算機科學中的具體應用，總有學生問學習離散數學有什么用處。因此，有些學生不重視本課程的學習，只注重實際編程能力的訓練，認為只要有較強的編程能力，以后就可以找到好的工作。這主要是教師沒有起到很好的引導作用，不能與計算機學科很好地結合起來，使學生對離散數學這門課沒有一個真正的認識，不能充分調動學生學習積極性。因此，首要任務是要求教師改變教學觀念。
在教學中，要注重應用型人才的培養，注重理論和實際相結合，遵循“以教師為主導、以學生為主體”的原則，以提高學生素質為根本宗旨，把握學科教育本質和目的，以培養學生創新精神和學習能力、實踐能力為重點，這也是由計算機科學知識發展更新快、學科交叉程度高、應用面廣的特點所決定的[1]。這就要求教師積極引導學生注重基礎理論的學習，在上第一堂課時，就要強調學習離散數學的重要性，告訴學生什么是離散數學，實際上它就是將計算機科學中所用到的數學知識抽象出來形成的一門理論。要給學生強調它的每一章內容與相關的哪一門后繼課程有聯系，如謂詞邏輯在人工智能知識表示中的應用，關系數據庫中要用到二元關系的相關理論，代數系統中的域在網絡安全密鑰加密中的應用，以及在數據挖掘中用到的格的知識，還有圖論的相關理論在數據結構和計算機網絡中的應用等。還可以舉一些實際的例子，比如學生熟悉的圖靈機就用到離散數學中的知識。這樣可以使學生對離散數學首先有一個感性認識，引起他們思想上的重視，讓他們認識到學好這門課是非常有用的。此外，在后續的教學過程中，應穿插介紹一些在計算機科學中的應用的知識點，將之與離散數學理論結合介紹給學生，使學生在后續的學習中逐漸體會到這一課程的重要性，產生學習興趣，主動地進行學習。
二、教學內容的整合與優化
目前，教學內容改革常見的形式為對課程教學內容刪減、壓縮或整合，但要對傳統的比較完善的離散數學教學內容進行合理的改革“手術”，使之具有較強的可操作性，從而，達到理想的效果有一定的困難。因此，保持離散數學的基本內容和特色，在概念描述、定理形式以及相互關系上進行提煉、凝結，既可以給常規教學結構的改革提供一個可行的時間空間，又可以使學生以精煉而有用的工具去進行創造性學習活動[2]。
傳統的離散數學包括四個知識模塊：數理邏輯、集合論、代數系統和圖論。有個別書加上一章或每一章加上一節離散數學在計算機科學中的應用，也有個別書加上一些組合數學和形式語言與自動機的內容，但核心內容還是四大塊。這四大塊實際上可以分別對應一門獨立的課程，但如果分開來講，容易造成教學內容繁多與教學課時數偏少相矛盾的問題，使教學過程具有很大的難度，同時為兼顧計算機科學和計算機應用所涉及的兩個方面的離散結構數學模型，對傳統教學內容進行篩選、組合是必要的。可適當增加組合論和計算理論的基礎知識，適度限制部分傳統內容的深度，精簡數理邏輯和集合論的部分內容，較大幅度地改革教學內容。同時對教學內容編排進行優化，把教學過程設計為精講、略講、討論和自學四個層次。
此外，在講每一部分時，可以先介紹相關的背景和歷史發展，講一些輕松的故事，提高學生的學習興趣，比如著名的蘇哥拉底三段論、哥尼斯堡七橋問題、周游世界問題、一筆畫問題等等，但對于這些問題的介紹不能停留在故事的趣味性上，應當從故事入手，提出有思考性的問題，再促進和啟發學生思維的積極性，這樣就能達到較好的效果[3]。另外，在每一章后面還應增加一些編程的練習，比如上機實現通過求真值表判斷公式的類型，利用矩陣判斷關系的對稱性、根據輸入的代數系統運算表，求出幺元和零元，指出是否滿換律等等，不僅能使學生提高動手能力，還能使學生對相關的知識有更好的理解。
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三、教學方法與教學手段的改革
本課程教學致力于培養理論基礎扎實、學習研究興趣濃厚、具備計算機知識背景和研究能力的創新型人才。為此，在教學方法與教學手段上非常重視以多樣化的教學方式提升學生的學習研究興趣、鼓勵學生開放式、自主學習，注重經典理論與計算機科學中具體應用的有機融合，真正使教師的引導、傳授與學生的自主學習和研究緊密結合，使受教育者的知識學習與能力提高互動發展。
在課程設計上，結合課程特點突出離散數學的理論應用特色，將抽象的理論與相應層面上具體的、感性的問題結合起來，既可加深學生對理論的認識，又通過對具體問題的處理，培養學生應用理論分析解決具體問題的能力，有益于學生創造思維能力的訓練和培養[2]。
在具體操作上，主要從以下幾方面著手實施：
（一）基礎理論與學科應用相結合
在離散數學課程的教學過程中，應該在講解分析理論基礎上結合學科應用，這無論從學科的本質特點，還是利于學生的學習掌握考慮，是均必須注意到的一點[1]。為此，我們結合當今計算機技術的最新發展動態，適當增加離散數學在計算機科學中的應用的內容，如謂詞邏輯在人工智能知識表示中的應用，代數系統中的域在網絡安全密鑰加密中的應用等。并且在課堂上還引入了近年來在國內剛剛興起的，備受大學生關注和歡迎的大學生程序設計大賽以及數學建模競賽中的經典題目分析與實際案例，使得算法理論的證明和演算能和大學生程序設計大賽、數學建模競賽相結合，使學生能較好地理解和掌握各種離散結構和離散數學模型，更好地解決實際問題。
（二）采用多媒體教學和網絡輔助教學系統
我們自主開發的高水平多媒體課件和電子教案為課堂教學起到了很好的輔助作用。根據課程特點，采用行之有效的多媒體教學，通過文字、圖像、動畫、視頻，激發學生的學習興趣，不僅增加課堂信息量，還提高學生的形象思維及創新思維能力。當然，對于推理證明以及演算的部分，還是應該用板書的形式，只有將傳統與現代手段有機的結合，才能更好地為教學服務。此外，已經建立的以教師為主導、學生為主體的自主學習的交互式網絡教學環境，通過網絡提供的大量資源，如教學大綱、電子教案、習題庫、試卷庫、實踐指導、多媒體課件、教學錄像、參考文獻目錄等，有效地拓展了理論課的教學空間，使離散數學教學內容更豐富，教學方式更靈活，教學手段更先進，更有利于調動學生學習興趣及學生個性化發展。另外，網站設有師生論壇，可以促進學生通過網絡環節交流學習心得，上傳資料共享，并與老師進行網上討論，提高了學生學習的主動性及學習的實效性。
（三）改革考試方式，增強學生學習的自覺性和主動性
為了更好地檢驗學生的學習效果，課程組通過長期對考試方式的探索和研究，采用理論知識考核、實踐項目考核和創新能力考核相結合的方式，不斷地引導學生改進學習方法。為避免學生考前臨時突擊，放松平時的學習的情形出現，我們采用閉卷考試、平時成績和實驗成績相結合的方式進行考核，卷面成績占總成績70%，平時作業成績占10%，實踐和學生創新能力考核占20%。上述考核評價方式使學生成績考核遍布整個教學過程，促使學生重視每一個教學環節，使學生的學習過程變成循序漸進的過程避免了學生突擊應付考試的現象，同時提高了學生平時學習的自覺性和主動性。并且在學完每一部分后還增加了課堂小競賽，采用分組搶答的形式，既能使學生對所學知識及時復習，又培養了團隊合作精神，學生興趣很高。
（四）增加實踐環節
1997年之前，我們開設了離散數學實驗課，設計了數理邏輯推演系統，輔助數理邏輯部分的學習。簡單結合離散數學與其他計算機學科，通過學生的課程實踐，能夠培養學生對離散數學課程的興趣和動手能力，經過一段時間的觀察，我們發現這類傳統實驗并沒有很好地鍛煉學生的抽象思維能力，而主要是鍛煉了學生的動手編程能力，為此我們對離散數學的實驗內容不斷建設、完善和更新，精心設計實踐環節，將創新性綜合實驗、研究性大作業納入該課程考核之中，這是離散數學教學中的創新性工作，是將枯燥的數學學習轉化為興趣學習的創造性工作。
近年來，我們注重培養學生的實際動手能力，在課堂上引入acm、itat和大學生數學建模等樣例，比如最短路徑算法：dijstra實現及應用習題，floyd實現及應用，最小生成樹算法：prim實現及應用習題，kruscal實現及應用習題（樸素實現及堆優化）等。根據學生自己的興趣、愛好，知識結構的等自由結合為3人為一個小組，根據具體問題，利用相關理論知識建立數學模型，構思可求解問題的算法流程，再將算法編寫成相應的可執行的程序，再編寫一定的測試用例中來精確地評價程序的可運行性。教師主要引導學生發現問題，注重綜合知識的靈活運用和邊界條件的發掘，以及實踐項目過程中引導學生能夠對自己建立的模型質疑、解答和優化問題。通過這些實踐項目的開設，讓學生了解了離散數學在實際生活中的具體應用和重要性，充分體會到離散數學這門課程的無限魅力和應用價值，幫助學生提高了學習興趣和研究興趣。
（五）開設離散數學系列專題講座
根據離散數學課程內容及在今后學科中的應用，可以邀請專家開設離散數學后續課程的應用領域系列講座——計算模型與形式語言自動機理論、知識發現與數據挖掘的發展動向、神經網絡應用領域等。通過這些課程講座，使學生充分領略離散數學在后續課程和科學研究中的重要作用。
離散數學范文6
關鍵詞：離散數學；概念；實例；教學方法
離散數學(Discrete Mathematics)，又稱為離散數學結構(Discrete Mathematical Structures)，是現代數學的重要分支，整個計算機學科的專業基礎課[1-2]，同時也是信息類專業的重要專業課程。離散數學屬于專業數學的范疇，研究離散量的結構和相互間的關系， 充分描述了計算機科學離散性的特點。計算機求解的基本模式是：實際問題 Þ 數學建模 Þ 算法設計 Þ 編程實現。離散數學識培養學生運用離散結構作為問題的抽象模型，進而構造算法，解決問題。
1課程特點與教學難點
離散數學的課程內容高度抽象，并且強調證明問題。它的大多數應用來自于計算機科學，學習該課程的學生超過半數來自計算機專業。課程的特點決定了離散數學是一門既講究基礎理論，又注重實際應用的學科。課程特點如下，同時也是教學的難點[3-7]。
1) 內容抽象，概念眾多。
離散數學使用數學化的表達方式，理論性強，邏輯嚴密。對于學生而言，從習慣其表達方式到熟練運用要經歷一個較長的過程。離散數學理論表達的基礎是大量嚴密的概念，對概念的理解程度決定了對課程內容的理解程度。大量抽象的概念也是學生學習的主要困難。往往在授課過程中，學生反映對以前的概念不理解，對新學的知識難以接受。學生感覺離散數學越學越難，理論在不斷加深。因此要重視對概念的教學。
2) 在后續課程中應用多。
離散數學是計算機學科的專業基礎課，所以教學安排在大學低年級，大部分高校從二年級開始離散數學的教學。雖然離散數學在很多后續專業課中有廣泛應用，但是在學習離散數學的時候，大部分專業課尚未開課，所以部分學生對離散數學的應用認識不足，學習興趣不高。因此在離散數學的教學，要特別強調其實際應用性，對抽象的知識要通過實例來具體化，讓學生真正看到離散數學在計算機科學中的具體應用。
針對離散數學的基礎概念眾多而且抽象的特點，為了解決學生因為概念掌握不深入和缺乏實際應用帶來的學習困難，我們特別側重概念教學和應用引入，提出了以實例增強概念理解的教學方法。
2實例化概念教學方法
離散數學的教學目的是提高學生對實際問題的數學本質的表達能力，增強解決實際問題的綜合能力。為了克服教學中理論和實際應用結合的困難，既要注重對理論進行細致分析，又要注重引入實際應用。在教學中，如果教師能夠對基礎概念做重點講解，使得學生具備建模的基本能力，并通過實例進行強化，那么就能有效地提高教學效果。為了達到上述目標，我們著重對概念的教學進行挖掘，提出了“用實例增強概念理解”的教學方法。該教學法的主要出發點是讓學生了解理論如何應用，提高學習興趣。通過具體實例讓基本概念立體化和實用化，強化具體理論細節，通過前后概念的比較形成知識的網絡化。
2.1介紹應用背景，提高學生興趣
在我們對學生的問卷調查中發現，學生對離散數學學習興趣不高的原因之一是對實際應用背景不夠明確。沒有相關實際背景的概念僅意味著數學符號，印象不夠深刻。針對這個問題，我們認為孤立引入概念的教學形式，不能提高學生的興趣，不利于理論知識和實際應用的結合。在引入新概念的時候，應該首先介紹其應用背景，讓學生對將要學習的知識有直觀的認識。
圖論是結合實際應用最多的一部分內容，課本中對相關內容的實際應用背景介紹比較豐富。例如哥尼斯堡七橋問題引出了圖論的起源，通過漫游問題引出歐拉圖和漢密爾頓圖，通過地圖著色直接介紹著色問題等。因此學生能從課本上了解圖論的一些實際應用。在圖論的教學中，在介紹完相關概念后，多引入實際問題，引導學生利用圖論的知識進行建模，鍛煉抽取實際問題的數學實質的能力。
又如，函數是離散數學中集合論的內容。雖然高等數學中也學習過函數，但是離散數學中介紹的函數更加抽象，覆蓋面更廣。由于這個特點，大部分學生感覺其理論性強，對函數應用的理解不夠深入。實際上，函數在計算機科學中非常重要而且應用十分廣泛，在課堂教學中應該向學生介紹這部分內容。例如，假設計算機需要存儲查詢大量的數據，則要確定每個數據的位置。通常，我們建立從存儲表到數據編碼的散列函數，用到最多的就是模n函數。散列函數在密碼學中也被經常使用，如產生數字指紋和其他一些電子資源來驗證消息的真實性等。在教學中，通過一些實例建立學生對抽象內容的理解，提高學生的學習興趣。
2.2講解新概念，注重老概念
雖然各個概念在教科書中獨立出現，但其內容彼此關聯。如果在教學中單獨講解新概念，而沒有建立新概念與已學知識的聯系，那么對學生而言，這些知識點就是一些孤立的片斷，無法深入理解其內容。所以在講解新概念的時候，要加強與已學概念的比較，讓學生建立理論體系的完整印象。
例如，“等價”這個概念在數理邏輯和集合論中都出現過，兩者本質相同，而定義的方法不一樣，教材中沒有把這兩者聯系起來講解，大部分學生將其視為完全不同的概念。在講課的過程中，我們通過前后概念的比較和聯系，可以對“等價”進行更深入的分析。
數理邏輯研究兩個命題公式的等價?！敖o定兩個命題公式 A 和 B，設P1，P2，…， Pn為所有出現于 A 和 B 中的命題變元，若對于P1，P2，…，Pn任一組真值指派，A和B的真值都相同，則稱 A和B等價，記作 AÛB?！奔险撝锌紤]等價關系。“設R為定義在集合A上的一個關系，若R是自反的，對稱的和傳遞的，則R稱為等價關系。若∈R，稱 x 等價于y，記做 x~y。”學習完等價關系，我們可以在更廣義的集合關系范疇內討論邏輯等價。設R為定義在所有命題公式集合上的關系，∈R當且僅當PÛQ，P，Q為邏輯公式，則很容易驗證R是一個等價關系，P~Q。通過這樣的比較教學，將數理邏輯和集合論中的兩處概念聯系在一起討論，讓學生加深了對等價的理論認識，同時也鞏固了通過定義關系來討論問題的方法。
2.3選擇實例來闡述概念的理論細節和實際應用
一個新概念的引入，意味著可以用這個新概念來表達實際事物的數學實質，并通過這個新概念來延展對具體問題的建模手段。因此，我們在講解離散數學中的概念時，不但要闡明其基本含義，更要引導學生使用離散數學的概念來表達實際問題，并從應用中掌握概念定義的具體細節。
以集合論中的二元關系為例?！癆和B是任意兩個集合，A×B的子集 R 稱作A到B的二元關系。 A=B時稱R為 A上的二元關系?！边@個關系概念確定了A到B的關系R中元素的表達形式：序偶，其中 x∈A，y∈B。對于A上的二元關系，x，y∈A。這里集合A和序偶都是一般性的定義，根據具體問題會有不同的表達形式。在講課的時候，可以舉不同的例子，與學生展開論述具體的表達形式。例如，定義在復數集C上的關系R1，其序偶∈R1，x∈C，y∈C，序偶的具體表達形式可以寫成, a, b, c, d∈R。定義在A×A上的關系R2，那么其序偶∈R2，x∈A×A，y∈A×A，序偶的具體表達形式可以寫成，u, v, m, n∈A。介紹了上述兩種具體關系后，那么考慮計算機中常見的字符串的處理，讓學生寫出定義在長度為n的字符串集合上的關系R的表達形式，以加深理解。通過對二元關系概念的展開講解，學生能夠較好地掌握如何表達具體的關系，為后續分析問題解決問題打下良好的基礎。
2.4實例的選擇要切合理論要點，體現實際應用
在講課時，我們通過實例來加深學生對概念的理解，鍛煉學生對問題的數學本質的表達能力。選擇合適的實例是實現這一教學目的重要保證。實例要切合概念的理論要點，最好是有實際應用背景，能夠通過概念來構造這個實例的數學模型。
在集合論中關系的閉包運算，尤其是傳遞閉包，在實際中有廣泛應用。教科書在介紹這個概念的時候只給出了理論定義，沒有給出實際應用的例子。為了加深學生的理解，我們在講傳遞閉包之前，增加了通訊網絡的應用例子。通訊網絡是重要的實際應用模型，其中的一個問題即確定網中兩個結點是否相連。
這里，結點相連的問題可以分為兩類：第一類是結點直接相連，第二類是結點不直接相連但是經過中間結點相連接。我們可以把通訊網絡的連接問題作為關系來處理?；仡櫼呀泴W過的關系表示方式，無論是集合表示法，關系圖，還是關系矩陣，都只能表述第一類結點間的信息，如果需要查找第二類結點，必須經過多步運算來得到結果，從應用的角度來看不夠便捷。傳遞閉包的引入可以解決這個問題。通過這個例子，學生能夠更深入理解選擇不同關系表達方式的便捷程度，了解傳遞閉包的具體應用。在接下來介紹閉包運算和性質時，同學們帶著問題學習，自然會提高興趣。
3結語
離散數學的實際教學中往往難以把握如何結合理論與應用的問題。我們通過“用實例增強概念理解”的教學方法，學生通過學習概念背景進一步理解含義，提高數學建模的能力。在對實際問題的建模過程中，學生將自然地使用離散數學的相關概念和理論，對高年級的專業課程學習，起到了很好的促進作用。實際教學效果表明，實例化概念教學方法能有效幫助學生理解抽象概念，同時鍛煉了學生把握問題的數學實質的能力，加強了解決實際問題的能力，
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Enhancing Comprehension of Concepts via Real Examples in Discrete Mathematics
MA Hui, SHENG Yanxiu, XU Jianliang, LIU Yinjian
(College of Information Science and Technology, Ocean University of China, Qingdao 266100, China)
